Furjė transformacija
Naudojant Furjė transformacijas, vaizdas pateikiamas kaip komplekso suma eksponentinės funkcijos amplitudės, dažnio ir fazės kintamieji. Furjė transformacija vaidina labai svarbus vaidmuo daugelyje vaizdo apdorojimo sričių, įskaitant tobulinimą, analizę, atkūrimą ir glaudinimą.
- Pagrindiniai Furjė transformacijos apibrėžimai
- Diskretinė Furjė transformacija, įskaitant greitąją Furjė transformaciją
- Furjė transformacijos taikymas (kai kurie pavyzdžiai praktinis pritaikymas Furjė transformacija)
Pagrindiniai Furjė transformacijos apibrėžimai
Jeigu ƒ(m,n) yra dviejų atskirų erdvinių kintamųjų m ir n funkcija, tada funkcijos dvimatė Furjė transformacija ƒ(m,n) gali būti pavaizduotas tokia išraiška
Kintamieji yra kampiniai dažniai. Taigi, reiškia funkciją ƒ(m,n) V dažnio sritis. yra kompleksinės reikšmės funkcija su atitinkamais dažniais. Dažniai yra diapazone , . Atkreipkite dėmesį, kad F(0,0) pateikiamas kaip visų kintamųjų suma ƒ(m,n). Dėl šios priežasties F(0,0) dažnai vadinamas Furjė transformacijos pastoviuoju komponentu.
Atvirkštinė dvimatė Furjė transformacija pavaizduota išraiška
Tie. ši išraiška reiškia ƒ(m,n) sumos pavidalu baigtinis skaičius sudėtingos eksponentinės funkcijos (sinuso bangos) su skirtingais dažniais. Amplitudė ir fazė lemia dažnių indėlį į vaizdavimą.
Furjė transformacijos vizualizacija
Iliustruodami Furjė transformaciją, tarkime, kad funkcija ƒ(m,n) lygus 1 ir pavaizduotas kaip stačiakampis. Norėdami supaprastinti diagramą, funkcija ƒ(m,n) bus pavaizduota kaip nuolatinė dviejų atskirų kintamųjų funkcija m Ir n.
Stačiakampio formos funkcija
Žemiau pateiktame paveikslėlyje, naudojant tinklelio funkciją, pavaizduotos amplitudės vertės, gautos iš Furjė transformacijos stačiakampė funkcija parodyta ankstesniame paveikslėlyje. Amplitudės vizualizacija dar vadinama Furjė transformacijos vizualizacija.
Stačiakampės funkcijos vaizdo amplitudė
Funkcijos smailė yra centre ir rodo reikšmę F(0,0), kuri yra visų reikšmių suma ƒ(m,n). Visi kiti komponentai atspindi energijos pasiskirstymą vertikaliais ir horizontaliais dažniais.
Kitas būdas vizualizuoti Furjė transformaciją yra rodyti reikšmes kaip vaizdą.
Stačiakampės funkcijos Furjė transformacijos logaritminis vaizdas
Pažvelkime į įvairių paprastų formų funkcijų Furjė transformacijų pavyzdžius.
Įvairių paprastų formų funkcijų Furjė transformacijų pavyzdžiai
Diskretinė kosinuso transformacija
Diskrečiosios kosinuso transformacijos vaizduoja vaizdą kaip sinusoidų, turinčių skirtingą amplitudę ir dažnį, sumą. dct2 funkcija vaizdo programoje Apdorojimo įrankių rinkinysįgyvendina dvimates diskrečiąsias vaizdų kosinuso transformacijas. Viena iš diskrečiosios Furjė transformacijos ypatybių yra ta, kad kai kurios vietines teritorijas galima apibūdinti vaizdus nedidelė suma diskretieji Furjė transformacijos koeficientai. Ši savybė labai dažnai naudojama kuriant vaizdo glaudinimo metodus. Pavyzdžiui, diskrečioji kosinuso transformacija yra tarptautinio standarto, naudojamo JPEG nuostolingo vaizdo glaudinimo algoritme, pagrindas. Formato pavadinimas „JPEG“ susideda iš pirmųjų pavadinimo raidžių darbo grupė, kuri dalyvavo kuriant šį standartą (Joint Photography Experts Group).
Dvimatė diskrečiųjų kosinuso matricos transformacija A su matmenimis įgyvendinamas pagal tokią išraišką
Vertybės Bpq vadinami matricos diskrečiosios kosinuso transformacijos koeficientais A.
(Pažymėtina, kad MATLAB matricos indeksai visada prasideda 1, o ne 0. Todėl matricos elementai, kurie MATLAB pateikiami kaip A(1,1) ir B(1,1), atitiks elementus A 00 Ir B00 iš aukščiau pateiktos formulės.)
Atvirkštinė diskretinė kosinuso transformacija įgyvendinama pagal išraiškas
Atvirkštinė diskrečioji kosinuso transformacijos išraiška gali būti interpretuojama kaip matricinis vaizdas A kurių matmenys yra šių funkcijų suma
Šios funkcijos vadinamos pagrindinėmis (pagrindinėmis) diskrečiosios kosinuso transformacijos funkcijomis. Diskretieji kosinuso transformacijos koeficientai Bpq gali būti laikomi kiekvienos pagrindinės funkcijos svarmenimis. Pavyzdžiui, matricoje su elemento dydžiu yra 64 pagrindinės funkcijos, kuris parodytas paveikslėlyje.
64 pagrindinės funkcijos, gautos matricai su elementų dydžiais
Horizontalūs dažniai didėja iš kairės į dešinę, o vertikalūs – iš viršaus į apačią.
Diskretinė kosinuso transformacijos matrica
Taikymas Vaizdo apdorojimas Toolbox siūlo du skirtingais būdais diskrečiųjų kosinusų transformacijų įgyvendinimas. Pirmasis metodas yra įgyvendintas funkcijoje dct2. Funkcija dct2 naudoja greitą Furjė transformaciją, kad pagreitintų skaičiavimus. Antrasis metodas naudoja diskrečiąją kosinuso transformacijos matricą, kurią grąžina funkcija dctmtx. Transformacijos matrica T sudaroma pagal tokią išraišką
Dėl matricos A su matmenimis yra matrica su matmenimis , kur kiekviename stulpelyje yra vienmatė diskrečioji kosinuso transformacija A. Dvimatė diskretinė kosinuso transformacija A skaičiuojamas kaip B=T*A*T“. Atvirkštinė dvimatė diskretinė kosinuso transformacija B skaičiuojamas kaip T'*B*T.
Atskiros kosinuso transformacijos ir vaizdo suspaudimas
JPEG vaizdo glaudinimo algoritme originalus vaizdas yra padalintas į matmenų arba elementų blokus. Toliau kiekvienam blokui apskaičiuojama dvimatė diskretinė kosinuso transformacija. Diskrečiųjų kosinusų transformacijų koeficientai yra kvantuojami, užkoduojami ir perduodami. JPEG imtuvas dekoduoja diskrečiuosius kosinuso transformacijos koeficientus, apskaičiuoja atvirkštinę 2D diskrečiąją kosinuso transformaciją kiekviename bloke ir sujungia juos į vieną vaizdą.
Panagrinėkime dvimačių diskrečiųjų kosinusų transformacijų skaičiavimo blokais su pradinio vaizdo elementų dydžiais pavyzdį. Be to, rekonstruodami vaizdą, atsižvelgsime tik į 10 koeficientų iš kiekvieno bloko, likusi dalis bus nustatyta į nulį. Atliekant aprašytus skaičiavimus, taip pat bus naudojama transformacijos matrica.
I = imread("kameras.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); kaukė = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",kaukė); I2 = blkproc(B2,"P1 *x*P2",T",T); imshow(I); figūra, parodymas (I2)
Paveikslėlyje pavaizduoti du vaizdai – originalus ir rekonstruotas. Atkuriant vaizdą buvo panaudota tik 15% diskrečiųjų kosinusų transformacijos koeficientų. Tačiau reikia pažymėti, kad rekonstruoto vaizdo kokybė yra gana priimtina. Norėdami peržiūrėti kitas diskrečiojo kosinuso transformacijos savybes, žr. funkciją dctdemo.
Radono transformacijos
Vaizdo apdorojimo įrankių rinkinyje esanti radono funkcija apskaičiuoja vaizdo projekcijų matricą nurodytomis kryptimis. Dvimatės funkcijos f(x,y) projekcija lygi integralui išilgai nurodyta eilutė. Radono funkcija yra vaizdo projekcijų ašyje apskaičiavimas, kurios yra nurodytos kampais laipsniais horizontalės atžvilgiu prieš laikrodžio rodyklę. Paveikslėlyje parodyta tam tikros figūros projekcija nurodytu kampu
Lygiagreti spindulio projekcija su sukimosi kampu teta
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotos paprastos dvimatės funkcijos horizontalios ir vertikalios projekcijos.
Horizontalios ir vertikalios kai kurių paprastų funkcijų projekcijos
Projekcijas galima apskaičiuoti kartu savavališkas kampas teta. Vaizdo apdorojimo įrankių rinkinyje integruota radono funkcija apskaičiuoja vaizdo projekcijas tam tikromis kryptimis. Dvimatės funkcijos f(x,y) projekcija į x ašį yra tiesinis integralas
Taigi, x'y' ašys yra nurodytos sukant kampu prieš laikrodžio rodyklę.
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta Radono transformacijos geometrija.
Radono transformacijos geometrija
Radono transformacijų vizualizacija
Atliekant radono transformacijas būtina nurodyti pradinį vaizdą ir kampų teta vektorių.
Radonas (I, teta);
R yra matrica, kurioje kiekvienas stulpelis yra Radono transformacija vienam iš kampų, kurie yra vektoriuje teta. Vektoryje xp yra atitinkamos koordinatės išilgai x ašies. Centrinis pikselis I nustatomas pagal išraišką grindys((dydis(I)+1)/2).
Pažiūrėkime, kaip apskaičiuojamos projekcijos Radono transformacijose. Panagrinėkime projekcijas 0° ir 45° kampu.
I = nuliai(100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow (aš)
Radonas (I,); figūra; plot(xp,R(:,1)); title ("R_(0^o) (x\prime)")
Radono virsmai 0° kampu
Figūra; plot(xp,R(:,2)); title ("R_(45^o) (x\prime)")
Radono virsmai 45° kampu
Radono transformacijos at didelis skaičius kampai dažnai rodomi kaip vaizdas. IN šiame pavyzdyje Kvadrato formos vaizdo radono transformacijos laikomos kampu nuo 0° iki 180° su 1° skiriamąja geba.
teta = 0:180;
= radonas(I,teta); imagesc(theta,xp,R); title ("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\theta (laipsniai)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); spalvų žemėlapis (karštas); spalvų juosta
Radono transformacijos naudojant 180 projekcijų
Radono transformacijų naudojimas aptinkant linijas
Radono transformacijos yra panašios į kitas gerai žinomas operacijas, kurios yra žinomos kaip Hoch transformacijos. Radono funkcija gali būti naudojama tiesioms linijoms aptikti. Pažvelkime į pagrindinius šio proceso etapus. R atitinka =1° ir x´= -80. Linija nubrėžiama nuo pradinio vaizdo centro kampu atstumu x’. Šiai linijai statmena nubrėžiama tiesi linija, kuri atitinka tiesią liniją originalus vaizdas. Be to, paveikslėlyje yra ir kitų eilučių, kurios pateikiamos matricoje R atitinkamos smailės.
Radono transformacijos geometrija, skirta tiesių linijų aptikimui
Tai viena iš Furjė transformacijų, plačiai naudojamų skaitmeninių signalų apdorojimo algoritmuose (jos modifikacijos naudojamos garso suspaudimui MP3 formatu, vaizdo glaudinimui JPEG formatu ir kt.), taip pat kitose srityse, susijusiose su dažnių analize diskretiniuose (pvz. pavyzdžiui, suskaitmenintas analoginis ) signalas. Atskirai Furjė transformacijai reikalinga įvestis diskreti funkcija. Tokios funkcijos dažnai sukuriamos atrankos būdu (verčių atranka iš nuolatinės funkcijos). Diskrečiosios Furjė transformacijos padeda išspręsti dalinę diferencialines lygtis ir atlikti tokias operacijas kaip konvoliucijos. Diskrečiosios Furjė transformacijos taip pat aktyviai naudojamos statistikoje, analizuojant laiko eilutes. Transformacijos gali būti vienmatės, dvimatės ir net trimatės.
Tiesioginis konvertavimas:
Atvirkštinis konvertavimas:
Pavadinimai:
§ N- signalo verčių, išmatuotų per tam tikrą laikotarpį, skaičius, taip pat skilimo komponentų skaičius;
§ - išmatuotos signalo vertės (atskirais laiko momentais su skaičiais, kurie yra įvesties duomenys tiesioginis konvertavimas ir savaitgaliais grįžimui;
§ - N sinusinių signalų kompleksinės amplitudės, sudarančios pradinį signalą; yra tiesioginio konvertavimo išvesties duomenys ir atvirkštinio konvertavimo įvesties duomenys; kadangi amplitudės yra sudėtingos, iš jų galima apskaičiuoti ir amplitudę, ir fazę;
§ – įprastinė (tikra) k-ojo sinusinio signalo amplitudė;
§ arg( X k) - k-ojo sinusinio signalo fazė (kompleksinio skaičiaus argumentas);
§ k- k-ojo signalo dažnis, lygus , kur T- laikotarpis, per kurį buvo paimti įvesties duomenys.
Iš pastarojo aišku, kad transformacija išskaido signalą į sinusoidinius komponentus (kurie vadinami harmonikomis), kurių dažniai yra nuo N virpesių per periodą iki vieno svyravimų per periodą. Kadangi pats mėginių ėmimo dažnis yra lygus N mėginiams per periodą, aukšto dažnio komponentai negali būti rodomi teisingai – atsiranda muaro efektas. Tai veda prie to, kad antroji N kompleksinių amplitudių pusė iš tikrųjų yra pirmosios veidrodinis vaizdas ir neturi papildomos informacijos.
Apsvarstykite tam tikrą periodinį signalą x(t) su periodu, lygiu T. Išplėskime jį į Furjė eilutę:
Paimkime signalą taip, kad per periodą būtų N mėginių. Diskretus signalas Pateiksime jį skaitinių forma: x n = x(tn), kur , tada šie Furjė serijos rodmenys bus parašyti taip:
Naudodami santykį: , gauname:
Kur 
Taigi gavome atvirkštinė diskretinė Furjė transformacija.
Dabar padauginkime išraišką už x n ir mes gauname:
Čia mes naudojame: a) baigtinio skaičiaus terminų (rodiklio) sumos išraišką geometrinė progresija, ir b) Kronecker simbolio išraiška kaip kompleksinių skaičių Eilerio funkcijų santykio ribą. Iš to išplaukia, kad:
Ši formulė apibūdina tiesioginė diskretinė Furjė transformacija.
Literatūroje įprasta daugiklį rašyti atvirkštine transformacija, todėl transformacijos formulės paprastai rašomos tokia forma:
Diskrečioji Furjė transformacija yra tiesinė transformacija, kuri paverčia laiko imčių vektorių į tokio pat ilgio spektrinių imčių vektorių. Taigi transformaciją galima įgyvendinti kaip dauginimą kvadratinė matricaį vektorių:
Tikiu, kad visko yra bendras kontūrasžinoti apie tokį nuostabų matematinį įrankį kaip Furjė transformacija. Tačiau universitetuose kažkodėl taip prastai dėstoma, kad palyginti mažai žmonių supranta, kaip ši transformacija veikia ir kaip ją reikia teisingai panaudoti. Tuo tarpu šios transformacijos matematika yra stebėtinai graži, paprasta ir elegantiška. Kviečiu visus sužinoti šiek tiek daugiau apie Furjė transformaciją ir susijusią temą kaip analoginiai signalai gali būti efektyviai konvertuojami į skaitmeninius skaičiavimo apdorojimui.
Jokios naudos sudėtingos formulės ir Matlab pabandysiu atsakyti į šiuos klausimus:
- FT, DTF, DTFT – kokie yra skirtumai ir kaip iš pažiūros visiškai skirtingos formulės duoda tokius konceptualiai panašius rezultatus?
- Kaip teisingai interpretuoti rezultatus greitas konvertavimas Furjė (FFT)
- Ką daryti, jei jums duotas 179 mėginių signalas, o FFT reikia įvesties sekos ilgio vienodai deuces
- Kodėl bandant gauti sinusoidės spektrą naudojant Furjė, o ne tikėtinai viena „lazda“, grafike atsiranda keistas raibulis ir ką su juo galima padaryti
- Kodėl analoginiai filtrai dedami prieš ADC ir po DAC?
- Ar galima skaitmeninti ADC signalą, kurio dažnis didesnis nei pusė atrankos dažnio (mokyklos atsakymas neteisingas, galimas teisingas atsakymas)
- Kaip atkurti pradinį signalą naudojant skaitmeninę seką
Remsiuosi prielaida, kad skaitytojas supranta, kas yra integralas, kompleksinis skaičius (taip pat jo modulis ir argumentas), funkcijų konvoliucija ir bent jau „praktinis“ supratimas apie tai, kas yra Dirako delta funkcija. yra. Jei nežinote, ne problema, perskaitykite aukščiau pateiktas nuorodas. Skiltyje „Funkcijų produktas“. šis tekstas Visur suprasiu „taškinį dauginimą“.
Turbūt turėtume pradėti nuo to, kad normalus konvertavimas Furjė yra tam tikras dalykas, kuris, kaip galite atspėti iš pavadinimo, paverčia kai kurias funkcijas kitomis, tai yra, susieja kiekvieną tikrojo kintamojo x(t) funkciją su jo spektru arba Furjė vaizdu y(w):
Jei pateikiame analogijas, tai panašaus reikšme transformacijos pavyzdys gali būti, pavyzdžiui, diferenciacija, funkcijos pavertimas jos išvestiniu. Tai reiškia, kad Furjė transformacija iš esmės yra ta pati operacija, kaip ir išvestinės, ir ji dažnai žymima panašiu būdu, nubrėždami trikampį „dangtelį“ virš funkcijos. Tik priešingai nei diferencijavimas, kuris taip pat gali būti apibrėžtas tikriesiems skaičiams, Furjė transformacija visada „veikia“ su bendresniais kompleksiniais skaičiais. Dėl šios priežasties visada kyla problemų rodant šios konversijos rezultatus, nes kompleksiniai skaičiai nustato ne viena, o dvi koordinatės ant veikimo realūs skaičiai grafika. Patogiausia, kaip taisyklė, kompleksinius skaičius pavaizduoti modulio ir argumento pavidalu ir nubrėžti juos atskirai kaip du atskirus grafikus:
Kompleksinės reikšmės argumento grafikas šiuo atveju dažnai vadinamas „fazės spektru“, o modulio grafikas dažnai vadinamas „amplitudės spektru“. Amplitudės spektras paprastai yra daug didesnis, todėl dažnai praleidžiama „fazinė“ spektro dalis. Šiame straipsnyje mes taip pat sutelksime dėmesį į „amplitudės“ dalykus, tačiau neturėtume pamiršti apie trūkstamos grafiko fazės dalies egzistavimą. Be to, vietoj įprasto kompleksinio verčių modulio jis dažnai nubraižytas dešimtainis logaritmas padauginta iš 10. Rezultatas yra logaritminis grafikas, kurio reikšmės rodomos decibelais (dB).
Atkreipkite dėmesį, kad nelabai neigiami skaičiai logaritminis grafikas (-20 dB ar mažiau) atitinka praktiškai nulis skaičių„įprastoje“ diagramoje. Todėl ilgos ir plačios įvairių spektrų „uodegos“ tokiuose grafikuose, rodomos „įprastomis“ koordinatėmis, kaip taisyklė, praktiškai išnyksta. Tokio keisto iš pirmo žvilgsnio vaizdavimo patogumas kyla dėl to, kad Furjė vaizdai įvairios funkcijos dažnai reikia daugintis tarpusavyje. Taip taškiškai dauginant kompleksinės vertės Furjė vaizdus, pridedami jų fazių spektrai, o jų amplitudės spektrai padauginami. Pirmasis yra lengvas, o antrasis yra gana sunkus. Tačiau amplitudės logaritmai sumuojasi dauginant amplitudes, taigi logaritminiai grafikai amplitudės, kaip ir fazių grafikai, gali būti tiesiog pridedamos taškas po taško. Be to, in praktines problemas Dažnai patogiau veikti ne signalo „amplitude“, o jo „galia“ (amplitudės kvadratu). Įjungta logaritminė skalė abu grafikai (ir amplitudė, ir galia) atrodo identiški ir skiriasi tik koeficientu – visos galios grafiko reikšmės yra lygiai dvigubai didesnės nei amplitudės skalėje. Atitinkamai, norėdami nubraižyti galios pasiskirstymą pagal dažnį (decibelais), negalite nieko kvadratuoti, o apskaičiuoti dešimtainį logaritmą ir padauginti jį iš 20.
Ar tau nuobodu? Palaukite dar šiek tiek, netrukus baigsime nuobodžią straipsnio dalį, paaiškinančią, kaip interpretuoti grafikus :). Tačiau prieš tai turėtumėte labai suprasti vieną svarbus dalykas: Nors visi aukščiau pateikti spektro grafikai buvo sudaryti tam tikriems ribotiems reikšmių diapazonams (ypač teigiamiems skaičiams), visos šios diagramos iš tikrųjų tęsiasi iki begalybės pliuso ir minuso. Grafikai tiesiog vaizduoja kokią nors „prasmingiausią“ grafiko dalį, kuri paprastai yra atspindima neigiamos reikšmės parametras ir dažnai kartojamas periodiškai su tam tikru žingsniu, kai svarstoma didesniu mastu.
Nusprendę, kas nupiešta grafikuose, grįžkime prie pačios Furjė transformacijos ir jos savybių. Yra keletas skirtingais būdais kaip nustatyti šią transformaciją, besiskiriančią mažomis detalėmis (skirtingomis normalizacijomis). Pavyzdžiui, mūsų universitetuose kažkodėl dažnai naudojamas Furjė transformacijos normalizavimas, kuris apibrėžia spektrą kampiniu dažniu (radianais per sekundę). Naudosiu patogesnę vakarietišką formulę, kuri apibrėžia spektrą įprastu dažniu (hercais). Tiesioginis ir atvirkštinė konversija Furjė šiuo atveju nustatoma pagal formules kairėje, o kai kurias šios transformacijos savybes, kurių mums prireiks, nustato septynių taškų sąrašas dešinėje:
Pirmoji iš šių savybių yra tiesiškumas. Jei imsime tam tikrą tiesinį funkcijų derinį, tai šios kombinacijos Furjė transformacija bus tokia pati tiesinė šių funkcijų Furjė vaizdų kombinacija. Ši savybė leidžia sumažinti sudėtingos funkcijos o jų Furjė transformuojasi į paprastesnius. Pavyzdžiui, sinusinės funkcijos Furjė transformacija, kurios dažnis f ir amplitudė a yra dviejų delta funkcijų, esančių taškuose f ir -f ir su koeficientu a/2, derinys:
Jei imsime funkciją, susidedančią iš skirtingų dažnių sinusoidų aibės sumos, tai pagal tiesiškumo savybę šios funkcijos Furjė transformaciją sudarys atitinkamas delta funkcijų rinkinys. Tai leidžia pateikti naivią, bet vaizdingą spektro interpretaciją pagal principą „jei funkcijos spektre dažnis f atitinka amplitudę a, tai pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sinusoidų suma, iš kurių viena bus sinusoidas, kurio dažnis f ir amplitudė 2a. Griežtai tariant, toks aiškinimas yra neteisingas, nes delta funkcija ir taškas grafike yra visiškai skirtingi dalykai, tačiau, kaip matysime vėliau, diskrečioms Furjė transformacijoms tai nebus taip toli nuo tiesos.
Antroji Furjė transformacijos savybė yra amplitudės spektro nepriklausomumas nuo signalo laiko poslinkio. Jei funkciją perkeliame į kairę arba dešinę išilgai x ašies, tada tik ją fazių spektras.
Trečioji savybė yra ta, kad pradinės funkcijos ištempimas (suspaudimas) išilgai laiko ašies (x) proporcingai suspaudžia (ištempia) jos Furjė vaizdą išilgai dažnio skalės (w). Visų pirma, baigtinės trukmės signalo spektras visada yra be galo platus ir, atvirkščiai, baigtinio pločio spektras visada atitinka neribotos trukmės signalą.
Ketvirtoji ir penktoji savybės yra bene naudingiausios iš visų. Jie leidžia sumažinti funkcijų konvoliuciją iki taškinio Furjė vaizdų dauginimo ir atvirkščiai - taškinio funkcijų dauginimo iki Furjė vaizdų konvoliucijos. Šiek tiek toliau parodysiu, kaip tai patogu.
Šeštoji savybė kalba apie Furjė vaizdų simetriją. Visų pirma, iš šios savybės išplaukia, kad tikrosios vertės funkcijos Furjė transformacijoje (t. y. bet kokio „tikro“ signalo) amplitudės spektras visada yra lygi funkcija, o fazių spektras (jei atvestas į intervalą -pi...pi) yra nelyginis. Būtent dėl šios priežasties spektrai beveik niekada nebraižomi grafikuose. neigiama dalis spektras – realios vertės signalams jis neteikia jokio nauja informacija(bet, kartoju, tai irgi nėra nulis).
Galiausiai, paskutinė, septintoji savybė, sako, kad Furjė transformacija išsaugo signalo „energiją“. Tai reikšminga tik baigtinės trukmės signalams, kurių energija yra baigtinė, ir leidžia manyti, kad tokių signalų spektras begalybėje greitai artėja prie nulio. Būtent dėl šios savybės spektro grafikai dažniausiai vaizduoja tik „pagrindinę“ signalo dalį, kuri neša liūto dalį energijos - likusi grafiko dalis tiesiog linkusi į nulį (bet vėlgi, nėra nulis).
Apsiginklavę šiomis 7 savybėmis, pažvelkime į signalo „skaitmenizavimo“ išversti matematiką. nuolatinis signalasį skaičių seką. Norėdami tai padaryti, turime naudoti funkciją, žinomą kaip „Dirac šukos“:
„Dirac“ šukos yra tiesiog periodinė delta funkcijų seka su vienybės koeficientu, pradedant nuo nulio ir tęsiant žingsniu T. Signalų skaitmeninimui T pasirenkamas kuo mažesnis skaičius, T.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Vietoj tolydžios funkcijos po tokio dauginimo gaunama tam tikro aukščio delta impulsų seka. Be to, pagal Furjė transformacijos savybę 5, gauto diskretiško signalo spektras yra pradinio spektro su atitinkamomis Dirako šukomis konvoliucija. Nesunku suprasti, kad, remiantis konvoliucijos savybėmis, pradinio signalo spektras yra tarsi „nukopijuojamas“ begalinį skaičių kartų išilgai dažnio ašies žingsniu 1/T, o tada sumuojamas.
Atkreipkite dėmesį, kad jei pradinio spektro plotis buvo baigtinis, o mes naudojome pakankamai aukštą diskretizavimo dažnį, tada pradinio spektro kopijos nepersidengs, taigi ir nesusidės. Nesunku suprasti, kad iš tokio „sugriuvusio“ spektro bus nesunku atkurti originalų - pakaks tiesiog paimti spektro komponentą nulio srityje, „nupjovus“ papildomas kopijas, eisiančias į begalybę. Paprasčiausias būdas tai padaryti yra padauginti spektrą iš stačiakampės funkcijos, lygios T diapazone -1/2T...1/2T ir nuliui už šio diapazono ribų. Tokia Furjė transformacija atitinka funkciją sinc(Tx) ir pagal 4 savybę toks dauginimas yra lygiavertis pradinės delta funkcijų sekos konvoliucijai su funkcija sinc(Tx)
Tai reiškia, kad naudojant Furjė transformaciją, mes turime būdą lengvai atkurti pradinį signalą iš laiko atrankos signalo, veikiantį su sąlyga, kad naudojame mažiausiai du kartus (dėl neigiamų dažnių spektre) diskretizavimo dažnį. didesnis nei didžiausias pradiniame signale esantis dažnis. Šis rezultatas yra plačiai žinomas ir vadinamas „Kotelnikovo / Shannon-Nyquist teorema“. Tačiau, kaip nesunku pastebėti dabar (suprantant įrodymą), šis rezultatas, priešingai nei plačiai paplitusi klaidinga nuomonė, lemia pakankamai, bet ne būtina pradinio signalo atkūrimo sąlyga. Viskas, ko mums reikia, yra užtikrinti, kad mus dominanti spektro dalis po signalo atrinkimo nepersidengtų viena su kita, o jei signalas yra pakankamai siauras (turi mažą ne nulinės spektro dalies „plotį“), tada šis rezultatas dažnai gali būti pasiektas, kai diskretizavimo dažnis yra daug mažesnis nei dvigubai didesnis už maksimalų signalo dažnį. Ši technika vadinama „nepaprastu diskretizavimu“ (subsampling, bandpass atranka) ir yra gana plačiai naudojama apdorojant visų rūšių radijo signalus. Pavyzdžiui, jei paimsime FM radiją, veikiančią dažnių juostoje nuo 88 iki 108 MHz, tada norėdami jį suskaitmeninti, galime naudoti ADC, kurio dažnis yra tik 43,5 MHz, o ne 216 MHz, numatyto Kotelnikovo teoremoje. Tačiau šiuo atveju jums reikės aukštos kokybės ADC ir gero filtro.
Leiskite pažymėti, kad aukštų dažnių „dubliavimas“ žemesnės eilės dažniais (aliasing) yra tiesioginė signalo atrankos savybė, kuri negrįžtamai „sugadina“ rezultatą. Todėl, jei signale iš esmės gali būti aukšto laipsnio dažniai (ty beveik visada), priešais ADC dedamas analoginis filtras, „atjungiantis“ viską, kas nereikalinga tiesiai pradiniame signale (kadangi po jo atrinkimo). bus per vėlu tai padaryti). Šių filtrų, kaip analoginių įrenginių, charakteristikos nėra idealios, todėl tam tikra signalo „žala“ vis tiek atsiranda, o praktiškai iš to išplaukia, kad aukščiausi dažniai spektre, kaip taisyklė, yra nepatikimi. Siekiant sumažinti šią problemą, signalas dažnai yra perkomponuojamas, nustatant įvesties analoginį filtrą į mažesnį dažnių juostos plotį ir naudojant tik apatinę teoriškai prieinamo ADC dažnių diapazono dalį.
Kitas dažnas klaidingas supratimas, beje, kai signalas DAC išvestyje traukiamas „žingsniais“. „Žingsniai“ atitinka atrinktos signalų sekos konvoliuciją su stačiakampe pločio T ir aukščio 1 funkcija:
Signalo spektras su šia transformacija padauginamas iš šios stačiakampės funkcijos Furjė vaizdo, o panašiai stačiakampei funkcijai jis vėl sinc(w), kuo daugiau „ištempiamas“, tuo mažesnis atitinkamo stačiakampio plotis. Atrinkto signalo su tokiu „DAC“ spektras taškas po taško dauginamas iš šio spektro. Tokiu atveju nereikalingi aukšti dažniai su „papildomomis spektro kopijomis“ nėra visiškai nupjaunami, tačiau viršutinė „naudingos“ spektro dalies dalis, priešingai, yra susilpnėjusi.
Žinoma, praktiškai niekas to nedaro. Yra daug skirtingų DAC konstravimo būdų, tačiau net ir pagal reikšmę svertinio tipo DAC, stačiakampiai impulsai DAC, priešingai, parenkami taip, kad būtų kuo trumpesni (apytiksliai atitinkantys tikrąją delta seką). funkcijos), kad būtų išvengta per didelio naudingosios spektro dalies slopinimo. „Papildomi“ dažniai gautame plačiajuosčio ryšio signale beveik visada panaikinami perduodant signalą per analoginį žemųjų dažnių filtrą, kad nebūtų „skaitmeninių žingsnių“ nei keitiklio „viduje“, nei ypač jo išvestyje.
Tačiau grįžkime prie Furjė transformacijos. Aukščiau aprašyta Furjė transformacija, taikoma iš anksto atrinktai signalų sekai, vadinama diskrečiojo laiko Furjė transformacija (DTFT). Tokios transformacijos metu gautas spektras visada yra 1/T periodinis, todėl DTFT spektrą visiškai lemia jo reikšmės segmente )
