Vous pouvez également utiliser l'opérateur "nabla" pour l'opération :

Il est pris en compte ici que produit vectoriel opérateurs colinéaires est égal à zéro. Il est proposé d'obtenir le même résultat par différenciation directe.

Du résultat obtenu on peut obtenir conséquence importante. Considérons une courbe fermée L et étirez une surface arbitraire dessus S.

En utilisant le théorème de Stokes, on peut écrire

Formulons le résultat obtenu sous forme de théorème :

Théorème 1. Circulation champ vectoriel le long de tout contour fermé est égal à zéro.

Corollaire 1. Intégrale curviligne sur le gradient de la fonction scalaire ne dépend pas du choix du chemin d'intégration et est entièrement déterminé par les valeurs initiale et points finaux lignes d'intégration.

Preuve. Faisons un dessin.

Effectuons les transformations les plus simples

Ainsi

Cela signifie que intégrande est différentiel complet. Par conséquent, la valeur de l'intégrale dépend uniquement du choix des points A et B :

Calculons l'opération. Pour ce faire, nous utilisons le célèbre algèbre vectorielle formule pour le produit croisé double

Réécrivons cette formule sous une forme plus pratique pour nous

La transformation est effectuée de manière à ce que dans les formules ultérieures, l'opérateur « nabla » n'apparaisse pas en dernière position. En termes d’opérateur « nabla », nous obtenons

(Que se passerait-il si nous utilisions la formule habituelle pour le produit croisé double ?)

En utilisant la notation d'opérateur de Laplace, on peut écrire

Nous avons un système de trois relations différentielles écrites pour les composantes vectorielles F.

Nous avons examiné les opérations différentielles de base du second ordre. À l’avenir, nous les utiliserons pour résoudre divers problèmes.

Les formules de Green

Prenons quelques formules supplémentaires général, qui relient les propriétés diverses fonctions et sont largement utilisés dans les applications. Écrivons la formule de Gauss-Ostrogradsky

Soit et soit deux arbitraires fonctions scalaires. Mettons

Le théorème de Gauss-Ostrogradsky prend alors la forme

Vous pouvez écrire

Ici, la notation est introduite

pour la dérivée d'une fonction dans la direction

Après avoir substitué ces expressions dans la formule de Gauss-Ostrogradsky modifiée, on obtient

Cette formule est appelée la première formule de Green.

De même, si l'on pose

alors la première formule de Green prend la forme

Soustraire formules correspondantes, on a

Cette formule est appelée la deuxième formule de Green.

A l'aide des formules de Green, il est possible d'obtenir des connexions entre les valeurs de la fonction aux points internes du volume sélectionné et aux frontières.

Théorème 1. La valeur de la fonction dans point interne région T, limité par la surface S, est déterminé par la formule

distance entre les points et. Preuve. Considérez un point et entourez-le d'un petit surface sphérique rayon

1. Concepts de base de la théorie des champs

La théorie des champs sous-tend de nombreux concepts physique moderne, mécanique, mathématiques. Ses principales notions sont le gradient, l'écoulement, le potentiel, le rotor, la divergence, la circulation, etc. Ces notions sont également importantes pour maîtriser les idées de base. analyse mathematique fonctions de nombreuses variables.

Un champ est une région G de l'espace, en chaque point de laquelle est déterminée la valeur d'une certaine quantité.

DANS Problèmes physiques Il existe généralement deux types de grandeurs : les scalaires et les vecteurs. Conformément à cela, deux types de champs sont considérés.

Si chaque point M de cette aire est associé à un certain nombre U(M), on dit que dans

la zone reçoit (définie) un champ scalaire. Des exemples de champs scalaires sont le champ de température à l'intérieur d'un corps chauffé (en chaque point M de ce corps la température correspondante U (M) est donnée), le champ

éclairage créé par n’importe quelle source de lumière. Que le système soit fixé dans l'espace

coordonnées du point M dans ce système de coordonnées. Les valeurs de la fonctionU(x,y,z) coïncident avec les valeurs du champU(M),

le même symbole lui est donc conservé.

Si chaque point M de cette zone est associé à un certain vecteur (M), on dit que

un champ vectoriel est spécifié. Un exemple de champs vectoriels est le champ de vitesse d'un écoulement de fluide stationnaire. Il est défini comme suit : soit la région G remplie de liquide circulant en chaque point avec

une certaine vitesse v, indépendante du temps (mais

différent, d'une manière générale, dans différents points); En attribuant le vecteur v (M) à chaque point M de G, on obtient un champ de vecteurs appelé champ de vitesse.

Si a(M) est un champ vectoriel dans

espace, puis en prenant un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires fixe dans cet espace, on peut

représenter a(M) comme un triplet ordonné de scalaire

fonctions : a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Ces

Si la fonction U (M) (ou a (M)) ne dépend pas de

temps, alors le champ scalaire (vecteur) est dit stationnaire ; un champ qui change dans le temps est dit non stationnaire. Ci-dessous, nous considérerons uniquement les champs stationnaires.

2. Caractéristiques de base des champs scalaires et vectoriels

Un vecteur dont les coordonnées sont les valeurs des dérivées partielles de la fonction U (x,y,z) au point

M (x ,y ,z ) est appelé le gradient de la fonction et désigne

On sait que le gradient détermine la direction de l'augmentation la plus rapide de la fonction U (x,y,z) au point M. On dit que le champ scalaire U génère

champ de gradient vectoriel U.

Ligne de dégradé le champ scalaire U(M) est appelé

toute courbe dont la tangente en chaque point est dirigée le long de gradU en ce point.

Ainsi, les lignes de gradient de champ sont les lignes le long desquelles le champ change le plus rapidement.

Pour formuler une autre propriété du gradient, rappelons la définition d'une surface plane.

Surface plane fonctions (champs)U =U (x,y,z)

est la surface sur laquelle la fonction (champ) préserve valeur constante. L'équation de la surface plane a la forme U (x,y,z) =C.

Ainsi, en chaque point du champ, le gradient est dirigé selon la normale à la surface plane passant par ce point.

Flux Π du champ vectoriela = (P ,Q ,R ) passant par

la surface σ est appelée intégrale de surface

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

ou, en bref, ∫∫ a n dS, où via n = (cosα, cosβ, cosγ)

désigné vecteur unitaire normale à la surface σ, définissant son côté.

sont continus, alors

3. Formules de Stokes et Ostrogradsky-Gauss

Notons L un certain contour fermé, et σ la surface couverte par ce contour.

On suppose que le choix de la direction sur le contour est cohérent avec le choix du côté de la surface (lors du parcours du contour dans la direction sélectionnée, le côté sélectionné est à gauche).

La formule de Stokes dit que la circulation d'un champ vectoriel le long d'un certain contour est égale au flux du rotor du champ vectoriel à travers une surface étendue sur ce contour.

Soit maintenant Ω un fermé zone limitée, aσ est la limite de cette zone. Alors c'est juste

σ Ω

Rappelons que l'intégrale de surface du côté gauche de la formule (5) est prise selon dehors surface σ.

La formule d'Ostrogradsky-Gauss signifie que triple intégrale sur la zone de la divergence du champ vectoriel égal au débit de ce champ à travers la surface délimitant cette zone.

4. Opérateur de Hamilton. Certains types de champs scalaires et vectoriels

Le mathématicien et mécanicien anglais Hamilton a introduit l'opérateur différentiel vectoriel

a appelé l'opérateur nabla.

Précisons d’emblée que l’analogie entre un vecteur symbolique et des vecteurs « réels » n’est pas

complet. À savoir, les formules contenant un vecteur symbolique sont similaires aux formules d'algèbre vectorielle ordinaires si elles ne contiennent pas de produits variables(scalaire et vectoriel), c'est-à-dire jusqu'à ce que vous deviez appliquer les différenciations incluses dans les opérations au produit de quantités variables.

Utilisation du vecteur Nabla, gradient de champ scalaire

L'opportunité d'introduire un vecteur symbolique réside dans le fait qu'avec son aide, il est pratique d'obtenir et d'écrire diverses formules analyse vectorielle.

Montrons cela avec des exemples.

Problème 1. Prouver que le rotor du gradient du champ scalaire U (M) est égal à 0, c'est-à-dire rot(gradU) = 0.

Montrons d'abord cette égalité sans utiliser l'opérateur de Hamilton. Ainsi,

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

puisque, d'après le théorème de Schwarz, les dérivées mixtes continues sont égales.

Maintenant, en utilisant la forme d'écriture du gradient (7) et du rotor (9), nous avons rot(gradU ) =× U .

Puisque le vecteur U (le produit du vecteur et du scalaire U) est colinéaire au vecteur, alors leur vecteur

le produit est 0.

Tâche 2. Écrivez la divergence du gradient du champ scalaire div(gradU ) en utilisant.

En formant une divergence avec gradU, on obtient

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Laplace et est désigné par le symbole :

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Puisque le carré scalaire d'un vecteur égal au carré son module, alors = 2. Ainsi, div(gradU ) =2 U .

Le champ vectoriel a (M) est appelé potentiel,

s'il peut être représenté comme le gradient d'un champ scalaire U(M) :

a = diplôméU .

Le champ scalaire U lui-même est appelé potentiel de champ vectoriel.

Pour que le champ vectoriel a(M) soit

La nécessité de réaliser l’égalité (10) a été prouvée (voir le problème 1 discuté ci-dessus).

Le potentiel du champ vectoriel peut être trouvé à l'aide de la formule

où (x 0 ,y 0 ,z 0 ) - point arbitraire les zones G.

Champ vectoriel a(M), dont la divergence

identiquement égal à zéro, est appelé solénoïde (tubulaire).

Afin de formuler l'un des les propriétés les plus importantes champ solénoïdal, nous introduisons les notions de ligne vectorielle et de tube vectoriel.

Une droite L située dans G est appelée un vecteur

ligne si en chaque point de cette ligne la direction de la tangente à celle-ci coïncide avec la direction du champ vectoriel en ce point.

On sait qu'une ligne vectorielle est une courbe intégrale d'un système d'équations différentielles

En particulier, si un champ vectoriel est un champ de vitesse d’un écoulement fluide stationnaire, alors ses lignes vectorielles sont les trajectoires des particules fluides.

Un tube vectoriel est un ensemble fermé Φ de points dans une région G, dans lequel un champ vectoriel a (M) est spécifié, tel que partout sur sa surface limite le vecteur normal n est orthogonal à (M).

Un tube vectoriel est constitué de lignes de champ vectoriel a(M). Une droite vectorielle est entièrement contenue dans Φ si

un point de la droite est contenu dans Φ.

L'intensité du tube Φ dans une section est le flux de champ (M) à travers cette section.

Si le champ est solénoïdal, alors la loi de conservation de l'intensité du tube vectoriel est satisfaite.

Pour le champ de vitesse v(M) d'un fluide incompressible en l'absence de puits et de sources (c'est-à-dire sous la condition divv(M) = 0), la loi de conservation de l'intensité vectorielle

Les tubes peuvent être formulés de cette manière : la quantité de liquide circulant par unité de temps à travers une section d'un tube vecteur est la même pour toutes ses sections.

Ci-dessous quelques tâches typiques avec des solutions.

Tâche 3. Trouver des surfaces au niveau du champ scalaire

U (M) = x2 + y2 − z.

les surfaces planes sont une famille de paraboloïdes elliptiques dont l'axe de symétrie est l'axe Oz.

Tâche 4.

Dans le champ scalaire U (M ) = xy 2 + z 2 trouver

gradient au point M 0 (2,1,− 1) .

Trouvons les valeurs

dérivées partielles

U (M) au point M 0 :

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Ainsi,

gradU (M 0 ) = s je + 4s j − 2k s .

Calculer la divergence d'un champ vectoriel

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

au point M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Trouvons la valeur

dérivées partielles correspondantes au point M 0 :

∂P|

2 et 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Rotor (mathématiques) Rotor, ou vortex est un opérateur différentiel vectoriel sur un champ vectoriel. Désigné (dans la littérature de langue russe) ou (dans la littérature anglaise), et aussi comme multiplication vectorielle de l'opérateur différentiel par un champ vectoriel : Le résultat de l'action de cet opérateur sur un champ vectoriel spécifique F appelé rotor de champ F ou, en bref, juste rotor F et représente un nouveau champ vectoriel : Champ de pourriture F(longueur et direction de la pourriture vectorielle F en chaque point de l'espace) caractérise en un sens la composante rotationnelle du champ F respectivement en chaque point. Image intuitive Si v(x,y,z) est le champ de vitesse du gaz (ou débit de liquide), alors pourrir v- un vecteur proportionnel au vecteur vitesse angulaire d'un très petit et léger grain de poussière (ou boule) situé dans l'écoulement (et entraîné par le mouvement du gaz ou du liquide ; bien que le centre de la boule puisse être fixe si on le souhaite, comme à condition qu'il puisse tourner librement autour de lui). Spécifiquement pourrir v = 2 ω , Où ω - cette vitesse angulaire. Pour une illustration simple de ce fait, voir ci-dessous. Cette analogie peut être formulée de manière assez stricte (voir ci-dessous). La définition de base par circulation (donnée dans le paragraphe suivant) peut être considérée comme équivalente à celle ainsi obtenue. Définition mathématique La boucle d'un champ vectoriel est un vecteur dont la projection dans chaque direction n est la limite de la relation de circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour L, qui est le bord de la zone plane Δ S, perpendiculairement à cette direction, à la taille de cette zone, lorsque les dimensions de la zone tendent vers zéro, et que la zone elle-même se contracte jusqu'à un point : . La direction de parcours du contour est choisie de telle sorte que, en regardant dans la direction, le contour L marché dans le sens des aiguilles d’une montre. En trois dimensions Système cartésien les coordonnées du rotor (tel que défini ci-dessus) sont calculées comme suit (ici F- désigne un certain champ vectoriel avec des composantes cartésiennes, et - vecteurs unitaires de coordonnées cartésiennes) : Pour plus de commodité, nous pouvons représenter formellement le rotor comme un produit vectoriel de l'opérateur nabla (à gauche) et du champ vectoriel : (La dernière égalité représente formellement le produit vectoriel comme déterminant.) Définitions associées Un champ vectoriel dont le rotor égal à zéroà tout moment est appelé irrotationnel et est potentiel. Puisque ces conditions sont nécessaires et suffisantes l’une pour l’autre, les deux termes sont des synonymes pratiques. (Cependant, ceci n'est vrai que pour le cas de champs définis sur un domaine simplement connecté). Pour un peu plus de détails sur la conditionnalité mutuelle de la potentialité et la nature irrotationnelle du champ, voir ci-dessous (Propriétés de base). Au contraire, un champ dont la courbure n'est pas égale à zéro est habituellement appelé vortex , un tel champ ne peut pas être potentiel. Généralisation La généralisation la plus directe du rotor appliqué aux champs vectoriels (et pseudovecteurs) définis sur des espaces de dimension arbitraire (à condition que la dimension de l'espace coïncide avec la dimension du vecteur champ) est la suivante : avec index m Et n de 1 à la dimension de l’espace. Cela peut également être écrit comme un produit externe : Dans ce cas, le rotor est un champ tensoriel antisymétrique de valence deux. Dans le cas de la dimension 3, la convolution de ce tenseur avec le symbole de Levi-Civita donne définition habituelle rotor tridimensionnel donné dans l'article ci-dessus. Pour un espace bidimensionnel, en plus, si vous le souhaitez, une formule similaire avec un produit pseudoscalaire peut être utilisée (un tel rotor sera un pseudoscalaire coïncidant avec la projection du produit vectoriel traditionnel sur un axe orthogonal au bidimensionnel donné espace - si l'on considère que l'espace à deux dimensions est intégré dans un espace à trois dimensions, de sorte que le produit vectoriel traditionnel a un sens). Les caractéristiques les plus importantes d’un champ vectoriel sont le rotor et la divergence. Dans ce paragraphe, nous examinerons description mathématique ces caractéristiques des champs de vecteurs et les méthodes pour les calculer à l'aide d'opérations différentielles. Dans ce cas, nous utiliserons uniquement le système de coordonnées cartésiennes. Plus définition complète divergence et rotor et leur signification physique Nous l'examinerons dans le prochain chapitre. Nous examinerons plus tard le calcul de ces quantités dans des systèmes de coordonnées curvilignes. Considérons un champ vectoriel défini dans un espace tridimensionnel. Définition 1. La divergence d'un champ vectoriel est un nombre défini par l'expression On suppose que les dérivées partielles correspondantes existent au point considéré. La divergence d'un champ vectoriel, tout comme le gradient, peut s'écrire à l'aide de l'opérateur nabla Ici, la divergence est représentée par produit scalaire vecteurs et F. Notons sans preuve que la divergence décrit la densité des sources créant le champ. Exemple 1. Calculer la divergence d'un champ vectoriel en un point. Définition 2. La boucle d'un champ vectoriel est un vecteur défini par l'expression Notez que dans la somme présentée, les indices des termes adjacents changent selon la règle de permutation circulaire, en tenant compte de la règle. La boucle d'un champ vectoriel peut être écrite à l'aide de l'opérateur nabla Un rotor caractérise la tendance d'un champ vectoriel à tourner ou à tourbillonner, c'est pourquoi on l'appelle parfois un vortex et est désigné curlF. Exemple 1. Calculez la boucle d'un champ vectoriel en un point. Parfois, il devient nécessaire de calculer le gradient d’un champ vectoriel. Dans ce cas, le gradient de chaque composante du champ vectoriel est calculé. Le résultat est un tenseur du second rang, qui détermine le gradient du vecteur. Ce tenseur peut être décrit par la matrice Pour décrire de tels objets, il est pratique d'utiliser la notation tensorielle croire. L'utilisation de méthodes tensorielles simplifie opérations mathématiques sur de tels objets. Une présentation détaillée de l'appareil de calcul tensoriel est donnée dans le cours « Fondements de l'analyse tensorielle », qui est enseigné parallèlement au cours « Chapitres supplémentaires de mathématiques supérieures ». Exemple 1. Calculer le gradient d'un champ vectoriel. Solution. Pour les calculs, nous utilisons la notation tensorielle. Nous avons Ici, le symbole de Kronecker est la matrice d'identité. Exemple 2. Calculez le gradient du champ scalaire et comparez les expressions et. Quelques propriétés de l'opérateur nabla Précédemment, nous avons introduit l'opérateur de différenciation vectorielle En utilisant cet opérateur, nous avons écrit les opérations différentielles de base dans champs tensoriels: L'opérateur est une généralisation de l'opérateur de différenciation et possède les propriétés correspondantes de la dérivée : 1) la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées 2) multiplicateur constant peut être retiré comme signe d'opérateur Traduites dans le langage des fonctions vectorielles, ces propriétés ont la forme : Ces formules sont dérivées de la même manière que les formules correspondantes pour les dérivées d'une fonction d'une variable. L'utilisation de l'opérateur de Hamilton nous permet de simplifier de nombreuses opérations liées à la différenciation dans les champs tensoriels. Cependant, gardez à l’esprit que cet opérateur est un opérateur vectoriel et doit être manipulé avec précaution. Regardons quelques applications de cet opérateur. Dans ce cas, les formules correspondantes sont écrites à la fois en utilisant l'opérateur de Hamilton et en notation conventionnelle. Avez-vous aimé l'article? Partage avec tes amis! Partager sur Facebook Lire aussi Sur la solution de systèmes dégénérés et mal conditionnés d'équations algébriques linéaires Solution d'équations non linéaires et de systèmes d'équations non linéaires Comment expliquer facilement l’addition et la soustraction de nombres à deux chiffres à votre enfant ? Quelles sont les propriétés et le nom de la substance NH3 ? 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