Les expressions fractionnaires sont difficiles à comprendre pour un enfant. La plupart des gens ont des difficultés avec. Lorsqu'il étudie le sujet « additionner des fractions avec des nombres entiers », l'enfant tombe dans la stupeur et a du mal à résoudre le problème. Dans de nombreux exemples, avant d’effectuer une action, une série de calculs doit être effectuée. Par exemple, convertissez des fractions ou convertissez une fraction impropre en fraction propre.
Expliquons-le clairement à l'enfant. Prenons trois pommes, dont deux entières, et coupons la troisième en 4 parties. Séparez une tranche de la pomme coupée et placez les trois tranches restantes à côté de deux fruits entiers. On obtient ¼ de pomme d'un côté et 2 ¾ de l'autre. Si nous les combinons, nous obtenons trois pommes. Essayons de réduire 2 ¾ pommes de ¼, c'est-à-dire en retirant une autre tranche, nous obtenons 2 2/4 pommes.
Examinons de plus près les opérations avec des fractions contenant des entiers :
Rappelons d'abord la règle de calcul des expressions fractionnaires avec un dénominateur commun :
À première vue, tout est simple et facile. Mais cela ne s'applique qu'aux expressions qui ne nécessitent pas de conversion.
Comment trouver la valeur d'une expression dont les dénominateurs sont différents
Dans certaines tâches, vous devez trouver le sens d'une expression dont les dénominateurs sont différents. Regardons un cas précis :
3 2/7+6 1/3
Trouvons la valeur expression donnée, pour cela on trouve pour deux fractions dénominateur commun.
Pour les nombres 7 et 3, c'est 21. On laisse les parties entières identiques, et on ramène les parties fractionnaires à 21, pour cela on multiplie la première fraction par 3, la seconde par 7, on obtient :
21/06+21/07, n'oubliez pas que des parties entières ne peuvent pas être converties. En conséquence, nous obtenons deux fractions avec le même dénominateur et calculons leur somme :
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Que se passe-t-il si le résultat de l'addition est une fraction impropre qui a déjà une partie entière :
2 1/3+3 2/3
DANS dans ce cas On additionne les parties entières et les parties fractionnaires, on obtient :
5 3/3, comme vous le savez, 3/3 est un, ce qui signifie 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Trouver la somme est clair, regardons la soustraction :
De tout ce qui a été dit, la règle d'action sur nombres mixtes, qui ressemble à ceci :
- Si de expression fractionnaire il faut soustraire un entier, il n'est pas nécessaire de représenter le deuxième nombre sous forme de fraction, il suffit d'effectuer l'opération uniquement sur les parties entières.
Essayons de calculer nous-mêmes le sens des expressions :
Faisons le tri plus d'exemple sous la lettre "m":
4 5/11-2 8/11, le numérateur de la première fraction est inférieur à celui de la seconde. Pour ce faire, on emprunte un entier à la première fraction, on obtient,
3 5/11+11/11=3 entier 16/11, soustrayez la seconde de la première fraction :
3 16/11-2 8/11=1 entier 8/11
- Soyez prudent lorsque vous accomplissez la tâche, n'oubliez pas de convertir les fractions impropres en fractions mixtes, en mettant en évidence la partie entière. Pour ce faire, il faut diviser la valeur du numérateur par la valeur du dénominateur, puis ce qui se passe prend la place de la partie entière, le reste sera le numérateur, par exemple :
19/4=4 ¾, vérifions : 4*4+3=19, le dénominateur 4 reste inchangé.
Résumons :
Avant de commencer à accomplir une tâche liée aux fractions, vous devez analyser de quel type d'expression il s'agit, quelles transformations doivent être effectuées sur la fraction pour que la solution soit correcte. Cherchez plus manière rationnelle solutions. N'allez pas par la voie difficile. Planifiez toutes les actions, résolvez-les d'abord sous forme de brouillon, puis transférez-les sur votre cahier d'écolier.
Pour éviter toute confusion lors de la résolution d'expressions fractionnaires, vous devez suivre la règle de cohérence. Décidez de tout avec soin, sans vous précipiter.
Oh ces fractions ! DANS lycée Dans les cours de mathématiques, ce sont les opérations arithmétiques avec des fractions et les problèmes où les nombres avec numérateurs et dénominateurs clignotent dans des conditions qui deviennent un obstacle que de nombreux écoliers ont du mal à surmonter. La mémorisation et l'utilisation suffisent règles simples, auquel sont soumises les opérations avec des fractions, pour certains élèves l'obstacle à bonnes notes en mathématiques. Alors, comment résoudre des problèmes avec des fractions ? Ceci est possible si vous comprenez bien ce qu’est une fraction.
Pour exemple clair Prenons un gâteau ordinaire. Vous attendez sept invités pour les vacances. Vous n'avez qu'un seul gâteau. Cela signifie qu'il doit être divisé en huit (invités plus la personne fêtée). Vous coupez le gâteau en parts égales. Chacune de ces parties ne représente que 1/8 du gâteau entier. Le résultat est une fraction naturelle simple, où 1 est le numérateur et 8 le dénominateur. L'un des invités a refusé la tarte et vous avez décidé d'en prendre un autre morceau pour vous-même. Il y a maintenant 2 parts de huit parts de tarte, soit 2/8.
Et si tous vos invités suivent un régime, perdent du poids et ne veulent pas manger de gâteau ? Vous obtenez alors huit parts sur huit (8/8), soit un gâteau entier !
Fractions où se trouve le numérateur inférieur au dénominateur, sont appelés corrects. Et ceux qui ont un numérateur plus grand sont incorrects.
Problèmes avec les fractions naturelles
Tâches qui impliquent fractions naturelles, impliquent le plus souvent des actions avec eux. La plupart option facile Un tel problème consiste à trouver la fraction d’un nombre exprimée sous forme de fraction. On vous a donné 6 kilos de pommes. Il faut en laisser les 2/3 pour préparer la garniture à tarte. On multiplie 6 par 2, puis on divise par 3. Du coup, on a 4 kilos nécessaires au remplissage.
Si ça vaut tâche difficile trouver un nombre par sa partie, multiplier la partie du nombre par la fraction, en échangeant le numérateur et le dénominateur. Ici, il y a 6 kilogrammes de pommes. C'est 3/5 de nombre total pommes récoltées sur votre pommier. Cela signifie que nous multiplions rapidement 6 par 5 et divisons par 3. Cela donne 10 kilogrammes.
Comment les fractions sont-elles divisées et multipliées ? Les règles ici sont simples. Lorsque nous multiplions une fraction par une fraction, nous effectuons des opérations avec des numérateurs et des dénominateurs. Disons que vous devez multiplier 2/3 par 5/6. On multiplie le nombre 2 par 5, et on multiplie 3 par 6. Résultat : 10/18. Si vous devez multiplier une fraction par un nombre entier, multipliez simplement le nombre lui-même et le numérateur de la fraction. Donc 3*4/7=12/7. Convertissez la fraction en la bonne : 12/7=1 et 5/7.
On peut facilement remplacer la division de fractions par la multiplication. Besoin de diviser 5/6 par 2/3 ? Cela signifie que nous laissons la première fraction 5/6 inchangée et que dans la seconde nous échangeons le numérateur et le dénominateur. 5/6 :2/3=5/6*3/2=15/12. Des règles similaires existent pour diviser un nombre naturel par une fraction. 2:4/7=2*7/4=14/4. Si on divise une fraction par nombre naturel, puis on multiplie le dénominateur et le nombre lui-même. 4/7 :2=4/14.
Il est plus difficile d’effectuer une soustraction et une addition avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Si vous devez ajouter la fraction 2/8 à 3/8, c'est plus simple. Additionnez les numérateurs en laissant les dénominateurs inchangés. Il sort le 5/8. Avec la soustraction, tout est pareil, où le plus petit est soustrait du plus grand numérateur.
Comment résoudre des problèmes avec des fractions dont les dénominateurs sont différents ? Bien sûr, rassemblez-les d’abord en un seul. Par exemple, vous devez ajouter 5/8 et 2/3. En utilisant la méthode de sélection, nous recherchons un nombre divisible à la fois par 8 et par 3. Ce nombre est 24. Pour faire une fraction de 5/8 avec un dénominateur de 24, divisez 24 par 8. Le nombre obtenu est 3 . Multipliez le numérateur par 3. En conséquence, 5/8 équivaut à 15/24. On fait de même avec 2/3, obtenant 16/24. Vous pouvez ensuite additionner et soustraire les dénominateurs.
Nous avons reçu une fraction incorrecte le 31/24. 24/24 est un nombre entier. Soustrayez le dénominateur du numérateur. Il s'avère que 1 entier et 7/24.
Que faire lorsqu'il faut soustraire une partie d'un nombre entier ? Vous avez trois gâteaux que vous devez couper en cinq morceaux chacun et en donner 2/5 à quelqu'un que vous connaissez. 3 est 15 divisé par cinq. Vous avez donc un gâteau 15/5. Soustrayez 2 de 15, il s'avère qu'il vous reste 13/5 du gâteau, soit 2 entiers et 3/5.
C’est ainsi que vous pouvez résoudre des problèmes avec des fractions. L'essentiel est de se rappeler qu'on ne peut pas soustraire un numérateur plus grand d'un numérateur plus petit !
Le numérateur, et ce qui est divisé par est le dénominateur.
Pour écrire une fraction, écrivez d’abord le numérateur, puis tracez une ligne horizontale sous le nombre et écrivez le dénominateur sous la ligne. La ligne horizontale séparant le numérateur et le dénominateur est appelée ligne de fraction. Parfois, il est représenté par un "/" ou un "∕" oblique. Dans ce cas, le numérateur est écrit à gauche de la ligne et le dénominateur à droite. Ainsi, par exemple, la fraction « deux tiers » s’écrira 2/3. Pour plus de clarté, le numérateur est généralement écrit en haut de la ligne et le dénominateur en bas, c'est-à-dire qu'au lieu de 2/3 vous pouvez trouver : ⅔.
Pour calculer le produit de fractions, multipliez d'abord le numérateur par un fractions au numérateur est différent. Écrivez le résultat au numérateur du nouveau fractions. Après cela, multipliez les dénominateurs. Entrez la valeur totale dans le nouveau fractions. Par exemple, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1 ; 3 × 5 = 15).
Pour diviser une fraction par une autre, multipliez d’abord le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde. Faites de même avec la deuxième fraction (diviseur). Ou, avant d'effectuer toutes les actions, « retournez » d'abord le diviseur, si cela vous convient mieux : le dénominateur doit apparaître à la place du numérateur. Multipliez ensuite le dénominateur du dividende par le nouveau dénominateur du diviseur et multipliez les numérateurs. Par exemple, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5 ; 3 ? 1 = 3).
Sources :
- Problèmes de fractions de base
Les nombres fractionnaires peuvent être exprimés en sous différentes formes valeur exacte de la quantité. Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques avec des fractions qu’avec des nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il faut rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Certaines opérations arithmétiques nécessitent que la partie fractionnaire du résultat soit réduite après exécution.
Vous aurez besoin
- - calculatrice
Instructions
Regardez attentivement les chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous la forme irrégulière. Pouvez-vous traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres ci-dessus et ci-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière est isolée doivent être converties sous la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Valeur donnée deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour sélectionner une pièce entière parmi une pièce initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Résultat completécrire à partir de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions avec partie entière il est possible d'effectuer des actions séparément d'abord pour les parties entières puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Sommation séparément des entiers et parties fractionnaires termes:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Réécrivez-les en utilisant le séparateur « : » et continuez division régulière.
Pour recevoir résultat final Réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des entiers au-dessus et en dessous de la ligne.
Veuillez noter
N'effectuez pas d'arithmétique avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par celui-ci, le résultat est que les dénominateurs des deux fractions sont égaux.
Lors de l'enregistrement nombres fractionnaires Le dividende est inscrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur, ou dénominateur, de la fraction est écrit sous la ligne. Par exemple, un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour faciliter le calcul, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme: 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. DANS dans cet exemple peut être divisé par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.
Lorsqu'un étudiant déménage lycée, les mathématiques sont divisées en 2 matières : l'algèbre et la géométrie. Il y a de plus en plus de concepts, les tâches sont de plus en plus difficiles. Certaines personnes ont du mal à comprendre les fractions. J'ai raté la première leçon sur ce sujet, et voilà. des fractions ? Une question qui me tourmentera tout au long de ma vie scolaire.
Le concept de fraction algébrique
Commençons par une définition. Sous fraction algébrique fait référence aux expressions P/Q, où P est le numérateur et Q le dénominateur. Un nombre, une expression numérique ou une expression numérique-alphabétique peut être masqué sous une entrée de lettre.
Avant de te demander comment décider fractions algébriques, vous devez d'abord comprendre que expression similaire- une partie du tout.
En règle générale, un nombre entier est 1. Le nombre au dénominateur indique en combien de parties l'unité est divisée. Le numérateur est nécessaire pour savoir combien d’éléments sont pris. La barre de fraction correspond au signe de division. Il est permis d'écrire une expression fractionnaire sous la forme d'une opération mathématique « Division ». Dans ce cas, le numérateur est le dividende, le dénominateur est le diviseur.
Règle de base des fractions communes
Quand les étudiants réussissent ce sujetà l’école, on leur donne des exemples à renforcer. Pour les résoudre et les trouver correctement différentes manières depuis situations difficiles, vous devez appliquer la propriété de base des fractions.
Cela se passe comme ceci : si vous multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou la même expression (autre que zéro), la valeur de la fraction commune ne change pas. Un cas particulier de de cette règle est la division des deux côtés d'une expression par le même nombre ou polynôme. De telles transformations sont appelées égalités identiques.
Ci-dessous, nous verrons comment résoudre l'addition et la soustraction de fractions algébriques, en multipliant, en divisant et en réduisant des fractions.
Opérations mathématiques avec des fractions
Voyons comment résoudre la propriété principale d'une fraction algébrique et comment l'appliquer dans la pratique. Si vous devez multiplier deux fractions, les additionner, les diviser l’une par l’autre ou soustraire, vous devez toujours suivre les règles.
Ainsi, pour l'opération d'addition et de soustraction, il faut trouver un facteur supplémentaire afin de ramener les expressions à un dénominateur commun. Si les fractions sont initialement données avec les mêmes expressions Q, alors ce paragraphe doit être omis. Une fois le dénominateur commun trouvé, comment résoudre des fractions algébriques ? Vous devez ajouter ou soustraire des numérateurs. Mais! Il faut se rappeler que s'il y a un signe « - » devant la fraction, tous les signes du numérateur sont inversés. Parfois, vous ne devriez faire aucune substitution et opérations mathématiques. Il suffit de changer le signe devant la fraction.
Le concept est souvent utilisé comme fractions réductrices. Cela signifie ce qui suit : si le numérateur et le dénominateur sont divisés par une expression différente de une (la même pour les deux parties), alors une nouvelle fraction est obtenue. Le dividende et le diviseur sont plus petits qu'auparavant, mais en raison de la règle de base des fractions, ils restent égaux à l'exemple original.
Le but de cette opération est d'obtenir une nouvelle expression irréductible. Décider cette tâche c'est possible si vous réduisez le numérateur et le dénominateur du plus grand diviseur commun. L'algorithme de fonctionnement se compose de deux points :
- Trouver le pgcd pour les deux côtés de la fraction.
- Diviser le numérateur et le dénominateur par l'expression trouvée et obtenir fraction irréductible, égal au précédent.
Vous trouverez ci-dessous un tableau montrant les formules. Pour plus de commodité, vous pouvez l'imprimer et l'emporter avec vous dans un cahier. Cependant, pour qu'à l'avenir, lors de la résolution d'un test ou d'un examen, la question de savoir comment résoudre des fractions algébriques ne pose aucune difficulté, ces formules doivent être apprises par cœur.
Plusieurs exemples avec des solutions
AVEC point théorique D'un point de vue, la question de savoir comment résoudre des fractions algébriques est envisagée. Les exemples donnés dans l'article vous aideront à mieux comprendre le matériel.
1. Convertissez des fractions et amenez-les à un dénominateur commun.
2. Convertissez des fractions et amenez-les à un dénominateur commun.
Après avoir étudié la partie théorique et considéré questions pratiques il ne devrait plus y en avoir.
Cet article explique comment trouver les valeurs d'expressions mathématiques. Commençons par des expressions numériques simples, puis considérons les cas à mesure que leur complexité augmente. A la fin nous donnons une expression contenant désignations de lettres, supports, racines, spécial signes mathématiques, diplômes, fonctions, etc. Conformément à la tradition, nous fournirons à l’ensemble de la théorie des exemples abondants et détaillés.
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Comment trouver la valeur d'une expression numérique ?
Les expressions numériques, entre autres, aident à décrire la condition problématique langage mathématique. Du tout expressions mathématiques peut être soit très simple, constitué d'une paire de nombres et de symboles arithmétiques, soit très complexe, contenant des fonctions, des puissances, des racines, des parenthèses, etc. Dans le cadre d’une tâche, il est souvent nécessaire de trouver le sens d’une expression particulière. Comment procéder sera discuté ci-dessous.
Les cas les plus simples
Il s'agit de cas où l'expression ne contient que des chiffres et opérations arithmétiques. Pour réussir à trouver les valeurs de telles expressions, vous aurez besoin de connaître l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques sans parenthèses, ainsi que la capacité d'effectuer des opérations avec différents nombres.
Si l'expression ne contient que des nombres et des signes arithmétiques " + " , " · " , " - " , " ÷ " , alors les actions sont effectuées de gauche à droite dans l'ordre suivant : d'abord multiplication et division, puis addition et soustraction. Donnons des exemples.
Exemple 1 : la valeur d'une expression numérique
Laissez-vous devoir trouver les valeurs de l'expression 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Faisons d'abord la multiplication et la division. On obtient :
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Maintenant, nous effectuons la soustraction et obtenons le résultat final :
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Exemple 2 : la valeur d'une expression numérique
Calculons : 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Nous effectuons d’abord la conversion, la division et la multiplication de fractions :
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Faisons maintenant quelques additions et soustractions. Regroupons les fractions et ramenons-les à un dénominateur commun :
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
La valeur requise a été trouvée.
Expressions avec parenthèses
Si une expression contient des parenthèses, elles définissent l'ordre des opérations dans cette expression. Les actions entre parenthèses sont réalisées en premier, puis toutes les autres. Montrons cela avec un exemple.
Exemple 3 : la valeur d'une expression numérique
Trouvons la valeur de l'expression 0,5 · (0,76 - 0,06).
L'expression contient des parenthèses, nous effectuons donc d'abord l'opération de soustraction entre parenthèses, et ensuite seulement la multiplication.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
La signification des expressions contenant des parenthèses entre parenthèses se trouve selon le même principe.
Exemple 4 : La valeur d'une expression numérique
Calculons la valeur 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Nous effectuerons des actions en commençant par les parenthèses les plus intérieures et en passant aux parenthèses extérieures.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Lors de la recherche de la signification des expressions entre parenthèses, l'essentiel est de suivre la séquence d'actions.
Expressions avec des racines
Les expressions mathématiques dont nous devons trouver les valeurs peuvent contenir des signes racines. De plus, l'expression elle-même peut être sous le signe racine. Que faire dans ce cas ? Vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression sous la racine, puis extraire la racine du nombre obtenu. Si possible, il vaut mieux se débarrasser des racines dans les expressions numériques, en remplaçant de par valeurs numériques.
Exemple 5 : La valeur d'une expression numérique
Calculons la valeur de l'expression avec des racines - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Tout d’abord, nous calculons les expressions radicales.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Vous pouvez maintenant calculer la valeur de l’expression entière.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Souvent, trouver le sens d’une expression avec des racines nécessite souvent d’abord de transformer l’expression originale. Expliquons cela avec un autre exemple.
Exemple 6 : La valeur d'une expression numérique
Combien font 3 + 1 3 - 1 - 1
Comme vous pouvez le constater, nous n'avons pas la possibilité de remplacer la racine par une valeur exacte, ce qui complique le processus de comptage. Cependant, dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Ainsi:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Expressions avec pouvoirs
Si une expression contient des puissances, leurs valeurs doivent être calculées avant de procéder à toutes les autres actions. Il arrive que l'exposant ou la base du degré lui-même soient des expressions. Dans ce cas, la valeur de ces expressions est d'abord calculée, puis la valeur du diplôme.
Exemple 7 : La valeur d'une expression numérique
Trouvons la valeur de l'expression 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Commençons à calculer dans l'ordre.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Il ne reste plus qu'à effectuer l'opération d'addition et découvrir le sens de l'expression :
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Il est aussi souvent conseillé de simplifier une expression en utilisant les propriétés d’un diplôme.
Exemple 8 : La valeur d'une expression numérique
Calculons la valeur de l'expression suivante : 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Les exposants sont encore une fois tels que leurs valeurs numériques exactes ne peuvent pas être obtenues. Simplifions l'expression originale pour trouver sa valeur.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Expressions avec des fractions
Si une expression contient des fractions, alors lors du calcul d'une telle expression, toutes les fractions qu'elle contient doivent être représentées sous la forme fractions ordinaires et calculer leurs valeurs.
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des expressions, les valeurs de ces expressions sont d'abord calculées et la valeur finale de la fraction elle-même est écrite. Les opérations arithmétiques sont effectuées dans l'ordre standard. Regardons l'exemple de solution.
Exemple 9 : La valeur d'une expression numérique
Trouvons la valeur de l'expression contenant des fractions : 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Comme vous pouvez le voir, il y a trois fractions dans l’expression originale. Calculons d'abord leurs valeurs.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Réécrivons notre expression et calculons sa valeur :
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Souvent, pour trouver le sens des expressions, il est pratique de réduire les fractions. Existe règle tacite: avant de trouver sa valeur, il est préférable de simplifier au maximum toute expression, en réduisant tous les calculs aux cas les plus simples.
Exemple 10 : La valeur d'une expression numérique
Calculons l'expression 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Nous ne pouvons pas extraire complètement la racine de cinq, mais nous pouvons simplifier l’expression originale grâce à des transformations.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
L'expression originale prend la forme :
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Calculons la valeur de cette expression :
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Expressions avec logarithmes
Lorsque des logarithmes sont présents dans une expression, leur valeur est calculée depuis le début, si possible. Par exemple, dans l'expression log 2 4 + 2 · 4, vous pouvez immédiatement noter la valeur de ce logarithme au lieu du log 2 4, puis effectuer toutes les actions. On obtient : log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Sous le signe du logarithme lui-même et à sa base peut aussi être expressions numériques. Dans ce cas, la première chose à faire est de trouver leur signification. Prenons l'expression log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nous avons:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
S'il est impossible de calculer la valeur exacte du logarithme, simplifier l'expression permet de trouver sa valeur.
Exemple 11 : La valeur d'une expression numérique
Trouvons la valeur de l'expression log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
journal 2 journal 2 256 = journal 2 8 = 3 .
Par la propriété des logarithmes :
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
En utilisant à nouveau les propriétés des logarithmes, pour la dernière fraction de l'expression, nous obtenons :
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Vous pouvez maintenant procéder au calcul de la valeur de l'expression d'origine.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Expressions avec fonctions trigonométriques
Il arrive que l'expression contienne les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente, ainsi que leurs fonctions inverses. La valeur est calculée avant que toutes les autres opérations arithmétiques ne soient effectuées. Sinon, l'expression est simplifiée.
Exemple 12 : La valeur d'une expression numérique
Trouvez la valeur de l'expression : t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Tout d'abord, nous calculons les valeurs des fonctions trigonométriques incluses dans l'expression.
péché - 5 π 2 = - 1
Nous substituons les valeurs dans l'expression et calculons sa valeur :
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
La valeur de l'expression a été trouvée.
Souvent pour trouver le sens d'une expression avec fonctions trigonométriques, il faut d'abord le convertir. Expliquons avec un exemple.
Exemple 13 : La valeur d'une expression numérique
Nous devons trouver la valeur de l'expression cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Pour la conversion, nous utiliserons formules trigonométriques cosinus double angle et le cosinus de la somme.
cos 2 π 8 - péché 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - péché 5 π 36 péché π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Cas général d'une expression numérique
DANS cas général expression trigonométrique peut contenir tous les éléments décrits ci-dessus : parenthèses, puissances, racines, logarithmes, fonctions. Formulons une règle générale pour trouver la signification de telles expressions.
Comment trouver la valeur d'une expression
- Racines, puissances, logarithmes, etc. sont remplacés par leurs valeurs.
- Les actions entre parenthèses sont exécutées.
- Les actions restantes sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite. D'abord - multiplication et division, puis - addition et soustraction.
Regardons un exemple.
Exemple 14 : La valeur d'une expression numérique
Calculons la valeur de l'expression - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
L'expression est assez complexe et lourde. Ce n'est pas par hasard que nous avons choisi un tel exemple, après avoir essayé d'y intégrer tous les cas décrits ci-dessus. Comment trouver le sens d’une telle expression ?
On sait que lors du calcul de la valeur d'un complexe forme fractionnaire, d'abord les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction se trouvent respectivement séparément. Nous allons transformer et simplifier séquentiellement cette expression.
Tout d'abord, calculons la valeur de l'expression radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du sinus et l'expression qui est l'argument de la fonction trigonométrique.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Vous pouvez maintenant connaître la valeur du sinus :
péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = péché π 6 + 2 π = péché π 6 = 1 2.
On calcule la valeur de l'expression radicale :
2 péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · péché π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Avec le dénominateur de la fraction tout est plus simple :
Nous pouvons maintenant écrire la valeur de la fraction entière :
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
En tenant compte de cela, nous écrivons l'expression entière :
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Résultat final :
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Dans ce cas, nous avons pu calculer valeurs exactes racines, logarithmes, sinus, etc. Si cela n’est pas possible, vous pouvez essayer de vous en débarrasser grâce à des transformations mathématiques.
Calculer les valeurs d'expression à l'aide de méthodes rationnelles
Les valeurs numériques doivent être calculées de manière cohérente et précise. Ce processus peut être rationalisé et accéléré en utilisant diverses propriétés actions avec des chiffres. Par exemple, on sait qu'un produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Compte tenu de cette propriété, on peut immédiatement dire que l'expression 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 est égale à zéro. Dans le même temps, il n'est pas du tout nécessaire d'effectuer les actions dans l'ordre décrit dans l'article ci-dessus.
Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraction nombres égaux. Sans effectuer aucune action, vous pouvez ordonner que la valeur de l'expression 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 soit également nulle.
Une autre technique pour accélérer le processus consiste à utiliser des transformations d'identité telles que le regroupement de termes et de facteurs et la soustraction. multiplicateur commun hors parenthèses. Une approche rationnelle pour calculer des expressions avec des fractions consiste à réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur.
Par exemple, prenons l'expression 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sans effectuer les opérations entre parenthèses, mais en réduisant la fraction, on peut dire que la valeur de l'expression est 1 3 .
Trouver les valeurs des expressions avec des variables
Signification expression littérale et les expressions avec des variables sont trouvées pour des valeurs spécifiques données de lettres et de variables.
Trouver les valeurs des expressions avec des variables
Pour trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables, vous devez remplacer définir des valeurs lettres et variables, puis calculez la valeur de l’expression numérique résultante.
Exemple 15 : La valeur d'une expression avec des variables
Calculez la valeur de l'expression 0, 5 x - y étant donné x = 2, 4 et y = 5.
Nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et calculons :
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Parfois, vous pouvez transformer une expression de manière à obtenir sa valeur quelles que soient les valeurs des lettres et des variables qu'elle contient. Pour ce faire, vous devez vous débarrasser des lettres et des variables dans l'expression, si possible, en utilisant transformations identitaires, propriétés des opérations arithmétiques et toutes les autres méthodes possibles.
Par exemple, l'expression x + 3 - x a évidemment la valeur 3, et pour calculer cette valeur il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de la variable x. La valeur de cette expression est égale à trois pour toutes les valeurs de la variable x parmi sa plage de valeurs admissibles.
Un autre exemple. La valeur de l'expression x x est égale à un pour tous les x positifs.
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