શું તે સાચું છે કે બ્રહ્માંડ અનંત છે? સ્પષ્ટ સંકલન સ્વરૂપમાં વર્ણન

આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા બનાવવામાં આવેલ ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતે બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાનના વિકાસને એક શક્તિશાળી પ્રોત્સાહન આપ્યું, જેણે અવકાશ-સમયની સમજ અને સૌથી ઉપર, તેમની અનંતતાની સમસ્યા સાથે સંબંધિત સંખ્યાબંધ મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા. રિલેટિવિસ્ટિક કોસ્મોલોજીએ આ સમસ્યાને ઉકેલવાની અત્યંત જટિલતા દર્શાવી, તેના માટે નિષ્કપટ અભિગમને અશક્ય બનાવ્યો અને જરૂરિયાતનો પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો. ઊંડા વિશ્લેષણ"અનંત" ની ખૂબ જ ખ્યાલ.

સાપેક્ષ બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાનના આગમન પહેલા, અનંતનો દૃષ્ટિકોણ એક નિષ્કપટ અભિગમ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવતો હતો - અનંતતાને એવી વસ્તુ તરીકે સમજવામાં આવતી હતી જેનો કોઈપણ દિશામાં કોઈ અંત નથી. પ્રાચીન કાળથી આવી રહેલી આ સમજ બે હજાર વર્ષથી વધુ સમયથી યથાવત રહી છે. સાચું, ગણિતમાં, બીજાથી શરૂ થાય છે 19મી સદીનો અડધો ભાગસદીમાં, અનંતની વિભાવનાની જટિલતા અને ઊંડાઈ વધુને વધુ સ્પષ્ટ થાય છે. પરંતુ બિન-ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં, અનંતતા પ્રત્યે આત્મસંતુષ્ટ વલણ પ્રવર્તતું રહ્યું, અને ગણિતમાં આવતી મુશ્કેલીઓને અમુક પ્રકારની "ગાણિતિક સૂક્ષ્મતા" તરીકે દર્શાવવામાં આવી હતી. અનંતની સમસ્યા પ્રત્યે આ નિષ્કપટ આત્મસંતુષ્ટ વલણ, જે અભિપ્રાયમાં પ્રગટ થાય છે કે આપણે અનંતની વિભાવનાની સામગ્રી જાણીએ છીએ, તે તાજેતરમાં સુધી કેટલાક ફિલસૂફો દ્વારા સાચવવામાં આવી છે.

સામાન્ય સાપેક્ષતા દર્શાવે છે કે અવકાશ દ્રવ્ય અને અંદર સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલું છે સામાન્ય કેસબિન-યુક્લિડિયન છે. અને બિન-યુક્લિડિયન માટે - "વક્ર" - અવકાશ, અનંતતા અને અમર્યાદની વિભાવનાઓ, જે અસ્પષ્ટ રીતે ઓળખવામાં આવી છે. પ્રખ્યાત તર્કપાયથાગોરિયન આર્કિટાસ. પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ આર્કિટાસે અનંતની આવી સમજણની નીચેની દ્રશ્ય છબી આપી હતી. જો આપણે ભાલો ફેંકીએ, અને પછી તે જ્યાં પડ્યો હતો ત્યાં જઈએ, અને ફરીથી અને ફરીથી આ ક્રિયાને પુનરાવર્તન કરીને, ભાલાને ફરીથી ફેંકીશું, તો પછી આપણે ક્યાંય પણ એવી સીમા પર આવીશું નહીં કે જે આપણને ફેંકવાનું ચાલુ રાખવા દેશે નહીં. આવા અવરોધની ગેરહાજરી અવકાશમાં અનંત ચળવળની શક્યતા દર્શાવે છે, આર્કિટાસ માનતા હતા. અંતરના નવા એકમોના અમર્યાદિત વધારાની શક્યતા તરીકે અવકાશની અનંતતાની સમજ, સમયની અનંતતાના અર્થઘટન દ્વારા અવધિના ભાગોના અમર્યાદિત વધારા તરીકે પૂરક છે. અનંતની આ સમજણની ગાણિતિક છબી એ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી છે. હેગેલ, અને તેમના પછી એંગલ્સે, આવી સંપૂર્ણ માત્રાત્મક અનંતતાને "ખરાબ" અનંત કહે છે.

વાસ્તવમાં, આપણી પાસે એવો કિસ્સો હોઈ શકે છે કે જ્યાં સકારાત્મક વક્રતાની ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા મર્યાદિત હોય (અથવા, જેમ કે વધુ વખત કહેવામાં આવે છે, બંધ, બંધ) અને તે જ સમયે અમર્યાદિત છે: આવી જગ્યામાં રહેતો પ્રાણી, તેમાં ફરે છે. , કોઈપણ સીમાઓનો સામનો કરશે નહીં અને, તેમ છતાં, વક્રતા નક્કી કરીને તેના અંગને સ્થાપિત કરવામાં સક્ષમ હશે.

આઈન્સ્ટાઈનના ગુરુત્વાકર્ષણના મૂળભૂત સમીકરણથી સાપેક્ષ બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન શરૂ થાય છે. તે જાણીતા પ્રયોગમૂલક ડેટાના આધારે ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી ઉકેલો ("બ્રહ્માંડના નમૂનાઓ") ની તપાસ કરવામાં આવે છે અને અનુભવ સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. પરિણામી મોડેલોને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે મોટા જૂથો: સજાતીય અને સમકાલીન બ્રહ્માંડના નમૂનાઓ અને એનિસોટ્રોપિક અસંગત બ્રહ્માંડના નમૂનાઓ. પ્રથમ જૂથ સૌથી વિકસિત છે.

1922 માં, સોવિયેત વૈજ્ઞાનિક એ.એ. ફ્રીડમેને વિસ્તરતા બ્રહ્માંડની પૂર્વધારણા આગળ મૂકી. તે એટલી અસામાન્ય હતી કે આઈન્સ્ટાઈને પણ શરૂઆતમાં તેના પર નકારાત્મક પ્રતિક્રિયા આપી હતી. શિક્ષણવિદ્ યા.બી. ઝેલ્ડોવિચે નોંધ્યું હતું કે ફ્રીડમેનનું કાર્ય અગમચેતીનું વધુ પ્રભાવશાળી ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે ઉત્તમ ઉદાહરણલે વેરિયરની આગાહીઓ. છેવટે, લે વેરિયરનો ઉપયોગ કર્યો અવકાશી મિકેનિક્સ, જે તેમના કામ પહેલાં જ તેજસ્વી રીતે વિકસિત અને પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. અને ફ્રીડમેનનું કાર્ય પ્રથમ હતું (અને પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવ્યા પછી ઘણા દાયકાઓ પછી, એકમાત્ર) યોગ્ય ઉપયોગકોસ્મોલોજી માટે સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત).

ફ્રિડમેન દ્વારા બ્રહ્માંડની બિન-સ્થિર પ્રકૃતિની આગાહી રેડ શિફ્ટની સ્થાપના દ્વારા સાબિત થઈ હતી. 1929 માં, અમેરિકન ખગોળશાસ્ત્રી હબલે સ્પેક્ટ્રામાં તે શોધ્યું દૂરની તારાવિશ્વો વર્ણપટ રેખાઓલાલ છેડા તરફ સ્થળાંતર કર્યું. આનો અર્થ એ છે કે તારાવિશ્વો આપણી પાસેથી એવી ઝડપે "દૂર" થઈ રહ્યા છે જે અંતર પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. તારાવિશ્વોની મંદીને અવકાશમાં અમુક પ્રકારની સામાન્ય ચળવળ તરીકે કલ્પના કરવી જોઈએ નહીં જે સમય સાથે બદલાતી નથી, અને આપણે આ ચળવળ માટે વિશેષ ગતિશીલ કારણો શોધવા જોઈએ. આ સ્થિર અવકાશમાં પદાર્થોની હિલચાલ નથી, પરંતુ અવકાશના પોતાના ગુણધર્મો - તેના મેટ્રિકની બિન-સ્થિરતાને કારણે થતી અસર. સાપેક્ષ બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન દ્વારા આપવામાં આવેલ તારાવિશ્વોની મંદી માટેની સમજૂતી સૈદ્ધાંતિક રીતે સમજૂતી સમાન છે સાપેક્ષ અસરોલંબાઈ ઘટાડવી અને સમય ધીમો કરવો.

ફ્રિડમેનના મોડેલના માળખામાં, ચોક્કસ અર્થમાં, અવકાશ અને સમયની અમર્યાદિતતા અને અનંતતા વિશેના પ્રશ્નો પ્રયોગાત્મક રીતે ચકાસી શકાય છે. ફ્રિડમેનના બિન-સ્થિર વિશ્વમાં હકારાત્મક વક્રતા (બંધ મોડેલ) અને નકારાત્મક વળાંક (ઓપન મોડેલ) બંને હોઈ શકે છે. તેમાં એક વિશિષ્ટ સમય બિંદુ હોઈ શકે છે - સમયની શરૂઆત (વિસ્તરતું બ્રહ્માંડ), પરંતુ તેમાં અનંતપણે ઘણા વિશેષ બિંદુઓ પણ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, તેમાંના કોઈપણને સમયની શરૂઆત ગણી શકાય નહીં, અને તેમની હાજરીનો સીધો અર્થ એ થાય છે કે બ્રહ્માંડમાં, વિસ્તરણના સમયગાળા, ચોક્કસ ક્ષણથી શરૂ થાય છે, જ્યારે તમામ પ્રકારના પદાર્થોની ઘનતા અનંત હતી, તેને સમયગાળા દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સંકોચનનું, જ્યારે તારાવિશ્વો "એકસાથે દોડે છે" - લાલ રંગનું વિસ્થાપન વાયોલેટમાં બદલાય છે -, ઘનતા ફરીથી અનંત મૂલ્ય લે છે, અને પછી વિસ્તરણ ફરીથી શરૂ થાય છે, વગેરે. (સ્પંદન કરતું બ્રહ્માંડ).

સમયની સીમા, જે વિસ્તરતા બ્રહ્માંડનું મોડેલ સમયની શરૂઆતનો પરિચય આપીને બોલે છે, તે સામાન્ય રીતે સમયની બિનશરતી સીમા વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ નથી, પરંતુ માપની સીમાઓ તરફના અભિગમનો સંકેત છે, ગુણાત્મક રીતે નવા પ્રકારના સંબંધોમાં સંક્રમણની શક્યતા, જ્યાં જાણીતા સંબંધોનું આમૂલ પુનરાવર્તન જરૂરી હોઈ શકે છે ભૌતિક કાયદાઅને સમયનો ખ્યાલ.

બ્રહ્માંડના એક અથવા બીજા મોડેલની પસંદગી તેના પર નિર્ભર છે મધ્યમ ઘનતાબ્રહ્માંડમાં પદાર્થ અને ક્ષેત્રો. વાસ્તવિક ઘનતા ρ ની સાથે સરખામણી (નિર્ણાયક ઘનતા) તમને ઉલ્લેખિત વિકલ્પો પસંદ કરવાની મંજૂરી આપે છે. જ્યારે ρ > આપણી પાસે સકારાત્મક વક્રતાની જગ્યા છે, એટલે કે, બંધ અને મર્યાદિત (પરંતુ અમર્યાદિત) અને અનંત ઘણા કામચલાઉ એકવચન બિંદુઓ: બ્રહ્માંડ ધબકશે. ρ પર< આપણી પાસે નકારાત્મક વક્રતાની જગ્યા છે, એટલે કે, ખુલ્લી અને અનંત અને એક ખાસ બિંદુ, જેની સાથે બ્રહ્માંડના વિસ્તરણની શરૂઆત થઈ. પ્રયોગમૂલક ડેટા ઓપન મોડલની તરફેણમાં નિર્ણય તરફ દોરી જાય છે, પરંતુ અંતિમ ચુકાદો હજુ સુધી આપી શકાતો નથી.

કેટલાક રશિયન ફિલસૂફો, આ પ્રકારના વૈજ્ઞાનિક ડેટાથી પરિચિત થયા પછી, તેમના અસ્વીકારનો દૃષ્ટિકોણ લીધો. દ્વિભાષી ભૌતિકવાદ, તેઓ તર્ક કરે છે, અવકાશ અને સમયની અનંતતા પર ભાર મૂકે છે, અને દરેક વસ્તુ જે આ સ્થિતિ સાથે સંમત નથી તે આદર્શવાદનું અભિવ્યક્તિ છે. 60 ના દાયકાના મધ્યભાગની સોવિયેત ફિલસૂફીની પાઠયપુસ્તકમાં તમે નીચેનું વિધાન શોધી શકો છો: "વિશ્વની અનંતતાના વિચારને રદિયો આપવાનો એક પ્રયાસ એ "વિસ્તરતા બ્રહ્માંડ" નો આદર્શવાદી સિદ્ધાંત છે (જાણે કે ત્યાં ભૌતિકવાદી અને આદર્શવાદી વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો હતા - લેખક)... આ પ્રત્યાઘાતી છે, પ્રમાણિકપણે વિશ્વાસુ સિદ્ધાંત ટીકાનો સામનો કરી શકતો નથી...” ઉપરોક્ત તર્ક એ આદર્શવાદ સામે કેવી રીતે લડવું નહીં તેનું ઉદાહરણ છે. શા માટે વિસ્તરતા બ્રહ્માંડના સિદ્ધાંતને આદર્શવાદી, પ્રતિક્રિયાવાદી, સંપૂર્ણ વિશ્વાસવાદી ગણવો જોઈએ? એક સમયે, આદર્શવાદીઓએ તેના પર કબજો કર્યો. પરંતુ તેઓ, ચર્ચમેનની જેમ, કોઈપણ સમયે પડાવી લે છે વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત, સ્થાપિત વિચારોને તોડવું, અને તેઓ જે “સમજ્યા” છે તેનો ઇનકાર કરીને તેમની સામે લડવું એટલે ખરેખર તેમને મદદ કરવી. આ પ્રકારની "ટીકા" વિવેચકની કુદરતી વૈજ્ઞાનિક નિરક્ષરતાનો પુરાવો છે.

અવકાશ-સમયની અનંતતાના મુદ્દાને ઉકેલવામાં બાબતોની વાસ્તવિક સ્થિતિ સાથે સૌથી વધુ સુસંગત એસ્ટોનિયન વૈજ્ઞાનિક જી.આઈ. અહીં આપણે સતત બિનપરંપરાગત માર્ગ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, કારણ કે અનંતતાના કેટલાક ફિલોસોફિકલ ધોરણોનું અસ્તિત્વ, જેની સાથે ભૌતિકશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિશિષ્ટ ડેટાની તુલના કરવી જોઈએ, તે નિશ્ચિતપણે નકારવામાં આવે છે. નાન અનુસાર ફિલસૂફીનું કાર્ય આપવાનું નથી અંતિમ નિર્ણયકુદરતી વિજ્ઞાન ઉપરાંત અનંતની સમસ્યા, જે આ પ્રકારનો ઉકેલ આપી શકતી નથી, પરંતુ અનંતની આપણી વિભાવનાઓની ઉત્પત્તિની તપાસ કરવા અને વધુ અને વધુ નવા વૈજ્ઞાનિક ડેટાની સમજણ કયા માર્ગ પર જવું જોઈએ તે સૂચવવા માટે. આજે આપણે વાત ન કરવી જોઈએ વ્યાપક ઉકેલઅનંતની સમસ્યાઓ, પરંતુ સુધારણા વિશે પદ્ધતિસરના સાધનોતેના નિર્ણયો. આ માર્ગને અનુસરીને, અમે અનંત શું છે તેની વધુ સંપૂર્ણ સ્પષ્ટતાનો સંપર્ક કરીશું. હવે આપણી પાસે એવો ખ્યાલ નથી. અને જો આપણે એક ક્ષણ માટે પણ ધારીએ કે આપણા વંશજો પાસે રહેલી અનંતતાની ચોક્કસ સમજણથી આપણે કોઈક રીતે પરિચિત થયા છીએ, તો પણ તે આપણને બહુ મદદ કરશે નહીં. દ્વારા અલંકારિક રીતેનાના, આપણે આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરી શકીએ નહીં વધુ હદ સુધીએક આદિમ ક્રૂર કરતાં જેને જંગલમાં જેટ પ્લેન મળ્યું.

તેથી, સૌથી મહત્વપૂર્ણ જ્ઞાનશાસ્ત્રીય નિષ્કર્ષ એ છે કે આપણી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, આપણે મર્યાદિત અને અનંતની વિભાવનાઓને ધારી શકતા નથી જે આજે આપણી પાસે નિર્વિવાદ ધોરણો તરીકે છે, જેની સાથે આપણે ફક્ત બદલાતા વૈજ્ઞાનિક ડેટાની સરખામણી કરવાની જરૂર છે, જે આપણા ધોરણોનો વિરોધાભાસ નથી કરતા. , અને જે વિરોધાભાસ કરે છે તેને છોડી દે છે. તેનાથી વિપરિત, આ ડેટાના આધારે, કુદરતી વિજ્ઞાનના વિકાસના દરેક નવા પગલાને આ ઊંડાણ અને સ્પષ્ટતાના માર્ગ સાથેના બીજા પગલા તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, ખ્યાલોને પોતાને સ્પષ્ટ કરવા માટે જરૂરી છે. તેથી, તે સ્પષ્ટ છે કે સાપેક્ષ બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન દ્વારા મેળવેલા પરિણામોને આજે અવકાશ-સમયની અનંતતાની સમસ્યાનો અંતિમ ઉકેલ પૂરો પાડવા તરીકે ગણી શકાય નહીં.

અને એક વધુ મૂળભૂત ટિપ્પણી. રિલેટિવિસ્ટિક કોસ્મોલોજીના ડેટા મેટાગાલેક્સી, એટલે કે બ્રહ્માંડની અમર્યાદિતતા અથવા અનંતતાના પ્રશ્ન સાથે સુસંગત છે. ફિલસૂફીમાં આપણે બ્રહ્માંડની અનંતતા અથવા સમગ્ર વિશ્વ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

ભિન્ન અનંતતા

અનંત તેમાંથી એક છે ગાણિતિક છબીઓ, જે માત્ર બિન-નિષ્ણાતો માટે જ નહીં, પણ વૈજ્ઞાનિકો માટે પણ કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે. એક પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી, જેમણે મોસ્કો યુનિવર્સિટીના ભૌતિકશાસ્ત્ર વિભાગમાં ભૂમિતિ શીખવ્યું હતું, તેણે વિદ્યાર્થીઓને ગુપ્ત રીતે સ્વીકાર્યું હતું કે જ્યારે તે અનંતની કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, ત્યારે તેને લાગે છે કે તેનું મન વાદળ થવાનું શરૂ કરે છે.

તેમ છતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અને ખગોળશાસ્ત્રીઓએ તેમના સંશોધનમાં અનંત સાથે, અનંત સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. મોટી માત્રામાંઅને તેમની સાથે કામ કરો. તદુપરાંત, તે તારણ આપે છે કે અનંતતાઓ અલગ હોઈ શકે છે, અને તેમની તુલના એકબીજા સાથે પણ કરી શકાય છે.

સૌથી સરળ, સૌથી "પ્રાથમિક" અનંતતા અને તે જ સમયે "સૌથી નાનું" એ કુદરતી શ્રેણીમાં સંખ્યાઓની અનંતતા છે. તે એક પછી એક એકમને ફરીથી અને ફરીથી ઉમેરીને મેળવી શકાય છે.

કારણ કે આવી કામગીરી કંઈપણ દ્વારા મર્યાદિત નથી અને ઇચ્છિત હોય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે, પરિણામ એ પૂર્ણાંકોનો અનંત સમૂહ છે - "ગણતરીયોગ્ય" સમૂહ, જેમ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેને કહે છે. આ અનંતતા, ઘણી બધી બાબતોમાં અનુકૂળ, એક પ્રકારના "માપનાર શાસક" ની ભૂમિકા ભજવે છે, જે અન્ય અનંતતાને માપવા માટેનું એક પ્રકારનું ધોરણ છે. આ કરવા માટે, તમારે ફક્ત તેમના ઘટકોની સંખ્યા કરવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. અને જુઓ તેમાંથી શું આવે છે ...

બસ? કેમ નહીં? આપણે જાણીએ છીએ કે એકમાંથી કેવી રીતે ગણતરી કરવી. પરંતુ અહીં એક સંપૂર્ણપણે અણધારી આશ્ચર્ય આપણી રાહ જોશે. તેમાંથી એક જેનો આપણે લગભગ દરેક પગલા પર સામનો કરીએ છીએ જ્યારે આપણે અનંતતાઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આપણે બધા સમ સંખ્યાઓના અનંત સમૂહ પર આપણું ધોરણ “લાગુ” કરીએ. બે સૌથી ઓછા છે સમ સંખ્યા, ચાલો નંબર વન, ચાર - બે, છ - ત્રણ, અને તેથી વધુ, અને તેથી વધુ... અને અમને એ જાણીને નવાઈ લાગશે કે બધી સમ સંખ્યાઓ નિયુક્ત કરવા માટે માત્ર પૂરતી સંખ્યાઓ જ નથી - આ અપેક્ષા રાખવામાં આવી હતી - પરંતુ મફત નંબરો પણ બાકી છે.

તે તારણ આપે છે કે બંને અનંત - ગણતરીપાત્ર અને તમામ સમાન સંખ્યાઓની અનંતતા - સમાન છે? કેવી રીતે? છેવટે, પ્રાકૃતિક શ્રેણીમાં દરેક બે સળંગ સંખ્યાઓમાંથી, માત્ર એક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે બધી પૂર્ણાંકો જેટલી સંખ્યાઓ અડધા જેટલી હોવી જોઈએ! બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમામ સમ સંખ્યાઓનો સમૂહ એ તમામ પૂર્ણાંકોના સમૂહનો જ એક ભાગ છે. અને અનુરૂપ અનંત સમાન છે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે તેમ, સમાન શક્તિ ધરાવે છે.

પરંતુ એવું થતું નથી, તે ન હોઈ શકે! કોઈપણ પદાર્થનો સમૂહ તેના પોતાના ભાગની બરાબર હોઈ શકે નહીં! હા, ખરેખર, જ્યાં સુધી આપણે મર્યાદિત રચનાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ ત્યાં સુધી તે કરી શકતું નથી. પરંતુ અનંતોના પોતાના કાયદા છે - વિચિત્ર, અલબત્ત, સામાન્ય દૃષ્ટિકોણથી - પરંતુ તેમ છતાં તદ્દન કડક. માર્ગ દ્વારા, કે અનંત સેટતેમના પોતાના સબસેટ્સ સમાન હોઈ શકે છે, ગેલિલિયોએ નોંધ્યું... તેના આશ્ચર્ય માટે ખૂબ જ!

જો કે, કોઈપણ શોધ, જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, અનિવાર્યપણે નવા પ્રશ્નોનો સમાવેશ કરે છે. જેમાં કોઈ અપવાદ નથી અમે વાત કરી રહ્યા છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું ગણી શકાય તેવા કરતાં અનંત સેટ વધુ "શક્તિશાળી" છે? અહીં એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ છે. તેના પર કેટલા બિંદુઓ ફિટ થઈ શકે છે? તે સ્પષ્ટ છે કે તેમાંના અસંખ્ય છે. પણ બરાબર કેટલું?

ચાલો ફરી એકવાર અમારા ધોરણની મદદનો આશરો લઈએ - એક ગણતરીપાત્ર સમૂહ. અને અંતે આપણે જોશું કે આ વખતે કુદરતી શ્રેણીમાં આપણે પસંદ કરેલા સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓને સંખ્યા કરવા માટે બહુ ઓછી સંખ્યાઓ છે. ગણિતમાં, આ સંદર્ભમાં એક કડક પ્રમેય સાબિત થાય છે: ભલે આપણે કોઈ સેગમેન્ટના કેટલા બિંદુઓ ગણીએ, ત્યાં હંમેશા એવા બિંદુઓ હશે જેના માટે કુદરતી શ્રેણીમાં પૂરતી સંખ્યાઓ નથી. આમ આપણે અનંતની વધુ શોધ કરી છે ઉચ્ચ ક્રમ, ગણી શકાય તેવા સમૂહ કરતાં - અનંત, જેને સાતત્ય કહેવાય છે. પરંતુ સાતત્ય એ મર્યાદા નથી. સૈદ્ધાંતિક રીતે, વ્યક્તિ મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ પદની અનંતતાઓ બનાવી શકે છે.

ના પ્રશ્ન પર પાછા ફરો ભૌમિતિક ગુણધર્મોઆહ બ્રહ્માંડ. તમે નોંધ્યું હશે કે આ સમસ્યાની ચર્ચા કરતી વખતે, ક્યાં તો વિશ્વ અવકાશની સંભવિત અનંતતા અથવા તેની અમર્યાદિતતાનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. "સામાન્ય" વિશ્વમાં, જેના માટે યુક્લિડિયન ભૂમિતિ માન્ય છે, તે જ ભૂમિતિ જે આપણે શાળામાં અભ્યાસ કરીએ છીએ, આ વિભાવનાઓ આવશ્યકપણે સમાન છે, જેનો અર્થ સમાન છે. તેમ છતાં હજુ પણ કેટલાક તફાવતો છે. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અનંત એ માત્રાત્મક, "મેટ્રિક" ગુણધર્મ છે: લંબાઈ, વિસ્તાર, વોલ્યુમની અનંતતા. અમર્યાદિત વિશે શું? ..

“જ્યારે આપણે કહીએ છીએ કે આપણી જગ્યા અનંત છે ત્યારે આપણે શું વ્યક્ત કરવા માંગીએ છીએ? - આઈન્સ્ટાઈને લખ્યું, જેમની પાસે દ્રશ્ય છબીઓની મદદથી સૌથી અમૂર્ત વિચારો વ્યક્ત કરવાની નસીબદાર ક્ષમતા હતી. - આપણે એક વસ્તુને બીજી વસ્તુ લાગુ પાડી શકીએ તે હકીકત કરતાં વધુ કંઈ નથી સમાન સંસ્થાઓ, કહો, કોઈપણ સંખ્યામાં સમઘન, અને તે જ સમયે આપણે ક્યારેય જગ્યા ભરીશું નહીં. આ પ્રકારનું બાંધકામ ક્યારેય સમાપ્ત થશે નહીં. એક વધુ ક્યુબ ઉમેરવા માટે હંમેશા જગ્યા રહેશે..."

તે શું છે અનંત જગ્યા. અમર્યાદિતતા માટે, આ ગુણધર્મ માળખાકીય છે, જેમ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે, ટોપોલોજીકલ. આ સંજોગો પર ખાસ કરીને એક સમયે ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીબર્નહાર્ડ રીમેન.

"જ્યારે વિચારણા અવકાશી બાંધકામોઅનંત વિશાળની દિશામાં," તેમણે નોંધ્યું, "કોઈએ અમર્યાદિતતા અને અનંતના ગુણધર્મો વચ્ચે તફાવત કરવો જોઈએ: તેમાંથી પ્રથમ એક્સ્ટેંશનની મિલકત છે, બીજી મેટ્રિક મિલકત છે."

યુક્લિડિયન અવકાશમાં, કોઈપણ રેખા જે અનિશ્ચિત સમય સુધી વધારી શકાય છે તે અનંત છે. પરંતુ આપણે વક્ર વિશ્વમાં જીવીએ છીએ... આવી દુનિયામાં, અનંતતા અને અમર્યાદિતતા વધુ નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે. બિંદુ સુધી - બીજો અનપેક્ષિત વિરોધાભાસ - તે અમર્યાદિત જગ્યા બંને અનંત હોઈ શકે છે, એટલે કે, કોઈ સીમા વિના, "ધાર" અથવા મર્યાદિત!

અંશે આ આગામી ફટકો નરમ કરવા માટે સામાન્ય જ્ઞાન, ચાલો એક સાદ્રશ્યનો ઉપયોગ કરીએ. વિજ્ઞાનમાં સામ્યતાઓ નથી કડક પુરાવા, પરંતુ તેઓ અમને ચોક્કસ જટિલ ઘટનાના સારને વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે.

મર્યાદિત ત્રિજ્યાના સામાન્ય બોલની કલ્પના કરો. ગોળાકાર સપાટી એ દ્વિ-પરિમાણીય રચના છે જેમાં વક્ર છે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. આ સપાટી પર રહેતા કેટલાક વિચિત્ર સપાટ પ્રાણીની કલ્પના કરો અને ત્યાં કોઈ પ્રકારનું ત્રીજું પરિમાણ હોવાની શંકા પણ ન કરો. તેની વક્ર દુનિયામાંથી કોઈપણ દિશામાં મુસાફરી કરતી વખતે, આ પ્રાણી ક્યારેય કોઈ સરહદ પાર નહીં કરે. અને આ અર્થમાં, બોલની સપાટી અમર્યાદિત જગ્યા છે. પરંતુ આપણા બોલની ત્રિજ્યા મર્યાદિત હોવાથી, તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પણ મર્યાદિત છે. આમ, અમર્યાદિત અને તે જ સમયે મર્યાદિત વિશ્વ તેની તમામ વાસ્તવિકતામાં આપણી સમક્ષ દેખાયું. તે શક્ય બન્યું જે પ્રથમ નજરમાં એકદમ અશક્ય લાગતું હતું.

આગળના પગલા માટે અમારી પાસેથી વધુની જરૂર પડશે વધુ તાકાતકલ્પના આપણે ત્રિ-પરિમાણીય બોલ વિશે વાત કરીશું જે અંદર છે ચાર-પરિમાણીય જગ્યા... કમનસીબે, તે કલ્પના કરવા માટે સ્પષ્ટ છે સમાન પરિસ્થિતિત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વના માણસો, ગોળાકાર સપાટીના કાલ્પનિક રહેવાસી માટે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વક્ર દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાની કલ્પના કરવી એ આપણા માટે ઓછું મુશ્કેલ નથી.

પરંતુ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતમાં આપણું વિશ્વ આના જેવું જ દેખાય છે: તે ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં વક્ર છે, જ્યાં, જોકે, ભૂમિકા ચોથું પરિમાણસમય ચાલે છે. આઈન્સ્ટાઈન અનુસાર, આપણે ચાર-પરિમાણીય "સ્પેસ-ટાઇમ" માં જીવીએ છીએ. તે જ સમયે મહાન ભૌતિકશાસ્ત્રીએવું માનવામાં આવતું હતું કે આપણી વક્ર વિશ્વ મર્યાદિત વોલ્યુમ ધરાવે છે, તે, જેમ તે હતું, તે પોતે જ બંધ છે.

બ્રહ્માંડના ભૌમિતિક ગુણધર્મોના અભ્યાસના ઇતિહાસે બીજો તીવ્ર વળાંક લીધો છે. અનંત અને અમર્યાદ અવકાશના ક્લાસિકલ ન્યૂટોનિયન વિચારોને છોડી દેવા પડ્યા. તેઓએ તેમની ભૂમિકા ભજવી, પરંતુ વિશ્વ વધુ જટિલ બન્યું.

આમ, આપણા વિશ્વના છુપાયેલા ગુણધર્મોને સમજવા માટે બીજું એક અત્યંત મહત્વપૂર્ણ પગલું લેવામાં આવ્યું. જો કે, આપણા બ્રહ્માંડનું ગાણિતિક, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ભૌમિતિક, મોડેલ, બાંધવામાં આવ્યું છે સામાન્ય સિદ્ધાંતસાપેક્ષતા, પોતે હજુ સુધી વાસ્તવિક અવકાશની સીમાનો પુરાવો ગણી શકાય તેમ નથી. પરંતુ આઈન્સ્ટાઈને પોતે આ વિકલ્પને સૌથી વાજબી ગણાવ્યો હતો.

જો કે, આ રસ્તાનો અંત ન હતો. તે હજુ પણ ખૂબ જ દૂર હતું. નવું સ્તર, જે આપણા વિશ્વના ભૌમિતિક ગુણધર્મોના અભ્યાસના પરિણામ રૂપે, ઘણા બધા પ્રશ્નોને જન્મ આપે છે જેના જવાબો હજુ સુધી મળ્યા નથી.