Trouvez la somme des coefficients du polynôme de puissances impaires. Équations en mathématiques supérieures Racines rationnelles des polynômes.

Concepts de base de la théorie polynomiale

Sous polynôme est compris comme une expression de la forme , où est un nombre entier nombre non négatif,
– n'importe quel nombre ; et
. Cette expression peut également consister en un terme - un tel polynôme est appelé monôme.

Soit un polynôme arbitraire et . Nombre n appelé degré de polynômeF(X) et est noté deg( F(X)).

Notons une des propriétés des opérations sur les polynômes : Si F(X) Et g(X) sont deux polynômes, alors

degré( F(X) g(X))=deg( F(X))+deg( g(X));

degré( F(X) ± g(X)) ≤ max(deg( F(X)),degré( g(X))}

(maximum( un,b) désigne le plus grand des nombres un Et b).

Exercice 1. Donnez des exemples de polynômes tels que

a) degré( F(X) + g(X)) = max (deg( F(X)), degré( g(X))};

b) degré( F(X) + g(X)) < max {deg(F(X)), degré( g(X))}.

Tâche 2. Prouvez les identités :

un) ( X – 1)(X n–1 + X n– 2 +…+ 1) = X n – 1 ;

b) ( X + 1)(X 2 n – X 2 n –1 + X 2 n –2 – …– X + 1) = X 2 n +1 + 1.

Solution. un) ( X – 1)(X n –1 + X n – 2 +…+ 1) = X n – X n – 1 + X n –1 – X n – 2 + X n – 2 – X n – 3 +…+ X 2 –X + X – 1 = = X n-1.

Tous les termes résultant de l'ouverture des parenthèses, à l'exception du premier et du dernier, s'annulent.

Au lieu d'une variable Xà un polynôme F(X) vous pouvez remplacer n'importe quel numéro c. Le résultat sera un certain nombre. Ce numéro s'appelle la valeur du polynômeF(X) à X = c(ou au point c) et est noté F(c).

Notons deux égalités simples liées aux valeurs du polynôme et utiles à la résolution de problèmes :

Membre gratuit d'un polynôme est égal à sa valeur au point 0,

la somme des coefficients d'un polynôme est égale à sa valeur au point 1,

Tâche 3. Trouver le terme libre et la somme des coefficients du polynôme.

Solution. Après avoir ouvert les parenthèses et lancé le casting membres similaires l'expression produit un polynôme avec un terme libre
et la somme des coefficients F(1) = 1.

Répondre:
, 1.

Tâche 4. Trouver la somme des coefficients du polynôme
pour les puissances paires et impaires X.

Nombre c appelé racine du polynômeF(X), si la valeur du polynôme au point c est égal à zéro. Nombre c est la racine du polynôme F(X), Si F(c) = 0.

Le concept de racine est au cœur de la théorie des polynômes. La théorie de la divisibilité des polynômes, leur factorisation et la solution de diverses équations algébriques sont étroitement liées à ce concept.

Discutons maintenant du concept d'égalité des polynômes. Si nous regardons les polynômes comme expressions formelles avec variable X, alors il est naturel de considérer deux polynômes égaux s'ils ont le même degré et que leurs coefficients correspondants sont égaux. Cette égalité des polynômes est appelée égalité au sens algébrique, c'est-à-dire si , et les polynômes F(X) Et g(X) sont égaux, alors m = n Et un 0 = b 0 , un 1 = b 1 , …, un n = b n .

Cependant, un polynôme peut être considéré comme une fonction. Mais alors on peut parler de l’égalité de deux polynômes comme de l’égalité de deux fonctions. On sait que deux fonctions sont dites égales si elles ont le même domaine de définition et que chaque nombre de ce domaine de définition est attribué aux deux fonctions par le même nombre. L'égalité des polynômes, comprise dans ce sens, sera appelée égalité au sens fonctionnel. Si les polynômes F(X) Et g(X) sont égaux, alors pour tout
nous avons F(c) = g(c).

Nous avons donc deux concepts d’égalité sur l’ensemble des polynômes. Ces définitions de la notion d'égalité des polynômes sont équivalentes. Autrement dit, si deux polynômes sont égaux au sens algébrique, alors ils sont égaux au sens fonctionnel, et vice versa.

Tâche 5. Dans un polynôme
l'une des racines est 3. Trouvez F(X).

Solution. Parce que X 0 = 3 est la racine du polynôme F(X), Que F(X 0) = 0 $. C'est
, où un = 4.

Réponse : Le polynôme requis
.

Tâche 6. Trouver les entiers un Et b, pour lequel l'une des racines du polynôme est égale à
.

Solution. Donné
–racine d'un polynôme F(X), Moyens F(X 0) = 0.

Rassemblons tous les termes contenant
, sur le côté droit. Parce que un Et b sont des nombres entiers, alors l'égalité n'est satisfaite que lorsque ses deux parties sont égales à zéro. On obtient un système d'équations
.

En résolvant ce système, nous trouvons que un = –12$, b = 6.

Réponse : Le polynôme requis.

Tâche 7. Trouver le polynôme F(X) du deuxième degré, satisfaisant aux conditions F(1) = 6, F(–2) = 21, F(3) = 16.

Solution. Polynôme F(X) nous chercherons sous la forme
. Pour déterminer les coefficients inconnus, on calcule les valeurs du polynôme en points donnés:

La solution à ce système un = 2, b = –3, c = 7.

Réponse : Le polynôme requis
.

Tâche 8. Pour quelles valeurs des coefficients inconnus les égalités sont-elles valables ?

Divisibilité des polynômes

Ils disent ça polynômeF(X) divisible par un polynômeg(X) ≠ 0 si un tel polynôme existe q(X) que l'égalité est vraie

F(X) = g(X) q(X) (1)

Si F(X) divisé par g(X), alors il est d'usage de l'écrire ainsi
.

Par exemple, de l'égalité X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X+1 il s'ensuit que
Et
.

Polynôme q(X) dans l'égalité (1) s'appelle privé de la division F(X) sur g(X). Notez que le polynôme q(X) dans l'égalité (1) est déterminé de manière unique.

Théorème (sur la division avec reste). Pour tout polynôme F(X) et tout polynôme non nul g(X) il existe une unique paire de polynômes q(X) Et r(X), pour lequel l'égalité est vraie

F(X) = g(X) q(X) + r(X), (2)

où est le polynôme r(X) soit zéro, soit il a un degré inférieur au degré g(X). ■

En pratique, pour trouver le quotient et le reste, on utilise généralement une méthode de calcul appelée « division par angle ».

Tâche 9. Trouvez le quotient et le reste en divisant par
.

Solution.

Devenu privé
et le reste
.

Réponse : Quotient et reste incomplets.

Tâche 10. A quelle valeur un polynôme
divisible par un polynôme X– 2 ? Répondre: UN = –1.

Tâche 11.À quelles valeurs non nulles un Et b polynôme
divisible par un polynôme
? Répondre: UN = –1; b = –2.

Théorème de Bezout

Considérons le polynôme
.

divisons F(X) sur X – 1, X – 2, X+ 3 avec reste ( r- reste) :

F(X) = (X – 1)(X 2 + 4X – 3) – 9, r = –9$;

F(X) = (X – 2)(X 2 + 5X + 3), r = 0;

F(X) = (X + 3)(X 2 – 7) + 15, r = 15.

Calculons les valeurs du polynôme F(X) aux points X = 1, X = 2, X = –3.

F(1) = –9, F(2) = 0, F(–3) = 15.

Vous pouvez remarquer que dans l'exemple considéré, le reste produit à chaque fois un nombre égal à la valeur polynôme au point correspondant. Cette coïncidence n’est guère fortuite. Le théorème suivant est valide, en jouant rôle important dans la théorie des polynômes et ses applications.

Théorème (Bezout). Reste polynomial F(X) par binôme X – unégal à la valeur du polynôme F(X) au point X = un.

Le principal corollaire de ce théorème sera

Corollaire 1. Polynôme F(X) divisé par X – un si et seulement si le numéro un est sa racine.

Tâche 12. Polynôme F(X) lorsqu'il est divisé par X– 3 donne un reste de 5, et divisé par X– 1 – reste 7. Ce que donne le reste F(X) lorsqu'il est divisé par ( X – 3)(X – 1)?

Solution. Diviseur ( X – 3)( X– 1) a le degré 2. Par conséquent, le reste est un polynôme de degré non supérieur au premier, c'est-à-dire r(X) = hache + b, et nous devons trouver un Et b. Notons le quotient par q(X). Alors F(X) = (X – 3)( X – 1)q(X) + (hache + b). Remplacement X= 3, on obtient F(3) = 3un + b, mais par condition et en vertu du théorème de Bezout F(3) = 5, donc 3 un + b= 5. De même pour X= 1 on obtient un + b= 7. En résolvant un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on obtient un = –1, b= 8. Donc r(X) = – X + 8.

Répondre: r(X) = – X + 8.

Tâche 13. Prouver que pour tout entier un, b, c, le nombre est divisible par b – un – c.

Solution. Considérons cette expression comme un polynôme F(b) par rapport à la variable b, en comptant un Et c paramètres fixes, et calculer sa valeur à b = un + c: F(un + c) = 0. Par le corollaire du théorème de Bezout, le polynôme F(b) divisé par b – un – c. puisque le coefficient dominant du binôme b – un – c est égal à 1, alors les coefficients du quotient seront des nombres entiers, ce qui découle de la méthode de « division par angle ». Cet entier est donc divisible par b – un – c, c'était ce qui devait être prouvé.

Considérons quelques corollaires supplémentaires du théorème de Bezout.

Corollaire 2. Si un 1 , un 2 , …, un k– différentes racines d'un polynôme F(X), Que F(X) est divisé par le produit (3)

Corollaire 3. Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul n’est pas supérieur à son degré.

Le fait a déjà été mentionné que si deux polynômes sont égaux, c'est-à-dire que leurs valeurs coïncident pour tout
alors leurs coefficients coïncident à degrés égaux X. Nous pouvons désormais renforcer considérablement cette affirmation.

Corollaire 3. Si les valeurs de deux polynômes dont les degrés ne sont pas supérieurs à n, coïncident avec ( n+ 1)ième point, alors ces polynômes sont égaux.

Tâche 14. Prouver que pour tout nombre distinct par paire un, b, c l’identité est valable.

Solution. Notons le côté gauche de l'identité prouvée par $f(x)$. Degré polynomial F(X) pas plus de deux (en effet, en ouvrant les parenthèses dans chaque terme, on obtient en multipliant des binômes linéaires contenant X, trinômes carrés). Sur le côté droit de l'identité à prouver se trouve le chiffre 1, qui peut être considéré comme un polynôme. g(X) de degré zéro, c'est-à-dire degré g(X) ne dépasse pas non plus deux.

Nous avons F(un) = 1 = g(un). (Polynôme g(X) est égal à 1 pour toute valeur X). De même, F(b) = g(b) Et F(c) = g(c). Donc deux polynômes F(X) Et g(X), dont les diplômes ne dépassent pas deux, prenez mêmes valeurs en trois points : X = un, X = b, X = c. Donc, d'après le corollaire 3 F(X) = g(X) et l'identité est prouvée.

Tâche 15. Trouver le reste lorsqu'il est divisé par X + 1.

Répondre: r = –6.

Tâche 16. Calculer F(4), si . Répondre: F(4) = 136.

Tâche 17. Sans effectuer l'opération de division, trouvez le reste une fois divisé par X+ 3. Réponse : r = –1.

Tâche 18. A quelle valeur k polynôme
divisé par X + 4?

Répondre: k = 11.

Tâche 19. Trouver toutes les valeurs un, pour lequel le reste de la division du polynôme
par binôme X– 2 égale 9 ? Répondre: un = 3.

Tâche 20.À quoi un Et b polynôme
divisé par X– 1 et X+ 2 sans reste ? Répondre: un = –4; b = 5.

Tâche 21. n polynôme X n – un n divisé par X – un.

Tâche 22. Prouvez cela pour tout naturel n polynôme X 2 n +1 + un 2 n+1 divisé par X + un.

Tâche 23. Montrer que le polynôme X 2 n – un 2 n divisé par X – un et sur X + un sous n'importe quel naturel n.

Tâche 24. Montrer que le polynôme X 2 n + un 2 n non divisible par X + un pas du tout X – un peu importe ce que n.

Tâche 25. Polynôme F(X) lorsqu'il est divisé par X– 2 donne un reste de 2, et divisé par X+ 3 donne le reste 7. Trouver le reste de la division F(X) sur X 2 + X – 6.

Répondre: r = –X + 4.

Tâche 26. Trouvez le reste en divisant un polynôme par un trinôme quadratique X 2 – X – 2.

Répondre: r = X –6

Tâche 27. Montrer que le reste d'un polynôme p(X) par binôme hache + bégale à la valeur du polynôme en X = –b/un.

Tâche 28. Trouver le reste en divisant un polynôme par le binôme 2 X – 3.

Répondre: r = 71/8.

Schéma Horner

Le théorème de Bezout permet de trouver le reste lors de la division d'un polynôme F(X) par binôme X – un. Mais pour résoudre certains problèmes, il est nécessaire de connaître non seulement le reste, mais aussi le quotient. Nous savons déjà comment procéder (par exemple en divisant par un angle). Lors de la division d'un polynôme par un binôme X – un Pour trouver le quotient et le reste, une méthode plus simple appelée schéma de Horner est utilisée.

Soit un polynôme de degré n. Ensuite, pour déterminer les coefficients du quotient, on obtient le système
.

Il est pratique d’écrire le schéma de Horner sous forme de tableau

Polynôme P(x) avoir un nombre a comme racine est divisible par un binôme (Ha), c'est-à-dire qu'il est représenté sous la forme

P(x) = (x - une) Q(x),

Où Q(x)- un polynôme de degré moindre de un (dans ce cas, si P(x) a des coefficients entiers, alors Q(x)- Même). Polynôme de degré n n'a plus n racines (même en tenant compte de la multiplicité). Il s'ensuit que si deux polynômes P(x) Et Q(x) diplôme, pas plus n, prenons les mêmes valeurs en plus de n points, alors leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Les identités algébriques pour les polynômes à deux variables sont souvent utilisées X Et à.

Problèmes avec des solutions

1. Facteur :

une) x 5 + x + 1 ;

b) (une - b) 3 + (b - c) 3 + (c - une) 3 ;

c) x 3 + y 3 + z 3 - xyz.

a) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1= x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) =

X 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 3 – x 2)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) =

= (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 + 1);

b) Le polynôme disparaît lorsqu'au moins une des conditions est remplie

une = b, b = c, c = une,

il est donc divisé en chacune des trois différences

a – b, b – c, c – a,

c'est-à-dire également sur leur travail.

Puisque le polynôme d'origine est de degré 3, alors le produit

(a – b)(b – c)(c – a)

(également un polynôme de degré 3) il ne diffère que par le facteur numérique k.

Donc,

(une – b) 3 + (b – c) 3 + (c – une) 3 = k(une – b)(b – c)(c – une).

Pour a = 1, b = 0, c = –1 on obtient

1 + 1 – 8 = k 1 1 (–2),

D'où k = 3, ce qui signifie

(une – b) 3 + (b – c) 3 + (c – une) 3 = 3(une – b)(b – c)(c – une).

c) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. Montrer que la somme des carrés de deux nombres naturels différents, multipliée par la somme des carrés de deux autres nombres naturels différents, peut être représentée comme la somme des carrés de deux nombres naturels.

La preuve découle directement des transformations algébriques suivantes :

(une 2 + b 2)(c 2 + ré 2) = une 2 c 2 + une 2 ré 2 + b 2 c 2 + b 2 ré 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2) =

= (ac + bd) 2 + (annonce – avant JC) 2 .

3. Montrer que pour tout x, y, z, t l'expression x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt est non négative. Découvrez tous les cas où il est égal à zéro.

Représentons ce polynôme comme une somme de termes non négatifs de la manière suivante :

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2) 2 + (z 2 – t 2) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2) 2 + (y 2 – t 2) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2) 2 + (y 2 – z 2) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

L'égalité n'est valable que si

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

c'est-à-dire si

|x| = |y| = |z| = |t| et xyzt > 0.

4. Le polynôme P(x) = 2x 4 + 8x 3 + 12x 2 + 8x + 1 est-il le carré d'un autre polynôme ?

Supposons qu’il existe un polynôme du deuxième degré Q(x) tel que

P(x) = Q(x) · Q(x).

Alors, puisque P(–1) = –1, alors Q(–1) Q(–1) = –1

5. Existe-t-il un polynôme P(x) avec des coefficients réels tels que P(x) > 2015 · P"(x) pour tout x ?

Oui, ça existe. Par exemple,

P(x) = x2 + 20152.

Alors

P"(x) = 2x,

P(x) – 2015 P"(x) = x 2 + 2015 2 – 2 x 2015 = (x – 2015) 2 > 0.

6. Trouvez la somme des coefficients des puissances impaires x du polynôme (x 7 + x – 1) 2014.

Polynômes

P(x) = (x 7 + x – 1) 2014 et P(–x) = (–x 7 – x – 1) 2014

Ils ne diffèrent que par les signes des coefficients aux puissances impaires de x. Donc le polynôme

Q(x) = P(x) – P(–x)

ne contiendra que des puissances impaires de x et la somme requise est égale à la moitié de la valeur de Q(1). Parce que

Q(1) = Р(1) – Р(–1) = 1 – 3 2014,

alors la somme des coefficients des puissances impaires x du polynôme (x 7 + x – 1) 2014 est égale à

7. Montrer que le polynôme

pour toutes les valeurs entières, x prend des valeurs entières.

Notez que le polynôme d'origine peut être représenté sous la forme

P(x) = (1 / 2 5 7 9)(x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)(x + 1)( x+4).

Puisque parmi neuf entiers consécutifs il y aura certainement des nombres divisibles par 2, 5, 7, 9, alors pour tout entier k le produit

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

le produit est mutuellement divisible nombres premiers 2·5·7·9. Par conséquent, le nombre P(k) est un nombre entier, ce qu’il fallait prouver.

8. On sait que ax 3 + bx 2 + cx + d, où a, b, c, d sont ces entiers, car tout entier x est divisible par 5.Montrer que tous les nombres a, b, c, d sont divisibles par 5.

En remplaçant x = 0, nous constatons que d est un multiple de 5.

En tenant compte de cela et en remplaçant x = ±1, nous constatons que a + b + c et –a + b – c sont des multiples de 5. Par conséquent, 2b et 2a + 2c sont des multiples de 5, ce qui signifie b et a + c sont des multiples de 5.

En remplaçant x = 2, on obtient ça2(4a + c) + 4b + d = 6a + 2(a + c) + 4b + d est un multiple de 5. Cela signifie que a est un multiple de 5 et, par conséquent, c est un multiple de 5.

9. Quelles doivent être les valeurs de a et b pour que le polynôme x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b soit un carré parfait ?

Un polynôme réduit du quatrième degré ne peut être que le carré de son polynôme réduit trinôme quadratique. Donc,

x 4 + x 3 + 2x 2 + hache + b = (x 2 + px + q) 2 .

En mettant au carré le trinôme du côté droit et en égalisant les coefficients aux mêmes puissances de l'argument des deux côtés de l'identité, on obtient

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

Après avoir résolu ce système d'équations, nous trouvons p = 1/2, q = a = 7/8, b = 49/64.

Réponse : a = 7/8, b = 49/64.

10. Un polynôme P(x) de degré n a n racines réelles différentes. Lequel le plus grand nombre ses coefficients peuvent être égaux à zéro ?

Entre deux racines quelconques d’une fonction différentiable, il y a une racine de sa dérivée. Cela signifie que le polynôme P"(x), dont le degré est égal àn – 1, a n – 1 racines réelles différentes, c’est-à-dire qu’il n’a pas de racines multiples. En continuant, nous constatons que toutes les dérivées du polynôme P(x) ont la même propriété. Il s'ensuit que parmi deux coefficients consécutifs du polynôme P(x), au moins un n'est pas égal à zéro. En effet, si les coefficients de x k et x k+1 sont égaux à zéro, alors la dérivée P (k) (x) a un terme libre et un coefficient de x égal à zéro. Mais cela signifie que 0 est un multiple de la racine de P(k)(x), ce qui n’est pas le cas.
Divisons les coefficients du polynôme en paires, laissant le coefficient principal sans paire si n est pair. D'après ce qui a été prouvé, le nombre de coefficients nuls n'excède pas le nombre de paires, soit n/2 pour n pair et (n+1)/2 pour n impair.
Exemples. Polynômes

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

degré n = 2k et

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

les puissances n = 2k + 1 montrent que ce résultat ne peut être amélioré : pour la première, les coefficients pour toutes les puissances impaires, et pour la seconde, pour toutes les puissances paires, sont égaux à zéro.

Problèmes sans solutions

1. Facteur :

une) x 8 + x 7 + 1 ;

b) (a - x) y 3 - (a - y) x 3 + (x - y) a 3 ;

c) (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3.

2. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P(x) à coefficients entiers pour lequel

P(6) = 5 et P(14) = 9.

3. Trouvez la somme de tous les coefficients du polynôme ( X 2 - 3X+ 1) 100 après avoir ouvert les parenthèses et apporté des termes similaires.

4. Polynômes P(x) et Q(x) tels que P(x 3) + Q(x 3) est divisible par x 2 + x + 1. Montrer que P(x) + Q(x) est divisible par x - 1.

5. Trouvez le nombre de coefficients impairs du polynôme P(x) = (x 2 + x + 1) n.

Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe, nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), où Q (x) est un polynôme de le deuxième degré. Par conséquent, le polynôme est décomposé en facteurs, dont l'un est (x – 2). Pour trouver le type de polynôme Q (x), nous utilisons le schéma dit de Horner. Le principal avantage de cette méthode est la compacité de l'enregistrement et la capacité division rapide polynôme en binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.

Le nombre de la cellule au-dessus est « déplacé » vers la deuxième cellule de la ligne du bas, c'est-à-dire 1. Ensuite, ils font cela. La racine de l'équation (numéro 2) est multipliée par le dernier nombre écrit (1) et le résultat est ajouté au nombre qui se trouve dans la rangée supérieure au-dessus de la prochaine cellule libre, dans notre exemple nous avons :

Etc. est de nature éducative générale et a grande importance pour étudier la totalité du cours mathématiques supérieures. Aujourd'hui, nous allons répéter les équations « scolaires », mais pas seulement celles « scolaires » - mais celles que l'on retrouve partout dans diverses tâches vyshmat. Comme d'habitude, l'histoire sera racontée de manière appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions et les classifications, mais je partagerai avec vous exactement expérience personnelle solutions. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus avancés y trouveront également beaucoup de choses pour eux-mêmes. moments intéressants. Et bien sûr, il y aura nouveau matériel, Aller plus loin lycée.

Donc l'équation…. Beaucoup se souviennent de ce mot avec un frisson. Que valent les équations « sophistiquées » avec racines... ... oubliez-les ! Car alors vous rencontrerez les « représentants » les plus inoffensifs de cette espèce. Ou ennuyeux équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de résolution. Pour être honnête, je ne les aimais pas vraiment moi-même... Ne pas paniquer! – alors ce sont surtout des « pissenlits » qui vous attendent avec une solution évidente en 1 à 2 étapes. Même si la « bardane » s'accroche certainement, il faut ici être objectif.

Curieusement, en mathématiques supérieures, il est beaucoup plus courant de traiter des équations très primitives comme linéaireéquations

Que signifie résoudre cette équation ? Cela signifie trouver TELLE valeur de « x » (racine) qui en fait une véritable égalité. Jetons le « trois » vers la droite avec un changement de signe :

et réinitialisez le «deux» à côté droit (ou, la même chose - multipliez les deux côtés par) :

Pour vérifier, remplaçons le trophée gagné par équation originale :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est bien une racine équation donnée. Ou, comme on dit aussi, satisfait à cette équation.

Veuillez noter que la racine peut également s'écrire sous la forme décimal:
Et essayez de ne pas vous en tenir à ce mauvais style ! J'ai répété la raison plus d'une fois, notamment lors de la toute première leçon sur algèbre supérieure.

D’ailleurs, l’équation peut aussi être résolue « en arabe » :

Et ce qui est le plus intéressant - cette entrée complètement légal ! Mais si vous n'êtes pas enseignant, alors il vaut mieux ne pas faire ça, car ici l'originalité est punissable =)

Et maintenant un peu sur

méthode de solution graphique

L'équation a la forme et sa racine est Coordonnée "X" points d'intersection graphique de fonction linéaire avec horaire fonction linéaire (axe x):

Il semblerait que l'exemple soit si élémentaire qu'il n'y a plus rien à analyser ici, mais une autre nuance inattendue peut en être « extraite » : présentons la même équation sous la forme et construisons des graphiques des fonctions :

Où, s'il te plaît, ne confonds pas les deux concepts: une équation est une équation, et fonction– c'est une fonction ! Les fonctions seulement de l'aide trouver les racines de l'équation. Il peut y en avoir deux, trois, quatre, voire une infinité. L'exemple le plus proche en ce sens est le célèbre équation quadratique, l'algorithme de solution pour lequel a reçu un paragraphe séparé des formules scolaires « chaudes ». Et ce n'est pas un hasard ! Si vous pouvez résoudre une équation quadratique et savoir théorème de Pythagore, alors, pourrait-on dire, "la moitié des mathématiques supérieures est déjà dans votre poche" =) Exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité !

Par conséquent, ne soyons pas paresseux et résolvons une équation quadratique en utilisant algorithme standard:

, ce qui signifie que l'équation a deux valeurs différentes valide racine:

Il est facile de vérifier que les deux valeurs trouvées satisfont réellement à cette équation :

Que faire si vous avez soudainement oublié l'algorithme de solution et qu'il n'y a aucun moyen/coup de main à portée de main ? Cette situation peut survenir, par exemple, lors d'un test ou d'un examen. Nous utilisons la méthode graphique ! Et il y a deux manières : vous pouvez construire point par point parabole , découvrant ainsi où il croise l'axe (si ça traverse du tout). Mais il vaut mieux faire quelque chose de plus astucieux : imaginer l'équation sous la forme, dessiner davantage de graphiques fonctions simples- Et Coordonnées "X" leurs points d'intersection sont bien visibles !


S'il s'avère que la ligne droite touche la parabole, alors l'équation a deux racines correspondantes (plusieurs). S'il s'avère que la ligne droite ne coupe pas la parabole, alors il n'y a pas de véritables racines.

Pour ce faire, bien sûr, vous devez être capable de construire graphiques de fonctions élémentaires, mais d'un autre côté, même un écolier peut acquérir ces compétences.

Et encore une fois - une équation est une équation, et les fonctions sont des fonctions qui seulement aidé résous l'équation!

Et ici, d'ailleurs, il conviendrait de rappeler encore une chose : si tous les coefficients d'une équation sont multipliés par un nombre non nul, alors ses racines ne changeront pas.

Ainsi, par exemple, l'équation a les mêmes racines. Comme simple « preuve », je vais retirer la constante entre parenthèses :
et je l'enlèverai sans douleur (Je diviserai les deux parties par « moins deux »):

MAIS! Si l'on considère la fonction , alors vous ne pouvez pas vous débarrasser de la constante ici ! Il est uniquement permis de retirer le multiplicateur entre parenthèses : .

Beaucoup de gens sous-estiment la méthode de résolution graphique, la considérant comme « indigne », et certains oublient même complètement cette possibilité. Et c’est fondamentalement faux, car tracer des graphiques sauve parfois la situation !

Autre exemple : supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l’équation trigonométrique la plus simple : . Formule générale est dans manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas disponibles pour vous. Cependant, il est essentiel de résoudre l’équation (c’est-à-dire « deux »). Il y a une sortie ! – construire des graphiques de fonctions :


après quoi on note calmement les coordonnées « X » de leurs points d'intersection :

Il existe une infinité de racines, et en algèbre leur notation condensée est acceptée :
, Où ( – ensemble d'entiers) .

Et, sans « s'éloigner », quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités à une variable. Le principe est le même. Ainsi, par exemple, la solution de l’inégalité est n’importe quel « x », car La sinusoïde se situe presque entièrement sous la ligne droite. La solution de l'inégalité est l'ensemble des intervalles dans lesquels les morceaux de la sinusoïde se trouvent strictement au-dessus de la droite (axe des x):

ou, en bref :

Mais voici les nombreuses solutions à l’inégalité : vide, puisqu'aucun point de la sinusoïde ne se trouve au-dessus de la droite.

Y a-t-il quelque chose que vous ne comprenez pas ? Étudiez de toute urgence les leçons sur ensembles Et graphiques de fonctions!

Nous allons réchauffer:

Exercice 1

Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes :

Réponses à la fin de la leçon

Comme vous pouvez le constater, pour étudier sciences exactes Inutile de fourrer des formules et des ouvrages de référence ! De plus, il s’agit d’une approche fondamentalement erronée.

Comme je vous l'ai déjà rassuré au tout début de la leçon, les équations trigonométriques complexes dans un cours standard de mathématiques supérieures doivent être résolues extrêmement rarement. En règle générale, toute complexité se termine par des équations comme , dont la solution est constituée de deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et . Ne vous inquiétez pas trop de résoudre ce dernier problème – regardez dans un livre ou trouvez-le sur Internet =)

La méthode de résolution graphique peut également être utile dans des cas moins triviaux. Considérons, par exemple, l’équation « ragtag » suivante :

Les perspectives de sa solution semblent... ne ressemblent à rien du tout, mais il suffit d'imaginer l'équation sous la forme, de construire graphiques de fonctions et tout s'avérera incroyablement simple. Il y a un dessin au milieu de l'article sur fonctions infinitésimales (s'ouvrira dans l'onglet suivant).

Même méthode graphique vous pouvez découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles est égale à zéro, et l'autre, apparemment, irrationnel et appartient au segment . Étant donné la racine peut être calculé approximativement, par exemple, méthode tangente. D'ailleurs, dans certains problèmes, il arrive que vous n'ayez pas besoin de trouver les racines, mais découvrez est-ce qu'ils existent du tout ?. Et ici aussi, un dessin peut aider - si les graphiques ne se croisent pas, alors il n'y a pas de racines.

Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers.
Schéma Horner

Et maintenant je vous invite à tourner votre regard vers le Moyen Âge et à ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour une meilleure compréhension du matériel, je vous recommande de lire au moins un peu nombres complexes.

Ils sont les meilleurs. Polynômes.

L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de la forme avec entier coefficients Entier naturel appelé degré de polynôme, nombre – coefficient du plus haut degré (ou juste le coefficient le plus élevé), et le coefficient est Membre gratuit.

Je désignerai brièvement ce polynôme par .

Racines d'un polynôme appeler les racines de l'équation

J'adore la logique de fer =)

Pour des exemples, allez au tout début de l'article :

Il n'y a aucun problème pour trouver les racines des polynômes des 1er et 2e degrés, mais à mesure que vous augmentez, cette tâche devient de plus en plus difficile. Même si d'un autre côté, tout est plus intéressant ! Et c’est exactement à cela que sera consacrée la deuxième partie de la leçon.

Tout d’abord, littéralement la moitié de l’écran de la théorie :

1) D'après le corollaire théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme de degré a exactement complexe racines. Certaines racines (voire toutes) peuvent être particulièrement valide. De plus, parmi les racines réelles, il peut y avoir des racines identiques (plusieurs) (minimum deux, maximum pièces).

Si un nombre complexe est la racine d’un polynôme, alors conjuguer son nombre est aussi nécessairement la racine de ce polynôme (conjuguer racines complexes ressembler ).

L'exemple le plus simple est une équation quadratique apparue pour la première fois en 8 (comme) classe, et que nous avons finalement « terminé » dans le sujet nombres complexes. Je vous le rappelle : une équation quadratique a soit deux racines réelles différentes, soit des racines multiples, soit des racines complexes conjuguées.

2) De Théorème de Bezout il s'ensuit que si un nombre est la racine d'une équation, alors le polynôme correspondant peut être factorisé :
, où est un polynôme de degré .

Et encore une fois, notre vieil exemple : puisque est la racine de l’équation, alors . Après quoi, il n’est pas difficile d’obtenir la fameuse extension « école ».

Le corollaire du théorème de Bezout a une grande valeur pratique : si l'on connaît la racine d'une équation du 3ème degré, alors on peut la représenter sous la forme et de équation quadratique il est facile de reconnaître les racines restantes. Si nous connaissons la racine d’une équation du 4ème degré, alors il est possible de développer le côté gauche en un produit, etc.

Et il y a deux questions ici :

Question une. Comment trouver cette racine ? Tout d'abord, définissons sa nature : dans de nombreux problèmes de mathématiques supérieures il faut trouver rationnel, en particulier entier racines des polynômes, et à cet égard, nous nous intéresserons plus loin à elles principalement.... ...ils sont si bons, si moelleux, qu'on a envie de les retrouver ! =)

La première chose qui vient à l’esprit est la méthode de sélection. Considérons, par exemple, l'équation . Le problème ici est dans le terme libre - s'il était égal à zéro, alors tout irait bien - nous retirons le « x » des parenthèses et les racines elles-mêmes « tombent » à la surface :

Mais notre terme libre est égal à « trois », et donc nous commençons à substituer dans l'équation différents numéros, prétendant être la « racine ». Tout d'abord, la substitution de valeurs uniques s'impose. Remplaçons :

Reçu Incorrect l’égalité, donc l’unité « ne correspondait pas ». Bon, d'accord, remplaçons :

Reçu vraiégalité! Autrement dit, la valeur est la racine de cette équation.

Pour trouver les racines d’un polynôme du 3ème degré, il existe méthode analytique (les formules dites de Cardano), mais maintenant nous nous intéressons à une tâche légèrement différente.

Puisque - est la racine de notre polynôme, le polynôme peut être représenté sous la forme et apparaît Deuxième question: comment trouver un « petit frère » ?

Les considérations algébriques les plus simples suggèrent que pour ce faire, nous devons diviser par . Comment diviser un polynôme par un polynôme ? Même méthode scolaire partagé numéros réguliers- "dans une colonne" ! Cette méthode J'en ai discuté en détail dans les premiers exemples de la leçon Limites complexes, et maintenant nous allons examiner une autre méthode, appelée Schéma Horner.

Nous écrivons d’abord le polynôme « le plus élevé » avec tout le monde , y compris les coefficients nuls:
, après quoi nous saisissons ces coefficients (strictement dans l'ordre) dans la ligne supérieure du tableau :

On écrit la racine à gauche :

Je ferai immédiatement une réserve sur le fait que le schéma de Horner fonctionne également si le nombre « rouge » Pas est la racine du polynôme. Cependant, ne précipitons pas les choses.

Nous supprimons le coefficient dominant d'en haut :

Le processus de remplissage des cellules inférieures rappelle un peu la broderie, où le « moins un » est une sorte d'« aiguille » qui imprègne les étapes suivantes. Nous multiplions le nombre « reporté » par (–1) et ajoutons le nombre de la cellule supérieure au produit :

Nous multiplions la valeur trouvée par « l'aiguille rouge » et ajoutons le coefficient d'équation suivant au produit :

Et enfin, la valeur résultante est à nouveau « traitée » avec « l'aiguille » et le coefficient supérieur :

Le zéro dans la dernière cellule nous indique que le polynôme est divisé en sans laisser de trace (comme cela devrait être), tandis que les coefficients de dilatation sont « supprimés » directement de la ligne du bas du tableau :

Ainsi, on est passé de l'équation à une équation équivalente et tout est clair avec les deux racines restantes (V. dans ce cas nous obtenons des racines complexes conjuguées).

Soit dit en passant, l'équation peut également être résolue graphiquement : tracer "foudre" et voyez que le graphique croise l'axe des x () au point . Ou le même truc "rusé" - nous réécrivons l'équation sous la forme, dessinons graphiques élémentaires et détectez la coordonnée « X » de leur point d’intersection.

À propos, le graphique de toute fonction polynomiale du 3ème degré coupe l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins un valide racine. Ce fait valable pour toute fonction polynomiale de degré impair.

Et ici, je voudrais aussi m'attarder sur point important qui concerne la terminologie : polynôme Et fonction polynomiale – ce n'est pas la même chose! Mais dans la pratique, on parle souvent, par exemple, du « graphique d'un polynôme », ce qui, bien sûr, est de la négligence.

Cependant, revenons au schéma de Horner. Comme je l'ai mentionné récemment, ce schéma fonctionne pour d'autres numéros, mais si le numéro Pas est la racine de l'équation, alors une addition (reste) non nulle apparaît dans notre formule :

"Exécutons" la valeur "infructueuse" selon le schéma de Horner. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser le même tableau - écrivez une nouvelle "aiguille" à gauche, déplacez le coefficient dominant d'en haut (flèche verte gauche), et c'est parti :

Pour vérifier, ouvrons les parenthèses et présentons termes similaires:
, D'ACCORD.

Il est facile de remarquer que le reste (« six ») est exactement la valeur du polynôme en . Et en fait, comment ça se passe :
, et encore plus sympa - comme ceci :

A partir des calculs ci-dessus, il est facile de comprendre que le schéma de Horner permet non seulement de factoriser le polynôme, mais aussi d'effectuer une sélection « civilisée » de la racine. Je vous propose de consolider indépendamment l'algorithme de calcul avec une petite tâche :

Tâche 2

En utilisant le schéma de Horner, trouvez racine entièreéquation et factoriser le polynôme correspondant

En d'autres termes, vous devez ici vérifier séquentiellement les nombres 1, –1, 2, –2, ... – jusqu'à ce qu'un reste zéro soit « dessiné » dans la dernière colonne. Cela signifiera que « l’aiguille » de cette droite est la racine du polynôme

Il est pratique de regrouper les calculs dans un seul tableau. Solution détaillée et la réponse à la fin de la leçon.

La méthode de sélection des racines est relativement bonne pour cas simples, mais si les coefficients et/ou le degré du polynôme sont grands, le processus peut prendre plus de temps. Ou peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, –1, 2, –2 et cela ne sert à rien de les considérer ? Et, en plus, les racines peuvent s'avérer fractionnées, ce qui conduira à un piquage totalement non scientifique.

Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui peuvent réduire considérablement la recherche de valeurs « candidates » dans racines rationnelles:

Théorème 1 Considérons irréductible fraction , où . Si le nombre est la racine de l'équation, alors le terme libre est divisé par et le coefficient principal est divisé par.

En particulier, si le coefficient dominant est , alors cette racine rationnelle est un entier :

Et nous commençons à exploiter le théorème avec juste ce détail savoureux :

Revenons à l'équation. Puisque son coefficient directeur est , alors les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières, et le terme libre doit nécessairement être divisé en ces racines sans reste. Et « trois » ne peut être divisé qu’en 1, –1, 3 et –3. Autrement dit, nous n'avons que 4 « candidats racines ». Et, selon Théorème 1, autre nombres rationnels ne peut pas être les racines de cette équation EN PRINCIPE.

Il y a un peu plus de « prétendants » dans l'équation : le terme libre est divisé en 1, –1, 2, – 2, 4 et –4.

Attention, les chiffres 1, –1 sont des « habitués » de la liste des racines possibles (une conséquence évidente du théorème) et plus meilleur choix pour un contrôle prioritaire.

Passons à des exemples plus significatifs :

Problème 3

Solution: puisque le coefficient dominant est , alors les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être que des nombres entiers, et elles doivent nécessairement être des diviseurs du terme libre. « Moins quarante » est divisé en les paires de nombres suivantes :
– un total de 16 « candidats ».

Et ici apparaît immédiatement une pensée tentante : est-il possible d’éliminer toutes les racines négatives ou toutes les racines positives ? Dans certains cas, c'est possible ! Je formulerai deux signes :

1) Si Tous les coefficients du polynôme sont non négatifs, alors il ne peut pas avoir racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (Maintenant, si on nous donnait une équation - alors oui, en substituant n'importe quelle valeur du polynôme, la valeur du polynôme est strictement positive, ce qui signifie que tout nombres positifs (et les irrationnels aussi) ne peuvent pas être les racines de l’équation.

2) Si les coefficients des puissances impaires sont non négatifs, et pour toutes les puissances paires (y compris membre gratuit) sont négatifs, alors le polynôme ne peut pas avoir racines négatives. C'est notre cas ! En regardant d’un peu plus près, vous pouvez voir que lorsque vous remplacez un « x » négatif dans l’équation côté gauche sera strictement négatif, ce qui signifie racines négatives disparaître

Il reste donc 8 nombres à rechercher :

Nous les « facturons » séquentiellement selon le schéma de Horner. J'espère que vous maîtrisez déjà le calcul mental :

La chance nous attendait lors du test du « deux ». Ainsi, la racine de l’équation considérée est-elle, et

Reste à étudier l'équation . C'est facile à faire grâce au discriminant, mais je vais effectuer un test indicatif en utilisant le même schéma. Notons tout d’abord que le terme libre est égal à 20, ce qui signifie Théorème 1 les nombres 8 et 40 sortent de la liste des racines possibles, laissant les valeurs à la recherche (un a été éliminé selon le schéma de Horner).

On écrit les coefficients du trinôme sur la ligne du haut nouveau tableau Et On commence à vérifier avec les mêmes "deux". Pourquoi? Et comme les racines peuvent être multiples, s'il vous plaît : - cette équation a 10 racines identiques. Mais ne nous laissons pas distraire :

Et là, bien sûr, je mentais un peu, sachant que les racines sont rationnelles. Après tout, s’ils étaient irrationnels ou complexes, je serais alors confronté à une vérification infructueuse de tous les nombres restants. Par conséquent, en pratique, soyez guidé par le discriminant.

Répondre: racines rationnelles : 2, 4, 5

Nous avons eu de la chance dans le problème que nous avons analysé, car : a) ils sont tombés tout de suite valeurs négatives, et b) nous avons trouvé la racine très rapidement (et théoriquement nous pourrions vérifier toute la liste).

Mais en réalité, la situation est bien pire. Je vous invite à regarder un jeu passionnant appelé « Dernier héros»:

Problème 4

Trouver les racines rationnelles de l'équation

Solution: Par Théorème 1 numérateurs d'hypothétiques racines rationnelles doit satisfaire à la condition (on lit « douze est divisé par el »), et les dénominateurs correspondent à la condition . Sur cette base, nous obtenons deux listes :

"liste des éléments":
et "liste euh": (heureusement, les chiffres ici sont naturels).

Faisons maintenant une liste de toutes les racines possibles. Tout d’abord, nous divisons la « liste el » par . Il est absolument clair que les mêmes chiffres seront obtenus. Pour plus de commodité, mettons-les dans un tableau :

De nombreuses fractions ont été réduites, ce qui a donné lieu à des valeurs qui figurent déjà dans la « liste des héros ». Nous ajoutons uniquement les « débutants » :

De même, nous divisons la même « liste » par :

et enfin sur

Ainsi, l'équipe des participants à notre jeu est complétée :


Malheureusement, le polynôme de ce problème ne satisfait pas au critère « positif » ou « négatif », et nous ne pouvons donc pas écarter la ligne du haut ou du bas. Vous devrez travailler avec tous les chiffres.

Comment te sens-tu? Allez, relevez la tête – il existe un autre théorème que l’on peut appeler au sens figuré le « théorème du tueur »…. ...des « candidats », bien sûr =)

Mais vous devez d'abord faire défiler le diagramme de Horner pendant au moins un la totalité Nombres. Traditionnellement, prenons-en un. Dans la ligne du haut, nous écrivons les coefficients du polynôme et tout se passe comme d'habitude :

Puisque quatre n’est clairement pas zéro, la valeur n’est pas la racine du polynôme en question. Mais elle nous aidera beaucoup.

Théorème 2 Si pour certains en général la valeur du polynôme est non nulle : , alors ses racines rationnelles (si ils sont) satisfaire la condition

Dans notre cas et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire à la condition (appelons-le Condition n°1). Ce quatre sera le « tueur » de nombreux « candidats ». À titre de démonstration, je vais examiner quelques contrôles :

Vérifions le "candidat". Pour ce faire, représentons-le artificiellement sous la forme d'une fraction, d'où on voit clairement que . Calculons la différence de test : . Quatre est divisé par « moins deux » : , ce qui signifie que la racine possible a réussi le test.

Vérifions la valeur. Ici, la différence de test est : . Bien entendu, le deuxième « sujet » reste donc également sur la liste.