એકીકરણ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય.
પદ્ધતિ અનિશ્ચિત ગુણાંક

અમે અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવા પર કામ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આપણે પાઠમાં અમુક પ્રકારનાં અપૂર્ણાંકોના અભિન્ન ભાગોને પહેલેથી જ જોયા છે, અને અમુક અર્થમાં આ પાઠને ચાલુ ગણી શકાય. સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક સમજવા માટે, મૂળભૂત એકીકરણ કૌશલ્ય જરૂરી છે, તેથી જો તમે હમણાં જ ઇન્ટિગ્રલ્સનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું છે, એટલે કે, તમે શિખાઉ છો, તો તમારે લેખ સાથે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. અનિશ્ચિત અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

વિચિત્ર રીતે, હવે આપણે અવિભાજ્ય શોધવામાં એટલા વ્યસ્ત રહીશું નહીં, પરંતુ... સિસ્ટમો ઉકેલવામાં રેખીય સમીકરણો. આ સંદર્ભે તાત્કાલિકહું પાઠમાં હાજરી આપવાની ભલામણ કરું છું, એટલે કે, તમારે અવેજી પદ્ધતિઓ ("શાળા" પદ્ધતિ અને સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી)ની પદ્ધતિમાં સારી રીતે વાકેફ હોવું જરૂરી છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય શું છે? સાદા શબ્દોમાં, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય એ એક અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી અથવા બહુપદીના ઉત્પાદનો હોય છે. તદુપરાંત, અપૂર્ણાંકો લેખમાં ચર્ચા કરાયેલ કરતાં વધુ વ્યવહારદક્ષ છે કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત.

યોગ્ય અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને એકીકૃત કરવું

તરત જ એક ઉદાહરણ અને પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનોઅપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અભિન્ન ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1

પગલું 1.અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અવિભાજ્યને હલ કરતી વખતે આપણે હંમેશા જે કરીએ છીએ તે પ્રથમ વસ્તુ શોધવાનું છે આગામી પ્રશ્ન: શું અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે? આ પગલુંમૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે, અને હવે હું સમજાવીશ કે કેવી રીતે:

પહેલા આપણે અંશને જોઈએ અને શોધી કાઢીએ વરિષ્ઠ ડિગ્રીબહુપદી

અંશની અગ્રણી શક્તિ બે છે.

હવે આપણે છેદ જોઈએ અને શોધીએ વરિષ્ઠ ડિગ્રીછેદ સ્પષ્ટ માર્ગ કૌંસ ખોલવા અને લાવવા છે સમાન શરતો, પરંતુ તમે તેને સરળ રીતે કરી શકો છો દરેકકૌંસમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રી શોધો

અને માનસિક રીતે ગુણાકાર કરો: - આમ, છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી ત્રણ જેટલી છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે ખરેખર કૌંસ ખોલીએ, તો આપણને ત્રણ કરતા વધારે ડિગ્રી મળશે નહીં.

નિષ્કર્ષ: અંશની મુખ્ય ડિગ્રી કડકાઈથીછેદની સર્વોચ્ચ શક્તિ કરતાં ઓછી છે, જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે.

જો માં આ ઉદાહરણમાંઅંશમાં બહુપદી 3, 4, 5, વગેરે શામેલ છે. ડિગ્રી, પછી અપૂર્ણાંક હશે ખોટું.

હવે આપણે ફક્ત સાચા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું. જ્યારે પાઠના અંતે અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા વધારે અથવા સમાન હોય ત્યારે અમે કેસની તપાસ કરીશું.

પગલું 2.ચાલો છેદનું અવયવીકરણ કરીએ. ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ પહેલેથી જ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, પરંતુ, તેમ છતાં, આપણે આપણી જાતને પૂછીએ છીએ: શું બીજું કંઈક વિસ્તૃત કરવું શક્ય છે? ત્રાસનો ઉદ્દેશ નિઃશંકપણે ચોરસ ત્રિપદી હશે. ચાલો નક્કી કરીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, જેનો અર્થ છે કે ત્રિનોમી ખરેખર પરિબળ બની શકે છે:

સામાન્ય નિયમ: છેદમાં દરેક વસ્તુ ફેક્ટર કરી શકાય છે - ફેક્ટરેડ

ચાલો ઉકેલો ઘડવાનું શરૂ કરીએ:

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે એકીકરણને સરળ (પ્રાથમિક) અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ. હવે તે વધુ સ્પષ્ટ થશે.

ચાલો આપણા સંકલિત કાર્યને જોઈએ:

અને, તમે જાણો છો, કોઈક રીતે એક સાહજિક વિચાર પૉપ અપ થાય છે કે આપણું હોવું સરસ રહેશે મોટો અપૂર્ણાંકઘણા નાનામાં ફેરવો. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શું આવું કરવું પણ શક્ય છે? ચાલો રાહતનો શ્વાસ લઈએ, અનુરૂપ પ્રમેય ગાણિતિક વિશ્લેષણભારપૂર્વક જણાવે છે - તે શક્ય છે. આવા વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે.

ત્યાં માત્ર એક કેચ છે, મતભેદ છે બાયઅમે જાણતા નથી, તેથી નામ - અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, અનુગામી શરીરની હિલચાલ તે જેવી છે, કેકલ કરશો નહીં! માત્ર તેમને ઓળખવાનો હેતુ હશે - તેઓ શું સમાન છે તે શોધવા માટે.

સાવચેત રહો, હું ફક્ત એક જ વાર વિગતવાર સમજાવીશ!

તો, ચાલો નાચવાનું શરૂ કરીએ:

ડાબી બાજુએ આપણે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીએ છીએ:

હવે આપણે સંપ્રદાયોથી સુરક્ષિત રીતે છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ (કારણ કે તેઓ સમાન છે):

ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ, પરંતુ હમણાં માટે અજાણ્યા ગુણાંકને સ્પર્શ કરશો નહીં:

તે જ સમયે, અમે બહુપદીના ગુણાકારના શાળા નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. જ્યારે હું શિક્ષક હતો, ત્યારે મેં આ નિયમને સીધા ચહેરા સાથે ઉચ્ચારવાનું શીખ્યા: બહુપદીને બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના દરેક પદને અન્ય બહુપદીના પ્રત્યેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે..

દૃષ્ટિકોણથી સ્પષ્ટ સમજૂતીગુણાંકને કૌંસમાં મૂકવું વધુ સારું છે (જોકે હું વ્યક્તિગત રીતે સમય બચાવવા માટે આવું ક્યારેય કરતો નથી):

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ.
પહેલા આપણે વરિષ્ઠ ડિગ્રીઓ જોઈએ છીએ:

અને અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

નીચેના મુદ્દાને સારી રીતે યાદ રાખો. જો જમણી બાજુએ s ના હોત તો શું થશે? ચાલો કહીએ કે, શું તે કોઈ ચોરસ વગર જ બતાવશે? આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમના સમીકરણમાં જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકવું જરૂરી રહેશે: . શૂન્ય કેમ? પરંતુ કારણ કે જમણી બાજુએ તમે હંમેશા આ જ ચોરસને શૂન્ય સાથે અસાઇન કરી શકો છો: જો જમણી બાજુએ કોઈ ચલો ન હોય અને/અથવા મફત સભ્ય, પછી આપણે સિસ્ટમના અનુરૂપ સમીકરણોની જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકીએ છીએ.

અમે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

અને છેલ્લે, ખનિજ જળ, અમે મફત સભ્યો પસંદ કરીએ છીએ.

અરે,...કોઈક રીતે હું મજાક કરતો હતો. જોક્સ બાજુ પર રાખો - ગણિત એ ગંભીર વિજ્ઞાન છે. અમારા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ગ્રૂપમાં, જ્યારે મદદનીશ પ્રોફેસરે કહ્યું કે તે સંખ્યારેખા સાથે શબ્દોને વેરવિખેર કરશે અને સૌથી મોટી પસંદ કરશે ત્યારે કોઈ હસ્યું નહીં. ચાલો ગંભીર થઈએ. જો કે... જે પણ આ પાઠનો અંત જોવા માટે જીવે છે તે હજુ પણ શાંતિથી સ્મિત કરશે.

સિસ્ટમ તૈયાર છે:

અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:

(1) પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે તેને સિસ્ટમના 2જા અને 3જા સમીકરણમાં વ્યક્ત અને બદલીએ છીએ. હકીકતમાં, અન્ય સમીકરણમાંથી (અથવા અન્ય અક્ષર) વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, પરંતુ માં આ કિસ્સામાં 1લા સમીકરણમાંથી સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવું ફાયદાકારક છે, કારણ કે ત્યાંથી સૌથી નાના મતભેદ.

(2) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણોમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણ શબ્દને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીએ છીએ, સમાનતા મેળવીએ છીએ, જેમાંથી તે અનુસરે છે

(4) આપણે બીજા (અથવા ત્રીજા) સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, જ્યાંથી આપણને તે મળે છે

(5) અવેજી કરો અને પ્રથમ સમીકરણમાં મેળવો.

જો તમને સિસ્ટમ ઉકેલવાની પદ્ધતિઓમાં કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો વર્ગમાં તેનો અભ્યાસ કરો. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી, તે હંમેશા તપાસવા માટે ઉપયોગી છે - મળેલ મૂલ્યોને અવેજી કરો દરેકસિસ્ટમનું સમીકરણ, પરિણામે બધું "કન્વર્જ" થવું જોઈએ.

લગભગ ત્યાં છે. ગુણાંક મળી આવ્યા હતા, અને:

સમાપ્ત થયેલ કાર્ય આના જેવું કંઈક દેખાવું જોઈએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કાર્યની મુખ્ય મુશ્કેલી એ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કંપોઝ (યોગ્ય રીતે!) અને ઉકેલ (યોગ્ય રીતે!) હતી. અને અંતિમ તબક્કે બધું એટલું મુશ્કેલ નથી: અમે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અનિશ્ચિત અભિન્નઅને એકીકૃત. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દરેક ત્રણ અવિભાજ્ય હેઠળ અમારી પાસે "ફ્રી" છે જટિલ કાર્ય, મેં વર્ગમાં તેના એકીકરણની વિશેષતાઓ વિશે વાત કરી અનિશ્ચિત અભિન્નમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ.

તપાસો: જવાબમાં તફાવત કરો:

મૂળ સંકલન કાર્ય પ્રાપ્ત થયું છે, જેનો અર્થ છે કે પૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો છે.
ચકાસણી દરમિયાન, અમારે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની હતી, અને આ આકસ્મિક નથી. અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ અને અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવા એ પરસ્પર વિપરીત ક્રિયાઓ છે.

ઉદાહરણ 2

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ચાલો પ્રથમ ઉદાહરણમાંથી અપૂર્ણાંક પર પાછા આવીએ: . એ નોંધવું સહેલું છે કે છેદમાં તમામ પરિબળો અલગ-અલગ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનો અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે તો શું કરવું: ? અહીં આપણી પાસે છેદમાં ડિગ્રી છે, અથવા, ગાણિતિક રીતે, ગુણાંક. વધુમાં, ત્યાં એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદી છે જેને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તે ચકાસવું સરળ છે કે સમીકરણનો ભેદભાવ ઋણાત્મક છે, તેથી ત્રિનોમીનું પરિબળ બનાવી શકાતું નથી). શું કરવું? પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં વિસ્તરણ કંઈક આના જેવું દેખાશે ટોચ પર અજાણ્યા ગુણાંક સાથે અથવા બીજું કંઈક?

ઉદાહરણ 3

કાર્યનો પરિચય આપો

પગલું 1.અમારી પાસે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે કે કેમ તે તપાસી રહ્યાં છીએ
મુખ્ય અંશ: 2
છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી: 8
, જેનો અર્થ થાય છે કે અપૂર્ણાંક સાચો છે.

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? દેખીતી રીતે નથી, બધું પહેલેથી જ નાખ્યો છે. સ્ક્વેર ત્રિપદીઉપર જણાવેલ કારણોસર કામમાં વિઘટન થતું નથી. હૂડ. ઓછું કામ.

પગલું 3.ચાલો પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યની કલ્પના કરીએ.
આ કિસ્સામાં, વિસ્તરણ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:
અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટન કરતી વખતે, ત્રણ મૂળભૂત મુદ્દાઓને ઓળખી શકાય છે:

1) જો છેદમાં પ્રથમ શક્તિ (અમારા કિસ્સામાં) માટે "એકલા" પરિબળ હોય, તો અમે ટોચ પર એક અનિશ્ચિત ગુણાંક મૂકીએ છીએ (અમારા કિસ્સામાં). ઉદાહરણો નંબર 1, 2 માં ફક્ત આવા "એકલા" પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે.

2) જો છેદ હોય બહુવિધગુણક, પછી તમારે તેને આ રીતે વિઘટન કરવાની જરૂર છે:
- એટલે કે, અનુક્રમે પ્રથમથી nમી ડિગ્રી સુધી "X" ની બધી ડિગ્રીઓમાંથી પસાર થાઓ. અમારા ઉદાહરણમાં બે બહુવિધ પરિબળો છે: અને, મેં આપેલા વિસ્તરણ પર બીજી નજર નાખો અને ખાતરી કરો કે તેઓ આ નિયમ અનુસાર બરાબર વિસ્તરણ કરે છે.

3) જો છેદમાં બીજી ડિગ્રી (અમારા કિસ્સામાં) ના અવિભાજ્ય બહુપદી હોય, તો જ્યારે અંશમાં વિઘટન થાય ત્યારે તમારે લખવાની જરૂર છે રેખીય કાર્યઅનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે (અમારા કિસ્સામાં અનિશ્ચિત ગુણાંક અને ).

હકીકતમાં, બીજો 4થો કેસ છે, પરંતુ હું તેના વિશે મૌન રાખીશ, કારણ કે વ્યવહારમાં તે અત્યંત દુર્લભ છે.

ઉદાહરણ 4

કાર્યનો પરિચય આપો અજાણ્યા ગુણાંક સાથે પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.
સખત રીતે અલ્ગોરિધમનો અનુસરો!

જો તમે સિદ્ધાંતોને સમજો છો કે જેના દ્વારા તમારે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને સરવાળામાં વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે, તો તમે વિચારણા હેઠળના પ્રકારના લગભગ કોઈપણ અભિન્ન ભાગને ચાવી શકો છો.

ઉદાહરણ 5

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

પગલું 1.દેખીતી રીતે અપૂર્ણાંક સાચો છે:

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અહીં સમઘનનો સરવાળો છે . સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદને અવયવિત કરો

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રારંભિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બહુપદીને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તપાસો કે ભેદભાવ નકારાત્મક છે), તેથી ટોચ પર અમે અજ્ઞાત ગુણાંક સાથે રેખીય કાર્ય મૂકીએ છીએ, અને માત્ર એક અક્ષર નહીં.

અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ:

ચાલો સિસ્ટમ કંપોઝ અને હલ કરીએ:

(1) અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ (આ સૌથી તર્કસંગત રીત છે).

(2) અમે બીજા સમીકરણમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ ટર્મના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણો ઉમેરીએ છીએ.

આગળની બધી ગણતરીઓ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, મૌખિક છે, કારણ કે સિસ્ટમ સરળ છે.

(1) અમે મળેલા ગુણાંક અનુસાર અપૂર્ણાંકનો સરવાળો લખીએ છીએ.

(2) અમે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના રેખીયતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બીજા અભિન્નમાં શું થયું? તમે પાઠના છેલ્લા ફકરામાં આ પદ્ધતિથી પોતાને પરિચિત કરી શકો છો. કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત.

(3) ફરી એકવાર આપણે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ત્રીજા અભિન્નમાં આપણે અલગ થવાનું શરૂ કરીએ છીએ સંપૂર્ણ ચોરસ(પાઠનો અંતિમ ફકરો કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત).

(4) આપણે બીજું અભિન્ન લઈએ છીએ, ત્રીજામાં આપણે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ.

(5) ત્રીજો અભિન્ન લો. તૈયાર છે.

કાર્યોના એકીકરણ પર પરીક્ષણ કાર્ય, સહિત તર્કસંગત અપૂર્ણાંક 1લા અને 2જા વર્ષના વિદ્યાર્થીઓને પૂછવામાં આવ્યું. અવિભાજ્યના ઉદાહરણો મુખ્યત્વે ગણિતશાસ્ત્રીઓ, અર્થશાસ્ત્રીઓ અને આંકડાશાસ્ત્રીઓ માટે રસપ્રદ રહેશે. આ ઉદાહરણો પર પૂછવામાં આવ્યું હતું પરીક્ષણ કાર્ય LNU પર નામ આપવામાં આવ્યું છે. I. ફ્રેન્ક. શરતો નીચેના ઉદાહરણો"અવિભાજ્ય શોધો" અથવા "અવિભાજ્યની ગણતરી કરો", તેથી જગ્યા અને તમારો સમય બચાવવા માટે તેઓ લખ્યા ન હતા.

ઉદાહરણ 15. આપણે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યોના એકીકરણ પર આવ્યા છીએ. તેઓ કબજે કરે છે વિશિષ્ટ સ્થાનઇન્ટિગ્રલ્સ વચ્ચે, કારણ કે તેમને ગણતરી કરવા અને શિક્ષકોને માત્ર એકીકરણ વિશે જ નહીં પણ તમારા જ્ઞાનની ચકાસણી કરવામાં ઘણો સમય લાગે છે. ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ ફંક્શનને સરળ બનાવવા માટે, અમે અંશમાં એક અભિવ્યક્તિ ઉમેરી અને બાદ કરીએ છીએ જે અમને ઇન્ટિગ્રલ હેઠળના ફંક્શનને બે સરળમાં વિભાજિત કરવાની મંજૂરી આપશે.

પરિણામ સ્વરૂપે, આપણને એક અવિભાજ્ય બહુ ઝડપથી મળે છે, બીજામાં આપણે અપૂર્ણાંકને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિસ્તારવાની જરૂર છે.

જ્યારે સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે નીચેના અંકો મેળવીએ છીએ

આગળ, કૌંસ અને જૂથ ખોલો

અમે પર મૂલ્યની સમાનતા કરીએ છીએ સમાન ડિગ્રીજમણી અને ડાબી બાજુએ "X". પરિણામે, અમે ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમો કેવી રીતે હલ કરવી તે સાઇટ પરના અન્ય લેખોમાં વર્ણવેલ છે. અંતે તમને પ્રાપ્ત થશે આગામી ઉકેલ SLAU
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
અમે અપૂર્ણાંકના વિસ્તરણમાં સ્થિરાંકોને સૌથી સરળમાં બદલીએ છીએ અને એકીકરણ કરીએ છીએ

આ ઉદાહરણને સમાપ્ત કરે છે.

ઉદાહરણ 16. ફરીથી આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનો અભિન્ન ભાગ શોધવાની જરૂર છે. સાથે શરૂ કરવા માટે ઘન સમીકરણ, જે અપૂર્ણાંકના છેદમાં સમાયેલ છે, અમે તેને સરળ પરિબળોમાં વિઘટિત કરીશું

આગળ, આપણે અપૂર્ણાંકને તેના સરળ સ્વરૂપોમાં વિઘટિત કરીએ છીએ

ચાલો તેને સાથે લાવી જમણી બાજુસામાન્ય છેદ પર જાઓ અને અંશમાં કૌંસ ખોલો.

અમે ચલની સમાન ડિગ્રી માટે ગુણાંકને સમાન કરીએ છીએ. ચાલો ત્રણ અજાણ્યાઓ સાથે ફરીથી SLAE પર આવીએ

ચાલો અવેજી કરીએ મૂલ્યો A, B, Cવિસ્તરણમાં અને અવિભાજ્યની ગણતરી કરો

પ્રથમ બે શબ્દો લઘુગણક આપે છે, છેલ્લી એક શોધવાનું પણ સરળ છે.

ઉદાહરણ 17. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના છેદમાં આપણી પાસે સમઘનનો તફાવત છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેને બે ભાગમાં વિઘટિત કરીએ છીએ મુખ્ય પરિબળો

વધુ પ્રાપ્ત થયું અપૂર્ણાંક કાર્યરકમ લખો સરળ અપૂર્ણાંકઅને તેમને નીચે લાવો સામાન્ય છેદ

અંશમાં આપણને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે.

તેમાંથી આપણે 3 અજાણ્યાઓની ગણતરી કરવા માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
અમે ફોર્મ્યુલામાં A, B, C બદલીએ છીએ અને એકીકરણ કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે નીચેના જવાબ પર પહોંચીએ છીએ:

અહીં બીજા અવિભાજ્યના અંશને લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવ્યો હતો, અને અવિભાજ્ય હેઠળનો બાકીનો ભાગ આર્કટેન્જેન્ટ આપે છે.
સમાન ઉદાહરણોતર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને એકીકૃત કરવા વિશે ઇન્ટરનેટ પર ઘણું બધું છે. તમે નીચેની સામગ્રીમાંથી સમાન ઉદાહરણો શોધી શકો છો.

"એક ગણિતશાસ્ત્રી, કલાકાર અથવા કવિની જેમ, પેટર્ન બનાવે છે. અને જો તેની પેટર્ન વધુ સ્થિર હોય, તો તે માત્ર એટલા માટે છે કે તેઓ વિચારોથી બનેલા હોય છે... કલાકાર કે કવિની પેટર્નની જેમ ગણિતશાસ્ત્રીની પેટર્ન પણ સુંદર હોવી જોઈએ; વિચારો, રંગો અથવા શબ્દોની જેમ, એકબીજાને અનુરૂપ હોવા જોઈએ. સૌંદર્ય એ પ્રથમ આવશ્યકતા છે: નીચ ગણિત માટે વિશ્વમાં કોઈ સ્થાન નથી».

જી.એચ.હાર્ડી

પ્રથમ પ્રકરણમાં તે નોંધ્યું હતું કે ત્યાં તદ્દન આદિમ છે સરળ કાર્યો, જે હવે દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાશે નહીં પ્રાથમિક કાર્યો. આ સંદર્ભમાં, કાર્યોના તે વર્ગો કે જેના વિશે આપણે ચોક્કસ કહી શકીએ કે તેમના એન્ટિડેરિવેટિવ્સ પ્રાથમિક કાર્યો છે તે ખૂબ જ વ્યવહારુ મહત્વ પ્રાપ્ત કરે છે. કાર્યોના આ વર્ગમાં સમાવેશ થાય છે તર્કસંગત કાર્યો, બેના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે બીજગણિત બહુપદી. ઘણી સમસ્યાઓ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોના એકીકરણ તરફ દોરી જાય છે. તેથી, આવા કાર્યોને એકીકૃત કરવામાં સક્ષમ બનવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

2.1.1. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યો

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક(અથવા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય) ને બે બીજગણિત બહુપદીનો સંબંધ કહેવામાં આવે છે:

જ્યાં અને બહુપદી છે.

ચાલો તમને તે યાદ અપાવીએ બહુપદી (બહુપદી, સમગ્ર તર્કસંગત કાર્ય ) nમી ડિગ્રીફોર્મનું કાર્ય કહેવાય છે

જ્યાં – વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે,

- પ્રથમ ડિગ્રીનું બહુપદી;

- ચોથી ડિગ્રીનું બહુપદી, વગેરે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક (2.1.1) કહેવાય છે યોગ્ય, જો ડિગ્રી ડિગ્રી કરતા ઓછી હોય, એટલે કે. n<m, અન્યથા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ખોટું.

કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને બહુપદી (પૂર્ણાંક ભાગ) અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક (અપૂર્ણાંક ભાગ) ના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક ભાગોનું વિભાજન "ખૂણા" સાથે બહુપદીને વિભાજીત કરવાના નિયમ અનુસાર કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2.1.1.નીચેના અયોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોના સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક ભાગોને ઓળખો:

અ) , b) .

ઉકેલ . a) "કોર્નર" ડિવિઝન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

આમ, આપણને મળે છે

b) અહીં આપણે “ખૂણા” ડિવિઝન અલ્ગોરિધમનો પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પરિણામે, આપણને મળે છે

ચાલો સારાંશ આપીએ. સામાન્ય કિસ્સામાં, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકને બહુપદીના અવિભાજ્ય અને યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. બહુપદીના એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા મુશ્કેલ નથી. તેથી, નીચેનામાં આપણે મુખ્યત્વે યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લઈશું.

2.1.2. સૌથી સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંક અને તેમનું એકીકરણ

યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોમાં, ચાર પ્રકારો છે, જે તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે સૌથી સરળ (પ્રાથમિક) તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો:

3) ,

4) ,

પૂર્ણાંક ક્યાં છે, , એટલે કે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

પ્રકાર 1 અને પ્રકાર 2 ના સરળ અપૂર્ણાંકોને એકીકૃત કરવામાં વધુ મુશ્કેલી આવતી નથી:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

ચાલો હવે 3 જી પ્રકારના સરળ અપૂર્ણાંકોના એકીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ, પરંતુ આપણે 4 થી પ્રકારનાં અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.

ચાલો ફોર્મના અવિભાજ્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ

આ અભિન્ન સામાન્ય રીતે છેદના સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરીને ગણવામાં આવે છે. પરિણામ એ નીચેના ફોર્મનું ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ છે

અથવા .

ઉદાહરણ 2.1.2.અવિભાજ્ય શોધો:

અ) , b) .

ઉકેલ . a) ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો:

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ

b) ચતુર્ભુજ ત્રિપદીમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

આમ,

અભિન્ન શોધવા માટે

તમે અંશમાં છેદના વ્યુત્પન્નને અલગ કરી શકો છો અને અવિભાજ્યને બે પૂર્ણાંકોના સરવાળામાં વિસ્તૃત કરી શકો છો: તેમાંથી પ્રથમ અવેજી દ્વારા દેખાવમાં નીચે આવે છે

અને બીજું - ઉપર ચર્ચા કરેલ એક માટે.

ઉદાહરણ 2.1.3.અવિભાજ્ય શોધો:

ઉકેલ . તેની નોંધ લો . ચાલો અંશમાં છેદના વ્યુત્પન્નને અલગ કરીએ:

અવેજીનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે :

બીજા અવિભાજ્યમાં, આપણે છેદમાં સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ

છેલ્લે, અમે મેળવીએ છીએ

2.1.3. યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ
સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળા માટે

કોઈપણ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, છેદને અવયવિત કરવું આવશ્યક છે. ઉચ્ચ બીજગણિતમાંથી તે જાણીતું છે કે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે દરેક બહુપદી

TOPIC: તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

ધ્યાન આપો! એકીકરણની મૂળભૂત પદ્ધતિઓમાંથી એકનો અભ્યાસ કરતી વખતે: તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ, સખત પુરાવાઓ હાથ ધરવા જટિલ ડોમેનમાં બહુપદીને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. તેથી તે જરૂરી છે અગાઉથી અભ્યાસ કરો જટિલ સંખ્યાઓના કેટલાક ગુણધર્મો અને તેના પરની ક્રિયાઓ.

સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

જો પી(z) અને પ્ર(z) જટિલ ડોમેનમાં બહુપદી છે, પછી તે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક છે. તે કહેવાય છે યોગ્ય, જો ડિગ્રી પી(z) ઓછી ડિગ્રી પ્ર(z) , અને ખોટું, જો ડિગ્રી આર ડિગ્રી કરતાં ઓછી નથી પ્ર.

કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a આર(z) – બહુપદી જેની ડિગ્રી ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે પ્ર(z).

આમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું સંકલન બહુપદી, એટલે કે પાવર ફંક્શન્સ અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના એકીકરણમાં આવે છે, કારણ કે તે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે.

વ્યાખ્યા 5. સૌથી સરળ (અથવા પ્રાથમિક) અપૂર્ણાંક નીચેના પ્રકારના અપૂર્ણાંક છે:

1) , 2) , 3) , 4) .

ચાલો જોઈએ કે તેઓ કેવી રીતે એકીકૃત થાય છે.

3) (અગાઉ અભ્યાસ કરેલ).

પ્રમેય 5. દરેક યોગ્ય અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળા (સાબિતી વિના) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કોરોલરી 1. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં ફક્ત સાદા વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 1લા પ્રકારના માત્ર સરળ અપૂર્ણાંકો હશે:

ઉદાહરણ 1.

કોરોલરી 2. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર એકથી વધુ વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 1લા અને 2જા પ્રકારના માત્ર સાદા અપૂર્ણાંકો જ હશે. :

ઉદાહરણ 2.

કોરોલરી 3. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર સરળ જટિલ સંયોજક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 3જી પ્રકારના ફક્ત સરળ અપૂર્ણાંક હશે:

ઉદાહરણ 3.

કોરોલરી 4. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર બહુવિધ જટિલ સંયોજક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 3જા અને 4થાના માત્ર સાદા અપૂર્ણાંક હશે. પ્રકારો:

ઉપરોક્ત વિસ્તરણમાં અજ્ઞાત ગુણાંક નક્કી કરવા માટે નીચે પ્રમાણે આગળ વધો. અજ્ઞાત ગુણાંક ધરાવતા વિસ્તરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે બે બહુપદીઓની સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. તેમાંથી, જરૂરી ગુણાંક માટેના સમીકરણો આનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે:

1. X (આંશિક મૂલ્ય પદ્ધતિ) ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાનતા સાચી છે. આ કિસ્સામાં, કોઈપણ સંખ્યાના સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે, જેમાંથી કોઈપણ m અજ્ઞાત ગુણાંક શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

2. ગુણાંક X ની સમાન ડિગ્રી (અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ) માટે એકરૂપ થાય છે. આ કિસ્સામાં, m - અજ્ઞાત સાથે m - સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે, જેમાંથી અજ્ઞાત ગુણાંક મળે છે.

3. સંયુક્ત પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 5. અપૂર્ણાંકને વિસ્તૃત કરો સૌથી સરળ સુધી.

ઉકેલ:

ચાલો A અને B ગુણાંક શોધીએ.

પદ્ધતિ 1 - ખાનગી મૂલ્ય પદ્ધતિ:

પદ્ધતિ 2 - અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ:

જવાબ:

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

પ્રમેય 6. કોઈપણ અંતરાલ પર કોઈપણ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય કે જેના પર તેનો છેદ શૂન્ય સમાન ન હોય તે અસ્તિત્વમાં છે અને તે પ્રાથમિક કાર્યો, એટલે કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, લઘુગણક અને આર્ક્ટેંજન્ટ્સ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

પુરાવો.

ચાલો ફોર્મમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની કલ્પના કરીએ: . આ કિસ્સામાં, છેલ્લો શબ્દ યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે, અને પ્રમેય 5 અનુસાર તેને સરળ અપૂર્ણાંકોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું એકીકરણ બહુપદીના એકીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે. એસ(x) અને સાદા અપૂર્ણાંકો, જેનાં એન્ટિડેરિવેટિવ્સ, જેમ બતાવ્યા પ્રમાણે, પ્રમેયમાં દર્શાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે.