પ્રથમ, ત્રિજ્યા 1 સાથે વર્તુળ અને કેન્દ્ર (0;0) પર વિચાર કરો. કોઈપણ αЄR માટે, ત્રિજ્યા 0A દોરવામાં આવી શકે છે જેથી 0A અને 0x અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું રેડિયન માપ α ની બરાબર હોય. કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ દિશા હકારાત્મક માનવામાં આવે છે. ત્રિજ્યા A ના અંતમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (a,b) હોવા દો.
સાઈનની વ્યાખ્યા
વ્યાખ્યા: સંખ્યા b, વર્ણવેલ રીતે બાંધવામાં આવેલ એકમ ત્રિજ્યાના ઓર્ડિનેટની બરાબર છે, તેને sinα દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે અને તેને કોણ α ની સાઈન કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
કોસાઇનની વ્યાખ્યા
વ્યાખ્યા: સંખ્યા a, વર્ણવેલ રીતે બાંધવામાં આવેલ એકમ ત્રિજ્યાના અંતના એબ્સીસા સમાન, cosα દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને કોણ α ની કોસાઈન કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
આ ઉદાહરણો એકમ ત્રિજ્યાના અંતના કોઓર્ડિનેટના સંદર્ભમાં કોણની સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે અને એકમ વર્તુળ. વધુ વિઝ્યુઅલ રજૂઆત માટે, તમારે એક એકમ વર્તુળ દોરવાની અને તેના પર અનુરૂપ બિંદુઓને પ્લોટ કરવાની જરૂર છે, અને પછી સાઈનની ગણતરી કરવા માટે કોસાઈન અને ઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવા માટે તેમના એબ્સિસાસની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
સ્પર્શક વ્યાખ્યા
વ્યાખ્યા: x≠π/2+πk, kЄZ માટે tgx=sinx/cosx ફંક્શન, કોણ x નું કોટેન્જેન્ટ કહેવાય છે. વ્યાખ્યાનું ડોમેન tgx કાર્યોઆ બધું છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, x=π/2+πn, nЄZ સિવાય.
ઉદાહરણ: tg0 tgπ = 0 0 = 0
આ ઉદાહરણ અગાઉના એક જેવું જ છે. ખૂણાના સ્પર્શકની ગણતરી કરવા માટે, તમારે બિંદુના ઓર્ડિનેટને તેના એબ્સિસા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા
વ્યાખ્યા: x≠πk, kЄZ માટે ફંક્શન ctgx=cosx/sinx એ કોણ xનું કોટેન્જેન્ટ કહેવાય છે. ctgx = ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ પોઈન્ટ x=πk, kЄZ સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
ચાલો નિયમિત કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ જોઈએ
કોસાઈન, સાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તે સ્પષ્ટ કરવા માટે. ચાલો કોણ y અને સાથે નિયમિત કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ જોઈએ બાજુઓ a,b,c. હાયપોટેન્યુસ c, legs a અને b અનુક્રમે. કર્ણ c અને પગ b y વચ્ચેનો ખૂણો.
વ્યાખ્યા:કોણ y ની સાઈન એ ગુણોત્તર છે વિરુદ્ધ પગકર્ણ માટે: siny = a/c
વ્યાખ્યા:કોણ y નું કોસાઇન એ કર્ણોની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે: cosy= in/c
વ્યાખ્યા:કોણ y ની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: tgy = a/b
વ્યાખ્યા:કોણ y નો સહસ્પર્શક એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: ctgy= in/a
સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટને ત્રિકોણમિતિ ફંક્શન પણ કહેવામાં આવે છે. દરેક ખૂણાની પોતાની સાઈન અને કોસાઈન હોય છે. અને લગભગ દરેક પાસે પોતપોતાની સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ હોય છે.
એવું માનવામાં આવે છે કે જો આપણને કોઈ ખૂણો આપવામાં આવે, તો તેની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ આપણને ઓળખાય છે! અને ઊલટું. અનુક્રમે સાઈન અથવા અન્ય કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ કાર્યને જોતાં, આપણે કોણ જાણીએ છીએ. જ્યાં ખાસ ટેબલ પણ બનાવવામાં આવ્યા છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોદરેક ખૂણા માટે.
સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ શું છે તે તમને સમજવામાં મદદ કરશે જમણો ત્રિકોણ.
કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓને શું કહે છે? તે સાચું છે, કર્ણ અને પગ: કર્ણો એ બાજુ છે જે કાટખૂણાની સામે આવેલું છે (અમારા ઉદાહરણમાં આ બાજુ \(AC\) છે); પગ એ બે બાકીની બાજુઓ \(AB\) અને \(BC\) (જેને અડીને છે. જમણો ખૂણો), અને, જો આપણે કોણ \(BC\) થી સંબંધિત પગને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પગ \(AB\) એ અડીને આવેલ પગ છે, અને પગ \(BC\) વિરુદ્ધ છે. તો, ચાલો હવે પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ: કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે?
કોણની સાઈન- આ કર્ણના વિરુદ્ધ (દૂરના) પગનો ગુણોત્તર છે.
આપણા ત્રિકોણમાં:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
કોણનું કોસાઇન- આ કર્ણને અડીને (બંધ) પગનો ગુણોત્તર છે.
આપણા ત્રિકોણમાં:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
કોણની સ્પર્શક- આ અડીને (બંધ) ની વિરુદ્ધ (દૂર) બાજુનો ગુણોત્તર છે.
આપણા ત્રિકોણમાં:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
કોણનું કોટિંજન્ટ- આ બાજુના (નજીક) પગનો વિરુદ્ધ (દૂર) નો ગુણોત્તર છે.
આપણા ત્રિકોણમાં:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
આ વ્યાખ્યાઓ જરૂરી છે યાદ રાખો! કયા પગને કયામાં વિભાજીત કરવો તે યાદ રાખવું સરળ બનાવવા માટે, તમારે તે સ્પષ્ટપણે સમજવાની જરૂર છે સ્પર્શકઅને કોટેન્જેન્ટફક્ત પગ બેસે છે, અને કર્ણ ફક્ત અંદર દેખાય છે સાઇનસઅને કોસાઇન. અને પછી તમે સંગઠનોની સાંકળ સાથે આવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક:
કોસાઇન → ટચ → ટચ → અડીને;
કોટેન્જેન્ટ → ટચ → ટચ → અડીને.
સૌ પ્રથમ, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ કારણ કે ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર આ બાજુઓની લંબાઈ (સમાન કોણ પર) પર આધારિત નથી. મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? પછી ચિત્ર જોઈને ખાતરી કરો:
ઉદાહરણ તરીકે, કોણનો કોસાઇન \(\beta \) ધ્યાનમાં લો. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ત્રિકોણમાંથી \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), પરંતુ આપણે ત્રિકોણ \(AHI \) માંથી કોણ \(\beta \) ના કોસાઈનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). તમે જુઓ છો, બાજુઓની લંબાઈ અલગ છે, પરંતુ એક ખૂણાના કોસાઈનનું મૂલ્ય સમાન છે. આમ, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો માત્ર કોણની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.
જો તમે વ્યાખ્યાઓ સમજો છો, તો આગળ વધો અને તેમને એકીકૃત કરો!
નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ ત્રિકોણ \(ABC \) માટે, આપણે શોધીએ છીએ \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg \ \alpha \).
\(\begin(એરે)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(એરે) \)
સારું, તમને તે મળ્યું? પછી તેને જાતે અજમાવી જુઓ: કોણ \(\beta \) માટે સમાન ગણતરી કરો.
જવાબો: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
એકમ (ત્રિકોણમિતિ) વર્તુળ
ડિગ્રી અને રેડિયનની વિભાવનાઓને સમજીને, અમે \(1\) ની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ ગણીએ છીએ. આવા વર્તુળ કહેવાય છે એકલ. ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે તે ખૂબ જ ઉપયોગી થશે. તેથી, ચાલો તેને થોડી વધુ વિગતમાં જોઈએ.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આપેલ વર્તુળબિલ્ટ ઇન કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસંકલન વર્તુળ ત્રિજ્યા એક સમાન, જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર મૂળ પર આવેલું છે, પ્રારંભિક સ્થિતિત્રિજ્યા વેક્ટર એ \(x\) અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે નિશ્ચિત છે (અમારા ઉદાહરણમાં, આ ત્રિજ્યા \(AB\) છે).
વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ બે સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે: \(x\) અક્ષ સાથે સંકલન અને \(y\) અક્ષ સાથે સંકલન. આ સંકલન સંખ્યાઓ શું છે? અને સામાન્ય રીતે, તેઓ પાસે વિષય સાથે શું કરવાનું છે? આ કરવા માટે, આપણે ધ્યાનમાં લેવાયેલા જમણા ત્રિકોણ વિશે યાદ રાખવાની જરૂર છે. ઉપરની આકૃતિમાં, તમે બે સંપૂર્ણ જમણા ત્રિકોણ જોઈ શકો છો. ત્રિકોણ \(ACG\) ને ધ્યાનમાં લો. તે લંબચોરસ છે કારણ કે \(CG\) એ \(x\) અક્ષને લંબ છે.
ત્રિકોણ \(ACG \) માંથી \(\cos \ \alpha \) શું છે? તે સાચું છે \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). વધુમાં, આપણે જાણીએ છીએ કે \(AC\) એ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, જેનો અર્થ થાય છે \(AC=1\) . ચાલો આ મૂલ્યને કોસાઇન માટેના અમારા સૂત્રમાં બદલીએ. શું થાય છે તે અહીં છે:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
ત્રિકોણમાંથી \(\sin \ \alpha \) \(ACG \) બરાબર શું છે? અલબત્ત \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! આ સૂત્રમાં ત્રિજ્યા \(AC\) ની કિંમત બદલો અને મેળવો:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
તો, શું તમે કહી શકો છો કે વર્તુળ સાથે જોડાયેલા બિંદુ \(C\) શું સંકલન કરે છે? સારું, કોઈ રસ્તો નથી? જો તમને ખ્યાલ આવે કે \(\cos \ \alpha \) અને \(\sin \alpha \) માત્ર સંખ્યાઓ છે? \(\cos \alpha \) કયા સંકલનને અનુરૂપ છે? ઠીક છે, અલબત્ત, સંકલન \(x\)! અને \(\sin \alpha \) કયા સંકલનને અનુરૂપ છે? તે સાચું છે, સંકલન \(y\)! તેથી બિંદુ \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
તો પછી \(tg \alpha \) અને \(ctg \alpha \) બરાબર શું છે? તે સાચું છે, ચાલો સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ અને તે મેળવીએ \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), એ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
જો કોણ મોટો હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, આ ચિત્રની જેમ:
માં શું બદલાયું છે આ ઉદાહરણમાં? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ફરીથી કાટકોણ ત્રિકોણ તરફ વળીએ. કાટકોણ ત્રિકોણનો વિચાર કરો \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : કોણ (કોણને અડીને \(\beta \) ). કોણ માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટનું મૂલ્ય શું છે \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? તે સાચું છે, અમે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓનું પાલન કરીએ છીએ:
\(\begin(એરે)(l)\sin \કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac((C)_(1))G)(1)=(C)_(1))G=y; \\\cos \કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\કોણ ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(એરે) \)
ઠીક છે, જેમ તમે જોઈ શકો છો, કોણની સાઈનનું મૂલ્ય હજુ પણ સંકલન \(y\) ને અનુરૂપ છે; કોણના કોસાઇનનું મૂલ્ય - સંકલન \(x\); અને અનુરૂપ ગુણોત્તર માટે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો. આમ, આ સંબંધો ત્રિજ્યા વેક્ટરના કોઈપણ પરિભ્રમણને લાગુ પડે છે.
તે પહેલાથી જ ઉલ્લેખિત છે કે ત્રિજ્યા વેક્ટરની પ્રારંભિક સ્થિતિ \(x\) અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે છે. અત્યાર સુધી આપણે આ વેક્ટરને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવ્યું છે, પરંતુ જો આપણે તેને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવીએ તો શું થશે? અસાધારણ કંઈ નથી, તમને ચોક્કસ મૂલ્યનો કોણ પણ મળશે, પરંતુ માત્ર તે નકારાત્મક હશે. આમ, ત્રિજ્યા વેક્ટરને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતી વખતે, આપણને મળે છે હકારાત્મક ખૂણા , અને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવતી વખતે - નકારાત્મક
તેથી, આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની આસપાસ ત્રિજ્યા વેક્ટરની સંપૂર્ણ ક્રાંતિ \(360()^\circ \) અથવા \(2\pi \) છે. શું ત્રિજ્યા વેક્ટરને \(390()^\circ \) દ્વારા અથવા \(-1140()^\circ \) દ્વારા ફેરવવાનું શક્ય છે? સારું, અલબત્ત તમે કરી શકો છો! પ્રથમ કિસ્સામાં, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), આમ, ત્રિજ્યા વેક્ટર એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરશે અને \(30()^\circ \) અથવા \(\dfrac(\pi )(6) \) સ્થાન પર અટકશે.
બીજા કિસ્સામાં, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), એટલે કે, ત્રિજ્યા વેક્ટર ત્રણ બનાવશે સંપૂર્ણ ક્રાંતિઅને \(-60()^\circ \) અથવા \(-\dfrac(\pi )(3) \) પર અટકી જશે.
આમ, ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે \(360()^\circ \cdot m \) અથવા \(2\pi \cdot m \) (જ્યાં \(m \) કોઈપણ પૂર્ણાંક છે ) થી અલગ પડે છે. ત્રિજ્યા વેક્ટરની સમાન સ્થિતિને અનુરૂપ છે.
નીચેની આકૃતિ કોણ બતાવે છે \(\beta =-60()^\circ \). સમાન છબી ખૂણાને અનુરૂપ છે \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)વગેરે આ સૂચિ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. આ બધા ખૂણાઓ સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા લખી શકાય છે \(\beta +360()^\circ \cdot m\)અથવા \(\beta +2\pi \cdot m \) (જ્યાં \(m \) કોઈપણ પૂર્ણાંક છે)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(એરે) \)
હવે, મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ જાણીને અને એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, મૂલ્યો શું છે તેનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરો:
\(\begin(એરે)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(એરે) \)
તમને મદદ કરવા માટે અહીં એક એકમ વર્તુળ છે:
મુશ્કેલીઓ આવી રહી છે? પછી ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે:
\(\begin(એરે)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\અંત(એરે)\)
અહીંથી, અમે ચોક્કસ ખૂણાના માપને અનુરૂપ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ. સારું, ચાલો ક્રમમાં શરૂ કરીએ: ખૂણામાં \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુલક્ષે છે \(\left(0;1 \right) \), તેથી:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
આગળ, સમાન તર્કને વળગી રહેવું, આપણે શોધીએ છીએ કે ખૂણાઓ અંદર છે \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ )કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓને અનુરૂપ \(\left(-1;0 \જમણે),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \જમણે) \), અનુક્રમે. આ જાણીને, અનુરૂપ બિંદુઓ પર ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો નક્કી કરવાનું સરળ છે. પહેલા તેને જાતે અજમાવી જુઓ અને પછી જવાબો તપાસો.
જવાબો:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- અસ્તિત્વમાં નથી
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- અસ્તિત્વમાં નથી
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- અસ્તિત્વમાં નથી
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
આમ, આપણે નીચેનું કોષ્ટક બનાવી શકીએ છીએ:
આ બધા મૂલ્યોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી. એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને યાદ રાખવા માટે તે પૂરતું છે:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(એરે) \right\)\ \text(તમારે યાદ રાખવું જોઈએ અથવા તેને પ્રદર્શિત કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ!! \) !}
પરંતુ અને માં ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ:
ડરશો નહીં, હવે અમે તમને અનુરૂપ મૂલ્યોના એકદમ સરળ યાદ રાખવાનું એક ઉદાહરણ બતાવીશું:
આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, ખૂણાના ત્રણેય માપો માટે સાઈન મૂલ્યોને યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), તેમજ \(30()^\circ \) માં ખૂણાના સ્પર્શકનું મૂલ્ય. આ \(4\) મૂલ્યોને જાણીને, સમગ્ર કોષ્ટકને પુનઃસ્થાપિત કરવું એકદમ સરળ છે - કોસાઇન મૂલ્યો તીરો અનુસાર સ્થાનાંતરિત થાય છે, એટલે કે:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\અંત(એરે)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), આ જાણીને, તમે માટે મૂલ્યો પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). અંશ "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ને અનુરૂપ હશે અને છેદ "\(\sqrt(\text(3)) \)" અનુરૂપ હશે \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . કોટેન્જેન્ટ મૂલ્યો આકૃતિમાં દર્શાવેલ તીરો અનુસાર સ્થાનાંતરિત થાય છે. જો તમે આ સમજો છો અને તીર સાથેનો આકૃતિ યાદ રાખો છો, તો તે ટેબલમાંથી ફક્ત \(4\) મૂલ્યો યાદ રાખવા માટે પૂરતું હશે.
વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ
શું વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ, તેની ત્રિજ્યા અને પરિભ્રમણના કોણને જાણીને વર્તુળ પર કોઈ બિંદુ (તેના કોઓર્ડિનેટ્સ) શોધવાનું શક્ય છે? સારું, અલબત્ત તમે કરી શકો છો! ચાલો તેને બહાર કાઢીએ સામાન્ય સૂત્રબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે. ઉદાહરણ તરીકે, અહીં આપણી સામે એક વર્તુળ છે:
અમને તે બિંદુ આપવામાં આવે છે \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- વર્તુળનું કેન્દ્ર. વર્તુળની ત્રિજ્યા \(1.5\) છે. બિંદુ \(O\) ને \(\delta \) ડિગ્રી દ્વારા ફેરવીને મેળવેલા બિંદુ \(P\) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે.
આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બિંદુ \(P\) નો સંકલન \(x\) સેગમેન્ટની લંબાઈને અનુલક્ષે છે \(TP=UQ=UK+KQ\) . સેગમેન્ટની લંબાઈ \(UK\) વર્તુળના કેન્દ્રના સંકલન \(x\) ને અનુરૂપ છે, એટલે કે, તે \(3\) ની બરાબર છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ \(KQ\) કોસાઈનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
પછી આપણી પાસે તે બિંદુ \(P\) સંકલન માટે છે \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બિંદુ \(P\) માટે y સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આમ,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
તેથી, સામાન્ય રીતે, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
\(\begin(એરે)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=(y)_(0))+r\cdot \sin \ ડેલ્ટા \ એન્ડ(એરે) \), ક્યાં
\((x)_(0)),((y)_(0)) \) - વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ,
\(r\) - વર્તુળની ત્રિજ્યા,
\(\ડેલ્ટા \) - વેક્ટર ત્રિજ્યાનો પરિભ્રમણ કોણ.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમે જે એકમ વર્તુળ પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ, આ સૂત્રો નોંધપાત્ર રીતે ઓછા થયા છે, કારણ કે કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય સમાન છે અને ત્રિજ્યા એક સમાન છે:
\(\begin(એરે)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(એરે) \)
તમારા બ્રાઉઝરમાં Javascript અક્ષમ છે.ગણતરીઓ કરવા માટે, તમારે ActiveX નિયંત્રણોને સક્ષમ કરવું આવશ્યક છે!
શિક્ષકો માને છે કે દરેક વિદ્યાર્થી ગણતરીઓ હાથ ધરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ, જાણો ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, પરંતુ દરેક શિક્ષક સાઈન અને કોસાઈન શું છે તે સમજાવતા નથી. તેમનો અર્થ શું છે, તેઓ ક્યાં વપરાય છે? શા માટે આપણે ત્રિકોણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરંતુ પાઠ્યપુસ્તક વર્તુળ બતાવે છે? ચાલો બધા તથ્યોને એકસાથે જોડવાનો પ્રયાસ કરીએ.
શાળા વિષય
ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે ગ્રેડ 7-8માં શરૂ થાય છે ઉચ્ચ શાળા. આ સમયે, વિદ્યાર્થીઓને સાઈન અને કોસાઈન શું છે તે સમજાવવામાં આવે છે અને આ ફંકશનનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે. વધુ પછી દેખાશે જટિલ સૂત્રોઅને અભિવ્યક્તિઓ જે જરૂરી છે બીજગણિતીય રીતેરૂપાંતર (ડબલ અને અડધા ખૂણાના સૂત્રો, પાવર કાર્યો), કાર્ય ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે.
જો કે, શિક્ષકો હંમેશા ઉપયોગમાં લેવાતા વિભાવનાઓનો અર્થ અને સૂત્રોની પ્રયોજ્યતા સ્પષ્ટ રીતે સમજાવી શકતા નથી. તેથી, વિદ્યાર્થી ઘણીવાર આ વિષયમાં મુદ્દો જોતો નથી, અને યાદ કરેલી માહિતી ઝડપથી ભૂલી જાય છે. જો કે, હાઇ સ્કૂલના વિદ્યાર્થીને એકવાર સમજાવવું યોગ્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન અને વચ્ચેનું જોડાણ ઓસીલેટરી ચળવળ, અને લોજિકલ કનેક્શન ઘણા વર્ષોથી યાદ રાખવામાં આવશે, અને વિષયની નકામી વિશે ટુચકાઓ ભૂતકાળની વાત બની જશે.
ઉપયોગ
જિજ્ઞાસા ખાતર, ચાલો ભૌતિકશાસ્ત્રની વિવિધ શાખાઓ જોઈએ. શું તમે અસ્ત્રની શ્રેણી નક્કી કરવા માંગો છો? અથવા તમે પદાર્થ અને ચોક્કસ સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરી રહ્યા છો? લોલકને ઝૂલતા, કાચમાંથી પસાર થતા કિરણોને જોતા, ઇન્ડક્શનની ગણતરી કરીએ છીએ? લગભગ કોઈપણ ફોર્મ્યુલામાં તેઓ દેખાય છે ત્રિકોણમિતિ ખ્યાલો. તો સાઈન અને કોસાઈન શું છે?
વ્યાખ્યાઓ
કોણની સાઈન એ કર્ણાની સામેની બાજુનો ગુણોત્તર છે, કોસાઈન એ સમાન કર્ણોની બાજુની બાજુનો ગુણોત્તર છે. અહીં સંપૂર્ણપણે કંઈ જટિલ નથી. કદાચ વિદ્યાર્થીઓ સામાન્ય રીતે તેઓ જે અર્થમાં જુએ છે તેનાથી મૂંઝવણમાં હોય છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક, કારણ કે ચોરસ મૂળ ત્યાં દેખાય છે. હા, તેમની પાસેથી દશાંશ મેળવવું બહુ અનુકૂળ નથી, પરંતુ કોણે કહ્યું કે ગણિતમાં બધી સંખ્યાઓ સમાન હોવી જોઈએ?
વાસ્તવમાં, તમે ત્રિકોણમિતિ સમસ્યા પુસ્તકોમાં એક રમુજી સંકેત શોધી શકો છો: અહીં મોટાભાગના જવાબો સમાન છે અને, સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં, બે અથવા ત્રણના મૂળ ધરાવે છે. નિષ્કર્ષ સરળ છે: જો તમારો જવાબ "મલ્ટી-સ્ટોરી" અપૂર્ણાંક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો ગણતરી અથવા તર્કમાં ભૂલો માટે ઉકેલને બે વાર તપાસો. અને તમે મોટે ભાગે તેમને શોધી શકશો.
શું યાદ રાખવું
કોઈપણ વિજ્ઞાનની જેમ, ત્રિકોણમિતિમાં ડેટા છે જે શીખવાની જરૂર છે.
પ્રથમ, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોસાઈન માટે, કાટકોણ ત્રિકોણ 0 અને 90, તેમજ 30, 45 અને 60 ડિગ્રીના કોસાઈન્સ. આ સૂચકાંકો દસમાંથી નવમાં જોવા મળે છે શાળા કાર્યો. પાઠ્યપુસ્તકમાં આ મૂલ્યોને જોઈને, તમે ઘણો સમય ગુમાવશો, અને પરીક્ષા અથવા પરીક્ષા દરમિયાન તેમને જોવા માટે ક્યાંય નહીં હોય.
તે યાદ રાખવું જોઈએ કે બંને કાર્યોનું મૂલ્ય એક કરતાં વધી શકતું નથી. જો તમારી ગણતરીમાં ક્યાંય પણ તમને 0-1 શ્રેણીની બહારનું મૂલ્ય મળે, તો રોકો અને સમસ્યાનો ફરીથી પ્રયાસ કરો.
સાઈન અને કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો એક સમાન છે. જો તમને પહેલાથી જ એક મૂલ્ય મળી ગયું હોય, તો બાકીનું એક શોધવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
પ્રમેય
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિમાં બે મૂળભૂત પ્રમેય છે: સાઈન અને કોસાઈન્સ.
પ્રથમ જણાવે છે કે ત્રિકોણની પ્રત્યેક બાજુનો વિપરીત કોણની સાઈનનો ગુણોત્તર સમાન છે. બીજું એ છે કે બાકીની બે બાજુઓના ચોરસ ઉમેરીને અને તેમના બેવડા ગુણાંકને બાદ કરીને, તેમની વચ્ચે પડેલા ખૂણાના કોસાઇનથી ગુણાકાર કરીને કોઈપણ બાજુનો વર્ગ મેળવી શકાય છે.
આમ, જો આપણે કોસાઇન પ્રમેયમાં 90 ડિગ્રીના ખૂણાના મૂલ્યને બદલીએ, તો આપણને... પાયથાગોરિયન પ્રમેય મળે છે. હવે, જો તમારે કાટકોણ ત્રિકોણ ન હોય તેવા આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે હવે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી - ચર્ચા કરેલ બે પ્રમેય સમસ્યાના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવશે.
ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યો
ત્રિકોણમિતિ શીખવી વધુ સરળ બની જશે જ્યારે તમે એક સાદી હકીકત સમજો છો: તમે કરો છો તે બધી ક્રિયાઓ માત્ર એક ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે છે. ત્રિકોણના કોઈપણ પરિમાણો શોધી શકાય છે જો તમે તેના વિશેની ન્યૂનતમ માહિતી જાણો છો - આ એક ખૂણાનું મૂલ્ય અને બે બાજુઓની લંબાઈ અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ બાજુઓ હોઈ શકે છે.
કોઈપણ ખૂણાની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક નક્કી કરવા માટે, આ ડેટા પૂરતો છે અને તેમની મદદથી તમે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની સરળતાથી ગણતરી કરી શકો છો. લગભગ હંમેશા, જવાબ માટે ઉલ્લેખિત મૂલ્યોમાંથી એકની જરૂર હોય છે, અને તે સમાન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
ત્રિકોણમિતિ શીખવામાં અસંગતતા
એક કોયડારૂપ પ્રશ્નો કે જે શાળાના બાળકો ટાળવાનું પસંદ કરે છે તે વચ્ચેના જોડાણની શોધ છે વિવિધ ખ્યાલોત્રિકોણમિતિમાં. એવું લાગે છે કે ત્રિકોણનો ઉપયોગ ખૂણાઓની સાઈન અને કોસાઈન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે, પરંતુ કેટલાક કારણોસર ચિહ્નો ઘણીવાર વર્તુળ સાથેની આકૃતિમાં જોવા મળે છે. વધુમાં, ત્યાં એક સંપૂર્ણપણે અગમ્ય તરંગ જેવો આલેખ છે જેને સાઈન વેવ કહેવાય છે, જે વર્તુળ અથવા ત્રિકોણ સાથે કોઈ બાહ્ય સામ્યતા ધરાવતું નથી.
તદુપરાંત, ખૂણાઓ કાં તો ડિગ્રીમાં અથવા રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે, અને Pi નંબર, ફક્ત 3.14 (એકમો વિના) તરીકે લખવામાં આવે છે, કેટલાક કારણોસર, 180 ડિગ્રીને અનુરૂપ, સૂત્રોમાં દેખાય છે. આ બધું કેવી રીતે જોડાયેલું છે?
માપનના એકમો
શા માટે Pi બરાબર 3.14 છે? શું તમને યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે? આ ત્રિજ્યાની સંખ્યા છે જે અડધા વર્તુળ પર ચાપમાં ફિટ છે. જો વર્તુળનો વ્યાસ 2 સેન્ટિમીટર છે, તો પરિઘ 3.14 * 2 અથવા 6.28 હશે.
બીજો મુદ્દો: તમે "રેડિયન" અને "ત્રિજ્યા" શબ્દો વચ્ચે સમાનતા નોંધી હશે. હકીકત એ છે કે એક રેડિયન આંકડાકીય રીતે છે મૂલ્યની સમાનવર્તુળની મધ્યમાંથી એક ત્રિજ્યા લાંબી ચાપ પર વળેલો ખૂણો.
હવે આપણે પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનને જોડીશું અને સમજીશું કે ત્રિકોણમિતિમાં સંકલન અક્ષની ટોચ પર શા માટે “Pi in half” લખવામાં આવે છે, અને “Pi” ડાબી બાજુએ લખાય છે. આ કોણીય તીવ્રતા, રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે, કારણ કે અર્ધવર્તુળ 180 ડિગ્રી અથવા 3.14 રેડિયન છે. અને જ્યાં ડિગ્રીઓ છે, ત્યાં સાઈન અને કોસાઈન્સ છે. ઇચ્છિત બિંદુથી ત્રિકોણ દોરવાનું સરળ છે, સેગમેન્ટ્સને કેન્દ્રમાં અને સંકલન અક્ષને બાજુ પર મૂકીને.
ચાલો ભવિષ્યમાં જોઈએ
શાળામાં અભ્યાસ કરાયેલ ત્રિકોણમિતિ, એક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે વ્યવહાર કરે છે, જ્યાં ભલે તે ગમે તેટલું વિચિત્ર લાગે, સીધી રેખા એ સીધી રેખા છે.
પરંતુ ત્યાં વધુ છે જટિલ રીતોઅવકાશ સાથે કામ કરો: અહીં ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 અંશ કરતાં વધુ હશે, અને આપણી દૃષ્ટિએ સીધી રેખા વાસ્તવિક ચાપ જેવી દેખાશે.
ચાલો શબ્દોથી ક્રિયા તરફ આગળ વધીએ! એક સફરજન લો. છરી વડે ત્રણ કટ બનાવો જેથી જ્યારે ઉપરથી જોવામાં આવે ત્યારે તમને ત્રિકોણ મળે. સફરજનના પરિણામી ટુકડાને બહાર કાઢો અને "પાંસળી" જુઓ જ્યાં છાલ સમાપ્ત થાય છે. તેઓ બિલકુલ સીધા નથી. તમારા હાથમાં રહેલા ફળને પરંપરાગત રીતે ગોળાકાર કહી શકાય, પરંતુ હવે કલ્પના કરો કે સૂત્રો કેટલા જટિલ હોવા જોઈએ જેનાથી તમે કાપેલા ટુકડાનો વિસ્તાર શોધી શકો. પરંતુ કેટલાક નિષ્ણાતો દરરોજ આવી સમસ્યાઓ હલ કરે છે.
જીવનમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યો
શું તમે નોંધ્યું છે કે આપણા ગ્રહની સપાટી પર બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીના વિમાન માટેનો સૌથી ટૂંકો માર્ગ ઉચ્ચારણ ચાપ આકાર ધરાવે છે? કારણ સરળ છે: પૃથ્વી ગોળાકાર છે, જેનો અર્થ છે કે તમે ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને વધુ ગણતરી કરી શકતા નથી - તમારે વધુ જટિલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો પડશે.
તમે સાઈન/કોસાઈન વિના કરી શકતા નથી તીવ્ર કોણજગ્યા સંબંધિત કોઈપણ બાબતોમાં. તે રસપ્રદ છે કે ઘણા બધા પરિબળો અહીં એકસાથે આવે છે: વર્તુળો, લંબગોળો અને વિવિધ માર્ગો સાથે ગ્રહોની ગતિની ગણતરી કરતી વખતે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો જરૂરી છે. જટિલ આકારો; રોકેટ, ઉપગ્રહો, શટલ, સંશોધન વાહનોને અનડૉક કરવાની પ્રક્રિયા; દેખરેખ દૂરના તારાઅને આકાશગંગાનો અભ્યાસ કે જેના સુધી માનવો નજીકના ભવિષ્યમાં પહોંચી શકશે નહીં.
સામાન્ય રીતે, જે વ્યક્તિ ત્રિકોણમિતિ જાણે છે તેના માટે પ્રવૃત્તિનું ક્ષેત્ર ખૂબ વિશાળ છે અને દેખીતી રીતે, સમય જતાં તે વિસ્તરશે.
નિષ્કર્ષ
આજે આપણે શીખ્યા, અથવા ઓછામાં ઓછું પુનરાવર્તન, સાઈન અને કોસાઈન શું છે. આ એવા ખ્યાલો છે જેનાથી તમારે ડરવાની જરૂર નથી - ફક્ત તેમને જોઈએ છે અને તમે તેનો અર્થ સમજી શકશો. યાદ રાખો કે ત્રિકોણમિતિ એ ધ્યેય નથી, પરંતુ માત્ર એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ વાસ્તવિકને સંતોષવા માટે કરી શકાય છે. માનવ જરૂરિયાતો: ઘરો બનાવો, ટ્રાફિક સલામતીની ખાતરી કરો, બ્રહ્માંડની વિશાળતાનું પણ અન્વેષણ કરો.
ખરેખર, વિજ્ઞાન પોતે જ કંટાળાજનક લાગે છે, પરંતુ જલદી તમે તેમાં તમારા પોતાના લક્ષ્યો અને આત્મ-અનુભૂતિને પ્રાપ્ત કરવાનો માર્ગ શોધી શકશો, શીખવાની પ્રક્રિયા રસપ્રદ બનશે અને તમારી વ્યક્તિગત પ્રેરણા વધશે.
તરીકે હોમવર્કપ્રવૃત્તિના ક્ષેત્રમાં ત્રિકોણમિતિ વિધેયો લાગુ કરવાની રીતો શોધવાનો પ્રયાસ કરો જે તમને વ્યક્તિગત રૂપે રુચિ ધરાવે છે. કલ્પના કરો, તમારી કલ્પનાનો ઉપયોગ કરો, અને પછી તમે કદાચ જોશો કે નવું જ્ઞાન ભવિષ્યમાં તમારા માટે ઉપયોગી થશે. અને ઉપરાંત, ગણિત માટે ઉપયોગી છે સામાન્ય વિકાસવિચાર
આ લેખ એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર નક્કી કરવા વિશે વાત કરે છે. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરીએ, જે આપણને અંતર શોધવા માટે પરવાનગી આપશે આપેલ બિંદુત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. આને મજબૂત કરવા માટે, ચાલો કેટલાક કાર્યોના ઉદાહરણો જોઈએ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
દ્વારા એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર જોવા મળે છે જાણીતું અંતરબિંદુથી બિંદુ સુધી, જ્યાં તેમાંથી એક આપવામાં આવે છે, અને અન્ય આપેલ પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ છે.
જ્યારે χ પ્લેન સાથેનો બિંદુ M 1 અવકાશમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તમે બિંદુ દ્વારા દોરી શકો છો પ્લેન પર લંબરૂપપ્રત્યક્ષ H 1 છે સામાન્ય બિંદુતેમના આંતરછેદો. આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે સેગમેન્ટ M 1 H 1 એ બિંદુ M 1 થી સમતલ χ તરફ દોરવામાં આવેલ લંબ છે, જ્યાં બિંદુ H 1 એ લંબનો આધાર છે.
વ્યાખ્યા 1
આપેલ બિંદુથી આપેલ બિંદુથી દોરેલા કાટખૂણેના પાયા સુધીના અંતરને કૉલ કરો આપેલ વિમાન.
વ્યાખ્યા વિવિધ ફોર્મ્યુલેશનમાં લખી શકાય છે.
વ્યાખ્યા 2
બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતરઆપેલ બિંદુથી આપેલ સમતલ સુધી દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.
બિંદુ M 1 થી χ પ્લેન સુધીનું અંતર નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: બિંદુ M 1 થી χ પ્લેન સુધીનું અંતર આપેલ બિંદુથી પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર સૌથી નાનું હશે. જો બિંદુ H 2 χ સમતલમાં સ્થિત છે અને બિંદુ H 2 ની બરાબર નથી, તો આપણે M 2 H 1 H 2 સ્વરૂપનો કાટકોણ ત્રિકોણ મેળવીએ છીએ. , જે લંબચોરસ છે, જ્યાં એક પગ M 2 H 1, M 2 H 2 છે - કર્ણ. આનો અર્થ એ છે કે તે M 1 H 1 ને અનુસરે છે< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ઝોક માનવામાં આવે છે, જે બિંદુ M 1 થી સમતલ χ તરફ દોરવામાં આવે છે. આપણી પાસે છે કે આપેલ બિંદુથી સમતલ તરફ દોરવામાં આવેલો લંબ એ બિંદુથી આપેલ સમતલ તરફ દોરેલા વળાંક કરતા ઓછો છે. ચાલો આ કેસને નીચેની આકૃતિમાં જોઈએ.
એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર - સિદ્ધાંત, ઉદાહરણો, ઉકેલો
એક નંબર છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ, જેનાં ઉકેલોમાં બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર હોવું આવશ્યક છે. આને ઓળખવાની વિવિધ રીતો હોઈ શકે છે. ઉકેલવા માટે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય અથવા ત્રિકોણની સમાનતાનો ઉપયોગ કરો. જ્યારે, સ્થિતિ અનુસાર, બિંદુથી પ્લેન સુધીના અંતરની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જેમાં ઉલ્લેખિત છે લંબચોરસ સિસ્ટમત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના કોઓર્ડિનેટ્સ સંકલન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે. આ ફકરો આ પદ્ધતિની ચર્ચા કરે છે.
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, અમારી પાસે છે કે સમતલ સાથે M 1 (x 1, y 1, z 1) સાથે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુ આપવામાં આવ્યું છે, M 1 થી અંતર નક્કી કરવું જરૂરી છે; પ્લેન χ. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઘણી ઉકેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ માર્ગ
આ પદ્ધતિ બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવા પર આધારિત છે, જે બિંદુ M 1 થી પ્લેન χ સુધીના લંબનો આધાર છે. આગળ, તમારે M 1 અને H 1 વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
બીજી રીતે સમસ્યા હલ કરવા માટે, ઉપયોગ કરો સામાન્ય સમીકરણઆપેલ વિમાન.
બીજી રીત
શરત પ્રમાણે, આપણી પાસે છે કે H 1 એ લંબનો આધાર છે, જે બિંદુ M 1 થી સમતલ χ સુધી નીચે આવ્યો હતો. પછી આપણે બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ (x 2, y 2, z 2) નક્કી કરીએ છીએ. M 1 થી χ પ્લેન સુધીનું જરૂરી અંતર M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે, જ્યાં M 1 (x 1, y 1, z 1) અને H 1 (x 2, y 2, z 2). ઉકેલવા માટે, તમારે બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવાની જરૂર છે.
આપણી પાસે છે કે H 1 એ રેખા a સાથે χ પ્લેનનું આંતરછેદનું બિંદુ છે, જે χ સમતલ પર લંબ સ્થિત બિંદુ M 1માંથી પસાર થાય છે. તે અનુસરે છે કે આપેલ પ્લેન પર કાટખૂણે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા માટે સમીકરણનું સંકલન કરવું જરૂરી છે. તે પછી જ આપણે બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરી શકીશું. રેખા અને વિમાનના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.
કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1, z 1) સાથેના બિંદુથી χ પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:
વ્યાખ્યા 3
- બિંદુ M 1માંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ દોરો અને તે જ સમયે
- χ સમતલને લંબરૂપ;
- બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ (x 2 , y 2 , z 2) શોધો અને ગણતરી કરો, જે બિંદુઓ છે
- પ્લેન χ સાથે સીધી રેખા a નું આંતરછેદ;
- M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને M 1 થી χ સુધીના અંતરની ગણતરી કરો.
ત્રીજો રસ્તો
આપેલ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં O x y z એક સમતલ છે χ, તો પછી આપણે cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ફોર્મના પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે અંતર M 1 H 1 બિંદુ M 1 (x 1 , y 1 , z 1) સાથે સમતલ તરફ દોરવામાં આવે છે χ, સૂત્ર M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos દ્વારા ગણવામાં આવે છે. γ z - p . આ સૂત્ર માન્ય છે, કારણ કે તે પ્રમેયને આભારી છે.
પ્રમેય
જો બિંદુ M 1 (x 1 , y 1 , z 1) આપેલ છે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા, ફોર્મ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ના પ્લેન χનું સામાન્ય સમીકરણ ધરાવતું હોય, તો પછી બિંદુથી પ્લેન M 1 H 1 સુધીનું અંતર M સૂત્રમાંથી ગણવામાં આવે છે. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, ત્યારથી x = x 1, y = y 1, z = z 1.
પુરાવો
પ્રમેયનો પુરાવો બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધવા માટે નીચે આવે છે. આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે M 1 થી χ પ્લેન સુધીનું અંતર એ મૂળથી χ પ્લેન સુધીના અંતર સાથે ત્રિજ્યા વેક્ટર M 1 ના સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ વચ્ચેના તફાવતનું મોડ્યુલસ છે. પછી આપણને M 1 H 1 = n p n → O M → - p અભિવ્યક્તિ મળે છે. પ્લેન χ ના સામાન્ય વેક્ટરનું સ્વરૂપ n → = cos α, cos β, cos γ છે, અને તેની લંબાઈ એક જેટલી છે, n p n → O M → એ વેક્ટર O M → = (x 1, y 1) નું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ છે. , z 1) વેક્ટર n → દ્વારા નિર્ધારિત દિશામાં.
ચાલો ગણતરી સૂત્ર લાગુ કરીએ સ્કેલર વેક્ટર. પછી આપણે n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , ત્યારથી n → = cos α , cos β , cos γ ફોર્મનો વેક્ટર શોધવા માટે એક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ. · z અને O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . સંકલન ફોર્મએન્ટ્રી ફોર્મ લેશે n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , પછી M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . પ્રમેય સાબિત થયો છે.
અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે બિંદુ M 1 (x 1, y 1, z 1) થી χ સમતલ સુધીનું અંતર તેની જગ્યાએ બદલીને ગણવામાં આવે છે. ડાબી બાજુપ્લેન cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ x, y, z કોઓર્ડિનેટ્સ x 1, y 1 અને z 1, બિંદુ M 1 થી સંબંધિત, લેવું સંપૂર્ણ મૂલ્યપ્રાપ્ત મૂલ્ય.
ચાલો આપેલ પ્લેન સુધીના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુથી અંતર શોધવાના ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ 1
કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (5, - 3, 10) સાથેના બિંદુથી પ્લેન 2 x - y + 5 z - 3 = 0 સુધીના અંતરની ગણતરી કરો.
ઉકેલ
ચાલો સમસ્યાને બે રીતે હલ કરીએ.
પ્રથમ પદ્ધતિ રેખા a ના દિશા વેક્ટરની ગણતરી સાથે શરૂ થાય છે. શરત પ્રમાણે, આપણી પાસે આપેલ સમીકરણ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 એ પ્લેનનું સમીકરણ છે. સામાન્ય દૃશ્ય, અને n → = (2, - 1, 5) આપેલ પ્લેનનો સામાન્ય વેક્ટર છે. તેનો ઉપયોગ સીધી રેખા a ના દિશા વેક્ટર તરીકે થાય છે, જે આપેલ પ્લેન પર લંબ છે. લખવું જોઈએ પ્રામાણિક સમીકરણકોઓર્ડિનેટ્સ 2, - 1, 5 સાથે દિશા વેક્ટર સાથે M 1 (5, - 3, 10) માંથી પસાર થતી અવકાશમાં એક સીધી રેખા.
સમીકરણ x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 બનશે.
આંતરછેદ બિંદુઓ નક્કી કરવા આવશ્યક છે. આ કરવા માટે, સમીકરણોને પ્રામાણિકમાંથી બે છેદતી રેખાઓના સમીકરણો તરફ જવા માટે સિસ્ટમમાં હળવેથી જોડો. આ બિંદુચાલો H 1 લઈએ. અમે તે મેળવીએ છીએ
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
જે પછી તમારે સિસ્ટમને સક્ષમ કરવાની જરૂર છે
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
ચાલો ગૌસિયન સિસ્ટમ સોલ્યુશન નિયમ તરફ વળીએ:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
આપણને તે H 1 (1, - 1, 0) મળે છે.
અમે આપેલ બિંદુથી પ્લેન સુધીના અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ. અમે પોઈન્ટ M 1 (5, - 3, 10) અને H 1 (1, - 1, 0) લઈએ છીએ અને મેળવીએ છીએ
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
બીજો ઉકેલ એ છે કે પ્રથમ આપેલ સમીકરણ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ને ઘટાડવું. સામાન્ય દેખાવ. અમે સામાન્યીકરણ પરિબળ નક્કી કરીએ છીએ અને 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 મેળવીએ છીએ. અહીંથી આપણે પ્લેન 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 નું સમીકરણ મેળવીએ છીએ. સમીકરણની ડાબી બાજુ x = 5, y = - 3, z = 10 ને બદલીને ગણવામાં આવે છે, અને તમારે M 1 (5, - 3, 10) થી 2 x - y + 5 z - સુધીનું અંતર લેવાની જરૂર છે. 3 = 0 મોડ્યુલો. અમને અભિવ્યક્તિ મળે છે:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
જવાબ: 2 30.
જ્યારે χ પ્લેનને પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિઓ પરના વિભાગમાંની એક પદ્ધતિ દ્વારા ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તમારે પહેલા χ પ્લેનનું સમીકરણ મેળવવાની અને કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જરૂરી અંતરની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ 2
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) સાથેના બિંદુઓનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. M 1 થી પ્લેન A B C ના અંતરની ગણતરી કરો.
ઉકેલ
પ્રથમ તમારે M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે આપેલ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ લખવાની જરૂર છે. 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
તે અનુસરે છે કે સમસ્યાનો ઉકેલ અગાઉના એક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ M 1 થી પ્લેન A B C સુધીના અંતરનું મૂલ્ય 2 30 છે.
જવાબ: 2 30.
M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p સૂત્ર લાગુ કરીને પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી અથવા પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે. . આના પરથી આપણે મેળવીએ છીએ કે વિમાનોના સામાન્ય સમીકરણો કેટલાંક તબક્કામાં મેળવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 3
કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (- 3, 2, - 7) થી આપેલ બિંદુથી અંતર શોધો સંકલન વિમાન O x y z અને પ્લેન, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે 2 y - 5 = 0 .
ઉકેલ
સંકલન સમતલ O y z એ ફોર્મ x = 0 ના સમીકરણને અનુરૂપ છે. O y z પ્લેન માટે તે સામાન્ય છે. તેથી, અભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ મૂલ્યો x = - 3 ને સ્થાનાંતરિત કરવું અને સમતલમાં કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (- 3, 2, - 7) સાથે બિંદુથી અંતરનું ચોક્કસ મૂલ્ય લેવું જરૂરી છે. આપણને - 3 = 3 સમાન મૂલ્ય મળે છે.
રૂપાંતર પછી, પ્લેન 2 y - 5 = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ y - 5 2 = 0 સ્વરૂપ લેશે. પછી તમે કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (- 3, 2, - 7) સાથેના બિંદુથી પ્લેન 2 y - 5 = 0 સુધી જરૂરી અંતર શોધી શકો છો. અવેજીમાં અને ગણતરી કરીએ તો આપણને 2 - 5 2 = 5 2 - 2 મળે છે.
જવાબ: M 1 (- 3, 2, - 7) થી O y z સુધીના જરૂરી અંતરનું મૂલ્ય 3 છે, અને 2 y - 5 = 0 નું મૂલ્ય 5 2 - 2 છે.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
