ચાલો સાથે વ્યવહાર કરીએ સરળ ખ્યાલો: સાઈન અને કોસાઈનઅને ગણતરી કોસાઇન સ્ક્વેર અને સાઇન સ્ક્વેર.

સાઈન અને કોસાઈનનો અભ્યાસ ત્રિકોણમિતિમાં કરવામાં આવે છે (જમણા ખૂણાના ત્રિકોણનો અભ્યાસ).

તેથી, પ્રથમ, ચાલો કાટકોણ ત્રિકોણની મૂળભૂત વિભાવનાઓને યાદ કરીએ:

હાયપોટેન્યુઝ- તે બાજુ જે હંમેશા વિરુદ્ધ હોય છે જમણો ખૂણો(90 ડિગ્રી કોણ). કર્ણ એ કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ છે.

કાટકોણ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓને કહેવામાં આવે છે પગ.

તમારે એ પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે ત્રિકોણમાં ત્રણ ખૂણા હંમેશા 180° સુધી ઉમેરે છે.

હવે ચાલો આગળ વધીએ કોણ આલ્ફા (∠α) ના કોસાઇન અને સાઇન(આને ત્રિકોણમાં કોઈપણ પરોક્ષ કોણ કહી શકાય અથવા હોદ્દો તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય x - "x", જે સારને બદલતું નથી).

કોણ આલ્ફાનો સાઈન (sin ∠α)- આ એક વલણ છે વિરુદ્ધલેગ (અનુરૂપ કોણની વિરુદ્ધ બાજુ) કર્ણ. જો તમે આકૃતિ જુઓ, તો પાપ ∠ABC = AC/BC

કોણ આલ્ફાનું કોસાઇન (cos ∠α)- વલણ અડીનેપગના કોણ અને કર્ણ સુધી. ઉપરની આકૃતિને ફરી જોતાં, cos ∠ABC = AB/BC

અને માત્ર એક રીમાઇન્ડર તરીકે: કોસાઈન અને સાઈન ક્યારેય એક કરતા વધારે નહીં હોય, કારણ કે કોઈપણ રોલ કર્ણો કરતા ટૂંકા હોય છે (અને કર્ણો એ કોઈપણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ હોય છે, કારણ કે સૌથી લાંબી બાજુ ત્રિકોણના સૌથી મોટા કોણની સામે સ્થિત હોય છે) .

કોસાઈન સ્ક્વેર, સાઈન સ્ક્વેર

હવે ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો તરફ આગળ વધીએ: કોસાઈન સ્ક્વેર અને સાઈન સ્ક્વેરની ગણતરી.

તેમની ગણતરી કરવા માટે, તમારે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ યાદ રાખવી જોઈએ:

sin 2 α + cos 2 α = 1(એક ખૂણાનો સાઈન સ્ક્વેર વત્તા કોસાઈન સ્ક્વેર હંમેશા એક સમાન હોય છે).

ત્રિકોણમિતિની ઓળખ પરથી આપણે સાઈન વિશે તારણો કાઢીએ છીએ:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

સાઈન ચોરસ આલ્ફા એક સમાનમાઈનસ કોસાઈન ડબલ કોણઆલ્ફા અને તે બધાને બે દ્વારા વિભાજીત કરો.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​ત્રિકોણમિતિની ઓળખ પરથી આપણે કોસાઇન વિશે તારણો કાઢીએ છીએ:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

અથવા વધુ મુશ્કેલ વિકલ્પસૂત્રો: કોસાઇન ચોરસ આલ્ફાડબલ એંગલ આલ્ફાના એક વત્તા કોસાઇન બરાબર છે અને દરેક વસ્તુને બે વડે વિભાજિત પણ કરે છે.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

આ બે વધુ છે જટિલ સૂત્રોસાઈન સ્ક્વેર્ડ અને કોસાઈન સ્ક્વેર્ડને "ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વર્ગ માટે ડિગ્રી ઘટાડવી" પણ કહેવામાં આવે છે. તે. ત્યાં બીજી ડિગ્રી હતી, તેઓએ તેને પ્રથમ સુધી ઘટાડી અને ગણતરીઓ વધુ અનુકૂળ બની.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોનું કોષ્ટક

નોંધ. ત્રિકોણમિતિ કાર્ય મૂલ્યોનું આ કોષ્ટક સૂચવવા માટે √ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરે છે વર્ગમૂળ. અપૂર્ણાંક દર્શાવવા માટે, "/" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો.

પણ જુઓઉપયોગી સામગ્રી:

માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યનું મૂલ્ય નક્કી કરવું, તેને ત્રિકોણમિતિ કાર્ય દર્શાવતી રેખાના આંતરછેદ પર શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન 30 ડિગ્રી - અમે હેડિંગ sin (sine) સાથે કૉલમ શોધીએ છીએ અને "30 ડિગ્રી" પંક્તિ સાથે આ કોષ્ટક કૉલમનું આંતરછેદ શોધીએ છીએ, તેમના આંતરછેદ પર આપણે પરિણામ વાંચીએ છીએ - અડધા. એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ કોસાઇન 60ડિગ્રી સાઈન 60ડિગ્રી (ફરી એક વાર, પાપ કૉલમ અને 60 ડિગ્રી રેખાના આંતરછેદ પર આપણને મૂલ્ય sin 60 = √3/2 મળે છે), વગેરે. અન્ય “લોકપ્રિય” ખૂણાઓના સાઈન, કોસાઈન્સ અને સ્પર્શકોના મૂલ્યો એ જ રીતે જોવા મળે છે.

સાઈન પાઈ, કોસાઈન પાઈ, ટેન્જેન્ટ પાઈ અને રેડિયનમાં અન્ય ખૂણો

કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટનું નીચેનું કોષ્ટક ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું મૂલ્ય શોધવા માટે પણ યોગ્ય છે જેની દલીલ છે રેડિયનમાં આપેલ છે. આ કરવા માટે, કોણ મૂલ્યોની બીજી કૉલમનો ઉપયોગ કરો. આનો આભાર, તમે લોકપ્રિય ખૂણાના મૂલ્યને ડિગ્રીથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્રથમ લીટીમાં 60 ડિગ્રીનો કોણ શોધીએ અને તેની નીચેની રેડિયનમાં તેની કિંમત વાંચીએ. 60 ડિગ્રી π/3 રેડિયનની બરાબર છે.

નંબર pi અસ્પષ્ટપણે પરિઘની અવલંબન વ્યક્ત કરે છે ડિગ્રી માપખૂણો આમ, પાઇ રેડિયન 180 ડિગ્રી બરાબર છે.

પાઇ (રેડિયન) ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરાયેલ કોઈપણ સંખ્યાને પાઇ (π) ને 180 સાથે બદલીને સરળતાથી ડિગ્રીમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે..

ઉદાહરણો:
1. સાઈન પી.
sin π = sin 180 = 0
આમ, pi ની સાઈન 180 ડિગ્રીની સાઈન જેટલી જ છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

2. કોસાઇન પી.
cos π = cos 180 = -1
આમ, pi નો કોસાઇન 180 ડિગ્રીના કોસાઇન જેટલો જ છે અને તે માઇનસ વન બરાબર છે.

3. સ્પર્શક પી
tg π = tg 180 = 0
આમ, સ્પર્શક pi એ સ્પર્શક 180 ડિગ્રી સમાન છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

કોણ 0 - 360 ડિગ્રી (સામાન્ય મૂલ્યો) માટે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક મૂલ્યોનું કોષ્ટક

જો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં ફંક્શન વેલ્યુ (ટેન્જેન્ટ (ટીજી) 90 ડિગ્રી, કોટેન્જેન્ટ (સીટીજી) 180 ડિગ્રી) ને બદલે ડેશ સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી કોણના ડિગ્રી માપના આપેલ મૂલ્ય માટે ફંક્શન ચોક્કસ મૂલ્ય નથી. જો ત્યાં કોઈ ડૅશ નથી, તો કોષ ખાલી છે, જેનો અર્થ છે કે અમે હજી દાખલ થયા નથી ઇચ્છિત મૂલ્ય. અમને રસ છે કે વપરાશકર્તાઓ અમારી પાસે કઈ પ્રશ્નો માટે આવે છે અને કોષ્ટકને નવા મૂલ્યો સાથે પૂરક બનાવે છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે સૌથી સામાન્ય કોણ મૂલ્યોના કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટના મૂલ્યો પરનો વર્તમાન ડેટા મોટાભાગના ઉકેલવા માટે પૂરતો છે. સમસ્યાઓ

સૌથી વધુ લોકપ્રિય ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો sin, cos, tg ના મૂલ્યોનું કોષ્ટક
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 ડિગ્રી
(સંખ્યાત્મક મૂલ્યો "બ્રાડિસ કોષ્ટકો મુજબ")

ગણિતના ક્ષેત્રો પૈકી એક કે જેમાં વિદ્યાર્થીઓ સૌથી વધુ સંઘર્ષ કરે છે તે છે ત્રિકોણમિતિ. કોઈ આશ્ચર્ય નથી: જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં અસ્ખલિત રીતે નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારી પાસે હોવું જરૂરી છે અવકાશી વિચારસરણી, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક, કોટેન્જેન્ટ શોધવાની ક્ષમતા, સમીકરણોને સરળ બનાવવા, ગણતરીમાં pi નો ઉપયોગ કરવામાં સક્ષમ બનો. આ ઉપરાંત, પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે તમારે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં સમર્થ હોવા જરૂરી છે, અને આ માટે ક્યાં તો વિકસિત ગાણિતિક મેમરી, અથવા જટિલ તાર્કિક સાંકળો મેળવવાની ક્ષમતા.

ત્રિકોણમિતિની ઉત્પત્તિ

આ વિજ્ઞાન સાથે પરિચિત થવું એ કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યાથી શરૂ થવું જોઈએ, પરંતુ પ્રથમ તમારે સમજવાની જરૂર છે કે સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ શું કરે છે.

ઐતિહાસિક રીતે, આ વિભાગમાં અભ્યાસનો મુખ્ય પદાર્થ ગાણિતિક વિજ્ઞાનકાટકોણ ત્રિકોણ હતા. 90 ડિગ્રીના ખૂણાની હાજરી વિવિધ કામગીરી હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે જે વ્યક્તિને બે બાજુઓ અને એક ખૂણા અથવા બે ખૂણાઓ અને એક બાજુનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્નમાં આકૃતિના તમામ પરિમાણોના મૂલ્યો નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂતકાળમાં, લોકોએ આ પેટર્નની નોંધ લીધી અને ઇમારતોના નિર્માણ, નેવિગેશન, ખગોળશાસ્ત્ર અને કલામાં પણ તેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કર્યું.

પ્રારંભિક તબક્કો

શરૂઆતમાં, લોકો માત્ર કાટકોણ ત્રિકોણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ વિશે વાત કરતા હતા. પછી વિશિષ્ટ સૂત્રો શોધાયા જેણે ઉપયોગની સીમાઓને વિસ્તૃત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું રોજિંદા જીવનગણિતની આ શાખા.

આજે શાળામાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કાટકોણ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે, ત્યારબાદ વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરે છે અને અમૂર્ત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલે છે, જે હાઇ સ્કૂલમાં શરૂ થાય છે.

ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ

પાછળથી, જ્યારે વિજ્ઞાન વિકાસના આગલા સ્તરે પહોંચ્યું, ત્યારે ગોળાકાર ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ સાથેના સૂત્રોનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો, જ્યાં વિવિધ નિયમો લાગુ પડે છે અને ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 અંશ કરતાં વધુ હોય છે. આ વિભાગશાળામાં ભણવામાં આવતું નથી, પરંતુ ઓછામાં ઓછા કારણ કે તેના અસ્તિત્વ વિશે જાણવું જરૂરી છે પૃથ્વીની સપાટી, અને કોઈપણ અન્ય ગ્રહની સપાટી બહિર્મુખ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ સપાટીનું નિશાન અંદર હશે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા"આર્ક-આકારનું".

ગ્લોબ અને થ્રેડ લો. થ્રેડને ગ્લોબ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ સાથે જોડો જેથી કરીને તે તંગ બને. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો - તે ચાપનો આકાર લે છે. ગોળાકાર ભૂમિતિ આવા સ્વરૂપો સાથે વ્યવહાર કરે છે, જેનો ઉપયોગ ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર અને અન્ય સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.

જમણો ત્રિકોણ

ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવાની રીતો વિશે થોડું શીખ્યા પછી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે, તેમની મદદથી કઈ ગણતરીઓ કરી શકાય છે અને કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો તે સમજવા માટે ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ પર પાછા જઈએ.

પ્રથમ પગલું એ સંબંધિત ખ્યાલોને સમજવાનું છે જમણો ત્રિકોણ. પ્રથમ, કર્ણ એ 90 ડિગ્રીના ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ છે. તે સૌથી લાંબો છે. અમને યાદ છે કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, તેના સંખ્યાત્મક મૂલ્યબીજી બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળાના મૂળની બરાબર.

ઉદાહરણ તરીકે, જો બે બાજુઓ અનુક્રમે 3 અને 4 સેન્ટિમીટર હોય, તો કર્ણની લંબાઈ 5 સેન્ટિમીટર હશે. માર્ગ દ્વારા, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ આ વિશે લગભગ સાડા ચાર હજાર વર્ષ પહેલાં જાણતા હતા.

બે બાકીની બાજુઓ, જે જમણો ખૂણો બનાવે છે, તેને પગ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો છે લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ 180 ડિગ્રી છે.

વ્યાખ્યા

છેલ્લે, ભૌમિતિક આધારની મક્કમ સમજણ સાથે, વ્યક્તિ સાઈન, કોસાઈન અને કોણની સ્પર્શકની વ્યાખ્યા તરફ વળી શકે છે.

કોણની સાઈન એ વિરુદ્ધ પગ (એટલે ​​​​કે, ઇચ્છિત ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ) અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે. કોણનો કોસાઇન એ ગુણોત્તર છે અડીને પગકર્ણ માટે.

યાદ રાખો કે સાઈન કે કોસાઈન એક કરતા વધારે હોઈ શકે નહિ! શા માટે? કારણ કે કર્ણો મૂળભૂત રીતે સૌથી લાંબો હોય છે, ભલે તે પગ કેટલો લાંબો હોય, તે કર્ણો કરતાં ટૂંકા હશે, જેનો અર્થ છે કે તેમનો ગુણોત્તર હંમેશા એક કરતા ઓછો હશે. આમ, જો તમારી સમસ્યાના જવાબમાં તમને 1 કરતા વધારે મૂલ્ય સાથે સાઈન અથવા કોસાઈન મળે, તો ગણતરીઓ અથવા તર્કમાં ભૂલ જુઓ. આ જવાબ સ્પષ્ટ રીતે ખોટો છે.

અંતે, ખૂણાની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. સાઈનને કોસાઈન વડે ભાગવાથી સમાન પરિણામ મળશે. જુઓ: સૂત્ર મુજબ, આપણે બાજુની લંબાઈને કર્ણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, પછી બીજી બાજુની લંબાઈથી ભાગીએ છીએ અને કર્ણાણ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. આમ, આપણને સ્પર્શકની વ્યાખ્યામાં સમાન સંબંધ મળે છે.

કોટેન્જેન્ટ, તે મુજબ, ખૂણાને અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. એકને સ્પર્શક વડે ભાગવાથી આપણને સમાન પરિણામ મળે છે.

તેથી, આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તેની વ્યાખ્યાઓ જોઈ છે અને આપણે સૂત્રો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

સૌથી સરળ સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિમાં તમે સૂત્રો વિના કરી શકતા નથી - તેમના વિના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય? પરંતુ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બરાબર જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરતી વખતે તમારે જે પ્રથમ સૂત્ર જાણવાની જરૂર છે તે કહે છે કે કોણના સાઈન અને કોસાઈનના ચોરસનો સરવાળો એક સમાન છે. આ સૂત્રપાયથાગોરિયન પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે, પરંતુ જો તમારે બાજુને બદલે કોણનું કદ જાણવાની જરૂર હોય તો તે સમય બચાવે છે.

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ બીજા સૂત્રને યાદ રાખી શકતા નથી, જે ઉકેલતી વખતે પણ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે શાળા કાર્યો: એકનો સરવાળો અને કોણના સ્પર્શકનો ચોરસ એ કોણના કોસાઇનના વર્ગથી ભાગ્યા સમાન છે. નજીકથી જુઓ: આ પ્રથમ સૂત્રની જેમ જ નિવેદન છે, માત્ર ઓળખની બંને બાજુઓ કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી. તે તારણ આપે છે કે એક સરળ ગાણિતિક કામગીરી કરે છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રસંપૂર્ણપણે ઓળખી ન શકાય તેવું. યાદ રાખો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણવું, રૂપાંતરણ નિયમો અને કેટલાક મૂળભૂત સૂત્રોતમે કોઈપણ સમયે કાગળની શીટ પર જરૂરી વધુ જટિલ સૂત્રો જાતે મેળવી શકો છો.

ડબલ એંગલ અને દલીલોના ઉમેરા માટેના સૂત્રો

બે વધુ સૂત્રો જે તમારે શીખવાની જરૂર છે તે કોણના સરવાળા અને તફાવત માટે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે. તેઓ નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈન બંને વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને બીજા કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈનનું જોડીવાઇઝ ઉત્પાદન ઉમેરવામાં આવે છે.

ડબલ એંગલ દલીલો સાથે સંકળાયેલા સૂત્રો પણ છે. તેઓ સંપૂર્ણપણે અગાઉના લોકોમાંથી ઉતરી આવ્યા છે - તાલીમ તરીકે આલ્ફા એંગલ લઈને તેમને જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો કોણ સમાનબીટા

છેલ્લે, નોંધ લો કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ આલ્ફાની શક્તિ ઘટાડવા માટે ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે.

પ્રમેય

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિમાં બે મુખ્ય પ્રમેય સાઈન પ્રમેય અને કોસાઈન પ્રમેય છે. આ પ્રમેયની મદદથી, તમે સરળતાથી સમજી શકો છો કે સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય અને તેથી આકૃતિનો વિસ્તાર અને દરેક બાજુનું કદ વગેરે.

સાઈન પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણની પ્રત્યેક બાજુની લંબાઈને વિરુદ્ધ કોણ વડે ભાગવાથી, આપણને મળે છે સમાન નંબર. તદુપરાંત, આ સંખ્યા પરિમાણિત વર્તુળની બે ત્રિજ્યા સમાન હશે, એટલે કે આપેલ ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ ધરાવતું વર્તુળ.

કોસાઇન પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે, તેને કોઈપણ ત્રિકોણ પર પ્રક્ષેપિત કરે છે. તે તારણ આપે છે કે બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળામાંથી, નજીકના ખૂણાના ડબલ કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરીને તેમના ઉત્પાદનને બાદ કરો - પરિણામી મૂલ્ય ત્રીજી બાજુના વર્ગની બરાબર હશે. આમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય કોસાઇન પ્રમેયનો વિશેષ કેસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

બેદરકાર ભૂલો

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણતા હોવા છતાં, ગેરહાજર-માનસિકતા અથવા સરળ ગણતરીમાં ભૂલને કારણે ભૂલ કરવી સરળ છે. આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, ચાલો સૌથી વધુ લોકપ્રિય મુદ્દાઓ પર એક નજર કરીએ.

પ્રથમ, તમારે અંતિમ પરિણામ ન મળે ત્યાં સુધી તમારે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ નહીં - તમે જવાબ આ રીતે છોડી શકો છો સામાન્ય અપૂર્ણાંક, જ્યાં સુધી શરતોમાં અન્યથા જણાવ્યું ન હોય. આવા પરિવર્તનને ભૂલ કહી શકાય નહીં, પરંતુ તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમસ્યાના દરેક તબક્કે નવા મૂળ દેખાઈ શકે છે, જે લેખકના વિચાર મુજબ, ઘટાડવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, તમે બિનજરૂરી રીતે તમારો સમય બગાડશો ગાણિતિક ક્રિયાઓ. આ ખાસ કરીને મૂલ્યો માટે સાચું છે જેમ કે ત્રણનું મૂળ અથવા બેનું મૂળ, કારણ કે તે દરેક પગલા પર સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. આ જ “નીચ” નંબરોને રાઉન્ડિંગ કરવા માટે જાય છે.

આગળ, નોંધ કરો કે કોસાઇન પ્રમેય કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે, પરંતુ પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ પડતું નથી! જો તમે ભૂલથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બાજુઓના ગુણાંકમાંથી બે વાર બાદબાકી કરવાનું ભૂલી જાઓ છો, તો તમને માત્ર એક સંપૂર્ણપણે ખોટું પરિણામ મળશે નહીં, પરંતુ તમે વિષયની સંપૂર્ણ સમજણનો અભાવ પણ દર્શાવશો. આ એક બેદરકારીની ભૂલ કરતાં વધુ ખરાબ છે.

ત્રીજે સ્થાને, સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ્સ, કોટેન્જેન્ટ્સ માટે 30 અને 60 ડિગ્રીના ખૂણા માટેના મૂલ્યોને ગૂંચવશો નહીં. આ મૂલ્યો યાદ રાખો, કારણ કે સાઈન 30 ડિગ્રી છે કોસાઇન સમાન 60, અને ઊલટું. તેમને મૂંઝવવું સરળ છે, જેના પરિણામે તમે અનિવાર્યપણે ભૂલભરેલું પરિણામ મેળવશો.

અરજી

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરવાની ઉતાવળમાં નથી કારણ કે તેઓ તેનો વ્યવહારુ અર્થ સમજી શકતા નથી. એન્જિનિયર અથવા ખગોળશાસ્ત્રી માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે? આ એવા ખ્યાલો છે જેના દ્વારા તમે અંતરની ગણતરી કરી શકો છો દૂરના તારા, ઉલ્કાના પતનની આગાહી, અન્ય ગ્રહ પર સંશોધન તપાસ મોકલો. તેમના વિના, મકાન બનાવવું, કાર ડિઝાઇન કરવી, સપાટી પરના ભારની ગણતરી કરવી અથવા ઑબ્જેક્ટના માર્ગની ગણતરી કરવી અશક્ય છે. અને આ ફક્ત સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણો છે! છેવટે, એક અથવા બીજા સ્વરૂપમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ સંગીતથી દવા સુધી દરેક જગ્યાએ થાય છે.

નિષ્કર્ષમાં

તો તમે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ છો. તમે તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં કરી શકો છો અને શાળાની સમસ્યાઓ સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકો છો.

ત્રિકોણમિતિનો આખો મુદ્દો એ હકીકત પર આવે છે કે ત્રિકોણના જાણીતા પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને તમારે અજ્ઞાતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. કુલ છ પરિમાણો છે: લંબાઈ ત્રણ બાજુઓઅને ત્રણ ખૂણાના કદ. કાર્યોમાં માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે વિવિધ ઇનપુટ ડેટા આપવામાં આવે છે.

હવે તમે જાણો છો કે પગની જાણીતી લંબાઈ અથવા કર્ણના આધારે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધવી. કારણ કે આ શબ્દોનો અર્થ ગુણોત્તર કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને ગુણોત્તર અપૂર્ણાંક છે, મુખ્ય ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાએક સામાન્ય સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ શોધે છે. અને અહીં નિયમિત શાળાનું ગણિત તમને મદદ કરશે.

આ લેખમાં આપણે એક વ્યાપક દેખાવ કરીશું. મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ એ સમાનતાઓ છે જે એક ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે અને કોઈને આમાંના કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને જાણીતા અન્ય દ્વારા શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ચાલો તરત જ મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખોની સૂચિ બનાવીએ જેનું આપણે આ લેખમાં વિશ્લેષણ કરીશું. ચાલો તેમને કોષ્ટકમાં લખીએ, અને નીચે આપણે આ સૂત્રોનું આઉટપુટ આપીશું અને જરૂરી સમજૂતી આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

એક ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈન વચ્ચેનો સંબંધ

કેટલીકવાર તેઓ ઉપરના કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખો વિશે વાત કરતા નથી, પરંતુ એક સિંગલ વિશે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખપ્રકાર . આ હકીકત માટે સમજૂતી એકદમ સરળ છે: સમાનતાઓ મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખમાંથી તેના બંને ભાગોને અનુક્રમે અને સમાનતાઓ દ્વારા વિભાજીત કર્યા પછી મેળવવામાં આવે છે. અને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓમાંથી અનુસરો. અમે નીચેના ફકરાઓમાં આ વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીશું.

એટલે કે, વિશેષ રસબરાબર સમાનતાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેને મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખનું નામ આપવામાં આવ્યું હતું.

મુખ્ય ત્રિકોણમિતિની ઓળખ સાબિત કરતા પહેલા, અમે તેનું સૂત્ર આપીએ છીએ: એક ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો એક સમાન છે. હવે તેને સાબિત કરીએ.

જ્યારે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ ઘણી વાર વપરાય છે પરિવર્તન ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓ . તે એક ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈનના ચોરસના સરવાળાને એક વડે બદલવાની મંજૂરી આપે છે. ઘણી વાર મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો નથી વિપરીત ક્રમ: એકમ કોઈપણ ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈનના વર્ગોના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સાઈન અને કોસાઈન દ્વારા સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ

એક દૃશ્યના ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈન સાથે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને જોડતી ઓળખ અને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓમાંથી તરત જ અનુસરો. ખરેખર, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સાઈન એ y નો ઓર્ડિનેટ છે, કોસાઈન એ x નું એબ્સીસા છે, ટેન્જેન્ટ એ એબ્સીસાના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, , અને કોટેન્જેન્ટ એ એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, .

ઓળખની આવી સ્પષ્ટતા માટે આભાર અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને ઘણીવાર એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટના ગુણોત્તર દ્વારા નહીં, પરંતુ સાઈન અને કોસાઈનના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી કોણની સ્પર્શક એ આ ખૂણાના કોસાઇન સાથે સાઇનનો ગુણોત્તર છે, અને કોટેન્જેન્ટ એ કોસાઇન અને સાઇનનો ગુણોત્તર છે.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, એ નોંધવું જોઈએ કે ઓળખ અને બધા ખૂણાઓ માટે સ્થાન લે છે કે જેમાં તેમાં સમાવિષ્ટ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અર્થ થાય છે. તેથી સૂત્ર કોઈપણ માટે માન્ય છે, સિવાય કે (અન્યથા છેદ શૂન્ય હશે, અને અમે શૂન્ય વડે ભાગાકારને વ્યાખ્યાયિત કર્યો નથી), અને સૂત્ર - બધા માટે, જ્યાં z કોઈપણ હોય તેનાથી અલગ.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ

પણ વધુ સ્પષ્ટ ત્રિકોણમિતિ ઓળખઅગાઉના બે કરતાં, એ સ્વરૂપના એક ખૂણાના સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટને જોડતી ઓળખ છે . તે સ્પષ્ટ છે કે તે સિવાયના કોઈપણ ખૂણાઓ માટે ધરાવે છે, અન્યથા ક્યાં તો સ્પર્શક અથવા કોટેન્જેન્ટ વ્યાખ્યાયિત નથી.

સૂત્રનો પુરાવો ખૂબ જ સરળ. વ્યાખ્યા દ્વારા અને ક્યાંથી . સાબિતી થોડી અલગ રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. ત્યારથી , તે .

તેથી, તે જ કોણના સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ છે કે જેના પર તેઓનો અર્થ થાય છે.

જો આપણે મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે એકમ વર્તુળ બનાવીએ અને દલીલ માટે મનસ્વી મૂલ્ય સેટ કરીએ x 0અને ધરીમાંથી ગણતરી કરો બળદખૂણો x 0, પછી આ ખૂણા પર એકમ વર્તુળઅમુક બિંદુને અનુરૂપ છે એ(ફિગ. 1) અને તેનું અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ ઓહએક બિંદુ હશે એમ. વિભાગ લંબાઈ ઓમની સમાન સંપૂર્ણ મૂલ્ય abscissa બિંદુઓ એ. આપેલ દલીલ મૂલ્ય x 0કાર્ય મૂલ્ય મેપ કરેલ y=cos x 0 abscissa બિંદુઓ જેવા એ. તદનુસાર, બિંદુ IN(x 0 ;ખાતે 0) ફંક્શનના ગ્રાફથી સંબંધિત છે ખાતે=cos એક્સ(ફિગ. 2). જો બિંદુ એધરીની જમણી બાજુએ છે ઓહ, વર્તમાન સાઈન હકારાત્મક હશે, પરંતુ જો ડાબી બાજુએ હશે તો તે નકારાત્મક હશે. પરંતુ કોઈપણ રીતે, સમયગાળો એવર્તુળ છોડી શકતા નથી. તેથી, કોસાઇન -1 થી 1 ની શ્રેણીમાં આવેલું છે:

-1 = cos x = 1.

કોઈપણ ખૂણા પર વધારાનું પરિભ્રમણ, 2 ના ગુણાંક પી, વળતર બિંદુ એએ જ જગ્યાએ. તેથી કાર્ય y = cos xપી:

cos( x+ 2પી) = cos x

જો આપણે દલીલના બે મૂલ્યો લઈએ, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન, પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ, xઅને - x, વર્તુળ પર અનુરૂપ બિંદુઓ શોધો એ એક્સઅને A -x. ફિગ માં જોઈ શકાય છે. 3 અક્ષ પર તેમનું પ્રક્ષેપણ ઓહસમાન બિંદુ છે એમ. તેથી જ

cos(- x) = cos ( x),

તે કોસાઇન - સમ કાર્ય, f(–x) = f(x).

આનો અર્થ એ છે કે આપણે ફંક્શનના ગુણધર્મોને શોધી શકીએ છીએ y=cos એક્સસેગમેન્ટ પર , અને પછી તેની સમાનતા અને સામયિકતાને ધ્યાનમાં લો.

મુ એક્સ= 0 પોઈન્ટ એધરી પર આવેલું છે ઓહ, તેનું એબ્સીસા 1 છે, અને તેથી cos 0 = 1. વધવા સાથે એક્સબિંદુ એવર્તુળની આસપાસ ઉપર અને ડાબી તરફ ફરે છે, તેનું પ્રક્ષેપણ, કુદરતી રીતે, માત્ર ડાબી તરફ છે, અને x = પર છે. પી/2 કોસાઈન 0. પોઈન્ટની બરાબર બને છે એઆ ક્ષણે વધે છે મહત્તમ ઊંચાઈ, અને પછી ડાબી તરફ જવાનું ચાલુ રાખે છે, પરંતુ પહેલેથી જ ઉતરતા. જ્યાં સુધી તે પહોંચે નહીં ત્યાં સુધી તેનું એબ્સીસા ઘટતું રહે છે સૌથી નીચું મૂલ્ય, બરાબર -1 ખાતે એક્સ= પી. આમ, અંતરાલ પર કાર્ય ખાતે=cos એક્સ 1 થી -1 (ફિગ. 4, 5) થી એકવિધ રીતે ઘટે છે.

કોસાઇનની સમાનતાથી તે અંતરાલ પર અનુસરે છે [- પી, 0] ફંક્શન -1 થી 1 સુધી એકવિધ રીતે વધે છે, પર શૂન્ય મૂલ્ય લે છે x =–પી/2. જો તમે ઘણા સમયગાળો લો છો, તો તમને લહેરિયાત વળાંક મળે છે (ફિગ. 6).

તેથી કાર્ય y=cos xપોઈન્ટ પર શૂન્ય મૂલ્યો લે છે એક્સ= પી/2 + kp, જ્યાં k -કોઈપણ પૂર્ણાંક. પોઈન્ટ પર 1 ની બરાબર મહત્તમ પ્રાપ્ત થાય છે એક્સ= 2kp, એટલે કે 2 ના પગલામાં પી, અને પોઈન્ટ પર ન્યૂનતમ -1 બરાબર એક્સ= પી + 2kp.

કાર્ય y = sin x.

એકમ વર્તુળ ખૂણા પર x 0 એક બિંદુને અનુરૂપ છે એ(ફિગ. 7), અને તેનું અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ ઓહએક બિંદુ હશે એન.ઝેડકાર્ય મૂલ્ય y 0 =પાપ x 0બિંદુના ઓર્ડિનેટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત એ. ડોટ IN(ખૂણો x 0 ,ખાતે 0) ફંક્શનના ગ્રાફથી સંબંધિત છે y= પાપ x(ફિગ. 8). તે સ્પષ્ટ છે કે કાર્ય y =પાપ xસામયિક, તેનો સમયગાળો 2 છે પી:

પાપ( x+ 2પી) = પાપ ( x).

બે દલીલ મૂલ્યો માટે, એક્સઅને -, તેમના અનુરૂપ બિંદુઓના અંદાજો એ એક્સઅને A -xધરી દીઠ ઓહબિંદુની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે વિશે. તેથી જ

પાપ (- x) = -પાપ ( x),

તે સાઈન એક વિચિત્ર કાર્ય છે, f(- x) = –f( x) (ફિગ. 9).

જો બિંદુ એબિંદુને સંબંધિત ફેરવો વિશેએક ખૂણા પર પી/2 કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ (બીજા શબ્દોમાં, જો કોણ એક્સદ્વારા વધારો પી/2), તો નવી સ્થિતિમાં તેનું ઓર્ડિનેટ જૂનામાં એબ્સીસા સમાન હશે. જેનો અર્થ થાય છે

પાપ( x+ પી/2) = cos x

નહિંતર, સાઈન એ કોસાઈન છે “લેટ” બાય પી/2, કારણ કે જ્યારે દલીલ વધે ત્યારે સાઈનમાં કોઈપણ કોસાઈન મૂલ્ય "પુનરાવર્તિત" થશે પી/2. અને સાઈન ગ્રાફ બનાવવા માટે, કોસાઈન ગ્રાફને આના દ્વારા બદલવા માટે પૂરતું છે પી/2 જમણી તરફ (ફિગ. 10). અત્યંત મહત્વપૂર્ણ મિલકતસાઈન સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

સમાનતાનો ભૌમિતિક અર્થ ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 11. અહીં X -આ અડધા ચાપ છે એબી, એક પાપ X -અનુરૂપ તારનો અડધો ભાગ. તે સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ પોઈન્ટ નજીક આવે છે એઅને INતારની લંબાઈ વધુને વધુ ચાપની લંબાઈની નજીક આવી રહી છે. સમાન આકૃતિમાંથી અસમાનતા મેળવવાનું સરળ છે

|પાપ x| x|, કોઈપણ માટે સાચું એક્સ.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ સૂત્ર કહે છે (*) નોંધપાત્ર મર્યાદા. તેમાંથી, ખાસ કરીને, તે તે પાપને અનુસરે છે એક્સ» એક્સનાનામાં એક્સ.

કાર્યો ખાતે= tg x, y=સીટીજી એક્સ. અન્ય બે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો, ​​સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ, અમને પહેલાથી જ જાણીતા સાઈન અને કોસાઈનના ગુણોત્તર તરીકે સૌથી સહેલાઈથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

સાઈન અને કોસાઈનની જેમ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સામયિક કાર્યો છે, પરંતુ તેમના સમયગાળા સમાન છે પી, એટલે કે તેઓ સાઈન અને કોસાઈનના અડધા કદના છે. આનું કારણ સ્પષ્ટ છે: જો સાઈન અને કોસાઈન બંને ચિહ્નો બદલે છે, તો તેમનો ગુણોત્તર બદલાશે નહીં.

સ્પર્શકના છેદમાં કોસાઇન હોવાથી, સ્પર્શક તે બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત થતો નથી જ્યાં કોસાઇન 0 હોય - જ્યારે એક્સ= પી/2 +kp. અન્ય તમામ બિંદુઓ પર તે એકવિધ રીતે વધે છે. પ્રત્યક્ષ એક્સ= પી/2 + kpસ્પર્શક માટે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. બિંદુઓ પર kpસ્પર્શક અને ઢાળઅનુક્રમે 0 અને 1 છે (ફિગ. 12).

જ્યાં સાઈન 0 છે તે કોટેન્જેન્ટ વ્યાખ્યાયિત નથી (ક્યારે x = kp). અન્ય બિંદુઓ પર તે એકવિધ રીતે ઘટે છે, અને સીધી રેખાઓ x = kp – તેના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. બિંદુઓ પર x = p/2 +kpકોટેન્જેન્ટ 0 બને છે, અને આ બિંદુઓ પરનો ઢાળ -1 છે (ફિગ. 13).

સમાનતા અને સામયિકતા.

ફંક્શન કહેવાય છે ભલે f(–x) = f(x). કોસાઇન અને સેકન્ટ ફંક્શન એકસમાન છે, અને સાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ અને કોસેકન્ટ ફંક્શન વિષમ છે:

સમાનતા ગુણધર્મો બિંદુઓની સમપ્રમાણતાથી અનુસરે છે પી a અને આર-એ (ફિગ. 14) ધરીને સંબંધિત એક્સ. આવી સમપ્રમાણતા સાથે, બિંદુનું ઓર્ડિનેટ ચિહ્ન બદલાય છે (( એક્સ;ખાતે) જાય છે ( એક્સ; –у)). બધા કાર્યો - સામયિક, સાઈન, કોસાઈન, સેકન્ટ અને કોસેકન્ટનો સમયગાળો 2 છે પી, અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ - પી:

સાઈન અને કોસાઈનની સામયિકતા એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે તમામ બિંદુઓ પી a+2 kp, ક્યાં k= 0, ±1, ±2,…, એકરૂપ થાય છે, અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની સામયિકતા એ હકીકતને કારણે છે કે બિંદુઓ પી a + kpએકાંતરે વર્તુળના બે વિપરીત બિંદુઓમાં પડો, સ્પર્શ અક્ષ પર સમાન બિંદુ આપો.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મુખ્ય ગુણધર્મોને કોષ્ટકમાં સારાંશ આપી શકાય છે:

ઘટાડાનાં સૂત્રો.

આ સૂત્રો અનુસાર, દલીલ a, જ્યાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યનું મૂલ્ય પી/2 a p , ને દલીલ ફંક્શન a ના મૂલ્ય સુધી ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં 0 a p /2, કાં તો સમાન અથવા તેના પૂરક.

દલીલ બી	-એ	+ એ	પી-એ	પી+ એ	+ એ	+ એ	2પી-એ
પાપ b	કારણ કે એ	કારણ કે એ	પાપ એ	-પાપ એ	-કોસ એ	-કોસ એ	-પાપ એ
cos b	પાપ એ	-પાપ એ	-કોસ એ	-કોસ એ	-પાપ એ	પાપ એ	કારણ કે એ

તેથી, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના કોષ્ટકોમાં, મૂલ્યો ફક્ત માટે જ આપવામાં આવે છે તીક્ષ્ણ ખૂણા, અને તે આપણી જાતને મર્યાદિત કરવા માટે પૂરતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન અને ટેન્જેન્ટ સુધી. કોષ્ટક સાઈન અને કોસાઈન માટે માત્ર સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો બતાવે છે. આમાંથી સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટ માટેના સૂત્રો મેળવવાનું સરળ છે. ફોર્મની દલીલમાંથી ફંક્શન કાસ્ટ કરતી વખતે kp/2 ± a, ક્યાં k- એક પૂર્ણાંક, દલીલના કાર્ય માટે a:

1) ફંક્શન નામ જો સાચવવામાં આવે છે kસમ, અને "પૂરક" જો બદલાય છે kવિચિત્ર

2) જમણી બાજુનું ચિહ્ન બિંદુ પરના ઘટાડી શકાય તેવા કાર્યના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે kp/2 ± a જો કોણ a તીવ્ર હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ctg (a – પી/2) અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે - પી/2 એ 0 a p/2 ચોથા ચતુર્થાંશમાં આવેલું છે, જ્યાં કોટેન્જેન્ટ નકારાત્મક છે, અને, નિયમ 1 મુજબ, આપણે કાર્યનું નામ બદલીએ છીએ: ctg (a – પી/2) = –tg a .

ઉમેરણ સૂત્રો.

બહુવિધ ખૂણાઓ માટેના સૂત્રો.

આ સૂત્રો સીધા વધારાના સૂત્રોમાંથી લેવામાં આવ્યા છે:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

ઉકેલ કરતી વખતે ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે દ્વારા cos 3a માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો ઘન સમીકરણ. cos માટે અભિવ્યક્તિઓ શોધનાર તે પ્રથમ હતો n a અને પાપ n a, જે પાછળથી Moivre ના સૂત્રમાંથી સરળ રીતે મેળવવામાં આવ્યા હતા.

જો તમે ડબલ દલીલના સૂત્રોમાં a ને /2 સાથે બદલો છો, તો તે અડધા ખૂણાના સૂત્રોમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે:

સાર્વત્રિક અવેજી સૂત્રો.

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, સમાન દલીલના વિવિધ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સમાવતા અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખી શકાય છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિએક ફંક્શન tg (a/2) થી, કેટલાક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આ ઉપયોગી થઈ શકે છે:

સરવાળોને ઉત્પાદનોમાં અને ઉત્પાદનોને સરવાળોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રો.

કમ્પ્યુટરના આગમન પહેલાં, આ સૂત્રોનો ઉપયોગ ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવતો હતો. નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરવામાં આવી હતી લઘુગણક કોષ્ટકો, અને પછીથી - સ્લાઇડ નિયમ, કારણ કે સંખ્યાઓના ગુણાકાર માટે લઘુગણક શ્રેષ્ઠ અનુરૂપ છે, તેથી તમામ મૂળ અભિવ્યક્તિઓ લઘુગણકીકરણ માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવ્યા હતા, એટલે કે. કામ કરવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે:

2 પાપ a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 પાપ a cos b= પાપ( a–b) + પાપ ( a+b).

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન માટેના સૂત્રો ઉપરોક્તમાંથી મેળવી શકાય છે.

ડિગ્રી ઘટાડવાના સૂત્રો.

બહુવિધ દલીલ સૂત્રોમાંથી નીચેના સૂત્રો પ્રાપ્ત થાય છે:

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનીચી ડિગ્રીના સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે. એ જ રીતે, આપણે વધુ માટે ઘટાડાનાં સૂત્રો મેળવી શકીએ છીએ ઉચ્ચ ડિગ્રીસાઈન અને કોસાઈન.

વ્યાખ્યાના તેના ડોમેનના દરેક બિંદુ પર દરેક ત્રિકોણમિતિ કાર્ય સતત અને અનંત રીતે અલગ છે. તદુપરાંત, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે, અને જ્યારે સંકલિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અથવા તેમના લઘુગણક પણ પ્રાપ્ત થાય છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના તર્કસંગત સંયોજનોના પૂર્ણાંકો હંમેશા પ્રાથમિક કાર્યો હોય છે.

પાવર શ્રેણી અને અનંત ઉત્પાદનોના સ્વરૂપમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ.

બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને માં વિસ્તૃત કરી શકાય છે પાવર શ્રેણી. આ કિસ્સામાં, કાર્યો પાપ કરે છે x bcos xપંક્તિઓમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. બધા મૂલ્યો માટે કન્વર્જન્ટ x:

આ શ્રેણીનો ઉપયોગ પાપ માટે અંદાજિત અભિવ્યક્તિઓ મેળવવા માટે થઈ શકે છે xઅને cos xનાના મૂલ્યો પર x:

ખાતે | x| p/2;

0 x| પર પી

(બી n – બર્નૌલી નંબરો).

પાપ કાર્યો xઅને cos xઅનંત ઉત્પાદનોના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

ત્રિકોણમિતિ સિસ્ટમ 1, cos x, પાપ x, કારણ કે 2 x, પાપ 2 x,¼,cos nx, પાપ nx, ¼, સેગમેન્ટ પરના સ્વરૂપો [- પી, પી] ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમવિધેયો, ​​જે ત્રિકોણમિતિ શ્રેણીના સ્વરૂપમાં કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

વાસ્તવિક દલીલના અનુરૂપ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જટિલ વિમાન. હા, પાપ zઅને cos zપાપ માટે શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે xઅને cos x, જો તેના બદલે xમૂકો z:

આ શ્રેણીઓ સમગ્ર વિમાન પર એકરૂપ થાય છે, તેથી પાપ zઅને cos z- સમગ્ર કાર્યો.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

tg કાર્યો zઅને સીટીજી z- મેરોમોર્ફિક કાર્યો. tg ધ્રુવો zઅને સેકન્ડ z- સરળ (1 લી ઓર્ડર) અને પોઈન્ટ પર સ્થિત છે z = p/2 + pn, CTG ધ્રુવો zઅને કોસેક z- પણ સરળ અને પોઈન્ટ પર સ્થિત છે z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

વાસ્તવિક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે માન્ય હોય તેવા તમામ સૂત્રો જટિલ માટે પણ માન્ય છે. ખાસ કરીને,

પાપ (- z) = -પાપ z,

cos(- z) = cos z,

tg(- z) = –ટીજી z,

ctg(- z) = –સીટીજી z,

તે સમ અને વિષમ સમાનતા સચવાય છે. સૂત્રો પણ સાચવવામાં આવે છે

પાપ( z + 2પી) = પાપ z, (z + 2પી) = cos z, (z + પી) = ટીજી z, (z + પી) = સીટીજી z,

તે સામયિકતા પણ સાચવેલ છે, અને સમયગાળો વાસ્તવિક દલીલના કાર્યો માટે સમાન છે.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોકેવળ કાલ્પનિક દલીલના ઘાતાંકીય કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:

પાછળ, e iz cos દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત zઅને પાપ zસૂત્ર અનુસાર:

e iz=cos z + iપાપ z

આ સૂત્રોને યુલરના સૂત્રો કહેવામાં આવે છે. લિયોનહાર્ડ યુલરે તેમને 1743 માં વિકસાવ્યા હતા.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો પણ દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે હાયપરબોલિક કાર્યો:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

જ્યાં sh, ch અને th - હાયપરબોલિક સાઈન, કોસાઇન અને સ્પર્શક.

જટિલ દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો z = x + iy, ક્યાં xઅને y – વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક દલીલોના ત્રિકોણમિતિ અને હાઇપરબોલિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

પાપ( x + iy) = પાપ x ch y + i cos x sh y;

cos( x + iy) = cos x ch y + iપાપ x sh y.

જટિલ દલીલની સાઈન અને કોસાઈન લઈ શકે છે વાસ્તવિક મૂલ્યો, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 1 થી વધુ. ઉદાહરણ તરીકે:

જો કોઈ અજાણ્યો ખૂણો ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની દલીલ તરીકે સમીકરણ દાખલ કરે છે, તો સમીકરણ ત્રિકોણમિતિ કહેવાય છે. આવા સમીકરણો એટલા સામાન્ય છે કે તેમની પદ્ધતિઓ ઉકેલો ખૂબ જ વિગતવાર અને કાળજીપૂર્વક ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે. સાથેમદદ સાથે વિવિધ તકનીકોઅને સૂત્રો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ફોર્મના સમીકરણોમાં ઘટાડે છે f(x)=a, ક્યાં f– કોઈપણ સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અથવા કોટેન્જેન્ટ. પછી દલીલ વ્યક્ત કરો xઆ કાર્ય તેના જાણીતા મૂલ્ય દ્વારા એ.

ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સામયિક હોવાથી, સમાન એમૂલ્યોની શ્રેણીમાંથી દલીલના અનંત મૂલ્યો છે, અને સમીકરણના ઉકેલો એક કાર્ય તરીકે લખી શકાતા નથી એ. તેથી, દરેક મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં, એક વિભાગ પસંદ કરવામાં આવે છે જેમાં તે તેના તમામ મૂલ્યો લે છે, દરેક માત્ર એક જ વાર, અને ફંક્શન તેનાથી વિપરીત આ વિભાગમાં જોવા મળે છે. આવા કાર્યોને મૂળ ફંક્શનના નામમાં ઉપસર્ગ આર્ક (આર્ક) ઉમેરીને સૂચિત કરવામાં આવે છે અને તેને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શન્સ અથવા ફક્ત આર્ક ફંક્શન્સ.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

પાપ માટે એક્સ, cos એક્સ, tg એક્સઅને સીટીજી એક્સવ્યસ્ત કાર્યો વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. તેઓ આર્ક્સીન દ્વારા તે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે એક્સ("આર્કસાઇન" વાંચો x"), આર્કોસ x, આર્કટન xઅને arcctg x. વ્યાખ્યા દ્વારા, આર્ક્સીન એક્સઆવી સંખ્યા છે y,શું

પાપ ખાતે = એક્સ.

એ જ રીતે અન્ય વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે. પરંતુ આ વ્યાખ્યા કેટલીક અચોક્કસતાથી પીડાય છે.

જો તમે પાપને પ્રતિબિંબિત કરો છો એક્સ, cos એક્સ, tg એક્સઅને સીટીજી એક્સપ્રથમ અને ત્રીજા ચતુર્થાંશના દ્વિભાજકને સંબંધિત સંકલન વિમાન, પછી કાર્યો, તેમની સામયિકતાને લીધે, અસ્પષ્ટ બની જાય છે: સમાન સાઈન (કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ) અનુલક્ષે છે અનંત સંખ્યાખૂણા

અસ્પષ્ટતાથી છુટકારો મેળવવા માટે, ની પહોળાઈ સાથે વળાંકનો એક વિભાગ પી, આ કિસ્સામાં તે જરૂરી છે કે દલીલ અને કાર્યના મૂલ્ય વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર જાળવવામાં આવે. કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળની નજીકના વિસ્તારો પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. સાઇન ઇન માટે "એક-થી-એક અંતરાલ" તરીકે આપણે સેગમેન્ટ લઈએ છીએ [- પી/2, પી/2], જેના પર સાઈન એકવિધ રીતે –1 થી 1 સુધી વધે છે, કોસાઈન માટે – સેગમેન્ટ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે, અનુક્રમે, અંતરાલ (– પી/2, પી/2) અને (0, પી). અંતરાલ પર દરેક વળાંક દ્વિભાજકની તુલનામાં પ્રતિબિંબિત થાય છે અને હવે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો નક્કી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, દલીલની કિંમત આપવા દો x 0 ,જેમ કે 0 Ј x 0 Ј 1. પછી ફંક્શનની કિંમત y 0 = આર્ક્સીન x 0 એક જ અર્થ હશે ખાતે 0 , જેમ કે - પી/2 Ј ખાતે 0 Ј પી/2 અને x 0 = પાપ y 0 .

આમ, આર્ક્સીન એ આર્ક્સીનનું કાર્ય છે એ, અંતરાલ [–1, 1] પર વ્યાખ્યાયિત અને દરેક માટે સમાન એઆવા મૂલ્ય માટે a , - પી/2 a p /2 કે sin a = એ.એકમ વર્તુળ (ફિગ. 15) નો ઉપયોગ કરીને તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું ખૂબ અનુકૂળ છે. જ્યારે | a| 1 વર્તુળ પર ઓર્ડિનેટ સાથે બે બિંદુઓ છે a, ધરી વિશે સપ્રમાણ uતેમાંથી એક કોણને અનુરૂપ છે a= આર્ક્સીન એ, અને બીજો ખૂણો છે p - a. સાથેસાઈનની સામયિકતાને ધ્યાનમાં લેતા, ઉકેલ પાપ સમીકરણો x= એનીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

x =(–1)nઆર્ક્સીન a + 2p n,

જ્યાં n= 0, ±1, ±2,...

અન્ય સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો એ જ રીતે ઉકેલી શકાય છે:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±આર્કોસ a + 2p n,

જ્યાં n= 0, ±1, ±2,... (ફિગ. 16);

tg એક્સ = a;

x= આર્ક્ટન a + પી n,

જ્યાં n = 0, ±1, ±2,... (ફિગ. 17);

સીટીજી એક્સ= એ;

એક્સ= arcctg a + પી n,

જ્યાં n = 0, ±1, ±2,... (ફિગ. 18).

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

આર્ક્સીન એક્સ(ફિગ. 19): વ્યાખ્યાનું ડોમેન – સેગમેન્ટ [–1, 1]; શ્રેણી – [– પી/2, પી/2], એકવિધ રીતે વધતા કાર્ય;

આર્કોસ એક્સ(ફિગ. 20): વ્યાખ્યાનું ડોમેન – સેગમેન્ટ [–1, 1]; શ્રેણી - ; એકવિધ રીતે ઘટતું કાર્ય;

arctg એક્સ(ફિગ. 21): વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર - તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ; મૂલ્યોની શ્રેણી – અંતરાલ (- પી/2, પી/2); એકવિધ રીતે વધતા કાર્ય; સીધા ખાતે= –પી/2 અને y = p /2 –આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ;

arcctg એક્સ(ફિગ. 22): વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર – બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ; મૂલ્યોની શ્રેણી - અંતરાલ (0, પી); એકવિધ રીતે ઘટતું કાર્ય; સીધા y= 0 અને y = p- આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ.

કોઈપણ માટે z = x + iy, ક્યાં xઅને yવાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અસમાનતા લાગુ પડે છે

½| e\e y–e-y| ≤|પાપ z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y + e -y),

જેમાંથી ખાતે y® Ґ એસિમ્પ્ટોટિક સૂત્રો અનુસરે છે (સમાન રીતે x)

|પાપ z| » 1/2 ઇ |y| ,

|cos z| » 1/2 ઇ |y| .

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો પ્રથમ ખગોળશાસ્ત્ર અને ભૂમિતિના સંશોધનના સંબંધમાં દેખાયા. ત્રિકોણ અને વર્તુળમાંના ભાગોના ગુણોત્તર, જે આવશ્યકપણે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો છે, તે 3જી સદીમાં પહેલેથી જ જોવા મળે છે. પૂર્વે ઇ. પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોમાં – યુક્લિડ, આર્કિમિડીઝ, એપોલોનિયસ ઓફ પેર્ગા અને અન્ય, જો કે, આ સંબંધો અભ્યાસના સ્વતંત્ર વિષય ન હતા, તેથી તેઓએ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અભ્યાસ કર્યો ન હતો. તેઓને શરૂઆતમાં સેગમેન્ટ્સ તરીકે ગણવામાં આવતા હતા અને આ સ્વરૂપમાં એરિસ્ટાર્કસ (ઈ.સ. પૂર્વે 4થી અંતમાં - 3જી સદીના બીજા ભાગમાં), હિપ્પાર્ચસ (2જી સદી પૂર્વે), મેનેલોસ (1લી સદી એડી) અને ટોલેમી (2જી સદી એડી) દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા હતા ગોળાકાર ત્રિકોણ ઉકેલો. ટોલેમીએ 10 -6 ની ચોકસાઈ સાથે દર 30"એ તીવ્ર ખૂણાઓ માટે તારોનું પ્રથમ કોષ્ટક સંકલિત કર્યું. આ સાઈન્સનું પ્રથમ કોષ્ટક હતું. ગુણોત્તર તરીકે પાપ કાર્યએ આર્યભટ્ટ (5મી સદીના અંતમાં) માં પહેલેથી જ જોવા મળે છે. tg a અને ctg a કાર્યો અલ-બટ્ટાની (9મીનો બીજો ભાગ - 10મી સદીની શરૂઆતમાં) અને અબુલ-વેફ (10મી સદી)માં જોવા મળે છે, જે સેક એ અને કોસેક એનો પણ ઉપયોગ કરે છે. આર્યભટ્ટ પહેલાથી જ સૂત્ર જાણતા હતા (sin 2 a + cos 2 a) = 1, અને એ પણ પાપ સૂત્રોઅને અર્ધકોણની કોસ, જેની મદદથી મેં દર 3°45" પર ખૂણાઓ માટે સાઈનનાં કોષ્ટકો બનાવ્યાં; જાણીતા મૂલ્યોસૌથી સરળ દલીલો માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ભાસ્કરા (12મી સદી) એ વધારાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને 1 ના સંદર્ભમાં કોષ્ટકો બનાવવાની પદ્ધતિ આપી. વિવિધ દલીલોના ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના સરવાળા અને તફાવતને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રો રેજીયોમોન્ટેનસ (15મી સદી) અને જે. નેપિયર દ્વારા લઘુગણકની શોધ (1614)ના સંદર્ભમાં લેવામાં આવ્યા હતા. રેજીયોમોન્ટને 1 માં સાઈન વેલ્યુનું ટેબલ આપ્યું હતું. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ I. ન્યૂટન (1669) દ્વારા પ્રાપ્ત થયું હતું. આધુનિક સ્વરૂપત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો સિદ્ધાંત એલ. યુલર (18મી સદી) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. તે વાસ્તવિક અને માટે તેમની વ્યાખ્યાની માલિકી ધરાવે છે જટિલ દલીલો, હાલમાં સ્વીકૃત પ્રતીકવાદ, સાથે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે ઘાતાંકીય કાર્યઅને સાઈન અને કોસાઈનની સિસ્ટમની ઓર્થોગોનાલિટી.