Skaičių serijos apibrėžimas. Geometrinės ir aritmetinės eilutės

Atsakymas: serija skiriasi.

3 pavyzdys

Raskite serijos $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ sumą.

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, tada bendras narys serija rašoma po sumos ženklu: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Kurkime n-oji dalinė serijos suma, t.y. Susumuokite pirmuosius $n$ tam tikros skaičių serijos terminus:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ltaškai+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Kodėl rašau būtent $\frac(2)(3\cdot 5)$, o ne $\frac(2)(15)$, paaiškės iš tolesnio pasakojimo. Tačiau dalinės sumos užrašymas nė trupučio nepriartino prie tikslo. Turime rasti $\lim_(n\to\infty)S_n$, bet jei tik parašysime:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

tada šis įrašas, visiškai teisingos formos, iš esmės nieko neduos. Norint rasti ribą, pirmiausia reikia supaprastinti dalinės sumos išraišką.

Tam yra standartinė transformacija, kurią sudaro trupmenos $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, kuri reiškia bendrąjį serijos terminą, skaidymas į elementariąsias trupmenas. Dekompozicijos klausimas racionalios trupmenos skirta pradinukams atskira tema(Žr., pavyzdžiui, šio puslapio pavyzdį Nr. 3). Išplėsdami trupmeną $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ į elementariąsias trupmenas, gausime:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Kairėje pusėje esančių trupmenų skaitiklius prilyginame ir teisingos dalys gauta lygybė:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Yra du būdai rasti $A$ ir $B$ reikšmes. Galite atidaryti skliaustus ir pertvarkyti terminus arba galite tiesiog pakeisti kai kurias tinkamas reikšmes vietoj $n$. Dėl įvairovės šiame pavyzdyje eisime pirmuoju keliu, o kitame pakeisime privačias reikšmes $n$. Atidarę skliaustus ir pertvarkę terminus, gauname:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Kairėje lygybės pusėje prieš $n$ rašomas nulis. Jei tau patinka, kairėje pusėje Aiškumo dėlei lygybė gali būti pavaizduota kaip $0\cdot n+ 2$. Kadangi kairėje lygybės $n$ pusėje yra nulis, o dešinėje lygybės $n$ pusėje yra $2A+2B$, turime pirmąją lygtį: $2A+2B=0$. Iš karto padalinkime abi šios lygties puses iš 2, po to gausime $A+B=0$.

Kadangi kairėje lygybės pusėje laisvas narys yra lygus 2, o dešinėje lygybės pusėje laisvasis narys yra lygus $3A+B$, tada $3A+B=2$. Taigi, mes turime tokią sistemą:

$$ \left\(\begin(lygied) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end (lygiuotas)\right. $$

Įrodinėjimą atliksime naudodami metodą matematinė indukcija. Pirmajame žingsnyje turite patikrinti, ar įrodoma lygybė yra teisinga $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$, kai $n=1$. Žinome, kad $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, bet ar išraiška $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ duos reikšmę $\frac( 2 )(15)$, jei į jį pakeisime $n=1$? Patikrinkime:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Taigi $n=1$ lygybė $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ tenkinama. Tai užbaigia pirmąjį matematinės indukcijos metodo žingsnį.

Tarkime, kad $n=k$ lygybė tenkinama, t.y. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Įrodykime, kad ta pati lygybė bus patenkinta $n=k+1$. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Kadangi $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, tai $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Pagal aukščiau pateiktą prielaidą $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, todėl formulė $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ bus tokia forma:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Išvada: formulė $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ yra teisinga $n=k+1$. Todėl pagal matematinės indukcijos metodą formulė $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ yra teisinga bet kuriam $n\in N$. Lygybė įrodyta.

Standartiniame kurse aukštoji matematika paprastai jie pasitenkina atšaukimo sąlygų „perbraukimu“, nereikalaujant jokių įrodymų. Taigi mes turime išraišką n-oji dalinė sumos: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Raskime $\lim_(n\to\infty)S_n$ reikšmę:

Išvada: duota serija konverguoja ir jo suma $S=\frac(1)(3)$.

Antrasis būdas supaprastinti dalinės sumos formulę.

Sąžiningai, aš pats mėgstu šį būdą :) Surašykime dalinę sumą sutrumpintu variantu:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Anksčiau gavome, kad $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, todėl:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Sumoje $S_n$ yra baigtinis terminų skaičius, todėl galime juos pertvarkyti, kaip norime. Pirmiausia noriu pridėti visus formos $\frac(1)(2k+1)$ terminus ir tik tada pereiti prie formos $\frac(1)(2k+3)$ terminų. Tai reiškia, kad dalinę sumą pateiksime taip:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ltaškai+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ltaškai+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ltaškai+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Žinoma, išplėstas žymėjimas yra labai nepatogus, todėl aukščiau pateiktą lygybę galima parašyti kompaktiškiau:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Dabar paverskime išraiškas $\frac(1)(2k+1)$ ir $\frac(1)(2k+3)$ į vieną formą. Man patogu pažymėti didesnė frakcija(nors gali būti ir mažiau, tai skonio reikalas). Kadangi $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (kuo didesnis vardiklis, tuo mažesnė dalis), tada trupmeną $\frac(1)(2k+3)$ sumažinsime iki formos $\frac(1)(2k+1)$.

Išreiškimą trupmenos $\frac(1)(2k+3)$ vardiklyje pateiksiu taip:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

O sumą $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ dabar galima parašyti taip:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jei lygybė $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nekelia jokių klausimų, tada eikime toliau. Jei turite klausimų, išplėskite pastabą.

Kaip mes gavome konvertuotą sumą? rodyti\slėpti

Turėjome seriją $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Vietoj $k+1$ įveskime naują kintamąjį – pavyzdžiui, $t$. Taigi $t=k+1$.

Kaip pasikeitė senasis kintamasis $k$? Ir jis pasikeitė nuo 1 iki $n$. Sužinokime, kaip pasikeis naujasis kintamasis $t$. Jei $k=1$, tai $t=1+1=2$. Jei $k=n$, tai $t=n+1$. Taigi išraiška $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ dabar tampa: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

Turime sumą $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Klausimas: ar svarbu, kokia raidė naudojama tokia suma? :) Tiesiog vietoj $t$ parašius raidę $k$, gauname štai ką:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Taip gauname lygybę $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Taigi, dalinė suma gali būti pavaizduota taip:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Atminkite, kad sumos $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ir $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ skiriasi tik sumavimo ribomis. Padarykime šias ribas vienodas. „Paėmus“ pirmąjį elementą iš sumos $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$, turėsime:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Atimant“ paskutinį elementą iš sumos $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, gauname:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$

Tada dalinės sumos išraiška bus tokia:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jei praleisite visus paaiškinimus, sutrumpintos n-osios dalinės sumos formulės paieškos procesas vyks tokia forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Priminsiu, kad trupmeną $\frac(1)(2k+3)$ sumažinome iki formos $\frac(1)(2k+1)$. Žinoma, galima elgtis priešingai, t.y. atvaizduokite trupmeną $\frac(1)(2k+1)$ kaip $\frac(1)(2k+3)$. Galutinė dalinės sumos išraiška nepasikeis. Tokiu atveju dalinės sumos radimo procesą paslėpsiu po rašteliu.

Kaip rasti $S_n$ konvertavus į kitą trupmeną? rodyti\slėpti

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) ). $$

Taigi, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Raskite ribą $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1) (3)-0 = \frac (1) (3). $$

Duota eilutė konverguoja ir jos suma $S=\frac(1)(3)$.

Atsakymas: $S=\frac(1)(3)$.

Serija sumos radimo temos tęsinys bus aptartas antroje ir trečioje dalyse.

Tegu pateikiama begalinė skaičių seka u1, u2, u3….

Išreiškimas u1+ u2+ u3…+ un (1) vadinamas skaičių serija, o jį sudarantys skaičiai yra serijos nariai.

Pirmųjų serijos narių baigtinio skaičiaus n suma vadinama n-ąja daline eilutės suma: Sn = u1+..+un

Jei daiktavardis baigtinė riba: tada ji vadinama serijų suma ir sakoma, kad serija konverguoja, jei tokios ribos nėra, tada sakoma, kad serija skiriasi ir neturi sumos.

2 Geometrinės ir aritmetinės eilutės

Serija, susidedanti iš begalybės narių geometrinė progresija paskambino geometrinis:
arba

a+ aq +…+aq n -1

a  0 pirmasis narys q yra vardiklis. Eilutės suma:

todėl galutinė eilučių dalinių sumų sekos riba priklauso nuo q reikšmės

Galimi atvejai:

1 |q|<1

y. serija ir jos suma
2 |q|>1
o sumos riba taip pat lygi begalybei

tai yra, serija skiriasi.

3, kai q = 1, gaunama serija: a+a+…+a… Sn = na
serija skiriasi

4 q1 serija yra tokia: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0, kai lyginis n, Sn=a, kai nelyginis n dalinės sumos neribojamos. eilė išsiskiria.

Apsvarstykite begalinių aritmetinės progresijos narių seriją:
u yra pirmasis narys, d yra skirtumas. Serijų suma

bet kuriam u1 ir d tuo pačiu metu  0 ir serija visada skiriasi.

3 S-va konvergentinė serija

Duotos dvi eilutės: u1+u2+…un = (1) irv1+v2+…vn = (2)

Eilučių (1) sandauga iš skaičiaus   R vadinama eile: u1+u2+…un = (3)

Eilučių (1) ir (2) suma vadinama serija:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(dėl skirtumo yra tik išvaizda)

T1 Apie bendrą veiksnį

Jei serija (1) susilieja ir jos suma = S, tai bet kuriam skaičiui  serija = taip pat konverguoja ir jos suma S’ = S Jei serija (1) skiriasi ir   0, tai serija taip pat skiriasi. Tai yra, bendras veiksnys neturi įtakos serijų skirtumams.

T2 Jei eilutės (1) ir (2) susilieja, o jų sumos yra atitinkamai S ir S’, tada eilutė:
taip pat konverguoja ir jei  yra jo suma, tai  = S+S’. Tai reiškia, kad konvergencines eilutes galima sudėti ir atimti kiekvieną terminą. Jei eilutė (1) susilieja, o eilutė (2) skiriasi, tada jų suma (arba skirtumas) taip pat skiriasi. Bet jei abi eilutės skiriasi. tada jų suma (arba skirtumas) gali skirtis (jei un=vn) arba suartėti (jei un=vn)

Eilutei (1) eilutei
vadinama n-ąja serijos liekana. Jei ši eilutės liekana susilieja, tada jos suma bus žymima: r n =

T3 Jei eilutė suartėja, tai bet kuri jos likutis suartėja, jei kuri nors eilutė suartėja, tada pati eilutė konverguoja. Be to, bendra suma = dalinė serijos Sn + r n suma

Baigtinio terminų skaičiaus pakeitimas, atsisakymas ar pridėjimas neturi įtakos eilučių konvergencijai (divergencijai).

4 Būtinas eilučių konvergencijos ženklas

Jei serija suartėja, tada jos bendrojo nario riba yra lygi nuliui:

Dokumentas:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, todėl:

Ši savybė tik būtina, bet nepakankama, tai yra, jei bendrojo nario riba lygi nuliui, tai visai nebūtina, kad eilutės suartėtų. Vadinasi, ši sąlyga, jei ji neįvykdyta, yra pakankama būklė serijos skirtumai.

5 Eilučių konvergencijos integralinis testas. Dirichlet serija

T1 Tegul jis pateikiamas iš eilės (1), kurios nariai yra neneigiami ir nedidėja: u1>=u2>=u3...>=un

Jei yra funkcija f(x), kuri yra neneigiama, tolydi ir nedidėjanti taip, kad f(n) = Un,  n  N, tai sekai (1) konvergencijai būtina ir pakanka konvergencijai. netinkamas integralas:
, o divergencijai pakanka ir būtina, kad šis integralas, priešingai, išsiskirtų (WOW!).

Naudokime šią funkciją norėdami ištirti Dirichlet seriją: Štai ji: ( x>=1) ši funkcija tenkina 1 teoremos sąlygas, todėl Dirichlet eilutės konvergencija (divergencija) yra lygi integralo divergencijos konvergencijai:

Galimi trys atvejai:

1  >1,

Integralas, taigi ir serija, susilieja.

Integralas ir serija skiriasi

Integralas ir serija skiriasi

Pagrindiniai apibrėžimai.

Apibrėžimas. Vadinama begalinės skaičių sekos narių suma skaičių serija.

Tuo pačiu ir skaičiai
vadinsime juos serialo nariais, ir u n– dažnas serialo narys.

Apibrėžimas. Sumos
,n = 1, 2, … yra vadinami privačios (dalinės) sumos eilė.

Taigi galima nagrinėti eilučių dalinių sumų sekas S 1 , S 2 , …, S n , …

Apibrėžimas. Eilė
paskambino susiliejantis, jei jo dalinių sumų seka suartėja. Konvergencinių eilučių suma yra jo dalinių sumų sekos riba.

Apibrėžimas. Jeigu serijos dalinių sumų seka išsiskiria, t.y. neturi ribų arba turi begalinė riba, tada serialas vadinamas skiriasi ir jam nepriskiriama jokia suma.

Eilučių savybės.

1) Pakeitus, atmetus ar pridėjus eilučių konvergencija ar nukrypimas nebus pažeista galutinis skaičius serialo nariai.

2) Apsvarstykite dvi eilutes
Ir
, kur C – pastovus skaičius.

Teorema. Jei eilė
susilieja ir jo suma lygiS, tada serialas
taip pat konverguoja, o jo suma lygi CS. (C  0)

3) Apsvarstykite dvi eilutes
Ir
.Suma arba skirtumasšių serialų bus vadinami serialais
, kur elementai gaunami sudėjus (atimant) pradinius elementus su tais pačiais skaičiais.

Teorema. Jei eilutės
Ir
susilieja ir jų sumos yra atitinkamai lygiosSIr , tada serialas
taip pat suartėja ir jo suma yra lygiS +  .

Dviejų konvergencinių eilučių skirtumas taip pat bus konvergentinė eilutė.

Konvergentinės ir besiskiriančios eilučių suma yra divergentinė eilutė.

Neįmanoma pateikti bendro teiginio apie dviejų skirtingų eilučių sumą.

Studijuodami eilutes jie daugiausia sprendžia dvi problemas: konvergencijos tyrimą ir eilučių sumos radimą.

Košio kriterijus.

(būtinos ir pakankamos sąlygos eilučių konvergencijai)

Kad seka
buvo konvergentiška, būtina ir pakanka, kad bet kuriai
buvo toks skaičiusN, kad atn > Nir bet koksp> 0, kur p yra sveikas skaičius, galiotų ši nelygybė:

.

Įrodymas. (būtinybė)

Leiskite
, tada bet kuriam skaičiui
yra toks skaičius N, kad nelygybė

įvykdoma, kai n>N. Jei n>N ir bet koks sveikasis skaičius p>0, galioja ir nelygybė
. Atsižvelgdami į abi nelygybes, gauname:

Poreikis įrodytas. Mes nesvarstysime pakankamumo įrodymo.

Suformuluokime Koši kriterijų serijai.

Kad serialas
buvo konvergentiška, būtina ir pakanka, kad bet kuriai
buvo numerisNtoks, kad atn> Nir bet koksp>0 nelygybė galiotų

.

Tačiau praktiškai tiesiogiai naudoti Koši kriterijų nėra labai patogu. Todėl paprastai naudojami paprastesni konvergencijos testai:

1) Jei eilutė
suartėja, tada būtina, kad bendras terminas u n buvo linkęs į nulį. Tačiau šios sąlygos nepakanka. Galime tik pasakyti, kad jei bendras terminas nėra linkęs į nulį, serija tikrai skiriasi. Pavyzdžiui, vadinamosios harmoninės serijos yra skirtingas, nors jo bendras terminas yra lygus nuliui.

Pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Mes surasime
- būtinas ženklas konvergencija netenkinama, o tai reiškia, kad eilutė skiriasi.

2) Jei eilutė suartėja, tai jos dalinių sumų seka yra ribojama.

Tačiau šio ženklo taip pat nepakanka.

Pavyzdžiui, eilutės 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… skiriasi, nes jo dalinių sumų seka skiriasi dėl to, kad

Tačiau dalinių sumų seka yra ribota, nes
bet kuriuo n.

Serija su neneigiamais terminais.

Nagrinėdami pastovaus ženklo serijas, apsiribosime svarstydami serijas su neneigiamais terminais, nes tiesiog padauginus iš –1 iš šių eilučių, galima gauti eilutes su neigiamomis dalimis.

Teorema. Dėl serijos konvergencijos
su neneigiamomis dalimis būtina ir pakanka, kad eilučių dalinės sumos būtų apribotos.

Ženklas, skirtas palyginti serijas su neneigiamais terminais.

Tegul pateikiamos dvi eilutės
Ir
adresu u n , v n  0 .

Teorema. Jeigu u n  v n bet kuriuo n, tada nuo eilučių konvergencijos
serija susilieja
, ir nuo serijos skirtumo
serija skiriasi
.

Įrodymas. Pažymėkime pagal S n Ir  n dalinės serijų sumos
Ir
. Nes pagal teoremos sąlygas, serija
suartėja, tada jo dalinės sumos yra ribojamos, t.y. visų akivaizdoje n n  M, kur M yra tam tikras skaičius. Bet todėl u n  v n, Tai S n   n tada dalinės serijos sumos
taip pat yra riboti, ir to pakanka konvergencijai.

Pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Nes
, ir harmonikų serija skiriasi, tada serija skiriasi
.

Pavyzdys.

Nes
, ir serialas
susilieja (kaip mažėjanti geometrinė progresija), tada serija
taip pat susilieja.

Taip pat naudojamas šis konvergencijos ženklas:

Teorema. Jeigu
ir yra riba
, Kurh– skaičius, kuris nėra nulis, tada serija
Ir
elgiasi identiškai konvergencijos požiūriu.

D'Alemberto ženklas.

(Žanas Leronas d'Alembertas (1717–1783) – prancūzų matematikas)

Jei serialui
su teigiamais terminais yra toks skaičiusq<1, что для всех достаточно больших nnelygybė galioja

tada serija
susilieja, jei visiems yra pakankamai didelinsąlyga įvykdyta

tada serija
skiriasi.

D'Alemberto ribinis ženklas.

D'Alemberto ribinis kriterijus yra pirmiau minėto D'Alemberto kriterijaus pasekmė.

Jei yra riba
, tada kada < 1 ряд сходится, а при  > 1 – skiriasi. Jeigu = 1, tada į konvergencijos klausimą atsakyti negalima.

Pavyzdys. Nustatykite eilučių konvergenciją .

Išvada: serija susilieja.

Pavyzdys. Nustatykite eilučių konvergenciją

Išvada: serija susilieja.

Košio ženklas. (radikalus ženklas)

Jei serialui
su neneigiamais terminais yra toks skaičiusq<1, что для всех достаточно больших nnelygybė galioja

,

tada serija
susilieja, jei visiems yra pakankamai didelinnelygybė galioja

tada serija
skiriasi.

Pasekmė. Jei yra riba
, tada kada<1 ряд сходится, а при >1 eilutė skiriasi.

Pavyzdys. Nustatykite eilučių konvergenciją
.

Išvada: serija susilieja.

Pavyzdys. Nustatykite eilučių konvergenciją
.

Tie. Koši testas neatsako į eilučių konvergencijos klausimą. Patikrinkime, ar tenkinamos būtinos konvergencijos sąlygos. Kaip minėta aukščiau, jei serija susilieja, tada bendras serijos terminas yra lygus nuliui.

,

Taigi, būtina sąlyga konvergencija netenkinama, o tai reiškia, kad eilutė skiriasi.

Integralus Cauchy testas.

Jeigu (x) yra nuolatinė teigiama funkcija, mažėjanti per intervalą Ir
tada integralai
Ir
elgiasi vienodai konvergencijos požiūriu.

Kintamos serijos.

Kintamos eilutės.

Kintamoji serija gali būti parašyta taip:

Kur

Leibnizo ženklas.

Jei kintamos eilės ženklas absoliučios vertėsu i mažėja
o bendras terminas linkęs į nulį
, tada serija susilieja.

Absoliuti ir sąlyginė eilučių konvergencija.

Panagrinėkime keletą kintamų serijų (su savavališkų ženklų terminais).

(1)

ir serija, sudaryta iš absoliučios vertės eilės nariai (1):

(2)

Teorema. Iš eilučių (2) konvergencijos išplaukia eilučių (1) konvergencija.

Įrodymas. Serija (2) yra serija su neneigiamais terminais. Jei serija (2) susilieja, tai pagal Koši kriterijų bet kuriam >0 yra toks skaičius N, kad n>N ir bet kuriam sveikajam skaičiui p>0 yra teisinga ši nelygybė:

Pagal absoliučių verčių savybę:

Tai yra, pagal Koši kriterijų, iš (2) eilučių konvergencijos seka (1) eilučių konvergencija.

Apibrėžimas. Eilė
paskambino absoliučiai konvergencija, jei serija susilieja
.

Akivaizdu, kad pastovaus ženklo serijoms konvergencijos ir absoliučios konvergencijos sąvokos sutampa.

Apibrėžimas. Eilė
paskambino sąlyginai konvergencinis, jei jis susilieja ir serija
skiriasi.

D'Alemberto ir Koši ženklai kintamos serijos.

Leiskite
- kintamos serijos.

D'Alemberto ženklas. Jei yra riba
, tada kada<1 ряд
bus absoliučiai konvergentiška, ir kada>

Košio ženklas. Jei yra riba
, tada kada<1 ряд
bus absoliučiai konvergentiška, o jei >1, eilutė bus divergentinė. Kai =1, ženklas neduoda atsakymo apie eilučių konvergenciją.

Absoliučiai konvergentinių eilučių savybės.

1) Teorema. Dėl absoliučios serijos konvergencijos
būtina ir pakanka, kad ją būtų galima pavaizduoti kaip dviejų konvergencinių eilučių su neneigiamomis dalimis skirtumą.

Pasekmė. Sąlygiškai konvergentinė eilutė yra dviejų skirtingų eilučių, kurių neneigiami terminai linkę į nulį, skirtumas.

2) Konvergencinėje eilutėje bet koks eilučių sąlygų grupavimas, nekeičiantis jų tvarkos, išsaugo eilučių konvergenciją ir dydį.

3) Jei eilutė konverguoja absoliučiai, tai iš jos bet kokiu terminų permutavimu gauta eilutė taip pat absoliučiai suartėja ir turi tokią pat sumą.

Pertvarkius sąlyginai konvergencinės eilutės sąlygas, galima gauti sąlyginai konvergencinę eilutę, turinčią bet kokią išankstinę tam tikrą sumą, ir net skirtingą seriją.

4) Teorema. Bet kokiai absoliučiai konvergencinės serijos narių grupei (šiuo atveju grupių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis, o grupės narių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis), gaunama konvergentinė eilutė, suma iš kurių lygi pradinės serijos sumai.

5) Jei eilutės Ir absoliučiai sutampa ir jų sumos yra atitinkamai lygios S ir , tada serija, sudaryta iš visų formos produktų
imta bet kokia tvarka, taip pat absoliučiai suartėja ir jo suma lygi S - padaugintų eilučių sumų sandauga.

Jei padauginsite sąlyginai konvergentines eilutes, galite gauti divergentinę eilutę.

Funkcinės sekos.

Apibrėžimas. Jei serijos nariai yra ne skaičiai, o funkcijos X, tada serialas vadinamas funkcinis.

Funkcinių eilučių konvergencijos tyrimas yra sudėtingesnis nei skaitinių eilučių tyrimas. Vienas ir tas pats funkcinis diapazonas galbūt su tomis pačiomis kintamųjų reikšmėmis X suartėti, o su kitais – skirtis. Todėl funkcinių eilučių konvergencijos klausimas priklauso nuo tų kintamojo verčių nustatymo X, ties kuria serija susilieja.

Tokių verčių rinkinys vadinamas konvergencijos sritis.

Kadangi kiekvienos funkcijos, įtrauktos į serijos konvergencijos sritį, riba yra tam tikras skaičius, funkcinės sekos riba bus tam tikra funkcija:

Apibrėžimas. Pasekmė ( f n (x) } susilieja funkcionuoti f(x) atkarpoje, jei bet kuriam skaičiui >0 ir bet kuriam taškui X iš nagrinėjamos atkarpos yra toks skaičius N = N(, x), kad nelygybė

įvykdoma, kai n>N.

Esant pasirinktai reikšmei >0, kiekvienas atkarpos taškas turi savo skaičių, todėl bus be galo daug skaičių, atitinkančių visus atkarpos taškus. Jei iš visų šių skaičių pasirinksite didžiausią, tai šis skaičius tiks visiems atkarpos taškams, t.y. bus bendras visiems taškams.

Apibrėžimas. Pasekmė ( f n (x) } tolygiai susilieja funkcionuoti f(x) atkarpoje , jei bet kuriam skaičiui >0 yra skaičius N = N(), kad nelygybė

įvykdoma n>N visuose atkarpos taškuose.

Pavyzdys. Apsvarstykite seką

Ši seka susilieja visoje skaičių eilutėje į funkciją f(x)=0 , nes

Sukurkime šios sekos grafikus:

sinx

Kaip matyti, didėjant skaičiui n sekos grafikas artėja prie ašies X.

Funkcinė serija.

Apibrėžimas. Privačios (dalinės) sumos funkcinis diapazonas
funkcijos vadinamos

Apibrėžimas. Funkcinis diapazonas
paskambino susiliejantis taške ( x=x 0 ), jei jo dalinių sumų seka konverguoja šiame taške. Sekos riba
paskambino suma eilė
taške X 0 .

Apibrėžimas. Visų vertybių rinkinys X, kurio serija sutampa
paskambino konvergencijos sritis eilė.

Apibrėžimas. Eilė
paskambino tolygiai susiliejantys ant intervalo, jei šios eilutės dalinių sumų seka tolygiai konverguoja į šį intervalą.

Teorema. (Kauši vienodos eilučių konvergencijos kriterijus)

Vienodai eilučių konvergencijai
būtina ir pakanka, kad bet kokiam skaičiui >0 toks skaičius egzistavoN( ), kuri atn> Nir bet kokia visumap>0 nelygybė

galiotų visiems x intervale [a, b].

Teorema. (Weierstrass testas vienodai konvergencijai)

(Karlas Theodoras Wilhelmas Weierstrassas (1815–1897) – vokiečių matematikas)

Eilė
tolygiai ir absoliučiai susilieja intervale [a, b], jei jo sąlygų moduliai tame pačiame segmente neviršija atitinkamų konvergencinių skaičių eilutės su teigiamais nariais narių:

tie. yra nelygybė:

.

Jie taip pat sako, kad šiuo atveju funkcinė serija
yra majorizuotas skaičių serija
.

Pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos
.

Nes
visada, tai akivaizdu
.

Be to, žinoma, kad bendrosios harmoninės serijos kai=3>1 konverguoja, tai pagal Weierstrass testą tiriamos eilutės konverguoja tolygiai ir, be to, bet kokiu intervalu.

Pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos .

Intervale [-1,1] galioja nelygybė
tie. pagal Weierstrass kriterijų, tiriamos eilutės konverguoja į šį segmentą, bet skiriasi intervalais (-, -1)  (1, ).

Tolygiai susiliejančių eilučių savybės.

1) Eilučių sumos tęstinumo teorema.

Jei serialo nariai
- ištisinis segmente [a, b] funkcija ir eilutė konverguoja tolygiai, tada jos sumaS(x) Yra nuolatinė funkcija segmente [a, b].

2) Eilučių integravimo pagal terminą teorema.

Tolygiai susilieja segmente [a, b] serija su tęstiniais terminais šiame intervale gali būti integruojama po terminą, t.y. serija, sudaryta iš jos terminų integralų per segmentą [a, b] , konverguoja į šio segmento eilučių sumos integralą.

3) Eilučių diferencijavimo pagal terminą teorema.

Jei serialo nariai
susilieja segmente [a, b] reiškia ištisines funkcijas, turinčias ištisines išvestines, ir iš šių išvestinių sudarytą seką
tolygiai susilieja šiame segmente, tada ši eilutė suartėja tolygiai ir gali būti diferencijuojama pagal terminą.

Remiantis tuo, kad eilučių suma yra tam tikra kintamojo funkcija X, galite atlikti funkcijos atvaizdavimo serijos forma operaciją (funkcijos išplėtimas į seriją), kuri plačiai naudojama integravimo, diferencijavimo ir kitose operacijose su funkcijomis.

Praktikoje dažnai naudojamas funkcijų eilučių išplėtimas.

Galios serija.

Apibrėžimas. Galios serija vadinama formos serija

.

Norint ištirti galių eilučių konvergenciją, patogu naudoti d'Alembert testą.

Pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Taikome d'Alemberto ženklą:

.

Pastebime, kad ši serija susilieja
ir skiriasi ties
.

Dabar nustatome konvergenciją ribiniuose taškuose 1 ir –1.

Jei x = 1:
Serija konverguoja pagal Leibnizo kriterijų (žr Leibnizo ženklas.).

Kai x = -1:
serija skiriasi (harmoninė serija).

Abelio teoremos.

(Nilsas Henrikas Abelis (1802–1829) – norvegų matematikas)

Teorema. Jei galios serija
susilieja tiesx = x 1 , tada jis susilieja ir, be to, absoliučiai visiems
.

Įrodymas. Pagal teoremos sąlygas, kadangi serijos sąlygos yra ribotos, tada

Kur k- kažkoks pastovus skaičius. Ši nelygybė yra teisinga:

Iš šios nelygybės aišku, kad kada x< x 1 mūsų serijos terminų skaitinės reikšmės bus mažesnės (bent jau ne daugiau) nei atitinkami eilutės nariai, esantys dešinėje aukščiau parašytos nelygybės pusėje, kurie sudaro geometrinę progresiją. Šios progresijos vardiklis pagal teoremos sąlygas jis yra mažesnis už vienetą, todėl ši progresija yra konvergentinė eilutė.

Todėl, remdamiesi palyginimo kriterijumi, darome išvadą, kad serija
susilieja, o tai reiškia seriją
absoliučiai susilieja.

Taigi, jei galių serija
susilieja taške X 1 , tada jis absoliučiai suartėja bet kuriame 2 ilgio intervalo taške centruojamas taške X = 0.

Pasekmė. Jei pas x = x 1 serialas skiriasi, tada skiriasi visiems
.

Taigi kiekvienai laipsnio eilutei yra teigiamas skaičius R toks, kad visiems X toks kad
serija yra absoliučiai konvergentiška ir visiems
eilė išsiskiria. Šiuo atveju vadinamas skaičius R konvergencijos spindulys. Intervalas (-R, R) vadinamas konvergencijos intervalas.

Atkreipkite dėmesį, kad šis intervalas gali būti uždarytas iš vienos ar abiejų pusių arba neuždarytas.

Konvergencijos spindulį galima rasti naudojant formulę:

Pavyzdys. Raskite eilučių konvergencijos sritį

Konvergencijos spindulio radimas
.

Todėl ši serija susilieja bet kokiai vertei X. Bendras šios serijos terminas yra nulis.

Teorema. Jei galios serija
suartėja dėl teigiamos vertės x=x 1 , tada jis tolygiai susilieja bet kokiu intervalu viduje
.

Veiksmai su galios serijomis.

Šis straipsnis yra struktūrizuotas ir išsamią informaciją, kuris gali būti naudingas analizuojant pratimus ir užduotis. Panagrinėsime skaičių serijų temą.

Šis straipsnis prasideda nuo pagrindinių apibrėžimų ir sąvokų. Toliau išnagrinėsime standartines parinktis pagrindinės formulės. Siekiant konsoliduoti medžiagą, straipsnyje pateikiami pagrindiniai pavyzdžiai ir užduotys.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagrindinės tezės

Pirmiausia įsivaizduokime sistemą: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , kur a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Pavyzdžiui, paimkime tokius skaičius: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

1 apibrėžimas

Skaičių serija yra terminų ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + suma. . . + a n + . . . .

Norėdami geriau suprasti apibrėžimą, apsvarstykite pateiktą atvejį, kai q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2 apibrėžimas

a k yra bendras arba k-asis serialo narys.

Tai atrodo maždaug taip - 16 · - 1 2 k.

3 apibrėžimas

Dalinė serijų suma atrodo maždaug taip S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , kuriame n- bet koks skaičius. S n yra nth serijos suma.

Pavyzdžiui, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k yra S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . sudaryti begalinę skaičių seką.

Už eilę nth suma randama pagal formulę S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n. Naudojame tokią dalinių sumų seką: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

4 apibrėžimas

Serija ∑ k = 1 ∞ a k yra susiliejantis kai seka turi baigtinė riba S = lim S n n → + ∞ . Jei ribos nėra arba seka yra begalinė, tai serija ∑ k = 1 ∞ a k vadinama skiriasi.

5 apibrėžimas

Konvergentinės eilutės suma∑ k = 1 ∞ a k yra sekos ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S riba.

IN šiame pavyzdyje lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, serija ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k susilieja. Suma yra 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1 pavyzdys

Divergentinės serijos pavyzdys yra geometrinės progresijos suma, kurios vardiklis yra didesnis nei vienas: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

n-oji dalinė suma pateikiama S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, o dalinių sumų riba yra begalinė: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Kitas skirtingų skaičių serijos pavyzdys yra ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + formos suma. . . . Šiuo atveju n-oji dalinė suma gali būti apskaičiuojama kaip Sn = 5n. Dalinių sumų riba yra begalinė lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6 apibrėžimas

Tos pačios formos suma kaip ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Tai harmoninė skaičių serija.

7 apibrėžimas

Suma ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Kur s –realus skaičius, yra apibendrinta harmoninių skaičių serija.

Aukščiau aptarti apibrėžimai padės išspręsti daugumą pavyzdžių ir problemų.

Norint užbaigti apibrėžimus, būtina įrodyti tam tikras lygtis.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergentas.

Mes naudojame atvirkštinį metodą. Jei jis susilieja, tada riba yra baigtinė. Lygtį galime užrašyti kaip lim n → + ∞ S n = S ir lim n → + ∞ S 2 n = S . Atlikę tam tikrus veiksmus gauname lygybę l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0.

prieš,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

Sąžininga šios nelygybės 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Gauname, kad S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Išraiška S 2 n - S n > 1 2 rodo, kad lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nepasiekta. Serialas skiriasi.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Būtina patvirtinti, kad skaičių sekos suma konverguoja ties q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Pagal aukščiau pateiktus apibrėžimus, suma n terminai nustatomi pagal formulę S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Jei q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 – 1 q – 1 = b 1 q – 1

Mes įrodėme, kad skaičių eilutė suartėja.

Jei q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Sumas galima rasti naudojant formulę S n = b 1 · n, riba yra begalinė lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Pateiktoje versijoje serija skiriasi.

Jeigu q = – 1, tada serija atrodo taip b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Dalinės sumos atrodo taip, kaip S n = b 1, jei nelyginis n, o S n = 0 lyginiam n. Apsvarstę šį atvejį, įsitikinsime, kad nėra jokių apribojimų ir serijos skiriasi.

Jei q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Įrodėme, kad skaičių eilutės skiriasi.

1. Eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguoja, jei s > 1 ir skiriasi, jei s ≤ 1.

Už s = 1 gauname ∑ k = 1 ∞ 1 k , serija skiriasi.

Kai s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,natūralusis skaičius. Kadangi eilutė yra divergentinė ∑ k = 1 ∞ 1 k , ribos nėra. Po to seka ∑ k = 1 ∞ 1 k s yra neribota. Darome išvadą, kad pasirinktos serijos skiriasi, kai s< 1 .

Būtina pateikti įrodymų, kad eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguoja s > 1.

Įsivaizduokime S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Tarkime, kad 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Įsivaizduokime lygtį skaičių, kurie yra natūralieji ir lyginiai n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Mes gauname:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Išraiška yra 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . yra geometrinės progresijos q = 1 2 s - 1 suma. Pirminiais duomenimis, val s > 1, tada 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 didėja ir ribojamas nuo aukščiau 1 1 - 1 2 s - 1 . Įsivaizduokime, kad yra riba ir seka konvergencinė ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8 apibrėžimas

Serija ∑ k = 1 ∞ a k yra teigiamas tokiu atveju, jei jo nariai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Serija ∑ k = 1 ∞ b k signalinis, jei skaičių ženklai skiriasi. Šis pavyzdys pateikiamas kaip ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k arba ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , kur a k > 0, k = 1, 2, . . . .

Serija ∑ k = 1 ∞ b k pakaitomis, nes jame yra daug skaičių, neigiamų ir teigiamų.

Antros eilės variantas yra ypatingas atvejis trečias variantas.

Čia pateikiami atitinkamai kiekvieno atvejo pavyzdžiai:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Trečiajame variante taip pat galite nustatyti absoliučią ir sąlyginę konvergenciją.

9 apibrėžimas

Kintamoji eilutė ∑ k = 1 ∞ b k yra absoliučiai konvergentiška tuo atveju, kai ∑ k = 1 ∞ b k taip pat laikoma konvergentine.

Išsamiai pažvelkime į keletą tipiškų variantų.

2 pavyzdys

Jei eilutės yra 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . ir 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . apibrėžiami kaip konvergentiniai, tada teisinga manyti, kad 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10 apibrėžimas

Kintamoji eilutė ∑ k = 1 ∞ b k laikoma sąlyginai konvergentine, jei ∑ k = 1 ∞ b k yra divergentinė, o eilutė ∑ k = 1 ∞ b k laikoma konvergentine.

3 pavyzdys

Išsamiai panagrinėkime variantą ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Serija ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k, kurią sudaro absoliučios reikšmės, apibrėžiama kaip divergentinė. Ši parinktis laikoma konvergencine, nes ją lengva nustatyti. Iš šio pavyzdžio sužinome, kad eilutė ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . bus laikomi sąlyginai konvergenciniais.

Konvergentinių eilučių ypatybės

Išanalizuokime savybes tam tikrais atvejais

1. Jei ∑ k = 1 ∞ a k konverguoja, tai seka ∑ k = m + 1 ∞ a k taip pat laikoma konvergentine. Galima pastebėti, kad eilutė be m terminai taip pat laikomi konvergentiniais. Jei prie ∑ k = m + 1 ∞ a k pridėsime kelis skaičius, tai gautas rezultatas taip pat bus konvergentiškas.
2. Jei ∑ k = 1 ∞ a k konverguoja ir suma = S, tada eilutė ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S taip pat konverguoja, kur A- pastovus.
3. Jei ∑ k = 1 ∞ a k ir ∑ k = 1 ∞ b k yra konvergentiški, sumos A Ir B taip pat, tada eilutės ∑ k = 1 ∞ a k + b k ir ∑ k = 1 ∞ a k - b k taip pat suartėja. Sumos bus lygios A+B Ir A-B atitinkamai.

Nustatykite, kad eilutė konverguoja ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Pakeiskime išraišką ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Serija ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 laikoma konvergentine, nes eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguoja, kai s > 1. Pagal antrąją savybę ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5 pavyzdys

Nustatykite, ar eilutė ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 konverguoja.

Transformuokime pradinę versiją ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 .

Gauname sumą ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 ir ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Kiekviena serija laikoma konvergencija pagal savybę. Taigi, serialams susiliejant, keičiasi ir pradinė versija.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite, ar eilutės 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konverguoja. . . ir apskaičiuokite sumą.

Išplėskime pradinę versiją:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Kiekviena serija susilieja, nes tai yra vienas iš terminų skaičių seka. Pagal trečiąją savybę galime apskaičiuoti, kad pradinė versija taip pat konvergentiška. Apskaičiuojame sumą: Pirmasis eilutės narys ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, o vardiklis = 0. 5, po to seka ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Pirmasis narys yra ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , o mažėjančios skaičių sekos vardiklis = 1 3 . Gauname: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Sumoms 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + nustatyti naudojame aukščiau gautas išraiškas. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Būtina sąlyga norint nustatyti, ar eilutė yra konvergentiška

Jei eilutė ∑ k = 1 ∞ a k yra konvergentiška, tai jos riba kth terminas = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Jei pažymime bet kurią parinktį, neturime pamiršti apie būtiną sąlygą. Jei tai neįvykdoma, serija skiriasi. Jei lim k → + ∞ a k ≠ 0, tai serija yra divergentinė.

Reikėtų paaiškinti, kad sąlyga svarbi, bet nepakankama. Jei galioja lygybė lim k → + ∞ a k = 0, tai negarantuoja, kad ∑ k = 1 ∞ a k yra konvergentiška.

Pateikime pavyzdį. Harmoninių serijų ∑ k = 1 ∞ 1 k sąlyga tenkinama lim k → + ∞ 1 k = 0 , bet eilutė vis tiek skiriasi.

7 pavyzdys

Nustatykite konvergenciją ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Patikrinkime pradinę sąlygos lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 n 2 + 1 n įvykdymo išraišką. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Riba nth narys nėra lygus 0. Mes įrodėme, kad ši serija skiriasi.

Kaip nustatyti teigiamų eilučių konvergenciją.

Jei nuolat naudosite šias charakteristikas, turėsite nuolat skaičiuoti ribas. Šis skyrius padės išvengti sunkumų sprendžiant pavyzdžius ir problemas. Norint nustatyti teigiamos eilutės konvergenciją, yra tam tikra sąlyga.

Teigiamo ženklo konvergencijai ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . reikia nustatyti ribota seka sumos

Kaip palyginti serijas

Yra keletas serijų palyginimo ženklų. Eilutes, kurių konvergenciją siūloma nustatyti, lyginame su eilėmis, kurių konvergencija žinoma.

Pirmas ženklas

∑ k = 1 ∞ a k ir ∑ k = 1 ∞ b k yra teigiamo ženklo eilutės. Galioja nelygybė a k ≤ b k k = 1, 2, 3, ... Iš to išplaukia, kad iš eilės ∑ k = 1 ∞ b k galime gauti ∑ k = 1 ∞ a k . Kadangi ∑ k = 1 ∞ a k yra divergentinė, serija ∑ k = 1 ∞ b k gali būti apibrėžta kaip divergentinė.

Ši taisyklė nuolat naudojama sprendžiant lygtis ir yra rimtas argumentas, padėsiantis nustatyti konvergenciją. Sunkumas gali slypėti tame, kad ne kiekvienu atveju įmanoma rasti tinkamą palyginimui pavyzdį. Gana dažnai serija parenkama pagal principą, kad indikatorius kth terminas bus lygus skaitiklio ir vardiklio rodiklių atėmimo rezultatui kth serialo narys. Tarkime, kad a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, skirtumas bus lygus 2 – 3 = - 1 . IN šiuo atveju galima nustatyti, kad palyginimui serija su k-oji terminas b k = k - 1 = 1 k , kuris yra harmoningas.

Norėdami konsoliduoti gautą medžiagą, mes išsamiai apsvarstysime keletą tipiškų variantų.

8 pavyzdys

Nustatykite, kokia yra eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2.

Kadangi riba = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, mes tenkinome būtinąją sąlygą. Nelygybė bus teisinga 1 k< 1 k - 1 2 для k, kurie yra natūralūs. Iš ankstesnių pastraipų sužinojome, kad harmonikų eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k yra divergentinė. Pagal pirmąjį kriterijų galima įrodyti, kad originali versija skiriasi.

9 pavyzdys

Nustatykite, ar eilutė yra konvergentinė ar divergentinė ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Šiame pavyzdyje būtina sąlyga yra įvykdyta, nes lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Ją pavaizduojame kaip nelygybę 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Eilė ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 yra konvergentinė, nes harmoninė eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguoja s > 1. Pagal pirmąjį kriterijų galime daryti išvadą, kad skaičių eilutė yra konvergentinė.

10 pavyzdys

Nustatykite, kokia yra eilutė ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k). lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Šioje parinktyje galite pažymėti norimos sąlygos įvykdymą. Apibrėžkime seriją palyginimui. Pavyzdžiui, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Norėdami nustatyti, kas yra laipsnis, apsvarstykite seką (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Sekos nariai ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . didėja iki begalybės. Išanalizavę lygtį, galime pastebėti, kad reikšme N = 1619, tada sekos nariai > 2. Šiai sekai nelygybė 1 k ln (ln k) bus teisinga< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Antrasis ženklas

Tarkime, kad ∑ k = 1 ∞ a k ir ∑ k = 1 ∞ b k yra teigiamos skaičių eilutės.

Jei lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , tai eilutė ∑ k = 1 ∞ b k konverguoja, o ∑ k = 1 ∞ a k taip pat konverguoja.

Jei lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, tai kadangi eilutė ∑ k = 1 ∞ b k skiriasi, tada ∑ k = 1 ∞ a k taip pat skiriasi.

Jei lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ ir lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, tai eilutės konvergencija arba divergencija reiškia kitos konvergenciją arba divergenciją.

Apsvarstykite ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 naudodami antrąjį ženklą. Palyginimui ∑ k = 1 ∞ b k imame konvergentinę eilutę ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Apibrėžkime ribą: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Pagal antrąjį kriterijų galima nustatyti, kad konvergentinė eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 reiškia, kad konverguoja ir pradinė versija.

11 pavyzdys

Nustatykite, kokia yra eilutė ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5.

Išanalizuokime būtinąją sąlygą lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0, kuri tenkinama šiame variante. Pagal antrąjį kriterijų paimkite eilutę ∑ k = 1 ∞ 1 k . Mes ieškome ribos: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Remiantis aukščiau pateiktomis tezėmis, skirtinga serija reiškia pradinės serijos skirtumą.

Trečias ženklas

Panagrinėkime trečiąjį palyginimo ženklą.

Tarkime, kad ∑ k = 1 ∞ a k ir _ ∑ k = 1 ∞ b k yra teigiamų skaičių eilutės. Jei sąlyga tenkinama tam tikram skaičiui a k ​​+ 1 a k ≤ b k + 1 b k , tai šios eilutės ∑ k = 1 ∞ b k konvergencija reiškia, kad eilutė ∑ k = 1 ∞ a k taip pat yra konvergentiška. Divergentinė eilutė ∑ k = 1 ∞ a k reiškia divergenciją ∑ k = 1 ∞ b k .

D'Alemberto ženklas

Įsivaizduokime, kad ∑ k = 1 ∞ a k yra teigiamų skaičių eilutė. Jei lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, tada skiriasi.

1 pastaba

D'Alemberto testas galioja, jei riba yra begalinė.

Jei lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , tai seka yra konvergentinė, jei lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , tai ji yra divergentinė.

Jei lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, tai d’Alemberto ženklas nepadės ir reikės atlikti daugiau tyrimų.

12 pavyzdys

Naudodami d’Alemberto kriterijų nustatykite, ar eilutė yra konvergentinė, ar divergentinė ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k.

Būtina patikrinti, ar tenkinama būtina konvergencijos sąlyga. Apskaičiuokime ribą pagal L'Hopital taisyklę: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Matome, kad sąlyga įvykdyta. Naudokime d'Alemberto testą: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

Serija yra konvergentiška.

13 pavyzdys

Nustatykite, ar eilutė yra divergentinė ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Eilučių divergencijai nustatyti naudokime d'Alemberto testą: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Todėl serija skiriasi.

Radikalus Koši ženklas

Tarkime, kad ∑ k = 1 ∞ a k yra eilutė su teigiamu ženklu. Jei lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, tada skiriasi.

2 pastaba

Jei lim k → + ∞ a k k = 1, tai šis ženklas neteikia jokios informacijos – reikalinga papildoma analizė.

Ši funkcija gali būti naudojama pavyzdžiuose, kuriuos lengva atpažinti. Atvejis bus tipiškas, kai skaičių eilutės narys yra eksponentinė galios išraiška.

Siekdami konsoliduoti gautą informaciją, panagrinėkime keletą tipiškų pavyzdžių.

14 pavyzdys

Nustatykite, ar teigiamo ženklo eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k yra konvergentinė.

Būtina sąlyga laikomas įvykdytu, nes lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Pagal aukščiau aptartą kriterijų gauname lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Ši serija yra konvergentiška.

15 pavyzdys

Ar skaičių eilutė ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 susilieja?

Naudojame ankstesnėje pastraipoje aprašytą požymį lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integralus Cauchy testas

Tarkime, kad ∑ k = 1 ∞ a k yra eilutė su teigiamu ženklu. Būtina pažymėti tęstinio argumento funkciją y = f(x), kuris sutampa su a n = f (n) . Jeigu y = f(x)didesnis už nulį, nenutrūksta ir sumažėja [ a ; + ∞) , kur a ≥ 1

Tada, jei netinkamasis integralas ∫ a + ∞ f (x) d x yra konverguojantis, tada nagrinėjama eilutė taip pat konverguoja. Jei ji skiriasi, nagrinėjamame pavyzdyje serija taip pat skiriasi.

Tikrindami, ar funkcija mažėja, galite naudoti ankstesnėse pamokose aprašytą medžiagą.

16 pavyzdys

Apsvarstykite konvergencijos pavyzdį ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k.

Laikoma, kad eilutės konvergencijos sąlyga įvykdyta, nes lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Apsvarstykite y = 1 x ln x. Jis didesnis už nulį, nepertraukiamas ir mažėja [2; + ∞) . Pirmieji du punktai yra tikrai žinomi, tačiau trečiasis turėtų būti aptartas išsamiau. Randame išvestinę: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. mažiau nei nulis ant [ 2 ; + ∞) . Tai patvirtina tezę, kad funkcija mažėja.

Tiesą sakant, funkcija y = 1 x ln x atitinka principo, kurį mes svarstėme aukščiau, charakteristikas. Panaudokime: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Pagal gautus rezultatus, originalus pavyzdys skiriasi, nes netinkamas integralas yra divergentas.

17 pavyzdys

Įrodykite eilutės ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) konvergenciją 3 .

Kadangi lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, tai sąlyga laikoma įvykdyta.

Pradedant nuo k = 4, teisinga išraiška yra 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Jei eilutė ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 laikoma konvergentine, tai pagal vieną iš palyginimo principų eilutė ∑ k = 4 ∞ 1 (10) k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 taip pat bus laikomi konvergentiniais. Tokiu būdu galime nustatyti, kad pradinė išraiška taip pat konvergentiška.

Pereikime prie įrodymo: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Kadangi funkcija y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 yra didesnė už nulį, ji nepertraukiama ir mažėja [4; + ∞) . Naudojame ankstesnėje pastraipoje aprašytą funkciją:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Gautoje konvergentinėje eilutėje ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 galime nustatyti, kad ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 taip pat susilieja.

Raabės ženklas

Tarkime, kad ∑ k = 1 ∞ a k yra teigiamų skaičių serija.

Jei lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, tada jis susilieja.

Šis nustatymo metodas gali būti naudojamas, jei aukščiau aprašyti metodai neduoda matomų rezultatų.

Absoliučios konvergencijos tyrimas

Tyrimui imame ∑ k = 1 ∞ b k . Naudojame teigiamą ženklą ∑ k = 1 ∞ b k . Galime naudoti bet kurią iš aukščiau aprašytų tinkamų funkcijų. Jei eilutė ∑ k = 1 ∞ b k konverguoja, tai pradinė eilutė yra absoliučiai konverguojanti.

18 pavyzdys

Ištirkite eilutę ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergencijai ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 .

Sąlyga tenkinama lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Naudojame ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 ir naudojame antrą ženklą: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Serija ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 suartėja. Originali serija taip pat yra visiškai suderinta.

Kintamų serijų skirtumai

Jei eilutė ∑ k = 1 ∞ b k yra divergentinė, tai atitinkama kintamoji eilutė ∑ k = 1 ∞ b k yra arba divergentinė, arba sąlyginai konvergentinė.

Tik d'Alemberto testas ir radikalusis Cauchy testas padės padaryti išvadas apie ∑ k = 1 ∞ b k iš nukrypimo nuo modulių ∑ k = 1 ∞ b k . Eilutė ∑ k = 1 ∞ b k taip pat skiriasi, jei netenkinama būtinoji konvergencijos sąlyga, tai yra, jei lim k → ∞ + b k ≠ 0.

19 pavyzdys

Patikrinkite skirtumus 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Modulis kth terminas vaizduojamas kaip b k = k ! 7 k.

Panagrinėkime eilutę ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k konvergencijai naudojant d'Alemberto kriterijų: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k skiriasi taip pat, kaip ir pradinė versija.

20 pavyzdys

Ar ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergentinė.

Panagrinėkime būtinąją sąlygą lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Sąlyga neįvykdyta, todėl ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) serija yra divergentinė. Limitas buvo apskaičiuotas pagal L'Hopital taisyklę.

Sąlyginiai konvergencijos kriterijai

Leibnizo testas

Jei kintamosios serijos terminų reikšmės sumažėja b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . o modulio riba = 0 kaip k → + ∞, tada eilutė ∑ k = 1 ∞ b k konverguoja.

17 pavyzdys

Apsvarstykite ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konvergencijai.

Serija pavaizduota kaip ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Tenkinama būtina sąlyga: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Apsvarstykite ∑ k = 1 ∞ 1 k pagal antrąjį palyginimo kriterijų lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Pastebime, kad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) skiriasi. Eilutė ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konverguoja pagal Leibnizo kriterijų: seka 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . mažėja ir lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Serija konverguoja sąlyginai.

Abelio-Dirichleto testas

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konverguoja, jei ( u k ) nedidėja ir seka ∑ k = 1 + ∞ v k yra ribojama.

17 pavyzdys

Naršykite 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . konvergencijai.

Įsivaizduokime

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

kur (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . yra nedidėjantis, o seka (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . ribotas (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . Serija susilieja.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter