જ્યાં સાઈન અને કોસાઈન ધન છે. ત્રિકોણમિતિમાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક ખૂણા

પાઠનો પ્રકાર:જ્ઞાન અને મધ્યવર્તી નિયંત્રણનું વ્યવસ્થિતકરણ.

સાધન:ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ, પરીક્ષણો, કાર્ય કાર્ડ.

પાઠ હેતુઓ:જે શીખ્યા તે વ્યવસ્થિત કરો સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીસાઈન, કોસાઈન, કોણની સ્પર્શકની વ્યાખ્યા અનુસાર; આ વિષય પર જ્ઞાન પ્રાપ્તિની ડિગ્રી અને વ્યવહારમાં એપ્લિકેશન તપાસો.

કાર્યો:

• સાઈન, કોસાઈન અને કોણની સ્પર્શકની વિભાવનાઓને સામાન્ય બનાવો અને એકીકૃત કરો.
• ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની વ્યાપક સમજણ બનાવો.
• વિદ્યાર્થીઓની ત્રિકોણમિતિ સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની ઇચ્છા અને જરૂરિયાતને પ્રોત્સાહન આપવા માટે; સંદેશાવ્યવહારની સંસ્કૃતિ, જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા અને સ્વ-શિક્ષણની જરૂરિયાત કેળવો.

"જે કોઈ નાનપણથી જ પોતાના માટે કરે છે અને વિચારે છે,
પછી તે વધુ વિશ્વસનીય, મજબૂત, સ્માર્ટ બને છે.

(વી. શુકશીન)

પાઠની પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ

વર્ગ ત્રણ જૂથો દ્વારા રજૂ થાય છે. દરેક જૂથમાં સલાહકાર હોય છે.
શિક્ષક પાઠના વિષય, ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યોનો સંચાર કરે છે.

II. જ્ઞાન અપડેટ કરવું (વર્ગ સાથે આગળનું કામ)

1) કાર્યો પર જૂથોમાં કામ કરો:

1. ઘડવું પાપની વ્યાખ્યાખૂણો

– દરેક સંકલન ચતુર્થાંશમાં sin α કયા ચિહ્નો ધરાવે છે?
- અભિવ્યક્તિ sin α કયા મૂલ્યો પર અર્થપૂર્ણ છે, અને તે કયા મૂલ્યો લઈ શકે છે?

2. બીજું જૂથ cos α માટે સમાન પ્રશ્નો છે.

3. ત્રીજું જૂથ tg α અને ctg α સમાન પ્રશ્નોના જવાબો તૈયાર કરે છે.

આ સમયે, ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ કાર્ડ્સ (વિવિધ જૂથોના પ્રતિનિધિઓ) નો ઉપયોગ કરીને બોર્ડમાં સ્વતંત્ર રીતે કામ કરે છે.

કાર્ડ નંબર 1.

વ્યવહારુ કામ.
ઉપયોગ કરીને એકમ વર્તુળ 50, 210 અને – 210 ના ખૂણાઓ માટે sin α, cos α અને tan α ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો.

કાર્ડ નંબર 2.

અભિવ્યક્તિની નિશાની નક્કી કરો: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4.1 અને sin 2.

કાર્ડ નંબર 3.

1) ગણતરી કરો:
2) સરખામણી કરો: cos 60 અને cos 2 30 – sin 2 30

2) મૌખિક રીતે:

a) સંખ્યાઓની શ્રેણી સૂચિત છે: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. તેમની વચ્ચે રીડન્ડન્ટ છે. જે પાપ મિલકતα અથવા cos α આ સંખ્યાઓને વ્યક્ત કરી શકે છે (શું sin α અથવા cos α આ મૂલ્યો લઈ શકે છે).
b) શું અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે: cos (–); પાપ 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). શા માટે?
c) શું ત્યાં સૌથી નાનું અને ઉચ્ચતમ મૂલ્ય sin or cos, tg, ctg.
ડી) શું તે સાચું છે?
1) α = 1000 એ બીજા ક્વાર્ટરનો કોણ છે;
2) α = – 330 એ IV ક્વાર્ટરનો કોણ છે.
e) સંખ્યાઓ એકમ વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે.

3) બોર્ડ પર કામ કરો

નંબર 567 (2; 4) – અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો
નંબર 583 (1-3) અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન નક્કી કરો

ગૃહકાર્ય:નોટબુકમાં ટેબલ. નંબર 567(1, 3) નંબર 578

III. વધારાનું જ્ઞાન મેળવવું. તમારા હાથની હથેળીમાં ત્રિકોણમિતિ

શિક્ષક:તે તારણ આપે છે કે કોણના સાઇન અને કોસાઇન્સના મૂલ્યો તમારા હાથની હથેળીમાં "સ્થિત" છે. તમારા હાથ (કોઈપણ હાથ) ​​સુધી પહોંચો અને શક્ય હોય ત્યાં સુધી તેને ફેલાવો મજબૂત આંગળીઓ(પોસ્ટર પરની જેમ). એક વિદ્યાર્થીને આમંત્રણ છે. અમે અમારી આંગળીઓ વચ્ચેના ખૂણાને માપીએ છીએ.
એક ત્રિકોણ લો જ્યાં 30, 45 અને 60 90 નો ખૂણો હોય અને તમારા હાથની હથેળીમાં ચંદ્રની ટેકરી પર ખૂણાના શિરોબિંદુને લાગુ કરો. ચંદ્રનો પર્વત નાની આંગળીના વિસ્તરણના આંતરછેદ પર સ્થિત છે અને અંગૂઠો. અમે એક બાજુ નાની આંગળી સાથે જોડીએ છીએ, અને બીજી બાજુ બીજી આંગળીઓમાંથી એક સાથે.
પોતાને નાની આંગળી અને વચ્ચે શોધે છે અંગૂઠોકોણ 90, નાની આંગળી અને રિંગ આંગળી વચ્ચે - 30, નાની આંગળી અને મધ્ય આંગળી વચ્ચે - 45, નાની આંગળી અને તર્જની વચ્ચે - 60. અને આ અપવાદ વિના તમામ લોકો માટે સાચું છે.

નાની આંગળી નંબર 0 - 0 ને અનુરૂપ છે,
અનામી નંબર 1 - 30 ને અનુલક્ષે છે,
સરેરાશ નંબર 2 - 45 ને અનુલક્ષે છે,
અનુક્રમણિકા નંબર 3 - 60 ને અનુરૂપ છે,
મોટી નંબર 4 - 90 ને અનુલક્ષે છે.

આમ, આપણા હાથ પર 4 આંગળીઓ છે અને સૂત્ર યાદ રાખો:

આ માત્ર નેમોનિક નિયમ છે. સામાન્ય રીતે, sin α અથવા cos α નું મૂલ્ય હૃદયથી જાણવું જોઈએ, પરંતુ ક્યારેક આ નિયમ મુશ્કેલ સમયમાં મદદ કરશે.
cos માટે એક નિયમ સાથે આવો (કોણો બદલાતા નથી, પરંતુ અંગૂઠામાંથી ગણવામાં આવે છે). sin α અથવા cos α સાથે સંકળાયેલ ભૌતિક વિરામ.

IV. તમારા જ્ઞાન અને કૌશલ્યનું જ્ઞાન તપાસી રહ્યું છે

પ્રતિસાદ સાથે સ્વતંત્ર કાર્ય

દરેક વિદ્યાર્થીને એક કસોટી મળે છે (4 વિકલ્પો) અને જવાબ પત્રક દરેક માટે સમાન હોય છે.

ટેસ્ટ

વિકલ્પ 1

1) પરિભ્રમણના કયા ખૂણા પર ત્રિજ્યા 50 ના ખૂણામાંથી વળતી વખતે સમાન સ્થાન લેશે?
2) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો: 4cos 60 – 3sin 90.
3) કઈ સંખ્યા શૂન્ય કરતાં ઓછું: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

વિકલ્પ 2

1) પરિભ્રમણના કયા ખૂણા પર ત્રિજ્યા 10 ના ખૂણાથી વળતી વખતે સમાન સ્થાન લેશે.
2) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો: 4cos 90 – 6sin 30.
3) કઈ સંખ્યા શૂન્ય કરતાં વધુ: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

વિકલ્પ 3

1) અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) કઈ સંખ્યા શૂન્ય કરતા ઓછી છે: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) કયો ત્રિમાસિક કોણ કોણ α છે, જો sin α > 0, cos α< 0.

વિકલ્પ 4

1) અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: tg 60 – 6ctg 90.
2) કઈ સંખ્યા શૂન્ય કરતા ઓછી છે: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) કયો ચતુર્થાંશ કોણ કોણ α છે, જો ctg α છે< 0, cos α> 0.

(મુખ્ય શબ્દ ત્રિકોણમિતિ છે)

V. ત્રિકોણમિતિના ઇતિહાસમાંથી માહિતી

શિક્ષક:ત્રિકોણમિતિ એ માનવ જીવન માટે ગણિતની એકદમ મહત્વપૂર્ણ શાખા છે. આધુનિક દેખાવત્રિકોણમિતિ 18મી સદીના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી - જન્મથી સ્વિસ ઘણા વર્ષો સુધીરશિયામાં કામ કર્યું અને સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સના સભ્ય હતા. તેણે પ્રવેશ કર્યો જાણીતી વ્યાખ્યાઓ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોઘડવામાં અને સાબિત કર્યું પ્રખ્યાત સૂત્રો, અમે તેમને પછીથી શીખવીશું. યુલરનું જીવન ખૂબ જ રસપ્રદ છે અને હું તમને યાકોવલેવના પુસ્તક "લિયોનાર્ડ યુલર" દ્વારા તેની સાથે પરિચિત થવાની સલાહ આપું છું.

(આ વિષય પર છોકરાઓ તરફથી સંદેશ)

VI. પાઠનો સારાંશ

રમત "ટિક ટેક ટો"

બે સૌથી વધુ સક્રિય વિદ્યાર્થીઓ ભાગ લઈ રહ્યા છે.

તેઓ જૂથો દ્વારા સમર્થિત છે. કાર્યોના ઉકેલો નોટબુકમાં લખેલા છે.

ક્વેસ્ટ્સ

1) ભૂલ શોધો< О
a) sin 225 = – 1.1 c) sin 115

b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) કોણને ડિગ્રીમાં વ્યક્ત કરો
3) કોણ 300 ને રેડિયનમાં વ્યક્ત કરો 4) સૌથી મોટું શું છે અનેસૌથી નાનું મૂલ્ય
અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે: 1+ sin α;
5) અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન નક્કી કરો: sin 260, cos 300. 6) કયા ક્વાર્ટરમાંસંખ્યા વર્તુળ
બિંદુ સ્થિત છે
7) અભિવ્યક્તિના ચિહ્નો નક્કી કરો: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) ગણતરી કરો:

9) સરખામણી કરો: sin 2 અને sin 350

શિક્ષક: VII. પાઠ પ્રતિબિંબ
આપણે ત્રિકોણમિતિને ક્યાં મળી શકીએ?

9મા ધોરણમાં કયા પાઠમાં, અને અત્યારે પણ, શું તમે sin α, cos α ની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરો છો; tg α; ctg α અને કયા હેતુ માટે? તમને સંખ્યાબંધ લાક્ષણિક પરિણામો સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે -સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મો . આ લેખમાં આપણે ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો જોઈશું. તેમાંથી પ્રથમ કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ચિહ્નો સૂચવે છે તેના આધારે કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર α છે. આગળ આપણે સામયિકતાના ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લઈશું, જે કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની અસ્પષ્ટતા સ્થાપિત કરે છે જ્યારે આ કોણ ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા બદલાય છે. ત્રીજી ગુણધર્મ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરે છે.વિરુદ્ધ ખૂણા

α અને −α.

જો તમને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મોમાં રસ હોય, તો તમે લેખના અનુરૂપ વિભાગમાં તેનો અભ્યાસ કરી શકો છો.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

ક્વાર્ટર દ્વારા સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ચિહ્નો

આ ફકરામાં નીચે "I, II, III અને IV સંકલન ક્વાર્ટરનો કોણ" વાક્ય દેખાશે. ચાલો સમજાવીએ કે આ ખૂણા શું છે.

ચાલો એક એકમ વર્તુળ લઈએ, તેના પર પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) ને ચિહ્નિત કરીએ, અને તેને બિંદુ O ની ફરતે કોણ α દ્વારા ફેરવીએ, અને આપણે ધારીશું કે આપણે બિંદુ A 1 (x, y) પર પહોંચીશું. કોણ α એ I, II, III, IV સંકલન ચતુર્થાંશનો કોણ છે, જો બિંદુ A 1 અનુક્રમે I, II, III, IV ક્વાર્ટરમાં આવેલું છે; જો કોણ α એવો હોય કે બિંદુ A 1 કોઈપણ સંકલન રેખાઓ Ox અથવા Oy પર આવેલું હોય, તો આ ખૂણો ચારમાંથી કોઈપણ સાથે સંબંધિત નથી.

સ્પષ્ટતા માટે, અહીં એક ગ્રાફિક ચિત્ર છે. નીચેના રેખાંકનો 30, −210, 585 અને −45 ડિગ્રીના પરિભ્રમણ ખૂણા દર્શાવે છે, જે અનુક્રમે I, II, III અને IV સંકલન ક્વાર્ટરના ખૂણા છે.

ખૂણો 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …ડિગ્રીઓ કોઈપણ સંકલન ક્વાર્ટરની નથી.

હવે ચતુર્થકોણ α છે તેના આધારે, પરિભ્રમણના કોણ α ના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો કયા ચિહ્નો ધરાવે છે તે શોધી કાઢીએ.

સાઈન અને કોસાઈન માટે આ કરવું સરળ છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોણ α ની સાઈન એ બિંદુ A 1 નો ઓર્ડિનેટ છે. દેખીતી રીતે, I અને II સંકલન ક્વાર્ટર્સમાં તે હકારાત્મક છે, અને III અને IV ક્વાર્ટર્સમાં તે નકારાત્મક છે. આમ, કોણ α ની સાઈન 1લા અને 2જા ક્વાર્ટરમાં વત્તા ચિહ્ન ધરાવે છે, અને 3જા અને 6ઠ્ઠા ક્વાર્ટરમાં ઓછા ચિહ્ન ધરાવે છે.

બદલામાં, કોણ α ની કોસાઇન એ બિંદુ A 1 નો એબ્સીસા છે. I અને IV ક્વાર્ટરમાં તે હકારાત્મક છે, અને II અને III ક્વાર્ટરમાં તે નકારાત્મક છે. પરિણામે, I અને IV ક્વાર્ટર્સમાં કોણ α ના કોસાઇનના મૂલ્યો સકારાત્મક છે, અને II અને III ક્વાર્ટરમાં તે નકારાત્મક છે.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના ચતુર્થાંશના ચિહ્નો નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમની વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવાની જરૂર છે: સ્પર્શક એ બિંદુ A 1 ના એબ્સીસાના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, અને કોટેન્જેન્ટ એ બિંદુ A 1 ના અબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે. પછી થી સંખ્યાઓને વિભાજીત કરવા માટેના નિયમોએ જ સાથે અને વિવિધ ચિહ્નોતે અનુસરે છે કે જ્યારે પોઈન્ટ A 1 ના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ ચિહ્નો સમાન હોય ત્યારે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટમાં વત્તાનું ચિહ્ન હોય છે અને જ્યારે બિંદુ A 1 ના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ ચિહ્નો અલગ હોય ત્યારે માઈનસ ચિહ્ન હોય છે. પરિણામે, ખૂણાના સ્પર્શક અને સહસ્પર્શક I અને III સંકલન ક્વાર્ટર્સમાં + ચિહ્ન ધરાવે છે, અને II અને IV ક્વાર્ટર્સમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન ધરાવે છે.

ખરેખર, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં બિંદુ A 1 નું abscissa x અને ordinate y બંને સકારાત્મક છે, પછી ભાગાંક x/y અને ભાગાંક y/x બંને ધન છે, તેથી, સ્પર્શક અને સહસ્પર્શકમાં + ચિહ્નો છે. અને બીજા ક્વાર્ટરમાં, abscissa x ઋણ છે, અને ordinate y ધન છે, તેથી x/y અને y/x બંને ઋણ છે, તેથી સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટમાં ઓછાનું ચિહ્ન છે.

ચાલો આગળ વધીએ નીચેની મિલકત માટેસાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ.

સામયિકતાની મિલકત

હવે આપણે કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની કદાચ સૌથી વધુ સ્પષ્ટ મિલકત જોઈશું. તે નીચે મુજબ છે: જ્યારે પૂર્ણાંક દ્વારા કોણ બદલાય છે સંપૂર્ણ ક્રાંતિઆ ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો બદલાતા નથી.

આ સમજી શકાય તેવું છે: જ્યારે ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા કોણ બદલાય છે, ત્યારે આપણે પ્રારંભિક બિંદુઅને આપણે હંમેશા એકમ વર્તુળ પર બિંદુ A 1 મેળવીશું, તેથી, સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો યથાવત રહેશે, કારણ કે બિંદુ A 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ અપરિવર્તિત છે.

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , જ્યાં α એ રેડિયનમાં પરિભ્રમણનો કોણ છે, z એ કોઈપણ છે , સંપૂર્ણ મૂલ્યજે પૂર્ણ ક્રાંતિની સંખ્યા દર્શાવે છે જેના દ્વારા કોણ α બદલાય છે, અને નંબર z નું ચિહ્ન પરિભ્રમણની દિશા દર્શાવે છે.

જો પરિભ્રમણ કોણ α ડિગ્રીમાં નિર્દિષ્ટ કરેલ હોય, તો સૂચવેલ સૂત્રો sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα તરીકે ફરીથી લખવામાં આવશે. , ctg(α+360°·z)=ctgα .

ચાલો આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો આપીએ. ઉદાહરણ તરીકે, , કારણ કે , એ . અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: અથવા .

આ ગુણધર્મ, ઘટાડાના સૂત્રો સાથે, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને "મોટા" ખૂણાના કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે ઘણી વાર ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની ગણવામાં આવતી મિલકતને કેટલીકવાર સામયિકતાની મિલકત કહેવામાં આવે છે.

સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણાના કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મો

A 1 એ પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) ને બિંદુ O ની આસપાસ ખૂણા α દ્વારા ફેરવવાથી પ્રાપ્ત થયેલ બિંદુ બનવા દો, અને બિંદુ A 2 એ કોણ −α ની વિરુદ્ધ, ખૂણા α દ્વારા બિંદુ Aને ફેરવવાનું પરિણામ છે.

સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને વિરોધી ખૂણાના કોટેન્જેન્ટની મિલકત તદ્દન પર આધારિત છે સ્પષ્ટ હકીકત: ઉપર દર્શાવેલ બિંદુઓ A 1 અને A 2 કાં તો એકરૂપ થાય છે અથવા ઓક્સ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે. એટલે કે, જો બિંદુ A 1 માં કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y), તો બિંદુ A 2 પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ (x, −y) હશે. અહીંથી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતાઓ અને લખીએ છીએ.
તેમની સરખામણી કરતા, આપણે ફોર્મના α અને −α વિરુદ્ધ ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચેના સંબંધો પર આવીએ છીએ.
આ સૂત્રોના સ્વરૂપમાં વિચારણા હેઠળની મિલકત છે.

ચાલો આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો આપીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતા અને .

તે માત્ર એ નોંધવા માટે રહે છે કે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને વિપરીત ખૂણાના કોટેન્જેન્ટની મિલકત, અગાઉની મિલકતની જેમ, સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે અને તમને નકારાત્મકથી સંપૂર્ણપણે દૂર રહેવાની મંજૂરી આપે છે. ખૂણા

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
• બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
• બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

જો તમે પહેલાથી જ પરિચિત છો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ , અને માત્ર તમારી મેમરી તાજી કરવા માંગો છો વ્યક્તિગત ઘટકો, અથવા તમે સંપૂર્ણપણે અધીરા છો, તો તે અહીં છે:

અહીં આપણે દરેક વસ્તુનું વિગતવાર તબક્કાવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ એ વૈભવી નથી, પરંતુ આવશ્યકતા છે

ત્રિકોણમિતિ ઘણા લોકો તેને અભેદ્ય ઝાડ સાથે જોડે છે. અચાનક, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ઘણા બધા મૂલ્યો, ઘણા બધા સૂત્રોના ઢગલા થઈ જાય છે... પરંતુ તે એવું છે કે, તે શરૂઆતમાં કામ કરતું નહોતું, અને... આપણે જઈએ છીએ... સંપૂર્ણ ગેરસમજ...

છોડવું નહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો, - તેઓ કહે છે, તમે હંમેશા મૂલ્યોના કોષ્ટક સાથે સ્પુરને જોઈ શકો છો.

જો તમે મૂલ્યો સાથેના ટેબલને સતત જોશો ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, ચાલો આ આદતથી છૂટકારો મેળવીએ!

તે અમને મદદ કરશે! તમે તેની સાથે ઘણી વખત કામ કરશો, અને પછી તે તમારા માથામાં પોપ અપ થશે. તે શું છે વધુ સારા કોષ્ટકો? હા, કોષ્ટકમાં તમને મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો મળશે, પરંતુ વર્તુળ પર - બધું!

ઉદાહરણ તરીકે, જોતી વખતે કહો પ્રમાણભૂત ટેબલત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના મૂલ્યો , કહો, 300 ડિગ્રી અથવા -45 ની બરાબર સાઈન શું છે.

કોઈ રસ્તો નથી?... તમે, અલબત્ત, કનેક્ટ કરી શકો છો ઘટાડાનાં સૂત્રો... અને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળને જોતા, તમે આવા પ્રશ્નોના જવાબ સરળતાથી આપી શકો છો. અને તમે જલ્દી જ જાણશો કે કેવી રીતે!

અને નક્કી કરતી વખતે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઅને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ વિના અસમાનતાઓ - ક્યાંય પણ નહીં.

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો પરિચય

ચાલો ક્રમમાં જઈએ.

પ્રથમ, ચાલો આ સંખ્યાઓની શ્રેણી લખીએ:

અને હવે આ:

અને અંતે આ એક:

અલબત્ત, તે સ્પષ્ટ છે કે, હકીકતમાં, પ્રથમ સ્થાને છે, બીજા સ્થાને છે, અને છેલ્લા સ્થાને છે. એટલે કે, અમને સાંકળમાં વધુ રસ હશે.

પરંતુ તે કેટલું સુંદર બહાર આવ્યું! જો કંઈક થાય, તો અમે આ "ચમત્કાર સીડી" પુનઃસ્થાપિત કરીશું.

અને આપણને તેની શા માટે જરૂર છે?

આ સાંકળ એ પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સાઈન અને કોસાઈનના મુખ્ય મૂલ્યો છે.

ચાલો અંદર દોરીએ લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ એ એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે (એટલે ​​કે, આપણે લંબાઈ સાથે કોઈપણ ત્રિજ્યા લઈએ છીએ અને તેની લંબાઈને એકમ તરીકે જાહેર કરીએ છીએ).

"0-સ્ટાર્ટ" બીમમાંથી આપણે તીરની દિશામાં ખૂણાઓ મૂકીએ છીએ (આકૃતિ જુઓ).

આપણે વર્તુળ પર અનુરૂપ બિંદુઓ મેળવીએ છીએ. તેથી, જો આપણે દરેક અક્ષો પર બિંદુઓને પ્રક્ષેપિત કરીએ, તો આપણને ઉપરની સાંકળમાંથી બરાબર મૂલ્યો મળશે.

આ કેમ છે, તમે પૂછો છો?

ચાલો દરેક વસ્તુનું વિશ્લેષણ ન કરીએ. ચાલો વિચાર કરીએ સિદ્ધાંત, જે તમને અન્ય સમાન પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવા દેશે.

ત્રિકોણ AOB લંબચોરસ છે અને તેમાં સમાવે છે. અને આપણે જાણીએ છીએ કે કોણ b ની સામે એક પગ કર્ણોના કદના અડધો છે (આપણી પાસે કર્ણો = વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, એટલે કે 1).

આનો અર્થ છે AB= (અને તેથી OM=). અને પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

હું આશા રાખું છું કે કંઈક પહેલેથી જ સ્પષ્ટ થઈ રહ્યું છે?

તેથી બિંદુ B મૂલ્યને અનુરૂપ હશે, અને બિંદુ M મૂલ્યને અનુરૂપ હશે

પ્રથમ ક્વાર્ટરના અન્ય મૂલ્યો સાથે સમાન.

જેમ તમે સમજો છો, પરિચિત અક્ષ (બળદ) હશે કોસાઇન અક્ષ, અને ધરી (oy) - સાઇન્સની અક્ષ . બાદમાં.

કોસાઇન અક્ષ સાથે શૂન્યની ડાબી બાજુએ (સાઇન અક્ષ સાથે શૂન્યની નીચે) ત્યાં, અલબત્ત, નકારાત્મક મૂલ્યો હશે.

તેથી, તે અહીં છે, સર્વશક્તિમાન, જેના વિના ત્રિકોણમિતિમાં ક્યાંય નથી.

પરંતુ આપણે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે વિશે વાત કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ, વિજ્ઞાન તરીકે, પ્રાચીન પૂર્વમાં ઉદ્દભવ્યું હતું. પ્રથમ ત્રિકોણમિતિ ગુણોત્તરખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ચોક્કસ કેલેન્ડર બનાવવા અને તારાઓ દ્વારા નેવિગેટ કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ સાથે સંબંધિત આ ગણતરીઓ, જ્યારે માં શાળા અભ્યાસક્રમસમતલ ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓના ગુણોત્તરનો અભ્યાસ કરો.

ત્રિકોણમિતિ એ ગણિતની એક શાખા છે જે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો અને ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધો સાથે વ્યવહાર કરે છે.

1લી સહસ્ત્રાબ્દી એડીમાં સંસ્કૃતિ અને વિજ્ઞાનના પરાકાષ્ઠા દરમિયાન, જ્ઞાનનો ફેલાવો થયો પ્રાચીન પૂર્વગ્રીસ માટે. પરંતુ ત્રિકોણમિતિની મુખ્ય શોધો પતિઓની યોગ્યતા છે આરબ ખિલાફત. ખાસ કરીને, તુર્કમેન વિજ્ઞાની અલ-મરાઝવીએ સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ જેવા કાર્યો રજૂ કર્યા અને સાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટેના મૂલ્યોના પ્રથમ કોષ્ટકોનું સંકલન કર્યું. સાઈન અને કોસાઈનની વિભાવનાઓ ભારતીય વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. યુક્લિડ, આર્કિમિડીઝ અને એરાટોસ્થેનિસ જેવા પ્રાચીનકાળના મહાન વ્યક્તિઓના કાર્યોમાં ત્રિકોણમિતિએ ઘણું ધ્યાન મેળવ્યું.

ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત માત્રા

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સંખ્યાત્મક દલીલ- આ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ છે. તેમાંના દરેકનો પોતાનો ગ્રાફ છે: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

આ જથ્થાઓના મૂલ્યોની ગણતરી માટેના સૂત્રો પાયથાગોરિયન પ્રમેય પર આધારિત છે. તે ફોર્મ્યુલેશનમાં શાળાના બાળકો માટે વધુ સારી રીતે જાણીતું છે: “ પાયથાગોરિયન પેન્ટ, બધી દિશામાં સમાન છે," કારણ કે સાબિતી સમદ્વિબાજુના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે જમણો ત્રિકોણ.

સાઈન, કોસાઈન અને અન્ય અવલંબન વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરે છે તીક્ષ્ણ ખૂણાઅને કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ. ચાલો કોણ A માટે આ જથ્થાઓની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રો રજૂ કરીએ અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો વચ્ચેના સંબંધોને શોધીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, tg અને ctg એ વ્યસ્ત કાર્યો છે. જો આપણે લેગ a ને પાપ A અને કર્ણ c ના ઉત્પાદન તરીકે અને લેગ b ને cos A * c તરીકે કલ્પીએ તો આપણને મળે છે નીચેના સૂત્રોસ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે:

ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ

ગ્રાફિકલી, ઉલ્લેખિત જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

પરિઘ, માં આ કિસ્સામાં, બધું રજૂ કરે છે શક્ય મૂલ્યોકોણ α - 0° થી 360° સુધી. આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, દરેક કાર્ય નકારાત્મક અથવા લે છે હકારાત્મક મૂલ્યકોણ માપ પર આધાર રાખીને. ઉદાહરણ તરીકે, જો α વર્તુળના 1લા અને 2જા ક્વાર્ટરનો હોય, એટલે કે, તે 0° થી 180° ની રેન્જમાં હોય તો sin α પાસે “+” ચિહ્ન હશે. α માટે 180° થી 360° (III અને IV ક્વાર્ટર), sin α માત્ર નકારાત્મક મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

ચાલો બિલ્ડ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકોચોક્કસ ખૂણાઓ માટે અને જથ્થાઓનું મૂલ્ય શોધો.

α સમાન 30°, 45°, 60°, 90°, 180° અને તેથી વધુના મૂલ્યોને વિશેષ કેસ કહેવામાં આવે છે. તેમના માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને વિશિષ્ટ કોષ્ટકોના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

આ ખૂણાઓ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવ્યા ન હતા. કોષ્ટકોમાં હોદ્દો π રેડિયન માટે છે. રેડ એ કોણ છે કે જેના પર વર્તુળની ચાપની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાને અનુરૂપ હોય છે. આ મૂલ્યસાર્વત્રિક અવલંબન સ્થાપિત કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું જ્યારે રેડિયનમાં ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સેમીમાં ત્રિજ્યાની વાસ્તવિક લંબાઈ વાંધો નથી.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે કોષ્ટકોમાંના ખૂણાઓ રેડિયન મૂલ્યોને અનુરૂપ છે:

તેથી, અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે 2π છે સંપૂર્ણ વર્તુળઅથવા 360°.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો: સાઈન અને કોસાઈન

સાઈન અને કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવા અને તેની તુલના કરવા માટે, તેમના કાર્યો દોરવા જરૂરી છે. આ દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં સ્થિત વળાંકના સ્વરૂપમાં કરી શકાય છે.

ધ્યાનમાં લો સરખામણી કોષ્ટકસાઈન અને કોસાઈન માટે ગુણધર્મો:

ફંક્શન સમ છે કે નહીં તે નક્કી કરવું ખૂબ જ સરળ છે. ત્રિકોણમિતિના જથ્થાના ચિહ્નો સાથે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળની કલ્પના કરવા અને OX અક્ષને સંબંધિત ગ્રાફને માનસિક રીતે "ફોલ્ડ" કરવા માટે તે પૂરતું છે. જો ચિહ્નો એકરૂપ થાય છે, તો કાર્ય સમ છે, અન્યથા તે વિચિત્ર છે.

રેડિયનનો પરિચય અને સાઈન અને કોસાઈન તરંગોના મૂળભૂત ગુણધર્મોની સૂચિ અમને નીચેની પેટર્ન પ્રસ્તુત કરવાની મંજૂરી આપે છે:

તે ચકાસવું ખૂબ જ સરળ છે કે સૂત્ર સાચું છે. ઉદાહરણ તરીકે, x = π/2 માટે, સાઈન 1 છે, જેમ કે x = 0 ની કોસાઈન છે. ચેક કન્સલ્ટિંગ કોષ્ટકો દ્વારા અથવા આપેલ મૂલ્યો માટે ફંક્શન કર્વ્સને ટ્રેસ કરીને કરી શકાય છે.

ટેન્જેન્ટોઇડ્સ અને કોટેન્જેન્ટોઇડ્સના ગુણધર્મો

ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના આલેખ સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. tg અને ctg મૂલ્યો એકબીજાના પરસ્પર છે.

1. Y = tan x.
2. સ્પર્શક x = π/2 + πk પર y ના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ ક્યારેય તેમના સુધી પહોંચતું નથી.
3. ટેન્જેન્ટોઇડનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો π છે.
4. Tg (- x) = - tg x, એટલે કે કાર્ય વિચિત્ર છે.
5. Tg x = 0, x = πk માટે.
6. કાર્ય વધી રહ્યું છે.
7. Tg x › 0, x ϵ માટે (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ માટે (— π/2 + πk, πk).
9. વ્યુત્પન્ન (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

ચાલો વિચાર કરીએ ગ્રાફિક છબીલખાણમાં નીચે cotangentoids.

કોટેન્જેન્ટોઇડ્સના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1. Y = cot x.
2. સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનથી વિપરીત, ટેન્જેન્ટોઈડમાં Y તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના મૂલ્યો લઈ શકે છે.
3. કોટેન્જેન્ટોઇડ x = πk પર y ના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તે ક્યારેય પહોંચતું નથી.
4. કોટેન્જેન્ટોઇડનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો π છે.
5. Ctg (- x) = - ctg x, એટલે કે કાર્ય વિચિત્ર છે.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk માટે.
7. કાર્ય ઘટતું જાય છે.
8. Ctg x › 0, x ϵ માટે (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) માટે.
10. વ્યુત્પન્ન (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x યોગ્ય