Mis à jour dans pot ouvert Problèmes d'examen d'État unifié en mathématiques (mathege.ru), dont la solution repose sur une seule formule, qui est définition classique probabilités.

La façon la plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1. Il y a 9 boules rouges et 3 boules bleues dans le panier. Les boules ne diffèrent que par la couleur. On en sort un au hasard (sans regarder). Quelle est la probabilité que la boule ainsi choisie soit bleue ?

Commentaire. Dans les problèmes de théorie des probabilités, quelque chose se produit (dans dans ce cas notre action de retirer la balle), ce qui peut avoir un résultat différent. Il convient de noter que le résultat peut être envisagé de différentes manières. "Nous avons sorti une sorte de balle" est aussi un résultat. "Nous avons sorti la balle bleue" - le résultat. "Nous avons retiré exactement cette balle parmi toutes les balles possibles" - cette vision la moins généralisée du résultat est appelée un résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont pris en compte dans la formule de calcul de la probabilité.

Solution. Calculons maintenant la probabilité de choisir la boule bleue.
Événement A : « la balle sélectionnée s'est avérée bleue »
Nombre total de tous les résultats possibles : 9+3=12 (le nombre de toutes les boules que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables à l'événement A : 3 (le nombre de ces résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Réponse : 0,25

Pour le même problème, calculons la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total d'issues possibles restera le même, 12. Nombre d'issues favorables : 9. Probabilité recherchée : 9/12=3/4=0,75

La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois dans discours de tous les jours(mais pas dans la théorie des probabilités !) la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre les scores en mathématiques et en conversation s'effectue en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Donc,
De plus, la probabilité est nulle pour des événements qui ne peuvent pas se produire – c’est incroyable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une balle verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0, s'il est calculé à l'aide de la formule)
La probabilité 1 comporte des événements dont la réalisation est absolument certaine, sans options. Par exemple, la probabilité que « la balle sélectionnée soit rouge ou bleue » relève de notre tâche. (Nombre de résultats favorables : 12, P(A)=12/12=1)

Nous avons examiné exemple classique, illustrant la définition de la probabilité. Tous pareils Tâches d'examen d'État unifié Selon la théorie des probabilités, ils sont résolus en utilisant cette formule.
A la place des boules rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des billets appris et non appris, des billets contenant ou non une question sur un certain sujet (prototypes), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité ( prototypes,) - le principe reste le même.

Ils diffèrent légèrement dans la formulation du problème théorique probabilité de l'examen d'État unifié, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un jour spécifique. ( , ) Comme dans les problèmes précédents, vous devez déterminer quel est le résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.

Exemple 2. La conférence dure trois jours. Le premier et le deuxième jour, il y a 15 intervenants chacun, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?

Quel est le résultat élémentaire ici ? – Assigner le rapport d’un professeur parmi tous les possibles numéros de série pour une représentation. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. pourra recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie résultats élémentaires seulement 50.
Quelles sont les issues favorables ? - Celles dans lesquelles il s'avère que le professeur interviendra le troisième jour. Autrement dit, les 20 derniers chiffres.
D'après la formule, probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Réponse : 0,4

Le tirage au sort représente ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'établissement de la correspondance a été envisagé du point de vue lequel des lieux pouvait être pris personne spécifique. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait se rendre à un endroit précis (prototypes , , , ) :

Exemple 3. Le tirage au sort comprend 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens. Quelle est la probabilité que le premier (/second/septième/dernier – peu importe) soit un Français.

Nombre de résultats élémentaires – nombre total personnes possibles, qui pourrait, par tirage au sort, arriver à cet endroit. 5+8+3=16 personnes.
Résultats favorables - Français. 8 personnes.
Probabilité requise : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5

Le prototype est légèrement différent. Il y a encore des problèmes avec les pièces () et dés(), un peu plus créatif. La solution à ces problèmes se trouve sur les pages des prototypes.

Voici quelques exemples de lancer une pièce ou un dé.

Exemple 4. Quand on lance une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’arriver sur face ?
Il y a 2 résultats : pile ou face. (on pense que la pièce n’atteint jamais sur sa tranche) Un résultat favorable est pile, 1.
Probabilité 1/2=0,5
Réponse : 0,5.

Exemple 5. Et si on jetait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité que cela tombe face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l’un des résultats suivants peut se produire :
1) PP – les deux fois, c’est tombé sur face
2) PO – première fois face, deuxième fois face
3) OP – pile la première fois, face la deuxième fois
4) OO – des têtes sont levées les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu’il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier, 1, est favorable.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25

Quelle est la probabilité que deux lancers de pièce aboutissent à pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont le deuxième et le troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une queue : 2/4=0,5

Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si lors d'un tirage au sort options possibles nous avons 2 résultats, alors pour deux lancers les résultats seront 2 2 = 2 2 = 4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2 = 2 3 = 8, pour quatre : 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... pour N lancers, les résultats possibles seront 2·2·...·2=2 N .

Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d’obtenir 5 faces sur 5 lancers de pièces.
Nombre total d'objectifs élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR – c'est face aux 5 fois)
Probabilité : 1/32=0,03125

Il en va de même pour les dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles Donc, pour deux lancers : 6 6 = 36, pour trois 6 6 6 = 216, etc.

Exemple 6. Nous jetons les dés. Quelle est la probabilité qu’un nombre pair soit obtenu ?

Résultats totaux : 6, selon le nombre de côtés.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5

Exemple 7. On lance deux dés. Quelle est la probabilité que le total soit de 10 ? (arrondir au centième près)

Pour un dé, il y a 6 résultats possibles. Cela signifie que pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour que le total obtienne 10 ?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Cela signifie que les options suivantes sont possibles pour les cubes :
(6 sur le premier et 4 sur le deuxième)
(4 sur le premier et 6 sur le deuxième)
(5 sur le premier et 5 sur le deuxième)
Au total, 3 options. Probabilité requise : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08

D’autres types de problèmes B6 seront abordés dans un prochain article Comment résoudre.

Réponses à travail d'essai selon la théorie des probabilités aidera les étudiants de première année qui étudient les disciplines mathématiques. Les missions couvrent beaucoup matériel théorique, et la justification de leur décision sera utile à chaque étudiant.

Problème 1. Un cube dont tous les bords sont peints est découpé en 1000 cubes de même taille. Déterminer la probabilité qu'un cube tiré au hasard ait :

• a) un bord peint ;
• b) deux faces ombrées.

Calculs : Si un cube est découpé en cubes même taille alors toutes les faces seront divisées en 100 carrés. (Approximativement comme sur la photo)
De plus, selon la condition, le cube doit avoir un bord ombré - cela signifie que les cubes doivent appartenir à surface extérieure mais ne vous allongez pas sur les bords du cube (2 surfaces ombrées) ni sur les coins - ils ont trois surfaces ombrées.
La quantité requise est donc égale au produit de 6 faces par le nombre de cubes dans un carré de taille 8*8.
6*8*8=384 – cubes avec 1 surface peinte.
La probabilité est égale au nombre d'événements favorables sur leur nombre total P=384/1000=0,384.
b) Deux faces ombrées ont des cubes le long des bords sans les sommets du cube eux-mêmes. Il y aura 8 cubes de ce type sur un bord. Il y a un total de 12 arêtes dans le cube, donc les deux faces ombrées ont
8*12=96 cubes.
Et la probabilité de les retirer parmi les 1000 est égale
P=96/1000=0,096.
Cette tâche est résolue et nous passons à la suivante.

Tâche 2. Les lettres A, A, A, N, N, C sont écrites sur des cartes identiques. Quelle est la probabilité qu’en plaçant les cartes au hasard dans une rangée, on obtienne le mot ANANAS ?
Calculs : Il faut toujours raisonner à partir de ce que l’on sait. Étant donné 3 lettres A, 2-H et 1 - C, il y en a 6 au total. Commençons par choisir les lettres du mot « ananas ». La première lettre est A, que l'on peut choisir de 3 manières sur 6, car il y a 3 lettres A parmi les 6 connues. Par conséquent, la probabilité de tirer A en premier est
P1 =3/6=1/2.
La deuxième lettre est H, mais il ne faut pas oublier qu'après avoir retiré A, il reste 5 lettres parmi lesquelles choisir. Par conséquent, la probabilité de tirer le numéro 2 H est égale à
P2 =2/5.
La prochaine probabilité A est tirée au sort parmi les 4 restantes
P3 =2/4.
Ensuite, H peut être extrait de la probabilité
P4 =1/3.
Plus on se rapproche de la fin plus probable, et on peut déjà extraire A avec
P5 =1/2.
Après cela, il ne reste qu'une seule carte C, donc la probabilité de la retirer est de 100 pour cent ou
P6 =1.
La probabilité de former le mot ANANAS est égale au produit des probabilités
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
C'est sur cela qu'ils sont basés tâches similaires selon la théorie des probabilités.

Tâche 3. Le marchandiseur sélectionne des échantillons au hasard parmi un lot de produits. La probabilité qu'un produit pris au hasard soit de la plus haute qualité est de 0,8. Trouver la probabilité que parmi 3 produits sélectionnés, il y ait deux produits de la plus haute qualité ?
Calculs : Cet exemple sur l'application de la formule de Bernoulli.
p = 0,8 ; q=1-0,8=0,2.
Nous calculons la probabilité en utilisant la formule

Si vous ne l’expliquez pas dans le langage des formules, alors vous devez faire des combinaisons de trois événements, dont deux sont favorables et un ne l’est pas. Cela peut s'écrire comme la somme des produits

Les deux options sont équivalentes, seule la première peut être appliquée à toutes les tâches, et la seconde à celles similaires à celle considérée.

Problème 4. Sur cinq tireurs, deux ont touché la cible avec une probabilité de 0,6 et trois avec une probabilité de 0,4. Qu'est-ce qui est le plus probable : un tireur choisi au hasard atteint la cible ou non ?
Calculs : Par formule pleine probabilité Nous déterminons la probabilité que le tireur touche.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabilité inférieure à P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
La probabilité de ne pas toucher est

ou
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problème 5. Sur 20 étudiants venus à l'examen, 10 étaient parfaitement préparés (ils connaissaient toutes les questions), 7 étaient bien préparés (ils connaissaient 35 questions chacun) et 3 étaient mal préparés (10 questions). Le programme contient 40 questions. Un étudiant appelé au hasard a répondu à trois questions sur le ticket. Quelle est la probabilité qu'il soit prêt à

• a) excellent ;
• b) mauvais.

Calculs : L'essence du problème est que l'étudiant a répondu à trois questions sur le ticket, c'est-à-dire à tout ce qui a été demandé, mais nous allons maintenant calculer quelle est la probabilité de les obtenir.
Trouvons la probabilité que l'élève ait répondu correctement à trois questions. Ce sera le rapport du nombre d'élèves par rapport à l'ensemble du groupe multiplié par la probabilité de tirer des tickets qu'ils connaissent parmi tous les possibles.

Déterminons maintenant la probabilité qu’un élève appartienne à un groupe « excellent » préparé. Cela équivaut à la proportion du premier terme de la probabilité préliminaire par rapport à la probabilité elle-même.

La probabilité qu'un élève appartienne à un groupe mal préparé est assez faible et égale à 0,00216.

Cette tâche est terminée. Comprenez-le bien et rappelez-vous comment le calculer, car il est courant dans les quiz et les tests.

Problème 6. Une pièce est lancée 5 fois. Trouver la probabilité que les armoiries apparaissent moins de 3 fois ?
Calculs : La probabilité de dessiner des armoiries ou des queues est équivalente et égale à 0,5. Moins de 3 fois signifie que les armoiries peuvent apparaître 0, 1 ou 2 fois. « Ou » s'exprime toujours en probabilité dans les opérations par addition.
On trouve les probabilités en utilisant la formule de Bernoulli

Puisque p=q=0,5, alors la probabilité est

La probabilité est de 0,5.

Problème 7. Lors de l'emboutissage de bornes métalliques, on obtient en moyenne 90 % de bornes standards. Trouvez la probabilité que parmi 900 terminaux, au moins 790 et au plus 820 terminaux soient standards.

Calculs : Les calculs doivent être effectués

Conférence 1.

Probabilité

La théorie des probabilités considère de tels phénomènes ou expériences dont le résultat spécifique n'est pas uniquement déterminé par les conditions de l'expérience (aléatoire), mais par les résultats. grand nombre les expériences en moyenne peuvent être prédites (propriété de stabilité statistique).

Un événement élémentaire (un résultat élémentaire) Tout événement est appelé le résultat d’une expérience qui ne peut être représentée comme une combinaison d’autres événements. Puisque le résultat de l’expérience est aléatoire, alors tout événement élémentaire est aléatoire ; nous parlerons désormais simplement d’événements, sans insister sur leur caractère aléatoire.

L'espace des événements élémentairesW(résultats) est appelé l'ensemble de tous les événements élémentaires (résultats). (w 1 , …w n … ), si à la suite de l’expérience l’un des résultats élémentaires et un seul se produisent nécessairement (un résultat exclut tout autre). L'espace des événements élémentaires peut contenir un ensemble fini, dénombrable et même infini d'événements élémentaires.

Par un événement aléatoire (événement) est appelé un sous-ensemble de l’espace des événements élémentaires. Tout ensemble est une collection d’éléments. Les éléments d'un événement sont les événements élémentaires qui composent cet événement.

Exemple. Une pièce est lancée, elle peut atterrir sur face (w 1 = G) ou sur face (w 1 = P). W=(G,P).

Exemple. Deux pièces sont lancées W = ((G, G), (G,P), (P,G), (P,P))

Exemple. Une goutte de pluie tombe sur une surface rectangulaire.

W= ((x,y), une

Événement fiable– un événement qui survient toujours à la suite d'une expérience donnée, il contient tous les événements élémentaires et est noté W.

Événement impossible– un événement qui ne peut pas survenir à la suite d'une expérience donnée ; il ne contient pas d'événements élémentaires et est noté Æ.

Actions sur les événements.

Les événements sont définis comme des ensembles, donc les actions sur eux sont similaires aux actions sur les ensembles et sont bien illustrées par les diagrammes de Venn.

Espace W on désignera un rectangle, un événement élémentaire – ​​un point du rectangle, et chaque événement – ​​un sous-ensemble de points de ce rectangle. Le résultat de l'opération sur les événements sera ombré.

Laissez les cartes être sélectionnées dans un jeu de cartes. Événement A – choix d'un carton rouge, événement B – choix de dix

Propriétés des opérations événementielles

1. = Ø6. UN = Un

2. A + A = A 7. UNØ = Ø Court. Si UN DANS, Que

3. Un Un = Un 8 = AA + B = B

4. UN + = 9. UN B = UN

5. UN + Ø = UN 10. = Ø

Commutativité des opérations

A + B = B + A ; AB = BA

Associativité des opérations

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C

Distributivité de l'opération d'addition par rapport à la multiplication

A (B + C) = AB + AC

Distributivité de l'opération de multiplication par rapport à l'addition

A + (BC) = (A + B)(A + C)

Exemple. Calculons (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

En effet, BAÌA, ACÌA, AA=A, puis AA+BA=A, A+AC=A.

Règle de dualité (théorème de Morgan)

Pour tout événement complexe exprimé par la somme et le produit (même d'un nombre dénombrable) d'événements, l'événement opposé peut être obtenu en remplaçant les événements par leurs opposés et en remplaçant le signe du produit par le signe de la somme, et le signe de la somme avec le signe du produit, tout en laissant inchangé l'ordre des opérations

Exemple .

Algèbre des événements.

Soit W l'espace des événements élémentaires. Une algèbre d'événements S est un système d'événements aléatoires S tel que

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

Corollaire Æ= WW Ì S

Soit W contenant un nombre fini d'éléments, W= (w 1 ,…w n ). Alors l’algèbre S peut être construite comme l’ensemble de tous les sous-ensembles de W.

S = (Æ, (w 1 ), … (w n ), (w 1 ,w 2 ), …(w 1 ,w n ), …(w n -1 ,w n ), …(w 1, …, w n )) , il n'a que 2 n éléments

L'algèbre pour un nombre dénombrable d'événements est construite de la même manière.

Si à la suite de l'expérience, il est devenu connu si les événements A, B se sont produits ou non, alors nous pouvons conclure si les événements A + B, AB, AB se sont produits ou non, donc les événements doivent être sélectionnés dans une certaine classe - la algèbre des événements.

Pour un nombre infini (non dénombrable) d'événements, la classe d'événements doit être restreinte. La s-algèbre des événements est introduite.

Algèbre sigma (s-algèbre) des événementsB est un système non vide de sous-ensembles de l'espace des événements élémentaires tel que

2) UNE 1 , UNE 2 , …UNE n , …ÌBÞ(UNE 1 +UNE 2 + …+UNE n +, …)ÌB, …ÌB.

Toute algèbre sigma d'événements est une algèbre d'événements, mais pas l'inverse.

Probabilité.

Définition classique de la probabilité d'un événement

Dans la définition classique de la probabilité, on suppose que l'espace des événements élémentaires Ω contient un nombre fini de résultats élémentaires, qui sont tous également possibles.

Cas sont appelés événements également possibles et incompatibles qui constituent un groupe complet.

Dans la définition classique de la probabilité, nous sommes dans le cadre des cas au sens où les événements élémentaires sont également possibles, c'est-à-dire représentent des cas.

Laisser N– nombre total de cas dans Ω , UN NUN – nombre de cas formant un événement UN(ou, comme on dit, favorable à l'événement UN).

Définition. Probabilité de l'événement A s'appelle le rapport numérique N / A cas favorables à l'événement A au nombre total N de cas, soit P.(UN) = . Cette définition de la probabilité d'un événement est généralement appelée définition classique de la probabilité.

Exemples. 1. Lancer un dé. Ω = {w 1 , w 2 ,…, w 6 } N = 6.

A – le nombre de points est un multiple de trois A = ( w 3 , w 6 } N / A = 2.

2. Lancer 2 dés. Ω = {w 11 , w 12 ,…, w 66 }; N =36.

wkl = (un k, b l), k, je =

UN– la somme des nombres (points) est 5. UN = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N / A = 4

.

3. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. Expérience - une boule est tirée.

A – boule noire.

Sur la base de la définition classique de la probabilité, il est facile de prouver les propriétés de la probabilité :

1)P( Ω ) = 1 (N / A = N);

3) Si UN B= Ø, alors P(A + B) = P(A) + P(B)( N / A + B= N / A+ N.B.)

et leurs conséquences

4) R.(Ø) = 0 ( N Ø) = 0;

5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P( ) = 1);

6) Si , alors PENNSYLVANIE) P(B) (N / A N.B.).

Dans l’application pratique de la formule de probabilité classique, le plus difficile est de déterminer le nombre total de résultats également possibles et le nombre de résultats favorables.

Ici, il est utilisé principe de base de la combinatoire : Soit une opération P une séquence de n opérations P k (k=1, …n), dont chacune peut être exécutée de m r manières. L’opération P peut alors être réalisée de différentes manières.

Sélectionnons m éléments (par exemple, des boules) parmi n éléments un par un. On peut renvoyer la boule suivante (au nombre de n boules), puis à chaque sélection suivante nous aurons les mêmes n boules. Un tel échantillon est appelé échantillon content de te revoir. Ou nous pouvons ne pas renvoyer la balle, alors à chaque choix, nous choisirons parmi un nombre toujours plus petit de balles. Un tel échantillon est appelé échantillon pas de retour. En revanche, on peut prendre en compte commande l'apparition de boules. Un tel échantillon est appelé ordonné ou hébergement à partir denballes parmballes. Si l'ordre des boules n'est pas pris en compte lors du choix, seules les boules sélectionnées comptent, mais pas dans quel ordre, alors une telle sélection est appelée désordonné ou combinaison denballes parmballes. Voyons de combien de manières un échantillon particulier peut être réalisé

Les formules de placement s'obtiennent facilement à partir du principe de la combinatoire. Afin de passer des placements (sans retours) aux combinaisons (sans retours), vous devez ordonner les sélections, c'est-à-dire exclure ceux qui diffèrent uniquement par l’ordre des éléments. Les échantillons qui diffèrent uniquement par l'ordre des éléments sont appelés permutations. Le nombre de permutations de m éléments est égal à P m ==m!. C'est pourquoi.

Nous accepterons la formule des combinaisons avec récurrence sans preuve (sa preuve est donnée dans le numéro XV1 aux pp. 50 – 51).

Exemple. Deux boules (m=2) sont sélectionnées dans une urne contenant 3 boules (n=3). Présentons ces échantillons.

1) Hébergements avec retour

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) Hébergement (non remboursable) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3) Combinaisons avec retour (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Combinaisons (sans retour) (1,2) (1,3) (2,3) .

Exemple. Le problème de l'échantillonnage des pièces défectueuses.

Dans un lot de N pièces identiques, M sont défectueuses. Sélectionne (sans revenir) n parties. Quelle est la probabilité que parmi eux il y en ait exactement m défectueux ?

Le nombre total de cas (combinaisons de N parties par n) est égal à . On sélectionne m pièces défectueuses parmi M défectueuses, mais en même temps on sélectionne (n-m) pièces sans défauts parmi N-M pièces sans défauts. Ensuite, selon le principe de base de la combinatoire, un tel choix est favorisé par les cas. La probabilité souhaitée est donc égale à .

Probabilité géométrique

La formule de probabilité classique n’est appliquée que dans le cas, ce qui est assez rare. Attitude P(A)=N / A/ N représente la « fraction » des résultats favorables parmi tous les résultats possibles. De la même manière, la probabilité d'un événement est calculée dans certains cas plus complexes lorsqu'il y a infini nombre tout aussi possible résultats.

Exemple. Problème de réunion. Deux étudiants ont convenu de se rencontrer de 10 à 11 heures à un certain endroit, et le premier arrivé sur place attend un ami pendant 15 minutes et s'en va. Quelle est la probabilité de se rencontrer ?

Choisissons l'origine du système de coordonnées au point (10, 10). Traçons le long des axes du système de coordonnées x - l'heure d'arrivée du premier étudiant, y - l'heure d'arrivée du deuxième étudiant.

Alors l'ensemble |x-y|<1/4, 0

contient des points de rencontre (événements) pour les étudiants. Sa mesure (superficie) mesa est égal à 1- (3/4) 2 = 7/16. Puisque mesW =1, alors P(A) = 7/16.

Probabilité statistique

Les formules de probabilité classique et de probabilité géométrique ne sont valables que pour le cas tout aussi possible résultats. En réalité, en pratique, nous avons inégalement possible résultats. Dans ces cas, vous pouvez déterminer la probabilité d'un événement aléatoire en utilisant le concept fréquence des événements . Supposons que nous devions déterminer la probabilité qu'un événement se produise lors d'un test UN. Pour ce faire, des tests sont réalisés dans des conditions identiques, dans chacune desquelles deux issues sont possibles : UN Et . Fréquence événements A nous appellerons le rapport du nombre N / A essais dans lesquels l'événement A a été enregistré au nombre total N essais.

Probabilité de l'événement A est appelée la limite de la fréquence de l'événement A avec une augmentation illimitée du nombre d'essaisn, ceux. . C'est ainsi qu'il est déterminé probabilité statistique d'un événement .

Notons que selon les définitions classiques, géométriques et statistiques, la probabilité d'un événement P(A) possède trois propriétés principales :

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), si A 1, A n sont deux à deux incohérent. Cependant, dans ces définitions, les événements élémentaires sont supposés également possibles.

UN. Kolmogorov a abandonné l'hypothèse d'égalité de possibilité des événements élémentaires, a introduit l'algèbre sigma des événements et a étendu la troisième propriété à un nombre dénombrable d'événements. Cela a permis de donner une définition axiomatique de la probabilité d'un événement.

Définition axiomatique de la probabilité(d'après A.N. Kolmogorov).

La probabilité P(A) est une fonction numérique définie sur l'algèbre sigma des événements qui satisfait trois axiomes :

1) non-négativité P(A)³0, "AÎB - sigma – algèbre des événements sur W

2) normalisation P(W) = 1

3) axiome d'addition étendu : pour tout événement incompatible par paire A 1 , ... A n ... satisfait

P(UNE 1 + …+UNE n + …) = P(UNE 1) + …+P(UNE n) +…

(additivité dénombrable).

Ainsi, selon A.N. Kolmogorov la probabilité (mesure de probabilité) est une fonction additive numérique normalisée non négative (ensembles – événements) définie sur l'algèbre sigma des événements.

Si W est constitué d'un nombre fini ou dénombrable d'événements, alors l'algèbre S des événements peut être considérée comme l'algèbre sigma B. Alors, par l'axiome 3, la probabilité de tout événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A.

Espace de probabilité appelé un triple (W, B, P).

Propriétés de probabilité

1) . En fait, ils sont incompatibles. D'après l'axiome 3.

2) P(Æ) = 0. Puisque "A A+Æ = A, par l'axiome 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) Si AÌ B, alors P(A) £ P(B). Puisque B = A+ BA, par l'axiome 3 P(B) = P(A) + P(BA), mais par l'axiome 1 P(BA)³0

Exemple. D'une urne à quatre boules portant les numéros 1, 2, 3, 4, on sort une boule au hasard trois fois et on note son numéro a) en rendant les boules b) sans rendre les boules. Quelle est la probabilité 1) d’obtenir une combinaison de 111, 2) de former une séquence croissante à partir des nombres de boules ?

Dans le cas a) nous avons des placements avec retour, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, puisqu'une suite croissante peut toujours être composée de nombres non répétitifs, P = / 4 3.

Dans le cas b) N = ,1) P = 0, puisque les numéros des boules ne sont pas répétés, alors N A =0, 2) P = 1, puisque N = N A = .

Exemple. Cinq personnes montent à bord d'une rame de métro composée de cinq voitures. Quelle est la probabilité qu’ils se retrouvent dans des voitures différentes ?

Le nombre total d'épreuves élémentaires est égal au nombre de placements avec répétition de cinq éléments de cinq N = 5 5 . Le nombre d’événements élémentaires qui composent A est de 5 ! Donc P = 5!/ 5 5.

Les conférences 1 et 2 ont été rédigées sur la base des conférences de V.F. Panov avec l'ajout de matériel original et d'exemples

Théorie des probabilités et statistiques mathématiques

1. Le sujet de la théorie des probabilités et son importance pour résoudre des problèmes économiques et techniques. La probabilité et sa définition

Pendant longtemps, l’humanité a étudié et utilisé uniquement des modèles dits déterministes pour ses activités. Cependant, comme des événements aléatoires font irruption dans nos vies sans notre désir et nous entourent constamment, et de plus, comme presque tous les phénomènes naturels sont de nature aléatoire, il est nécessaire d'apprendre à les étudier et de développer des méthodes d'étude à cet effet.

Selon la forme de manifestation des relations causales, les lois de la nature et de la société sont divisées en deux classes : déterministes (prédéterminées) et statistiques.

Par exemple, sur la base des lois de la mécanique céleste, basées sur les positions actuellement connues des planètes du système solaire, leur position à tout moment donné peut être prédite presque sans ambiguïté, y compris les éclipses solaires et lunaires peuvent être prédites avec une grande précision. Ceci est un exemple de lois déterministes.

Cependant, tous les phénomènes ne peuvent pas être prédits avec précision. Ainsi, les changements climatiques à long terme et les changements météorologiques à court terme ne sont pas des objets pour une prévision réussie, c'est-à-dire de nombreuses lois et modèles s’inscrivent beaucoup moins dans un cadre déterministe. Ces types de lois sont appelés lois statistiques. Selon ces lois, l'état futur du système n'est pas déterminé sans ambiguïté, mais seulement avec une certaine probabilité.

La théorie des probabilités, comme d’autres sciences mathématiques, a été relancée et développée à partir des besoins de la pratique. Elle étudie les modèles inhérents aux événements aléatoires de masse.

La théorie des probabilités étudie les propriétés d’événements aléatoires de masse qui peuvent se répéter plusieurs fois lorsqu’un certain ensemble de conditions est reproduit. La propriété principale de tout événement aléatoire, quelle que soit sa nature, est la mesure ou la probabilité de son apparition.

Les événements (phénomènes) que nous observons peuvent être divisés en trois types : fiables, impossibles et aléatoires.

Un événement dont la réalisation est certaine est appelé certain. Impossible est un événement dont nous savons qu’il ne se produira pas. Un événement aléatoire est un événement qui peut se produire ou ne pas se produire.

La théorie des probabilités ne se donne pas pour tâche de prédire si un événement particulier se produira ou non, puisqu'il est impossible de prendre en compte l'influence de toutes les causes sur un événement aléatoire. D'autre part, il s'avère qu'un nombre suffisamment important d'événements aléatoires homogènes, quelle que soit leur nature spécifique, sont soumis à certains modèles, à savoir les modèles probabilistes.

Ainsi, le sujet de la théorie des probabilités est l’étude des modèles probabilistes d’événements aléatoires de masse homogène.

Certains problèmes liés aux phénomènes aléatoires de masse ont été tentés d'être résolus à l'aide d'appareils mathématiques appropriés dès le début du XVIIe siècle. En étudiant le déroulement et les résultats de divers jeux de hasard, B. Pascal, P. Fermat et H. Huygens ont posé les bases de la théorie classique des probabilités au milieu du XVIIe siècle. Dans leurs travaux, ils ont implicitement utilisé les concepts de probabilité et espérance mathématique variable aléatoire. Seulement au début du XVIIIe siècle. J. Bernoulli formule la notion de probabilité.

La théorie des probabilités doit d'autres succès à Moivre, Laplace, Gauss, Poisson et d'autres.

Des mathématiciens russes et soviétiques comme P.L. ont apporté une énorme contribution au développement de la théorie des probabilités. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, etc.

Une place particulière dans le développement de la théorie des probabilités appartient à l'école ouzbek, dont les représentants éminents sont les académiciens V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, professeur I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khachimov et autres.

Comme nous l'avons déjà noté, les besoins de la pratique, ayant contribué à l'émergence de la théorie des probabilités, ont nourri son développement en tant que science, conduisant à l'émergence d'un nombre croissant de ses branches et sections. Basé sur la théorie des probabilités statistiques mathématiques, dont la tâche est de reconstruire, à partir d'un échantillon, avec un certain degré de fiabilité, les caractéristiques inhérentes à la population générale. Des branches scientifiques telles que la théorie des processus aléatoires, la théorie des files d'attente, la théorie de l'information, la théorie de la fiabilité, la modélisation économétrique, etc. ont été séparées de la théorie des probabilités.

Les domaines d'application les plus importants de la théorie des probabilités comprennent les sciences économiques et techniques. Actuellement, il est difficile d'imaginer l'étude des phénomènes économiques et techniques sans modélisation basée sur la théorie des probabilités, sans modèles d'analyse de corrélation et de régression, d'adéquation et de modèles adaptatifs « sensibles ».

Les événements survenant dans les flux de circulation, le degré de fiabilité des composants de la machine, les accidents de voiture sur les routes, diverses situations dans le processus de conception des routes en raison de leur indéterminisme font partie de l'éventail des problèmes étudiés à l'aide des méthodes de la théorie des probabilités.

Les concepts de base de la théorie des probabilités sont l’expérience ou l’expérience et les événements. Nous appelons une expérience les actions réalisées dans certaines conditions et circonstances. Chaque mise en œuvre spécifique d’une expérience est appelée un test.

Tout résultat imaginable d'une expérience est appelé un événement élémentaire et est désigné par. Les événements aléatoires sont constitués d'un certain nombre d'événements élémentaires et sont notés A, B, C, D,...

Un ensemble d'événements élémentaires tels que

1) à la suite d'une expérience, l'un des événements élémentaires se produit toujours ;

2) au cours d'un essai, un seul événement élémentaire se produira, appelé espace des événements élémentaires et noté par.

Ainsi, tout événement aléatoire est un sous-ensemble de l’espace des événements élémentaires. Par définition de l'espace des événements élémentaires, un événement fiable peut être désigné par. Un événement impossible est désigné par.

Exemple 1 : Un dé est lancé. L'espace des événements élémentaires correspondant à cette expérience a la forme suivante :

Exemple 2. Que l'urne contienne 2 boules rouges, 3 bleues et 1 blanche, pour un total de 6 boules. L'expérience consiste à tirer au hasard des boules dans une urne. L'espace des événements élémentaires correspondant à cette expérience a la forme suivante :

où les événements élémentaires ont les significations suivantes : - une boule blanche est apparue ; - une boule rouge est apparue ; - une boule bleue est apparue. Considérez les événements suivants :

A - l'apparition d'une boule blanche ;

B -- l'apparition d'une boule rouge ;

C - l'apparition d'une boule bleue ;

D -- l'apparition d'une boule colorée (non blanche).

Nous voyons ici que chacun de ces événements a l'un ou l'autre degré de possibilité : certains sont plus grands, d'autres moins. Évidemment, le degré de possibilité de l’événement B est supérieur à celui de l’événement A ; événements C - que les événements B ; événements D - que événements C. Afin de comparer quantitativement les événements entre eux selon le degré de leur possibilité, il est évidemment nécessaire d'associer à chaque événement un certain nombre, qui est d'autant plus grand que l'événement est possible.

Nous désignons ce nombre par et l'appelons la probabilité de l'événement A. Donnons maintenant la définition de la probabilité.

Que l'espace des événements élémentaires soit un ensemble fini et que ses éléments soient. Nous supposerons qu'il s'agit d'événements élémentaires également possibles, c'est-à-dire chaque événement élémentaire n'a pas plus de chance de se produire que les autres. Comme on le sait, chaque événement aléatoire A est constitué d'événements élémentaires en tant que sous-ensemble. Ces événements élémentaires sont dits favorables à A.

La probabilité de l'événement A est déterminée par la formule

où m est le nombre d'événements élémentaires favorables pour A, n est le nombre de tous les événements élémentaires inclus dans.

Si dans l'exemple 1 A désigne l'événement selon lequel un nombre pair de points sera lancé, alors

Dans l'exemple 2, les probabilités d'événements ont les valeurs suivantes :

Les propriétés suivantes découlent de la définition de la probabilité :

1. La probabilité d’un événement fiable est égale à un.

En effet, si un événement est fiable, alors tous les événements élémentaires le favorisent. Dans ce cas m=n et donc

2. La probabilité d’un événement impossible est nulle.

En effet, si un événement est impossible, alors aucun événement élémentaire ne le favorise. Dans ce cas m=0 et donc

3. La probabilité d’un événement aléatoire est un nombre positif compris entre zéro et un.

En effet, seule une partie du nombre total d’événements élémentaires favorise un événement aléatoire. Dans ce cas, et donc, et donc,

Ainsi, la probabilité de tout événement satisfait aux inégalités

La fréquence relative d'un événement est le rapport entre le nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit et le nombre total d'essais réellement effectués.

Ainsi, la fréquence relative de l'événement A est déterminée par la formule

où m est le nombre d'occurrences de l'événement, n est le nombre total d'essais.

En comparant les définitions de probabilité et de fréquence relative, nous concluons : la définition de probabilité n’exige pas que les tests soient effectivement effectués ; la détermination de la fréquence relative suppose que les tests ont été effectivement réalisés.

Exemple 3. Sur 80 pièces identiques sélectionnées au hasard, 3 pièces défectueuses ont été identifiées. La fréquence relative des pièces défectueuses est

Exemple 4. Au cours de l'année, 24 inspections ont été effectuées dans l'une des installations et 19 violations de la loi ont été enregistrées. La fréquence relative des violations de la loi est

Des observations à long terme ont montré que si des expériences sont réalisées dans des conditions identiques, dans chacune desquelles le nombre de tests est assez important, alors la fréquence relative change peu (moins il y en a, plus on effectue de tests), fluctuant autour d'une certaine constante nombre. Il s’est avéré que ce nombre constant représente la probabilité que l’événement se produise.

Ainsi, si la fréquence relative est établie expérimentalement, le nombre résultant peut être considéré comme une valeur de probabilité approximative. C'est la définition statistique de la probabilité.

En conclusion, regardons la définition géométrique de la probabilité.

Si l'espace des événements élémentaires est considéré comme une certaine aire sur un plan ou dans l'espace, et A comme son sous-ensemble, alors la probabilité de l'événement A sera considérée comme le rapport des aires ou volumes de A et, et sera trouvée selon les formules suivantes :

Questions de répétition et de contrôle :

1. En quelles classes les lois de la nature et de la société sont-elles divisées selon la forme de manifestation des relations causales ?

2. En quels types d’événements peut-on diviser ?

3. Quel est le sujet de la théorie des probabilités ?

4. Que savez-vous de l'histoire du développement de la théorie des probabilités ?

5. Quelle est l’importance de la théorie des probabilités pour les problèmes économiques et techniques ?

6. Qu'est-ce qu'une expérience, un test, un événement élémentaire et un événement, comment sont-ils désignés ?

7. Qu'appelle-t-on l'espace des événements élémentaires ?

8. Comment est déterminée la probabilité d’un événement ?

9. Quelles propriétés de probabilité connaissez-vous ?

10. Que savez-vous de la fréquence relative d’un événement ?

11. Quelle est l'essence de la définition statistique de la probabilité ?

12. Quelle est la définition géométrique de la probabilité ?

Biographie et œuvres d'A.N. Kolmogorov

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Espace vectoriel. Résoudre graphiquement des problèmes de programmation linéaire

Examinons maintenant plusieurs problèmes de programmation linéaire et résolvons-les graphiquement. Problème 1. max Z = 1+ - , . Solution. Notons que les demi-plans définis par le système d'inégalités de ce problème n'ont pas de points communs (Figure 2, alors F(x) = .

Laisser X Î ( b,+¥], puis F(x) = = 0 + .

Trouvons la médiane x 0,5. Nous avons F(x 0,5) = 0,5, donc

Ainsi, la médiane de la distribution uniforme coïncide avec le milieu du segment. La figure 1 montre le graphique de densité r(X) et fonctions de distribution F(x)

pour une distribution uniforme.

Répartition normale

Définition 7. Une variable aléatoire continue a une distribution normale, avec deux paramètres a, s, si

, s>0. (5)

Le fait qu’une variable aléatoire ait une distribution normale sera brièvement écrit sous la forme X ~ N(un;s).

Montrons que p(x) - densité

(montré dans la leçon 6).

Graphique de densité distribution normale(Fig. 3) est appelée courbe normale (courbe de Gauss).

La densité de distribution est symétrique par rapport à une ligne droite X = un. Si X® ¥, puis r(X) ® 0. À mesure que s diminue, le graphique se « contracte » vers l’axe de symétrie X = un.

Jeux de distribution normale rôle spécial en théorie des probabilités et ses applications. Cela est dû au fait que, conformément à la directive centrale théorème limite théorie des probabilités, lorsque certaines conditions sont remplies, la somme d'un grand nombre variables aléatoires a une distribution « à peu près » normale.

Parce que - densité loi normale distributions avec paramètres UN= 0 et s =1, alors la fonction = F(X), qui sert à calculer la probabilité , est la fonction de distribution de la distribution normale avec paramètres UN= 0 et s =1.

Fonction de distribution d'une variable aléatoire X avec des paramètres arbitraires UN, s peut être exprimé par F(X) – fonction de distribution d'une variable aléatoire normale avec paramètres UN= 0 et s =1.

Laisser X ~ N(un;s), alors

. (6)

Faisons un changement de variables sous le signe intégral, on obtient

=

F(x) = . (7)

DANS applications pratiques La théorie des probabilités nécessite souvent de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle donné. Conformément à la formule (7), cette probabilité peut être trouvée à partir de valeurs du tableau Fonctions de Laplace

Trouvons la médiane d'une variable aléatoire normale X ~ N(un;s). Puisque la densité de distribution p(x) est symétrique par rapport à l'axe X = UN, Que

r(X < un) = p(x > un) = 0,5.

Par conséquent, la médiane d’une variable aléatoire normale coïncide avec le paramètre UN:

X 0,5 = UN.

Tâche 1. Les rames de métro circulent toutes les 2 minutes. Le passager entre sur la plate-forme à un moment donné. Le temps X pendant lequel il devra attendre le train est une variable aléatoire répartie avec une densité uniforme sur la surface (0, 2) min. Trouvez la probabilité qu'un passager n'attende pas plus de 0,5 minute pour le prochain train.

Solution. C'est évident que p(x)= 1/2. Alors, P 0,5 = P( 1,5 2) = = 0,25