મધ્યક એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુની મધ્યમાં દોરવામાં આવેલ એક સેગમેન્ટ છે, એટલે કે, તે આંતરછેદના બિંદુએ તેને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. બિંદુ કે જેના પર મધ્યક છેદે છે ટોચની વિરુદ્ધજે બાજુથી તે બહાર આવે છે તેને આધાર કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણનો દરેક મધ્ય એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, જેને આંતરછેદ બિંદુ કહેવાય છે. તેની લંબાઈ માટેનું સૂત્ર ઘણી રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

મધ્યકની લંબાઈ દર્શાવવા માટેના સૂત્રો

ઘણીવાર ભૂમિતિની સમસ્યાઓમાં, વિદ્યાર્થીઓને ત્રિકોણના મધ્યક જેવા વિભાગ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. તેની લંબાઈ માટેનું સૂત્ર બાજુઓની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

જ્યાં a, b અને c બાજુઓ છે. વધુમાં, c એ બાજુ છે કે જેના પર મધ્યક પડે છે. આ તે જેવો દેખાય છે સરળ સૂત્ર. કેટલીકવાર સહાયક ગણતરીઓ માટે ત્રિકોણના મધ્યકોની જરૂર પડે છે. અન્ય સૂત્રો છે.

જો, ગણતરી દરમિયાન, ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચે સ્થિત ચોક્કસ કોણ α ઓળખાય છે, તો ત્રિકોણના મધ્યકની લંબાઈ, ત્રીજી બાજુથી નીચે, નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવશે.

મૂળભૂત ગુણધર્મો

બધા મધ્યક પાસે એક છે સામાન્ય બિંદુજો આપણે શિરોબિંદુમાંથી ગણીએ તો O ના આંતરછેદો અને તે બે થી એકના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે. આ બિંદુને ત્રિકોણનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.
મધ્યક ત્રિકોણને અન્ય બે ભાગમાં વિભાજીત કરે છે જેના ક્ષેત્રો સમાન હોય છે. આવા ત્રિકોણને સમાન-ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે.
જો તમે બધા મધ્યકો દોરો, તો ત્રિકોણ 6 માં વિભાજિત થશે સમાન કદના આંકડા, જે ત્રિકોણ પણ હશે.
જો ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય, તો દરેક મધ્યક પણ ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક હશે, એટલે કે તે જે બાજુએ દોરવામાં આવે છે તેના પર લંબરૂપ હશે અને જે ખૂણામાંથી તે નીકળે છે તેને દ્વિભાજિત કરે છે.
IN સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણશિરોબિંદુમાંથી પડતો મધ્યક જે એક બાજુની વિરુદ્ધ છે જે અન્ય કોઈપણ સમાન નથી તે પણ ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક હશે. અન્ય શિરોબિંદુઓમાંથી છોડવામાં આવેલ મધ્યક સમાન છે. આ પણ જરૂરી છે અને પૂરતી સ્થિતિસમદ્વિબાજુ
જો ત્રિકોણ આધાર છે નિયમિત પિરામિડ, પછી આપેલ પાયાની નીચેની ઊંચાઈ તમામ મધ્યકોના આંતરછેદના બિંદુ સુધી અંદાજવામાં આવે છે.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, મધ્ય તરફ દોરવામાં આવે છે સૌથી મોટી બાજુ, તેની અડધી લંબાઈ બરાબર છે.
O એ ત્રિકોણના મધ્યકનું આંતરછેદ બિંદુ છે. નીચે આપેલ સૂત્ર કોઈપણ બિંદુ M માટે સાચું હશે.

ત્રિકોણના મધ્યમાં બીજી મિલકત છે. બાજુઓના ચોરસ દ્વારા તેની લંબાઈના ચોરસ માટેનું સૂત્ર નીચે પ્રસ્તુત છે.

બાજુઓના ગુણધર્મ કે જેની તરફ મધ્ય દોરવામાં આવે છે

જો તમે મધ્યના આંતરછેદના કોઈપણ બે બિંદુઓને તે બાજુઓ સાથે જોડો કે જેના પર તેઓ છોડવામાં આવ્યા છે, તો પરિણામી સેગમેન્ટ ત્રિકોણની મધ્યરેખા હશે અને ત્રિકોણની બાજુનો અડધો ભાગ હશે જેની સાથે તેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી.
ત્રિકોણમાં ઊંચાઈઓ અને મધ્યસ્થીઓના પાયા, તેમજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુ સાથે જોડતા વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ, સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે.

નિષ્કર્ષમાં, તે કહેવું તાર્કિક છે કે સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાગોમાંનો એક ત્રિકોણનો મધ્યક છે. તેના સૂત્રનો ઉપયોગ તેની બીજી બાજુઓની લંબાઈ શોધવા માટે થઈ શકે છે.

ત્રિકોણ - ત્રણ બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ અથવા બંધ તૂટેલી લાઇનત્રણ લિંક્સ સાથે, અથવા એક જ સીધી રેખા પર આવેલા ન હોય તેવા ત્રણ બિંદુઓને જોડતા ત્રણ ભાગો દ્વારા રચાયેલી આકૃતિ (ફિગ. 1 જુઓ).

ત્રિકોણ abc ના મૂળભૂત તત્વો

શિખરો - પોઈન્ટ A, B, અને C;

પક્ષો – સેગમેન્ટ્સ a = BC, b = AC અને c = AB શિરોબિંદુઓને જોડતા;

ખૂણો - α, β, γ બાજુઓના ત્રણ જોડી દ્વારા રચાય છે. ખૂણાઓ ઘણીવાર A, B અને C અક્ષરો સાથે શિરોબિંદુની જેમ જ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા અને તેના આંતરિક ભાગમાં આવેલા ખૂણાને આંતરિક ખૂણો કહેવામાં આવે છે, અને તેની બાજુમાં આવેલો ત્રિકોણનો સંલગ્ન કોણ છે (2, પૃષ્ઠ 534).

ત્રિકોણની ઊંચાઈ, મધ્યક, દ્વિભાજકો અને મધ્ય રેખાઓ

ત્રિકોણમાં મુખ્ય તત્વો ઉપરાંત, રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવતા અન્ય વિભાગોને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: ઊંચાઈ, મધ્ય, દ્વિભાજકો અને મધ્ય રેખાઓ.

ઊંચાઈ

ત્રિકોણની ઊંચાઈ- આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી વિરુદ્ધ બાજુઓ તરફ નાખવામાં આવેલ લંબ છે.

ઊંચાઈને કાવતરું કરવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) ત્રિકોણની એક બાજુ ધરાવતી સીધી રેખા દોરો (જો ઊંચાઈ શિરોબિંદુથી દોરવામાં આવે તો તીવ્ર કોણસ્થૂળ ત્રિકોણમાં);

2) દોરેલી રેખાની સામે પડેલા શિરોબિંદુમાંથી, બિંદુથી આ રેખા સુધી એક સેગમેન્ટ દોરો, તેની સાથે 90 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવો.

બિંદુ જ્યાં ઊંચાઈ ત્રિકોણની બાજુને છેદે છે તેને કહેવામાં આવે છે ઊંચાઈનો આધાર (ફિગ 2 જુઓ).

ત્રિકોણ ઊંચાઈના ગુણધર્મો

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી ઊંચાઈ જમણો ખૂણો, તેને મૂળ ત્રિકોણની જેમ બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણમાં, તેની બે ઊંચાઈ તેનામાંથી સમાન ત્રિકોણને કાપી નાખે છે.

જો ત્રિકોણ તીવ્ર હોય, તો ઊંચાઈના તમામ પાયા ત્રિકોણની બાજુઓથી સંબંધિત છે, અને સ્થૂળ ત્રિકોણબે ઊંચાઈ બાજુઓના ચાલુ રાખવા પર પડે છે.

માં ત્રણ ઊંચાઈ તીવ્ર ત્રિકોણએક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુ કહેવાય છે ઓર્થોસેન્ટર ત્રિકોણ

મધ્યક

મધ્યક(લેટિન મેડિયાનામાંથી - "મધ્યમ") - આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સાથે જોડતા ભાગો છે (ફિગ. 3 જુઓ).

મધ્યક બનાવવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) બાજુની મધ્યમાં શોધો;

2) ત્રિકોણની બાજુની મધ્યમાં આવેલા બિંદુને એક સેગમેન્ટ સાથે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ સાથે જોડો.

ત્રિકોણ મધ્યના ગુણધર્મો

મધ્યક ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળના બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુથી ગણીને તેમાંથી દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. આ બિંદુ કહેવામાં આવે છે ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર ત્રિકોણ

સમગ્ર ત્રિકોણ તેના મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે.

દ્વિભાજક

દ્વિભાજક(લેટિન bis - બે વાર અને સેકો - કટમાંથી) એ ત્રિકોણની અંદર બંધાયેલ સીધી રેખાના ભાગો છે જે તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે (ફિગ. 4 જુઓ).

દ્વિભાજક બનાવવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) કોણના શિરોબિંદુમાંથી બહાર આવતા કિરણને બનાવો અને તેને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો (કોણનો દ્વિભાજક);

2) વિરુદ્ધ બાજુ સાથે ત્રિકોણના કોણના દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુને શોધો;

3) ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના આંતરછેદ બિંદુ સાથે જોડતો ભાગ પસંદ કરો.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોના ગુણધર્મો

ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક ગુણોત્તરમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે ગુણોત્તર સમાનબે અડીને બાજુઓ.

ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો લંબરૂપ છે.

જો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુના વિસ્તરણને છેદે છે, તો ADBD=ACBC.

એક આંતરિક અને બેના દ્વિભાજકો બાહ્ય ખૂણાત્રિકોણ એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુ આ ત્રિકોણના ત્રણ વર્તુળોમાંથી એકનું કેન્દ્ર છે.

ત્રિકોણના બે આંતરિક અને એક બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકોના પાયા સમાન સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે જો બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર ન હોય.

જો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો વિરુદ્ધ બાજુઓ સાથે સમાંતર ન હોય, તો તેમના પાયા સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

તમને તમારું પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવી શકે છે વ્યક્તિગત માહિતીકોઈપણ સમયે તમે અમારો સંપર્ક કરો.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી સંસ્થાઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

1. મધ્યક ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળના બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

2. ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુથી ગણીને તેમાંથી દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. આ બિંદુ કહેવામાં આવે છે ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રત્રિકોણ

3. સમગ્ર ત્રિકોણ તેના મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોના ગુણધર્મો

1. કોણનું દ્વિભાજક છે લોકસઆ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરના બિંદુઓ.

2. દ્વિભાજક આંતરિક ખૂણોત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે: .

3. ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ત્રિકોણ ઊંચાઈના ગુણધર્મો

1. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કાટકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી ઊંચાઈ તેને મૂળ ત્રિકોણની જેમ બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.

2. એક તીવ્ર ત્રિકોણમાં, તેની બે ઊંચાઈ તેનામાંથી સમાન રાશિઓને કાપી નાખે છે ત્રિકોણ

ગુણધર્મો લંબ દ્વિભાજકોત્રિકોણ

1. એક સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ આ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે છે. વાતચીત પણ સાચી છે: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના પર લંબરૂપ દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

2. ત્રિકોણની બાજુઓ પર દોરેલા લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ આ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ત્રિકોણની મધ્યરેખાની મિલકત

ત્રિકોણની મધ્યરેખા તેની એક બાજુની સમાંતર અને તે બાજુના અડધા જેટલી હોય છે.

ત્રિકોણની સમાનતા

બે ત્રિકોણ સમાનજો નીચેનામાંથી એક સાચું હોય નીચેની શરતો, કહેવાય છે સમાનતાના ચિહ્નો:

· એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન છે;

· એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની બે બાજુઓના પ્રમાણસર હોય છે, અને આ બાજુઓ દ્વારા બનેલા ખૂણા સમાન હોય છે;

· એક ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ અનુક્રમે બીજા ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ સાથે પ્રમાણસર હોય છે.

IN સમાન ત્રિકોણઅનુરૂપ રેખાઓ (ઊંચાઈ, મધ્ય, દ્વિભાજકો, વગેરે) પ્રમાણસર છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય

કોસાઇન પ્રમેય

a 2= b 2+ c 2- 2પૂર્વે cos

ત્રિકોણ ક્ષેત્રના સૂત્રો

1. મુક્ત ત્રિકોણ

a, b, c -બાજુઓ - બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો aઅને b; - અર્ધ પરિમિતિ; આર-ઘેરાયેલું વર્તુળ ત્રિજ્યા; આર-અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા; એસ-ચોરસ; h a -ઊંચાઈ તરફ દોરવામાં આવે છે બાજુ a.