Juste quelque chose de compliqué : les nombres complexes. Dans le cours de mathématiques du secondaire

POSSIBILITÉ D'UTILISER DES NOMBRES COMPLEXES

AU COURS DE MATHÉMATIQUES À L'ÉCOLE D'ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL

Responsable scientifique :

Établissement d'enseignement municipal

École secondaire Pervomaïskaïa

Avec. bourgade de Kichmengski

St. Zaretchnaya 38

Le travail présenté est consacré à l'étude des nombres complexes. Pertinence: la résolution de nombreux problèmes de physique et de technologie conduit à des équations quadratiques avec discriminant négatif. Ces équations n'ont pas de solution dans le domaine des nombres réels. Mais la solution de beaucoup de ces problèmes a une signification physique très précise.

Signification pratique :nombres complexes et les fonctions de variables complexes sont utilisées dans de nombreuses questions scientifiques et technologiques et peuvent être utilisées à l'école pour résoudre des équations quadratiques.

Zone d'objet: mathématiques. Objet de recherche: concepts algébriques et des actes. Sujet de recherche– les nombres complexes. Problème: les nombres complexes ne sont pas enseignés dans les cours de mathématiques lycée, bien qu'ils puissent être utilisés pour résoudre des équations quadratiques. La possibilité d'introduire des nombres complexes dans Travaux d'examen d'État unifiéà l'avenir. Hypothèse: Vous pouvez utiliser des nombres complexes pour résoudre des équations quadratiques au secondaire. Cible:étudier la possibilité d'utiliser des nombres complexes lors de l'étude des mathématiques en 10e année d'un lycée. Tâches : 1. Étudiez la théorie des nombres complexes. 2. Envisagez la possibilité d'utiliser des nombres complexes dans un cours de mathématiques de 10e année. 3. Développer et tester des tâches avec des nombres complexes.

Pour résoudre équations algébriques Il n’y a pas assez de chiffres réels. Par conséquent, il est naturel de s’efforcer de rendre ces équations résolubles, ce qui conduit à son tour à une expansion du concept de nombre..gif" width="10" height="65 src=">

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il vous suffit d'accepter d'agir sur de telles expressions selon les règles de l'algèbre ordinaire et de supposer que

En 1572, fut publié un livre de l'algébriste italien R. Bombelli, dans lequel furent établies les premières règles d'opérations arithmétiques sur de tels nombres, jusqu'à l'extraction des racines cubiques d'eux. Le nom de « nombres imaginaires » a été introduit en 1637. mathématicien français et le philosophe R. Descartes, et en 1777 l'un des plus grands mathématiciens du VIIIe siècle X..gif" width="58" height="19"> comme exemple de l'utilisation des nombres complexes dans l'étude des mathématiques en la 10e année. Par conséquent, le nombre x, dont le carré est –1, est appelé l'unité imaginaire et est noté i. Ainsi, ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width. ="100" height="27 src=" >8e année" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">8e année en algèbre.- M. : Éducation, 1994.-P.134- 139.

2. Dictionnaire encyclopédique jeune mathématicien / Comp. E-68. - M. : Pédagogie, 19с

• Nous nous baserons sur des connexions, pas sur des formules mécaniques.
• Considérons les nombres complexes comme un complément à notre système numérique, au même titre que les nombres nuls, fractionnaires ou négatifs.
• Nous visualisons les idées sous forme graphique pour mieux comprendre l'essence, et ne nous contentons pas de les présenter sous forme de texte sec.

Et le nôtre arme secrète: apprentissage par analogie. Nous aborderons les nombres complexes en commençant par leurs ancêtres, les nombres négatifs. Voici un petit guide pour vous :

Pour l’instant, ce tableau n’a guère de sens, mais qu’il soit là. À la fin de l’article, tout se mettra en place.

Comprenons vraiment ce que sont les nombres négatifs

Les nombres négatifs ne sont pas si simples. Imaginez que vous êtes un mathématicien européen du XVIIIe siècle. Vous avez 3 et 4, et vous pouvez écrire 4 – 3 = 1. C'est simple.

Mais que vaut 3 – 4 ? Qu’est-ce que cela signifie exactement ? Comment peut-on retirer 4 vaches de 3 ? Comment peut-on avoir moins que rien ?

Les nombres négatifs étaient considérés comme un non-sens total, quelque chose qui « jetait une ombre sur toute la théorie des équations » (Francis Maceres, 1759). Aujourd'hui, ce serait un non-sens complet considérez les nombres négatifs comme quelque chose d’illogique et d’inutile. Demandez à votre professeur si les nombres négatifs violent les mathématiques de base.

Ce qui s'est passé? Nous avons inventé un nombre théorique doté de propriétés utiles. Les nombres négatifs ne peuvent pas être touchés ou ressentis, mais ils décrivent bien certaines relations (comme la dette, par exemple). C'est une idée très utile.

Au lieu de dire « Je vous dois 30 » et de lire les mots pour voir si je suis dans le noir ou dans le noir, je peux simplement écrire « -30 » et savoir ce que cela signifie. Si je gagne de l'argent et rembourse mes dettes (-30 + 100 = 70), je peux facilement écrire cette transaction en quelques caractères. Il me restera +70.

Les signes plus et moins capturent automatiquement la direction – vous n'avez pas besoin d'une phrase entière pour décrire les changements après chaque transaction. Les mathématiques sont devenues plus simples, plus élégantes. Il n'est plus important que les nombres négatifs soient « tangibles » : ils ont propriétés bénéfiques, et nous les avons utilisés jusqu'à ce qu'ils s'installent solidement dans notre vie quotidienne. Si quelqu'un que vous connaissez n'a pas encore compris l'essence des nombres négatifs, vous allez maintenant l'aider.

Mais ne minimisons pas la souffrance humaine : les nombres négatifs ont été un véritable changement de conscience. Même Euler, le génie qui a découvert le nombre e et bien plus encore, ne comprenait pas les nombres négatifs aussi bien que nous le faisons aujourd'hui. Ils étaient considérés comme des résultats de calculs « dénués de sens ».

Il est étrange de s’attendre à ce que les enfants comprennent sereinement des idées qui confondaient autrefois même les meilleurs mathématiciens.

Saisir des nombres imaginaires

C'est la même histoire avec les nombres imaginaires. Nous pouvons résoudre des équations comme celle-ci à longueur de journée :

Les réponses seront 3 et -3. Mais imaginons qu’un gars intelligent ajoute un moins ici :

Eh bien, eh bien. C’est le genre de question qui fait grincer des dents les gens lorsqu’ils la voient pour la première fois. Voulez-vous calculer la racine carrée d’un nombre inférieur à zéro ? C'est impensable ! (Historiquement, il y avait vraiment questions similaires, mais c'est plus pratique pour moi d'imaginer un malin sans visage, pour ne pas embarrasser les scientifiques du passé).

Cela a l'air fou, tout comme les nombres négatifs, zéro et nombres irrationnels(numéros non répétitifs). Il n’y a pas de « vrai » sens à cette question, n’est-ce pas ?

Non, ce n'est pas vrai. Les soi-disant « nombres imaginaires » sont aussi normaux que les autres (ou tout aussi anormaux) : ils sont un outil de description du monde. Dans le même esprit que nous imaginons que -1, 0,3 et 0 "existent", supposons qu'il existe un nombre i, où :

En d’autres termes, vous multipliez i par lui-même pour obtenir -1. Que se passe-t-il maintenant ?

Eh bien, au début, nous avons certainement mal à la tête. Mais en jouant au jeu « Faisons comme si j'existais », nous rendons les mathématiques plus simples et plus élégantes. De nouvelles connexions apparaissent que nous pouvons facilement décrire.

Vous ne croirez pas en i, tout comme ces vieux mathématiciens grincheux ne croyaient pas à l'existence de -1. Tous les nouveaux concepts qui tordent le cerveau en tube sont difficiles à percevoir, et leur sens n'apparaît pas immédiatement, même pour le brillant Euler. Mais comme nous l’ont montré les nombres négatifs, de nouvelles idées étranges peuvent être extrêmement utiles.

Je n'aime pas le terme "nombres imaginaires" lui-même - j'ai l'impression qu'il a été choisi spécifiquement pour offenser les sentiments de i. Le nombre i est aussi normal que les autres, mais le surnom « imaginaire » lui est resté, nous l'utiliserons donc également.

Compréhension visuelle des nombres négatifs et complexes

L'équation x^2 = 9 signifie en fait ceci :

Quelle transformation de x, appliquée deux fois, transforme 1 en 9 ?

Il y a deux réponses : "x = 3" et "x = -3". Autrement dit, vous pouvez « redimensionner par » 3 fois ou « redimensionner par 3 et inverser » (inverser ou prendre l'inverse du résultat sont toutes des interprétations de la multiplication par moins un).

Pensons maintenant à l'équation x^2 = -1, qui peut s'écrire ainsi :

Quelle transformation de x, appliquée deux fois, transforme 1 en -1 ? Hum.

• Nous ne pouvons pas multiplier deux fois nombre positif car le résultat sera positif.
• On ne peut pas multiplier deux fois un nombre négatif car le résultat sera à nouveau positif.

Et... la rotation ! Cela semble inhabituel, bien sûr, mais que se passe-t-il si nous considérons x comme une « rotation de 90 degrés », alors en appliquant x deux fois, nous effectuerons une rotation de 180 degrés de axe de coordonnées, et 1 se transformera en -1 !

Ouah! Et si on y réfléchit un peu plus, on peut faire deux révolutions en direction opposée, et passe également de 1 à -1. Il s'agit d'une rotation ou multiplication "négative" par -i :

Si nous multiplions par -i deux fois, alors à la première multiplication nous obtenons -i à partir de 1 et à la seconde -1 à partir de -i. Il y en a donc en réalité deux racines carrées-1 : i et -i.

C'est plutôt cool ! Nous avons quelque chose comme une solution, mais qu’est-ce que cela signifie ?

• i est la "nouvelle dimension imaginaire" pour mesurer le nombre
• i (ou -i) est ce que les nombres "deviennent" lorsqu'ils sont pivotés
• Multiplier par i fait tourner de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
• Multiplier par -i correspond à une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre.
• Rotation deux fois dans un sens ou dans l'autre donne -1 : cela nous ramène à la dimension « normale » des nombres positifs et négatifs (l'axe des x).

Tous les nombres sont en 2 dimensions. Oui, c’est difficile à accepter, mais cela aurait été tout aussi difficile à accepter pour les anciens Romains. décimales ou division longue. (Comment se fait-il qu'il y ait plus de nombres entre 1 et 2 ?). Ça a l'air bizarre comme n'importe qui nouvelle façon penser en mathématiques.

Nous avons demandé "Comment transformer 1 en -1 en deux actions ?" et j'ai trouvé la réponse : faites pivoter 1 de 90 degrés deux fois. Une façon assez étrange et nouvelle de penser les mathématiques. Mais très utile. (Au fait, ceci interprétation géométrique les nombres complexes sont apparus seulement des décennies après la découverte du nombre i).

N'oubliez pas non plus que faire un tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est résultat positif- c'est une convention purement humaine, et tout aurait pu être complètement différent.

Rechercher des ensembles

Entrons un peu plus dans les détails. Lorsque vous multipliez des nombres négatifs (comme -1), vous obtenez un ensemble :

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Puisque -1 ne change pas la taille du nombre, seulement le signe, vous obtenez le même nombre soit avec un signe « + », soit avec un signe « - ». Pour le nombre x, vous obtenez :

• x, -x, x, -x, x, -x…

C'est une idée très utile. Le chiffre « x » peut représenter de bonnes et de mauvaises semaines. Imaginons que bonne semaine remplace le mauvais ; C'est une bonne semaine ; À quoi ressemblera la 47ème semaine ?

X signifie que ça va être une mauvaise semaine. Voyez comment les nombres négatifs "suivent le signe" - nous pouvons simplement saisir (-1) ^ 47 dans la calculatrice au lieu de compter ("Semaine 1 bonne, semaine 2 mauvaise... semaine 3 bonne..."). Les choses qui alternent constamment peuvent être parfaitement modélisées à l’aide de nombres négatifs.

D'accord, que se passe-t-il si nous continuons à multiplier par i ?

Très drôle, simplifions un peu :

Voici la même chose présentée graphiquement :

Nous répétons le cycle tous les 4 tours. Cela a vraiment du sens, non ? N’importe quel enfant vous dira que 4 virages à gauche équivaut à ne pas tourner du tout. Maintenant, faites une pause dans les nombres imaginaires (i, i^2) et regardez l'ensemble total :

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Exactement comment les nombres négatifs sont modélisés image miroir nombres, les nombres imaginaires peuvent modéliser tout ce qui tourne entre deux dimensions "X" et "Y". Ou tout ce qui a une dépendance cyclique et circulaire – avez-vous quelque chose en tête ?

Comprendre les nombres complexes

Il reste encore un détail à considérer : un nombre peut-il être à la fois « réel » et « imaginaire » ?

N'en doutez même pas. Qui a dit qu’il fallait tourner exactement à 90 degrés ? Si nous mettons un pied sur la dimension « réelle » et l’autre sur la dimension « imaginaire », cela ressemblera à ceci :

Nous sommes à la barre des 45 degrés, où les parties réelles et imaginaires sont les mêmes, et le nombre lui-même est « 1 + i ». C'est comme un hot-dog, où il y a à la fois du ketchup et de la moutarde. Qui a dit qu'il fallait choisir l'un ou l'autre ?

Fondamentalement, nous pouvons choisir n’importe quelle combinaison de parties réelles et imaginaires et en faire un triangle. L'angle devient « l'angle de rotation ». Un nombre complexe est un nom sophistiqué pour les nombres qui ont une partie réelle et une partie imaginaire. Ils s'écrivent « a + bi », où :

• a - partie réelle
• b - partie imaginaire

Pas mal. Mais une dernière question demeure : quelle est la « taille » d’un nombre complexe ? Nous ne pouvons pas mesurer séparément la partie réelle et la partie imaginaire, car nous passerions à côté d’une vue d’ensemble.

Prenons du recul. La taille d'un nombre négatif est la distance à zéro :

C'est une autre façon de trouver valeur absolue. Mais comment mesurer les deux composantes à 90 degrés pour des nombres complexes ?

Est-ce un oiseau dans le ciel... ou un avion... Pythagore vient à votre secours !

Ce théorème apparaît chaque fois que cela est possible, même dans les nombres inventés 2000 ans après le théorème lui-même. Oui, nous faisons un triangle, et son hypoténuse sera égale à la distance de zéro :

Bien que mesurer un nombre complexe ne soit pas aussi simple que « simplement omettre le signe - », les nombres complexes ont des applications utiles. Examinons quelques-uns d'entre eux.

Exemple réel : les rotations

Nous n’attendrons pas l’université de physique pour pratiquer les nombres complexes. Nous ferons cela aujourd'hui. On peut dire beaucoup de choses sur la multiplication de nombres complexes, mais pour l'instant, vous devez comprendre l'essentiel :

• Multiplier par un nombre complexe tourne de son angle

Voyons comment cela fonctionne. Imaginez que je suis sur un bateau, me déplaçant sur une trajectoire de 3 unités vers l'Est toutes les 4 unités vers le Nord. Je veux changer de cap de 45 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Quel sera mon nouveau cursus ?

Quelqu'un pourrait dire : « C'est facile ! Calculez le sinus, le cosinus, recherchez sur Google la valeur de la tangente... et puis..." Je crois que j'ai cassé ma calculatrice...

Prenons un itinéraire plus simple : nous sommes sur une trajectoire de 3 + 4i (peu importe l'angle, on s'en fiche pour l'instant) et nous voulons tourner à 45 degrés. Eh bien, 45 degrés équivaut à 1 + i (diagonale idéale). Nous pouvons donc multiplier notre tarif par ce nombre !

Voici l'essentiel :

• Cap initial : 3 unités Est, 4 unités Nord = 3 + 4i
• Rotation de 45 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre = multiplier par 1 + i

En multipliant, nous obtenons :

Notre nouvelle ligne directrice est de 1 unité à l'Ouest (-1 à l'Est) et de 7 unités au Nord, vous pouvez tracer les coordonnées sur le graphique et les suivre.

Mais! Nous avons trouvé la réponse en 10 secondes, sans sinus ni cosinus. Il n’y avait ni vecteurs, ni matrices, ni suivi du quadrant dans lequel nous nous trouvions. C'était de l'arithmétique simple et un peu d'algèbre pour résoudre l'équation. Les nombres imaginaires sont parfaits pour la rotation !

De plus, le résultat d’un tel calcul est très utile. Nous avons le cap (-1, 7) au lieu de l'angle (atan(7/-1) = 98,13, et il est immédiatement clair que nous sommes dans le deuxième quadrant. Comment, exactement, aviez-vous prévu de dessiner et de suivre l'angle indiqué ? Vous utilisez un rapporteur à portée de main ?

Non, vous convertiriez l'angle en cosinus et sinus (-0,14 et 0,99), trouveriez le rapport approximatif entre eux (environ 1 à 7) et dessineriez un triangle. Et ici, les nombres complexes gagnent sans aucun doute - avec précision, rapidité comme l'éclair et sans calculatrice !

Si vous êtes comme moi, vous trouverez cette découverte époustouflante. Sinon, j'ai bien peur que les mathématiques ne vous passionnent pas du tout. Désolé!

La trigonométrie est une bonne chose, mais les nombres complexes facilitent les calculs (comme trouver cos(a + b)). Ceci n'est qu'une petite annonce ; dans les articles suivants, je vous fournirai le menu complet.

Digression lyrique : certains pensent quelque chose comme ceci : « Hé, ce n'est pas pratique d'avoir un cap Nord/Est au lieu d'un simple angle que le navire peut suivre ! »

Est-ce vrai ? Ok, regarde le tien main droite. Quel est l'angle entre la base de votre petit doigt et le bout ? index? Bonne chance avec votre méthode de calcul.

Ou vous pouvez simplement répondre : « Eh bien, la pointe est de X pouces vers la droite et de Y pouces vers le haut », et vous pouvez faire quelque chose.

Les nombres complexes se rapprochent-ils ?

Nous avons parcouru mes découvertes fondamentales dans le domaine des nombres complexes comme une tornade. Regardez la toute première illustration, elle devrait maintenant devenir plus claire.

Il y a tellement plus à découvrir dans ces beaux et merveilleux numéros, mais mon cerveau est déjà fatigué. Mon objectif était simple :

• Vous convaincre que les nombres complexes étaient seulement considérés comme « fous », mais en fait ils peuvent être très utiles (tout comme les nombres négatifs)
• Montrez comment les nombres complexes peuvent simplifier certains problèmes comme la rotation.

Si je semble trop préoccupé par ce sujet, il y a une raison à cela. Les nombres imaginaires sont les miens depuis des années obsession- Le manque de compréhension m'a irrité.

Mais allumer une bougie vaut mieux que patauger obscurité totale: Ce sont mes pensées, et je suis sûr que le feu s'allumera dans l'esprit de mes lecteurs.

Épilogue : Mais ils sont quand même assez bizarres !

Je sais qu'ils me semblent toujours bizarres aussi. J'essaie de penser comme la première personne qui a découvert la pensée zéro.

Zéro est une idée tellement étrange, « quelque chose » représente « rien », et cela ne peut en aucun cas être compris. Rome antique. C'est la même chose avec les nombres complexes : c'est une nouvelle façon de penser. Mais les nombres nuls et complexes simplifient grandement les mathématiques. Si nous n’avions jamais introduit des choses étranges comme de nouveaux systèmes numériques, nous serions encore en train de tout compter sur nos doigts.

Je répète cette analogie parce qu’il est si facile de commencer à penser que les nombres complexes ne sont « pas normaux ». Soyons ouverts à l'innovation : à l'avenir, les gens se contenteront de plaisanter sur le fait que jusqu'au 21e siècle, quelqu'un ne croyait pas aux nombres complexes.

Partie texte de la publication

Contenu
Introduction……………………………………………………………………..3 Chapitre I. De l'histoire des nombres complexes…………………………… ……………………… ............4 Chapitre II. Fondamentaux de la méthode des nombres complexes……………………………………6 Chapitre III. Géométrie d'un triangle en nombres complexes…………………......12 Chapitre IV. Solution Problèmes liés à l'examen d'État unifié et diverses Olympiades utilisant la méthode des nombres complexes…………………………………………………………………....20 Conclusion…………………………… ……… …………………………………….24 Bibliographie………………………………………………………………..25

Introduction
La grande importance des nombres complexes en mathématiques et dans leurs applications est largement connue. L'algèbre des nombres complexes peut être utilisée avec succès en géométrie élémentaire, en trigonométrie, en théorie des mouvements et des similitudes, ainsi qu'en génie électrique, dans divers domaines mécaniques et problèmes physiques. En planimétrie, la méthode des nombres complexes permet de résoudre des problèmes par calcul direct à l'aide de formules toutes faites. C'est la simplicité de cette méthode, par rapport aux méthodes vectorielles et méthodes de coordonnées, par la méthode des transformations géométriques, nécessitant une grande intelligence et de longues recherches. Depuis plusieurs millénaires, le triangle est un symbole de la géométrie. On peut même dire qu'un triangle est un atome de géométrie. Tout polygone peut être divisé en triangles, et l'étude de ses propriétés se résume à l'étude des propriétés des triangles de ses composants. Voyons comment fonctionne la méthode des nombres complexes pour prouver les propriétés d'un triangle à partir de cours scolaire planimétrie, ainsi que pour résoudre les problèmes C-4 de l'examen d'État unifié. 2

Chapitre I. De l'histoire des nombres complexes,
Pour la première fois, apparemment, des quantités imaginaires ont été mentionnées dans le célèbre ouvrage « Le Grand Art, ou À propos de règles algébriques» Cardano (1545), à l'intérieur décision formelle problème du calcul de deux nombres dont la somme donne 10 et qui, multipliés, donnent 40. Pour ce problème, il a obtenu une équation quadratique pour l'un des termes et a trouvé ses racines : 5 + √ − 15 et 5 − √ − 15. Dans un commentaire sur la solution, il écrit : « ces quantités les plus complexes sont inutiles, bien que très ingénieuses » et « les considérations arithmétiques deviennent de plus en plus insaisissables, atteignant une limite aussi subtile qu’inutile ». La possibilité d'utiliser des quantités imaginaires lors de la résolution d'une équation cubique, dans le cas dit irréductible (lorsque les racines réelles du polynôme sont exprimées par racines cubiques de quantités imaginaires), a été décrit pour la première fois par Bombelli (1572). Il fut le premier à décrire les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division des nombres complexes, mais il les considérait toujours comme une « invention » inutile et astucieuse. Expressions représentables sous la forme a + b √ − 1, apparaissant lors de la résolution de quadratiques et équations cubiques, a commencé à être appelé « imaginaire » en XVIe-XVIIe sièclesà l'instigation de Descartes, qui les appelait ainsi, rejetant leur réalité, et pour de nombreux autres grands scientifiques du XVIIe siècle, la nature et le droit à l'existence des quantités imaginaires semblaient très douteux, tout comme les nombres irrationnels et même valeurs négatives. Malgré cela, les mathématiciens ont appliqué avec audace méthodes formelles les algèbres de quantités réelles et complexes, obtenaient des résultats réels corrects même à partir de quantités complexes intermédiaires, et cela ne pouvait que commencer à inspirer confiance. Pendant longtemps, on ne savait pas si toutes les opérations sur des nombres complexes conduisaient à des résultats complexes ou réels, ou si, par exemple, l'extraction d'une racine pouvait conduire à la découverte d'un autre nouveau type de nombres. Le problème de l'expression des racines de degré n à partir de numéro donné a été résolu dans les travaux de Moivre (1707) et Cotes (1722). Symbole de désignation unité imaginaire proposé par Euler (1777, publ. 1794), qui prit pour cela la première lettre du mot Lat. imaginarius - imaginaire. Il a tout répandu fonctionnalités standards , y compris le logarithme, au domaine complexe. Euler a également exprimé l'idée en 1751 que le domaine des nombres complexes est algébriquement fermé. D’Alembert (1747) arrivait à la même conclusion, mais d’abord preuve stricte
Le modèle arithmétique (standard) des nombres complexes sous forme de paires de nombres réels a été construit par Hamilton (1837) ; cela prouvait la cohérence de leurs propriétés. Bien plus tôt, en 1685, dans son ouvrage « Algebra », Wallis (Angleterre) montrait que racines complexes équation quadratiqueà coefficients réels peut être représenté géométriquement, par des points sur un plan. Mais cela est passé inaperçu. La fois suivante, une interprétation géométrique des nombres complexes et des opérations sur ceux-ci est apparue dans les travaux de Wessel (1799). La représentation géométrique moderne, parfois appelée « diagramme d’Argand », a été utilisée après la publication des travaux de J. R. Argand en 1806 et 1814, qui répétaient indépendamment les conclusions de Wessel. Les termes « module », « argument » et « nombre conjugué » ont été introduits par Cauchy. Ainsi, il a été découvert que les nombres complexes conviennent également pour effectuer des opérations purement algébriques d'addition, de soustraction, de multiplication et de division de vecteurs sur le plan, ce qui a considérablement modifié l'algèbre vectorielle. 4

Chapitre II. Bases de la méthode des nombres complexes
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] Interprétation géométrique des nombres complexes Longueur d'un segment Étant donné un rectangle Système cartésien coordonnées sur le plan, le nombre complexe z = x+iy (i 2 = -1) peut être biunivoque associé au point M du plan de coordonnées x, y (Fig. 1) : z = x + je ↔M (x, y ) ↔M (z) . Le nombre z est alors appelé coordonnée complexe du point M. Puisque l'ensemble des points du plan euclidien est en correspondance bijective avec l'ensemble des nombres complexes, ce plan est aussi appelé plan des nombres complexes. L'origine O du système de coordonnées cartésiennes est appelée le point initial ou zéro du plan des nombres complexes. Quand = 0 le nombre z est réel. Les nombres réels sont représentés par des points sur l'axe des x, c'est pourquoi on les appelle axe réel. À x=0, le nombre z est purement imaginaire : z=iy. Les nombres imaginaires sont représentés par des points sur l'axe des y, c'est pourquoi on les appelle axe imaginaire. Zéro est à la fois un nombre réel et purement imaginaire. La distance entre le début du plan O et le point M(z) est appelée module du nombre complexe z et est notée |z| ou r : | z | = r = | OM | = √ x 2 + y 2 Si φ est l'angle orienté formé par le vecteur ⃗ OM avec l'axe des x, alors par définition de la fonction sinus et cosinus sin φ = y r, cos φ = x r 5
d'où x = r cos φ, y = r sin φ, et donc z = r (cos φ + sin φ). Cette représentation d'un nombre complexe z est appelée son
trigonométrie

échec
formulaire. La représentation originale z=x+iy est appelée
algébrique
forme de ce numéro. Dans la représentation trigonométrique, l'angle  est appelé l'argument d'un nombre complexe et est également noté arg z : φ = arg z Si un nombre complexe z = x + iy est donné, alors le nombre ´ z = x − iy est appelé
conjugué complexe
(ou juste
conjuguer
) à ce nombre z. Alors, évidemment, le nombre z est également conjugué au nombre ´ z. Les points M(z) et M 1 (´ z) sont symétriques par rapport à l'axe des x. De l'égalité z = ´ z, il s'ensuit que y = 0 et vice versa. Cela signifie que
un nombre égal à

à son conjugué est réel et vice versa.
Les points de coordonnées complexes z et -z sont symétriques par rapport au point initial O. Les points de coordonnées complexes z et − ´ z sont symétriques par rapport à l'axe y. De l'égalité z = ´ z il s'ensuit que x = 0 et vice versa. Par conséquent, la condition z =− ´ z est un critère pour un nombre purement imaginaire. Pour tout nombre z, évidemment | z | = | ' z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Somme et produit
deux nombres complexes conjugués sont des nombres réels : z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Un nombre conjugué à une somme, un produit ou un quotient du complexe 6
les nombres sont, respectivement, la somme, le produit ou le quotient de nombres conjugués à des nombres complexes donnés : ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1 : z 2 = ´ z 1 : ´ z 2 Ces égalités peuvent être facilement vérifiées à l'aide de formules pour les opérations sur les nombres complexes. Si a et b - coordonnées complexes points A et B, respectivement, alors le nombre c = a + b est la coordonnée du point C, tel que ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Fig. 3). Un nombre complexe d = a − b correspond à un point D tel que ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . La distance entre les points A et B est | ⃗BA | = | ⃗ DO | =¿ a − b ∨¿ : ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Puisque ¿ z ∨ 2 = z ´ z , alors ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Équation
z ´ z = r 2
définit un cercle de centre

À propos du rayon

r.
La relation AC CB = λ, (λ ≠ − 1) dans laquelle le point C divise ce segment AB, s'exprime à travers les coordonnées complexes de ces points comme suit : λ = c − a b − c, λ = ´ λ, d'où c = a + λb 1 + λ (3) Pour λ = 1, le point C est le milieu du segment AB, et vice versa. Alors : c = 1 2 (a + b) (4) Multiplication de nombres complexes La multiplication de nombres complexes s'effectue selon la formule, C'est-à-dire | un b | = | un || b | , et 7
Parallélisme et perpendiculaire Colinéarité de trois points Soient les points A(a) et B(b) sur le plan des nombres complexes. Les vecteurs ⃗ OA et ⃗ OB sont co-dirigés si et seulement si arg a = arg b, c'est-à-dire quand arg a – arg b=arg a b =0 (lors de la division de nombres complexes, l'argument du diviseur est soustrait de l'argument du dividende).
Il est également évident que ces vecteurs sont dirigés dans des directions opposées si et seulement si arg a - arg b= arg a b = ± π. Les nombres complexes avec les arguments 0, π, - π sont réels.
Critère de colinéarité pour les points O, A, B : Pour que les points A(a) et B(b) soient colinéaires au point initial O, il faut et il suffit que le quotient a b soit nombre réel , c'est-à-dire a b = ´ a ´ b ou a ´ b = ´ a b (6) Prenons maintenant les points A(a), B(b), C(c), D(d). Les vecteurs ⃗ BA et ⃗ DC colley sont non-aires si et seulement si les points définis par complexe nombres a-b
et с-d, sont colinéaires avec le début O. Remarque : 1. D'après (6) nous avons : ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c − d) ; (8) 2. Si les points A, B, C, D appartiennent au cercle unité z ´ z = 1, alors ´ a = 1 a ; ´ b = 1 b ; ´ c = 1 c ; ´ d = 1 d et donc la condition (8) prend la forme : ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. La colinéarité des points A, B, C est caractérisée par la colinéarité des vecteurs ⃗AB et ⃗AC. En utilisant (8), on obtient : (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) C'est le critère pour que les points A, B, C appartiennent à la même ligne droite. Il peut être représenté sous la forme symétrique a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8 Si les points A et B appartiennent au cercle unité z ´ z = 1, alors ´ a = 1 a ; ´ b = 1 b et donc chacune des relations (10) et (11) est transformée (après réduction par (a-b) en la suivante : c + ab ´ c = a + b (12) Les points A et B sont fixes, et le point Nous considérerons C comme une variable, en redésignant sa coordonnée comme z. Alors chacune des relations obtenues (10), (11), (12) sera une équation de la droite AB : (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b (12a) En particulier, l'OA direct a l'équation a ´ z = ´. a z . sont purement imaginaires. Par conséquent, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b ou OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) La circularité des segments AB et CD est déterminée par l’égalité (a). − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) En particulier, lorsque les points A, B, C, D appartiennent au cercle unité z ´ z = 1 , alors la dépendance (14) est simplifiée : ab + cd = 0 (15) Le produit scalaire des vecteurs est exprimé. vecteurs ⃗ OA et ⃗ OB passant par les coordonnées complexes a et b des points A et B. Soient a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Alors a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Donc, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (ab + ab) (16) 9
Donnons-en maintenant quatre points arbitraires A(a), B(b), C(c), D(d) par leurs coordonnées complexes. Alors 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Angles Convenons de désigner par le symbole ∠ (AB ,CD) l'angle d'orientation positive passant par lequel le vecteur ⃗ doit subir une rotation AB pour qu'il devienne co-dirigé avec le vecteur ⃗ CD. Alors, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | ré - c || b - une |
(18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | ré - c || b - une |
(19) Point d'intersection des sécantes avec un cercle Si les points A, B, C et D se trouvent sur le cercle z ´ z = 1, alors la coordonnée complexe du point d'intersection est trouvée par la formule ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Si AB est perpendiculaire à CD, alors z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Point d'intersection des tangentes au cercle 10

La coordonnée complexe du point d'intersection des tangentes au cercle z ´ z =1 en ses points A(a) et B(b) est trouvée par la formule z= 2ab a + b (22) Projection orthogonale d'un point sur une droite Projection orthogonale d'un point M(m) sur une droite AB, où A(a) et B(b) sont trouvés par la formule Dans le cas où A et B appartiennent au cercle unité z= 1 2 (une + b + m − cb m) .
Chapitre III.
D'où h=a+b+c vient. (24) L'expression résultante inclut les coordonnées des sommets du triangle de manière symétrique, donc la troisième hauteur du triangle passe par le point d'intersection des deux premiers triangles similaires [2,1] Triangles ABC et A 1 B 1 C 1. sont semblables et identiquement orientés (similitude de première espèce), si B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC et que les angles B 1 A 1 C 1 et BAC sont égaux (les angles sont orientés). En utilisant des nombres complexes, ces égalités peuvent s'écrire comme suit : |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − une 1 =arg c − une b − une . Les deux égalités sont équivalentes à une avec 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) où σ est un nombre complexe, |σ|=k-coefficient de similarité. Si σ est réel, alors c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , où AC║A 1 C 1. Par conséquent, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont homothétiques. La relation (25) est nécessaire et état suffisant de sorte que les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont similaires et également orientés. On peut lui donner une forme symétrique ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Triangles égaux Si | σ | = 1, alors les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont égaux. Alors la relation (25) est un signe d'égalité de triangles d'orientation identique, et la relation (26) est un signe d'égalité de triangles d'orientation opposée. Triangles réguliers Si vous exigez qu'un triangle orienté triangle ABCétait semblable au triangle orienté BCA, alors le triangle ABC sera régulier. 12
Par conséquent, à partir de (25) on obtient une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle ABC soit régulier (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Aire du triangle (prouvé par l'auteur) Nous dérivons la formule pour l'aire S d'un triangle ABC orienté positivement : S = 1 2 | AB || CA | péché ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) ou S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Si triangle ABC inscrit dans le cercle z ´ z = 1, alors la formule (28) est transformée sous la forme : S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) Théorème sur la ligne médiane de a triangle (prouvé par l'auteur)
Théorème
. Ligne médiane du triangle est parallèle à la base et égale à la moitié de celle-ci. Preuve. Soient les points M et N les milieux des côtés AB et BC, alors m = b 2 ; n = b + c 2 . Puisque z 2 =z ´ z, alors MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, donc 4MN 2 = AC 2 ou 2MN=AC La condition (8) de colinéarité des vecteurs MN et AC est également satisfaite. , et donc MN ║AC. Théorème de Thalès (démontré par l'auteur)
Théorème
. Si d'un côté d'un angle des lignes parallèles coupent des segments égaux, alors de l'autre côté de l'angle elles coupent des segments égaux. Preuve Supposons que c=kb. Alors si BD||CE, alors nous avons (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Ouvrir les parenthèses et amener termes similaires, nous obtenons l'équation b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d En remplaçant c par kb et ´ c par k ´ b , nous obtenons bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . En ramenant à nouveau des termes similaires et en mettant le tout d’un côté, nous obtenons 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. Nous allons le retirer multiplicateur commun et on obtient 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. Donc k=2, c'est-à-dire c=2b. De même, il est prouvé que f=3b, etc. Théorème de Pythagore ( prouvé par l'auteur) B triangle rectangle carré de l'hypoténuse égal à la somme pieds carrés 14
Preuve. La distance entre les points B et C est égale à BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Depuis |z| 2 = z ´ z , alors AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. Puisque b est un nombre réel, c'est-à-dire b= ´ b , alors -a ´ b =− ab . a, c'est-à-dire - ´ ab = ab. Ainsi, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Le théorème d'Euler est prouvé. droite (prouvée par l'auteur) Montrons que l'orthocentre, le centroïde et le centre circonscrit du triangle se trouvent sur la même droite (cette droite est appelée droite d'Euler), et OG = 1/2GH 15.
Preuve : Le point G(g) est le centre de gravité du triangle ABC, H(h) est l'orthocentre et O(o) est le centre du cercle circonscrit du triangle. Pour que ces points soient colinéaires, l'égalité (10) doit être satisfaite : (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 Prenons le point O comme l'origine, alors g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) Le la coordonnée complexe de l'orthocentre est calculée selon la formule (24) h=a+b+c, (30a) et le centre de gravité selon la formule (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Remplacer par ( 30), nous obtenons 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0. satisfait donc le centroïde, l'orthocentre et le centre du triangle circonscrit, les cercles se trouvent sur la même ligne OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a). +b+c)= 2 3 (a+b+c) Nous avons obtenu que OG= 1 2 GH Le théorème est prouvé 16.
Cercle d'Euler (cercle à neuf points). Prouvé par l'auteur Considérons le triangle ABC. Soyons d'accord sur le fait que‌ | OA | = | OB |= | OC | =1, c'est-à-dire tous les sommets du triangle appartiennent au cercle unité z ´ z = 1 (le centre circonscrit O est l'origine et le rayon est l'unité de longueur). Montrons que les bases ont trois hauteurs
triangle arbitraire
, les milieux de ses trois côtés et les milieux des trois segments reliant ses sommets à l'orthocentre se trouvent sur le même cercle, et son centre est le milieu du segment OH, où H, rappelons-le, est l'orthocentre du triangle ABC. Un tel cercle s'appelle
Parce que le triangle ABC est inscrit dans le cercle z ´ z = 1, alors | un | = | b | = | c | = 1, → | un 2 | = | b2 | = | c2 | = 1 2 | un || b | | c | = 1 2 | un || c | | b | = 1 2 | b || c | | un | = 1 2 Ainsi, les points D, E, F, K, L, M, N, Q, F appartiennent au même cercle Théorème de Gauss Si une droite coupe les droites contenant respectivement les côtés BC, CA, AB du triangle ABC en points A 1, B 1 , C 1, alors les milieux des segments AA 1, BB 1, СС 1 sont colinéaires Preuve. A l'aide de (11), on écrit les conditions de colinéarité des triplets de points AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1 : 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1             b c a b (31) Si M, N, P sont les milieux de les segments AA 1, BB 1, CC 1 , alors il faut montrer que 0) () () (      n m p m p n p n m (32) Depuis), (2 1), (2 1), (2 1 1 1 1 c c p b b n a a m       alors l'égalité prouvée (31) est équivalente à ce qui suit : 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1                b b a a c c a a c c b b c b b a a ou après multiplication : 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                           b a c b a avec b a c b a c a c b a avec b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) Maintenant, il est facile de voir que (33) est obtenu par addition terminologique des égalités (31). La preuve est complète .18.

Chapitre IV.

Résoudre des problèmes USE et diverses Olympiades en utilisant la méthode des nombres complexes.
Problème 1. Examen d'État unifié -2012, P-4 Sur une ligne contenant la médiane AD d'un triangle rectangle ABC d'angle droit C, on prend un point E, éloigné du sommet A à une distance égale à 4. Trouver l'aire de ​​triangle BCE si BC=6, AC= 4. Première solution. D'après le théorème de Pythagore AD=5. Alors ED=1 Soit le point E situé sur le rayon AD. La médiane AD est plus longue que AE et le point E se trouve à l'intérieur du triangle ABC (Fig. 1). Déposons la perpendiculaire EF du point E à la ligne BC et considérons les triangles rectangles similaires DEF et DAC. De la similarité de ces triangles on trouve : EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Par conséquent, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. Supposons maintenant que le point A se situe entre E et D (Fig. 2). Dans ce cas ED=9 et EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Alors S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Réponse : 2.4 ; 21.6. Résoudre le problème en utilisant des nombres complexes. Cas I : le point E se trouve sur le rayon AD. Puisque D est le milieu de CB, alors CD=3. Et puisque CA=4, il est clair que AD=5, soit DE=1. Prenons le point C comme point initial, et les lignes CA et CB comme axes réel et imaginaire. Puis A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Les points A, E et D sont colinéaires, alors e − 4 3i − e = 4 c'est-à-dire e= 12i + 4 5 . D'après la formule (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2,4 Cas II : le point A se situe entre les points D et E , alors 4 − e 3i − 4 = 4 5 , soit e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) : 2.4 et 21.6 Pour résoudre le problème dans Dans le premier cas, vous devez faire un certain nombre de suppositions, qui peuvent ne pas apparaître immédiatement, mais après une période de raisonnement assez longue. Cependant, si l'étudiant est bien préparé, la solution elle-même se forme instantanément lors de la résolution du problème. la deuxième façon, nous utilisons des formules toutes faites, ce qui permet de gagner du temps dans la recherche. Cependant, nous comprenons que sans connaître les formules, les problèmes ne peuvent pas être résolus en utilisant la méthode des nombres complexes. Comme vous pouvez le constater, chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients. .
Tâche 2 (MIOO, 2011) :
« Le point M se trouve sur le segment AB. Sur un cercle de diamètre AB, on prend le point C, distant des points A, M et B respectivement de 20, 14 et 15. Trouvez l'aire du triangle BMC." 20
Solution : Puisque AB est le diamètre d’un cercle, alors ∆ ABC est rectangulaire, ∠ C = 90 ° Prenons C comme point zéro plan, puis A(20i), B(15), M(z). Puisque CM=14, l'égalité z ´ z = 196 est vraie, c'est-à-dire le point M ∈ un cercle de centre au point C et r=14. Trouvons les points d'intersection de ce cercle avec la droite AB : Équation de la droite AB (10a) : 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Remplacer ´ z avec 196 z et en multipliant l'équation entière par (4 i − 3) , nous obtenons une équation quadratique pour z : 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 En utilisant la formule (28), on trouve l'aire ∆ MBC : S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Où c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Après avoir terminé transformations équivalentes, on obtient S = 54 ± 12 √ 13 carré. unités Répondre. 54 ± 12 √ 13 m² unités Si vous résolvez le problème méthodes géométriques, alors il faut considérer deux cas différents : 1er - le point M se situe entre A et D ; 2ème - entre D et B. 21

Lors de la résolution d'un problème par la méthode des nombres complexes, la dualité de la solution est obtenue grâce à la présence de deux points d'intersection d'un cercle et d'une droite. Cette circonstance nous permet d'éviter une erreur courante.
Problème 3
Les médianes AA 1, BB 1 et CC 1 du triangle ABC se coupent au point M. On sait que AB=6MC 1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. Solution : Soit C le point zéro du plan et attribuons une unité réelle au point A. Le problème se réduit alors à prouver que b est un nombre purement imaginaire. UN B 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M est le centre de gravité, sa coordonnée est 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Puisque AB=6MC 1, alors (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Après avoir effectué les transformations, on obtient b =− ´ b, c'est-à-dire que b est un nombre purement imaginaire, c'est-à-dire que l'angle C est une droite.
Tâche 4.
22
Suite à une rotation de 90° autour du point O, le segment AB s'est transformé en segment A "B". Montrer que la médiane OM du triangle OAB " est perpendiculaire à la droite A " B . Solution : Soit les coordonnées O, A, B respectivement égales à 0,1, b. Alors les points A " et B " auront les coordonnées a" = i et b" = bi, et le milieu M du segment AB " aura les coordonnées m = 1 2 (1 + bi). On trouve : a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i nombre est purement imaginaire. D’après le critère de perpendiculaire (les segments AB et CD sont perpendiculaires si et seulement si le nombre a − b c − d est purement imaginaire), les droites OM et A ’ B sont perpendiculaires.
Problème 5
. 23
A partir de la base de l'altitude du triangle, les perpendiculaires tombent sur deux côtés qui ne correspondent pas à cette altitude. Montrer que la distance entre les bases de ces perpendiculaires ne dépend pas du choix de la hauteur du triangle. Solution : Soit le triangle ABC et le cercle qui l'entoure a l'équation z ´ z = 1. Si CD est la hauteur du triangle, alors d = 1 2 (a + b + c − ab c) Les coordonnées complexes des bases M et N des perpendiculaires tombant du point D vers AC et BC, respectivement, sont égales à m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) On trouve : m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Puisque | un | = | b | = 1, alors | m - n | = | (une − b) × (b − c) (c − une) | 4. Cette expression est symétrique par rapport à a, b, c, c'est-à-dire la distance MN ne dépend pas du choix de la hauteur du triangle.
Conclusion
24
"Certainement! Tous les problèmes peuvent être résolus sans nombres complexes. Mais le fait est que l’algèbre des nombres complexes est une autre méthode efficace résoudre des problèmes planimétriques. On ne peut parler que du choix d'une méthode plus efficace pour une tâche donnée. Les controverses sur les avantages d’une méthode particulière sont inutiles si l’on considère ces méthodes dans leur ensemble, sans application à un problème spécifique » [2]. Une grande place dans l'étude de la méthode est occupée par un ensemble de formules. C'est
principal inconvénient
méthode et en même temps
dignité
, car cela vous permet de résoudre suffisamment tâches complexes selon des formules toutes faites avec des calculs élémentaires. De plus, je crois que lorsqu'on résout des problèmes de planimétrie cette méthode est universelle.
Bibliographie
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2. Ponarin Ya. P. Algèbre des nombres complexes dans les problèmes géométriques : Un livre pour les étudiants des classes de mathématiques des écoles, les enseignants et les étudiants des universités pédagogiques - M. : MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. Shvetsov D. De la droite de Simson au théorème de Droz-Farny, Kvant. - N° 6, 2009. – p. 44-48 4. Yaglom I.M. Transformations géométriques. Transformations linéaires et circulaires. - Maison d'édition nationale de littérature technique et théorique, 1956. – 612 p. 5. Yaglom I.M. Nombres complexes et leur application en géométrie - M. : Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. Morkovitch A.G. et autres, l'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique, 10e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) - M. : Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. Andronov I.K. Mathématiques des nombres réels et complexes - M. : Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26

Application

Théorèmes classiques de géométrie élémentaire

Théorème de Newton.
Dans un quadrilatère circonscrit à un cercle, les milieux des diagonales sont colinéaires au centre du cercle. 27
Preuve. Prenons le centre du cercle comme origine, en fixant son rayon égal à un. Notons les points de contact des côtés de ce triangle quadrilatère A o B o C o D o par A, B, C, D (dans un ordre circulaire) (Fig. 4). Soit M et N les milieux des diagonales A o C o et B o D o, respectivement. Ensuite, selon la formule des points d'intersection des tangentes au cercle z = 2ab a + b, les points A o , B o , C o , D o auront respectivement des coordonnées complexes : , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         où a, b, c, d sont les coordonnées complexes des points A, B, C, D. Par conséquent.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m             Calculer.))(())((a d c b d c b a n m      Depuis, 1 , 1 b b a a   , 1 , 1 d d c c   alors directement il est clair que n m n m  D'après (6), les points O, M, N sont colinéaires.
Théorème de Pascal

.
Les points d'intersection des lignes contenant les côtés opposés d'un hexagone inscrit se trouvent sur la même ligne. 28
Preuve. Soit l'hexagone ABCDEF et P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (Fig. 6) être inscrit dans un cercle (Fig. 6). Prenons le centre du cercle comme point zéro du plan, et son rayon est par unité de longueur. Alors, d'après (17), nous avons : ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n. de ab e d b a m                Calculer) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m           et de même .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n           Ensuite, nous trouvons : .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m        Puisque les nombres f e d c b a sont égaux, respectivement, f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1, alors un contrôle oral révèle que l'expression trouvée coïncide avec son conjugué, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un nombre réel. Cela signifie que les points M, N, P sont colinéaires.
Théorème de Monge.
Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les lignes passant par les milieux des côtés et. Chaque diagonale est perpendiculaire aux côtés opposés et, par conséquent, l'autre diagonale se coupe en un point. C'est ce qu'on appelle le point Monge d'un quadrilatère cyclique. Preuve. Les bissectrices perpendiculaires aux côtés du quadrilatère ABCD se coupent au centre du cercle circonscrit, que nous prenons comme point de départ. Pour chaque point M(z) médiatriceà [AB] nombre b a b a z   ) (2 1 purement imaginaire. 29
En particulier, pour z=0 il est égal à) (2) (b a b a    . Pour chaque point N(z) de la droite passant par le milieu du côté CD perpendiculaire à (AB), le nombre b a d c z   ) (2 1 devra être purement imaginaire et vice versa. Mais pour z=) (2 1 d c b a    c'est égal) (2 b a b a   c'est-à-dire purement imaginaire. Par conséquent, le point E avec une coordonnée complexe) (2 1 d c b a    se trouve sur la ligne indiquée Et cette expression est symétrique par rapport aux lettres a, b, c, d. Par conséquent, les cinq autres lignes construites de manière similaire contiennent le point E. 30