SKAIČIŲ SEKOS VI
§ l48. Suma be galo mažėja geometrinė progresija
Iki šiol kalbėdami apie sumas visada laikėme prielaidą, kad šiose sumose esančių terminų skaičius yra baigtinis (pavyzdžiui, 2, 15, 1000 ir pan.). Tačiau sprendžiant kai kurias problemas (ypač aukštoji matematika) tenka susidurti su sumomis begalinis skaičius terminai
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Kokios tai sumos? Pagal apibrėžimą begalinio skaičiaus terminų suma a 1 , a 2 , ..., a n , ... vadinamas sumos S riba n pirma n skaičiai kada n -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Žinoma, riba (2) gali egzistuoti arba nebūti. Atitinkamai jie sako, kad suma (1) egzistuoja arba neegzistuoja.
Kaip galime sužinoti, ar suma (1) egzistuoja kiekvienu konkrečiu atveju? Bendras sprendimasŠis klausimas gerokai viršija mūsų programos taikymo sritį. Tačiau yra vienas svarbus dalykas ypatingas atvejis, kurį dabar turime apsvarstyti. Kalbėsime apie be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumavimą.
Leiskite a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... yra be galo mažėjanti geometrinė progresija. Tai reiškia, kad | q |< 1. Сумма первых n šios progresijos sąlygos yra lygios
Iš pagrindinių teoremų apie ribas kintamieji(žr. § 136) gauname:
Bet 1 = 1, a qn = 0. Todėl
Taigi, be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra lygi pirmajam šios progresijos nariui, padalintam iš vieneto, atėmus šios progresijos vardiklį.
1) Geometrinės progresijos 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... suma yra lygi
o geometrinės progresijos suma lygi 12; -6; 3; - 3/2, ... lygus
2) Paprasta periodinė trupmena 0,454545 ... konvertuoti į įprastą.
Norėdami išspręsti šią problemą, įsivaizduokime duota trupmena kaip begalinė suma:
Dešinė pusėŠi lygybė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys lygus 45/100, o vardiklis – 1/100, suma. Štai kodėl
Taikant aprašytą metodą, galima gauti bendrą taisyklę, kaip paprastas periodines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis (žr. II skyrių, § 38):
Norėdami paversti paprastą periodinę trupmeną į paprastąją trupmeną, turite atlikti šiuos veiksmus: į skaitiklį įdėkite tašką dešimtainis, o vardiklis yra skaičius, susidedantis iš devynių, paimtų tiek kartų, kiek yra skaitmenų dešimtainės trupmenos periode.
3) Paverskite mišrią periodinę trupmeną 0,58333 .... į paprastąją trupmeną.
Įsivaizduokime šią trupmeną kaip begalinę sumą:
Dešinėje šios lygybės pusėje visi nariai, pradedant nuo 3/1000, sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra lygus 3/1000, o vardiklis yra 1/10. Štai kodėl
Taikant aprašytą metodą, galima gauti bendrą mišrių periodinių trupmenų pavertimo paprastosiomis trupmenomis taisyklę (žr. II skyrių, § 38). Mes sąmoningai jo čia nepateikiame. Nereikia prisiminti šios sudėtingos taisyklės. Daug naudingiau žinoti, kad bet kuri mišri periodinė trupmena gali būti pavaizduota kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos ir tam tikro skaičiaus suma. Ir formulė
be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumai, žinoma, turite atsiminti.
Kaip pratimą, be toliau pateiktų problemų Nr. 995-1000, siūlome dar kartą kreiptis į problemos Nr. 301 § 38.
Pratimai
995. Kas vadinama be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma?
996. Raskite be galo mažėjančių geometrinių progresijų sumas:
997. Kokiomis vertybėmis X progresija
ar be galo mažėja? Raskite tokios progresijos sumą.
998.V lygiakraštis trikampis su šonu A sujungiant jo kraštinių vidurio taškus įrašomas naujas trikampis; į šį trikampį taip pat įrašomas naujas trikampis ir taip toliau iki begalybės.
a) visų šių trikampių perimetrų suma;
b) jų plotų suma.
999. Kvadratas su šonu A sujungiant jo kraštinių vidurio taškus įrašomas naujas kvadratas; kvadratas į šį kvadratą įrašomas tokiu pat būdu ir taip toliau iki begalybės. Raskite visų šių kvadratų perimetrų ir jų plotų sumą.
1000. Sudarykite be galo mažėjančią geometrinę progresiją, kad jos suma būtų lygi 25/4, o jos narių kvadratų suma lygi 625/24.
Įvesdami užrašą skyriaus pradžioje, mes sumaniai išvengėme begalinių sumų klausimo, iš esmės sakydami: „Palikime tai vėlesniam laikui. Tuo tarpu galime daryti prielaidą, kad visose pasitaikančiose sumose yra tik baigtinis skaičius, kurie skiriasi nuo nulio! Tačiau pagaliau atėjo atsiskaitymo metas – turime su tuo susidurti
sumos gali būti begalinės. Ir, tiesą sakant, be galo daug ateina ir malonių, ir nemalonių aplinkybių.
Pirma, apie nemalonius dalykus: pasirodo, kad metodai, kuriuos taikėme tvarkydami sumas, ne visada galioja begalinėms sumoms. O dabar apie gerus dalykus: yra daugybė surengė klasę begalines sumas, už kurias visos operacijos, kurias atlikome, buvo visiškai legalios. Abiejų aplinkybių priežastys paaiškės, kai išsiaiškinsime tikrąją sumavimo prasmę.
Visi žino, kas tai yra galutinė suma: visus terminus pridedame prie sumos, vieną po kito, kol jie visi sumuojasi. Tačiau begalinį kiekį reikėtų nustatyti subtiliau, kad nepatektų į bėdą.
yra lygus 2, nes jį padvigubinę gauname
Bet tada, vadovaudamiesi ta pačia logika, turėtume apskaičiuoti sumą
lygus -1, nes padvigubinę gauname
Atsitinka kažkas keisto: kaip tu gali gauti neigiamas skaičius, apibendrinant teigiamas vertes? Atrodo, geriau palikti T sumą neapibrėžtą ir galbūt turėtume manyti, kad kadangi T terminai tampa didesni už bet kurį fiksuotą baigtinį skaičių. (Atkreipkite dėmesį, kad kiekis yra dar vienas lygties „sprendimas“; jis taip pat „išsprendžia“ lygtį
Pabandykime pateikti tinkamą savavališkos sumos reikšmės apibrėžimą, kai aibė K gali būti begalinė. Pirmiausia tarkime, kad visi a terminai nėra neigiami. Šiuo atveju nesunku rasti tinkamą apibrėžimą: jei kuriam nors baigtiniam poaibiui yra ribinė konstanta A,
tada manome, kad suma yra mažiausia iš visų tokių A. (Kaip išplaukia iš gerai žinomos savybės realūs skaičiai, visų tokių A aibėje visada yra mažiausias elementas.) Bet jei tokios ribojančios konstantos A nėra, tai reiškia, kad jei A -
tam tikras tikrasis skaičius, tada yra koks nors baigtinis a narių skaičius, kurio suma viršija A.
Ankstesnės pastraipos apibrėžimas suformuluotas taip subtiliai, kad jis nepriklauso nuo jokios eilės, kuri gali egzistuoti indeksų rinkinyje K. Todėl argumentai, kuriuos ketiname pateikti, galios ne tik sumoms virš sveikųjų skaičių aibės, bet ir už kelias sumas su daugybe indeksų
Visų pirma, kai K yra neneigiamų sveikųjų skaičių rinkinys, mūsų neneigiamų terminų apibrėžimas reiškia, kad
Ir štai kodėl: bet kuri nemažėjanti realiųjų skaičių seka turi ribą (galbūt lygi Jei ši riba lygi, tam tikrą baigtinę neneigiamų sveikųjų skaičių aibę, kuri tada yra; todėl arba arba A yra ribinė konstanta. Bet jei A yra kiek mažesnis skaičius nustatyta siena A, tada yra tokia, kad, be to, baigtinė aibė liudija, kad A nėra ribinė konstanta.
Dabar galite lengvai apskaičiuoti konkrečių begalinių sumų dydžius pagal ką tik pateiktą apibrėžimą. Pavyzdžiui, jei tada
Visų pirma, begalinės sumos ir T, kurios buvo aptartos prieš akimirką, yra lygios 2 ir atitinkamai, kaip ir tikėjomės. Kitas vertas dėmesio pavyzdys:
Dabar panagrinėkime atvejį, kai kartu su neneigiamomis sumomis sumoje gali būti neigiamų dalių. Koks, pavyzdžiui, turėtų būti kiekis
Jei terminus sugrupuosime poromis, gausime:
taigi suma pasirodo tokia lygus nuliui; bet jei pradedame grupuoti į poras žingsniu vėliau, gausime
y. suma lygi vienetui.
Taip pat galėtume pabandyti įdėti formulę, nes žinome, kad ši formulė galioja, bet tada būsime priversti pripažinti, kad ši begalinė suma yra lygi, nes tai yra sveikųjų skaičių suma!
Kitas įdomus pavyzdys yra begalinė suma abiem kryptimis, kuriose k 0 ir E gali būti parašyti kaip
Jei apskaičiuosime šią sumą pradėdami nuo „centrinio“ elemento ir judėdami į išorę,
tada gauname 1; ir gausime tą patį 1, jei visus skliaustus perkelsime vienu elementu į kairę,
nes visų skaičių, pateiktų vidiniuose skliaustuose, suma yra
Panašūs samprotavimai rodo, kad sumos reikšmė išlieka lygi 1, jei šie skliaustai perkeliami bet kokį fiksuotą elementų skaičių į kairę arba į dešinę – tai sustiprina mūsų nuomonę, kad suma tikrai lygi 1. Bet, kita vertus, jei terminus sugrupuojame taip:
tada vidinių skliaustų poroje bus skaičiai
Sk. 9 bus parodyta, kad todėl šis metodas grupavimas veda prie idėjos, kad suma, kuri yra begalinė abiem kryptimis, iš tikrųjų turėtų būti lygi
Suma, kuri suteikiama, yra kažkas beprasmiška skirtingos reikšmės pridedant savo narius įvairiais būdais. IN šiuolaikinės gairės analizės duomenimis, yra visa eilė apibrėžimų, kurių pagalba tokioms patologinėms sumoms priskiriamos prasmingos reikšmės; tačiau pasiskolinę šiuos apibrėžimus negalėsime taip laisvai operuoti su -žymėjimu, kaip tai darėme iki šiol. Šios knygos tikslai yra tokie, kad mums nereikia rafinuotų sąvokos paaiškinimų. sąlyginė konvergencija“ – laikysimės tokio begalinių sumų apibrėžimo, kuris palieka galioti visas šiame skyriuje naudotas operacijas.
Iš esmės mūsų begalinių sumų apibrėžimas yra gana paprastas. Tegul K yra aibė ir tegul a yra realios vertės kiekvienos sumos narys. (Tiesą sakant, tai gali reikšti kelis indeksus, todėl pati aibė K gali būti daugiamatė.) Bet kurį realųjį skaičių x galima pavaizduoti kaip jo teigiamų ir neigiamų dalių skirtumą,
(Arba arba Mes jau paaiškinome, kaip nustatyti begalinių sumų dydžius, nes jie nėra neigiami. Todėl mūsų bendras apibrėžimas yra toks:
nebent abi sumos dešinėje pusėje yra lygios. IN pastarasis atvejis Hleko suma lieka neaiški.
Tegul Tskekakas ir Jei sumos yra baigtinės, tada jie sako, kad suma absoliučiai suartėja su . Jei jis baigtinis, tada jie sako, kad suma skiriasi iki Panašiai, jei ji yra baigtinė, tada jie sako, kad ji skiriasi iki Jei, tada jie nieko nesako.
Pradėjome nuo apibrėžimo, kuris „veikė“ neneigiamiems sumos nariams, o tada išplėtėme jį į bet kokius realios vertės narius. suma apibrėžiama kaip - tikroji ir įsivaizduojama dalis, su sąlyga, kad egzistuoja abi šios sumos. Priešingu atveju suma Hkek nėra apibrėžta (žr. 18 užduotį).
Gaila, kaip jau minėta, kad kai kurios begalinės sumos turi būti neapibrėžtos, nes su jomis atliekamos operacijos gali privesti prie absurdų. (Žr. 34 užduotį.) Puiku yra tai, kad visos šio skyriaus operacijos yra visiškai pagrįstos, kai kalbame apie sumas, kurios absoliučiai susilieja ką tik nustatyta prasme.
Šį malonų faktą galime patvirtinti parodydami, kad kiekviena mūsų sumos transformacijos taisyklė nepakeičia bet kurios absoliučiai konvergencinės sumos dydžio. Tiksliau, tai reiškia, kad reikia patikrinti skirstymo, kombinacinio ir komutacinio dėsnių įvykdymą bei taisyklę, pagal kurią galima pradėti sumuoti bet kurį kintamąjį; visa kita, ką darėme šiame skyriuje, galima išvesti iš šių keturių pagrindinių sumos operacijų.
Skirstymo dėsnį (2.15) galima suformuluoti griežčiau taip: jei suma Hkek a absoliučiai konverguoja į ir jei c yra koks nors kompleksinis skaičius, tai Lkek absoliučiai konverguoja į Tai galima įrodyti pirmiausia padalijus sumą į tikrąją ir įsivaizduojamą, tada į teigiamas ir neigiamas dalis , kaip jie ją suskaidė anksčiau, ir įrodydami ypatingą atvejį, kai kiekvienas sumos narys yra neneigiamas. Įrodymas šiuo konkrečiu atveju veikia dėl to, kad bet kuriai baigtinis rinkinys paskutinis faktas įrodomas aibės dydžio indukcija
Sujungimo dėsnį (2.16) galima suformuluoti taip: jei sumos absoliučiai konverguoja atitinkamai į A ir B, tai suma absoliučiai konverguoja į Pasirodo, kad tai yra ypatingas daugiau bendroji teorema, ką netrukus įrodysime.
Komutacinio dėsnio (2.17) įrodinėti iš tikrųjų nereikia, nes aptardami formulę (2.35) parodėme, kaip ją išvesti kaip specialų atvejį. bendroji taisyklė keičiasi sumavimo tvarka.
Visų suma natūraliuosius skaičius galima parašyti naudojant šias skaičių serijas
Šis, iš pirmo žvilgsnio, visiškai priešingas rezultatas, vis dėlto gali būti griežtai įrodytas. Tačiau prieš kalbėdami apie įrodymą, turime žengti žingsnį atgal ir prisiminti pagrindines sąvokas.
Pradėkime nuo to, kad „klasikinė“ serijos suma yra riba dalines sumas serija, jei ji egzistuoja ir yra baigtinė. Išsamią informaciją galite rasti Vikipedijoje ir susijusioje literatūroje. Jeigu galutinė riba neegzistuoja, tada serija vadinama divergentine.
Pavyzdžiui, skaičių serijos 1 + 2 + 3 + 4 +... pirmųjų k narių dalinė suma rašoma taip
Nesunku suprasti, kad ši suma auga neribotai, nes k linksta į begalybę. Todėl originali serija skiriasi ir, griežtai tariant, neturi jokios sumos. Tačiau yra daug būdų, kaip priskirti galutinė vertė besiskiriančios eilutės.
1+2+3+4+... toli gražu ne vienintelė besiskirianti eilutė. Paimkime, pavyzdžiui, „Žalgirio“ seriją
Kuris taip pat skiriasi, tačiau žinoma, kad Cesaro sumavimo metodas leidžia šiai serijai priskirti baigtinę 1/2 reikšmę. Sumavimas pagal Cesaro susideda iš operacijos ne su dalinėmis eilučių sumomis, o su jų aritmetiniais vidurkiais. Jei leisime sau laisvai spėlioti, galime sakyti, kad dalinės Žalgirio serijos sumos svyruoja tarp 0 ir 1, priklausomai nuo to, kuris serijos narys yra paskutinis sumoje (+1 arba -1), taigi ir 1/2, kaip dviejų aritmetinis vidurkis galimas vertes dalines sumas.
Kitas įdomus skirtingų serijų pavyzdys kintamos serijos 1 - 2 + 3 - 4 +... , kurių dalinės sumos taip pat svyruoja. Sumavimas Abelio metodu leidžia tam tikrai serijai priskirti galutinę 1/4 reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad Abelio metodas tam tikra prasme yra Cesaro sumavimo metodo plėtra, todėl rezultatas 1/4 nėra sunku suprasti intuicijos požiūriu.
Čia svarbu pažymėti, kad sumavimo metodai nėra gudrybės, kurias matematikai sugalvojo kaip nors susidoroti su skirtingomis eilėmis. Jei konvergentinei eilutei taikote Cesaro sumavimą arba Abelio metodą, atsakymas, kurį pateikia šie metodai, yra lygus klasikinei konvergentinės eilutės sumai.
Tačiau nei Cesaro sumavimo, nei Abelio metodas neleidžia dirbti su eilėmis 1 + 2 + 3 + 4 +..., nes dalinių sumų aritmetiniai vidurkiai ir aritmetinių vidurkių aritmetiniai vidurkiai skiriasi. Be to, jei reikšmes 1/2 arba 1/4 galima kažkaip priimti ir koreliuoti su atitinkamomis serijomis, tada -1/12 sunku susieti su serija 1 + 2 + 3 + 4 +..., kuri yra begalinė teigiamų sveikųjų skaičių seka.
Yra keletas būdų, kaip pasiekti rezultatą -1/12. Šioje pastaboje trumpai apsistosiu tik ties vienu iš jų, būtent reguliavimu pagal zeta funkciją. Supažindinkime su zeta funkcija
Pakeičiant s = -1, gauname originalą skaičių serija 1+2+3+4+…. Su šia funkcija atlikime keletą paprastų matematinių operacijų
Kur yra Dirichlet eta funkcija
Kai vertė s = -1ši funkcija tampa jau pažįstama serija 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... kurios "suma" lygi 1/4. Dabar galime lengvai išspręsti lygtį
Įdomu tai, kad šis rezultatas pritaikomas fizikoje. Pavyzdžiui, stygų teorijoje. Atsiverskime Josifo Polčinskio knygos „Stygų teorija“ 22 puslapį:
Jei kai kuriems žmonėms stygų teorija nėra įtikinamas pavyzdys, nes trūksta įrodymų daugeliui šios teorijos pasekmių, tai taip pat galime paminėti, kad panašūs metodai atsiranda ir kvantinė teorija laukus bandant apskaičiuoti Kazimiero efektą.
Kad nereikėtų eiti du kartus, pateikiame dar keletą įdomių pavyzdžių su zeta funkcija
Tiems, kurie nori gauti daugiau informacijos Kalbant apie temą, pažymėsiu, kad šią pastabą nusprendžiau parašyti išvertęs atitinkamą straipsnį Vikipedijoje, kur skiltyje „Nuorodos“ galite rasti daug papildomos medžiagos, dažniausiai anglų kalba.
Davidas Bermanas, Marianne Freiberger
Neseniai buvo aptartas labai keistas rezultatas. Teigiama, kad susumavus visus natūraliuosius skaičius
tada suma bus lygi . Ši idėja parodyta vaizdo įraše Numberphile, kuriame teigiama, kad rezultatas įrodytas, taip pat teigiama, kad jis plačiai naudojamas fizikoje. Ši idėja žmones taip nustebino, kad atsidūrė net „New York Times“. Taigi, ką visa tai reiškia?
Matematika
Visų pirma, begalinė visų natūraliųjų skaičių suma nėra lygi. Tai galite nesunkiai patikrinti apskaičiuodami dalines sumas skaičiuoklėje
ir taip toliau. tampa vis labiau augant, tai yra, didėjant pridėtinių natūraliųjų skaičių skaičiui. Tiesą sakant, jei pasirinksite pakankamai didelį, galite padaryti jį tokį, kokio norite. Pavyzdžiui, jei gaunate
O kai gausi
Todėl matematikai taip sako ši serija skiriasi. Arba, laisviau tariant, kad suma lygi begalybei.
Šrinivasa Ramanudžanas
Taigi iš kur jis atsiranda? Tiesą sakant, neteisingas rezultatas pasirodė garsaus Indijos matematiko Srinivasa Ramanujan 1913 m. Tačiau Ramanujanas žinojo, ką daro, ir turėjo priežastį tai parašyti. Jis ištyrė vadinamąją Eulerio zeta funkciją. Norėdami suprasti, kas tai yra, pirmiausia apsvarstykite begalinę sumą
Matote, kad ši suma gaunama sudėjus natūraliųjų skaičių kvadratų atvirkštines vertes:
Dabar ši suma nesiskiria. Jei atsižvelgsime į dalinių sumų seką, kaip darėme aukščiau,
tada gauti rezultatai bus tiek arti, kiek norima, bet niekada jo neviršys. Matematikai teigia, kad serija suartėja arba, kiek laisviau, serijos suma yra lygi .
Dabar pažiūrėkime, kas nutiks, jei vietoj natūraliųjų skaičių vardiklio kvadratu padidinsime juos į kitą laipsnį? Pasirodo, kad atitinkama suma
konverguoja į galutinę reikšmę, jei laipsnis yra skaičius, didesnis nei . Kiekvienam title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} puikus matematikas Leonhardo Eulerio XVII a.
Kol kas viskas gerai. Bet kas atsitiks, jei laikysime mažesnius skaičius nei ? Pavyzdžiui, kas atsitiks, jei imsite? Pažiūrėsim.
Taigi gavome pradinę sumą, kuri, kaip žinome, skiriasi. Tas pats pasakytina ir apie visas kitas vertes, mažesnes arba lygias: suma skiriasi.
komentuoti. Eulerio zeta funkcijos tęsinys. Nagrinėjama Eulerio zeta funkcija yra apibrėžta realiesiems skaičiams, didesniems nei . Tikrieji skaičiai yra didesnės vadinamų skaičių šeimos dalis kompleksiniai skaičiai. Ir nors tikrieji skaičiai atitinka visus skaičių linijos taškus, kompleksiniai skaičiai atitinka visus plokštumos taškus, kuriuose yra tikroji skaičių linija. Ši plokštuma vadinama kompleksine plokštuma. Kaip apibrėžtos funkcijos, kurių argumentai yra realieji skaičiai, taip pat galima apibrėžti funkcijas, kurių argumentai yra kompleksiniai skaičiai.
Vienas nuostabus faktas Sudėtingų kintamųjų funkcijų dalykas yra tas, kad jei žinote funkcijos reikšmę tam tikram duomenų rinkiniui, tada (iki kai kurių techninių detalių) galite sužinoti funkcijos reikšmę bet kuriame taške. sudėtinga plokštuma. Šis funkcijos srities išplėtimo metodas yra žinomas kaip analitinis tęsinys. Eulerio zeta funkcija apibrėžiama tikriesiems skaičiams, didesniems nei . Kadangi tikrieji skaičiai yra kompleksiniai skaičiai, šią funkciją galime įsivaizduoti kaip sudėtinga funkcija, tada naudokite analitinį tęsinį, kad gautumėte nauja funkcija, apibrėžtas visoje plokštumoje, bet atitinka Eulerio zeta funkciją, kai realieji skaičiai yra didesni nei . Tai yra Riemano zeta funkcija.
Yra dar vienas dalykas, kurį galima padaryti. Naudojant galingą matematiką ( išsamią analizę pastabą), galime išplėsti Eulerio zeta funkcijos apibrėžimo sritį taip, kad skaičiams, mažesniems arba lygiems, ši funkcija įgautų baigtines reikšmes. Kitaip tariant, yra būdas apibrėžti naują funkciją, pavadinkime ją , kad title="Rended by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
O funkcijai būtų tam tikros galutinės reikšmės. Šis metodas vadinamas analitiniu tęsimu, o jo sukurta nauja funkcija vadinama Riemano zeta funkcija XVIII a. matematiko Bernhardo Riemanno vardu. (Šios naujos funkcijos, kuriai reikia baigtinių verčių, sukūrimas susideda iš kitos besiskiriančios serijos atėmimo taip, kad begalybė, gaunama iš pirmosios besiskiriančios sumos, atėmus begalybę, gaunama iš antrosios besiskiriančios sumos, būtų lygi kažkam baigtiniam.)
gerai. Dabar turime funkciją, skirtą title="Rended by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Ir jei padarysite klaidą darydami prielaidą, kad , tada gausite (neteisingą) lygybę
Tai paaiškina, kodėl Ramanujanas užrašė šią paslaptingą išraišką.
Gudrus
Taigi, kaip vaizdo įraše esantys žmonės „įrodė“, kad visų natūraliųjų skaičių suma yra lygi ? Jie iš tikrųjų to nedarė. Žiūrėti šį vaizdo įrašą tarsi stebi magą ir bando nustatyti, kada triušis nuleidžiamas į kepurę. Pirmasis „įrodinėjimo“ žingsnis bando jus įtikinti gana kvailu dalyku, būtent tuo, kad be galo daug
Vaizdo įraše apie tai ilgai nekalbama ir atrodo, kad tai akivaizdu. Tačiau pažvelkime į tai atidžiau, kad pamatytume, ar tai apskritai yra prasminga. Tegul suma būna baigtinis skaičius, pavadinkim. Pridėjus prie savęs, gauname begalinę sumą
Bet tai tik pradinė suma, iš kur
Kadangi tai netiesa. Taigi teiginys, kad begalinė suma gali būti laikoma lygia, nėra teisingas. Tiesą sakant, galite gauti skirtingus rezultatus naudodami begalę skirtingų sumų. Tai yra triukas!
Fizika
Bet kaip šis keistas neteisingas rezultatas atsidūrė fizikos vadovėlyje, kaip parodyta vaizdo įraše? Čia viskas tampa tikrai įdomi. Tarkime, paimkite dvi laidžias metalines plokštes ir išdėliokite jas vakuume taip, kad jos būtų lygiagrečios viena kitai. Pagal klasikinę fiziką tarp šių dviejų plokščių neturėtų būti jokios jėgos.
Kazimiero efektas
Bet klasikinė fizika neatsižvelgia į keistus efektus, kuriuos matote, kai į pasaulį žiūrite labai mažomis mastelėmis. Kad į juos būtų atsižvelgta, mums reikia kvantinės fizikos, kuri teigia daug labai keistų dalykų. Viena jų – vakuumas ne tuščias, o pilnas veiklos. Visą laiką vadinamasis virtualios dalelės. Ši veikla suteikia vadinamąją nulinės energijos: Mažiausia energija, kurią kažkas gali turėti, niekada nėra lygi nuliui. Kai bandote apskaičiuoti bendrą energijos tankį tarp dviejų plokščių naudodami matematiką arba kvantinę fiziką, gaunate begalinę sumą
Šią begalinę sumą taip pat gaunate, kai įjungiate reikšmę į Eulerio zeta funkciją:
Gaila, nes ši suma skiriasi (ji tai daro net greičiau nei), o tai reikš begalinis tankis energijos. Tai akivaizdžiai nesąmonė. Bet ką daryti, jei įžūliai manote, kad begalinė suma yra lygi Riemano zeta funkcijai, o ne Eulerio zeta funkcijai, esant ? Na, tada jūs gaunate baigtinį energijos tankį. Tai reiškia, kad tarp metalinių plokščių turi būti patraukli jėga, o tai taip pat atrodo juokinga, nes klasikinė fizika teigia, kad jėgų neturėtų būti.
Bet čia staigmena. Kai fizikai atliko eksperimentą, jie atrado, kad jėga iš tikrųjų egzistuoja, ir ji atitinka energijos tankį, tiksliai lygų !
Šis nuostabus fizinis rezultatasžinomas kaip Kazimiero efektas, pavadintas olandų fiziko Hendriko Kazimiero vardu.
Skirkite šiek tiek laiko tai įvertinti. Kvantinė fizika sako, kad energijos tankis turi būti lygus
Tai nesąmonė, bet eksperimentai rodo, kad jei jūs (klaidingai) apskaičiuojate šią sumą lygi vertei zeta funkcija adresu , gausite teisingą atsakymą. Taigi atrodo, kad gamta vadovaujasi Ramanujano idėjomis. Ji išplėtė Eulerio zeta funkciją įtraukdama reikšmes, mažesnes nei , sumaniai atimant begalybę, kad gautų baigtinę reikšmę. Tai nuostabu!
Priežastis, kurią matome ir Numberphile vaizdo įraše, ir fizikos vadovėlyje, o ne – kai įsivaizduojate Kazimiero efektą, vykstantį vienoje dimensijoje (išilgai linijos, o ne 3D), energijos tankis, kurį laikote , yra lygus , o ne .
Taigi kodėl Numberphile žmonės reklamuoja šį keistą „rezultatą“? Žinoma, jie žino apie analitinį tęsinį, todėl funkcija yra gana specifinė, tačiau tai yra per daug techninė medžiaga jų vaizdo įrašams. Žinant analitinis metodas tęsinys, dėl kurio galutinis rezultatas yra pagrįstas, slepiantis jį galinėje kišenėje, jie sumaniai pajudėjo į priekį. Tai darydami jie sulaukė daugiau nei milijono peržiūrų, o pasaulis pradėjo kalbėti apie zeta funkciją ir matematiką. Juos su tuo galima pasveikinti. Zeta funkcijos matematika yra fantastiška, o tai, ką čia aptarėme, yra tik pradžia. ilgas sąrašas nuostabi matematines savybes. Kai mes populiariname matematiką ir fiziką, visada turime pasirinkti, ko nepasakome ir ką paaiškiname. Kur nubrėžti tą liniją, priklauso nuo mūsų.
