Šiame straipsnyje parodysime, kaip duoti kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie užrašus, pateiksime įrašų pavyzdžių, pateiksime grafines iliustracijas. Pabaigoje nubrėžkime paralelę tarp sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų trigonometrijoje ir geometrijoje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas

Pažiūrėkime, kaip formuojasi sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento idėja mokyklos kursas matematikos. Geometrijos pamokose pateikiamas sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas aštrus kampas stačiakampiame trikampyje. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri kalba apie sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateiksime visus šiuos apibrėžimus, pateiksime pavyzdžių ir pateiksime reikiamas pastabas.

Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje

Iš geometrijos kurso žinome stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateiksime jų formuluotes.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra požiūris gretima kojaį hipotenuzę.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė– tai priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė- tai yra gretimos pusės ir priešingos pusės santykis.

Čia taip pat pateikiami sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento pavadinimai - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.

Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailaus kampo sinusas A lygus santykiui priešinga pusė BC hipotenuzei AB, tai yra sin∠A=BC/AB.

Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomos vertės Raskite kitų kraštinių ilgius naudodami sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą ir vienos iš kraštinių ilgį. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojelė AC lygi 3, o hipotenuzė AB lygi 7, tai smailiojo kampo A kosinuso reikšmę galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Sukimosi kampas

Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampo dydis, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių. Sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.

Atsižvelgiant į tai, jie pateikia sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus ne ūmaus kampo, o savavališko dydžio kampo - sukimosi kampo. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos po jo pasukimo kampu α aplink tašką O eina vadinamasis pradžios taškas A(1, 0) – stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžia. ir vieneto apskritimo centras.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscise, tai yra cosα=x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tanα=y/x.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kotangentasα yra taško A 1 abscisių santykis su jo ordinatėmis, tai yra, ctgα=x/y.

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kuriam kampui α, nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama pasukus pradinį tašką kampu α. Bet tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tangentė neapibrėžta kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką, kurio abscisės yra nulinės (0, 1) arba (0, −1), ir tai vyksta kampuose 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžtas kampams α, kuriame pradžios taškas eina į tašką su nuline ordinate (1, 0) arba (-1, 0), ir tai vyksta kampams 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), o kotangentas – visiems kampams, išskyrus 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).

Apibrėžimai apima mums jau žinomus pavadinimus sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą (kartais galite rasti pavadinimus tan ir cot, atitinkančius liestinę ir kotangentą). . Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant radianinį kampo matą, pavadinimas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi rad sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3·π.

Apibendrinant šį punktą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą, dažnai praleidžiama frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo alfa sinusas“ dažniausiai vartojama frazė „alfa kampo sinusas“ arba, dar trumpiau, „sinuso alfa“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Taip pat pasakysime, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo nuo 0 iki 90 laipsnių sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimus. Mes tai pateisinsime.

Skaičiai

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius lygus sinusui, kosinusas, liestinė ir kotangentas atitinkamai sukimosi kampo t radianais.

Pavyzdžiui, skaičiaus 8 kosinusas π pagal apibrėžimą yra skaičius lygus kosinusui kampas 8·π rad. O kampo kosinusas yra 8 π rad lygus vienam, todėl skaičiaus 8·π kosinusas lygus 1.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Tai susideda iš to, kad visi realus skaičius t priderinama prie taško vieneto ratas centruotas stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates. Pažvelkime į tai išsamiau.

Parodykime, kaip nustatoma atitiktis tarp realiųjų skaičių ir apskritimo taškų:

• skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0);
• teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eikime taku ilgis t;
• neigiamas skaičius t siejama su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei judėsime išilgai apskritimo nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime |t| .

Dabar pereiname prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka tašką apskritime A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1)).

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x.

Apibrėžimas.

Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra, tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost.

Apibrėžimas.

Skaičiaus kotangentas t yra abscisių ir apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės santykis, ty ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint.

Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šios pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų, vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu pasukus pradinį tašką t radianų kampu.

Vis tiek verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime įrašą sin3. Kaip suprasti, ar kalbame apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tai greičiausiai nėra esminė.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus, kiekvienas sukimosi kampas α atitinka labai specifinę reikšmę sinα, taip pat reikšmę cosα. Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) atitinka tgα reikšmes, o kitokias nei 180°k vertes, k∈Z (πk rad ) – vertes. ctgα. Todėl sinα, cosα, tanα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas skaitinis argumentas. Iš tiesų, kiekvienas realusis skaičius t atitinka labai konkrečią reikšmę sint, taip pat kainą. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k, k∈Z, atitinka tgt reikšmes, o skaičiai π·k, k∈Z – reikšmes ctgt.

Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, ar mes kalbame apie kampinio argumento ar skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Priešingu atveju nepriklausomą kintamąjį galime laikyti kampo matu ( kampo argumentas) ir skaitinį argumentą.

Tačiau mokykloje jie daugiausia mokosi skaitines funkcijas, tai yra funkcijos, kurių argumentai, kaip ir atitinkamos funkcijos reikšmės, yra skaičiai. Todėl, jei mes kalbame apie Kalbant konkrečiai apie funkcijas, patartina trigonometrines funkcijas laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.

Ryšys tarp apibrėžimų iš geometrijos ir trigonometrijos

Jei apsvarstysime, kad sukimosi kampas α svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijos kontekste visiškai atitinka sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. smailusis kampas stačiakampiame trikampyje, kurie pateikiami geometrijos kurse. Pagrįskime tai.

Pavaizduokime jį stačiakampiu Dekarto sistema koordinatės Deguonies vieneto apskritimas. Pastaba pradžios taškas A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y). Numeskime statmeną A 1 H iš taško A 1 į Ox ašį.

Nesunku pastebėti, kad stačiakampiame trikampyje kampas A 1 OH yra lygus sukimosi kampui α, o greta šio kampo esančios kojos OH ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH |=x, kampui priešingos kojos A 1 H ilgis yra lygus taško A 1 ordinatėms, tai yra |A 1 H|=y, o hipotenuzės OA 1 ilgis yra lygus vienetui, kadangi tai vienetinio apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą stačiojo trikampio A 1 OH smailiojo kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ir pagal apibrėžimą iš trigonometrijos, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso nustatymas yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai α yra nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti, kad smailaus kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.

Nuorodos.

1. Geometrija. 7-9 klasės: vadovėlis bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kt.]. – 20-asis leidimas. M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelovas A.V. Geometrija: vadovėlis. 7-9 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ir elementarios funkcijos : Pamoka 9 klasės mokiniams vidurinę mokyklą/ E. S. Kočetkovas, E. S. Kočetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. M.: Išsilavinimas, 1969 m.
4. Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 2 p. 1 dalis: pamoka švietimo įstaigų (profilio lygis)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ir prasidėjo matematinė analizė. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; redagavo A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - I.: Išsilavinimas, 2010.- 368 p.: iliustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Pitagoras tai visiškai įrodė neatmenami laikai, ir nuo tada ji atnešė daug naudos ją pažįstantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tuos pačius Pitagoro kelnės ir pažiūrėkime į juos.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais?! Ir galime džiaugtis, kad turime paprasta formuluotė Pitagoro teorema. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, štai pagrindinė teorema diskutuota apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar pereikime prie... tamsus miškas... trigonometrija! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su jų hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Konvertuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailiojo kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TAD TRIKAMPIAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi, kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Bet panašūs trikampiai visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė „Aukštis stačiakampiame trikampyje“:

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta iš viršūnės stačiu kampu, yra lygus pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai:

• supažindinti su stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės sąvokomis;
• parodyti, kaip sprendžiant uždavinius naudojami sinusas, kosinusas ir tangentas;
• gebėjimų stebėti, lyginti, analizuoti ir daryti išvadas ugdymas.

Pamokos eiga

Žinių atnaujinimas (pagrindinės pamokos problemos nustatymas)

Atliekama frontalios apklausos forma.

Mokytojas. Lentoje matote 6 problemų santrauką< Рисунок 1>. Prisiminkite, kurias iš šių problemų jau žinote, kaip išspręsti? Išspręskite šias problemas. Suformuluokite atitinkamas teoremas.

1 pav

Mokiniai:

1 užduotis. Atsakymas: 5. Stačiame trikampyje 30° kampui priešinga kojelė yra lygi pusei hipotenuzės.

2 užduotis. Atsakymas: 41°. Trikampio vidinių kampų suma yra 180°.

3 užduotis. Atsakymas: 10. Stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

4-6 uždaviniai negalime apsispręsti.

Mokytojas. Kodėl negalite išspręsti 4-6 uždavinių? Koks klausimas kyla?

Studentai. Mes nežinome, kas yra tgB, sinA, cosB.

Mokytojas. sinA, cosB, tanB skaitomi: „kampo A sinusas“, „kampo B kosinusas“ ir „kampo B liestinė“. Šiandien mes sužinosime, ką reiškia kiekviena iš šių posakių, ir išmoksime išspręsti tokias problemas kaip 4-6.

Naujos medžiagos įvedimas

Vykdomas euristinio pokalbio forma.

Mokytojas. Nubrėžkite stačiuosius trikampius su 3 ir 4, 6 ir 8 kojomis. Pažymėkite juos ABC ir A 1 B 1 C 1, kad B ir B 1 būtų kampai, priešingi 4 ir 8 kojoms, o stačiakampiai būtų C, C 1. Ar kampai B ir B1 lygūs? Kodėl?

Studentai. Lygi, nes trikampiai panašūs. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) ir kampai tarp jų yra tiesūs.<Рисунок 2>

Mokytojas. Kokių dar santykių lygybės išplaukia iš trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 panašumo?

Studentai. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.

Mokytojas. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. Koja AC yra priešinga kampui B, o koja BC yra greta šio kampo. Pateikite sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimus.

Studentai. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis.

Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.

Mokytojas. Pats užsirašykite kampo A sinusą, kosinusą ir tangentą (1 skaidrė). Gautos formulės (1), (2), (3):

(1)

Taigi, mes sužinojome, kas yra stačiojo trikampio smailaus kampo sinusas, kosinusas ir liestinė. Apskritai sinuso, kosinuso ir tangento sąvokos turi ilga istorija. Tyrinėdami santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų, senovės mokslininkai rado būdų, kaip apskaičiuoti įvairių elementų trikampis. Šios žinios daugiausia buvo panaudotos sprendžiant praktinės astronomijos problemas, nustatant neprieinamus atstumus.

Konsolidavimas

Mokytojas. Išspręskime uždavinį Nr.591 (a, b).

Užduotis rodoma ekrane (2 skaidrė). Užduotis „a“ išspręsta lentoje su pilnas paaiškinimas; „b“ – atskirai, po to vienas kitą tikrinant.

Raskite trikampio ABC su stačiu kampu C kampų A ir B sinusą, kosinusą ir liestinę, jei: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.

Sprendimas. a) = . = , naudodamiesi Pitagoro teorema randame AC = 15,

Mokytojas. Dabar grįžkime prie 4–6 uždavinių<Рисунок 1>. Aptarkime, kas žinoma 4–6 uždaviniuose ir ką reikia rasti?

4 užduotis. Kas žinoma? Ką reikia rasti?

Studentai. BC = 7 ir tan B = 3,5 yra žinomi. Turime rasti AC.

Mokytojas. Kas yra tg B?

Studentai. .

Mokytojas. Dirbame pagal formulę. Formulė susideda iš trijų komponentų. Pavadinkite juos. Kokie komponentai žinomi? Kuris komponentas nežinomas? Ar galite jį rasti? Surask.

Studentai. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Mokytojas. Naudodami šį pavyzdį išspręskite 5 ir 6 uždavinius<Рисунок 1>. 1 studentas dirba uždaroje lentoje

Mokytojas.

1. Sakykite, ar pavyko rasti reikiamus nežinomuosius?

2. Kokia buvo jūsų veiksmų tvarka?

3. Gal yra kitų sprendimų?

Studentai.1. Taip. Lengvai. Sekant pavyzdžiu. 5 uždavinys. Atsakymas: 10. 6 uždavinys. Atsakymas: 2.5

2. Pirmiausia pagal apibrėžimą atitinkamų kampų sinusus ir kosinusus pakeičiame atitinkamais santykiais, tada žinomus duomenis sudedame į gautas proporcijas, po kurių randame nežinomus nežinomus.

Mokytojas. Kuris bendra išvada ar tai galima padaryti išsprendus 4–6 uždavinius? Kokias naujas problemas išmokome išspręsti stačiakampiame trikampyje? Pagalvokite ir suformuluokite savo išvadą.

Studentai. Jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kraštinę ir tos kraštinės santykį su viena iš kitų kraštinių arba vieną kraštinę ir vienos iš kitų kraštinių santykį su žinoma kraštine (sinuso, kosinuso arba liestinės), tada gali rasti šią antrąją pusę.

Problemų sprendimas.

Dabar pabandykite išspręsti šias 7–9 problemas<Рисунок 3>.

3 pav

Studentai. Mes nežinome, kaip juos išspręsti.

Mokytojas. Grįžkime prie 1 problemos<Рисунок 1>. Pakeiskime problemos sąlygą. Tegul NK = 5, NM = 10. Raskite kampą M.

Studentai. Kampas M lygus 30°, nes kojelė, priešinga kampui M, yra lygi pusei hipotenuzės.

Mokytojas. Tai yra, paaiškėja, kad jei kampo sinusas yra 0,5, tada kampas yra 30 °. Dabar išspręskime uždavinius Nr. 592 (a, c, d)

Nr.592. Sukurkite kampą a, jei: a) c) d) .

Sprendimas.

a) Stačiojo kampo šonuose išdėliosime 1 ir 2 ilgio atkarpas ir sujungsime atkarpų galus. Gautame trikampyje kampas priešais 1 koją yra norimas kampas a;

c) 0,2 = . Vienoje stačiojo kampo pusėje nuo jo viršūnės atidedame 1 ilgio atkarpą. Sukonstruojame 5 spindulio apskritimą, kurio centras yra atidedamos atkarpos gale. Apskritimo susikirtimo taškas su antrąja stačiojo kampo puse yra sujungtas su atkarpos, išdėstytos pirmoje kampo pusėje, galu. Gautame trikampyje kampas, esantis greta 1 ilgio kojos, yra kampas a; (4 skaidrė)

e) Vienoje stačiojo kampo pusėje nuo jo viršūnės atidedame 1 ilgio atkarpą. Sukonstruojame 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra atidedamos atkarpos gale. Apskritimo susikirtimo taškas su antrąja stačiojo kampo puse yra sujungtas su atkarpos, išdėstytos pirmoje kampo pusėje, galu. Gautame trikampyje kampas, priešingas 1 ilgio kojai, yra norimas kampas a.(5 skaidrė)

Jūs sukūrėte kampus, o tai reiškia, kad radote kampus. Juos galima išmatuoti ir pateikti lentelės pavidalu.

Panašiai galite išspręsti 7–9 uždavinius<Рисунок 3>

Apibendrinant

Mokytojas. Atsakykite į klausimus:

1. Kas yra stačiojo trikampio stačiojo kampo sinusas, kosinusas ir liestinė?

2. Stačiakampiame trikampyje yra 6 elementai. Kokias naujas problemas išmokote spręsti šiandien? Kokia jūsų veiksmų tvarka? Pasitikrink savo gebėjimą teisingai atlikti šiuos veiksmus (išdalinamos atskiros kortelės).

Apytikslis kortelių turinys: 1. B trikampis ABC kampas C yra tiesi linija, BC = 2, Raskite AB. 2. Trikampyje ABC kampas C yra tiesi linija, AC = 8, . Raskite AB. 3. Trikampyje ABC kampas C lygus 90°, AC = 6, . Surask saulę.

Mokiniai lygina savo darbus su paruoštais sprendimais atitinkamose kortelėse.

Namų darbų užduotys: 15 klausimas 159 puslapyje; Nr. 591 (c, d), 592 (b, d, f) (6 skaidrė)

Naudota literatūra

1. Geometrija. 7–9 klasės: vadovėlis. Už švietimo organizacijos/ [ L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsevas ir kiti]. – 2 leidimas. – M.: Švietimas, 2014 m.

Viena iš matematikos sričių, su kuria mokiniai kovoja labiausiai, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint sklandžiai įsisavinti šią žinių sritį, reikia turėti erdvinis mąstymas, gebėjimas pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas, mokėti naudoti pi skaičiavimuose. Be to, įrodinėdami teoremas turite mokėti naudoti trigonometriją, o tam reikia arba matematinė atmintis, arba gebėjimas išvesti sudėtingas logines grandines.

Trigonometrijos ištakos

Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia turite suprasti, ką apskritai daro trigonometrija.

Istoriškai pagrindinis šio skyriaus tyrimo objektas matematikos mokslas buvo statūs trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti statydami pastatus, navigaciją, astronomiją ir net mene.

Pradinis etapas

Iš pradžių žmonės apie kampų ir kraštinių santykį kalbėjo tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti naudojimo ribas kasdienybėši matematikos šaka.

Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių mokiniai panaudoja įgytas fizikos žinias ir spręsdami abstrakčias problemas. trigonometrines lygtis, darbas su kuriuo prasideda vidurinėje mokykloje.

Sferinė trigonometrija

Vėliau, kai mokslas pasiekė kitą išsivystymo lygį, formulės su sinusu, kosinusu, liestine ir kotangentu pradėtos naudoti sferinėje geometrijoje, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Šis skyrius mokykloje nesimokoma, bet apie jos egzistavimą būtina žinoti bent jau todėl žemės paviršiaus, o bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus trimatė erdvė"lanko formos".

Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Tokias formas nagrinėja sferinė geometrija, kuri naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.

Statusis trikampis

Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.

Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Jis yra ilgiausias. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.

Pavyzdžiui, jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.

Dvi likusios pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma yra stačiakampė sistema koordinatės yra 180 laipsnių.

Apibrėžimas

Galiausiai, tvirtai suvokus geometrinį pagrindą, galima pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimo.

Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis.

Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia yra koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, o tai reiškia, kad jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į užduotį gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.

Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Padalijus sinusą iš kosinuso gausis tą patį rezultatą. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padalijame iš hipotenuzės, tada padalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį ryšį kaip ir tangento apibrėžime.

Atitinkamai, kotangentas yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalydami iš liestinės.

Taigi, mes pažvelgėme į apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime pereiti prie formulių.

Paprasčiausios formulės

Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet būtent to ir reikia sprendžiant problemas.

Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau sutaupo laiko, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne šoną.

Daugelis mokinių negali prisiminti antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklos uždaviniai: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienetui, padalytam iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: tai tas pats teiginys kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, paprastas matematinis veiksmas atlieka trigonometrinė formulė visiškai neatpažįstamas. Atsiminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konversijos taisyklės ir kelios pagrindinės formulės bet kuriuo metu galite atsiimti reikiamą daugiau sudėtingos formulės ant popieriaus lapo.

Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas

Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.

Taip pat formoje yra formulių, susijusių su argumentais dvigubas kampas. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip treniruotę pabandykite juos gauti patys, imdami alfa kampą lygus kampui beta versija.

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima pertvarkyti, kad būtų sumažinta sinuso, kosinuso, tangento alfa galia.

Teoremos

Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.

Sinuso teorema teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ilgį padalijus iš priešingo kampo, gauname tas pats numeris. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžtojo apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.

Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš gretimo kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.

Neatsargios klaidos

Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.

Pirma, neturėtumėte konvertuoti trupmenų į dešimtaines, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip bendroji trupmena, jei sąlygose nenurodyta kitaip. Tokios transformacijos negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, autoriaus sumanymu, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite savo laiką be reikalo matematines operacijas. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų arba dviejų šaknis, nes jos randamos kiekviename žingsnyje problemose. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir pademonstruosite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.

Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Prisiminkite šias vertes, nes sinusas yra 30 laipsnių lygus kosinusui 60 metų ir atvirkščiai. Juos nesunku supainioti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.

Taikymas

Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos praktinės reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai yra sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimos žvaigždės, prognozuoti meteorito kritimą, išsiųsti tyrimų zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo ​​muzikos iki medicinos.

Apibendrinant

Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.

Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad naudojant žinomus trikampio parametrus reikia apskaičiuoti nežinomus. Iš viso yra šeši parametrai: ilgis tris puses ir trijų kampų dydžiai. Vienintelis užduočių skirtumas yra tas, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.

Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, tangentą pagal žinomus kojų arba hipotenuzės ilgius. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kita, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis tikslas trigonometrinė problema yra paprastos lygties arba lygčių sistemos šaknų radimas. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.