આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે કેવી રીતે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું, અને વિપરીત પ્રક્રિયાને પણ ધ્યાનમાં લો - દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો. અહીં આપણે અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવાના નિયમો જાહેર કરીશું અને આપીશું વિગતવાર ઉકેલોલાક્ષણિક ઉદાહરણો.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
ચાલો તે ક્રમ દર્શાવીએ કે જેમાં આપણે વ્યવહાર કરીશું અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું.
પ્રથમ, આપણે દશાંશ તરીકે 10, 100, 1,000, ... છેદ સાથે અપૂર્ણાંકોને કેવી રીતે રજૂ કરવા તે જોઈશું. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંક એ 10, 100, .... સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક લખવાનું એક સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે.
તે પછી, આપણે આગળ જઈશું અને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક (માત્ર 10, 100, ... સાથે નહીં) કેવી રીતે લખવું તે બતાવીશું. જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને આ રીતે ગણવામાં આવે છે, ત્યારે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અને અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક બંને પ્રાપ્ત થાય છે.
હવે ચાલો ક્રમમાં બધું વિશે વાત કરીએ.
છેદ 10, 100, ... સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
કેટલાક યોગ્ય અપૂર્ણાંકોને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરતા પહેલા "પ્રારંભિક તૈયારી"ની જરૂર પડે છે. આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને લાગુ પડે છે, જેનાં અંશમાં અંકોની સંખ્યા છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા કરતાં ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 2/100 પ્રથમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે તૈયાર હોવો જોઈએ, પરંતુ અપૂર્ણાંક 9/10 માટે કોઈ તૈયારીની જરૂર નથી.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની "પ્રારંભિક તૈયારી" એ અંશની ડાબી બાજુએ એટલા બધા શૂન્ય ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે કે કુલ જથ્થોઅંકો છેદમાં શૂન્યની સંખ્યાના સમાન બન્યા. ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય ઉમેર્યા પછીનો અપૂર્ણાંક જેવો દેખાશે.
એકવાર તમારી પાસે યોગ્ય અપૂર્ણાંક તૈયાર થઈ જાય, પછી તમે તેને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરી શકો છો.
ચાલો આપીએ 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ...ના છેદ સાથે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમ. તે ત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:
- 0 લખો;
- તેના પછી આપણે દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ;
- અમે અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ (જો આપણે ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે).
ચાલો ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ નિયમના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ.
યોગ્ય અપૂર્ણાંક 37/100 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
છેદમાં 100 નંબર છે, જેમાં બે શૂન્ય છે. અંશમાં નંબર 37 હોય છે, તેના સંકેતમાં બે અંકો હોય છે, તેથી, આ અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર માટે તૈયાર કરવાની જરૂર નથી.
હવે આપણે 0 લખીએ છીએ, દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ અને અંશમાંથી નંબર 37 લખીએ છીએ, અને આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.37 મળે છે.
જવાબ:
0,37 .
અંશ 10, 100, ... સાથે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની કુશળતાને મજબૂત કરવા માટે, અમે બીજા ઉદાહરણમાં ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીશું.
ઉદાહરણ.
દશાંશ તરીકે યોગ્ય અપૂર્ણાંક 107/10,000,000 લખો.
ઉકેલ.
અંશમાં અંકોની સંખ્યા 3 છે, અને છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા 7 છે, તેથી આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકદશાંશમાં રૂપાંતર માટે તૈયારીની જરૂર છે. આપણે અંશમાં ડાબી બાજુએ 7-3=4 શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે જેથી કરીને ત્યાં અંકોની કુલ સંખ્યા છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જેટલી થાય. અમને મળે છે.
જે બાકી રહે છે તે જરૂરી દશાંશ અપૂર્ણાંક બનાવવાનું છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ, આપણે 0 લખીએ છીએ, બીજું, આપણે અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ, ત્રીજું, આપણે અંશમાંથી સંખ્યાને શૂન્ય 0000107 સાથે લખીએ છીએ, પરિણામે આપણી પાસે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.0000107 છે.
જવાબ:
0,0000107 .
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે કોઈ તૈયારીની જરૂર નથી. નીચેની બાબતોનું પાલન કરવું જોઈએ છેદ 10, 100, ... સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો:
- અંશમાંથી નંબર લખો;
- અલગ દશાંશ બિંદુમૂળ અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્ય હોય તેટલા જ જમણી બાજુએ અંકો છે.
ઉદાહરણ ઉકેલતી વખતે ચાલો આ નિયમનો ઉપયોગ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 56,888,038,009/100,000 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, આપણે 56888038009 અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ, અને બીજું, આપણે જમણી બાજુના 5 અંકોને દશાંશ બિંદુથી અલગ કરીએ છીએ, કારણ કે મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદમાં 5 શૂન્ય છે. પરિણામે, અમારી પાસે દશાંશ અપૂર્ણાંક 568880.38009 છે.
જવાબ:
568 880,38009 .
મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ જે નંબર 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ... છે, તમે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો, અને પછી પરિણામી રૂપાંતર કરી શકો છો. દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં અપૂર્ણાંક. પરંતુ તમે નીચેનાનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો મિશ્ર સંખ્યાઓને 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ...ના અપૂર્ણાંક છેદ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમ:
- જો જરૂરી હોય તો, કરો" પ્રારંભિક તૈયારી» મૂળ મિશ્ર સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ, ઉમેરી રહ્યા છે જરૂરી જથ્થોઅંશમાં ડાબી બાજુએ શૂન્ય;
- મૂળ મિશ્ર સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ લખો;
- દશાંશ બિંદુ મૂકો;
- આપણે ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે અંશમાંથી સંખ્યા લખીએ છીએ.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જેમાં આપણે મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવા માટેના તમામ જરૂરી પગલાં પૂર્ણ કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ.
અનુવાદ કરો મિશ્ર સંખ્યાદશાંશ અપૂર્ણાંક સુધી.
ઉકેલ.
અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં 4 શૂન્ય હોય છે, અને અંશમાં 17 નંબર હોય છે, જેમાં 2 અંકો હોય છે, તેથી, આપણે અંશમાં ડાબી બાજુએ બે શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે જેથી કરીને ત્યાંના અંકોની સંખ્યા સંખ્યાની સંખ્યા જેટલી થાય. છેદમાં શૂન્ય. આમ કરવાથી, અંશ 0017 થશે.
હવે આપણે મૂળ સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ લખીએ છીએ, એટલે કે 23 નંબર, દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે અંશમાંથી સંખ્યાને ઉમેરેલા શૂન્ય સાથે એટલે કે 0017 લખીએ છીએ, અને આપણને ઇચ્છિત દશાંશ મળે છે. અપૂર્ણાંક 23.0017.
ચાલો આખો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ: 
.
નિઃશંકપણે, પ્રથમ ફોર્મમાં મિશ્ર સંખ્યા દર્શાવવાનું શક્ય હતું યોગ્ય અપૂર્ણાંક, પછી તેને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો. આ અભિગમ સાથે, ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે: .
જવાબ:
23,0017 .
અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત અને અનંત સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
તમે છેદ 10, 100, ... સાથે માત્ર સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને જ નહીં, પરંતુ અન્ય છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને પણ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. હવે આપણે સમજીશું કે આ કેવી રીતે થાય છે.
કેટલાક કિસ્સાઓમાં, મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સરળતાથી 10, અથવા 100, અથવા 1,000, ... (નવા છેદમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક લાવતા જુઓ), જે પછી પરિણામી અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું મુશ્કેલ નથી. દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે. ઉદાહરણ તરીકે, તે સ્પષ્ટ છે કે અપૂર્ણાંક 2/5 ને છેદ 10 સાથે અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડી શકાય છે, આ માટે તમારે અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, જે અપૂર્ણાંક 4/10 આપશે, જે મુજબ, અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરેલ નિયમો, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0, 4 માં સરળતાથી રૂપાંતરિત થાય છે.
અન્ય કિસ્સાઓમાં, તમારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાની બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડશે, જેને આપણે હવે ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અંશને પ્રથમ દશાંશ બિંદુ પછી શૂન્યની કોઈપણ સંખ્યા સાથે સમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે (અમે આ વિશે સમાન વિભાગમાં વાત કરી હતી અને અસમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક). આ કિસ્સામાં, ભાગાકાર એ જ રીતે કરવામાં આવે છે જે રીતે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરવામાં આવે છે, અને જ્યારે ડિવિડન્ડના સંપૂર્ણ ભાગનું વિભાજન સમાપ્ત થાય છે ત્યારે ભાગાંકમાં દશાંશ બિંદુ મૂકવામાં આવે છે. નીચે આપેલા ઉદાહરણોના ઉકેલો પરથી આ બધું સ્પષ્ટ થશે.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 621/4 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
ચાલો અંશ 621 માંની સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ, તેના પછી દશાંશ બિંદુ અને કેટલાક શૂન્ય ઉમેરીએ. પ્રથમ, ચાલો 2 અંકો 0 ઉમેરીએ, પછીથી, જો જરૂરી હોય તો, આપણે હંમેશા વધુ શૂન્ય ઉમેરી શકીએ છીએ. તેથી, અમારી પાસે 621.00 છે.
હવે 621,000 નંબરને 4 વડે કૉલમ વડે ભાગીએ. પ્રથમ ત્રણ પગલાં લાંબા વિભાજનથી અલગ નથી કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના પછી અમે નીચેના ચિત્ર પર આવીએ છીએ: 
આ રીતે આપણે ડિવિડન્ડમાં દશાંશ બિંદુ સુધી પહોંચીએ છીએ, અને બાકીનું શૂન્યથી અલગ છે. આ કિસ્સામાં, અમે અવશેષમાં દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ અને અલ્પવિરામ પર ધ્યાન ન આપતા, કૉલમમાં વિભાજન કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ: 
આ વિભાજનને પૂર્ણ કરે છે, અને પરિણામે આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 155.25 મળે છે, જે મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ છે.
જવાબ:
155,25 .
સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અન્ય ઉદાહરણના ઉકેલને ધ્યાનમાં લો.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 21/800 ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક 21,000...ના સ્તંભ સાથે 800 વડે ભાગીએ છીએ. પ્રથમ પગલા પછી, આપણે ભાગાંકમાં દશાંશ બિંદુ મૂકવો પડશે, અને પછી વિભાગ ચાલુ રાખવો પડશે: 
અંતે, અમને બાકીનું 0 મળ્યું, આ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 21/400 નું દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર પૂર્ણ કરે છે, અને અમે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02625 પર પહોંચ્યા.
જવાબ:
0,02625 .
એવું બની શકે છે કે જ્યારે અંશને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા વિભાજિત કરીએ ત્યારે, આપણને હજુ પણ 0 નો શેષ મળતો નથી. આ કિસ્સાઓમાં, વિભાજન અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે. જો કે, ચોક્કસ પગલાથી શરૂ કરીને, શેષ સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરે છે, અને ભાગાંકમાંની સંખ્યાઓ પણ પુનરાવર્તિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે મૂળ અપૂર્ણાંક અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક 19/44 ને દશાંશ તરીકે લખો.
ઉકેલ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરો: 
તે પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે કે વિભાજન દરમિયાન અવશેષો 8 અને 36 પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ થયું, જ્યારે ભાગાંકમાં નંબર 1 અને 8 પુનરાવર્તિત થાય છે. આમ, મૂળ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 19/44 ને સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.43181818...=0.43(18) માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
જવાબ:
0,43(18) .
આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે શોધીશું કે કયા સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને કયા અપૂર્ણાંકને ફક્ત સામયિકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
ચાલો આપણે આપણી સામે એક અપૂર્ણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક રાખીએ (જો અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય તેવું હોય, તો આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકને ઘટાડીશું), અને આપણે તે શોધવાની જરૂર છે કે તેને કયા દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે - મર્યાદિત અથવા સામયિક.
તે સ્પષ્ટ છે કે જો સામાન્ય અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1,000, ... માંના કોઈ એકમાં ઘટાડી શકાય છે, તો પરિણામી અપૂર્ણાંકને અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરાયેલા નિયમો અનુસાર સરળતાથી અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ 10, 100, 1,000, વગેરે છેદ માટે. બધા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો આપવામાં આવતા નથી. માત્ર એવા અપૂર્ણાંકો જેમના છેદ 10, 100, ... સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક છે અને 10, 100, ...ના વિભાજકોમાં ઘટાડો કરી શકાય છે. સંખ્યાઓ 10, 100, ... અમને આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા દેશે, અને તે નીચે મુજબ છે: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... તે અનુસરે છે કે વિભાજકો 10, 100, 1,000, વગેરે છે. ત્યાં ફક્ત સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે જેમાં વિઘટન થાય છે મુખ્ય પરિબળોફક્ત 2 અને (અથવા) 5 નંબરો ધરાવે છે.
હવે અમે કરી શકીએ છીએ સામાન્ય નિષ્કર્ષઅપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા વિશે:
- જો અવિભાજ્ય પરિબળોમાં છેદના વિઘટનમાં માત્ર સંખ્યાઓ 2 અને (અથવા) 5 હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે;
- જો, બે અને પાંચ ઉપરાંત, છેદના વિસ્તરણમાં અન્ય છે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, પછી આ અપૂર્ણાંક અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉદાહરણ.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કર્યા વિના, મને કહો કે 47/20, 7/12, 21/56, 31/17માંથી કયા અપૂર્ણાંકને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને કયા અપૂર્ણાંકને માત્ર સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
ઉકેલ.
અપૂર્ણાંક 47/20 ના છેદને 20=2·2·5 તરીકે અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવિત કરવામાં આવે છે. આ વિસ્તરણમાં માત્ર બે અને પાંચ છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1,000, ... (આ ઉદાહરણમાં, છેદ 100)માંથી એકમાં ઘટાડી શકાય છે, તેથી, અંતિમ દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અપૂર્ણાંક
અપૂર્ણાંક 7/12 ના છેદનું મુખ્ય પરિબળમાં વિઘટન 12=2·2·3 સ્વરૂપ ધરાવે છે. તે 2 અને 5 થી અલગ 3 નું અવિભાજ્ય પરિબળ ધરાવે છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત દશાંશ તરીકે રજૂ કરી શકાતો નથી, પરંતુ તેને સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
અપૂર્ણાંક 21/56 - સંકોચનીય, સંકોચન પછી તે 3/8 સ્વરૂપ લે છે. છેદને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરવામાં 2 ની સમાન ત્રણ અવયવો હોય છે, તેથી, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 3/8, અને તેથી સમાન અપૂર્ણાંક 21/56, અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.
છેલ્લે, અપૂર્ણાંક 31/17 ના છેદનું વિસ્તરણ પોતે 17 છે, તેથી આ અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી, પરંતુ તેને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
જવાબ:
47/20 અને 21/56 ને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, પરંતુ 7/12 અને 31/17 ને માત્ર સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક અનંત બિન-સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થતા નથી
પાછલા ફકરામાંની માહિતી પ્રશ્નને જન્મ આપે છે: "શું અપૂર્ણાંકના અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકમાં પરિણમી શકે છે?"
જવાબ: ના. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરતી વખતે, પરિણામ કાં તો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. ચાલો સમજાવીએ કે આવું કેમ છે.
શેષ સાથે વિભાજ્યતા પ્રમેય પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે શેષ હંમેશા છે વિભાજક કરતાં ઓછું, એટલે કે, જો આપણે અમુક પૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક q વડે ભાગીએ, તો બાકીની સંખ્યા 0, 1, 2, ..., q−1માંથી માત્ર એક જ હોઈ શકે. તે અનુસરે છે કે કૉલમ દ્વારા સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશના પૂર્ણાંક ભાગને છેદ q દ્વારા વિભાજિત કરવાનું પૂર્ણ કર્યા પછી, q કરતાં વધુ પગલાઓમાં નીચેની બે પરિસ્થિતિઓમાંથી એક ઊભી થશે:
- અથવા આપણને 0 નો બાકીનો ભાગ મળશે, આ ભાગાકારને સમાપ્ત કરશે, અને આપણને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે;
- અથવા અમને એક શેષ મળશે જે પહેલાથી જ દેખાયો છે, જે પછી શેષ ભાગ પાછલા ઉદાહરણની જેમ પુનરાવર્તન કરવાનું શરૂ કરશે (વિભાજન કરતી વખતે સમાન સંખ્યાઓસમાન શેષ q પર મેળવવામાં આવે છે, જે પહેલાથી ઉલ્લેખિત વિભાજ્યતા પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે), આ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પરિણમશે.
ત્યાં અન્ય કોઈ વિકલ્પો હોઈ શકતા નથી, તેથી, જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવી શકાતો નથી.
આ ફકરામાં આપેલા તર્ક પરથી તે પણ અનુસરે છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમયગાળાની લંબાઈ હંમેશા સંબંધિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકના છેદના મૂલ્ય કરતાં ઓછી હોય છે.
દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું
હવે ચાલો જાણીએ કે દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું. ચાલો અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીને શરૂઆત કરીએ. આ પછી, અમે અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને ઊંધું કરવા માટેની પદ્ધતિ પર વિચાર કરીશું. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની અશક્યતા વિશે કહીએ.
પાછળના દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું
અંતિમ દશાંશ તરીકે લખાયેલ અપૂર્ણાંક મેળવવો એકદમ સરળ છે. અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનો નિયમત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:
- પ્રથમ, આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકને અંશમાં લખો, અગાઉ દશાંશ બિંદુ અને ડાબી બાજુના તમામ શૂન્ય, જો કોઈ હોય તો;
- બીજું, છેદમાં એક લખો અને મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકો હોય તેટલા શૂન્ય ઉમેરો;
- ત્રીજે સ્થાને, જો જરૂરી હોય તો, પરિણામી અપૂર્ણાંક ઘટાડો.
ચાલો ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.
ઉદાહરણ.
દશાંશ 3.025 ને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
જો આપણે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાંથી દશાંશ બિંદુ દૂર કરીએ, તો આપણને 3,025 નંબર મળશે. ડાબી બાજુએ કોઈ શૂન્ય નથી જેને આપણે કાઢી નાખીશું. તેથી, આપણે ઇચ્છિત અપૂર્ણાંકના અંશમાં 3,025 લખીએ છીએ.
આપણે છેદમાં નંબર 1 લખીએ છીએ અને તેની જમણી બાજુએ 3 શૂન્ય ઉમેરીએ છીએ, કારણ કે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી 3 અંકો છે.
તેથી અમને સામાન્ય અપૂર્ણાંક 3,025/1,000 મળ્યો. આ અપૂર્ણાંક 25 થી ઘટાડી શકાય છે, અમને મળે છે 
.
જવાબ:
.
ઉદાહરણ.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.0017 ને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
ઉકેલ.
દશાંશ બિંદુ વિના, મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંક 00017 જેવો દેખાય છે, ડાબી બાજુના શૂન્યને કાઢી નાખવાથી આપણને નંબર 17 મળે છે, જે ઇચ્છિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ છે.
આપણે છેદમાં ચાર શૂન્ય સાથે એક લખીએ છીએ, કારણ કે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી 4 અંકો હોય છે.
પરિણામે, અમારી પાસે સામાન્ય અપૂર્ણાંક 17/10,000 છે. આ અપૂર્ણાંક અફર છે, અને દશાંશ અપૂર્ણાંકનું સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર પૂર્ણ થયું છે.
જવાબ:
.
જ્યારે આખો ભાગમૂળ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક શૂન્યથી અલગ છે, પછી તે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને બાયપાસ કરીને તરત જ મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. ચાલો આપીએ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનો નિયમ:
- દશાંશ બિંદુ પહેલાની સંખ્યા ઇચ્છિત મિશ્ર સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે લખવી આવશ્યક છે;
- અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં તમારે ડાબી બાજુના તમામ શૂન્યને કાઢી નાખ્યા પછી મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી મેળવેલ સંખ્યા લખવાની જરૂર છે;
- અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં તમારે નંબર 1 લખવાની જરૂર છે, જેમાં મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકો હોય તેટલા શૂન્યને જમણી બાજુએ ઉમેરો;
- જો જરૂરી હોય તો, પરિણામી મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગને ઘટાડવો.
ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 152.06005 ને મિશ્ર સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરો
અમે પહેલેથી જ કહ્યું છે કે અપૂર્ણાંક છે સામાન્યઅને દશાંશ. ચાલુ આ ક્ષણેઅમે અપૂર્ણાંકનો થોડો અભ્યાસ કર્યો છે. અમે શીખ્યા કે ત્યાં નિયમિત અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક છે. અમે એ પણ શીખ્યા કે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઘટાડી શકાય છે, ઉમેરી શકાય છે, બાદબાકી કરી શકાય છે, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે. અને અમે એ પણ શીખ્યા કે ત્યાં કહેવાતી મિશ્ર સંખ્યાઓ છે, જેમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગ હોય છે.
અમે હજી સુધી સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સંપૂર્ણ શોધ કરી નથી. ત્યાં ઘણી સૂક્ષ્મતા અને વિગતો છે જેની ચર્ચા થવી જોઈએ, પરંતુ આજે આપણે અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરીશું દશાંશઅપૂર્ણાંક, કારણ કે સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંકને ઘણીવાર જોડવા પડે છે. એટલે કે, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તમારે બંને પ્રકારના અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરવો પડશે.
આ પાઠ જટિલ અને ગૂંચવણભર્યો લાગે છે. આ એકદમ સામાન્ય છે. આ પ્રકારના પાઠો માટે જરૂરી છે કે તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવે, અને ઉપરછલ્લી રીતે સ્કિમ ન કરવામાં આવે.
પાઠ સામગ્રીઅપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં જથ્થાઓને વ્યક્ત કરવી
કેટલીકવાર તેમાં કંઈક બતાવવાનું અનુકૂળ હોય છે અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ. ઉદાહરણ તરીકે, ડેસિમીટરનો દસમો ભાગ આ રીતે લખાયેલ છે:
આ અભિવ્યક્તિનો અર્થ એ છે કે એક ડેસિમીટરને દસ ભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યું હતું, અને આ દસ ભાગોમાંથી એક ભાગ લેવામાં આવ્યો હતો:
જેમ તમે આકૃતિમાં જોઈ શકો છો, ડેસીમીટરનો દસમો ભાગ એક સેન્ટીમીટર છે.
ચાલો વિચાર કરીએ આગામી ઉદાહરણ. અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં સેન્ટીમીટરમાં 6 સેમી અને અન્ય 3 મીમી બતાવો.
તેથી, તમારે સેન્ટીમીટરમાં 6 સેમી અને 3 મીમી વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે, પરંતુ અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં. અમારી પાસે પહેલેથી જ 6 સંપૂર્ણ સેન્ટિમીટર છે:
પરંતુ હજુ 3 મિલીમીટર બાકી છે. આ 3 મિલીમીટર અને સેન્ટીમીટરમાં કેવી રીતે બતાવવું? અપૂર્ણાંક બચાવમાં આવે છે. 3 મિલીમીટર એ સેન્ટીમીટરનો ત્રીજો ભાગ છે. અને સેન્ટીમીટરનો ત્રીજો ભાગ સેમી તરીકે લખવામાં આવે છે
અપૂર્ણાંકનો અર્થ એ છે કે એક સેન્ટિમીટરને દસ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવ્યું હતું, અને આ દસ ભાગોમાંથી ત્રણ ભાગ લેવામાં આવ્યા હતા (દસમાંથી ત્રણ).
પરિણામે, આપણી પાસે છ સંપૂર્ણ સેન્ટિમીટર અને સેન્ટિમીટરનો ત્રણ દશમો ભાગ છે:
આ કિસ્સામાં, 6 સંપૂર્ણ સેન્ટિમીટરની સંખ્યા બતાવે છે, અને અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક સેન્ટિમીટરની સંખ્યા બતાવે છે. આ અપૂર્ણાંક તરીકે વાંચવામાં આવે છે "છ પોઇન્ટ ત્રણ સેન્ટિમીટર".
અપૂર્ણાંક જેના છેદમાં 10, 100, 1000 નંબરો હોય છે તે છેદ વિના લખી શકાય છે. પહેલા આખો ભાગ લખો અને પછી અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખો. પૂર્ણાંક ભાગને અલ્પવિરામ દ્વારા અપૂર્ણાંક ભાગના અંશથી અલગ કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો તેને છેદ વિના લખીએ. આ કરવા માટે, ચાલો પહેલા આખો ભાગ લખીએ. પૂર્ણાંક ભાગ એ નંબર 6 છે. પહેલા આપણે આ સંખ્યા લખીએ:
આખો ભાગ નોંધાયેલ છે. આખો ભાગ લખ્યા પછી તરત જ અમે અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ:
અને હવે આપણે અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખીએ છીએ. મિશ્ર સંખ્યામાં, અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ એ નંબર 3 છે. આપણે દશાંશ બિંદુ પછી ત્રણ લખીએ છીએ:
કોઈપણ નંબર કે જે આ ફોર્મમાં દર્શાવવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે દશાંશ.
તેથી, તમે દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને સેન્ટીમીટરમાં 6 સેમી અને અન્ય 3 મીમી બતાવી શકો છો:
6.3 સે.મી
તે આના જેવો દેખાશે:
વાસ્તવમાં, દશાંશ સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સમાન છે. આવા અપૂર્ણાંકોની ખાસિયત એ છે કે તેમના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં 10, 100, 1000 અથવા 10000 નંબરો હોય છે.
મિશ્ર સંખ્યાની જેમ, દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ભાગ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મિશ્ર સંખ્યામાં પૂર્ણાંક ભાગ 6 છે, અને અપૂર્ણાંક ભાગઆ .
દશાંશ અપૂર્ણાંક 6.3 માં, પૂર્ણાંક ભાગ નંબર 6 છે, અને અપૂર્ણાંક ભાગ અપૂર્ણાંકનો અંશ છે, એટલે કે, નંબર 3 છે.
એવું પણ બને છે કે છેદમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંકો જેમાં 10, 100, 1000 નંબરો પૂર્ણાંક ભાગ વિના આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ ભાગ વિના અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે છે. આવા અપૂર્ણાંકને દશાંશ તરીકે લખવા માટે, પહેલા 0 લખો, પછી અલ્પવિરામ મુકો અને અપૂર્ણાંકનો અંશ લખો. છેદ વિનાનો અપૂર્ણાંક નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:
જેવું વાંચે છે "શૂન્ય બિંદુ પાંચ".
મિશ્ર સંખ્યાઓને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવી
જ્યારે આપણે છેદ વિના મિશ્ર સંખ્યાઓ લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે, તમારે કેટલીક બાબતો જાણવાની જરૂર છે, જેના વિશે આપણે હવે વાત કરીશું.
આખો ભાગ લખ્યા પછી, અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા ગણવી જરૂરી છે, કારણ કે અપૂર્ણાંક ભાગના શૂન્યની સંખ્યા અને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે. સમાન તેનો અર્થ શું છે? નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો:
પહેલા તો
અને તમે તરત જ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખી શકો છો અને દશાંશ અપૂર્ણાંક તૈયાર છે, પરંતુ તમારે ચોક્કસપણે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા ગણવાની જરૂર છે.
તેથી, આપણે મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં શૂન્યની સંખ્યા ગણીએ છીએ. અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં એક શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી એક અંક હશે અને આ અંક મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ હશે, એટલે કે, સંખ્યા 2
આમ, જ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે, ત્યારે મિશ્ર સંખ્યા 3.2 બને છે.
આ દશાંશ અપૂર્ણાંક આ રીતે વાંચે છે:
"ત્રણ બિંદુ બે"
"દસમો" કારણ કે સંખ્યા 10 મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં છે.
ઉદાહરણ 2.મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરો.
આખો ભાગ લખો અને અલ્પવિરામ મૂકો:
અને તમે તરત જ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખી શકો છો અને દશાંશ અપૂર્ણાંક 5.3 મેળવી શકો છો, પરંતુ નિયમ કહે છે કે દશાંશ બિંદુ પછી મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્ય હોય તેટલા અંકો હોવા જોઈએ. અને આપણે જોઈએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં બે શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણા દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી બે અંક હોવા જોઈએ, એક નહીં.
આવા કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં થોડો ફેરફાર કરવાની જરૂર છે: અંશની પહેલાં શૂન્ય ઉમેરો, એટલે કે, નંબર 3 પહેલાં
હવે તમે આ મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરી શકો છો. આખો ભાગ લખો અને અલ્પવિરામ મૂકો:
અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખો:
દશાંશ અપૂર્ણાંક 5.03 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"પાંચ બિંદુ ત્રણ"
"સેંકડો" કારણ કે મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં 100 નંબર હોય છે.
ઉદાહરણ 3.મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરો.
અગાઉના ઉદાહરણોમાંથી, આપણે શીખ્યા કે મિશ્ર સંખ્યાને સફળતાપૂર્વક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશમાં અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ.
મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરતા પહેલા, તેના અપૂર્ણાંક ભાગમાં થોડો ફેરફાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા છે તેની ખાતરી કરવા માટે. સમાન
સૌ પ્રથમ, આપણે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જોઈએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે ત્યાં ત્રણ શૂન્ય છે:
અમારું કાર્ય અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં ત્રણ અંકોને ગોઠવવાનું છે. અમારી પાસે પહેલેથી જ એક અંક છે - આ નંબર 2 છે. તે વધુ બે અંકો ઉમેરવાનું બાકી છે. તેઓ બે શૂન્ય હશે. તેમને નંબર 2 પહેલા ઉમેરો. પરિણામે, છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન હશે:
હવે તમે આ મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. પ્રથમ આપણે આખો ભાગ લખીએ છીએ અને અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ:
અને તરત જ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખો
3,002
આપણે જોઈએ છીએ કે દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 3.002 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"ત્રણ પોઈન્ટ બે હજારમો"
"હજારમો" કારણ કે મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં 1000 નંબરનો સમાવેશ થાય છે.
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
10, 100, 1000 અથવા 10000 ના છેદ સાથેના સામાન્ય અપૂર્ણાંકને પણ દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક ભાગ ન હોવાથી, પહેલા 0 લખો, પછી અલ્પવિરામ મૂકો અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ લખો.
અહીં પણ, છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ. તેથી, તમારે સાવચેત રહેવું જોઈએ.
ઉદાહરણ 1.
આખો ભાગ ખૂટે છે, તેથી પહેલા આપણે 0 લખીએ અને અલ્પવિરામ મૂકીએ:
હવે આપણે છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જોઈએ. આપણે જોઈએ છીએ કે ત્યાં એક શૂન્ય છે. અને અંશમાં એક અંક છે. આનો અર્થ એ છે કે તમે દશાંશ બિંદુ પછી નંબર 5 લખીને દશાંશ અપૂર્ણાંક સુરક્ષિત રીતે ચાલુ રાખી શકો છો
પરિણામી દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 માં, દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે અનુવાદિત છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"શૂન્ય બિંદુ પાંચ"
ઉદાહરણ 2.અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
આખો ભાગ ખૂટે છે. પ્રથમ આપણે 0 લખીએ છીએ અને અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ:
હવે આપણે છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા જોઈએ. આપણે જોઈએ છીએ કે ત્યાં બે શૂન્ય છે. અને અંશમાં માત્ર એક અંક હોય છે. અંકોની સંખ્યા અને શૂન્યની સંખ્યા સમાન બનાવવા માટે, સંખ્યા 2 પહેલા અંશમાં એક શૂન્ય ઉમેરો. પછી અપૂર્ણાંક ફોર્મ લેશે. હવે છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. તેથી તમે દશાંશ અપૂર્ણાંક ચાલુ રાખી શકો છો:
પરિણામી દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02 માં, દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે અનુવાદિત છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"શૂન્ય બિંદુ બે."
ઉદાહરણ 3.અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો.
0 લખો અને અલ્પવિરામ મૂકો:
હવે આપણે અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા ગણીએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે ત્યાં પાંચ શૂન્ય છે, અને અંશમાં માત્ર એક જ અંક છે. છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન બનાવવા માટે, તમારે નંબર 5 પહેલા અંશમાં ચાર શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે:
હવે છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. તેથી આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે ચાલુ રાખી શકીએ. દશાંશ બિંદુ પછી અપૂર્ણાંકનો અંશ લખો
પરિણામી દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.00005 માં, દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે અનુવાદિત છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.00005 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"ઝીરો પોઈન્ટ પાંચસો હજારમો."
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
અયોગ્ય અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ છેદ કરતા મોટો હોય છે. અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો છે જેમાં છેદમાં 10, 100, 1000 અથવા 10000 નંબરો હોય છે. આવા અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરતા પહેલા, આવા અપૂર્ણાંકને સંપૂર્ણ ભાગમાં અલગ કરવા આવશ્યક છે.
ઉદાહરણ 1.
અપૂર્ણાંક એ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક છે. આવા અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, તમારે પહેલા તેનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરવો પડશે. ચાલો યાદ કરીએ કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને કેવી રીતે અલગ કરવું. જો તમે ભૂલી ગયા હો, તો અમે તમને તેના પર પાછા ફરવાની અને તેનો અભ્યાસ કરવાની સલાહ આપીએ છીએ.
તેથી, ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં સમગ્ર ભાગને પ્રકાશિત કરીએ. યાદ કરો કે અપૂર્ણાંકનો અર્થ થાય છે ભાગાકાર - માં આ કિસ્સામાંસંખ્યા 112 ને સંખ્યા 10 વડે ભાગી રહ્યા છીએ
ચાલો આ ચિત્ર જોઈએ અને બાળકોના બાંધકામ સમૂહની જેમ એક નવી મિશ્ર સંખ્યા એસેમ્બલ કરીએ. સંખ્યા 11 પૂર્ણાંક ભાગ હશે, સંખ્યા 2 અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ હશે, અને સંખ્યા 10 અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ હશે.
અમને મિશ્ર નંબર મળ્યો. ચાલો તેને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ. અને આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે આવી સંખ્યાઓને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે કન્વર્ટ કરવી. પ્રથમ, આખો ભાગ લખો અને અલ્પવિરામ મૂકો:
હવે આપણે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા ગણીએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે ત્યાં એક શૂન્ય છે. અને અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં એક અંક હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. આ અમને દશાંશ બિંદુ પછી અપૂર્ણાંક ભાગના અંશને તરત જ લખવાની તક આપે છે:
પરિણામી દશાંશ અપૂર્ણાંક 11.2 માં, દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે અનુવાદિત છે.
અર્થ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકજ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે ત્યારે તે 11.2 બને છે
દશાંશ અપૂર્ણાંક 11.2 નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે:
"અગિયાર પોઈન્ટ બે."
ઉદાહરણ 2.અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરો.
તે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક છે કારણ કે અંશ છેદ કરતા મોટો છે. પરંતુ તેને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, કારણ કે છેદ 100 નંબર ધરાવે છે.
સૌ પ્રથમ, ચાલો આ અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ. આ કરવા માટે, એક ખૂણા સાથે 450 ને 100 દ્વારા વિભાજીત કરો:
ચાલો એક નવી મિશ્ર સંખ્યા એકત્રિત કરીએ - આપણને મળે છે. અને મિશ્ર સંખ્યાઓને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે કન્વર્ટ કરવી તે આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ.
આખો ભાગ લખો અને અલ્પવિરામ મૂકો:
હવે આપણે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંક ભાગના અંશમાં અંકોની સંખ્યા ગણીએ છીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા અને અંશમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. આ અમને દશાંશ બિંદુ પછી અપૂર્ણાંક ભાગના અંશને તરત જ લખવાની તક આપે છે:
પરિણામી દશાંશ અપૂર્ણાંક 4.50 માં, દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોની સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યની સંખ્યા સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે અનુવાદિત છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થાય છે ત્યારે તે 4.50 બની જાય છે.
સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, જો દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે શૂન્ય હોય, તો તે કાઢી શકાય છે. ચાલો આપણા જવાબમાં શૂન્ય પણ છોડી દઈએ. પછી આપણને 4.5 મળે છે
આ એક છે રસપ્રદ લક્ષણોદશાંશ અપૂર્ણાંક. તે હકીકતમાં રહેલું છે કે અપૂર્ણાંકના અંતે દેખાતા શૂન્ય આ અપૂર્ણાંકને કોઈ વજન આપતા નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દશાંશ 4.50 અને 4.5 સમાન છે. ચાલો તેમની વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકીએ:
4,50 = 4,5
પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આવું શા માટે થાય છે? છેવટે, તે 4.50 અને 4.5 જેવું લાગે છે વિવિધ અપૂર્ણાંક. આખું રહસ્ય અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતમાં રહેલું છે, જેનો આપણે અગાઉ અભ્યાસ કર્યો છે. અમે સાબિત કરવાનો પ્રયત્ન કરીશું કે દશાંશ અપૂર્ણાંક 4.50 અને 4.5 શા માટે સમાન છે, પરંતુ આગળના વિષયનો અભ્યાસ કર્યા પછી, જેને "દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવું" કહેવામાં આવે છે.
દશાંશને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવું
કોઈપણ દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં પાછું રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, દશાંશ અપૂર્ણાંક વાંચવામાં સમર્થ થવા માટે તે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 6.3 ને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરીએ. 6.3 એ છ પોઈન્ટ ત્રણ છે. પ્રથમ આપણે છ પૂર્ણાંકો લખીએ છીએ:
અને ત્રણ દસમાની બાજુમાં:
ઉદાહરણ 2.દશાંશ 3.002 ને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરો
3.002 એ ત્રણ પૂર્ણ અને બે હજારમા ભાગ છે. પહેલા આપણે ત્રણ પૂર્ણાંક લખીએ
અને તેની બાજુમાં આપણે બે હજારમા લખીએ છીએ:
ઉદાહરણ 3.દશાંશ 4.50 ને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરો
4.50 એટલે ચાર પૉઇન્ટ પચાસ. ચાર પૂર્ણાંક લખો
અને આગામી પચાસ સો:
માર્ગ દ્વારા, ચાલો યાદ કરીએ છેલ્લું ઉદાહરણઅગાઉના વિષય પરથી. અમે કહ્યું કે દશાંશ 4.50 અને 4.5 સમાન છે. અમે એમ પણ કહ્યું હતું કે શૂન્યને કાઢી શકાય છે. ચાલો સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે દશાંશ 4.50 અને 4.5 સમાન છે. આ કરવા માટે, આપણે બંને દશાંશ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
જ્યારે મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થાય છે, ત્યારે દશાંશ 4.50 બને છે, અને દશાંશ 4.5 બને છે.
અમારી પાસે બે મિશ્ર સંખ્યાઓ છે અને . ચાલો આ મિશ્રિત સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
હવે આપણી પાસે બે અપૂર્ણાંક છે અને . અપૂર્ણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મને યાદ રાખવાનો આ સમય છે, જે કહે છે કે જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો છો (અથવા ભાગાકાર કરો છો) ત્યારે અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
ચાલો પ્રથમ અપૂર્ણાંકને 10 વડે ભાગીએ
અમને મળ્યું, અને આ બીજો અપૂર્ણાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે બંને એકબીજાના સમાન અને સમાન મૂલ્યના સમાન છે:
પહેલા 450 ને 100 વડે અને પછી 45 ને 10 વડે ભાગવા માટે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરો. તે એક રમુજી બાબત હશે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું
કોઈપણ દશાંશ અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવી શકાય છે. આ કરવા માટે, ફરીથી, દશાંશ અપૂર્ણાંક વાંચવામાં સમર્થ થવા માટે તે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 0.3 ને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ. 0.3 એ શૂન્ય બિંદુ ત્રણ છે. પ્રથમ આપણે શૂન્ય પૂર્ણાંકો લખીએ છીએ:
અને ત્રણ દસમા 0 ની બાજુમાં. શૂન્ય પરંપરાગત રીતે લખવામાં આવતું નથી, તેથી અંતિમ જવાબ 0 નહીં, પરંતુ સરળ હશે.
ઉદાહરણ 2.દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.02 ને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.
0.02 એ શૂન્ય બિંદુ બે છે. અમે શૂન્ય લખતા નથી, તેથી અમે તરત જ બે સોમું લખીએ છીએ
ઉદાહરણ 3. 0.00005 ને અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરો
0.00005 એ શૂન્ય પોઈન્ટ પાંચ છે. અમે શૂન્ય લખતા નથી, તેથી અમે તરત જ પાંચસો હજારમા લખીએ છીએ
શું તમને પાઠ ગમ્યો?
અમારી સાથે જોડાઓ નવું જૂથ VKontakte અને નવા પાઠ વિશે સૂચનાઓ પ્રાપ્ત કરવાનું પ્રારંભ કરો
ફોર્મમાં:
± d m … ડી 1 ડી 0 , ડી -1 ડી -2 …
જ્યાં ± એ અપૂર્ણાંકનું ચિહ્ન છે: ક્યાં તો +, અથવા -,
, એ દશાંશ બિંદુ છે જે સંખ્યાના પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગો વચ્ચે વિભાજક તરીકે કામ કરે છે,
ડીકે- દશાંશ સંખ્યાઓ.
તે જ સમયે, દશાંશ બિંદુ (તેની ડાબી બાજુએ) પહેલા સંખ્યાઓના ક્રમનો અંત (અંક દીઠ ઓછામાં ઓછા 1 તરીકે) હોય છે, અને દશાંશ બિંદુ પછી (જમણી બાજુએ) તે બંને મર્યાદિત હોઈ શકે છે (વૈકલ્પિક રીતે, ત્યાં દશાંશ બિંદુ પછી કોઈ અંક ન હોઈ શકે) અને અનંત.
દશાંશ મૂલ્ય ± d m … ડી 1 ડી 0 , ડી -1 ડી -2 … વાસ્તવિક સંખ્યા છે:
જે મર્યાદિત અથવા ના સરવાળા સમાન છે અનંત સંખ્યાશરતો
પ્રદર્શન વાસ્તવિક સંખ્યાઓદશાંશ અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણાંકો લખવાનું સામાન્યીકરણ છે દશાંશ સિસ્ટમહિસાબ. પૂર્ણાંકના દશાંશ પ્રતિનિધિત્વમાં દશાંશ બિંદુ પછી કોઈ અંક નથી, તેથી રજૂઆત આના જેવી દેખાય છે:
± d m … ડી 1 ડી 0 ,
અને આ દશાંશ નંબર સિસ્ટમમાં આપણી સંખ્યા લખવા સાથે એકરુપ છે.
દશાંશ- આ 1 ને 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ ભાગોમાં વિભાજીત કરવાનું પરિણામ છે. આ અપૂર્ણાંકો ગણતરી માટે તદ્દન અનુકૂળ છે, કારણ કે તેઓ સમાન સ્થિતિની સિસ્ટમ પર આધારિત છે જેના પર પૂર્ણાંકોની ગણતરી અને રેકોર્ડિંગ આધારિત છે. આ માટે આભાર, રેકોર્ડિંગ અને ક્રિયાના નિયમો દશાંશપૂર્ણાંકો માટે લગભગ સમાન.
દશાંશ અપૂર્ણાંક લખતી વખતે, તમારે છેદને ચિહ્નિત કરવાની જરૂર નથી; તે અનુરૂપ અંક દ્વારા કબજે કરેલ સ્થાન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રથમ આપણે સંખ્યાનો સંપૂર્ણ ભાગ લખીએ છીએ, પછી આપણે જમણી બાજુએ દશાંશ બિંદુ મૂકીએ છીએ. દશાંશ બિંદુ પછીનો પ્રથમ અંક દસમાની સંખ્યા, બીજો - સોની સંખ્યા, ત્રીજો - હજારમાની સંખ્યા, વગેરે સૂચવે છે. દશાંશ બિંદુ પછી સ્થિત થયેલ સંખ્યાઓ છે દશાંશ.
ઉદાહરણ તરીકે: 
દશાંશ અપૂર્ણાંકનો એક ફાયદો એ છે કે તે ખૂબ જ સરળતાથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડી શકાય છે: દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા (અમારા માટે તે 5047 છે) છે. અંશ; છેદબરાબર n-10 ની શક્તિ, ક્યાં n- દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા (અમારા માટે આ છે n=4):
જ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં કોઈ પૂર્ણાંક ભાગ નથી, ત્યારે આપણે દશાંશ બિંદુ પહેલાં શૂન્ય મૂકીએ છીએ:
દશાંશ અપૂર્ણાંકના ગુણધર્મો.
1. જ્યારે જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરવામાં આવે ત્યારે દશાંશ બદલાતો નથી:
13.6 =13.6000.
2. જ્યારે દશાંશના અંતેના શૂન્યને દૂર કરવામાં આવે ત્યારે દશાંશ બદલાતો નથી:
0.00123000 = 0.00123.
ધ્યાન આપો!તમે એવા શૂન્યને દૂર કરી શકતા નથી જે દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંતે સ્થિત નથી!
3. દશાંશ અપૂર્ણાંક 10, 100, 1000 દ્વારા વધે છે અને તે જ સમયે જ્યારે આપણે દશાંશ બિંદુને 1, 2, 2 અને તેથી પર અનુક્રમે જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ:
3.675 → 367.5 (અપૂર્ણાંક સો ગણો વધ્યો).
4. દશાંશ અપૂર્ણાંક દસ, એકસો, હજાર અને તેથી ઘણી વખત નાનો બને છે જ્યારે આપણે દશાંશ બિંદુને 1, 2, 3 અને તેથી ડાબી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ.
1536.78 → 1.53678 (અપૂર્ણાંક હજાર ગણો નાનો બન્યો).
દશાંશ અપૂર્ણાંકના પ્રકારો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અંતિમ, અનંતઅને સામયિક દશાંશ.
અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક છેઆ એક અપૂર્ણાંક છે જેમાં દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે (અથવા ત્યાં કોઈ પણ નથી), એટલે કે. આના જેવો દેખાય છે:
વાસ્તવિક સંખ્યાને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જો આ સંખ્યા તર્કસંગત હોય અને લખતી વખતે અફર અપૂર્ણાંક p/qછેદ qપાસે નથી મુખ્ય પરિબળો, જે 2 અને 5 થી અલગ છે.
અનંત દશાંશ.
કહેવાય સંખ્યાઓના અનંત પુનરાવર્તિત જૂથને સમાવે છે સમયગાળો. સમયગાળો કૌંસમાં લખાયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).
સામયિક દશાંશ- આ એક અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેમાં દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોનો ક્રમ, ચોક્કસ સ્થાનથી શરૂ થાય છે, તે અંકોનો સમયાંતરે પુનરાવર્તિત જૂથ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામયિક અપૂર્ણાંક- દશાંશ અપૂર્ણાંક જે આના જેવો દેખાય છે:
આવા અપૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:
સંખ્યાઓનો સમૂહ b 1 … b l, જે પુનરાવર્તિત થાય છે, છે અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો, આ જૂથમાં અંકોની સંખ્યા છે સમયગાળાની લંબાઈ.
જ્યારે સામયિક અપૂર્ણાંકમાં સમયગાળો દશાંશ બિંદુ પછી તરત જ આવે છે, તેનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક છે શુદ્ધ સામયિક. જ્યારે દશાંશ બિંદુ અને 1લી અવધિ વચ્ચે સંખ્યાઓ હોય, તો અપૂર્ણાંક છે મિશ્ર સામયિક, અને સમયગાળાના 1લા અંક સુધી દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોનું જૂથ છે અપૂર્ણાંક પ્રીપીરિયડ.
ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 1,(23) = 1.2323... શુદ્ધ સામયિક છે, અને અપૂર્ણાંક 0.1(23) = 0.12323... મિશ્ર સામયિક છે.
મુખ્ય મિલકત સામયિક અપૂર્ણાંક , જેના કારણે તેઓ દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમગ્ર સમૂહથી અલગ પડે છે, તે હકીકતમાં રહેલું છે કે સામયિક અપૂર્ણાંક અને માત્ર તેઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, નીચેના થાય છે:
કોઈપણ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક રજૂ કરે છે તર્કસંગત સંખ્યા. તેનાથી વિપરિત, જ્યારે તર્કસંગત સંખ્યાને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, તેનો અર્થ એ છે કે આ અપૂર્ણાંક સામયિક હશે.
0.8 ફોર્મમાં લખેલા અપૂર્ણાંક; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 દશાંશ કહેવાય છે. હકીકતમાં, દશાંશ અપૂર્ણાંક એ એક સરળ સંકેત છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. આ નોટેશન એવા તમામ અપૂર્ણાંકો માટે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે કે જેના છેદ 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ છે.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ (0.5 શૂન્ય બિંદુ પાંચ તરીકે વાંચવામાં આવે છે);
(0.15 તરીકે વાંચો, શૂન્ય બિંદુ પંદર);
(5.3 તરીકે વાંચો, પાંચ બિંદુ ત્રણ).
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંકેતમાં, અલ્પવિરામ સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગને અપૂર્ણાંક ભાગથી અલગ કરે છે, યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો પૂર્ણાંક ભાગ 0 છે. દશાંશ અપૂર્ણાંકના અપૂર્ણાંક ભાગની નોંધમાં જેટલા અંકો હોય છે અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકના છેદના સંકેતમાં શૂન્ય છે.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ, 
, 
, 
.
કેટલાક કિસ્સાઓમાં, કુદરતી સંખ્યાને દશાંશ તરીકે ગણવામાં આવે છે જેનો અપૂર્ણાંક ભાગ શૂન્ય છે. તે લખવાનો રિવાજ છે કે 5 = 5.0; 245 = 245.0 અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે કુદરતી સંખ્યાના દશાંશ સંકેતમાં, સૌથી ઓછા નોંધપાત્ર અંકનું એકમ નજીકના સૌથી નોંધપાત્ર અંકના એકમ કરતાં 10 ગણું ઓછું છે. દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવાની સમાન મિલકત છે. તેથી, દશાંશ બિંદુ પછી તરત જ દસમાનું સ્થાન છે, પછી સોનું સ્થાન, પછી હજારમાનું સ્થાન, વગેરે. નીચે 31.85431 નંબરના અંકોના નામ છે, પ્રથમ બે કૉલમ પૂર્ણાંક ભાગ છે, બાકીની કૉલમ અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
આ અપૂર્ણાંકને એકત્રીસ પોઈન્ટ એંસી-પાંચ હજાર ચારસો અને એકત્રીસ લાખ હજારમા ભાગ તરીકે વાંચવામાં આવે છે.
દશાંશનો ઉમેરો અને બાદબાકી
પ્રથમ રીત એ છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું અને ઉમેરણ કરવું. 
ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, આ પદ્ધતિ ખૂબ જ અસુવિધાજનક છે અને દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કર્યા વિના, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે, જે વધુ સાચી છે. બે દશાંશ અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
- શરતોમાં દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની સંખ્યાને સમાન કરો;
- એક બીજાની નીચે શરતો લખો જેથી બીજા પદનો દરેક અંક પ્રથમ પદના અનુરૂપ અંક હેઠળ હોય;
- તમે કુદરતી સંખ્યાઓ ઉમેરો છો તે જ રીતે પરિણામી સંખ્યાઓ ઉમેરો;
- શરતોમાં અલ્પવિરામ હેઠળ પરિણામી રકમમાં અલ્પવિરામ મૂકો.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:
- મીન્યુએન્ડ અને સબટ્રાહેન્ડમાં દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની સંખ્યાને સમાન કરો;
- મીન્યુએન્ડની નીચે સબટ્રાહેન્ડ લખો જેથી સબટ્રાહેન્ડનો દરેક આંકડો મીન્યુએન્ડના અનુરૂપ અંકની નીચે હોય;
- કુદરતી સંખ્યાઓ બાદબાકી કરવામાં આવે છે તે જ રીતે બાદબાકી કરો;
- અલ્પવિરામ અને સબટ્રેહેન્ડમાં અલ્પવિરામ હેઠળ પરિણામી તફાવતમાં અલ્પવિરામ મૂકો.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:
ઉપરોક્ત ચર્ચા કરેલા ઉદાહરણોમાં, તે જોઈ શકાય છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકનો સરવાળો અને બાદબાકી થોડી-થોડી વાર કરવામાં આવી હતી, એટલે કે આપણે કુદરતી સંખ્યાઓ સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરી હતી તે જ રીતે. અપૂર્ણાંક લખવાના દશાંશ સ્વરૂપનો આ મુખ્ય ફાયદો છે.
દશાંશનો ગુણાકાર
દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે આ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુને અનુક્રમે 1, 2, 3 અને તેથી વધુ જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે. તેથી, જો અલ્પવિરામને 1, 2, 3 અને તેથી અંકો પર જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે, તો તે મુજબ અપૂર્ણાંક 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ વખત વધશે. બે દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
- અલ્પવિરામને અવગણીને તેમને કુદરતી સંખ્યાઓ તરીકે ગુણાકાર કરો;
- પરિણામી ઉત્પાદનમાં, અલ્પવિરામ સાથે જમણી બાજુના ઘણા અંકોને અલગ કરો કારણ કે અલ્પવિરામ પછી બંને અવયવોમાં એકસાથે હોય છે.
એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે કાર્ય સમાવે છે ઓછી સંખ્યા, તમે અલ્પવિરામથી અલગ કરવા માંગો છો તેના કરતાં, આ ઉત્પાદન પહેલાં ડાબી બાજુએ શૂન્યની આવશ્યક સંખ્યા ઉમેરો અને પછી અલ્પવિરામને જરૂરી અંકોની સંખ્યા દ્વારા ડાબી બાજુએ ખસેડો.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ: 2 * 4 = 8, પછી 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, પછી 0.023 * 0.35 = 0.00805.
એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે ગુણકમાંથી એક 0.1 ની બરાબર છે; 0.01; 0.001 અને તેથી વધુ, વાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ નીચેનો નિયમ.
- દશાંશને 0.1 વડે ગુણાકાર કરવા માટે; 0.01; 0.001 અને તેથી વધુ, આ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં તમારે દશાંશ બિંદુને અનુક્રમે 1, 2, 3 અને તેથી અંકો દ્વારા ડાબી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.
કુદરતી સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મો દશાંશ અપૂર્ણાંકને પણ લાગુ પડે છે.
- ab = ba- ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત;
- (ab) c = a (bc) — સહયોગી મિલકતગુણાકાર;
- a (b + c) = ab + ac — વિતરણ મિલકતઉમેરાને સંબંધિત ગુણાકાર.
દશાંશ વિભાજન
તે જાણીતું છે કે જો તમે કુદરતી સંખ્યાને વિભાજીત કરો છો aકુદરતી સંખ્યા સુધી bએટલે આવી કુદરતી સંખ્યા શોધવી c, જેનો જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે bનંબર આપે છે a. જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા હોય તો આ નિયમ સાચો રહે છે a, b, cદશાંશ અપૂર્ણાંક છે.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: તમારે અલ્પવિરામને અવગણીને, ખૂણા સાથે 43.52 ને 17 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, ડિવિડન્ડમાં દશાંશ બિંદુનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તે પછી અવશેષમાં અલ્પવિરામ પ્રથમ અંક પહેલા તરત જ મૂકવો જોઈએ.
એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે ડિવિડન્ડ વિભાજક કરતા ઓછું હોય છે, તો પછી ભાગલાકારનો પૂર્ણાંક ભાગ શૂન્યની બરાબર હોય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ચાલો બીજું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ જોઈએ.
વિભાજન પ્રક્રિયા બંધ થઈ ગઈ છે કારણ કે ડિવિડન્ડના અંકો સમાપ્ત થઈ ગયા છે અને બાકીનામાં શૂન્ય નથી. તે જાણીતું છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંક જો જમણી બાજુએ તેમાં શૂન્યની સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે તો તે બદલાશે નહીં. પછી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે ડિવિડન્ડની સંખ્યા સમાપ્ત થઈ શકતી નથી.
દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ વડે વિભાજીત કરવા માટે, તમારે આ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુને 1, 2, 3 અને તેથી વધુ અંકોથી ડાબી બાજુએ ખસેડવાની જરૂર છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.
જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને એકસાથે 10, 100, 1000 અને તેથી વધુ વખત વધારવામાં આવે, તો ભાગ્ય બદલાશે નહીં.
એક ઉદાહરણનો વિચાર કરો: 39.44: 1.6 = 24.65, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને 10 ગુણ્યા 394.4: 16 = 24.65 વધારવો 394.4: 16 = 24.65 એ નોંધવું યોગ્ય છે કે બીજા ઉદાહરણમાં કુદરતી સંખ્યા વડે દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવું સરળ છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકને દશાંશ દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
- ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં અલ્પવિરામને વિભાજકમાં દશાંશ બિંદુ પછી જેટલા અંકો છે તેટલા અંકોથી જમણી તરફ ખસેડો;
- કુદરતી સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો.
ચાલો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: 23.6: 0.02, નોંધ કરો કે વિભાજક પાસે બે દશાંશ સ્થાનો છે, તેથી આપણે બંને સંખ્યાઓને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 2360: 2 = 1180 મેળવીએ છીએ, પરિણામને 100 વડે ભાગીએ છીએ અને જવાબ 11.80 અથવા 23.6: 0, 02 = મળે છે. 11.8.
દશાંશની સરખામણી
દશાંશની તુલના કરવાની બે રીત છે. પદ્ધતિ એક, તમારે બે દશાંશ અપૂર્ણાંક 4.321 અને 4.32 ની તુલના કરવાની જરૂર છે, દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને સમાન કરો અને સ્થાન દ્વારા સ્થાનની સરખામણી કરવાનું શરૂ કરો, દસમા ભાગ સાથે દસમા ભાગ સાથે, સોમા ભાગ સાથે સોમા ભાગ સાથે, અને તેથી વધુ, અંતે આપણને 4.321 > 4.320 મળશે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના કરવાની બીજી રીત ઉપરોક્ત ઉદાહરણને 1000 વડે ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે અને 4321 > 4320 ની સરખામણી કરો. કઈ પદ્ધતિ વધુ અનુકૂળ છે, દરેક પોતાના માટે પસંદ કરે છે.
આ લેખ વિશે છે દશાંશ. અહીં આપણે તેની સાથે વ્યવહાર કરીશું દશાંશ સંકેત અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ, અમે દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ અને દશાંશ અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો આપીએ છીએ. આગળ આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંકો વિશે વાત કરીશું અને અંકોના નામ આપીશું. આ પછી, આપણે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, ચાલો સામયિક અને બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક વિશે વાત કરીએ. આગળ આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે મૂળભૂત કામગીરીની સૂચિ બનાવીએ છીએ. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો કોઓર્ડિનેટ બીમ પર દશાંશ અપૂર્ણાંકની સ્થિતિ સ્થાપિત કરીએ.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
અપૂર્ણાંક સંખ્યાનું દશાંશ સંકેત
દશાંશ વાંચન
ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંક વાંચવાના નિયમો વિશે થોડાક શબ્દો કહીએ.
દશાંશ અપૂર્ણાંક, જે યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ છે, તે આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની જેમ જ વાંચવામાં આવે છે, ફક્ત "શૂન્ય પૂર્ણાંક" પ્રથમ ઉમેરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.12 સામાન્ય અપૂર્ણાંક 12/100 ("બાર સોમા ભાગ" વાંચો) ને અનુરૂપ છે, તેથી, 0.12 ને "શૂન્ય બિંદુ બાર સોમા ભાગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે.
મિશ્ર સંખ્યાઓને અનુરૂપ દશાંશ અપૂર્ણાંક આ મિશ્ર સંખ્યાઓની જેમ જ વાંચવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 56.002 મિશ્ર સંખ્યાને અનુરૂપ છે, તેથી દશાંશ અપૂર્ણાંક 56.002 "છપ્પન પોઈન્ટ બે હજારમા ભાગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે.
દશાંશમાં સ્થાનો
દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવામાં, તેમજ કુદરતી સંખ્યાઓ લખવામાં, દરેક અંકનો અર્થ તેની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. ખરેખર, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.3 માં નંબર 3 નો અર્થ છે ત્રણ દસમા ભાગ, દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં 0.0003 - ત્રણ દસ હજારમા, અને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં 30,000.152 - ત્રણ દસ હજારમા ભાગ. તેથી અમે વિશે વાત કરી શકો છો દશાંશ સ્થાનો, તેમજ કુદરતી સંખ્યામાં અંકો વિશે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ સુધીના અંકોના નામ કુદરતી સંખ્યામાં અંકોના નામ સાથે સંપૂર્ણપણે મેળ ખાય છે. અને દશાંશ બિંદુ પછીના દશાંશ સ્થાનોના નામ નીચેના કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 37.051 માં, અંક 3 દસમા સ્થાને છે, 7 એકના સ્થાને છે, 0 દસમા સ્થાને છે, 5 સોમા સ્થાને છે, અને 1 હજારમા સ્થાને છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં સ્થાનો પણ અગ્રતામાં અલગ પડે છે. જો દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવામાં આપણે અંકથી અંકમાં ડાબેથી જમણે જઈએ, તો આપણે ત્યાંથી આગળ વધીશું. વરિષ્ઠથી જુનિયર રેન્ક. ઉદાહરણ તરીકે, સેંકડો સ્થાન દસમા સ્થાન કરતાં જૂનું છે, અને મિલિયનમું સ્થાન સોમું સ્થાન કરતાં ઓછું છે. આપેલ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં, આપણે મોટા અને નાના અંકો વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 604.9387 માં વરિષ્ઠ (સૌથી વધુ)સ્થળ સેંકડો સ્થળ છે, અને જુનિયર (સૌથી નીચું)- દસ હજારમો અંક.
દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે, અંકોમાં વિસ્તરણ થાય છે. તે કુદરતી સંખ્યાઓના અંકોમાં વિસ્તરણ સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, 45.6072 ના દશાંશ સ્થાનોમાં વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. અને દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંકોમાં વિઘટનથી ઉમેરાના ગુણધર્મો તમને આ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અન્ય પ્રતિનિધિત્વ તરફ આગળ વધવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 45.6072=45+0.6072, અથવા 45.6072=40.6+5.007+0.0002, અથવા 45.75207+45. 0.6.
અંતિમ દશાંશ
આ બિંદુ સુધી, અમે ફક્ત દશાંશ અપૂર્ણાંક વિશે જ વાત કરી છે, જેની નોંધમાં દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની મર્યાદિત સંખ્યા છે. આવા અપૂર્ણાંકોને મર્યાદિત દશાંશ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા.
અંતિમ દશાંશ- આ દશાંશ અપૂર્ણાંક છે, જેનાં રેકોર્ડ્સમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં અક્ષરો (અંકો) હોય છે.
અહીં અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.
જો કે, દરેક અપૂર્ણાંકને અંતિમ દશાંશ તરીકે દર્શાવી શકાય નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/13 ને 10, 100, ... માંથી એક સાથે સમાન અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલી શકાતો નથી, તેથી, અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરીને, આપણે સિદ્ધાંત વિભાગમાં આ વિશે વધુ વાત કરીશું.
અનંત દશાંશ: સામયિક અપૂર્ણાંક અને બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક
દશાંશ બિંદુ પછી દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવામાં, અંકોની અનંત સંખ્યાની શક્યતાને મંજૂરી આપવી શક્ય છે. આ કિસ્સામાં, અમે કહેવાતા અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લઈશું.
વ્યાખ્યા.
અનંત દશાંશ- આ દશાંશ અપૂર્ણાંક છે, જેનું રેકોર્ડિંગ સમાવે છે અનંત સમૂહસંખ્યાઓ
તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકોને સંપૂર્ણ સ્વરૂપમાં લખી શકતા નથી, તેથી તેમના રેકોર્ડિંગમાં આપણે માત્ર થોડા જ મર્યાદિત છીએ. મર્યાદિત સંખ્યાદશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓનો અવિરતપણે ચાલુ રહેલો ક્રમ દર્શાવતો અંડાકાર મૂકો. અહીં અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
જો તમે છેલ્લા બે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને નજીકથી જોશો, તો અપૂર્ણાંક 2.111111111 માં... અવિરતપણે પુનરાવર્તિત નંબર 1 સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, અને અપૂર્ણાંક 69.74152152152...માં, ત્રીજા દશાંશ સ્થાનથી શરૂ કરીને, સંખ્યાઓનો પુનરાવર્તિત જૂથ 1, 5 અને 2 સ્પષ્ટ દેખાય છે. આવા અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામયિક કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા.
સામયિક દશાંશ(અથવા માત્ર સામયિક અપૂર્ણાંક) એ અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે, જેના રેકોર્ડિંગમાં, ચોક્કસ દશાંશ સ્થાનથી શરૂ કરીને, અમુક સંખ્યા અથવા સંખ્યાઓના જૂથને અનંતપણે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, જેને કહેવામાં આવે છે અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો.
ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક અપૂર્ણાંક 2.111111111...નો સમયગાળો અંક 1 છે, અને અપૂર્ણાંક 69.74152152152...નો સમયગાળો 152 ફોર્મના અંકોનો સમૂહ છે.
અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે તે સ્વીકારવામાં આવે છે ખાસ આકારરેકોર્ડ સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે એક વખત સમયગાળો લખવા માટે સંમત થયા હતા, તેને સમાપ્ત કરીને કૌંસ. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક અપૂર્ણાંક 2.111111111... 2,(1) તરીકે લખવામાં આવે છે, અને સામયિક અપૂર્ણાંક 69.74152152152... 69.74(152) તરીકે લખવામાં આવે છે.
તે નોંધવું યોગ્ય છે કે સમાન સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે તમે વિવિધ સમયગાળાનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.73333... ને 3 ના સમયગાળા સાથે અપૂર્ણાંક 0.7(3) અને 33 ના સમયગાળા સાથે અપૂર્ણાંક 0.7(33) તરીકે પણ ગણી શકાય, અને તેથી 0.7(333), 0.7 (3333), ... તમે સામયિક અપૂર્ણાંક 0.73333 ને પણ જોઈ શકો છો ... જેમ કે: 0.733(3), અથવા આની જેમ 0.73(333), વગેરે. અહીં, અસ્પષ્ટતા અને વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમયગાળાને પુનરાવર્તિત અંકોના તમામ સંભવિત ક્રમમાં સૌથી ટૂંકી અને સૌથી વધુ સાથે શરૂ કરવા માટે સંમત છીએ. બંધ સ્થિતિદશાંશ બિંદુ સુધી. એટલે કે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.73333...નો સમયગાળો એક અંક 3 નો ક્રમ ગણવામાં આવશે, અને સામયિકતા દશાંશ બિંદુ પછી બીજા સ્થાનથી શરૂ થાય છે, એટલે કે, 0.73333...=0.7(3). બીજું ઉદાહરણ: સામયિક અપૂર્ણાંક 4.7412121212... નો સમયગાળો 12 છે, સામયિકતા દશાંશ બિંદુ પછી ત્રીજા અંકથી શરૂ થાય છે, એટલે કે, 4.7412121212...=4.74(12).
અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીને મેળવવામાં આવે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક જેના છેદમાં 2 અને 5 સિવાયના મુખ્ય પરિબળો હોય છે.
અહીં તે 9 ના સમયગાળા સાથે સામયિક અપૂર્ણાંકનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે. ચાલો આવા અપૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો આપીએ: 6.43(9), 27,(9) . આ અપૂર્ણાંક 0 અવધિ સાથે સામયિક અપૂર્ણાંક માટે અન્ય સંકેત છે, અને સામાન્ય રીતે સમયાંતરે 0 સાથે સામયિક અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, પીરિયડ 9 ને પીરિયડ 0 દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને આગામી ઉચ્ચતમ અંકનું મૂલ્ય એક વડે વધારવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ 7.24(9) ના પીરિયડ 9 સાથેનો અપૂર્ણાંક ફોર્મ 7.25(0) અથવા સમાન અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 7.25 ના સમયગાળા 0 સાથે સામયિક અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે. બીજું ઉદાહરણ: 4,(9)=5,(0)=5. આ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથે બદલ્યા પછી પીરિયડ 9 સાથેના અપૂર્ણાંકની સમાનતા અને પીરિયડ 0 સાથે તેના અનુરૂપ અપૂર્ણાંકની સમાનતા સરળતાથી સ્થાપિત થાય છે.
છેલ્લે, ચાલો અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકો પર નજીકથી નજર કરીએ, જેમાં અંકોનો અવિરત પુનરાવર્તિત ક્રમ નથી. તેમને બિન-સામયિક કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા.
નોન-રિકરિંગ દશાંશ(અથવા માત્ર બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક ) અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેનો કોઈ સમયગાળો નથી.
કેટલીકવાર બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ સામયિક અપૂર્ણાંક જેવું જ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 8.02002000200002... એ બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક છે. આ કિસ્સાઓમાં, તમારે તફાવત જોવા માટે ખાસ કરીને સાવચેત રહેવું જોઈએ.
નોંધ કરો કે બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થતા નથી;
દશાંશ સાથે કામગીરી
દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથેની એક કામગીરી સરખામણી છે, અને ચાર મૂળભૂત અંકગણિત કાર્યો પણ વ્યાખ્યાયિત છે દશાંશ સાથે કામગીરી: સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથેની દરેક ક્રિયાને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.
દશાંશની સરખામણીઆવશ્યકપણે સરખામણી કરવામાં આવી રહેલા દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી પર આધારિત છે. જો કે, દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું એ એક શ્રમ-સઘન પ્રક્રિયા છે, અને અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતા નથી, તેથી દશાંશ અપૂર્ણાંકની સ્થાન-દ્વારા-અંકની સરખામણીનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. દશાંશ અપૂર્ણાંકની સ્થાન મુજબની સરખામણી કુદરતી સંખ્યાઓની સરખામણી જેવી જ છે. વધુ વિગતવાર માહિતી માટે, અમે લેખમાંની સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ: દશાંશ અપૂર્ણાંક, નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલોની તુલના.
ચાલો આગળના પગલા પર આગળ વધીએ - દશાંશનો ગુણાકાર. સીમિત દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર એ જ રીતે દશાંશ અપૂર્ણાંકની બાદબાકી, નિયમો, ઉદાહરણો, કુદરતી સંખ્યાઓના કૉલમ દ્વારા ગુણાકારના ઉકેલો દ્વારા કરવામાં આવે છે. સામયિક અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, ગુણાકારને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ગુણાકારમાં ઘટાડી શકાય છે. બદલામાં, અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકનો તેમના રાઉન્ડિંગ પછી ગુણાકાર મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકના ગુણાકારમાં ઘટાડો થાય છે. અમે લેખમાંની સામગ્રીના વધુ અભ્યાસ માટે ભલામણ કરીએ છીએ: દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર, નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલો.
સંકલન કિરણ પર દશાંશ
બિંદુઓ અને દશાંશ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે.
ચાલો આકૃતિ કરીએ કે કોઓર્ડિનેટ કિરણ પરના બિંદુઓ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે જે આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ છે.
આપણે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અને અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથે બદલી શકીએ છીએ, અને પછી સંકલન કિરણ પર અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો બનાવી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.4 સામાન્ય અપૂર્ણાંક 14/10 ને અનુલક્ષે છે, તેથી સંકલન 1.4 સાથેના બિંદુને એકમ સેગમેન્ટના દસમા ભાગની બરાબર 14 વિભાગો દ્વારા હકારાત્મક દિશામાં મૂળમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના અંકોમાં વિઘટનથી શરૂ કરીને, સંકલન કિરણ પર દશાંશ અપૂર્ણાંકને ચિહ્નિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કોઓર્ડિનેટ 16.3007 સાથે એક બિંદુ બનાવવાની જરૂર છે, ત્યારથી 16.3007=16+0.3+0.0007, પછી માં આ બિંદુકોઓર્ડિનેટ્સ 16 ના મૂળથી ક્રમિક રીતે વિલંબ કરીને પહોંચી શકાય છે સિંગલ સેગમેન્ટ્સ, 3 સેગમેન્ટ, જેની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટના દસમા ભાગની બરાબર છે, અને 7 સેગમેન્ટ, જેની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટના દસ-હજારમા જેટલી છે.
બિલ્ડિંગની આ રીત દશાંશ સંખ્યાઓસંકલન કિરણ પર તમને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ બિંદુની તમે ગમે તેટલી નજીક જવાની મંજૂરી આપે છે.
કેટલીકવાર અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ બિંદુને ચોક્કસ રીતે કાવતરું કરવું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 
, તો આ અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.41421... કોઓર્ડિનેટ કિરણ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ છે, જે 1 એકમ સેગમેન્ટની બાજુવાળા ચોરસના કર્ણની લંબાઇથી કોઓર્ડિનેટના મૂળથી દૂર છે.
સંકલન કિરણ પર આપેલ બિંદુને અનુરૂપ દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવવાની વિપરીત પ્રક્રિયા કહેવાતા સેગમેન્ટનું દશાંશ માપ. ચાલો જાણીએ કે તે કેવી રીતે થાય છે.
અમારું કાર્ય મૂળથી કોઓર્ડિનેટ લાઇન પર આપેલ બિંદુ સુધી પહોંચવાનું છે (અથવા જો આપણે તેના સુધી ન પહોંચી શકીએ તો અનંતપણે તેનો સંપર્ક કરવો). સેગમેન્ટના દશાંશ માપ સાથે, આપણે ક્રમિક રીતે મૂળમાંથી કોઈપણ સંખ્યાના એકમ સેગમેન્ટ, પછી એવા સેગમેન્ટ્સ કે જેની લંબાઈ એકમના દસમા ભાગ જેટલી હોય, પછી સેગમેન્ટ કે જેની લંબાઈ એકમના સોમા ભાગ જેટલી હોય, વગેરે. દરેક લંબાઈના ભાગોની સંખ્યાને એક બાજુએ મૂકીને રેકોર્ડ કરીને, આપણે સંકલન કિરણ પર આપેલ બિંદુને અનુરૂપ દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ.
ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરની આકૃતિમાં પોઈન્ટ M મેળવવા માટે, તમારે 1 એકમ સેગમેન્ટ અને 4 સેગમેન્ટને અલગ રાખવાની જરૂર છે, જેની લંબાઈ એકમના દસમા ભાગની છે. આમ, બિંદુ M દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.4 ને અનુરૂપ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે સંકલન કિરણના બિંદુઓ કે જે દશાંશ માપની પ્રક્રિયામાં પહોંચી શકાતા નથી તે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ છે.
સંદર્ભો.
- ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.
- ગણિત. 6ઠ્ઠો ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એન. યા વિલેન્કીન અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00897-2.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
