રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો: ઉકેલ પદ્ધતિ. સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે સામાન્ય રીતે એક અજાણ્યાને શોધી રહ્યા હતા. પરંતુ એવી સમસ્યાઓ પણ છે જ્યાં ઘણા અજાણ્યા છે. આવી સમસ્યાઓ સામાન્ય રીતે સમીકરણોની સિસ્ટમો બનાવીને ઉકેલવામાં આવે છે.

બે સાયકલ સવારો એક શહેરથી બીજા શહેર તરફ એકબીજા તરફ મુસાફરી કરી રહ્યા છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 30 કિમી છે. ધારો કે જો સાઇકલ સવાર 1 તેના મિત્ર કરતાં 2 કલાક વહેલો નીકળે, તો તેઓ સાઇકલ સવાર 2 છોડ્યાના 2.5 કલાક પછી મળશે; જો સાઇકલ સવાર 2 સાઇકલ સવાર 1 કરતા 2 કલાક વહેલો નીકળે છે, તો મીટિંગ પ્રથમના રવાના થયાના 3 કલાક પછી થશે. દરેક સાઇકલ સવાર કેટલી ઝડપથી મુસાફરી કરે છે?

ઉકેલ.

1. ચાલો સાઇકલ સવાર 1 ની ઝડપને x કિમી/કલાક તરીકે અને સાઇકલ સવાર 2ની ઝડપને y કિમી/કલાક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

2. જો પ્રથમ સાયકલ સવાર બીજા કરતા 2 કલાક વહેલો નીકળશે, તો શરત મુજબ, તે મીટિંગમાં 4.5 કલાક સવારી કરશે, જ્યારે બીજાને 2.5 કલાક લાગશે. 4.5 કલાકમાં પ્રથમ 4.5 કિમીનું અંતર કાપશે અને 2.5 કલાકમાં બીજું 2.5 કિમીનું અંતર કાપશે.

3. બે સાઇકલ સવારોની બેઠકનો અર્થ એ છે કે તેઓએ કુલ 30 કિમીનું અંતર કાપ્યું છે, એટલે કે. 4.5x + 2.5 y = 30. આ આપણું પ્રથમ સમીકરણ છે.

4. જો બીજો 2 કલાક માટે છોડી દે પહેલા કરતાં વહેલું, પછી, શરત મુજબ, તે મીટિંગમાં 5 કલાકની મુસાફરી કરશે, જ્યારે પ્રથમને 3 કલાકનો સમય લાગશે, ઉપરોક્ત તર્ક સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

5. તેથી, અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળી

(4.5x + 2.5 y = 30,
(3x + 5y = 30.

6. પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી, આપણે મૂળ શોધીશું: x = 5, y = 3.

આમ, પ્રથમ સાઇકલ સવાર 5 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરે છે અને બીજો - 3 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરે છે.

જવાબ: 5 કિમી/કલાક, 3 કિમી/કલાક.

એક વર્ષ પછી, રોકાણકારને તેની બચત પર $6 વ્યાજ મળ્યું. $44 ઉમેરીને, રોકાણકારે બીજા વર્ષ માટે નાણાં છોડી દીધા. વર્ષના અંતે, વ્યાજ ફરીથી ઉપાર્જિત થયું, અને હવે વ્યાજ સાથે ડિપોઝિટની રકમ $257.5 છે. પ્રારંભિક જમા રકમ કેટલી હતી અને બેંક કેટલું વ્યાજ લે છે?

ઉકેલ.

1. x ($) એ પ્રારંભિક થાપણ છે, અને y (%) એ વાર્ષિક ઉપાર્જિત વ્યાજ છે.

2. પછી વર્ષના અંત સુધીમાં (y/100) ∙ x $ પ્રારંભિક યોગદાનમાં ઉમેરવામાં આવશે.
શરતમાંથી આપણે સમીકરણ (ух/100) = 6 મેળવીએ છીએ.

3. શરત દ્વારા, તે જાણીતું છે કે વર્ષના અંતે રોકાણકારે બીજા $44નું યોગદાન આપ્યું, તેથી બીજા વર્ષની શરૂઆતમાં યોગદાન x + 6 + 44 હતું, એટલે કે. (x + 50) $. આમ, બીજા વર્ષના અંતે પ્રાપ્ત થયેલી રકમ, ઉપાર્જનને ધ્યાનમાં લેતા, (x + 50 + (y/100)(x + 50)) $ ની બરાબર હતી. શરત મુજબ, આ રકમ $275.5 જેટલી છે. આનાથી અમને બીજું સમીકરણ બનાવવાની મંજૂરી મળી:

x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257.5

4. તેથી, અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળી:

((x/100) = 6,
(x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257.5

સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પરિવર્તન કર્યા પછી આપણને મળે છે:

(xy = 600,
(100x + 50y + xy = 20750.

સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, અમને બે મૂળ મળ્યા: 200 અને 1.5. ફક્ત પ્રથમ મૂલ્ય જ અમારી સ્થિતિને સંતોષે છે.

સમીકરણમાં x ની કિંમત બદલો અને y ની કિંમત શોધો:
જો x = 200, તો y = 3.

આમ, પ્રારંભિક ડિપોઝિટ $200 હતી, અને બેંક દર વર્ષે 3% ઉપાર્જન કરે છે.

જવાબ: $200; 3%.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

આર્થિક ઉદ્યોગમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે ગાણિતિક મોડેલિંગ વિવિધ પ્રક્રિયાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદન વ્યવસ્થાપન અને આયોજનની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, લોજિસ્ટિક્સ માર્ગો ( પરિવહન સમસ્યા) અથવા સાધનો પ્લેસમેન્ટ.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોબે કે તેથી વધુ સમીકરણોને અનેક ચલો સાથે નામ આપો કે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમો સિસ્ટમો છે જમણી બાજુજે શૂન્ય બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજ્ઞાતની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

ત્યાં કોઈ સામાન્ય નથી વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઆવી સિસ્ટમોના ઉકેલો, બધી પદ્ધતિઓ પર આધારિત છે સંખ્યાત્મક ઉકેલો. IN શાળા અભ્યાસક્રમગણિત, જેમ કે ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરણ, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ.

ઉકેલની પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના પ્રોગ્રામની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા માધ્યમિક શાળાતદ્દન સરળ અને મહાન વિગતવાર સમજાવ્યું. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓનો હેતુ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . ઉકેલ આ ઉદાહરણમુશ્કેલીઓનું કારણ નથી અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અયોગ્ય છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધતી વખતે, તેઓ ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન અને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરે છે વિવિધ નંબરો. અંતિમ ધ્યેયગાણિતિક ક્રિયાઓ એક ચલ સાથેનું સમીકરણ છે.

અરજીઓ માટે આ પદ્ધતિપ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલ હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિતીય ઉમેરો વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. પરિણામે અંકગણિત ક્રિયાચલનો એક ગુણાંક 1 ની બરાબર હોવો જોઈએ.
શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને ધોરણ એકમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. ચતુર્ભુજ ત્રિપદી. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

દ્વારા ભેદભાવ મૂલ્ય શોધવું જરૂરી છે જાણીતું સૂત્ર: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળ છે. IN ઉદાહરણ આપ્યું a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, તો ત્યાં બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછું, તો ત્યાં માત્ર એક જ ઉકેલ છે: x= -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિ પર બિલ્ડ છે સંકલન અક્ષસિસ્ટમમાં સમાવવામાં આવેલ દરેક સમીકરણના આલેખ. વણાંકોના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને હશે સામાન્ય નિર્ણયસિસ્ટમો

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

IN નીચેના ઉદાહરણશોધવાની જરૂર છે ગ્રાફિક ઉકેલરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

માટે મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ થાય છે ટૂંકી નોંધરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. મેટ્રિક્સ એ એક ટેબલ છે ખાસ પ્રકારનંબરોથી ભરેલા. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ અનંત સાથે એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે શક્ય સંખ્યારેખાઓ એક કર્ણ અને અન્ય સાથેના એકમો સાથેનું મેટ્રિક્સ શૂન્ય તત્વોએકમ કહેવાય છે.

ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે, જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, ગુણાંક અને મફત સભ્યોસમીકરણો, એક સમીકરણ - મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક ન હોય તો મેટ્રિક્સની પંક્તિ શૂન્ય કહેવાય છે. શૂન્ય બરાબર. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 - વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ, અને |કે| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

ઉકેલ શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને સિસ્ટમોને હલ કરતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે મોટી સંખ્યામાંચલો અને સમીકરણો.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

IN ઉચ્ચ ગણિતક્રેમર પદ્ધતિ સાથે ગૌસિયન પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓ શોધવા માટે વપરાય છે ચલ સિસ્ટમોમોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો સાથે.

ગૌસની પદ્ધતિ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો જેવી જ છે અને બીજગણિત ઉમેરો, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. દ્વારા બીજગણિત પરિવર્તનઅને અવેજીમાં, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

IN શાળા પાઠ્યપુસ્તકોગ્રેડ 7 માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસ પદ્ધતિ વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે ઉચ્ચ શાળા, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની સૌથી રસપ્રદ રીતોમાંની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. અલગ કરે છે ડાબી બાજુજમણી બાજુથી સમીકરણો. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને જરૂરી કામગીરી કરવાનું ચાલુ રાખે છે બીજગણિત કામગીરીપરિણામ પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવું એ ખૂબ જ સારું છે, પરંતુ સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવી એ વધુ માટે માત્ર એક પદ્ધતિ છે. જટિલ કાર્યો. સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને તમે હલ કરી શકો છો વિવિધ કાર્યોજેનો આપણે જીવનમાં સામનો કરીએ છીએ.

બીજગણિત એ સમીકરણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાનું વિજ્ઞાન છે. 20મી સદીના અંત સુધીમાં વૈજ્ઞાનિકોએ ઉપયોગમાં લીધેલી વ્યાખ્યા આ બરાબર છે. પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક રેને ડેસકાર્ટેસ તેમની એક કૃતિ માટે પ્રખ્યાત છે, જેને "ડેસકાર્ટેસ મેથડ" કહેવામાં આવે છે. ડેકાર્ટેસ માનતા હતા કે કોઈપણ સમસ્યાને ગાણિતિકમાં ઘટાડી શકાય છે, કોઈપણ ગણિતની સમસ્યાસુધી ઘટાડી શકાય છે બીજગણિત સિસ્ટમસમીકરણો અને કોઈપણ સિસ્ટમને એક સમીકરણ ઉકેલવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

કમનસીબે, ડેસકાર્ટેસ પાસે તેની પદ્ધતિને સંપૂર્ણ રીતે પૂર્ણ કરવાનો સમય નહોતો અને તેણે તેના તમામ મુદ્દાઓ લખ્યા ન હતા, પરંતુ વિચાર ખૂબ જ સારો છે.

અને હવે આપણે, ડેસકાર્ટેસની જેમ, સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરીશું, અલબત્ત, કોઈપણ નહીં, પરંતુ ફક્ત તે જ જે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજનાનું વર્ણન કરીએ:

1. અજ્ઞાત જથ્થાઓ માટે, અમે ચોક્કસ સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કંપોઝ કરીએ છીએ.
2. રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલો.
3. હું દાખલ કરેલ સંકેતોનો ઉપયોગ કરું છું અને જવાબ લખું છું.

ચાલો અરજી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ આ રેખાકૃતિચોક્કસ કાર્ય પર.

તે જાણીતું છે કે બે પેન્સિલો અને ત્રણ નોટબુકની કિંમત 35 રુબેલ્સ છે, અને બે નોટબુક અને ત્રણ પેન્સિલની કિંમત 40 રુબેલ્સ છે. તમારે પાંચ પેન્સિલ અને છ નોટબુકની કિંમત કેટલી છે તે શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલ:

આપણે એક પેન્સિલ અને એક નોટબુકની કિંમત અલગથી શોધવાની જરૂર છે. જો આપણી પાસે આવો ડેટા હોય, તો પાંચ પેન્સિલ અને છ નોટબુકની કિંમત કેટલી છે તે નક્કી કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય.

ચાલો x દ્વારા રૂબલમાં એક પેન્સિલની કિંમત દર્શાવીએ. અને y એ રુબેલ્સમાં એક નોટબુકની કિંમત છે. હવે શરત કાળજીપૂર્વક વાંચો અને સમીકરણ બનાવો.

"બે પેન્સિલો અને ત્રણ નોટબુકની કિંમત 35 રુબેલ્સ છે" એટલે

2*x+3*y = 35;

તેથી "બે નોટબુક અને ત્રણ પેન્સિલની કિંમત 40 રુબેલ્સ છે".

3*x+2*y = 40;

અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:

(2*x+3*y = 35;
(3*x+2*y = 40;

પહેલો મુદ્દો પૂરો થયો. હવે કોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરવી જરૂરી છે.

હલ કર્યા પછી, આપણને x=10 અને y=5 મળે છે.

મૂળ સંકેત પર પાછા ફરતા, અમારી પાસે છે કે એક પેન્સિલની કિંમત 10 રુબેલ્સ છે, અને એક નોટબુકની કિંમત 5 રુબેલ્સ છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

ભરતી સામે

ડાઉનસ્ટ્રીમ

નંબર 1193. ગણિત 5મો ધોરણ. N.Ya.Vilenkin

? કિમી/કલાક

№ 14.1

નદીના બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 80 કિમી છે. બોટ નદીમાં આ અંતર 4 કલાકમાં અને પ્રવાહની સામે 5 કલાકમાં કાપે છે. ડાઉનસ્ટ્રીમ અને અપસ્ટ્રીમ બોટની ઝડપ શોધો.

ડાઉનસ્ટ્રીમ

4(x+y)

5(x-y)

જવાબ:

№ 14.4

એક બોટ પ્રવાહની સામે 6 કલાક કરતાં 4 કલાક ઓછા સમયમાં 10 કિમી ડાઉનસ્ટ્રીમ પ્રવાસ કરે છે. શોધો પોતાની ઝડપબોટ, જો એક જ નદી પર એક તરાપો 15 કલાકમાં 15 કલાકમાં એટલું જ અંતર તરે છે, જેમ કે બોટ તળાવમાં 2 કલાકમાં મુસાફરી કરે છે.

વિરોધી પ્રવાહ

ડાઉનસ્ટ્રીમ

4(x+y)

પર 10

6(x-y)

4(x+y) +10 =6(x-y)

4x+4y+10=6x-6y

4x-6x+4y+6y=-10

જવાબ:

№ 14.10

ના. હે

1 દિવસમાં

જથ્થો

દિવસો

કુલ હે

1 ટ્રેક્ટર ચાલક

2 ટ્રેક્ટર ચાલક

№ 14.10

બે ટ્રેક્ટર ચાલકોએ મળીને 678 હેક્ટર જમીન ખેડવી. પ્રથમ ટ્રેક્ટર ડ્રાઈવરે 8 દિવસ અને બીજાએ 11 દિવસ કામ કર્યું. દરેક ટ્રેક્ટર ડ્રાઈવરે દરરોજ કેટલા હેક્ટરમાં ખેડાણ કર્યું, જો પ્રથમ ટ્રેક્ટર ડ્રાઈવરે 4 દિવસમાં બીજા કરતા દર 3 દિવસમાં 22 હેક્ટર ઓછું ખેડાણ કર્યું?

ના. હે

1 દિવસમાં

જથ્થો

દિવસો

કુલ હે

1 ટ્રેક્ટર ચાલક

22 હેક્ટર પર

ઓછું

2 ટ્રેક્ટર ચાલક

જવાબ:

№ 14.5

એક મોટર શિપ નદીના પ્રવાહની સામે 5 કલાકમાં 120 કિમી અને ડાઉનસ્ટ્રીમમાં 6 કલાકમાં 180 કિમીની મુસાફરી કરે છે. નદીના પ્રવાહની ગતિ અને વહાણની પોતાની ગતિ શોધો.

ડાઉનસ્ટ્રીમ

6(x+y)

5(x-y)

જવાબ:

№ 14.11

જથ્થો.

1 કલાકમાં

જથ્થો

કલાક

કુલ

બ્રિગેડ

№ 14.11

બે ટીમોએ બટાકાની કાપણીનું કામ કર્યું. પ્રથમ દિવસે, એક ટીમે 2 કલાક અને બીજી ટીમે 3 કલાક કામ કર્યું અને તેઓએ 23 સેન્ટર બટાકા એકત્રિત કર્યા. બીજા દિવસે, પ્રથમ ટીમે 2 કલાકમાં બીજી ટીમ કરતા 3 કલાકના કામમાં 2 ક્વિન્ટલ વધુ એકત્ર કર્યું. દરેક ટીમે 1 કલાકના કામમાં કેટલા ટકા બટાકાની કાપણી કરી?

જથ્થો.

1 કલાકમાં

જથ્થો

કલાક

કુલ

બ્રિગેડ

2 સીટી દ્વારા

વધુ

બ્રિગેડ

જવાબ:

№ 14.7

x-1 નંબર

y-2 નંબર

3(x-y)=(x+y)+6

2(x-y)=(x+y)+9

જવાબ:

№ 14.12

જથ્થો ટી

1 ફ્લાઇટ માટે

જથ્થો

ફ્લાઇટ્સ

કુલ

ટન

કાર

№ 14.12

પ્રથમ દિવસે, 27 ટન અનાજની નિકાસ કરવામાં આવી હતી, જેમાં એક વાહન 4 ટ્રીપ અને બીજાએ 3 ટ્રીપ કરી હતી. બીજા દિવસે, બીજી કારે 3 ટ્રીપ્સમાં પ્રથમ કાર કરતાં 4 ટ્રીપ્સમાં 11 ટન વધુ પરિવહન કર્યું. એક ટ્રીપમાં દરેક વાહન પર કેટલા ટન અનાજનું પરિવહન કરવામાં આવ્યું હતું?

જથ્થો ટી

1 ફ્લાઇટ માટે

જથ્થો

ફ્લાઇટ્સ

કુલ

ટન

કાર

11 વાગ્યે

વધુ

કાર

જવાબ:

№ 14.14

જથ્થો કિ.ગ્રા

1 બોક્સમાં

જથ્થો

બોક્સ

કુલ

ચેરી

3 ડ્રોઅર્સ માટે

ઓછું

ચેરી

№ 14.14

બજારમાં 84 કિલો ચેરી અને ખાટી ચેરીની ખરીદી કરવામાં આવી હતી અને ચેરી કરતાં ચેરીના 3 ઓછા બોક્સ ખરીદવામાં આવ્યા હતા. ચેરી અને ખાટી ચેરીના કેટલા બોક્સ અલગથી ખરીદવામાં આવ્યા હતા, જો 1 બોક્સમાં 8 કિલો ચેરી અને 10 કિલો ખાટી ચેરી હોય તો?

જથ્થો કિ.ગ્રા

1 બોક્સમાં

જથ્થો

બોક્સ

કુલ

ચેરી