Équations quadratiques réduites. Bref contexte historique

Théorème de Vieta

Travail créatifétudiant 8e année

Établissement d'enseignement municipal "École secondaire Novokievskaya"

Lukanina Kirill

Chef : Kryzhanovskaya V.I.

I Introduction. Informations historiques.

II Partie principale

1. 
   Pages de la biographie de F. Vieta
2. 
   Activités scientifiques:

B) théorème inverse

1. 
   Exemples de résolution d'équations
2. 
   Travaux pratiques
3. 
   Quelques cas particuliers résoudre des équations

IIIConclusion. Théorème de Vieta en vers

IV Références utilisées
À juste titre digne d'être chanté en poésie

Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.

Contexte historique

La relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique a été établie pour la première fois par le célèbre scientifique français François Viète.

François Viète était avocat de profession et a travaillé pendant de nombreuses années comme conseiller du roi. Et même si les mathématiques n'étaient que son passe-temps, grâce à un travail acharné, il a obtenu d'excellents résultats.

En 1951, il introduisit désignations de lettres pour les coefficients d'inconnues dans les équations, ainsi que ses propriétés.

Vieta a fait de nombreuses découvertes ; il a lui-même le plus apprécié l'établissement de la relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique, appelée théorème de Vieta.

Début du formulaire

Fin du formulaire

Seule une partie des travaux de ce scientifique talentueux et prolifique a été publiée du vivant de Vieta. Son essai principal : « Introduction à l'art analytique"()), qu'il considérait comme le début d'un traité complet, mais n'eut pas le temps de continuer. Certains éléments indiquent que le scientifique est mort de mort violente.

L'application directe des œuvres de Vieta était rendue très difficile par la lourdeur et la lourdeur de la présentation. Pour cette raison, ils n’ont pas encore été entièrement publiés. Plus ou moins réunion complète Les travaux de Wirth ont été publiés en 1646 à Leiden par le mathématicien néerlandais van Scooten sous le titre « Œuvres mathématiques de Vieta ». G. G. Zeiten a noté que la lecture des œuvres de Vieta est rendue difficile par la forme quelque peu raffinée, dans laquelle sa grande érudition transparaît partout, et un grand nombre inventé par lui et n'a pas pris racine du tout Termes grecs. Par conséquent, son influence, si significative par rapport à toutes les mathématiques ultérieures, s’est répandue relativement lentement.

RÉALISATIONS MATHÉMATIQUES
Il a écrit des articles sur les mathématiques extrêmement langue difficile, ils n’ont donc pas été distribués. Les œuvres de Vieth ont été rassemblées après sa mort par le professeur de mathématiques de Leiden F. Schooten. Dans les œuvres de Vieta, l'algèbre devient sciences générales sur les équations algébriques basées sur la notation symbolique. Le Viet fut le premier à désigner par des lettres non seulement les inconnues, mais aussi les grandeurs données, c'est-à-dire les coefficients des équations correspondantes. Grâce à cela, il est devenu possible pour la première fois d'exprimer les propriétés des équations et de leurs racines formules générales, et eux-mêmes expressions algébriques transformés en objets sur lesquels des actions peuvent être effectuées. Le Viet a développé une technique uniforme pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés et nouvelle méthode solutions équation cubique, a donné solution trigonométriqueéquations du 3ème degré dans le cas irréductible, ont proposé diverses transformations rationnelles racines, établi la relation entre les racines et les coefficients des équations (formules Vieta). Pour résoudre approximativement les équations avec coefficients numériques Viet a proposé une méthode similaire à celle développée plus tard par I. Newton. Les réalisations de Vieta en trigonométrie - solution complète problèmes de détermination de tous les éléments d'un triangle plan ou sphérique à partir de trois éléments donnés, développements importants de sinпх et cosпх en puissances de cos x et sinx. La connaissance de la formule des sinus et cosinus d'arcs multiples a permis à Viet de résoudre l'équation du 45e degré proposée par le mathématicien A. Roomen ; Viète a montré que la solution de cette équation se réduit à diviser l'angle en 45 parties égales et qu'il y a 23 racines positives cette équation. Vieth a résolu le problème d'Apollonius à l'aide d'une règle et d'un compas.

Activités scientifiques

Tous les mathématiciens savaient que sous leur algèbre... se cachaient des trésors incomparables, mais ils ne savaient pas comment les trouver ; les tâches qu'ils considéraient comme les plus difficiles sont tout à fait facilement résolues par dizaines à l'aide de notre art, qui représente donc le plus la bonne manière pour la recherche mathématique.

Viet divise tout au long de la présentation en deux parties : lois générales et leurs implémentations numériques concrètes. Autrement dit, il résout d'abord les problèmes dans vue générale, et seulement alors mène exemples numériques. Dans la partie générale, il désigne par des lettres non seulement les inconnues déjà rencontrées auparavant, mais aussi toutes les autres paramètres, pour lequel il a inventé le terme " chances"(littéralement: promouvoir). Vieth n'utilisait pour cela que des majuscules - les voyelles pour les inconnues, les consonnes pour les coefficients.

Viet applique librement une variété de transformations algébriques - par exemple, changer des variables ou changer le signe d'une expression lors de son transfert vers une autre partie de l'équation. Cela mérite d'être noté, compte tenu de l'époque attitude suspecte aux nombres négatifs. Les exposants du Viet sont toujours écrits verbalement.

Autres réalisations du Viet :

• 
  célèbre " Les formules de Vieta» pour les cotes polynôme comment ça marche racines;
• 
  nouveau méthode trigonométrique solutions à l'irréductible équation cubique, également applicable pour la trisection d'angle ;
• 
  premier exemple de produit infini :

• 
  une présentation analytique complète de la théorie des équations des quatre premiers degrés ;
• 
  idée d'application fonctions transcendantalesà résoudre des équations algébriques;
• 
  méthode originale solution approximative d'équations algébriques avec des coefficients numériques.

Formules Vieta

Formulation

(chaque racine est prise le nombre de fois correspondant à sa multiplicité), puis les coefficients sont exprimés sous la forme polynômes symétriquesà partir des racines, à savoir :

Autrement dit (− 1) k un k est égal à la somme de tous les produits possibles de k racines.

Si le coefficient principal d'un polynôme est , alors pour appliquer la formule de Vieta, il faut d'abord diviser tous les coefficients par un 0 (cela n'affecte pas la valeur des racines du polynôme). Dans ce cas, la formule de Vieta donne une expression du rapport de tous les coefficients au plus grand. De la dernière formule de Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont entières, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également entier.

Preuve

Où côté droit est un polynôme factorisé.

Après avoir multiplié les éléments du côté droit, les coefficients pour degrés égaux x doit être égal dans les deux parties, d’où découlent les formules de Vieta.

Exemples

Équation quadratique

Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q= 0 est égal au coefficient p, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre q:

DANS cas général(pour l'équation quadratique non réduite hache 2 + bx + c = 0):

Travaux pratiques d'algèbre en 8e.

Sujet : « Théorème de Vieta »

Cible:établir un lien entre les racines d'une équation quadratique et ses coefficients.

Objet d'étude :équation quadratique et ses racines.

Connaissances, compétences et aptitudes requises pour effectuer le travail :

(c'est-à-dire ce qu'il faut retenir et répéter avant de proposer aux élèves ce travail):

• 
  le concept d'une équation quadratique complète ;
• 
  capacité à écrire un trinôme quadratique sous forme générale ;
• 
  algorithme pour résoudre une équation quadratique (à la fois complète et réduite) ;
• 
  capacité d'écrire la formule générale des racines d'une équation quadratique (complète et réduite).

Donné équations quadratiques.

1.1. Résolvez les équations :

A) x2 + 4x + 3 = 0 ;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Remplissez le tableau :

1.3. Comparez la somme et le produit des racines de chaque équation avec ses coefficients.

1.4. Hypothèse: Quel lien avez-vous remarqué entre les racines de l’équation quadratique ci-dessus et ses coefficients ? Écrivez-le sous forme de symboles.

1.5. Test d'hypothèse :écrivez l'équation quadratique ci-dessus sous forme générale (x 2 + px + q = 0).

1.6. Écrivez la formule générale des racines de l’équation quadratique donnée.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Trouvez la somme des racines de l'équation quadratique.

1.8. Trouvez le produit des racines de l'équation quadratique.

1.9. Tirer une conclusion

Question supplémentaire.

Vérifiez vos conclusions en résolvant l’équation : x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Complétez les équations quadratiques.

2.1. Résolvez les équations :

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0 ;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Remplissez le tableau :

2.4. Hypothèse: Quel lien avez-vous remarqué entre les racines d’une équation quadratique complète et ses coefficients ? Écrivez-le sous forme de symboles.

2.5. Test d'hypothèse :écrire l'équation quadratique complète sous forme générale

(hache 2 + bx + c = 0).

2.6. Écrivez la formule générale des racines d’une équation quadratique complète.

(X1 = ; X2 =)

2.7. Trouvez la somme des racines de l'équation quadratique.

2.8. Trouvez le produit des racines de l'équation quadratique.

2.9. Tirer une conclusion: énoncer le résultat obtenu. Notez-le dans votre cahier.

(L’énoncé qui en résulte s’appelle le théorème de Vieta)

Question supplémentaire.

Vérifiez vos conclusions en résolvant l'équation : -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Tâche supplémentaire.

Trouvez la somme et le produit des racines des équations quadratiques suivantes :

A) x 2 – 5x + 6 = 0 ;

B) 3x2 – 4x – 2 = 0 ;

B) x 2 – 6x + 24 = 0 ;

D) 6x2 – 5x = 0.

2. À l’aide du théorème de Vieta, vérifiez si les racines de l’équation quadratique ont été trouvées correctement.

En utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta, trouvez les racines de l’équation quadratique :

A) x 2 + 11x – 12 = 0 ; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0 ; c) -3x2 – 6x = 0 ; d) x 2 – 6 = 0.

Cas particuliers de résolution d'équations quadratiques

hache 2 +bx + c = 0

1. si a+b+c =0, alors x 1 = 1, x 2 =

2. si a-b+c =0, (ou a+c=b), alors x 1 = -1, x 2 = -

Par exemple : 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Résoudre oralement :

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Écrivons d'abord « moins »,
A côté de lui p en deux,
Signe radical "plus-moins",
Familier pour nous depuis l'enfance.

Eh bien, à la racine, mon pote,
Tout cela ne sert à rien :
p en deux et au carré
Moins la belle q.

• 
  Depuis " Moniteurs pour bébé"(une autre option) :

Et sous la racine c'est très utile
moitié p quadrillé
moins q- et voici les solutions,
c'est-à-dire les racines de l'équation.

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.

Ce qui est mieux, dites ceci de manière cohérente :

Vous multipliez les racines et la fraction est prête :

Le numérateur est c, le dénominateur est a,

Et la somme des racines est aussi une fraction

Même si c'est une fraction avec un moins, quel problème

Le numérateur est dedans, le dénominateur est a.
Littérature utilisée :

1. 
   Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien.

1. 
   Mathématiques. Documents de référence. V.A.Gusev, A.G.Mordkovich. M. "Lumières" 1986
2. 
   Histoire des mathématiques à l'école. G.I. Glazer

1. 
   Algèbre 8e année. édité par S.A. Telyakovsky

Aujourd'hui, elle mérite d'être chantée en poésie
Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.
Quoi de mieux, dites-moi, une cohérence comme celle-ci :
Vous avez multiplié les racines - et la fraction est prête
Au numérateur Avec, au dénominateur UN.
Et la somme des racines de la fraction est également égale
Même avec un moins cette fraction
Quel problème
En numérateurs V, au dénominateur UN.
(Du folklore scolaire)

Dans l'épigraphe merveilleux théorème François Vieta n'est pas donné tout à fait avec précision. En fait, nous pouvons écrire une équation quadratique qui n’a pas de racines et écrire leur somme et leur produit. Par exemple, l'équation x 2 + 2x + 12 = 0 n'a pas de vraies racines. Mais, en adoptant une approche formelle, nous pouvons écrire leur produit (x 1 · x 2 = 12) et la somme (x 1 + x 2 = -2). Notre les versets correspondront au théorème avec la mise en garde : « si l'équation a des racines », c'est-à-dire D ≥ 0.

D'abord application pratique Ce théorème est la construction d'une équation quadratique qui a donné des racines. Deuxièmement, il vous permet de résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques. Les manuels scolaires se concentrent principalement sur le développement de ces compétences.

Nous examinerons ici davantage tâches complexes, résolu en utilisant le théorème de Vieta.

Exemple 1.

L'une des racines de l'équation 5x 2 – 12x + c = 0 est trois fois supérieure à la seconde. Trouvez l'art.

Solution.

Soit la deuxième racine x 2.

Alors la première racine x1 = 3x 2.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est 12/5 = 2,4.

Créons l'équation 3x 2 + x 2 = 2,4.

Donc x 2 = 0,6. Donc x 1 = 1,8.

Réponse : c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Exemple 2.

On sait que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 – 8x + p = 0, avec 3x 1 + 4x 2 = 29. Trouvez p.

Solution.

D’après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = 8, et par condition 3x 1 + 4x 2 = 29.

Après avoir résolu le système de ces deux équations, on trouve la valeur x 1 = 3, x 2 = 5.

Et donc p = 15.

Réponse : p = 15.

Exemple 3.

Sans calculer les racines de l'équation 3x 2 + 8 x – 1 = 0, trouvez x 1 4 + x 2 4

Solution.

Notez que par le théorème de Vieta x 1 + x 2 = -8/3 et x 1 x 2 = -1/3 et transformez l'expression

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Réponse : 4898/9.

Exemple 4.

A quelles valeurs du paramètre a se trouve la différence entre les racines les plus grandes et les plus petites de l'équation
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 est égal à leur produit.

Solution.

Il s'agit d'une équation quadratique. Il aura 2 racines différentes si D > 0. En d’autres termes, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ou (a – 3) 2 > 0. Par conséquent, nous avons 2 racines pour tout a, pour sauf pour a = 3.

Pour plus de précision, nous supposerons que x 1 > x 2 et obtiendrons x 1 + x 2 = (a + 1)/2 et x 1 x 2 = (a – 1)/2. Basé sur les conditions du problème x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Les trois conditions doivent être remplies simultanément. Considérons la première et la dernière équation comme un système. Il peut être facilement résolu par addition algébrique.

On obtient x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Vérifions quoi UN la deuxième égalité sera satisfaite : x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Remplaçons les valeurs obtenues et nous aurons : a/4 = (a – 1)/2. Alors a = 2. Il est évident que si a = 2, alors toutes les conditions sont remplies.

Réponse : quand a = 2.

Exemple 5.

Qu'est-ce qui est égal à plus petite valeur a, auquel la somme des racines de l'équation
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 est égal à la somme des carrés de ses racines.

Solution.

Tout d’abord, réduisons l’équation à forme canonique: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Il aura des racines si D/4 ≥ 0. Donc : a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ou (a – 1) 2 ≥ 0. Et c’est le condition valable pour tout a.

Appliquons le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Calculons

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ou après substitution x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Il reste à créer une égalité qui correspond aux conditions du problème : x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . On obtient : 2a = 4a 2 – 4a + 2. Cette équation quadratique a 2 racines : a 1 = 1 et a 2 = 1/2. Le plus petit d’entre eux est –1/2.

Réponse : 1/2.

Exemple 6.

Trouver la relation entre les coefficients de l'équation ax 2 + bx + c = 0 si la somme des cubes de ses racines est égale au produit des carrés de ces racines.

Solution.

Nous supposerons que cette équation a des racines et, par conséquent, le théorème de Vieta peut lui être appliqué.

Alors la condition du problème s'écrira comme suit : x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ou : (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Le deuxième facteur doit être converti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

On obtient (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Reste à remplacer les sommes et produits des racines par les coefficients.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Cette expression peut facilement être convertie sous la forme b(3ac – b 2)/une = c 2. La relation a été trouvée.

Commentaire. Il convient de garder à l’esprit que la relation résultante n’a de sens qu’une fois que l’autre est satisfaite : D ≥ 0.

Exemple 7.

Trouver la valeur de la variable a pour laquelle la somme des carrés des racines de l'équation x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 est la plus grande valeur.

Solution.

Si cette équation a des racines x 1 et x 2, alors leur somme est x 1 + x 2 = -2a, et le produit x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

On calcule x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (une – 3) 2 + 22.

Or il est évident que cette expression prend valeur la plus élevéeà a = 3.

Il reste à vérifier si l'équation quadratique originale a réellement des racines en a = 3. Nous vérifions par substitution et obtenons : x 2 + 6x + 7 = 0 et pour cela D = 36 – 28 > 0.

La réponse est donc : pour a = 3.

Exemple 8.

L'équation 2x 2 – 7x – 3 = 0 a des racines x 1 et x 2. Trouvez la triple somme des coefficients de l'équation quadratique donnée, dont les racines sont les nombres X 1 = 1/x 1 et X 2 = 1/x 2. (*)

Solution.

Évidemment, x 1 + x 2 = 7/2 et x 1 x 2 = -3/2. Composons la deuxième équation à partir de ses racines sous la forme x 2 + px + q = 0. Pour ce faire, nous utilisons l'inverse du théorème de Vieta. On obtient : p = -(X 1 + X 2) et q = X 1 · X 2.

Après avoir effectué la substitution dans ces formules basées sur (*), alors : p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 et q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

L'équation recherchée prendra la forme : x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. On peut maintenant facilement calculer la somme triplée de ses coefficients :

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. La réponse est reçue.

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Entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique, en plus des formules de racine, il existe d'autres relations utiles qui sont données Théorème de Vieta. Dans cet article, nous donnerons une formulation et une preuve du théorème de Vieta pour une équation quadratique. Considérons ensuite le théorème inverse du théorème de Vieta. Après cela, nous analyserons les solutions les plus exemples typiques. Enfin, nous écrivons les formules Vieta qui définissent la relation entre les vraies racines équation algébrique degré n et ses coefficients.

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Théorème de Vieta, formulation, preuve

À partir des formules pour les racines de l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 de la forme, où D=b 2 −4·a·c, les relations suivantes découlent : x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ces résultats sont confirmés Théorème de Vieta:

Théorème.

Si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique a x 2 +b x+c=0, alors la somme des racines est égale au rapport des coefficients b et a pris dans signe opposé, et le produit des racines est égal au rapport des coefficients c et a, c'est-à-dire .

Preuve.

Nous réaliserons la preuve du théorème de Vieta selon le schéma suivant : nous composerons la somme et le produit des racines de l'équation quadratique en utilisant formules célèbres racines, après cela nous transformons les expressions résultantes et nous assurons qu'elles sont égales à −b/a et c/a, respectivement.

Commençons par la somme des racines et compensons-la. Maintenant, nous réduisons les fractions à dénominateur commun, nous avons . Au numérateur de la fraction résultante, après quoi :. Finalement, après 2, nous obtenons . Cela prouve la première relation du théorème de Vieta pour la somme des racines d'une équation quadratique. Passons à la seconde.

On compose le produit des racines de l'équation quadratique : . D'après la règle de multiplication des fractions, dernier morceau peut s'écrire . Maintenant, nous multiplions une parenthèse par une parenthèse au numérateur, mais il est plus rapide de réduire ce produit par formule de différence carrée, Donc . Ensuite, en nous souvenant, nous effectuons la transition suivante. Et puisque le discriminant de l'équation quadratique correspond à la formule D=b 2 −4·a·c, alors au lieu de D dans la dernière fraction nous pouvons substituer b 2 −4·a·c, nous obtenons. Après avoir ouvert les parenthèses et lancé le casting termes similaires on arrive à la fraction , et sa réduction par 4·a donne . Cela prouve la deuxième relation du théorème de Vieta pour le produit des racines.

Si l’on omet les explications, la preuve du théorème de Vieta prendra une forme laconique :
,
.

Il ne reste plus qu'à constater que lorsque égal à zéro L'équation quadratique discriminante a une racine. Cependant, si nous supposons que l’équation dans ce cas comporte deux racines identiques, alors les égalités du théorème de Vieta sont également valables. En effet, lorsque D=0 la racine de l'équation quadratique est égale à , alors et , et puisque D=0, soit b 2 −4·a.c=0, d'où b 2 =4·a.c, alors .

En pratique, le théorème de Vieta est le plus souvent utilisé en relation avec l'équation quadratique réduite (avec le coefficient dominant a égal à 1) de la forme x 2 +p·x+q=0. Parfois, il est formulé pour des équations quadratiques de ce type, ce qui ne limite pas la généralité, puisque toute équation quadratique peut être remplacée par une équation équivalente en divisant les deux côtés par un nombre non nul a. Donnons la formulation correspondante du théorème de Vieta :

Théorème.

La somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0 est égale au coefficient de x pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre, c'est-à-dire x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Théorème inverse du théorème de Vieta

La deuxième formulation du théorème de Vieta, donnée dans le paragraphe précédent, indique que si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0, alors les relations x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. D'autre part, des relations écrites x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q il s'ensuit que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique x 2 +p x+q=0. En d’autres termes, l’inverse du théorème de Vieta est vrai. Formulons-le sous la forme d'un théorème et démontrons-le.

Théorème.

Si les nombres x 1 et x 2 sont tels que x 1 +x 2 =−p et x 1 · x 2 =q, alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p · x+q =0.

Preuve.

Après avoir remplacé les coefficients p et q dans l'équation x 2 +p·x+q=0 par leurs expressions via x 1 et x 2, celle-ci est transformée en une équation équivalente.

Remplaçons le nombre x 1 au lieu de x dans l'équation résultante, et nous avons l'égalité x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, qui pour tout x 1 et x 2 représente l'égalité numérique correcte 0=0, puisque x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 1 est la racine de l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, ce qui signifie que x 1 est la racine de l'équation équivalente x 2 +p·x+q=0.

Si dans l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0 remplacez le nombre x 2 au lieu de x, on obtient l'égalité x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. C'est une véritable égalité, puisque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 2 est aussi une racine de l’équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, et donc les équations x 2 +p·x+q=0.

Ceci termine la preuve du théorème inverse du théorème de Vieta.

Exemples d'utilisation du théorème de Vieta

Il est temps de parler de l'application pratique du théorème de Vieta et de son théorème inverse. Dans cette section, nous analyserons les solutions à plusieurs des exemples les plus typiques.

Commençons par appliquer le théorème inverse au théorème de Vieta. Il est pratique de l'utiliser pour vérifier si deux nombres donnés sont les racines d'une équation quadratique donnée. Dans ce cas, leur somme et leur différence sont calculées, après quoi la validité des relations est vérifiée. Si ces deux relations sont satisfaites, alors en vertu du théorème inverse du théorème de Vieta, on conclut que ces nombres sont les racines de l’équation. Si au moins une des relations n’est pas satisfaite, alors ces nombres ne sont pas les racines de l’équation quadratique. Cette approche peut être utilisée lors de la résolution d'équations quadratiques pour vérifier les racines trouvées.

Exemple.

Laquelle des paires de nombres 1) x 1 =−5, x 2 =3, ou 2) ou 3) est une paire de racines de l'équation quadratique 4 x 2 −16 x+9=0 ?

Solution.

Les coefficients de l'équation quadratique donnée 4 x 2 −16 x+9=0 sont a=4, b=−16, c=9. Selon le théorème de Vieta, la somme des racines d'une équation quadratique doit être égale à −b/a, soit 16/4=4, et le produit des racines doit être égal à c/a, soit 9. /4.

Calculons maintenant la somme et le produit des nombres dans chacun des trois paires données, et comparez-les avec les valeurs qui viennent d'être obtenues.

Dans le premier cas on a x 1 +x 2 =−5+3=−2. La valeur résultante est différente de 4, donc aucune autre vérification ne peut être effectuée, mais en utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta, on peut immédiatement conclure que la première paire de nombres n'est pas une paire de racines de l'équation quadratique donnée.

Passons au deuxième cas. Ici, la première condition est remplie. On vérifie la deuxième condition : la valeur résultante est différente de 9/4. Par conséquent, la deuxième paire de nombres n’est pas une paire de racines de l’équation quadratique.

Resté dernier cas. Ici et. Les deux conditions sont remplies, donc ces nombres x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique donnée.

Répondre:

L'inverse du théorème de Vieta peut être utilisée en pratique pour trouver les racines d'une équation quadratique. Habituellement, les racines entières des équations quadratiques données avec des coefficients entiers sont sélectionnées, car dans d'autres cas, cela est assez difficile à faire. Dans ce cas, ils utilisent le fait que si la somme de deux nombres est égale au deuxième coefficient de l'équation quadratique, pris avec un signe moins, et que le produit de ces nombres est égal au terme libre, alors ces nombres sont les racines de cette équation quadratique. Comprenons cela avec un exemple.

Prenons l'équation quadratique x 2 −5 x+6=0. Pour que les nombres x 1 et x 2 soient les racines de cette équation, deux égalités doivent être satisfaites : x 1 + x 2 =5 et x 1 ·x 2 =6. Il ne reste plus qu'à sélectionner de tels numéros. DANS dans ce cas c'est assez simple à faire : ces nombres sont 2 et 3, puisque 2+3=5 et 2·3=6. Ainsi, 2 et 3 sont les racines de cette équation quadratique.

Le théorème inverse du théorème de Vieta est particulièrement pratique à utiliser pour trouver la racine seconde d'une équation quadratique donnée lorsque l'une des racines est déjà connue ou évidente. Dans ce cas, la deuxième racine peut être trouvée à partir de n’importe quelle relation.

Par exemple, prenons l'équation quadratique 512 x 2 −509 x −3=0. Ici, il est facile de voir que l'unité est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients de cette équation quadratique est égale à zéro. Donc x1 =1. La deuxième racine x 2 peut être trouvée, par exemple, à partir de la relation x 1 · x 2 = c/a. Nous avons 1 x 2 =−3/512, d'où x 2 =−3/512. C'est ainsi que nous avons déterminé les deux racines de l'équation quadratique : 1 et −3/512.

Il est clair que la sélection des racines n'est conseillée que dans les cas les plus cas simples. Dans d'autres cas, pour trouver des racines, vous pouvez utiliser des formules pour les racines d'une équation quadratique via un discriminant.

Une autre application pratique de l'inverse du théorème de Vieta consiste à construire des équations quadratiques étant donné les racines x 1 et x 2 . Pour ce faire, il suffit de calculer la somme des racines, qui donne le coefficient pour x de signe opposé de l'équation quadratique donnée, et le produit des racines, qui donne membre gratuit.

Exemple.

Écrivez une équation quadratique dont les racines sont les nombres −11 et 23.

Solution.

Notons x 1 =−11 et x 2 =23. On calcule la somme et le produit de ces nombres : x 1 +x 2 =12 et x 1 ·x 2 =−253. Ainsi, numéros spécifiés sont les racines de l'équation quadratique réduite avec un deuxième coefficient de −12 et un terme libre de −253. Autrement dit, x 2 −12·x−253=0 est l'équation requise.

Répondre:

x 2 −12·x−253=0 .

Le théorème de Vieta est très souvent utilisé pour résoudre des problèmes liés aux signes des racines des équations quadratiques. Quel est le lien entre le théorème de Vieta et les signes des racines de l’équation quadratique réduite x 2 +p·x+q=0 ? Voici deux déclarations pertinentes :

• Si le terme libre q est nombre positif et si une équation quadratique a des racines réelles, alors soit elles sont toutes deux positives, soit toutes deux négatives.
• Si le terme libre q est un nombre négatif et si l'équation quadratique a des racines réelles, alors leurs signes sont différents, c'est-à-dire qu'une racine est positive et l'autre est négative.

Ces affirmations découlent de la formule x 1 · x 2 =q, ainsi que des règles de multiplication des nombres positifs, négatifs et des nombres de signes différents. Regardons des exemples de leur application.

Exemple.

R c'est positif. En utilisant la formule discriminante on trouve D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, la valeur de l'expression r 2 +8 est positif pour tout réel r, donc D>0 pour tout réel r. Par conséquent, l’équation quadratique originale a deux racines pour tout de vraies valeurs paramètre r.

Voyons maintenant quand les racines ont différents signes. Si les signes des racines sont différents, alors leur produit est négatif, et selon le théorème de Vieta, le produit des racines de l'équation quadratique réduite est égal au terme libre. Par conséquent, nous nous intéressons aux valeurs de r pour lesquelles le terme libre r−1 est négatif. Ainsi, pour trouver les valeurs de r qui nous intéressent, il faut décider inégalité linéaire r−1<0 , откуда находим r<1 .

Répondre:

à r<1 .

Formules Vieta

Ci-dessus, nous avons parlé du théorème de Vieta pour une équation quadratique et analysé les relations qu’il affirme. Mais il existe des formules reliant les racines réelles et les coefficients non seulement des équations quadratiques, mais aussi des équations cubiques, des équations du quatrième degré et, en général, équations algébriques diplôme n.m. Ils sont appelés Les formules de Vieta.

Écrivons la formule de Vieta pour une équation algébrique de degré n de la forme, et nous supposerons qu'elle a n racines réelles x 1, x 2, ..., x n (parmi elles il peut y en avoir des coïncidentes) :

Les formules de Vieta peuvent être obtenues théorème sur la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires, ainsi que la définition de polynômes égaux par l'égalité de tous leurs coefficients correspondants. Ainsi, le polynôme et son développement en facteurs linéaires de la forme sont égaux. En ouvrant les parenthèses dans le dernier produit et en égalisant les coefficients correspondants, on obtient les formules de Vieta.

En particulier, pour n=2, nous avons les formules Vieta déjà familières pour une équation quadratique.

Pour une équation cubique, les formules de Vieta ont la forme

Il ne reste plus qu’à noter que sur le côté gauche des formules de Vieta se trouvent les formules dites élémentaires polynômes symétriques.

Références.

• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : je vais. - ISBN978-5-09-022771-1.

François Viet est né en 1540 en France à Fontenay-le-Comte. Avocat de formation. Il était très impliqué dans le domaine du droit et, de 1571 à 1584, il fut conseiller des rois George III et George IV. Mais il consacrait tout son temps libre, tous ses loisirs aux mathématiques et à l'astronomie. Il commença à travailler de manière particulièrement intensive dans le domaine des mathématiques en 1584 après avoir été démis de ses fonctions à la cour royale. Viet a étudié en détail les travaux des mathématiciens anciens et contemporains.

François Viète a essentiellement créé une nouvelle algèbre. Il y a introduit le symbolisme alphabétique. Ses principales idées sont présentées dans l'ouvrage « Introduction à l'art analytique ». Il a écrit : « Tous les mathématiciens savaient que des trésors incomparables se cachaient sous leur algèbre et leur almucabala, mais ils ne savaient pas comment les trouver : les problèmes qu'ils considéraient comme les plus difficiles sont tout à fait facilement résolus avec l'aide de notre art.

En effet, nous savons tous à quel point il est facile de résoudre, par exemple, des équations quadratiques. Il existe des formules toutes faites pour les résoudre. Avant F. Vieta, la solution de chaque équation quadratique s'effectuait selon ses propres règles sous forme d'argumentations et de descriptions verbales très longues, des actions plutôt lourdes. Ils ne pouvaient même pas écrire l’équation elle-même sous sa forme moderne. Cela nécessitait également une description verbale assez longue et complexe. Il a fallu des années pour maîtriser les techniques de résolution d'équations. Il n'existait pas de règles générales similaires aux règles modernes, encore moins de formules pour résoudre les équations. Les coefficients constants n'étaient pas indiqués par des lettres. Seules les expressions comportant des coefficients numériques spécifiques ont été prises en compte.

Le Viet a introduit les symboles de lettres dans l'algèbre. Après l'innovation de Vieta, il est devenu possible d'écrire des règles sous forme de formules. Certes, le Viet désignait toujours les exposants avec des mots, ce qui créait certaines difficultés pour résoudre certains problèmes. A l'époque de Vieta, l'offre de numéros était encore limitée. François Viète a exposé de manière très détaillée dans ses travaux la théorie de la résolution des équations du premier au quatrième degré.

Le grand mérite de Vieta fut la découverte de la relation entre les racines et les coefficients des équations de la forme réduite d'un degré naturel arbitraire. On connaît bien le célèbre théorème de Vieta pour une équation quadratique réduite : « la somme des racines d'une équation quadratique de forme réduite est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines de cette équation est égal au terme gratuit. Ce théorème vous permet de vérifier verbalement l'exactitude de la résolution des équations quadratiques et, dans les cas les plus simples, de trouver les racines des équations.

A noter également que Viète a donné la première représentation analytique (à l'aide d'une formule) du nombre π en Europe.

Viet mourut à l'âge de 63 ans en 1603.

Théorème de Vieta.

Somme des racines trinôme quadratique x2 + px + q est égal à son deuxième coefficient p de signe opposé, et le produit est égal au terme libre q.

Preuve.

Soient x1 et x2 des racines différentes du trinôme quadratique x2 + px + q. Le théorème de Vieta stipule que les relations suivantes sont vérifiées : x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Pour le prouver, remplaçons chacune des racines dans l’expression du trinôme quadratique. On obtient deux égalités numériques correctes : x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Soustrayons ces égalités les unes des autres. On obtient x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Développons la différence des carrés et déplaçons en même temps le deuxième terme vers la droite :

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Puisque par condition les racines x1 et x2 sont différentes, alors x1 – x2 ≠ 0 et on peut diviser l’égalité par x1 – x2. On obtient la première égalité du théorème : x1 + x2 = –p

Pour prouver la seconde, substituons dans l’une des égalités écrites ci-dessus (par exemple la première) au lieu du coefficient p, un nombre égal – (x1 + x2) : x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

En transformant le côté gauche, nous obtenons : x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, ce qui devait être prouvé.

Dans le cas d'une équation quadratique non réduite ax2 + bx + c = 0 : x1+x2 = x1x2 =

Théorème inverse du théorème de Vieta.

Si les égalités x1+x2 = et x1x2 = sont satisfaites, alors les nombres x1 et x2 sont les racines de l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0.

Preuve.

De l'égalité x1+x2 = et x1x2 = il résulte que x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Mais x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) et donc x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Il s'ensuit que x1 et x2 sont les racines de l'équation x2 + x + = 0, et donc les équations ax2 + bx + c = 0.

Application du théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta est utilisé en 8e année pour trouver les racines des équations quadratiques. Vous pouvez élargir le champ d'utilisation de ce théorème, par exemple, pour résoudre des systèmes d'équations de la 9e à la 11e année et résoudre des problèmes liés à l'étude des équations quadratiques et de leurs racines. Cela réduit le temps et simplifie la résolution du système.

Résolvez le système d'équations :

Si nous supposons que les racines x et y d'une équation quadratique dont la somme des racines est égale à 5 et que leur produit est égal à 6, alors nous obtenons un ensemble de deux systèmes

Réponse : (2 ;3), (3 ;2).

Les étudiants maîtrisent rapidement cette méthode de résolution et l'utilisent avec plaisir. Ensuite, vous pouvez compliquer les systèmes et utiliser cette technique lors de l'étude de divers sujets en 10e et 11e années.

Résolvez le système d'équations :

Sous la condition x > 0 y > 0 on obtient

Soit et les racines d'une équation quadratique réduite, alors ce système est équivalent à un ensemble de deux systèmes

Le deuxième système de population n’a pas de solution ; la solution du premier est la paire x=9,y=4.

Réponse : (9 ;4).

Vous trouverez ci-dessous des systèmes d'équations qui peuvent être résolus à l'aide du théorème de Vieta.

Réponse : (65 ; 3), (5 ; 63).

Réponse : (23 ; 11), (7 ; 27).

Réponse : (4 ; 729), (81 ; 4096).

Réponse : (2 ; 2).

5. x + y =12 Réponse : (8;4),(4;8).

Réponse : (9 ; 4), (4 ; 9).

Des systèmes d'équations similaires peuvent être compilés par l'enseignant lui-même ou les étudiants peuvent y être impliqués, ce qui contribue au développement de l'intérêt pour le sujet.

Tâches de solution orale.

Sans résoudre d'équations quadratiques, trouvez leurs racines.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Réponse : 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Réponse : -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Réponse : -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Réponse : -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Réponse : 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Réponse : -2,5 ;-1.

Considérons les problèmes dans lesquels le théorème de Vieta est utilisé.

Sans résoudre l'équation 9x²+18x-8=0, trouvez x1³+x2³, où x1,x2 sont ses racines.

9x²+18x-8=0 │:9x²+2x-=0

1) Le discriminant est supérieur à zéro, D>0, ce qui signifie que x1, x2 sont de vraies racines.

D’après le théorème de Vieta, il s’ensuit que : x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) Transformez l'expression x1³+x2³ : x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Remplaçons les valeurs que nous connaissons dans la formule résultante et obtenons la réponse :

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

A quelle valeur de k dans l'équation 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Selon le théorème de Vieta : x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), nous avons obtenu un système de deux équations et substitué 2x1 au lieu de x2.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3x1=k-

Comparons les équations résultantes :

Résolvons l'équation quadratique et trouvons k :

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Réponse : avec k1=-1 et k2=2.

Soit x1;x2 les racines de l'équation quadratique x²+13x-17=0. Composez une équation dont les racines seraient les nombres 2-x1 et 2-x2.

Considérons l'équation x²+13x-17=0.

1) Discriminant D>0, ce qui signifie que x1 ; x2 sont de vraies racines.

D'après le théorème de Vieta : x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Remplacez les nombres 2-x2 et 2-x2 dans ce système.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Par conséquent, en appliquant le théorème de Vieta, l'équation souhaitée est x²-17x+13=0.

Réponse : x²-17x+13=0.

Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x2>x1,x1>0,x2

Puisque x2 x1, il s’ensuit que b>0,c

Réponse : b>0,с

6) Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x1 0,x2>0.

D'après le théorème de Vieta : x1+x2=-b x1∙x2=c

Puisque x1>0, x2>0 et x2>x1, il s'ensuit que b 0.

Tâches pour décision indépendante.

1) Sans résoudre l'équation 2x²-3x-11=0, trouvez +, où x1;x2 sont ses racines.

2) Trouvez la valeur de l'expression +, où x1;x2 sont les racines du trinôme x²-18x+11=0.

3) Soit x1;x2 les racines de l'équation quadratique x²-7x-46=0.

Écrire une équation quadratique dont les racines sont des nombres

2x1 +x2 et 2x2 +x1.

Réponse : 9x2-21x-481=0

4) A quelle valeur entière de k se trouve l'une des racines de l'équation

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 trois fois moins que la seconde ?

Réponse : k=2.

5) Étant donné une équation quadratique ax2+bx+c=0, quels sont les signes de b et c si x1 0.

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"Moyenne lycée N° 64" Briansk

Conférence scientifique et pratique de la ville

"Premiers pas dans la science"

Scientifique travaux de recherche

"Théorème de Viete pour les équations du troisième et du quatrième degré"

Mathématiques

Complété par : élève de 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Responsable scientifique :

professeur de mathématiques,

Candidat de Physique et Mathématiques sciences

Bykov Sergueï Valentinovitch

Briansk 2012

Introduction………………………………………………………………………………… 3

Buts et objectifs ……………………………………………………… 4

Bref contexte historique ………………………………………… 4

Équation quadratique…………………………………………………. 5

Équation cubique……………………………………………………………. 6

Équation du quatrième degré ………………………………………… 7

Partie pratique………………………………………………………. 9

Références…………………………………………………… 12

Annexe …………………………………………………………… 13

Introduction

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule qu'un corps est algébriquement fermé, en d'autres termes, qu'il existe exactement n équations de degré n avec des coefficients complexes (en général) sur le corps. racines complexes. Les équations du troisième degré sont résolues par la formule de Cordano. Équations du quatrième degré utilisant la méthode Ferrari. Outre le fait qu’il a été prouvé en théorie algébrique que si est la racine de l’équation, alors est aussi la racine de cette équation. Pour une équation cubique, les cas suivants sont possibles :

les trois racines sont réelles ;

deux racines sont complexes, l’une est réelle.

Il s’ensuit que toute équation cubique possède au moins une racine réelle.

Pour une équation du quatrième degré :

Les quatre racines sont différentes.

Deux racines sont réelles, deux sont complexes.

Les quatre racines sont complexes.

Ce travail est consacré à une étude approfondie du théorème de Vieta : sa formulation, sa preuve, ainsi que la résolution de problèmes utilisant ce théorème.

Le travail effectué vise à aider les élèves de 11e qui sont sur le point de réussir l'examen d'État unifié, ainsi que pour les jeunes mathématiciens qui ne sont pas indifférents aux choses plus simples et méthodes efficaces des solutions dans divers domaines mathématiques.

L'annexe à ce travail fournit un ensemble de problèmes permettant de résoudre et de consolider de manière indépendante le nouveau matériel que j'ai étudié.

Cette question ne peut être ignorée, car elle est importante pour les mathématiques, tant pour la science en général que pour les étudiants et ceux qui souhaitent résoudre de tels problèmes.

Buts et objectifs du travail:

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Considérez l’application de ces questions à la résolution de problèmes pratiques.

• Assurez-vous que l’application de ce théorème est pratique.

Approfondir connaissances mathématiques dans le domaine de la résolution d'équations.

Développer un intérêt pour les mathématiques.

Bref contexte historique

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Sur les propriétés des racines THÉORÈME DE VIETTE...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - mathématicien français. Avocat de profession. En 1591, il introduisit les désignations de lettres non seulement pour les quantités inconnues, mais aussi pour les coefficients d'équations ; grâce à cela, il est devenu possible pour la première fois d'exprimer les propriétés des équations et de leurs racines par des formules générales. Il était chargé d'établir une méthode uniforme pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés. Parmi les découvertes, Viète lui-même a particulièrement apprécié l'établissement de la relation entre les racines et les coefficients des équations. Pour une solution approximative des équations avec coefficients numériques Vieth a proposé une méthode similaire à la méthode ultérieure de Newton. En trigonométrie, François Viète a donné une solution complète au problème de la détermination de tous les éléments d'un triangle plat ou sphérique à partir de trois données, et a trouvé d'importants développements de cos nx et le péché nx en puissances de cos X et le péché X. Il envisage pour la première fois des œuvres infinies. Les œuvres de Vieta ont été écrites dans un langage difficile et ont donc reçu à leur époque moins de diffusion qu'elles ne le méritaient. .

Équation quadratique

Tout d'abord, rappelons-nous les formules de Vieta pour les équations du deuxième degré, que nous avons apprises dans le programme cours scolaire entraînement.

T
Théorème de Vietapour l'équation quadratique (8e année)

E
si et sont les racines d'une équation quadratique alors

c'est-à-dire que la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Rappelez-vous également le théorème, inverse du théorème de Vieta:

Si les chiffres - p Et q sont tels que

alors et sont les racines de l'équation

Le théorème de Vieta est remarquable en ce sens que, sans connaître les racines du trinôme carré, nous pouvons facilement calculer leur somme et leur produit, c'est-à-dire les expressions symétriques les plus simples.

Le théorème de Vieta permet de deviner les racines entières d'un trinôme carré.

Équation cubique

Passons maintenant directement à la formulation et à la solution de l'équation cubique à l'aide du théorème de Vieta.

Formulation

À
L'équation omniprésente est une équation du troisième ordre de la forme

Où une ≠ 0.

Si une = 1, alors l'équation est appelée équation cubique réduite :

Il faut donc prouver que pour l’équation

le théorème suivant est vrai :

n
faire pousser des racines équation donnée, Alors

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons maintenant le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

F
formulation

E
si les chiffres sont tels que

Équation du quatrième degré

Passons maintenant à l'établissement et à la résolution d'une équation du quatrième degré en utilisant le théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

U
équation du quatrième degré - une équation de la forme

G
de une ≠ 0.

E
si une = 1, alors l'équation est dite réduite

ET
alors, prouvons que pour l'équation

Avec
le théorème suivant est vrai : soit les racines de l'équation donnée, alors

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Nous savons que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

Si les chiffres sont tels que

alors ces nombres sont les racines de l'équation

Partie pratique

Examinons maintenant les solutions aux problèmes utilisant les théorèmes de Vieta pour les équations du troisième et du quatrième degré.

Tâche n°1

Réponse : 4, -4.

Tâche n°2

Réponse : 16, 24.

Pour résoudre ces équations, nous pouvons utiliser respectivement les formules de Cardano et la méthode de Ferrari, mais en utilisant le théorème de Vieta, nous connaissons la somme et le produit des racines de ces équations.

Tâche n°3

Créez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est 6, le produit apparié des racines est 3 et le produit est -4.

Faisons une équation, on obtient

Tâche n°4

Écrivez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est égale à 8 , le produit paire des racines est égal à 4 , le triple du produit est égal à 12 , et le produit 20 .

Solution : en utilisant la formule de Vieta, on obtient

Faisons une équation, on obtient

En utilisant le théorème de Vieta, nous avons facilement composé des équations en utilisant leurs racines. C'est le plus manière rationnelle résoudre ces problèmes.

Problème n°5

où a, b, c sont les formules de Heron.

Ouvrons les parenthèses et transformons l'expression, on obtient

Z
Notez que l’expression radicale est expression cubique. Utilisons le théorème de Vieta pour l’équation cubique correspondante, alors nous avons ça

Z

Sachant qu'on obtient :

De la solution à ce problème, il est clair que le théorème de Vieta est applicable aux problèmes de différents domaines mathématiques.

Conclusion

Dans cet article, une méthode de résolution d’équations des troisième et quatrième degrés à l’aide du théorème de Vieta a été étudiée. Les formules dérivées de l'ouvrage sont faciles à utiliser. Au cours de l'étude, il est devenu évident que dans certains cas, cette méthode est plus efficace que la formule de Cordano et la méthode de Ferrari pour les équations du troisième et du quatrième degrés, respectivement.

Le théorème de Vieta a été appliqué dans la pratique. Un certain nombre de problèmes ont été résolus, ce qui a permis de mieux consolider le nouveau matériel.

Cette étude a été très intéressante et pédagogique pour moi. Ayant approfondi mes connaissances en mathématiques, j'ai découvert beaucoup de choses intéressantes et j'ai apprécié cette recherche.

Mais mes recherches dans le domaine de la résolution d’équations ne sont pas terminées. À l'avenir, je prévois d'étudier la solution d'une équation du nième degré en utilisant le théorème de Vieta.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon superviseur scientifique, candidat aux sciences physiques et mathématiques, et la possibilité d'un tel recherche inhabituelle et une attention constante au travail.

Références

Vinogradov I.M. Encyclopédie mathématique. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Tâches pour mathématiques élémentaires, Fizmatlit, 1980.