પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણમાં z કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. બહુવિધ છબીઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મો

ચોક્કસ બિંદુએ, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના ક્ષેત્રમાં કોઈપણ વિકાસકર્તાને પ્રશ્ન છે: આ આશાસ્પદ મેટ્રિસિસ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે? કેટલીકવાર જવાબ શોધવો ખૂબ જ મુશ્કેલ હોય છે અને, જેમ કે સામાન્ય રીતે થાય છે, મોટાભાગના વિકાસકર્તાઓ અધવચ્ચેથી કાર્ય છોડી દે છે.

આ સમસ્યાનો ઉકેલ નથી! ચાલો તેને સાથે મળીને આકૃતિ કરીએ!

ચાલો વ્યવહારિક પૂર્વગ્રહ સાથે વાસ્તવિક બનીએ અને એક પરીક્ષણ વિષય તરીકે લઈએ ઓપનજીએલ સંસ્કરણો 3.3. આ સંસ્કરણથી શરૂ કરીને, દરેક વિકાસકર્તાએ સ્વતંત્ર રીતે મોડ્યુલનો અમલ કરવો જરૂરી છે મેટ્રિક્સ કામગીરી. સરસ, આ આપણને જોઈએ છે. ચાલો આપણા મુશ્કેલ કાર્યને વિઘટિત કરીએ અને મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરીએ. ઓપનજીએલ સ્પષ્ટીકરણમાંથી કેટલાક તથ્યો:

• મેટ્રિસિસ કૉલમ્સમાં સંગ્રહિત થાય છે (કૉલમ-મેજર);
• સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ;
• કેનોનિકલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV) ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમમાં.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ સંખ્યાબંધ સાથે ખૂબ જ મુશ્કેલ સિસ્ટમ નથી સરળ નિયમોપરંપરાગત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેનાથી વિપરીત. સજાતીય સંકલન એ પરિમાણનું પંક્તિ મેટ્રિક્સ છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટને સજાતીય કોઓર્ડિનેટમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે x, yઅને zકોઈપણ વડે ગુણાકાર કરો વાસ્તવિક સંખ્યા ડબલ્યુ(0 સિવાય). આગળ, તમારે પ્રથમ ત્રણ ઘટકોમાં પરિણામ લખવાની જરૂર છે, અને છેલ્લો ઘટક ગુણક સમાન હશે. ડબલ્યુ. બીજા શબ્દો માં:
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ
ડબલ્યુ- વાસ્તવિક સંખ્યા 0 ની બરાબર નથી

- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ

થોડી યુક્તિ: જો ડબલ્યુએક સમાન છે, તો પછી અનુવાદ માટે જરૂરી છે તે ઘટકોને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે છે x, yઅને zઅને છેલ્લા ઘટકને એક સોંપો. એટલે કે, એક પંક્તિ મેટ્રિક્સ મેળવો:

શૂન્ય ગુણવત્તા વિશે થોડાક શબ્દો ડબલ્યુ. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના દૃષ્ટિકોણથી, આ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ તમને પોઈન્ટ અને વેક્ટર વચ્ચે તફાવત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આવા વિભાજન અશક્ય છે.

- બિંદુ જ્યાં ( x, y, z) - કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ

- વેક્ટર, જ્યાં ( x, y, z) – ત્રિજ્યા વેક્ટર

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં શિરોબિંદુનું વિપરીત અનુવાદ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. પંક્તિ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોને છેલ્લા ઘટક દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. બીજા શબ્દો માં:

- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ

તમારે જે મુખ્ય વસ્તુ જાણવાની જરૂર છે તે એ છે કે તમામ ઓપનજીએલ ક્લિપિંગ અને રાસ્ટરાઇઝેશન એલ્ગોરિધમ્સ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કામ કરે છે, પરંતુ તે પહેલાં, તમામ રૂપાંતરણ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં કરવામાં આવે છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ હાર્ડવેરમાં હાથ ધરવામાં આવે છે.

કેનોનિકલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV) એ OpenGL ના સૌથી ઓછા દસ્તાવેજીકૃત ભાગોમાંનું એક છે. ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 1 CVV એ અક્ષ-સંરેખિત ઘન છે જે મૂળ પર કેન્દ્રિત છે અને તેની ધારની લંબાઈ બે જેટલી છે. CVV વિસ્તારની અંદર આવતી દરેક વસ્તુ રાસ્ટરાઇઝેશનને આધીન છે, CVVની બહારની દરેક વસ્તુને અવગણવામાં આવે છે. જે પણ આંશિક રીતે CVV ની બહાર આવે છે તે કાપણી અલ્ગોરિધમ્સને આધીન છે. તમારે જાણવાની સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ડાબા હાથની છે!

ચોખા. 1. કેનોનિકલ ઓપનજીએલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV)

ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમ? આ કેવી રીતે હોઈ શકે, કારણ કે OpenGL 1.0 માટે સ્પષ્ટીકરણ સ્પષ્ટપણે જણાવે છે કે ઉપયોગમાં લેવાતી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જમણેરી છે? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

ચોખા. 2. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ

ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 2 સંકલન પ્રણાલીઓ ફક્ત ધરીની દિશામાં અલગ પડે છે ઝેડ. ઓપનજીએલ 1.0 જમણા હાથની વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને યુઝર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બે સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે. તદુપરાંત, સંસ્કરણ 3.3 મુજબ, હવે આવી વસ્તુ નથી પ્રમાણભૂત સિસ્ટમઓપનજીએલ કોઓર્ડિનેટ્સ. અગાઉ જણાવ્યા મુજબ, પ્રોગ્રામર પોતે મેટ્રિક્સ ઓપરેશન મોડ્યુલનો અમલ કરે છે. પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સની રચના, પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સની રચના, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની શોધ, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર છે ન્યૂનતમ સેટમેટ્રિક્સ ઓપરેશન્સ મોડ્યુલમાં સમાવિષ્ટ કામગીરી. બે તાર્કિક પ્રશ્નો ઉભા થાય છે. જો દૃશ્યતા વોલ્યુમ બે સમાન ધારની લંબાઈ ધરાવતું ક્યુબ છે, તો પછી સ્ક્રીન પર એક દ્રશ્ય કેટલાંક હજાર કદનું શા માટે દેખાય છે? વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કયા સમયે CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે? પ્રોજેક્શન મેટ્રિસીસ ચોક્કસ એન્ટિટી છે જે આ મુદ્દાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે.

ઉપરોક્તનો મુખ્ય વિચાર એ છે કે વિકાસકર્તા પોતે વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો પ્રકાર પસંદ કરવા માટે સ્વતંત્ર છે અને તેણે પ્રોજેક્શન મેટ્રિસિસનું યોગ્ય રીતે વર્ણન કરવું જોઈએ. આ OpenGL વિશેના તથ્યોને પૂર્ણ કરે છે અને બધું એકસાથે મૂકવાનો સમય છે.

પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સ એ સૌથી સામાન્ય અને સમજવામાં મુશ્કેલ છે. તો તે CVV અને વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? નિરીક્ષકથી તેમનું અંતર વધવાથી વસ્તુઓ શા માટે નાની થતી જાય છે? અંતર વધવાથી વસ્તુઓ કેમ નાની થતી જાય છે તે સમજવા માટે, ચાલો મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન જોઈએ ત્રિ-પરિમાણીય મોડેલઉત્તરોત્તર. તે કોઈ રહસ્ય નથી કે કોઈપણ ત્રિ-પરિમાણીય મોડેલમાં શિરોબિંદુઓની મર્યાદિત સૂચિ હોય છે જે એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર રીતે મેટ્રિક્સ પરિવર્તનમાંથી પસાર થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય મોનિટર સ્ક્રીન પર ત્રિ-પરિમાણીય શિરોબિંદુના સંકલનને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટને સજાતીય કોઓર્ડિનેટમાં કન્વર્ટ કરો;
2. મોડલ મેટ્રિક્સ દ્વારા સજાતીય સંકલનનો ગુણાકાર કરો;
3. પરિણામ દૃશ્ય મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
4. પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરો;
5. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી પરિણામને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કન્વર્ટ કરો.

હવે ચાલો ત્રીજા સ્ટેપ પર આગળ વધીએ. આ તે છે જ્યાં દૃશ્ય જગ્યા રમતમાં આવે છે. આ અવકાશમાં, કોઓર્ડિનેટ્સને નિરીક્ષકની સ્થિતિ અને દિશાના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે જાણે કે તે વિશ્વનું કેન્દ્ર હોય. વ્યુ સ્પેસ એ વિશ્વ અવકાશની તુલનામાં સ્થાનિક છે, તેથી તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરવા આવશ્યક છે (અને અગાઉના કેસની જેમ બહાર કાઢવામાં આવ્યાં નથી). પ્રત્યક્ષ મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનઅમુક જગ્યામાંથી કોઓર્ડિનેટ્સ દૂર કરે છે. ક્રમમાં, તેનાથી વિપરિત, તેમને તેમાં દાખલ કરવા માટે, મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનને ઉલટાવવું જરૂરી છે, તેથી ટાઇપ ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ કેવી રીતે મેળવવું? પ્રથમ, ચાલો ડાયરેક્ટ ઓબ્ઝર્વર મેટ્રિક્સ મેળવીએ. નિરીક્ષકનું શું લક્ષણ છે? નિરીક્ષકનું વર્ણન કોઓર્ડિનેટ કે જેમાં તે સ્થિત છે અને જોવાની દિશા વેક્ટર દ્વારા કરવામાં આવે છે. નિરીક્ષક હંમેશા તેની સ્થાનિક ધરીની દિશામાં જુએ છે ઝેડ. નિરીક્ષક દ્રશ્યની આસપાસ ફરી શકે છે અને વળાંક લઈ શકે છે. ઘણી રીતે, આ મોડેલ મેટ્રિક્સના અર્થ જેવું લાગે છે. મોટા ભાગે, તે આ રીતે છે. જો કે, નિરીક્ષક માટે, સ્કેલિંગ ઓપરેશન અર્થહીન છે, તેથી, નિરીક્ષકના મોડેલ મેટ્રિક્સ અને મોડેલ મેટ્રિક્સ વચ્ચે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થતમે સમાન ચિહ્ન મૂકી શકતા નથી. નિરીક્ષકનું મોડેલ મેટ્રિક્સ ઇચ્છિત ડાયરેક્ટ મેટ્રિક્સ છે. આ મેટ્રિક્સને ઊંધું કરીને, આપણે વ્યુ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. વ્યવહારમાં, આનો અર્થ એ છે કે વૈશ્વિક સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના તમામ શિરોબિંદુઓ નિરીક્ષકની તુલનામાં નવા સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રાપ્ત કરશે. તદનુસાર, જો નિરીક્ષકે ચોક્કસ શિરોબિંદુ જોયું, તો સજાતીય સંકલનનું મૂલ્ય zદૃશ્ય જગ્યામાં આપેલ શિરોબિંદુ ચોક્કસપણે હશે હકારાત્મક સંખ્યા. જો શિરોબિંદુ નિરીક્ષકની પાછળ હતું, તો તેના સજાતીય સંકલનનું મૂલ્ય zદૃશ્ય જગ્યામાં ચોક્કસપણે નકારાત્મક સંખ્યા હશે.

પગલું ચાર સૌથી વધુ છે રસપ્રદ પગલું. અગાઉના પગલાઓની આટલી વિગતવાર ચર્ચા જાણી જોઈને કરવામાં આવી છે કે જેથી વાચકને મળે સંપૂર્ણ ચિત્રચોથા પગલાના તમામ ઓપરેન્ડ વિશે. ચોથા પગલા પર, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ વ્યુ સ્પેસમાંથી CVV જગ્યામાં ટ્રાન્સફર થાય છે. ફરી એકવાર, હકીકત પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે તમામ સંભવિત દૃશ્યમાન શિરોબિંદુઓ હશે હકારાત્મક મૂલ્યસજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ z.

ફોર્મના મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો:

અને નિરીક્ષકની સજાતીય જગ્યામાં એક બિંદુ:

ચાલો પ્રશ્નમાં મેટ્રિક્સ દ્વારા સજાતીય સંકલનનો ગુણાકાર કરીએ:

ચાલો પરિણામી સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો કહીએ કે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વ્યુ સ્પેસમાં બે બિંદુઓ છે xઅને y, પરંતુ વિવિધ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે z. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક બિંદુ બીજાની પાછળ છે. પરિપ્રેક્ષ્ય વિકૃતિને લીધે, નિરીક્ષકે બંને બિંદુઓ જોવું આવશ્યક છે. ખરેખર, તે સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે સંકલન દ્વારા વિભાજનને કારણે z, સંકોચન મૂળ બિંદુ પર થાય છે. કેવી રીતે વધુ મૂલ્ય z(બિંદુ જેટલું આગળ નિરીક્ષક તરફથી છે), સંકોચન વધુ મજબૂત. આ પરિપ્રેક્ષ્ય અસર માટે સમજૂતી છે.

ઓપનજીએલ સ્પષ્ટીકરણ જણાવે છે કે ક્લિપિંગ અને રાસ્ટરાઇઝેશન ઓપરેશન્સ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કરવામાં આવે છે, અને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયા આપમેળે કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ (1) એ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ મેટ્રિક્સ માટેનો નમૂનો છે. અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સના કાર્યમાં બે મુદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે: વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સેટ કરવી (ડાબે હાથે અથવા જમણે હાથે), નિરીક્ષકની દૃશ્યતા વોલ્યુમને CVV માં સ્થાનાંતરિત કરવું. ચાલો ડાબા હાથની વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય મેટ્રિક્સ મેળવીએ.

પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સનું વર્ણન ચાર પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે (ફિગ. 3):

• રેડિયનમાં જોવાનો ખૂણો ( fovy);
• પાસા ગુણોત્તર ( પાસું);
• નજીકના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર ( n);
• દૂરના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર ( f).

ચાલો દૃશ્યતાના પરિપ્રેક્ષ્ય વોલ્યુમના કટઓફની આગળની ધાર પર નિરીક્ષકની જગ્યામાં એક બિંદુના પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લઈએ. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ફિગમાં. 4 બાજુનું દૃશ્ય બતાવે છે. તે પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે સુસંગત છે, એટલે કે, ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ દરેક જગ્યાએ થાય છે.

ચોખા. 4. એક મનસ્વી બિંદુ પ્રોજેક્ટિંગ

ગુણધર્મો પર આધારિત છે સમાન ત્રિકોણનીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:

ચાલો yꞌ અને xꞌ વ્યક્ત કરીએ:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, અભિવ્યક્તિઓ (2) પ્રક્ષેપણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવા માટે પૂરતા છે. જો કે, ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓને યોગ્ય રીતે સ્ક્રીન કરવા માટે, તમારે દરેક ટુકડાની ઊંડાઈ જાણવાની જરૂર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટકનું મૂલ્ય સંગ્રહિત કરવું જરૂરી છે z. આ OpenGL ઊંડાઈ પરીક્ષણો માટે વપરાતું મૂલ્ય છે. ફિગ માં. 3 તે સ્પષ્ટ છે કે મૂલ્ય zꞌટુકડા ઊંડાઈ તરીકે યોગ્ય નથી, કારણ કે તમામ બિંદુ અંદાજો કરી શકે છે સમાન મૂલ્ય zꞌ. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ કહેવાતા સ્યુડો-ઊંડાઈનો ઉપયોગ કરવાનો છે.

સ્યુડો-ડેપ્થ ગુણધર્મો:

1. સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્યના આધારે ગણવામાં આવે છે z;
2. બિંદુ નિરીક્ષકની જેટલી નજીક છે, સ્યુડોડેપ્થનું મૂલ્ય ઓછું છે;
3. દૃશ્યતા વોલ્યુમના આગળના પ્લેન પર પડેલા તમામ બિંદુઓ -1 નું સ્યુડો-ઊંડાઈ મૂલ્ય ધરાવે છે;
4. દૃશ્યતા વોલ્યુમના દૂરના કટીંગ પ્લેન પર પડેલા તમામ બિંદુઓનું સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્ય 1 છે;
5. દૃશ્યતા વોલ્યુમની અંદર પડેલા તમામ ટુકડાઓ [-1 1] શ્રેણીમાં સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્ય ધરાવે છે.

મતભેદ aઅને bગણતરી કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે સ્યુડો-ડેપ્થ 3 અને 4 ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

ચાલો સિસ્ટમના બંને ભાગો ઉમેરીએ અને પરિણામને ઉત્પાદન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ fn, જેમાં fઅને nશૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. અમને મળે છે:

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ જેથી માત્ર સાથેનો ભાગ હોય એ, અને માત્ર સાથે જમણી બાજુએ b:

ચાલો (6) ને (5) માં બદલીએ. ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો -2fn, જેમાં fઅને nશૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. ચાલો સમાન રજૂ કરીએ, શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ અને વ્યક્ત કરીએ b:

ચાલો (7) ને (6) માં બદલીએ અને વ્યક્ત કરીએ a:

તદનુસાર ઘટકો aઅને bસમાન છે:

ચાલો હવે મેળવેલા ગુણાંકને વર્કપીસ મેટ્રિક્સ (1) માં બદલીએ અને જોઈએ કે કોઓર્ડિનેટનું શું થાય છે zનિરીક્ષકની સજાતીય જગ્યામાં મનસ્વી બિંદુ માટે. અવેજી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

ફ્રન્ટ કટીંગ પ્લેન માટે અંતર દો n 2 બરાબર છે, અને દૂરના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર f 10 બરાબર છે. નિરીક્ષકની સજાતીય જગ્યામાં પાંચ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો:

ડોટ	અર્થ	વર્ણન
1	1	બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમના આગળના ક્લિપિંગ પ્લેનની સામે સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન પસાર કરતું નથી.
2	2	બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની આગળની ધાર પર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ.
3	5	બિંદુ આગળની ક્લિપિંગ ધાર અને દૃશ્યતા વોલ્યુમની દૂરની ક્લિપિંગ ધારની વચ્ચે સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ.
4	10	બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની દૂરની ધાર પર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ.
5	20	બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની દૂરની ધારની બહાર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન પસાર કરતું નથી.

ચાલો બધા બિંદુઓને મેટ્રિક્સ (8) વડે ગુણાકાર કરીએ, અને પછી પરિણામી સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને માં રૂપાંતરિત કરીએ. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ . આ કરવા માટે, આપણે નવા સજાતીય ઘટકોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અને .
પોઈન્ટ 1:

તેની નોંધ કરો સજાતીય સંકલન CVV માં એકદમ યોગ્ય રીતે સ્થિત છે, અને સૌથી અગત્યનું, OpenGL ડેપ્થ ટેસ્ટ હવે શક્ય છે, કારણ કે સ્યુડો-ડેપ્થ ટેસ્ટની જરૂરિયાતોને પૂર્ણપણે સંતોષે છે.

સંકલન સાથે zઅમે તેને શોધી કાઢ્યું, ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ પર આગળ વધીએ xઅને y. અગાઉ કહ્યું તેમ, બધા આશાસ્પદ વોલ્યુમદૃશ્યતા CVV માં ફિટ હોવી જોઈએ. CVV ધારની લંબાઈ બે છે. તદનુસાર, દૃશ્યતાના પરિપ્રેક્ષ્ય વોલ્યુમની ઊંચાઈ અને પહોળાઈને બે પરંપરાગત એકમોમાં સંકુચિત કરવી આવશ્યક છે.

અમારી પાસે અમારા નિકાલ પર એક ખૂણો છે fovyઅને તીવ્રતા પાસું. ચાલો આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ અને પહોળાઈને વ્યક્ત કરીએ.

ચોખા. 5. દૃશ્યતા વોલ્યુમ

ફિગમાંથી. 5 તે સ્પષ્ટ છે કે:

હવે અમે CVV OpenGL સાથે કામ કરતી વૈવિધ્યપૂર્ણ ડાબા હાથની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સનું અંતિમ દૃશ્ય મેળવી શકીએ છીએ:

આ મેટ્રિસીસની વ્યુત્પત્તિને પૂર્ણ કરે છે.

ડાયરેક્ટએક્સ વિશે થોડાક શબ્દો - ઓપનજીએલના મુખ્ય હરીફ. ડાયરેક્ટએક્સ ઓપનજીએલથી ફક્ત CVV અને તેની સ્થિતિના પરિમાણોમાં અલગ છે. ડાયરેક્ટએક્સ સીવીવીમાં છે ક્યુબોઇડઅક્ષીય લંબાઈ સાથે xઅને yબે બરાબર અને ધરી સાથે zલંબાઈ એક સમાન છે. શ્રેણી xઅને yછે [-1 1], અને શ્રેણી zસમાન સીવીવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે, ડાયરેક્ટએક્સ, ઓપનજીએલની જેમ, ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે.

ઉપાડ માટે આશાસ્પદ મેટ્રિસિસવૈવિધ્યપૂર્ણ જમણા હાથની સંકલન સિસ્ટમ માટે, તમારે આકૃતિ ફરીથી દોરવાની જરૂર છે. 2, ફિગ. 3 અને ફિગ. 4 નવી ધરીની દિશાને ધ્યાનમાં લેતા ઝેડ. આગળની ગણતરીઓ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, સાઇન સુધી. ડાયરેક્ટએક્સ મેટ્રિસિસ માટે, સ્યુડો-ડેપ્થ પ્રોપર્ટીઝ 3 અને 4 શ્રેણીને અનુરૂપ ફેરફાર કરવામાં આવે છે.

આ બિંદુએ, આશાસ્પદ મેટ્રિસિસનો વિષય બંધ ગણી શકાય.

કેન્દ્રીય અંદાજોમાં, ચિત્રના પ્લેનની સમાંતર, પ્રદર્શિત ઑબ્જેક્ટની કિનારીઓ, આકારના વિકૃતિ વિના, પરંતુ કદના વિકૃતિ સાથે દર્શાવવામાં આવે છે.

આકૃતિ 24 ઘનનું કેન્દ્રિય અંદાજો: a) એક-બિંદુ, b) બે-બિંદુ, c) ત્રણ-બિંદુ.

સમાંતર રેખાઓના કોઈપણ સમૂહના કેન્દ્રિય અંદાજો કે જે ચિત્રના સમતલની સમાંતર નથી અદ્રશ્ય થતું બિંદુ. સંકલન અક્ષોમાંથી એકની સમાંતર રેખાઓના અદ્રશ્ય બિંદુને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુ. કારણ કે ત્યાં ત્રણ સંકલન અક્ષો છે, પછી ત્રણ મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુઓથી વધુ ન હોઈ શકે.

કોઓર્ડિનેટ અક્ષો અને ચિત્ર વિમાનના સ્થાનના આધારે, ત્યાં એક-, બે- અને ત્રણ-બિંદુ છે. કેન્દ્રીય અંદાજો.

એક બિંદુપ્રક્ષેપણ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ચિત્ર પ્લેન સંકલન પ્લેનમાંથી એક સાથે એકરુપ હોય (અથવા તેની સમાંતર હોય). એટલે કે, માત્ર એક સંકલન અક્ષ ચિત્રના સમતલની સમાંતર નથી અને મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુ ધરાવે છે.

પોઈન્ટ ટુ પોઈન્ટપ્રક્ષેપણ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે માત્ર એક સંકલન અક્ષ ચિત્રના સમતલની સમાંતર હોય છે. અન્ય બે સંકલન અક્ષો ચિત્રના સમતલની સમાંતર નથી અને તેમાં બે મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુઓ છે. પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિત વસ્તુઓનું નિરૂપણ કરતી વખતે, બે-બિંદુના પ્રક્ષેપણનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે, જેમાં ચિત્રનું વિમાન સમાંતર હોય છે. ઊભી અક્ષસંકલન બંને મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુઓ સમાન પર સ્થિત છે આડી રેખા– ક્ષિતિજ રેખાઓ (ફિગ. 6.5). મુ ત્રણ બિંદુપ્રક્ષેપણ, ત્રણેય સંકલન અક્ષો ચિત્ર સમતલની સમાંતર નથી અને તેથી, ત્રણ મુખ્ય અદ્રશ્ય બિંદુઓ છે.

ચાલો બિંદુના સિંગલ-પોઇન્ટ પ્રક્ષેપણના કિસ્સામાં વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ આરપ્લેન માટે z= પ્રોજેક્શન સેન્ટર સાથે 0 સાથે, ધરી પર પડેલો z(ફિગ. 25).

ડોટ એતરીકે સ્ક્રીન પર પ્રક્ષેપિત એ નિરીક્ષકથી પ્રક્ષેપણ પ્લેન સુધીનું અંતર k છે. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે એ સ્ક્રીન પર. ચાલો તેમને સૂચિત કરીએ x e અને yઇ. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી એ y એ z એનઅને y ઉહ ચાલુઅમે તે શોધીએ છીએ

(x.9)

એ જ રીતે x માટે:

.

(x.10)

ચોખા. 25. કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ સૂત્રોની વ્યુત્પત્તિ.

ચોખા. 26. કેન્દ્રીય પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણમાં બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવાની બીજી રીત. એન= (0,0,-યાદ કરો કે k એ અંતર છે, અને નિરીક્ષક બિંદુ પર છે k a). જો અવલોકન બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર અને પ્રક્ષેપણ પ્લેન અંતર પર મૂકવામાં આવે છે x ઉહ, આકૃતિ 26 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, પછી માટેના સૂત્રો

,
અને y ફોર્મ લેશે:

(x.11)

ફોર્મ્યુલા (x.10) વધુ અનુકૂળ હોય છે જ્યારે નિરીક્ષકને પ્રોજેક્શન પ્લેનથી નજીક અથવા આગળ ખસેડવું જરૂરી હોય. વધારાની કામગીરીની ગેરહાજરીને કારણે સૂત્રો (x.11)ને ગણતરી માટે ઓછો સમય જરૂરી છે. a, b, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો ( c a/ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો (, b/ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો (). જો આપણે આ બિંદુને દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બિંદુની સજાતીય રજૂઆત તરીકે કલ્પના કરીએ, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે ( a, b, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો (). કેન્દ્રીય પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ માટે મેળવેલા બીજા પ્રકારના સૂત્રો સાથે આ કોઓર્ડિનેટ્સની સરખામણી કરતા, એ નોંધવું સરળ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુની દ્વિ-પરિમાણીય રજૂઆત ( z) પ્લેન પર તેના પ્રક્ષેપણ જેવો દેખાય છે

= 1, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 27. a, b, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો (ચોખા. 27. બિંદુનું પ્રક્ષેપણ (

) પ્લેન z = 1 સુધી. ડબલ્યુએ જ રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર માટે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લેતા, એક હાઇપરપ્લેન પર ચાર-પરિમાણીય જગ્યાના પ્રક્ષેપણ તરીકે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશને રજૂ કરી શકે છે. x, y, z)(= 1 જો (, wx, wy, ડબલ્યુ) = (x, y, z, 1). .

wz

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, કેન્દ્રીય પરિપ્રેક્ષ્યનું પરિવર્તન મેટ્રિક્સ ઓપરેશન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. આ મેટ્રિક્સ આ રીતે લખાયેલ છે: ચાલો બતાવીએ કે આ મેટ્રિક્સ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉલ્લેખિત ઑબ્જેક્ટ બિંદુનું પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણના બિંદુમાં રૂપાંતર નક્કી કરે છે. દો= (x, y, zપી ) - ચીંધવુંત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા . તેની સજાતીય રજૂઆત= (= 1 જો (, wx, wy, ડબલ્યુવિ ). v વડે ગુણાકાર કરો:

પી

આ કેન્દ્રીય પરિપ્રેક્ષ્ય માટે મેળવેલા સૂત્રો (x.10)નું બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે.

બનાવવા માટે સ્ટીરિયો છબીઓબે કેન્દ્રીય અંદાજોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેનાં કેન્દ્રો કાલ્પનિક નિરીક્ષકની આંખોના સ્થાન સાથે સુસંગત છે, એટલે કે. તેઓ ચિત્ર વિમાનની સમાંતર સીધી રેખા પર એકબીજાથી અમુક અંતરે સ્થિત છે. પ્રક્ષેપણ પૂર્ણ થયા પછી, ઑબ્જેક્ટની બે છબીઓ મેળવવામાં આવે છે - ડાબી અને જમણી આંખો માટે. આઉટપુટ ઉપકરણએ આ છબીઓ વપરાશકર્તાની દરેક આંખને અલગથી પ્રદાન કરવી આવશ્યક છે. આ હેતુ માટે, રંગ અથવા ધ્રુવીકરણ ફિલ્ટર્સની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વધુ જટિલ આઉટપુટ ઉપકરણો (જેમ કે હેલ્મેટ) દરેક છબીને દરેક આંખ માટે અલગ સ્ક્રીનમાં રજૂ કરે છે.

ઉપર ચર્ચા કરેલ તમામ અંદાજો સપાટ ભૌમિતિક અંદાજોના વર્ગના છે, કારણ કે પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર કરવામાં આવે છે (વક્ર સપાટીને બદલે) અને સીધી રેખાઓના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને (વળાંકને બદલે). અંદાજોનો આ વર્ગ મોટેભાગે ઉપયોગમાં લેવાય છે કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ. તેનાથી વિપરીત, કાર્ટોગ્રાફી ઘણીવાર નોન-પ્લાનર અથવા નોન-ભૌમિતિક અંદાજોનો ઉપયોગ કરે છે.

અગાઉના વિભાગમાં પ્રસ્તાવિત પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણના પ્રકારો બિનમાહિતીભર્યા હતા, કારણ કે તમામ કિસ્સાઓમાં દરેક પ્રક્ષેપણ કેન્દ્રમાંથી ક્યુબનો માત્ર એક ચહેરો જ દેખાતો હતો. નિરીક્ષક માત્ર એક જ દૃશ્યના આધારે ઑબ્જેક્ટના ત્રિ-પરિમાણીય આકારને સમજવા માટે, તે ઑબ્જેક્ટના ઘણા ચહેરાઓ દૃશ્યમાન હોવા જોઈએ. ક્યુબ જેવી સરળ વસ્તુઓ માટે, ઓછામાં ઓછા ત્રણ ચહેરાઓ દૃશ્યમાન હોવા જોઈએ. એક નિશ્ચિત કેન્દ્ર અને પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણથી બહુવિધ ચહેરાઓ સાથેનું દૃશ્ય મેળવી શકાય છે, દિશાને લંબરૂપનજર, જો ઑબ્જેક્ટ અગાઉ સ્થાનાંતરિત અને/અથવા ફેરવવામાં આવી હોય. પછી વાસ્તવિક દૃશ્ય પ્રાપ્ત થાય છે, સિવાય કે પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર ઑબ્જેક્ટની ખૂબ નજીક હોય.

ચોખા. 3-31 ત્રણ-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય, (a) મૂળ સમઘન; (b) પ્લેન પર પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ; (c) વિકૃત ક્યુબ.

પ્રથમ, ચાલો એક પ્લેન પર એક-બિંદુ પ્રક્ષેપણ દ્વારા અને બિંદુ પર પ્રક્ષેપણના કેન્દ્ર સાથે ઑબ્જેક્ટના સરળ સ્થાનાંતરણને ધ્યાનમાં લઈએ. જરૂરી રૂપાંતરણ ફોર્મમાં લખાયેલું છે

, (3-59)

ચોખા. 3-32 , દિશાઓમાં અનુવાદ સાથે સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ.

ફિગ સાથે સમીકરણ (3-59). 3-32 દિશાઓમાં તે અનુવાદ દર્શાવે છે અને ઑબ્જેક્ટના વધારાના ચહેરા ખોલે છે. આ બંને દિશાઓમાં અનુવાદ સરળ ઘન આકારની વસ્તુના ત્રણ ચહેરાને ઉજાગર કરવા માટે જરૂરી છે. ફિગ માં. આકૃતિ 3-32 એક સીધી રેખા અને સિંગલ-પોઇન્ટ પ્રક્ષેપણ સાથે મૂળની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રિત સમઘનને પ્લેન પર સ્થાનાંતરિત કરવાના પરિણામો દર્શાવે છે. નોંધ કરો કે આગળના ચહેરા માટે સાચું કદઅને આકાર.

સમીકરણ (3-59) એ પણ દર્શાવે છે કે ધરી સાથે ટ્રાન્સફર, એટલે કે. પ્રક્ષેપણના કેન્દ્ર તરફ અથવા તેનાથી દૂર, સ્કેલમાં સ્પષ્ટ ફેરફારમાં પરિણમે છે (તત્વને કારણે). આ અસર ભૌતિક વાસ્તવિકતાને અનુરૂપ છે, કારણ કે નિરીક્ષકથી આગળ સ્થિત વસ્તુઓ નાની દેખાય છે. નોંધ કરો કે જેમ જેમ પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર અનંતની નજીક આવે છે, સ્કેલિંગની ઘટના અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ અસર ફિગમાં યોજનાકીય રીતે બતાવવામાં આવી છે. 3-33. આ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ઑબ્જેક્ટ પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રની બંને બાજુએ હોઈ શકે છે. જો ઑબ્જેક્ટ અને પ્રોજેક્શન પ્લેન કેન્દ્રની સમાન બાજુ પર હોય, તો પછી, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 3-33, સીધી છબી પ્રાપ્ત થાય છે. જો ઑબ્જેક્ટ અને પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે હોય વિવિધ બાજુઓકેન્દ્રમાંથી, ઊંધી છબી પ્રાપ્ત થાય છે.

ચોખા. 3-33 સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ માટે અક્ષ સાથે આગળ વધતી વખતે સ્કેલિંગ અસર.

ફિગ માં. આકૃતિ 3-34 ઑબ્જેક્ટને ત્રણેય દિશામાં ખસેડવાના પરિણામો દર્શાવે છે. અહીં ક્યુબ ત્રિ-પરિમાણીય રેખા સાથે થી તરફ આગળ વધે છે. કદમાં સ્પષ્ટ વધારો નોંધનીય છે, અને તમામ પ્રકારોમાં જાળવણી નોંધપાત્ર છે સાચું સ્વરૂપ, પરંતુ આગળના ચહેરાનું કદ નહીં.

આ વિચારો ઉદાહરણમાં વધુ વિગતવાર દર્શાવેલ છે.

જો તમે ઑબ્જેક્ટ રોટેશનનો ઉપયોગ કરો છો તો કેટલીક કિનારીઓ પણ દેખાશે. એક પરિભ્રમણ ઑબ્જેક્ટના ઓછામાં ઓછા બે ચહેરાઓ જાહેર કરશે, જ્યારે વિવિધ અક્ષોની આસપાસ બે અથવા વધુ પરિભ્રમણ ઓછામાં ઓછા ત્રણ ચહેરાઓ જાહેર કરશે.

કોણ દ્વારા ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ અને અનુગામી સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર સાથે પ્લેન પર:

. (3-60)

એ જ રીતે, એક બિંદુ પર પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર સાથેના પ્લેન પર કોણ અને અનુગામી સિંગલ-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ દ્વારા ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ માટેના રૂપાંતર મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે:

. (3-61)

બંને સમીકરણોમાં (3-60) અને (3-61), રૂપાંતરણ મેટ્રિક્સના ચોથા સ્તંભમાં પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન (પરિપ્રેક્ષ્ય) માટે જવાબદાર બે ઘટકો શૂન્યની બરાબર નથી. તો એક વળે મુખ્ય ધરી, તેના માટે લંબરૂપઅક્ષ કે જેના પર પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર આવેલું છે તે બે-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તનની સમકક્ષ છે. જ્યારે પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર સ્થિત છે તે ધરીની આસપાસ ફરતી વખતે, આવી કોઈ અસર થતી નથી. નોંધ કરો કે એક પરિભ્રમણ માટે, પરિભ્રમણ અક્ષ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય તત્વ યથાવત રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો (3-60) અને (3-61) માં, તત્વો અને અનુક્રમે શૂન્ય સમાન છે.

IN સામાન્ય કેસમુખ્ય ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ પર્યાપ્ત ત્રિ-પરિમાણીય રજૂઆત માટે જરૂરી ચહેરાઓની સંખ્યાને જાહેર કરતું નથી - ઓછામાં ઓછા ત્રણ. આ કરવા માટે, તેને ધરી સાથે ચળવળ સાથે જોડવું આવશ્યક છે. આગલું ઉદાહરણઆ સમજાવે છે.

ચાલો સમાંતર અક્ષો અને અક્ષ પર પડેલા અદ્રશ્ય બિંદુઓ માટે સીધી રેખાઓના સંપાતની નોંધ લઈએ.

એ જ રીતે, ત્રણ-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન બે કે તેથી વધુ મુખ્ય અક્ષોને ફેરવીને અને પછી એક-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન દ્વારા કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધરીની ફરતે પરિભ્રમણ, પછી ધરીની ફરતે પરિભ્રમણ અને બિંદુ પરના પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર સાથેના પ્લેન પર પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ નીચેના રૂપાંતરણ મેટ્રિક્સ ધરાવે છે

.

પરિણામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 3-36.

ચોખા. 3-36 બે અક્ષોની આસપાસ પરિભ્રમણ સાથે ત્રણ-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ.

આ પરિણામો પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે મુખ્ય અક્ષોની આસપાસ અને તેની સાથે પરિભ્રમણ અને અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને એક-, બે- અથવા ત્રણ-બિંદુ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તનનું નિર્માણ કરી શકાય છે, ત્યારબાદ પ્રક્ષેપણના કેન્દ્ર સાથે સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન દ્વારા મુખ્ય અક્ષોમાંથી એક. આ પરિણામો અવકાશમાં મનસ્વી અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે પણ માન્ય છે. તેથી, જ્યારે ઉપયોગમાં લેવાય છે ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમપ્રક્ષેપણના નિશ્ચિત કેન્દ્ર અને મેનિપ્યુલેટેડ ઑબ્જેક્ટ સાથેના દાખલાઓ, અક્ષ પર પ્રક્ષેપણના કેન્દ્ર સાથે પ્લેન પર માત્ર સિંગલ-પોઇન્ટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણના નિર્માણની ખાતરી કરવી જરૂરી છે.

પરિપ્રેક્ષ્ય અંદાજો

સપાટ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ અવલોકન બિંદુની સ્થિતિ અને તેમાંથી પ્રક્ષેપણ પ્લેન (ડી) સુધીના અંતર દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. અવલોકન બિંદુની સ્થિતિ વેક્ટર તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે વી, અવલોકન બિંદુ અને ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીના મૂળને જોડે છે જેમાંથી પ્રક્ષેપણ કરવામાં આવે છે. ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલી જેમાંથી પ્રક્ષેપણ કરવામાં આવે છે તેને વિશ્વ સંકલન પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે.

વેક્ટર વીબેમાંથી એક સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે (ફિગ. 6.2-1):

1) સી ધ્રુવીય સિસ્ટમપરિમાણો દ્વારા સંકલન:

આર-વેક્ટર મોડ્યુલસ વી;

Q - વચ્ચેનો કોણ સંકલન અક્ષ X અને વેક્ટર પ્રક્ષેપણ વીવિશ્વ સંકલન પ્રણાલીના XY કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર;

વેક્ટર વચ્ચે જે-કોણ વીઅને વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીની ઝેડ અક્ષ;

2) માં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમવેક્ટર અંદાજો દ્વારા સંકલન કરે છે વીવિશ્વ સંકલન પ્રણાલીના સંકલન અક્ષો સુધી:

V x - વેક્ટર પ્રોજેક્શન વી X ધરી સુધી;

V y - વેક્ટર પ્રોજેક્શન વી X ધરી સુધી;

V z - વેક્ટર પ્રોજેક્શન વી X ધરી સુધી.

ચોખા.6.2 ‑ 1

ગ્રાફિકલ ઑબ્જેક્ટને પ્રોજેક્ટ કરવાનું કાર્ય આખરે પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર ઑબ્જેક્ટના વ્યક્તિગત બિંદુઓના X,Y કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે આવે છે, જે વિશ્વ સંકલન સિસ્ટમમાં ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા શરૂઆતમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

પ્રક્ષેપણ પ્લેન પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનું નિર્ધારણ

ચાલો તેને તોડી નાખીએ સામાન્ય કાર્યબે સંકલન પરિવર્તન સમસ્યાઓ પર પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ:

સંકલન પ્રણાલી જોવા માટે વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીમાંથી પરિવર્તન માટેનું પરિવર્તન

માંથી જવા માટે પરિવર્તનો જાતિ સિસ્ટમપ્રોજેક્શન પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ્સ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ.

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જોવા પર સ્વિચ કરો

વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું છે (ફિગ. 6.2-2).

વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ છે ત્રિ-પરિમાણીય સિસ્ટમસંકલન અક્ષો X in , Y in , Z in , જે આપેલ પ્રક્ષેપણ માટે "અનુકૂળ" છે, એટલે કે. જેમાંથી પ્રોજેક્શન પ્લેન (ઉદાહરણ તરીકે, સ્ક્રીન) પર દ્વિ-પરિમાણીય સિસ્ટમમાં સંક્રમણ સૌથી સરળતાથી હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રકારના પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ માટે, વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનું મૂળ બિંદુ E પર હોવું જોઈએ, તેનો Z અક્ષ પ્રોજેક્શન વેક્ટર સાથે સુસંગત હોવો જોઈએ. વી, તેનો X અક્ષ X અક્ષ e પર પ્રક્ષેપિત થવો જોઈએ, અને તેનો Y અક્ષ Y અક્ષ e પર પ્રક્ષેપિત થવો જોઈએ.

ચોખા.6.2 ‑ 2

તેના આધારે, વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીમાંથી વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ મૂળભૂત પરિવર્તનના નીચેના ક્રમ દ્વારા કરી શકાય છે:

1) વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીનું વેક્ટરમાં સ્થાનાંતરણ વી, જેના પરિણામે બિંદુ E અને સંકલન અક્ષો X 1, Y 1, Z 1 (મેટ્રિક્સ T -1 (-V x, -V y, -V z) દ્વારા અમલમાં મૂકાયેલ) સાથે સંકલન સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થશે. );

2) પરિણામી સિસ્ટમનું પરિભ્રમણ તેના કોઓર્ડિનેટ અક્ષ Z 1 ની સાપેક્ષ ખૂણા (-(90 0 -q)) પર, જેના પરિણામે સંકલન અક્ષ X 2, Y 2, Z 2 સાથેની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થશે (અમલમાં મેટ્રિક્સ R z -1 (-( 90 0 -q) દ્વારા), જેમાં વેક્ટર વીકોઓર્ડિનેટ પ્લેન Y 2, Z 2 માં સ્થિત છે;

3) પરિણામી સિસ્ટમ E, X 1, Y 1, Z 1 નું પરિભ્રમણ તેના સંકલન અક્ષ X 2 ની સાપેક્ષ કોણ (180 0 - j)) દ્વારા, પરિણામે સંકલન અક્ષો X 3, Y 3, Z સાથેની સિસ્ટમમાં પરિણમે છે. 3, જેની શરૂઆત બિંદુ E પર છે, (મેટ્રિક્સ R x -1 (180 0 - j) દ્વારા અમલમાં મૂકાયેલ છે), જેમાં વેક્ટર V Z 3 અક્ષ પર સ્થિત છે;

4) કોઓર્ડિનેટ અક્ષ X 3 ની દિશા બદલવી, જેના પરિણામે ઇચ્છિત વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કોઓર્ડિનેટ અક્ષ X in, Y in, Z in મેળવવામાં આવશે (મેટ્રિક્સ R (-x) દ્વારા અમલમાં મૂકાયેલ છે).

આમ, ચાર મૂળભૂત સંકલન પરિવર્તનોને ધ્યાનમાં લેતા, વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સ્થાનાંતરિત કરવા માટે, મેટ્રિસિસના નીચેના ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે:

વપરાયેલ મેટ્રિસિસનો ઉલ્લેખ કરવા માટે, અમે તેમના તમામ ઘટકોને ત્રિકોણમિતિ વિધેયો sin j, cos j, sin q, cos q દ્વારા રજૂ કરીએ છીએ અને સંકેત દાખલ કરીએ છીએ:

cos j = a ; sin j = b ; cos q = c; sin q = d;

u x = -r bc ; u y = -r bd ; u z =-r a .

આ હેતુ માટે, ચાલો ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિમાં સૂચિબદ્ધ મેટ્રિસિસને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ.

ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ:

T -1 (u x , u y , u z ) = T (-u x , -u y , -u z ).

આ વિચાર કાયદેસર છે, ત્યારથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સવેક્ટરમાં સ્થાનાંતરણ એ વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેક્ટરને ડાયરેક્ટ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે.

રજૂ કરાયેલા સંકેતોને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે હશે:

Z અક્ષ 1 ને સંબંધિત પરિભ્રમણ મેટ્રિસિસ:

R z -1 (-(90 0 -Q))= R z (90 0 -Q),

અને, તે પાપને જોતાં (90 0 -a)= cos a, આપણે લખી શકીએ છીએ:

પરિભ્રમણ મેટ્રિસિસસંકલન અક્ષ X 2 ને સંબંધિત:

R x -1 ((180 0 -j))= R x (-(180 0 -j)) ,

અને, ધ્યાનમાં લેતા કે sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, અમારી પાસે છે:

સંકલન અક્ષની દિશા બદલવા માટેનું મેટ્રિક્સ X 2 આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો વ્યુ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ R ને આમાં શોધીએ:

ચાલો નોટેશનમાં કૌંસ અનુસાર મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો ક્રમ નક્કી કરીએ:

ચાલો R1 શોધીએ:

ચાલો ઉત્પાદન શોધીએ:

વ્યુ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ R માં શોધતી વખતે, અમે મેટ્રિક્સ R 2 ને પરિમાણ 3*3 થી પરિમાણ 4*4 સુધી વિસ્તૃત કરવાની જરૂરિયાત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

આમ, વ્યુ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે:

(6.2-1)

વ્યુ સિસ્ટમથી પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ.

આ તબક્કો પૂર્ણ કરવા માટે, નીચેની આકૃતિનો ઉપયોગ કરો (ફિગ. 6.2-3).

આકૃતિમાં નીચેના હોદ્દાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે:

E - સંકલન અક્ષો X in, Y in, Z in સાથે વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ;

Т1 – વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુ, પર સ્થિત છે સંકલન વિમાન X થી Z થી ;

T2 – વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો એક બિંદુ, જે Z in માં કોઓર્ડિનેટ પ્લેન Y પર સ્થિત છે;

ડી - વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળથી પ્રોજેક્શન પ્લેન સુધીનું અંતર;

એક્સઉહ, વાયઉહ- પ્રોજેક્શન પ્લેન (સ્ક્રીન પર) પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અક્ષો.

ઉપરોક્ત આકૃતિ પરથી તે જોઈ શકાય છે કે:

આ વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પર સ્ક્રીન પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની નીચેની અવલંબન સૂચવે છે:

(6.2-2)

આમ, અભિવ્યક્તિ (6.2-1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, અને અભિવ્યક્તિ (6.2-2) અનુસારના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી શક્ય છે. આપેલ પોઈન્ટપરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર.

અદ્રશ્ય બિંદુઓ અને રેખાઓ

પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણમાં, સીધી રેખા AA’નો અદ્રશ્ય બિંદુ એ પ્રક્ષેપણ સમતલ પરનો તે બિંદુ છે કે જ્યાં બિંદુનું પ્રક્ષેપણ સીધી રેખા AA’ ની સાથે અનંતતા તરફ “ભાગી” જાય છે. ઓળખાણ કરાવવી ભૌમિતિક અર્થઅદ્રશ્ય બિંદુઓ, નીચેની આકૃતિને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 6.2-4).

આકૃતિમાં નીચેના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે:

ઇ - વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ;

"PP" - સંકલન અક્ષો X અને Y સાથે પ્રોજેક્શન પ્લેન (સ્ક્રીન).

ચોખા.6.2 ‑ 4

ચાલો બિંદુ E દ્વારા સીધી રેખા Ea દોરીએ, પ્લેન પર લંબરૂપઅંદાજો આ રેખા પ્રક્ષેપણ સમતલ સાથે બિંદુ a n પર છેદે છે, જે Ea' રેખાના તમામ બિંદુઓનો પ્રક્ષેપણ બિંદુ હશે, જેમાં આ રેખા સાથે અનંત સુધી ચાલતા બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. તેથી, બિંદુ a n એ રેખા Ea માટે અદ્રશ્ય બિંદુ છે.

ચાલો પ્રક્ષેપણ સમતલ પર ચોક્કસ બિંદુ b p લઈએ અને તેમાંથી રેખા Ea'ની સમાંતર રેખા b p b’ દોરીએ. ચાલો Ea ’ અને b p b ’ રેખાઓ દ્વારા એક વિમાન દોરીએ, જે રેખા b p a p સાથે પ્રક્ષેપણ સમતલ સાથે છેદે છે. ચાલો b p b ' રેખા પર બિંદુ b b લઈએ અને તેને સીધી રેખા સાથે અનંત તરફ લઈએ.

જેમ જેમ ચાલી રહેલ બિંદુ સીધી રેખા સાથે અનંત તરફ આગળ વધે છે, તેમ તેનું પ્રક્ષેપણ b bp સીધી રેખા b p a p સાથે આગળ વધશે, જેમ કે બિંદુ b p અનંત તરફ વળે છે તેમ a p તરફ વલણ રાખશે. આમ, બિંદુ a p એ સીધી રેખા b p b ' માટે અદ્રશ્ય બિંદુ હશે.

રેખા bb’ પસંદ કરવા માટેની એકમાત્ર શરત એ હતી કે તે Ea રેખાની સમાંતર છે. પરિણામે, Ea’ ની સમાંતર બધી રેખાઓ માટે, અદ્રશ્ય બિંદુ એ જ બિંદુ a n હશે.

પ્રોજેક્શન પ્લેનમાં, બિંદુ a p દ્વારા, પ્રક્ષેપણ પ્લેનની X ધરીની સમાંતર એક સીધી રેખા દોરો અને તેના પર લો મનસ્વી બિંદુડી પી. ચાલો બિંદુઓ E અને d p દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. પછી આપણે પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર બીજું મનસ્વી બિંદુ c p લઈએ છીએ અને તેના દ્વારા વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સીધી રેખા E ની સમાંતર સીધી રેખા c p c દોરીએ છીએ. ડીપી.

પરિણામી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા આપણે એક પ્લેન દોરીએ છીએ જે પ્રક્ષેપણ પ્લેનને સીધી રેખા d p c p સાથે છેદે છે. ચાલો c n c રેખા પર એક બિંદુ c b લઈએ અને તેને અનંત તરફ દિશામાન કરીએ. આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે, બિંદુ c b તરીકે.

અનંત સુધી, તેનું પ્રક્ષેપણ સીધી રેખા c p d p. સાથે આગળ વધશે, બિંદુ d p તરફ વળશે. તે અનુસરે છે કે બિંદુ d n એ રેખા c n c માટે અદ્રશ્ય બિંદુ છે.

એવી જ રીતે દલીલ કરતાં, તે દર્શાવવું સરળ છે કે બિંદુ E અને રેખા d p a p માંથી પસાર થતી પ્લેનની સમાંતર તમામ રેખાઓ માટે, અદ્રશ્ય બિંદુઓ d p a p બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા પર હશે. ઉપરથી તે અનુસરે છે કે સીધી રેખા d p a p એ બધા માટે અદ્રશ્ય થઈ જતી રેખા છેઆડા વિમાનો

. આ સીધી રેખાને ક્ષિતિજ રેખા કહેવામાં આવે છે. ઉપરથી આપણે એ પણ તારણ કાઢી શકીએ કે બધાસમાંતર રેખાઓ , તેમની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, એક અદ્રશ્ય બિંદુ છે. ઉપરોક્ત પણ લાગુ પડે છેઊભી રેખાઓ , જેને એક અદ્રશ્ય બિંદુ કહેવાય છે.

ઝેનિથ બિંદુ એવી જ રીતે દલીલ કરીને, તે બધું બતાવી શકાય છેસમાંતર વિમાનો

ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થોના અંદાજો બાંધતી વખતે બિંદુઓ અને અદ્રશ્ય રેખાઓનો ખ્યાલ વપરાય છે. ચાલો આ જોઈએ ચોક્કસ ઉદાહરણ.

ઊભી બાજુના ચહેરાઓ સાથે સમાંતર પાઈપનું પ્રક્ષેપણ બાંધવું જરૂરી છે, જેની ઉપરની ધાર એન્કર પોઈન્ટ 1, 2,3, 4 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે અને નીચેનો ચહેરો એન્કર પોઈન્ટ 5, 6, 7, 8 (ફિગ. 6.2-5).

નોંધ કરો કે આપેલ ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મોમાંથી, નોડલ પોઈન્ટ 1,2 દ્વારા નિર્દિષ્ટ કિનારીઓ; 3.4; 5.6; 7.8, સમાંતર, અને તેથી, તેમને વહન કરતી સીધી રેખાઓ એક બિંદુ (બિંદુ Tc1) પર એકરૂપ થાય છે. સીધો, લોડ-બેરિંગ બાજુની પાંસળી 3.7; 4.8; 2.6 અને 1.5 પાસે પણ સમાન અદ્રશ્ય બિંદુ (બિંદુ T3) છે. પાંસળી 1.3 વિશે પણ એવું જ કહી શકાય; 2.4; 5.7; 6,8 – તેમને વહન કરતી સીધી રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે અને તેથી એક જ અદ્રશ્ય બિંદુ (બિંદુ Tc2) હોય છે.

આપેલ ઑબ્જેક્ટના પ્રક્ષેપણને અસ્પષ્ટપણે બાંધવા માટે, ઉપરોક્ત ત્રણ અદ્રશ્ય બિંદુઓ (T3, Ts1, Ts2) અને પોઈન્ટ 2,5,6,8 (ફિગ. 6.2‑) ના અંદાજો નિર્ધારિત કરવા માટે તે પૂરતું છે. 6).

ચોખા.6.2 ‑ 5

પ્રક્ષેપણ નીચેના ક્રમમાં બનાવી શકાય છે.

પોઈન્ટ 5 અને Tc2 દ્વારા આપણે 5.7 ધારવાળી સીધી રેખા દોરીએ છીએ. બિંદુ Tc1 અને 8 (સીધી રેખા,

ચોખા.6.2 ‑ 6

બેરિંગ એજ 7.8), પોઈન્ટ 7 છે. બાજુની પાંસળી માટે બેરિંગ્સ 3.7; 4.8; 2.6 અને 1.5 પ્રાપ્ત થશે જો આપણે ઝેનિથ પોઈન્ટ T3 અને હાલના ચાર નોડલ પોઈન્ટ દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરીએ. નીચેની ધારસમાંતર પાઈપ (લાઈન T3.6; T3.7; T3.8; T3.5).

પછી આપણે સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ Tc1,2. સીધી રેખા T3.5 સાથે તેના આંતરછેદનું બિંદુ બિંદુ 1 હશે. ચાલો Tc1,4 રેખાઓ દોરીએ. રેખા T 3.7 સાથે તેના આંતરછેદનું બિંદુ બિંદુ 3 હશે.

આ રીતે, પ્રક્ષેપણ માટે ઉલ્લેખિત ઑબ્જેક્ટના તમામ નોડલ બિંદુઓના અંદાજો મળી આવશે, જેમાંથી સમગ્ર પ્રક્ષેપિત સમાંતર પાઈપ અસ્પષ્ટપણે પ્રોજેક્શન પ્લેન પર બનાવી શકાય છે.

પ્રક્ષેપણ દરમિયાન ઑબ્જેક્ટની છબી મેળવવા માટે કે જે વ્યક્તિ દ્વારા વ્યક્તિલક્ષી રીતે જોવામાં આવે છે તેની નજીક હોય, તે માટે પ્રક્ષેપણ કોણ (નિરીક્ષણમાંથી ત્રિ-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટના નિરીક્ષકનો જોવાનો ખૂણો) મર્યાદિત કરવો જરૂરી છે. બિંદુ, એટલે કે વ્યુ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળ બિંદુથી). એક નિયમ તરીકે, જ્યારે પ્રક્ષેપણ કોણ 30-40 ડિગ્રીથી વધુ ન હોય ત્યારે સ્વીકાર્ય પ્રક્ષેપણ પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે.

ગણવામાં આવેલ પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિ માત્ર પ્રમાણમાં સરળ વસ્તુઓ માટે સ્વીકાર્ય છે.