અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય વ્યાખ્યા. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

ફોર્મ્યુલા y = k/ x, આલેખ અતિપરવલય છે. ભાગ 1 માં જી.આઈ.એ આ કાર્યઅક્ષો સાથે વિસ્થાપન વિના ઓફર કરે છે. તેથી તે માત્ર એક પરિમાણ ધરાવે છે k. સૌથી વધુ મોટો તફાવતમાં દેખાવગ્રાફિક્સ સાઇન પર આધાર રાખે છે k.

જો આલેખમાં તફાવત જોવાનું વધુ મુશ્કેલ છે kએક પાત્ર:

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, વધુ k, હાઇપરબોલલ જેટલું ઊંચું જાય છે.

આકૃતિ એવા કાર્યો દર્શાવે છે કે જેના માટે પેરામીટર k નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે. જો તફાવત એટલો મહાન નથી, તો પછી તેને આંખ દ્વારા નક્કી કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે.

આ સંદર્ભમાં, નીચેનું કાર્ય, જે મને રાજ્ય પરીક્ષાની તૈયારી માટે સામાન્ય રીતે સારી માર્ગદર્શિકામાં મળ્યું છે, તે ફક્ત "માસ્ટરપીસ" છે:

એટલું જ નહીં, એકદમ નાના ચિત્રમાં, નજીકથી અંતરે આવેલા આલેખ ફક્ત મર્જ થાય છે. ઉપરાંત, સકારાત્મક અને નકારાત્મક k સાથેના અતિપરવલાઓ એકમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે સંકલન વિમાન. જે આ ડ્રોઈંગને જોનાર કોઈપણ વ્યક્તિને સંપૂર્ણપણે ભ્રમિત કરી દેશે. "કૂલ લિટલ સ્ટાર" ફક્ત તમારી આંખને પકડે છે.

ભગવાનનો આભાર આ માત્ર એક તાલીમ કાર્ય છે. IN વાસ્તવિક વિકલ્પોવધુ યોગ્ય ફોર્મ્યુલેશન અને સ્પષ્ટ રેખાંકનોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.

ચાલો ગુણાંક કેવી રીતે નક્કી કરવો તે શોધી કાઢીએ kકાર્યના ગ્રાફ અનુસાર.

સૂત્રમાંથી: y = k/xતે તેને અનુસરે છે k = y x. એટલે કે, આપણે અનુકૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કોઈપણ પૂર્ણાંક બિંદુ લઈ શકીએ છીએ અને તેનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ - આપણને મળે છે k.

k= 1·(- 3) = - 3.

તેથી આ કાર્યનું સૂત્ર છે: y = - 3/x.

અપૂર્ણાંક k સાથે પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લેવી રસપ્રદ છે. આ કિસ્સામાં, સૂત્ર ઘણી રીતે લખી શકાય છે. આ ગેરમાર્ગે દોરનારું ન હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે,

ચાલુ આ ચાર્ટએક પૂર્ણાંક બિંદુ શોધવાનું અશક્ય છે. તેથી મૂલ્ય kખૂબ અંદાજે નક્કી કરી શકાય છે.

k= 1·0.7≈0.7. જો કે, તે સમજી શકાય છે કે 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

તેથી, ચાલો સારાંશ આપીએ.

k> 0 હાઇપરબોલા 1લી અને 3જીમાં સ્થિત છે સંકલન કોણ(ચતુર્થાંશ),

k < 0 - во 2-м и 4-ом.

જો kમોડ્યુલો 1 કરતા વધારે ( k= 2 અથવા k= - 2), પછી આલેખ y-અક્ષ સાથે 1 (નીચે - 1) ઉપર સ્થિત છે અને વિશાળ દેખાય છે.

જો kમોડ્યુલો 1 કરતા ઓછું ( k= 1/2 અથવા k= - 1/2), પછી ગ્રાફ y-અક્ષ સાથે 1 (ઉપર - 1) ની નીચે સ્થિત છે અને સાંકડો દેખાય છે, શૂન્ય તરફ "દબાયેલ" છે:

1. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યઅને તેણીનું શેડ્યૂલ

y = P(x) / Q(x) સ્વરૂપનું કાર્ય, જ્યાં P(x) અને Q(x) બહુપદી છે, તેને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય કહેવાય છે.

ખ્યાલ સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓતમે કદાચ પહેલેથી જ એકબીજાને જાણો છો. તેવી જ રીતે તર્કસંગત કાર્યોએવા વિધેયો છે જેને બે બહુપદીના ભાગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

જો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય એ બે રેખીય કાર્યોનો ભાગ છે - પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદી, એટલે કે. ફોર્મનું કાર્ય

y = (ax + b) / (cx + d), તો તેને અપૂર્ણાંક રેખીય કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે ફંક્શન y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (અન્યથા ફંક્શન રેખીય y = ax/d + b/d બને છે) અને તે a/c ≠ b/d (અન્યથા કાર્ય સ્થિર છે). અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય x = -d/c સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત. તમે જાણો છો તે આલેખ y = 1/x કરતાં અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના ગ્રાફ આકારમાં ભિન્ન નથી હોતા. એક વળાંક કે જે ફંક્શન y = 1/x નો ગ્રાફ છે તેને કહેવામાં આવે છે અતિશય. x માં અમર્યાદિત વધારા સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યકાર્ય y = 1/x નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં અનિશ્ચિત રૂપે ઘટે છે અને ગ્રાફની બંને શાખાઓ x-અક્ષ સુધી પહોંચે છે: જમણી બાજુ ઉપરથી અને ડાબી બાજુ નીચેથી આવે છે. હાયપરબોલા અભિગમની શાખાઓ જે રેખાઓ છે તેને તેના કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

ઉકેલ.

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

હવે એ જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 3 દ્વારા shift એકમ સેગમેન્ટજમણી તરફ, ઓય અક્ષ સાથે 7 વખત ખેંચાઈ અને 2 એકમ સેગમેન્ટને ઉપર તરફ ખસેડો.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક y = (ax + b) / (cx + d) એ જ રીતે લખી શકાય છે, જે "સંપૂર્ણ ભાગ" ને પ્રકાશિત કરે છે. પરિણામે, તમામ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના આલેખ હાઇપરબોલાસ છે, જે સંકલન અક્ષો સાથે વિવિધ રીતે સ્થાનાંતરિત થાય છે અને ઓય અક્ષ સાથે ખેંચાય છે.

કોઈપણ મનસ્વી અપૂર્ણાંક-રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી નથી. કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આલેખ એક હાયપરબોલા છે, તે સીધી રેખાઓ શોધવા માટે પૂરતું હશે જ્યાં તેની શાખાઓ પહોંચે છે - હાયપરબોલા x = -d/c અને y = a/c ના એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 2.

ફંક્શન y = (3x + 5)/(2x + 2) ના આલેખના લક્ષણો શોધો.

ઉકેલ.

x = -1 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા x = -1 સેવા આપે છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ. હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, ચાલો શોધીએ કે જ્યારે દલીલ x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વધે છે ત્યારે ફંક્શન y(x) ની કિંમતો શું થાય છે.

આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા વિભાજીત કરો:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ તરીકે અપૂર્ણાંક 3/2 તરફ વળશે. આનો અર્થ એ છે કે આડી એસિમ્પ્ટોટ સીધી રેખા y = 3/2 છે.

ઉદાહરણ 3.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (2x + 1)/(x + 1).

ઉકેલ.

ચાલો અપૂર્ણાંકનો "સંપૂર્ણ ભાગ" પસંદ કરીએ:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

હવે એ જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 1 એકમ દ્વારા ડાબી તરફની શિફ્ટ, Oxના સંદર્ભમાં એક સપ્રમાણ પ્રદર્શન અને એક શિફ્ટ દ્વારા Oy અક્ષ સાથે 2 એકમ સેગમેન્ટ્સ ઉપર.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

અક્ષો સાથે આંતરછેદ બિંદુઓ: c Oy: (0; 1); c બળદ: (-1/2; 0). વ્યાખ્યાના ડોમેનના દરેક અંતરાલ પર કાર્ય વધે છે.

જવાબ: આકૃતિ 1.

2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

ચાલો આંશિક રીતે વિચારીએ તર્કસંગત કાર્યફોર્મ y = P(x) / Q(x), જ્યાં P(x) અને Q(x) એ પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બહુપદી છે.

આવા તર્કસંગત કાર્યોના ઉદાહરણો:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) અથવા y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

જો ફંક્શન y = P(x) / Q(x) પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બે બહુપદીના ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો તેનો આલેખ, નિયમ તરીકે, વધુ જટિલ હશે, અને તેને ચોક્કસ રીતે બાંધવું ક્યારેક મુશ્કેલ બની શકે છે. , તમામ વિગતો સાથે. જો કે, અમે ઉપર રજૂ કરી છે તે જેવી જ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવા માટે તે ઘણીવાર પૂરતું છે.

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંક રહેવા દો (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы મર્યાદિત સંખ્યાપ્રાથમિક અપૂર્ણાંક, જેનું સ્વરૂપ અપૂર્ણાંક Q(x) ના છેદને વાસ્તવિક પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટન કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનો ગ્રાફ પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના આલેખના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના પ્લોટિંગ આલેખ

ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના ગ્રાફ બનાવવાની ઘણી રીતો પર વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4.

ફંક્શન y = 1/x 2 નો ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ.

અમે y = 1/x 2 નો ગ્રાફ બનાવવા માટે ફંક્શન y = x 2 ના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને આલેખને "વિભાજન" કરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (0; +∞).

અક્ષો સાથે કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી. કાર્ય સમ છે. અંતરાલ (-∞; 0) થી તમામ x માટે વધે છે, x માટે 0 થી +∞ સુધી ઘટે છે.

જવાબ: આકૃતિ 2.

ઉદાહરણ 5.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

ઉકેલ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

અહીં આપણે એક લીનિયર ફંક્શનમાં ફેક્ટરાઇઝેશન, રિડક્શન અને રિડક્શનની ટેકનિકનો ઉપયોગ કર્યો છે.

જવાબ: આકૃતિ 3.

ઉદાહરણ 6.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

ઉકેલ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = R છે. કાર્ય સમ હોવાથી, ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે. ગ્રાફ બનાવતા પહેલા, ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી રૂપાંતરિત કરીએ, આખા ભાગને પ્રકાશિત કરીએ:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

નોંધ કરો કે આલેખ બનાવતી વખતે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના સૂત્રમાં પૂર્ણાંક ભાગને અલગ પાડવો એ મુખ્ય મુદ્દાઓમાંનું એક છે.

જો x → ±∞, તો y → 1, એટલે કે. રેખા y = 1 છે આડી એસિમ્પ્ટોટ.

જવાબ: આકૃતિ 4.

ઉદાહરણ 7.

ચાલો ફંક્શન y = x/(x 2 + 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય ચોક્કસપણે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે. સૌથી વધુ ઉચ્ચ બિંદુ જમણો અડધોગ્રાફિક્સ આ ગ્રાફને સચોટ રીતે બનાવવા માટે, આજનું જ્ઞાન પૂરતું નથી. દેખીતી રીતે, આપણો વળાંક ખૂબ ઊંચો "ઉદય" કરી શકતો નથી, કારણ કે છેદ ઝડપથી અંશને "ઓવરટેક" કરવાનું શરૂ કરે છે. ચાલો જોઈએ કે ફંક્શનની કિંમત 1 ની બરાબર હોઈ શકે છે. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 હલ કરવાની જરૂર છે. આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે. સૌથી વધુ શોધવા માટે મહાન મૂલ્યફંક્શન, તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયા સૌથી મોટા A સમીકરણ A = x/(x 2 + 1) પાસે ઉકેલ હશે. અમે બદલીશું મૂળ સમીકરણવર્ગ: Ax 2 – x + A = 0. આ સમીકરણનો ઉકેલ છે જ્યારે 1 – 4A 2 ≥ 0. અહીંથી આપણે સૌથી મોટી કિંમત A = 1/2 શોધીએ છીએ.

જવાબ: આકૃતિ 5, મહત્તમ y(x) = ½.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિધેયોનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

1. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ

y = P(x) / Q(x) સ્વરૂપનું કાર્ય, જ્યાં P(x) અને Q(x) બહુપદી છે, તેને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય કહેવાય છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓની વિભાવનાથી તમે કદાચ પહેલાથી જ પરિચિત છો. તેવી જ રીતે તર્કસંગત કાર્યોએવા વિધેયો છે જેને બે બહુપદીના ભાગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

જો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય એ બે રેખીય કાર્યોનો ભાગ છે - પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદી, એટલે કે. ફોર્મનું કાર્ય

y = (ax + b) / (cx + d), તો તેને અપૂર્ણાંક રેખીય કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે ફંક્શન y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (અન્યથા ફંક્શન રેખીય y = ax/d + b/d બને છે) અને તે a/c ≠ b/d (અન્યથા કાર્ય સ્થિર છે). રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્ય x = -d/c સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તમે જાણો છો તે આલેખ y = 1/x કરતાં અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના ગ્રાફ આકારમાં ભિન્ન નથી હોતા. એક વળાંક કે જે ફંક્શન y = 1/x નો ગ્રાફ છે તેને કહેવામાં આવે છે અતિશય. નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં x માં અમર્યાદિત વધારા સાથે, કાર્ય y = 1/x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં અમર્યાદિત ઘટાડો થાય છે અને ગ્રાફની બંને શાખાઓ એબ્સીસા સુધી પહોંચે છે: જમણી બાજુ ઉપરથી અને ડાબી બાજુ નીચેથી આવે છે. હાયપરબોલા અભિગમની શાખાઓ જે રેખાઓ તરફ જાય છે તેને તેના કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

ઉકેલ.

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

હવે તે જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 3 એકમ સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જમણી તરફ શિફ્ટ કરો, Oy અક્ષ સાથે 7 વખત ખેંચો અને 2 દ્વારા ખસેડો એકમ વિભાગો ઉપર તરફ.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક y = (ax + b) / (cx + d) એ જ રીતે લખી શકાય છે, જે "સંપૂર્ણ ભાગ" ને પ્રકાશિત કરે છે. પરિણામે, તમામ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના આલેખ હાઇપરબોલાસ છે, જે સંકલન અક્ષો સાથે વિવિધ રીતે સ્થાનાંતરિત થાય છે અને ઓય અક્ષ સાથે ખેંચાય છે.

કોઈપણ મનસ્વી અપૂર્ણાંક-રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી નથી. કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આલેખ એક હાયપરબોલા છે, તે સીધી રેખાઓ શોધવા માટે પૂરતું હશે જ્યાં તેની શાખાઓ પહોંચે છે - હાયપરબોલા x = -d/c અને y = a/c ના એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 2.

ફંક્શન y = (3x + 5)/(2x + 2) ના આલેખના લક્ષણો શોધો.

ઉકેલ.

x = -1 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા x = -1 વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ તરીકે સેવા આપે છે. હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, ચાલો શોધીએ કે જ્યારે દલીલ x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વધે છે ત્યારે ફંક્શન y(x) ની કિંમતો શું થાય છે.

આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા વિભાજીત કરો:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ તરીકે અપૂર્ણાંક 3/2 તરફ વળશે. આનો અર્થ એ છે કે આડી એસિમ્પ્ટોટ સીધી રેખા y = 3/2 છે.

ઉદાહરણ 3.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (2x + 1)/(x + 1).

ઉકેલ.

ચાલો અપૂર્ણાંકનો "સંપૂર્ણ ભાગ" પસંદ કરીએ:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

હવે એ જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 1 એકમ દ્વારા ડાબી તરફની શિફ્ટ, Oxના સંદર્ભમાં એક સપ્રમાણ પ્રદર્શન અને એક શિફ્ટ દ્વારા Oy અક્ષ સાથે 2 એકમ સેગમેન્ટ્સ ઉપર.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

અક્ષો સાથે આંતરછેદ બિંદુઓ: c Oy: (0; 1); c બળદ: (-1/2; 0). વ્યાખ્યાના ડોમેનના દરેક અંતરાલ પર કાર્ય વધે છે.

જવાબ: આકૃતિ 1.

2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

ફોર્મ y = P(x) / Q(x) ના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં P(x) અને Q(x) એ પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બહુપદી છે.

આવા તર્કસંગત કાર્યોના ઉદાહરણો:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) અથવા y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

જો ફંક્શન y = P(x) / Q(x) પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બે બહુપદીના ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો તેનો આલેખ, નિયમ તરીકે, વધુ જટિલ હશે, અને તેને ચોક્કસ રીતે બાંધવું ક્યારેક મુશ્કેલ બની શકે છે. , તમામ વિગતો સાથે. જો કે, અમે ઉપર રજૂ કરી છે તે જેવી જ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવા માટે તે ઘણીવાર પૂરતું છે.

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંક રહેવા દો (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનો ગ્રાફ પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના આલેખના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના પ્લોટિંગ આલેખ

ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના ગ્રાફ બનાવવાની ઘણી રીતો પર વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4.

ફંક્શન y = 1/x 2 નો ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ.

અમે y = 1/x 2 નો ગ્રાફ બનાવવા માટે ફંક્શન y = x 2 ના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને આલેખને "વિભાજન" કરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (0; +∞).

અક્ષો સાથે કોઈ આંતરછેદ બિંદુઓ નથી. કાર્ય સમ છે. અંતરાલ (-∞; 0) થી તમામ x માટે વધે છે, x માટે 0 થી +∞ સુધી ઘટે છે.

જવાબ: આકૃતિ 2.

ઉદાહરણ 5.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

ઉકેલ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

અહીં આપણે એક લીનિયર ફંક્શનમાં ફેક્ટરાઇઝેશન, રિડક્શન અને રિડક્શનની ટેકનિકનો ઉપયોગ કર્યો છે.

જવાબ: આકૃતિ 3.

ઉદાહરણ 6.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

ઉકેલ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = R છે. કાર્ય સમ હોવાથી, ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે. ગ્રાફ બનાવતા પહેલા, ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી રૂપાંતરિત કરીએ, આખા ભાગને પ્રકાશિત કરીએ:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

નોંધ કરો કે આલેખ બનાવતી વખતે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના સૂત્રમાં પૂર્ણાંક ભાગને અલગ પાડવો એ મુખ્ય મુદ્દાઓમાંનું એક છે.

જો x → ±∞, તો y → 1, એટલે કે. સીધી રેખા y = 1 એ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ: આકૃતિ 4.

ઉદાહરણ 7.

ચાલો ફંક્શન y = x/(x 2 + 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય ચોક્કસપણે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે. ગ્રાફના જમણા અડધા ભાગમાં સૌથી વધુ બિંદુ. આ ગ્રાફને સચોટ રીતે બનાવવા માટે, આજનું જ્ઞાન પૂરતું નથી. દેખીતી રીતે, આપણો વળાંક ખૂબ ઊંચો "ઉદય" કરી શકતો નથી, કારણ કે છેદ ઝડપથી અંશને "ઓવરટેક" કરવાનું શરૂ કરે છે. ચાલો જોઈએ કે ફંક્શનની કિંમત 1 ની બરાબર હોઈ શકે છે. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 હલ કરવાની જરૂર છે. આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયા સૌથી મોટા A સમીકરણ A = x/(x 2 + 1) પાસે ઉકેલ હશે. ચાલો મૂળ સમીકરણને ચતુર્ભુજ સાથે બદલીએ: Ax 2 – x + A = 0. આ સમીકરણનો ઉકેલ છે જ્યારે 1 – 4A 2 ≥ 0. અહીંથી આપણે સૌથી મોટું મૂલ્ય A = 1/2 શોધીએ છીએ.

જવાબ: આકૃતિ 5, મહત્તમ y(x) = ½.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિધેયોનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

"સરેરાશ માધ્યમિક શાળાનંબર 24"

સમસ્યારૂપ - અમૂર્ત કાર્ય

બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના આલેખ

11મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ એ નતાલિયા સેર્ગેવેના તોવચેગ્રેકો વર્ક સુપરવાઈઝર વેલેન્ટિના વાસિલીવેના પાર્શેવા ગણિતના શિક્ષક, ઉચ્ચ શિક્ષણ શિક્ષક લાયકાત શ્રેણી

સેવેરોડવિન્સ્ક

પરિચય

એન.એ. વિર્ચેન્કો, આઈ.આઈ. લ્યાશ્કો, કે.આઈ. શ્વેત્સોવ. ડિરેક્ટરી. કાર્ય આલેખ. કિવ “નૌકોવા દુમકા” 1979 વી.એસ. ક્રામોર. પુનરાવર્તન કરો અને વ્યવસ્થિત કરો શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત. મોસ્કો “એનલાઈટનમેન્ટ” 1990 યુ.એન. મકરીચેવ, એન.જી. મિન્ડ્યુક. બીજગણિત - 8 મી ગ્રેડ. માટે વધારાના પ્રકરણો શાળા પાઠ્યપુસ્તક. મોસ્કો "એનલાઈટનમેન્ટ", 1998 I.M. ગેલફેન્ડ, ઇ.જી. ગ્લાગોલેવા, ઇ.ઇ. શ્નોલ. કાર્યો અને આલેખ (મૂળભૂત તકનીકો). પબ્લિશિંગ હાઉસ MCNMO, મોસ્કો 2004 S.M. નિકોલ્સ્કી. એમ.કે. પોટાપોવ, એન.એન. રેશેટનિકોવ, એ.વી. શેવકિન. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: ધોરણ 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
મેં જોયું કે આલેખ જટિલ કાર્યોડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કર્યા વિના બનાવી શકાય છે, એટલે કે. પ્રાથમિક રીતે. તેથી, મેં મારા નિબંધનો વિષય પસંદ કર્યો: "અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના આલેખ."

મુખ્ય ભાગ. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના આલેખ

1. અપૂર્ણાંક - રેખીય કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ

ચોખા. 1

.

ચાલો આ સૂત્રની જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ:

આનો અર્થ એ છે કે આકૃતિ 2 સૂત્ર દ્વારા આપેલ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે

.

આ અપૂર્ણાંકમાં અંશ અને છેદ છે જે x ના સંદર્ભમાં રેખીય દ્વિપદી છે. આવા કાર્યોને અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યો કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, કાર્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છેપ્રકાર
, ક્યાં
x એ ચલ છે, a,

.

જો bc-ad=0, с≠0, આ સમાનતામાંથી b ને a, c અને d દ્વારા વ્યક્ત કરીએ અને તેને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ, તો આપણને મળે છે:

તેથી, પ્રથમ કિસ્સામાં અમને રેખીય કાર્ય મળ્યું સામાન્ય દૃશ્ય
, બીજા કિસ્સામાં - એક સ્થિર
. ચાલો હવે બતાવીએ કે રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્ય કેવી રીતે બનાવવું જો તે ફોર્મના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યું હોય
ઉદાહરણ 2.ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ
, એટલે કે ચાલો તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ
: આપણે અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ છીએ, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે:

તેથી,
. આપણે જોઈએ છીએ કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ફંક્શન y=5/x ના ગ્રાફમાંથી બે ક્રમિક શિફ્ટનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: હાઇપરબોલા y=5/x ને 3 એકમો દ્વારા જમણી તરફ ખસેડવું, અને પછી પરિણામી હાઇપરબોલાને ખસેડવું
આ શિફ્ટ સાથે 2 એકમો ઉપર, હાઇપરબોલા y = 5/x ના એસિમ્પ્ટોટ્સ પણ આગળ વધશે: x અક્ષ 2 એકમો ઉપર અને y અક્ષ 3 એકમો જમણી તરફ. આલેખ બાંધવા માટે, અમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં ડોટેડ લાઇન સાથે એસિમ્પટોટ્સ દોરીએ છીએ: સીધી રેખા y=2 અને સીધી રેખા x=3. હાયપરબોલામાં બે શાખાઓનો સમાવેશ થતો હોવાથી, તેમાંથી દરેક બનાવવા માટે આપણે બે કોષ્ટકો બનાવીશું: એક x માટે<3, а другую для x>3 (એટલે ​​​​કે, પ્રથમ એસિમ્પ્ટોટ્સના આંતરછેદના બિંદુની ડાબી બાજુએ છે, અને બીજો તેની જમણી બાજુએ છે):

મને કોઈપણ અપૂર્ણાંક ગમે છે
તેના સમગ્ર ભાગને હાઇલાઇટ કરીને સમાન રીતે લખી શકાય છે. પરિણામે, તમામ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના આલેખ હાયપરબોલાસ છે, જે વિવિધ રીતે સમાંતર સ્થાનાંતરિત થાય છે. સંકલન અક્ષોઅને ઓય ધરી સાથે વિસ્તરેલ.

ઉદાહરણ 3.

ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ
.કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આલેખ એક અતિપરવલય છે, તે સીધી રેખાઓ શોધવા માટે પૂરતું છે જ્યાં તેની શાખાઓ (એસિમ્પ્ટોટ્સ) અભિગમ કરે છે, અને થોડા વધુ બિંદુઓ. ચાલો પહેલા વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ શોધીએ. કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી જ્યાં 2x+2=0, એટલે કે. x=-1 પર. તેથી, વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ એ સીધી રેખા x = -1 છે. આડી એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, તમારે એ જોવાની જરૂર છે કે જ્યારે દલીલ વધે (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં), અંશના બીજા શબ્દો અને અપૂર્ણાંકના છેદ ત્યારે ફંક્શન મૂલ્યો શું પહોંચે છે.
પ્રમાણમાં નાનું. તેથી જ

.

તેથી, આડી એસિમ્પ્ટોટ સીધી રેખા y=3/2 છે. ચાલો સંકલન અક્ષો સાથે આપણા અતિપરવલાના આંતરછેદ બિંદુઓને નિર્ધારિત કરીએ. x=0 પર આપણી પાસે y=5/2 છે. જ્યારે 3x+5=0 હોય ત્યારે કાર્ય શૂન્યની બરાબર હોય છે, એટલે કે. x = -5/3 પર ડ્રોઇંગ પર પોઈન્ટ (-5/3;0) અને (0;5/2) ને ચિહ્નિત કર્યા પછી અને આડા અને વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ દોરવાથી, અમે આલેખ બનાવીશું (ફિગ. 4) .

સામાન્ય રીતે, હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, તમારે અંશને છેદ વડે ભાગવાની જરૂર છે, પછી y=3/2+1/(x+1), y=3/2 એ આડી એસિમ્પટોટ છે.

2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

,

જેમાં અંશ અને છેદ nth અને ની બહુપદી છે mth ડિગ્રી. અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંક રહેવા દો (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

જ્યાં k 1 ... k s એ બહુપદી Q (x) ના મૂળ છે, જેમાં અનુક્રમે, m 1 ... m s ગુણાકાર હોય છે, અને ત્રિપદીઓ જોડાણ જોડીને અનુરૂપ હોય છે જટિલ મૂળ Q (x) ગુણાકાર m 1 ... m t સ્વરૂપના અપૂર્ણાંકનો

કહેવાય છે પ્રાથમિક તર્કસંગત અપૂર્ણાંક અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા પ્રકાર. અહીં A, B, C, k - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ; m અને m - કુદરતી સંખ્યાઓ, m, m>1; વાસ્તવિક ગુણાંક x 2 +px+q સાથેનો ત્રિનોમીલ કાલ્પનિક મૂળ ધરાવે છે, દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યનો આલેખ પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના આલેખના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે. કાર્યનો આલેખ

આપણે ફંક્શનના ગ્રાફમાંથી 1/x m (m~1, 2, ...) નો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ છીએ સમાંતર ટ્રાન્સફરજમણી બાજુએ │k│ સ્કેલ એકમો દ્વારા x-અક્ષ સાથે. ફોર્મના કાર્યનો આલેખ

જો તમે છેદમાં પસંદ કરો તો તેને બાંધવું સરળ છે સંપૂર્ણ ચોરસ, અને પછી ફંક્શન 1/x 2 ના ગ્રાફની અનુરૂપ રચના હાથ ધરો. કાર્ય આલેખન

બે કાર્યોના ગ્રાફનું ઉત્પાદન બનાવવા માટે નીચે આવે છે:

y= Bx+ સીઅને

જ્યાં a d-b c 0 ,
,

જ્યાં n - કુદરતી સંખ્યા, દ્વારા કરી શકાય છે સામાન્ય યોજનાફંક્શન પર સંશોધન કરવું અને કેટલાકમાં ગ્રાફનું કાવતરું કરવું ચોક્કસ ઉદાહરણોતમે યોગ્ય આલેખ પરિવર્તન કરીને સફળતાપૂર્વક ગ્રાફ બનાવી શકો છો; શ્રેષ્ઠ માર્ગપદ્ધતિઓ આપો ઉચ્ચ ગણિત. ઉદાહરણ 1.કાર્યનો આલેખ કરો

.

સમગ્ર ભાગને અલગ કર્યા પછી, અમારી પાસે છે

.

અપૂર્ણાંક
ચાલો તેને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ:

.

ચાલો કાર્યોના ગ્રાફ બનાવીએ:

આ આલેખ ઉમેર્યા પછી આપણને ગ્રાફ મળે છે આપેલ કાર્ય:

આકૃતિ 6, 7, 8 ફંક્શન ગ્રાફ બનાવવાના ઉદાહરણો રજૂ કરે છે
અને
. ઉદાહરણ 2.કાર્ય આલેખન
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

નિષ્કર્ષ

જ્યાં એન

આ વિધેયોના ગ્રાફ બનાવવા માટે એક અલ્ગોરિધમ બનાવ્યું;

પ્લોટિંગ કાર્યોમાં અનુભવ મેળવ્યો જેમ કે:

;

મેં વૈજ્ઞાનિક માહિતી પસંદ કરવા માટે વધારાના સાહિત્ય અને સામગ્રી સાથે કામ કરવાનું શીખ્યા - મેં કમ્પ્યુટર પર ગ્રાફિક કાર્ય કરવાનો અનુભવ મેળવ્યો - મેં સમસ્યા-આધારિત અમૂર્ત કાર્ય કેવી રીતે લખવું તે શીખ્યા;

ટીકા. 21મી સદીની પૂર્વસંધ્યાએ, માહિતીના ધોરીમાર્ગ અને ટેક્નોલોજીના આવનારા યુગ વિશેની વાતો અને અટકળોના અનંત પ્રવાહ સાથે અમારા પર બોમ્બમારો કરવામાં આવ્યો હતો.

21મી સદીની પૂર્વસંધ્યાએ, માહિતીના ધોરીમાર્ગ અને ટેક્નોલોજીના આવનારા યુગ વિશેની વાતો અને અટકળોના અનંત પ્રવાહ સાથે અમારા પર બોમ્બમારો કરવામાં આવ્યો હતો.

અહીં માટે ગુણાંક એક્સઅને અંશ અને છેદમાં મુક્ત પદોને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ આપવામાં આવે છે. સામાન્ય કિસ્સામાં રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો ગ્રાફ છે અતિશય

સૌથી સરળ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય y = -તમે-

પ્રહારો વ્યસ્ત પ્રમાણસર સંબંધ; હાઈસ્કૂલના અભ્યાસક્રમો (ફિગ. 5.5) પરથી તેનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી અતિપરવલય જાણીતી છે.

ચોખા. 5.5

ઉદાહરણ. 5.3

રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો:

• 1. ત્યારથી આ અપૂર્ણાંકનો કોઈ અર્થ નથી જ્યારે x = 3, તે ફંક્શન Xનું ડોમેનબે અનંત અંતરાલો સમાવે છે:
• 3) અને (3; +°°).

2. વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટે (એટલે ​​કે જ્યારે એક્સ-»3 અને મુ એક્સ-> ±°°), તે કન્વર્ટ કરવા માટે ઉપયોગી છે આ અભિવ્યક્તિનીચે પ્રમાણે બે શબ્દોના સરવાળે:

પ્રથમ પદ સતત હોવાથી, સીમા પર કાર્યનું વર્તન ખરેખર બીજા, ચલ પદ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેના પરિવર્તનની પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કર્યા પછી, જ્યારે એક્સ->3 અને એક્સ->±°°, અમે કરીએ છીએ નીચેના તારણોઆપેલ કાર્યને સંબંધિત:

• a) x->3 માટે અધિકાર(એટલે ​​​​કે *>3 માટે) ફંક્શનનું મૂલ્ય મર્યાદા વિના વધે છે: ખાતે-> +°°: x->3 પર બાકી(એટલે ​​​​કે x y પર - આમ, ઇચ્છિત હાઇપરબોલા સમીકરણ x = 3 સાથે મર્યાદા વિના સીધી રેખા સુધી પહોંચે છે (નીચે ડાબેઅને ઉપર જમણે)અને આમ આ સીધી રેખા છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટઅતિશય
• b) જ્યારે x ->±°° બીજી મુદત મર્યાદા વિના ઘટે છે, તેથી ફંક્શનનું મૂલ્ય પ્રથમ, મર્યાદા વિના સતત પદ સુધી પહોંચે છે, એટલે કે. મૂલ્ય માટે y = 2. આ કિસ્સામાં, ફંક્શનનો ગ્રાફ મર્યાદા વિના પહોંચે છે (નીચે ડાબે અને ઉપર જમણે) સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સીધી રેખા પર y = 2; આમ આ રેખા છે આડી એસિમ્પ્ટોટઅતિશય

ટિપ્પણી.પ્લેનના રિમોટ ભાગમાં ફંક્શનના ગ્રાફના વર્તનને દર્શાવવા માટે આ વિભાગમાં મેળવેલી માહિતી સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે (લાક્ષણિક રીતે કહીએ તો, અનંત પર).

• 3. l = 0 ધારીને, આપણે શોધીએ છીએ y = ~.તેથી, ઇચ્છિત હાઇ-

પરબોલા ધરીને છેદે છે ઓહબિંદુ પર એમ એક્સ = (0;-^).

• 4. કાર્ય શૂન્ય ( ખાતે= 0) ક્યારે હશે એક્સ= -2; તેથી, આ હાઇપરબોલા ધરીને છેદે છે ઓહબિંદુ M 2 (-2; 0) પર.
• 5. જો અંશ અને છેદ સમાન ચિન્હ ધરાવતા હોય તો અપૂર્ણાંક સકારાત્મક હોય છે અને જો તેમની પાસે અલગ અલગ ચિહ્નો હોય તો નકારાત્મક હોય છે. અસમાનતાઓની અનુરૂપ પ્રણાલીઓને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે કાર્યમાં બે હકારાત્મક અંતરાલ છે: (-°°; -2) અને (3; +°°) અને એક નકારાત્મક અંતરાલ: (-2; 3).
• 6. બે પદોના સરવાળા તરીકે ફંક્શનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું (આઇટમ 2 જુઓ) ઘટાડાનાં બે અંતરાલો શોધવાનું એકદમ સરળ બનાવે છે: (-°°; 3) અને (3; +°°).
• 7. દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનમાં કોઈ ચરમસીમા નથી.
• 8. આ ફંક્શનના મૂલ્યોના Y સેટ કરો: (-°°; 2) અને (2; +°°).
• 9. કોઈ સમાન, વિષમ અથવા સામયિકતા પણ નથી. માહિતી એકત્રિત કરીપૂરતું યોજનાકીય રીતે

હાયપરબોલ દોરો ગ્રાફિકલીઆ કાર્યના ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે (ફિગ. 5.6).

ચોખા. 5.6

આ બિંદુ સુધી ચર્ચા કરેલ કાર્યો કહેવામાં આવે છે બીજગણિતચાલો હવે વિચારણા પર આગળ વધીએ ગુણાતીતકાર્યો