Fraktalai moksle. Fraktalai

Į save panašūs rinkiniai su neįprastomis matematikos savybėmis

Nuo XIX amžiaus pabaigos matematikoje atsirado panašių objektų, kurių savybės yra patologinės klasikinės analizės požiūriu, pavyzdžių. Tai apima:

• Cantor rinkinys yra niekur tankus ir nesuskaičiuojamas tobulas rinkinys. Pakeitus procedūrą, taip pat galima gauti niekur tankų teigiamo ilgio rinkinį;
• Sierpinskio trikampis („staltiesė“) ir Sierpinskio kilimas yra plokštumoje pastatyto Cantor analogai;
• Mengerio kempinė yra Cantor rinkinio analogas trimatėje erdvėje;
• Weierstrasso ir van der Waerdeno niekur nesiskiriančios tęstinės funkcijos pavyzdžiai;
• Kocho kreivė – savaime nesusikertanti ištisinė kreivė begalinis ilgis, neturintis liestinės jokiame taške;
• Peano kreivė – ištisinė kreivė, einanti per visus kvadrato taškus;
• Brauno dalelės trajektorija taip pat niekur nesiskiria su 1 tikimybe. Jo Hausdorffo matmuo yra du [ ] .

Rekursinė fraktalinių kreivių gavimo procedūra

Fraktalai kaip fiksuoti suspaudimo atvaizdavimo taškai

Savęs panašumo savybę matematiškai galima išreikšti griežtai taip. Leisti būti sutraukiamieji plokštumos atvaizdai. Apsvarstykite šį visų kompaktiškų (uždarųjų ir ribotų) plokštumos poaibių atvaizdavimą: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Galima parodyti, kad kartografavimas Ψ (\displaystyle \Psi ) yra susitraukimo žemėlapis kompaktų rinkinyje su Hausdorffo metrika. Todėl pagal Banacho teoremą šis atvaizdavimas turi unikalų fiksuotą tašką. Tai fiksuotas taškas ir bus mūsų fraktalas.

Aukščiau aprašyta rekursinė fraktalinių kreivių gavimo procedūra yra ypatingas šios konstrukcijos atvejis. Jame yra visi ekranai ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\taškai ,n)– rodo panašumą ir n (\displaystyle n)- generatoriaus nuorodų skaičius.

Populiaru kurti gražius grafiniai vaizdai remiantis sudėtinga dinamika spalvinant plokštumos taškus priklausomai nuo atitinkamo elgesio dinamines sistemas. Pavyzdžiui, norėdami užbaigti Mandelbrot rinkinį, taškus galite nuspalvinti priklausomai nuo aspiracijos greičio z n (\displaystyle z_(n)) iki begalybės (apibrėžiamas, tarkime, kaip mažiausias skaičius n (\displaystyle n), kuriame | z n | (\displaystyle |z_(n)|)).

viršys fiksuotą didelę vertę

A (\displaystyle A)

Biomorfai yra fraktalai, sukurti remiantis sudėtinga dinamika ir primenantys gyvus organizmus.

• Stochastiniai fraktalai
• Gamtiniai objektai dažnai turi fraktalinę formą. Jiems modeliuoti galima naudoti stochastinius (atsitiktinius) fraktalus. Stochastinių fraktalų pavyzdžiai: Brauno judėjimo trajektorija plokštumoje ir erdvėje; trajektorijos riba
• Brauno judesys
• lėktuve. 2001 m. Lawleris, Schrammas ir Werneris įrodė Mandelbroto hipotezę, kad jos matmuo yra 4/3. Schramm-Löwner evoliucijos yra konformiškai nekintamos fraktalinės kreivės, atsirandančios kritiniuose dvimačiuose statistinės mechanikos modeliuose, tokiuose kaip Ising modelis ir perkoliacija..

įvairių tipų atsitiktinių imčių fraktalai, tai yra fraktalai, gauti naudojant rekursinę procedūrą, į kurią kiekviename žingsnyje įvedamas atsitiktinis parametras. Plazma yra tokio fraktalo naudojimo pavyzdys

kompiuterinė grafika Gamtos objektai su fraktalinėmis savybėmis Gamtos objektai ( kvazifraktalai) skiriasi nuo idealių abstrakčių fraktalų struktūros pasikartojimų neužbaigtumu ir netikslumu. Dauguma gamtoje aptinkamų į fraktalus panašių struktūrų (debesų ribos, kranto linijos, medžiai, augalų lapai, koralai ir kt.) yra kvazifraktalai, nes tam tikru mastu fraktalų struktūra išnyksta.

• Natūralios struktūros
  • negali būti tobuli fraktalai dėl apribojimų, kuriuos nulemia gyvos ląstelės dydis ir galiausiai molekulių dydis.
  • Laukinėje gamtoje:
  • Jūros žvaigždės ir ežiai
  • Gėlės ir augalai (brokoliai, kopūstai)
  • Medžių vainikai ir augalų lapai
• Vaisiai (ananasai)
  • Žmonių ir gyvūnų kraujotakos sistema ir bronchai
  • Negyvoje gamtoje:
  • Geografinių objektų (šalių, regionų, miestų) ribos

Šerkšno raštai ant lango stiklo

Stalaktitai, stalagmitai, heliktitai.

Taikymas Gamtos mokslai difuzija-adsorbcija, liepsna, debesys ir panašiai. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijos produktuose. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti. Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį.

Radijo inžinerija

Fraktalinės antenos

Fraktalinės geometrijos naudojimas projektuojant

AUKŠTOJO IR PROFESINIO MOKYMO MINISTERIJA

IRKUTSK VALSTYBINĖ EKONOMIKOS AKADEMIJA

INFORMACINIŲ SISTEMŲ SKYRIUS

Pagal ekonominius ir matematinius modelius ir metodus

FRAKTALŲ TEORIJA IR JOS TAIKYMAS

Parengė: Vadovas:

Pogodaeva E. A. Tolstikova T. V.

Četverikovas S.V.

IRKUTSK 1997 m

Visi vaizdai yra panašūs ir

Vis dar ne vienas ant kito

Gojus ne toks; Jų chorai

Atkreipiu dėmesį į slaptą įstatymą

Na, į šventą mįslę...

J. V. Gėtė.

Augalų metamorfozė.

KODĖL KALBAME APIE FRAKTALUS?

Antroje mūsų amžiaus pusėje gamtos moksle buvo
esminių pokyčių, dėl kurių atsirado vadinamoji teorija
saviorganizacija arba sinergija. Ji gimė staigiai, tarsi pagimdžiusi
kertant kelias linijas moksliniai tyrimai. Vienas iš lemiamų
pradinius impulsus jai savo ruožtu davė rusų mokslininkai
penktasis – šeštasis dešimtmečiai. Penktajame dešimtmetyje mokslininkas
analitikas chemikas B.P. Belousovas atrado redoksą
cheminė reakcija. Savaiminių svyravimų ir savaiminių bangų atradimas ir tyrimas metu
Belousovo reakcijos

S. E. Šnolemas, A. M. Žabotinskis, V. I. Krinskis, A. N. Zaikinas, G. R.
Ivanitskis yra bene ryškiausias fundamentalaus puslapis
Rusijos mokslas pokario laikotarpiu. Greitas ir sėkmingas mokymasis
Belousovo-Žabotinskio reakcija moksle veikė kaip trigeris
kabliukas: iš karto prisiminėme, kad panašūs procesai buvo žinomi anksčiau
natūra ir daugelis gamtos reiškinių, pradedant galaktikų susidarymu
tornadams, ciklonams ir šviesos žaismui ant atspindinčių paviršių (taigi
vadinami kaustikais) iš esmės yra saviorganizacijos procesai. Jie
gali turėti daugiausia skirtinga prigimtis: cheminis, mechaninis,
optiniai, elektriniai ir pan. Be to, paaiškėjo, kad
matematinė teorija jau seniai parengta ir puikiai išvystyta
saviorganizacija. Jos pamatus padėjo A. Poincaré ir A.A.
Lyapunovas praėjusio amžiaus pabaigoje. Disertacija „Apie tvarumą“
judėjimą“ parašė Liapunovas 1892 m.

Matematinė saviorganizacijos teorija meta mums naujų iššūkių
pažvelgti į mus supantį pasaulį. Paaiškinkime, kuo jis skiriasi nuo
klasikinė pasaulėžiūra, nes tai turėsime žinoti kada
studijuoja fraktalinius objektus.

„Klasikinė vienareikšmė – deterministinė pasaulėžiūra
gali būti simbolizuojamas lygus, lygus paviršius, ant kurio
tam tikro judesio gavę rutuliai susiduria.
Kiekvieno tokio kūno tolimesnį likimą savitai lemia jo
„praeitis“ ankstesniu laiko momentu (judesio kiekis, krūvis) ir
sąveika su kitais kūnais. Tokia sistema neturi vientisumo
neturi." (L. Belousovas. Gyvosios perkūnijos pasiuntiniai. \\ Žinios yra galia. N
2. 1996. - 32 p. Taigi, klasikinis mokslas tikėjo, kad ateitis
tokios sistemos yra griežtai ir nedviprasmiškai nulemta jos praeities ir su sąlyga
praeities pažinimas, neribotai nuspėjamas.

Šiuolaikinė matematika parodė, kad kai kuriais atvejais taip nėra
kaip tai: pavyzdžiui, jei rutuliai atsitrenkia į išgaubtą sieną, tada nereikšmingi
jų trajektorijų skirtumai didės neribotai, todėl
sistemos elgesys tam tikru momentu tampa nenuspėjamas.
Taigi vienareikšmiško determinizmo pozicijos buvo net pakirstos
palyginti paprastose situacijose.

Pasaulėžiūra, pagrįsta saviorganizacijos teorija,
simbolizuoja kalnuotos šalies su slėniais, kuriais teka upės, vaizdas,
ir kalnagūbriai-vandenskyriai. Šioje šalyje yra galingų grįžtamojo ryšio linijų.
– ir neigiamas, ir teigiamas. Jei kūnas rieda žemyn
išilgai šlaito, tada yra teigiamas ryšys tarp jo greičio ir padėties
grįžtamasis ryšys, jei jis bando pakilti aukštyn, tada jis yra neigiamas.
Netiesinis (pakankamai stiprus) grįžtamasis ryšys yra būtina sąlyga
saviorganizacija. Netiesiškumas ideologine prasme reiškia
daugiamačiai evoliucijos keliai, pasirinkimas iš alternatyvių kelių
ir tam tikras evoliucijos greitis, taip pat evoliucijos negrįžtamumas
procesus. Pavyzdžiui, apsvarstykite dviejų kūnų: A ir B sąveiką. B –
elastingas medžio kamienas, A - mūsų šalyje kalnų upelis. Srauto vingiai
kamieną vandens judėjimo kryptimi, bet pasiekus tam tikrą
kamieno lenkimas esant įtakai elastinė jėga gali atsitiesti, atsistumti
vandens dalelės atgal. Tai yra, matome sąveikos alternatyvą
du kūnai A ir B. Be to, ši sąveika vyksta tokiu būdu,
Ką A-B jungtis- yra teigiamas, o B-A yra neigiamas. Sąlyga įvykdyta
netiesiškumas.

Be to, saviorganizacijos teorijoje galime priversti savo
kalnuota šalis „gyventi“, tai yra laikui bėgant keistis. Tai svarbu
nustatyti skirtingos eilės kintamuosius. Ši kintamųjų hierarchija pagal
laikas yra būtina sąlyga susitvarkyti.
Sulaužykite, „sumaišykite“ kartus, kils chaosas (pavyzdys: žemės drebėjimas,
kai geologinės tvarkos poslinkiai įvyksta per kelias minutes ir
turėtų – kelis tūkstančius metų, tačiau, kaip paaiškėja, gyvena
sistemos ne taip bijo chaoso: jos visą laiką gyvena ant jo krašto,
kartais net įkrenta, bet vis tiek žino, kaip prireikus iš jos išlipti
išeiti. Šiuo atveju svarbiausi pasirodo lėčiausi.
laiko kintamieji (jie vadinami parametrais). Tai yra parametrų reikšmės
nustatyti, kokį stabilių sprendimų rinkinį turės sistema ir
taigi kokias struktūras jame apskritai galima įgyvendinti. IN
tuo pačiu greičiau

(dinaminiai) kintamieji yra atsakingi už konkretų įgyvendinto pasirinkimą
stabilios būsenos iš galimų.

Netiesiškumo principai ir alternatyvos pasirenkant bet kurio plėtrą
procesą, sistemos kūrimas realizuojamas ir konstruojant fraktalus.

Kaip paaiškėjo m paskutiniais dešimtmečiais(ryšium su teorijos plėtojimu
saviorganizacija), savęs panašumo pasitaiko dažniausiai skirtingų dalykų Ir
reiškinius. Pavyzdžiui, savęs panašumą galima pastebėti medžių šakose ir
krūmai, apvaisintos zigotos dalijimosi metu, snaigės, kristalai
ledas, vystymosi metu ekonominės sistemos(Kondratjevo bangos), struktūra
kalnų sistemos, debesų struktūroje. Visi išvardyti objektai ir kiti,
panašios struktūros į juos vadinami fraktalais. Tai yra, jie
turi savęs panašumo arba masto nekintamumo savybių. Ir šitą
reiškia, kad kai kurie jų struktūros fragmentai griežtai kartojami
tam tikri erdviniai intervalai. Akivaizdu, kad šie objektai
gali turėti bet kokį pobūdį, o jų išvaizda ir forma išlieka nepakitę
nepriklausomai nuo masto.

Taigi galime pasakyti, kad fraktalai naudojami kaip modeliai
atvejis, kai realus objektas negali būti pavaizduotas klasikine forma
modeliai. Tai reiškia, kad mes susiduriame su netiesiniais ryšiais ir
nedeterministinis duomenų pobūdis. Netiesiškumas pasaulėžiūroje
jausmas reiškia daugiamačius vystymosi kelius, pasirinkimo buvimą
alternatyvūs keliai ir tam tikras evoliucijos tempas, taip pat negrįžtamumas
evoliuciniai procesai. Netiesiškumas matematine prasme reiškia
tam tikros rūšies matematinės lygtys (netiesinis diferencialas
lygtys), kurių reikiami dydžiai yra didesni už vieną arba
koeficientai, priklausantys nuo terpės savybių. Tai yra, kai mes naudojame
klasikiniai modeliai (pavyzdžiui, tendencija, regresija ir kt.), mes
sakome, kad objekto ateitis yra vienareikšmiškai nulemta. Ir mes galime
nuspėti jį, žinodami objekto praeitį (pradiniai duomenys apie
modeliavimas). O fraktalai naudojami, kai objektas turi
kelios plėtros galimybės ir nustatoma sistemos būklė
padėtį, kurioje ji šiuo metu yra. Tai yra, mes
Bandome imituoti chaotišką vystymąsi.

Ką mums duoda fraktalų naudojimas?

Jie leidžia labai supaprastinti sudėtingus procesus ir objektus, o tai yra labai
svarbu modeliavimui. Leidžia apibūdinti nestabilias sistemas ir
procesus ir, svarbiausia, numatyti tokių objektų ateitį.

FRAKTALŲ TEORIJA

PRIVALOMAS ATVAIZDAS

Fraktalų teorija gana jauna. Ji pasirodė
šeštojo dešimtmečio pabaiga matematikos, informatikos, kalbotyros sankirtoje
ir biologija. Tuo metu kompiuteriai vis labiau skverbėsi į gyvenimą.
žmonių, mokslininkai pradėjo juos naudoti savo tyrimuose, skaičius
vartotojų kompiuteriai. Masiniam naudojimui
kompiuteriai, iškilo būtinybė palengvinti bendravimo procesą tarp asmens ir
automobiliu. Jei pačioje kompiuterių eros pradžioje tokių buvo nedaug
vartotojų programuotojai nesavanaudiškai įvedė komandas į mašiną
kodus ir gautus rezultatus begalinių popieriaus juostelių pavidalu, tada kada
atsirado masinis ir užimtas kompiuterio naudojimo režimas
poreikis išrasti programavimo kalbą, kuri buvo
būtų suprantama mašinai, o tuo pačiu būtų lengva išmokti ir
taikymas. Tai reiškia, kad vartotojui reikės įvesti tik vieną
komandą, o kompiuteris suskaidytų į paprastesnes ir vykdytų
jau turėtų juos. Kad būtų lengviau rašyti vertėjus, informatikos sankirtoje
ir lingvistika, atsirado fraktalų teorija, leidžianti griežtai apibrėžti
ryšiai tarp algoritminių kalbų. O danų matematikas ir
biologas A. Lindenmeeris vieną tokią gramatiką sugalvojo 1968 m.
kurią jis pavadino L sistema, kuri, jo manymu, taip pat modeliuoja augimą
gyvi organizmai, ypač krūmų ir šakų susidarymas augaluose.

Taip atrodo jo modelis. Nustatyti abėcėlę - atsitiktinis rinkinys
simbolių. Pabrėžiamas vienas dalykas pradinis žodis, vadinamas aksioma, – galite
manyti, kad tai atitinka pradinę organizmo būseną – embrioną.
Ir tada jie aprašo taisykles, kaip pakeisti kiekvieną abėcėlės simbolį konkrečiu.
simbolių rinkinys, tai yra, jie nustato embriono vystymosi dėsnį. Galioja
Taisyklės yra tokios: kiekvieną aksiomos simbolį skaitome eilės tvarka ir pakeičiame
jį į pakeitimo taisyklėje nurodytą žodį.

Taigi, vieną kartą perskaitę aksiomą, gauname naują eilutę
simbolių, kuriems vėl taikome tą pačią procedūrą. Žingsnis po žingsnio
atsiranda vis ilgesnė eilutė – kiekvienas iš šių žingsnių gali būti
laikomas vienu iš nuoseklių „organizmo“ vystymosi etapų.
Apribojant žingsnių skaičių, nustatoma, kada plėtra laikoma baigta.

FRAKTALŲ TEORIJOS ATSIRAŠYMAS

Benoit Mandelbrot pagrįstai gali būti laikomas fraktalų tėvu.
Mandelbrotas yra termino „fraktalas“ išradėjas. Mandelbrotas
rašė: „Sugalvojau žodį „fraktalas“, remdamasis lotynų kalba
būdvardis „fractus“, reiškiantis netaisyklingą, rekursyvų,
fragmentiškas“. Pirmąjį fraktalų apibrėžimą taip pat pateikė B. Mandelbrotas:

Fraktalas yra į save panaši struktūra, nuo kurios vaizdas nepriklauso
mastelis. Tai rekursyvus modelis, kurio kiekviena dalis kartojasi savaip
viso modelio kaip visumos kūrimas.

Šiandien yra daug įvairių matematinių modelių
fraktalai. Kiekvieno iš jų išskirtinis bruožas yra tas, kad in
jie pagrįsti kokia nors rekursine funkcija, pavyzdžiui: xi=f(xi-1).
Naudodamiesi kompiuteriais, mokslininkai turi galimybę gauti
grafiniai fraktalų vaizdai. Paprasčiausi modeliai nereikalauja didelių
skaičiavimus ir gali būti įdiegtas tiesiogiai informatikos pamokoje, tuo tarpu
kiti modeliai yra tokie reiklūs kompiuterio galiai, kad jie
įgyvendinimas atliekamas naudojant superkompiuterį. Beje, JAV
Nacionalinis programų centras tiria fraktalinius modelius
Superkompiuteriams (NCSA). Šiame darbe norime parodyti tik
keli fraktaliniai modeliai, kuriuos mums pavyko gauti.

Mandelbroto modelis.

Benoit Mandelbrot pasiūlė fraktalinį modelį, kuris jau tapo
klasikinis ir dažnai naudojamas parodyti, kaip tipiškas
paties fraktalo pavyzdžiu ir parodyti fraktalų grožį,
kuri taip pat traukia tyrinėtojus, menininkus, tiesiog
susidomėjusių žmonių.

Modelio matematinis aprašymas yra toks: įjungta sudėtinga plokštuma V
tam tikrame intervale kiekvienam taškui c apskaičiuojama rekursinė funkcija
Z=Z2+c. Atrodytų, kuo ši funkcija tokia ypatinga? Tačiau po to, kai N
šios taškų koordinačių skaičiavimo procedūros pakartojimų, už
sudėtinga plokštuma, atsiranda nuostabiai graži figūra, kažkas
panašus į kriaušę.

Mandelbroto modelyje kintantis veiksnys yra atskaitos taškas
c, o parametras z yra priklausomas. Todėl konstruoti fraktalą
Mandelbrotas turi taisyklę: pradinė z reikšmė lygi nuliui (z=0)!
Šis apribojimas įvedamas taip, kad pirmoji funkcijos išvestinė
z pradžios taške buvo lygus nuliui. Tai reiškia, kad pradinėje
taške funkcija turi minimumą, o ateityje tai užtruks tik
didelės vertės.

Norime pažymėti, kad jei rekursinė fraktalinė formulė skiriasi
rodinį, tuomet turėtumėte pasirinkti kitą pradinio taško reikšmę
parametras Z. Pavyzdžiui, jei formulė turi formą z=z2+z+c, tai pradinė
taškas bus lygus:

2*z+1=0 z= -1/2.

Šiame darbe turime galimybę pateikti fraktalų atvaizdus,
kurie buvo pastatyti NCSA. Vaizdo failus gavome per
Interneto tinklas.

1 pav. Mandelbroto fraktalas

Jūs jau žinote matematinį Mandelbroto fraktalo modelį. Dabar mes
Parodykime, kaip tai įgyvendinama grafiškai. Modelio pradžios taškas
lygus nuliui. Grafiškai jis atitinka "kriaušės" kūno centrą. Per N
žingsniai užpildys visą kriaušės kūną ir tą vietą, kur ji baigėsi
paskutinė iteracija pradeda formuotis fraktalo „galva“.
Fraktalo „galva“ bus lygiai keturis kartus mažesnė už kūną, nes
matematinė fraktalo formulė yra kvadratas
daugianario. Tada vėl po N kartojimų pradeda formuotis „kūnas“.
"inkstai" (į dešinę ir kairę nuo "kūno"). Ir taip toliau. Kuo daugiau duota
iteracijų skaičius N, tuo išsamesnis bus fraktalinis vaizdas,
tuo daugiau skirtingų šakų ji turės. Scheminė iliustracija
Mandelbroto fraktalo augimo stadijos pateiktos 2 pav.

2 pav. Mandelbroto fraktalų susidarymo schema

Iš 1 ir 2 paveikslų aišku, kad kiekvienas tolesnis darinys ant „kūno“
tiksliai pakartoja patį kūną savo struktūroje. Tai yra išskirtinumas
bruožas, kad šis modelis yra fraktalas.

Toliau pateiktose nuotraukose parodyta, kaip pasikeis taško padėtis,
atitinkantis parametrą z, skirtingoms pradinėms taško padėtyse
c.

A) Pradinis taškas „kūne“ B) Pradinis taškas
taškas galvoje

C) Pradinis taškas „pumpuryje“ D) Pradinis taškas
antrojo lygio "inkstai".

D) Atspirties taškas trečiojo lygio „inkstuose“.

Iš A - D paveikslų aiškiai matyti, kaip su kiekvienu žingsniu vis labiau
fraktalo struktūra tampa sudėtingesnė, o parametras z tampa vis sudėtingesnis
trajektorija.

Mandelbroto modelio apribojimai: yra įrodymų, kad in
Mandelbroto modelis |z|

Julija rinkinys

Julijos fraktalų modelis turi tą pačią lygtį kaip ir
Mandelbrotas: Z=Z2+c, tik čia kintamasis parametras
ne c, o z.

Atitinkamai, nuo šiol keičiasi visa fraktalo struktūra
startinei padėčiai netaikomi jokie apribojimai. Tarp
Yra toks skirtumas tarp Mandelbrot ir Julia modelių: jei modelis
Mandelbrotas yra statinis (nes pradinis z visada yra lygus
nulis), tada yra Julijos modelis dinaminis modelis fraktalas Įjungta
ryžių. 4 paveiksle parodytas grafinis Julijos fraktalo vaizdas.

Ryžiai. 4 Julija Modelis

Kaip matyti iš fraktalinio paveikslėlio, jis yra simetriškas centro atžvilgiu
taško forma, o Mandelbroto fraktalas turi simetrišką formą
ašies atžvilgiu.

Sierpinski kilimas

Sierpinski kilimas laikomas dar vienu fraktalų modeliu. Jis statomas
taip: paimkite kvadratą, padalinkite jį į devynis kvadratus,
centrinė aikštė iškirsta. Tada su kiekvienu iš aštuonių likusių
kvadratų, atliekama panaši procedūra. Ir taip toliau iki begalybės. IN
Dėl to vietoj viso kvadrato gauname kilimą su savitu
simetriškas modelis. Pirmą kartą šis modelis pasiūlė matematikas
Sierpinskis, kurio garbei jis gavo savo vardą. Kilimo pavyzdys
Sierpinskį galima pamatyti pav. 4d.

4 pav. Sierpinski kilimo konstrukcija

4. Kocho kreivė

XX amžiaus pradžioje matematikai ieškojo kreivių, kurių nebuvo
taškai neturi liestinės. Tai reiškė, kad kreivė staigiai pakeitė savo
kryptimi ir nepaprastai dideliu greičiu (vedinys
lygi begalybei). Šių kreivių paieška nebuvo tiesiog sukelta
tuščias matematikų susidomėjimas. Faktas yra tas, kad dvidešimtojo amžiaus pradžioje buvo labai
Sparčiai vystėsi kvantinė mechanika. Tyrėjas M. Brownas
eskizavo vandenyje skendinčių dalelių trajektoriją ir ją paaiškino
Reiškinys yra toks: atsitiktinai judantys skysčio atomai pataiko
skendinčias daleles ir taip jas pajudinti. Po šito
Brauno judėjimo paaiškinimas, mokslininkai susidūrė su užduotimi tokį rasti
kreivė, kuri būtų geriausiu įmanomu būdu apytikslis judėjimas
Brauno dalelės. Norėdami tai padaryti, kreivė turėjo atitikti šiuos dalykus
savybės: neturi liestinės jokiame taške. Matematikas Kochas
pasiūlė vieną tokią kreivę. Mes nesileisime į paaiškinimus
jo konstrukcijos taisykles, o tiesiog suteikia savo įvaizdį, iš kurio viskas
paaiškės (5 pav.).

5 pav. Kocho kreivės sudarymo etapai

Kocho kreivė yra dar vienas fraktalo pavyzdys, nes kiekvienas jo
dalis yra sumažintas visos kreivės vaizdas.

6. Grafiniai įvairių fraktalų vaizdai

Šiuo metu nusprendėme įdėti įvairių grafinių vaizdų
fraktalų, kuriuos gavome iš interneto. Deja, mes ne
pavyko rasti matematinis aprašymasšių fraktalų, bet tam, kad
Norint suprasti jų grožį, pakanka tik piešinių.

Ryžiai. 6 pavyzdžiai grafinis vaizdavimas fraktalai

II SKYRIUS

FRAKTALŲ TEORIJOS TAIKYMAS EKONOMIKOJE

TECHNINĖ FINANSŲ RINKŲ ANALIZĖ

Finansų rinka išsivysčiusiose pasaulio šalyse gyvuoja daugiau nei šimtą metų.
metų. Šimtmečius žmonės pirko ir parduodavo vertybinius popierius.
Tokio tipo vertybinių popierių sandoriai rinkos dalyviams atnešė pajamų
dėl to, kad akcijų ir obligacijų kainos visą laiką skyrėsi,
nuolat keitėsi. Šimtmečius žmonės pirko vertybinius popierius
ta pačia kaina ir parduodami, kai pabrango. Bet kartais
pirkėjo lūkesčiai nepasiteisino ir prasidėjo įsigytų vertybinių popierių kainos
rudenį, todėl jis ne tik negavo pajamų, bet ir nukentėjo
nuostoliai. Labai ilgai niekas negalvojo, kodėl taip nutinka:
kaina kyla ir krinta. Žmonės tiesiog pamatė veiksmo rezultatą, o nematė
galvojo apie priežasties ir pasekmės mechanizmą, kuris jį sukuria.

Taip atsitiko iki tol, kol amerikiečių finansininkas, vienas iš
garsaus laikraščio „Financial Times“ leidėjai, Charleso Dowo nėra
paskelbė nemažai straipsnių, kuriuose išsakė savo nuomonę
finansų rinkos funkcionavimui. Dow pastebėjo, kad akcijų kainos
jautrūs cikliniai svyravimai: po ilgo augimo seka
ilgas kritimas, tada kilimas ir vėl kritimas. Taigi,
Charlesas Dovas pirmasis pastebėjo, kad galima numatyti ateitį
akcijų kainos elgesys, jei kai kuriems žinoma jos kryptis
paskutinis laikotarpis.

1 pav. Kainos elgsena pagal Ch.Dow

Vėliau, remiantis Ch. Dow atradimais, visa
finansų rinkos techninės analizės teorija, kurią gavo
pavadinimas Dow teorija. Ši teorija siekia devintąjį dešimtmetį
XIX amžiuje, kai C. Doe paskelbė savo straipsnius.

Techninė rinkų analizė yra tolesnio prognozavimo metodas
kainų tendencijų elgesį, pagrįstą žiniomis apie jos elgesio istoriją.
Techninėje analizėje naudojama matematinė
tendencijų savybes, o ne vertybinių popierių ekonominę veiklą.

vidurio, kai visas mokslo pasaulis tik domėjosi
kad besiformuojanti fraktalų teorija – kitas garsus amerikietis
finansininkas Ralphas Elliottas pasiūlė savo akcijų kainų elgesio teoriją,
kuri buvo pagrįsta fraktalų teorijos naudojimu.

Elliottas rėmėsi tuo, kad fraktalų geometrija nepasitaiko
tik gyvojoje gamtoje, bet ir joje socialiniai procesai. Į viešumą
Jis taip pat įtraukė prekybą akcijomis biržoje kaip procesą.

ELIOTO BANGŲ TEORIJA

Elioto bangų teorija yra viena iš seniausios teorijos techninis
analizė. Nuo jo sukūrimo joks vartotojas prie jo neprisidėjo
bet kokių pastebimų naujovių. Priešingai, visos pastangos buvo nukreiptos
kad Ellioto suformuluoti principai išryškėtų vis labiau
aiškiau. Rezultatas akivaizdus. Kuriant buvo panaudota Elioto teorija
geriausios Amerikos Dow Jones indekso judėjimo prognozės.

Teorijos pagrindas yra vadinamoji bangų diagrama. Banga yra
pastebimas kainų judėjimas. Laikantis masinio vystymosi taisyklių
psichologinis elgesys, visi kainų pokyčiai yra suskirstyti į penkias bangas
stipresnės tendencijos kryptis ir trys bangos priešinga kryptimi
kryptimi. Pavyzdžiui, dominuojančios tendencijos atveju matysime penkis
bangos, kai kaina juda aukštyn ir trys, kai juda (pataisoma) žemyn.

Norėdami nurodyti penkių bangų tendenciją, naudokite skaičius a for
priešingos trijų bangų – raidės. Kiekvienas iš penkių bangų judesių
vadinami impulsiniais, o kiekvienas iš trijų vonių – korekciniais. Štai kodėl
kiekviena iš bangų 1,3,5,A ir C yra impulsinė, o 2,4 ir B yra
korekcinis.

Ryžiai. 7 Elioto bangų diagrama

Elliottas buvo vienas iš pirmųjų, kurie aiškiai apibrėžė geometrijos veiksmą
Fraktalai gamtoje, in šiuo atveju- kainų diagramoje. Jis
darė prielaidą, kad kiekviename iš impulso ir
Korekcinės bangos taip pat vaizduojamos Ellioto bangų diagrama.
Savo ruožtu tas bangas taip pat galima išskaidyti į komponentus ir pan
toliau. Taigi Elliottas skilimui pritaikė fraktalų teoriją
tendencija į mažesnes ir suprantamesnes dalis. Daugiau žinių apie šias dalis
mažesnė nei didžiausios bangos diagrama yra svarbi, nes
kad prekybininkai (finansų rinkos dalyviai), žinodami, kurioje dalyje
diagramose jie yra, gali drąsiai parduoti vertybinius popierius, kai
prasideda korekcinė banga, o jai prasidėjus reikėtų juos nusipirkti
impulsinė banga.

8 pav. Fraktalinė Elioto diagramos struktūra

FIBONAČI SKAIČIAI IR BANGŲ CHARAKTERISTIKOS

Ralphas Elliottas buvo pirmasis, kuris sugalvojo naudoti skaičių seką
Fibonacci už prognozių sudarymą techninės analizės rėmuose. SU
naudodami Fibonačio skaičius ir koeficientus galite numatyti ilgį
kiekviena banga ir jos pabaigos laikas. Neliesdamas laiko klausimo,
Pažvelkime į dažniausiai naudojamas ilgio nustatymo taisykles
Elliotas banguoja. Pagal ilgį šiuo atveju turime omenyje jo
padidinti arba sumažinti kainų skalę.

Pulso bangos.

3 bangos ilgis paprastai yra 1,618 1 bangos, rečiau - lygus
jai.

Dvi impulsinės bangos dažnai yra vienodo ilgio, dažniausiai 5 bangos
ir 1. Tai dažniausiai atsitinka, jei bangos ilgis 3 yra mažesnis nei 1,618
bangos ilgis 1.

Dažnai pasitaikantis ryšys yra tas, kad 5 bangos ilgis yra 0,382
arba 0,618 kainos nuvažiuoto atstumo nuo 1 bangos pradžios iki pabaigos
bangos 3.

Pataisymai

Korekcinių bangų ilgiai sudaro tam tikrą koeficientą
Fibonacci apie ankstesnės impulsinės bangos ilgį. Pagal
pagal kaitaliojimo taisyklę 2 ir 4 bangos turėtų keistis procentais
santykis. Dažniausias pavyzdys yra toks:
2 banga sudarė 61,8 % 1 bangos, o 4 banga galėjo būti
tik 38,2% arba 50% 3 bangos.

IŠVADA

Mūsų darbas neapima visų žmogiškųjų žinių sričių,
kur fraktalų teorija rado savo pritaikymą. Mes tik norime tai pasakyti
nuo teorijos atsiradimo praėjo ne daugiau kaip trečdalis amžiaus, bet per tai
laikui bėgant fraktalai daugeliui tyrinėtojų staiga tapo ryškia šviesa
naktimis, kurios nušvietė iki šiol nežinomus faktus ir modelius
konkrečias duomenų sritis. Fraktalų teorijos pagalba jie pradėjo aiškintis
galaktikų evoliucija ir ląstelių vystymasis, kalnų atsiradimas ir formavimasis
debesys, kainų judėjimas biržoje ir visuomenės bei šeimos raida. Galbūt
Galbūt iš pradžių ši aistra fraktalams buvo net per didelė
buvo audringi ir bandymai viską paaiškinti naudojant fraktalų teoriją
nepateisinamas. Tačiau, be jokios abejonės, ši teorija turi teisę
ir apgailestaujame dėl to pastaruoju metu ji kažkaip pamiršo
ir liko išrinktųjų likimas. Rengdami šį darbą buvome
Labai įdomu rasti TEORIJOS pritaikymo praktikoje. Nes
labai dažnai yra toks jausmas teorinių žinių atsistoti
toli nuo realybės.

Darbo pabaigoje norėtume pasakyti entuziastingų žodžių
fraktalų teorijos krikštatėvis Benoit Mandelbrot: „Gamtos geometrija
fraktalas! Šiais laikais tai skamba taip pat įžūliai ir absurdiškai
garsusis G. Galilėjaus šūksnis: „Bet vis tiek sukasi! XVI a
amžiaus.

NAUDOTŲ ŠALTINIŲ SĄRAŠAS

Sheypak I.A. Fraktalai, graftalai, krūmai... //Chemija ir gyvenimas. 1996 Nr.6

Chaoso supratimas // Chemija ir gyvenimas. 1992 Nr.8

Erlich A. Techninė prekių ir akcijų rinkų analizė, M: Infra-M, 1996 m.

Medžiaga iš interneto.

Fibonačio seka – seka, pasiūlyta 1202 m
viduramžių matematiko Leonardo Fibonacci. Nurodo rūšį
grąžinimo sekos. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Fibonačio koeficientai – dviejų gretimų narių padalijimo koeficientas
Fibonačio seka: K1=ai/ai-1=1,618,

K2=ai-1/ai=0,618. Šie koeficientai reiškia vadinamąjį
„auksinis pjūvis“.

Akcijų kaina

Akcijų kainų elgesio diagrama

Išradingiausi mokslo atradimai gali kardinaliai pasikeisti žmogaus gyvenimą. Išrasta vakcina gali išgelbėti milijonus žmonių, priešingai, atima šias gyvybes. Visai neseniai (pagal mastelį žmogaus evoliucija) išmokome „prisijaukinti“ elektrą – ir dabar neįsivaizduojame gyvenimo be visų šių patogių prietaisų, naudojančių elektrą. Tačiau yra ir atradimų, kuriuos mažai kas skiria, nors jie taip pat daro didelę įtaką mūsų gyvenimui.

Vienas iš šių „nepastebimų“ atradimų yra fraktalai. Tikriausiai jau esate girdėję šį patrauklų žodį, bet ar žinote, ką jis reiškia ir kiek įdomios informacijos slypi šiame termine?

Kiekvienas žmogus turi prigimtinį smalsumą, norą suprasti jį supantį pasaulį. Ir šioje pastangoje žmogus bando laikytis logikos sprendimuose. Analizuodamas aplink vykstančius procesus, jis bando rasti to, kas vyksta, logiką ir išvesti kažkokį šabloną. Labiausiai puikūs protai planetoje yra užsiėmę šia užduotimi. Grubiai tariant, mokslininkai ieško modelio, kur jo neturėtų būti. Nepaisant to, net ir chaose galima rasti sąsajų tarp įvykių. Ir šis ryšys yra fraktalas.

Mūsų mažajai dukrytei, ketverių su puse metų, dabar toks nuostabus amžius, kai kyla klausimų „Kodėl? daug kartų viršija atsakymų skaičių, kurį sugeba pateikti suaugusieji. Neseniai, apžiūrinėdama nuo žemės pakeltą šaką, dukra staiga pastebėjo, kad ši šaka su savo šakelėmis ir šakomis pati atrodo kaip medis. Ir, žinoma, sekė įprastas klausimas „Kodėl?“, į kurį tėvai turėjo ieškoti paprasto, vaikui suprantamo paaiškinimo.

Vaiko atrastas vienos šakos panašumas su visu medžiu – labai tikslus pastebėjimas, dar kartą liudijantis apie rekursyvaus savęs panašumo gamtoje principą. Daugelis organinių ir neorganinių formų gamtoje susidaro panašiai. Debesys, jūros kriauklės, sraigės „namas“, medžių žievė ir vainikas, kraujotakos sistema ir t. t. – atsitiktines visų šių objektų formas galima apibūdinti fraktaliniu algoritmu.

⇡ Benoit Mandelbrotas: fraktalinės geometrijos tėvas

Pats žodis „fraktalas“ atsirado genialaus mokslininko Benoit B. Mandelbroto dėka.

Jis pats sugalvojo šį terminą aštuntajame dešimtmetyje, pasiskolinęs žodį fractus iš lotynų kalbos, kur jis pažodžiui reiškia „sulaužytas“ arba „sutraiškytas“. Kas tai yra? Šiandien žodis „fraktalas“ dažniausiai reiškia grafinis vaizdas struktūras, kurios yra panašios į save didesniu mastu.

Fraktalų teorijos atsiradimo matematinis pagrindas buvo padėtas daug metų iki Benoit Mandelbroto gimimo, tačiau jis galėjo išsivystyti tik atsiradus skaičiavimo įrenginiams. Savo mokslinės karjeros pradžioje Benoit dirbo IBM tyrimų centre. Tuo metu centro darbuotojai dirbo prie duomenų perdavimo per atstumą. Tyrimo metu mokslininkai susidūrė su didelių nuostolių, kylančių dėl triukšmo trukdžių, problema. Benoit susidūrė su sunkiu ir labai svarbi užduotis— suprasti, kaip numatyti triukšmo trukdžių atsiradimą elektroninėse grandinėse, kai statistinis metodas pasirodo neveiksmingas.

Žvelgdamas į triukšmo matavimų rezultatus, Mandelbrotas pastebėjo vieną keistą modelį – skirtingų skalių triukšmo grafikai atrodė vienodai. Buvo pastebėtas identiškas modelis, neatsižvelgiant į tai, ar tai buvo vienos dienos, savaitės ar valandos triukšmo grafikas. Reikėjo keisti grafiko mastelį, o paveikslas kartodavosi kaskart.

Per savo gyvenimą Benoit Mandelbrotas ne kartą sakė, kad jis nesimokė formulių, o tiesiog žaidė su paveikslėliais. Šis žmogus mąstė labai vaizdingai, bet kokią algebrinę problemą išvertė į geometrijos sritį, kur, anot jo, teisingas atsakymas visada akivaizdus.

Nenuostabu, kad būtent žmogus, turintis tokią turtingą erdvinę vaizduotę, tapo fraktalinės geometrijos tėvu. Juk suvokimas apie fraktalų esmę ateina būtent tada, kai pradedi tyrinėti piešinius ir galvoti apie keistų sūkurių prasmę.

Fraktalinis modelis neturi identiškų elementų, bet yra panašus bet kokiu mastu. Sukurkite tokį vaizdą su aukštas laipsnis rankinis detalizavimas anksčiau buvo tiesiog neįmanomas, tam reikėjo atlikti daug skaičiavimų. Pavyzdžiui, prancūzų matematikas Pierre'as Josephas Louisas Fatou aprašė šį rinkinį daugiau nei septyniasdešimčiai metų prieš Benou Mandelbroto atradimą. Jei kalbėtume apie savęs panašumo principus, jie buvo paminėti Leibnizo ir Georgo Cantoro darbuose.

Vienas iš pirmųjų fraktalų piešinių buvo grafinė Mandelbroto rinkinio interpretacija, kuri gimė Gastono Maurice'o Julijos tyrimų dėka.

Gaston Julia (visada dėvi kaukę – sužalojimas iš Pirmojo pasaulinio karo)

Šis prancūzų matematikas susimąstė, kaip atrodytų rinkinys, jei jis būtų sudarytas iš paprastos formulės, kartojamos grįžtamojo ryšio kilpa. Jei paaiškiname tai „ant pirštų“, tai reiškia, kad konkrečiam skaičiui randame naują reikšmę naudodami formulę, po kurios ją vėl pakeičiame į formulę ir gauname kitą reikšmę. Rezultatas yra didelė skaičių seka.

Norėdami susidaryti išsamų tokio rinkinio vaizdą, turite atlikti daugybę skaičiavimų - šimtus, tūkstančius, milijonus. To padaryti rankiniu būdu buvo tiesiog neįmanoma. Tačiau kai matematikai tapo prieinami galingi skaičiavimo įrenginiai, jie galėjo iš naujo pažvelgti į formules ir išraiškas, kurios jau seniai domėjosi. Mandelbrotas pirmasis panaudojo kompiuterį klasikiniam fraktalui apskaičiuoti. Apdorojęs seką, susidedančią iš daugybės reikšmių, Benoit nubraižė rezultatus grafike. Tai jis gavo.

Vėliau šis vaizdas buvo nuspalvintas (pavyzdžiui, vienas iš spalvinimo būdų yra iteracijų skaičiumi) ir tapo vienu populiariausių kada nors žmogaus sukurtų vaizdų.

Kaip sako senovės posakis, priskiriamas Heraklitui iš Efezo: „Negali du kartus įbristi į tą pačią upę“. Jis puikiai tinka fraktalų geometrijai interpretuoti. Kad ir kaip detaliai žiūrėtume į fraktalinį vaizdą, visada matysime panašų modelį.

Norintys pamatyti, kaip atrodytų Mandelbroto erdvės vaizdas priartinus daug kartų, gali tai padaryti atsisiųsdami animuotą GIF.

⇡ Lauren Carpenter: gamtos sukurtas menas

Fraktalų teorija netrukus rado praktinį pritaikymą. Kadangi tai yra glaudžiai susiję su panašių vaizdų vizualizavimu, nenuostabu, kad pirmasis priėmė algoritmus ir konstravimo principus. neįprastos formos, buvo menininkų.

Būsimasis legendinės Pixar studijos įkūrėjas Loren C. Carpenter 1967 metais pradėjo dirbti kompanijoje „Boeing Computer Services“, kuri buvo vienas iš garsios korporacijos, kuriančios naujus lėktuvus, padalinių.

1977 metais jis sukūrė pristatymus su skraidančių modelių prototipais. Loreno pareigos apėmė kuriamo orlaivio vaizdų kūrimą. Jis turėjo kurti naujų modelių paveikslėlius, rodančius būsimus lėktuvus iš skirtingų kampų. Kažkuriuo momentu būsimam Pixar Animation Studios įkūrėjui kilo kūrybinė idėja kaip foną panaudoti kalnų atvaizdą. Šiandien bet kuris moksleivis gali išspręsti tokią problemą, tačiau praėjusio amžiaus aštuntojo dešimtmečio pabaigoje kompiuteriai negalėjo susidoroti su tokiais sudėtingais skaičiavimais - nebuvo grafinių redaktorių, jau nekalbant apie 3D grafikos programas. 1978 metais Lauren parduotuvėje atsitiktinai pamatė Benoit Mandelbroto knygą „Fraktalai: forma, tikimybė ir matmenys“. Šioje knygoje jo dėmesį patraukė tai, kad Benoit pateikė daug fraktalų formų pavyzdžių realiame gyvenime ir teigė, kad jas galima apibūdinti matematine išraiška.

Šią analogiją matematikas pasirinko neatsitiktinai. Faktas yra tas, kad kai tik jis paskelbė savo tyrimą, jam teko susidurti su daugybe kritikos. Pagrindinis dalykas, dėl kurio jam priekaištavo kolegos, buvo kuriamos teorijos nenaudingumas. „Taip, – pasakė jie, – tai gražios nuotraukos, bet nieko daugiau. Fraktalų teorija neturi praktinės vertės. Taip pat buvo manančių, kad fraktaliniai raštai buvo tiesiog šalutinis „velniškų mašinų“ darbo produktas, kuris septintojo dešimtmečio pabaigoje daugeliui atrodė pernelyg sudėtingas ir neištirtas, kad juo būtų galima visiškai pasitikėti. Mandelbrotas bandė rasti akivaizdžių fraktalų teorijos pritaikymų, tačiau didžiojoje dalykų schemoje jam to nereikėjo. Per ateinančius 25 metus Benoit Mandelbroto pasekėjai įrodė didžiulę tokio „matematinio smalsumo“ naudą, o Lauren Carpenter buvo viena pirmųjų, išbandžiusių fraktalų metodą praktiškai.

Išstudijavęs knygą, būsimasis animatorius rimtai studijavo fraktalinės geometrijos principus ir ėmė ieškoti būdo, kaip ją įgyvendinti kompiuterinėje grafikoje. Vos per tris darbo dienas Laurenas savo kompiuteryje sugebėjo pateikti tikrovišką kalnų sistemos vaizdą. Kitaip tariant, jis formulėmis nupiešė visiškai atpažįstamą kalnų peizažą.

Principas, kuriuo Lauren siekė savo tikslo, buvo labai paprastas. Jį sudarė didesnės geometrinės figūros padalijimas į mažus elementus, o šie, savo ruožtu, buvo padalinti į panašias mažesnio dydžio figūras.

Naudodamas didesnius trikampius, Carpenter padalijo juos į keturis mažesnius ir kartojo šį procesą vėl ir vėl, kol gavo tikrovišką kalnų kraštovaizdį. Taip jam pavyko tapti pirmuoju menininku, panaudojusiu fraktalų algoritmą vaizdų konstravimui kompiuterinėje grafikoje. Kai tik sužinojo apie kūrinį, entuziastai visame pasaulyje ėmėsi šios idėjos ir pradėjo naudoti fraktalų algoritmą, kad imituotų tikroviškas gamtos formas.

Viena pirmųjų 3D vizualizacijų naudojant fraktalinį algoritmą

Vos po kelerių metų Lauren Carpenter sugebėjo pritaikyti savo patobulinimus kur kas daugiau didelio masto projektas. Animatorius iš jų sukūrė dviejų minučių trukmės „Vol Libre“ demonstracinę versiją, kuri buvo parodyta „Siggraph“ 1980 m. Šis vaizdo įrašas sukrėtė visus jį mačiusius, o Lauren sulaukė pakvietimo iš „Lucasfilm“.

Animacija buvo atkurta VAX-11/780 kompiuteriu iš „Digital Equipment Corporation“, kurio taktinis dažnis yra penki megahercai, o kiekvienas kadras atvaizduojamas maždaug pusvalandį.

Dirbdamas „Lucasfilm Limited“, animatorius pagal tą pačią schemą sukūrė 3D peizažus antrajam vaidybiniam filmui Žvaigždžių saga Trek. Knygoje „Khano rūstybė“ Carpenter sugebėjo sukurti visą planetą, naudodamas tą patį fraktalinio paviršiaus modeliavimo principą.

Šiuo metu visos populiarios 3D kraštovaizdžio kūrimo programos naudoja panašų gamtos objektų generavimo principą. „Terragen“, „Bryce“, „Vue“ ir kiti 3D redaktoriai remiasi fraktaliniu algoritmu paviršių ir tekstūrų modeliavimui.

⇡ Fraktalinės antenos: mažiau yra daugiau

Per pastarąjį pusę amžiaus gyvenimas pradėjo sparčiai keistis. Daugelis iš mūsų šiuolaikinių technologijų pažangą laiko savaime suprantamu dalyku. Labai greitai priprantate prie visko, kas gyvenimą daro patogesnį. Retai kas užduoda klausimus „Iš kur tai atsirado? ir "Kaip tai veikia?" Mikrobangų krosnelė pašildo pusryčius – puiku, išmanusis telefonas suteikia galimybę pasikalbėti su kitu žmogumi – puiku. Mums tai atrodo akivaizdi galimybė.

Tačiau gyvenimas galėjo būti visiškai kitoks, jei žmogus nebūtų ieškojęs vykstančių įvykių paaiškinimo. Paimkite, pavyzdžiui, mobiliuosius telefonus. Prisimenate pirmųjų modelių ištraukiamas antenas? Jie trukdė, padidino įrenginio dydį ir galiausiai dažnai sugedo. Manome, kad jie visam laikui nugrimzdo į užmarštį, ir dalis to priežasčių yra... fraktalai.

Fraktaliniai raštai žavi savo raštais. Jie neabejotinai primena vaizdus kosminiai objektai- ūkai, galaktikų spiečiai ir pan. Todėl visiškai natūralu, kad kai Mandelbrotas išsakė savo fraktalų teoriją, jo tyrimai sukėlė didesnį astronomijos tyrinėtojų susidomėjimą. Vienas iš šių mėgėjų, vardu Nathanas Cohenas, Budapešte lankęs Benoit Mandelbrot paskaitą, įkvėptas įgytų žinių praktinio pritaikymo idėjos. Tiesa, jis tai padarė intuityviai, ir ne paskutinis vaidmuo Jo atradime vaidmenį suvaidino atsitiktinumas. Būdamas radijo mėgėjas, Nathanas siekė sukurti kuo didesnio jautrumo anteną.

Vienintelis būdas pagerinti antenos parametrus, kuris tuo metu buvo žinomas, buvo padidinti jos geometrinius matmenis. Tačiau nekilnojamojo turto Bostono centre, kurį Nathanas išsinuomojo, savininkas kategoriškai priešinosi didelių įrenginių įrengimui ant stogo. Tada Nathanas pradėjo eksperimentuoti su įvairių formų antenomis, bandydamas gauti maksimalus rezultatas su minimaliais matmenimis. Įkvėptas fraktalų formų idėjos, Cohenas, kaip sakoma, atsitiktinai iš vielos pagamino vieną garsiausių fraktalų - „Koch snaigę“. Švedų matematikas Helge von Koch sugalvojo šią kreivę dar 1904 m. Jis gaunamas padalijus atkarpą į tris dalis ir vidurinį segmentą pakeitus lygiakraščiu trikampiu, kurio kraštinė nesutampa su šia atkarpa. Apibrėžimą šiek tiek sunku suprasti, tačiau paveikslėlyje viskas aišku ir paprasta.

Taip pat yra ir kitų Kocho kreivės variantų, tačiau apytikslė kreivės forma išlieka panaši

Kai Natanas prijungė anteną prie radijo imtuvo, jis labai nustebo – jautrumas smarkiai išaugo. Po daugybės eksperimentų būsimasis Bostono universiteto profesorius suprato, kad pagal fraktalinį modelį pagaminta antena pasižymi dideliu efektyvumu ir apima daug platesnį dažnių diapazoną, palyginti su klasikiniais sprendimais. Be to, antenos forma fraktalinės kreivės pavidalu leidžia žymiai sumažinti geometrinius matmenis. Nathanas Cohenas netgi sugalvojo teoremą, įrodančią, kad norint sukurti plačiajuosčio ryšio anteną, pakanka suteikti jai į save panašios fraktalinės kreivės formą.

Autorius užpatentavo savo atradimą ir įkūrė fraktalinių antenų kūrimo ir projektavimo įmonę Fractal Antenna Systems, pagrįstai manydamas, kad ateityje jo atradimo dėka mobilieji telefonai galės atsikratyti didelių gabaritų antenų ir tapti kompaktiškesni.

Iš principo taip ir atsitiko. Tiesa, iki šių dienų Nathanas dalyvauja teisinėje kovoje su didelėmis korporacijomis, kurios nelegaliai naudoja jo atradimą kompaktiškų ryšio prietaisų gamybai. Kai kurie žinomi gamintojai mobiliuosius įrenginius, pavyzdžiui, „Motorola“, jau pasiekė taikos susitarimą su fraktalinės antenos išradėju.

⇡ Fraktalų matmenys: jūs negalite to suprasti protu

Šį klausimą Benoit pasiskolino iš garsaus amerikiečių mokslininko Edwardo Kasnerio.

Paskutinis, kaip ir daugelis kitų garsūs matematikai, mėgo bendrauti su vaikais, užduoti jiems klausimus ir gauti netikėtus atsakymus. Kartais tai sukeldavo netikėtų pasekmių. Pavyzdžiui, devynerių metų Edvardo Kasnerio sūnėnas sugalvojo dabar gerai žinomą žodį „googol“, reiškiantį vieną, po kurio seka šimtas nulių. Bet grįžkime prie fraktalų. Amerikiečių matematikas mėgo kelti klausimą, kokio ilgio yra JAV pakrantė. Išklausęs pašnekovo nuomonę, teisingą atsakymą pasakė pats Edvardas. Jei matuosite ilgį žemėlapyje naudodami nulaužtus segmentus, rezultatas bus netikslus, nes pakrantėje yra daug nelygumų. Kas nutiks, jei išmatuosime kuo tiksliau? Reikės atsižvelgti į kiekvieno nelygumo ilgį – reikės išmatuoti kiekvieną kyšulį, kiekvieną įlanką, uolą, uolų atbrailos ilgį, akmenį ant jos, smėlio grūdelį, atomą ir t.t. Kadangi nelygumų skaičius siekia begalybę, matuojant kiekvieną naują nelygumą, išmatuotas pakrantės ilgis padidės iki begalybės.

Kuo mažesnis matas matuojant, tuo ilgesnis matuojamas ilgis

Įdomu tai, kad Edvardo raginimai vaikai daug greičiau nei suaugusieji pasakė teisingą sprendimą, o pastariesiems buvo sunku priimti tokį neįtikėtiną atsakymą.

Naudodamas šią problemą kaip pavyzdį, Mandelbrotas pasiūlė naudoti naujas požiūrisį išmatavimus. Kadangi pakrantės linija yra arti fraktalinės kreivės, tai reiškia, kad jai galima pritaikyti charakterizuojantį parametrą – vadinamąją fraktalinę dimensiją.

Kas yra įprastas matmuo, aišku kiekvienam. Jei matmuo yra lygus vienam, gauname tiesią liniją, jei du - plokščia figūra, trijų tūrių. Tačiau toks matmenų supratimas matematikoje neveikia su fraktalinėmis kreivėmis, kur šis parametras turi trupmeninę reikšmę. Fraktalinis matmuo matematikoje paprastai gali būti laikomas „šiurkštumu“. Kuo didesnis kreivės šiurkštumas, tuo didesnis jos fraktalinis matmuo. Kreivė, kurios, pasak Mandelbroto, fraktalinis matmuo yra didesnis nei jos topologinis matmuo, apytikslis ilgis nepriklauso nuo matmenų skaičiaus.

Šiuo metu mokslininkai randa vis daugiau fraktalų teorijos taikymo sričių. Naudodami fraktalus galite analizuoti biržos kainų svyravimus, tirti įvairiausius natūralius procesus, pavyzdžiui, rūšių skaičiaus svyravimus, arba imituoti srautų dinamiką. Fraktaliniai algoritmai gali būti naudojami duomenims glaudinti, pavyzdžiui, vaizdų glaudinimui. Ir, beje, norint gauti gražų fraktalą kompiuterio ekrane, nebūtina turėti daktaro laipsnį.

⇡ Fraktalas naršyklėje

Galbūt vienas iš labiausiai paprastus būdus Gaukite fraktalų modelį - naudokite internetinį vektorinį redaktorių iš jauno talentingo programuotojo Toby Schachman. Šio paprasto grafinio redaktoriaus įrankiai yra pagrįsti tuo pačiu panašumo principu.

Jūsų žinioje yra tik dvi paprasčiausios formos - keturkampis ir apskritimas. Galite pridėti juos prie drobės, keisti mastelį (jei norite keisti mastelį išilgai vienos iš ašių, laikykite nuspaudę klavišą „Shift“) ir pasukti. Persidengę pagal Būlio sudėjimo operacijų principą, šie paprasčiausi elementai sudaro naujas, ne tokias trivialines formas. Tada šias naujas formas galima pridėti prie projekto, o programa kartos šiuos vaizdus be galo. Bet kuriame darbo su fraktalu etape galite grįžti prie bet kurio komponento sudėtinga forma ir redaguoti jo padėtį bei geometriją. Smagi veikla, ypač kai manote, kad vienintelis įrankis, kurio jums reikia sukurti, yra naršyklė. Jei nesuprantate darbo su šiuo rekursyviu vektoriniu redaktoriumi principo, rekomenduojame žiūrėti vaizdo įrašą oficialioje projekto svetainėje, kuriame išsamiai parodytas visas fraktalo kūrimo procesas.

⇡ XaoS: fraktalai kiekvienam skoniui

Daugelis grafinių redaktorių turi įmontuotus įrankius fraktaliniams modeliams kurti. Tačiau šie įrankiai dažniausiai yra antriniai ir neleidžia tiksliai sureguliuoti generuojamo fraktalinio modelio. Tais atvejais, kai reikia sukonstruoti matematiškai tikslų fraktalą, į pagalbą ateis kelių platformų XaoS redaktorius. Ši programa leidžia ne tik sukonstruoti į save panašų vaizdą, bet ir atlikti su juo įvairias manipuliacijas. Pavyzdžiui, realiu laiku galite „pasivaikščioti“ palei fraktalą, pakeisdami jo mastelį. Animuotas judėjimas palei fraktalą gali būti išsaugotas kaip XAF failas ir atkurtas pačioje programoje.

XaoS gali įkelti atsitiktinį parametrų rinkinį, taip pat naudoti įvairius vaizdo apdorojimo filtrus – pridėti neryškaus judesio efektą, išlyginti aštrius perėjimus tarp fraktalinių taškų, imituoti 3D vaizdą ir pan.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktiškas fraktalų generatorius

Palyginti su kitais fraktalinių vaizdų generatoriais, jis turi keletą privalumų. Pirma, jis yra labai mažas ir nereikalauja montavimo. Antra, ji įgyvendina galimybę nustatyti paveikslėlio spalvų paletę. Galite pasirinkti atspalvius spalvų modeliai RGB, CMYK, HVS ir HSL.

Taip pat labai patogu naudoti atsitiktinio spalvų atspalvių pasirinkimo galimybę ir visų paveikslėlio spalvų invertavimo funkciją. Norint reguliuoti spalvą, yra ciklinio atspalvių pasirinkimo funkcija – įjungus atitinkamą režimą, programa animuoja vaizdą, cikliškai keisdama jame spalvas.

Fractal Zoomer gali vizualizuoti 85 skirtingas fraktalų funkcijas, o formulės aiškiai parodytos programos meniu. Programoje yra filtrai, skirti vaizdo apdorojimui, nors ir nedideliais kiekiais. Kiekvienas priskirtas filtras gali būti atšauktas bet kuriuo metu.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalų redaktorius

Kai vartojamas terminas „fraktalas“, jis dažniausiai reiškia plokščią, dvimatį vaizdą. Tačiau fraktalinė geometrija peržengia 2D dimensiją. Gamtoje galite rasti ir plokščiųjų fraktalų formų, tarkime, žaibo geometrijos, ir trimačių tūrinės figūros. Fraktalų paviršiai gali būti trimačiai ir viena iš labai aiškių 3D fraktalų iliustracijų kasdienybė- kopūsto galva. Bene geriausias būdas pamatyti fraktalus yra Romanesco veislė – žiedinių kopūstų ir brokolių hibridas.

Taip pat galite valgyti šį fraktalą

Mandelbulb3D programa gali sukurti panašios formos trimačius objektus. Norėdami gauti 3D paviršių naudodami fraktalų algoritmą, šios programos autoriai Danielis White'as ir Paulas Nylanderis Mandelbroto rinkinį konvertavo į sferines koordinates. Jų sukurta programa Mandelbulb3D yra tikras trimatis redaktorius, modeliuojantis fraktalinius paviršius skirtingos formos. Kadangi gamtoje dažnai stebime fraktalų raštus, dirbtinai sukurtas trimatis fraktalinis objektas atrodo neįtikėtinai tikroviškas ir netgi „gyvas“.

Jis gali būti panašus į augalą, gali priminti keistą gyvūną, planetą ar dar ką nors. Šį efektą sustiprina pažangus atvaizdavimo algoritmas, leidžiantis gauti tikroviškus atspindžius, apskaičiuoti skaidrumą ir šešėlius, imituoti lauko gylio efektą ir pan. Mandelbulb3D turi daugybę nustatymų ir atvaizdavimo parinkčių. Galite valdyti šviesos šaltinių atspalvius, pasirinkti imituojamo objekto foną ir detalumo lygį.

Incendia fraktalų redaktorius palaiko dvigubą vaizdo išlyginimą, turi penkiasdešimties skirtingų trimačių fraktalų biblioteką ir turi atskirą modulį pagrindinėms formoms redaguoti.

Programa naudoja fraktalų scenarijus, su kuriais galite savarankiškai apibūdinti naujus fraktalų dizaino tipus. „Incendia“ turi tekstūrų ir medžiagų redaktorius, o atvaizdavimo variklis leidžia naudoti tūrinius rūko efektus ir įvairius šešėliuotojus. Programa įgyvendina galimybę išsaugoti buferį ilgalaikio atvaizdavimo metu ir palaiko animacijos kūrimą.

Incendia leidžia eksportuoti fraktalinį modelį į populiarius 3D grafikos formatus – OBJ ir STL. „Incendia“ apima nedidelę programą „Geometrica“ - specialus įrankis sukonfigūruoti fraktalinio paviršiaus eksportą į 3D modelį. Naudodamiesi šia programa galite nustatyti 3D paviršiaus skiriamąją gebą ir nurodyti fraktalinių iteracijų skaičių. Eksportuotus modelius galima naudoti 3D projektuose dirbant su 3D redaktoriais, tokiais kaip Blender, 3ds max ir kt.

Pastaruoju metu Incendia projekto darbai kiek sulėtėjo. Šiuo metu autorius ieško rėmėjų, kurie padėtų jam kurti programą.

Jei neturite pakankamai vaizduotės, kad galėtumėte nupiešti gražų trimatį fraktalą šioje programoje, tai nesvarbu. Naudokite parametrų biblioteką, esančią aplanke INCENDIA_EX\parameters. Naudodami PAR failus galite greitai rasti pačias neįprastiausias fraktalų formas, įskaitant animacines.

⇡ Garsinis: kaip dainuoja fraktalai

Paprastai nekalbame apie projektus, prie kurių tik dirbama, tačiau šiuo atveju turime padaryti išimtį, nes tai labai neįprasta programa. Projektą, pavadintą „Aural“, sugalvojo tas pats asmuo, kuris sukūrė „Incendia“. Tačiau šį kartą programa ne vizualizuoja fraktalų rinkinį, o įgarsina, paversdama elektronine muzika. Idėja labai įdomi, ypač turint omenyje neįprastas fraktalų savybes. Aural yra garso redaktorius, kuris generuoja melodijas naudodamas fraktalinius algoritmus, tai yra, iš esmės tai yra garso sintezatorius-sekvenavimo įrenginys.

Šios programos skleidžiamų garsų seka neįprasta ir... graži. Jis gali būti naudingas rašant šiuolaikinius ritmus ir, mūsų nuomone, ypač tinka kurti garso takelius televizijos ir radijo programų ekrano užsklandoms, taip pat kompiuterinių žaidimų foninės muzikos „kilpas“. Ramiro dar nepateikė demo versija savo programą, tačiau žada, kad tai padarius, norint dirbti su Aural, jam nereikės studijuoti fraktalų teorijos – tereikės žaisti su natų sekos generavimo algoritmo parametrais. Klausykite, kaip skamba fraktalai, ir.

Fraktalai: muzikinė pertrauka

Tiesą sakant, fraktalai gali padėti rašyti muziką net ir be programinės įrangos. Tačiau tai gali padaryti tik tas, kuris tikrai yra persmelktas natūralios harmonijos idėjos ir tuo pat metu nevirto nelaimingu „vėpla“. Tikslinga imti pavyzdį iš muzikanto Jonathano Coultono, kuris, be kita ko, rašo kompozicijas žurnalui „Popular Science“. Ir skirtingai nei kiti atlikėjai, Coltonas visus savo kūrinius leidžia pagal Creative Commons Attribution-Noncommercial licenciją, kuri (kai naudojama nekomerciniais tikslais) numato nemokamą kūrinio kopijavimą, platinimą, perdavimą kitiems, taip pat jo modifikavimą ( išvestinių kūrinių kūrimas), kad pritaikytumėte juos savo užduotims.

Jonathanas Coltonas, žinoma, turi dainą apie fraktalus.

⇡ Išvada

Visame, kas mus supa, dažnai matome chaosą, bet iš tikrųjų tai ne atsitiktinumas, o ideali forma, kurią mums padeda įžvelgti fraktalai. Gamta - geriausias architektas, idealus statybininkas ir inžinierius. Ji sukonstruota labai logiškai, ir jei kur nors nematome modelio, tai reiškia, kad turime jo ieškoti kitu mastu. Žmonės tai vis geriau supranta, bandydami mėgdžioti įvairiais būdais natūralios formos. Inžinieriai projektuoja apvalkalo formos garsiakalbių sistemas, kuria snaigės formos antenas ir pan. Esame tikri, kad fraktalai vis dar turi daug paslapčių, ir daugelis jų dar turi būti atrasti žmonėms.

Šiuolaikiniame pasaulyje mokslo kalba sparčiai keičiasi. Fizikos raidos istorija siekia daugiau nei vieną šimtmetį. Per tą laiką buvo ištirta daugybė įvairiausių gamtos reiškinių, atrasti pagrindiniai fizikos dėsniai, paaiškinantys įvairius eksperimentinius faktus. Kiekvieną kartą, kai susiduriame su naujais gamtos objektai, mokslininkai į mokslo kalbą įveda naujas kategorijas, terminus ir sąvokas.

Dar visai neseniai geometriniai modeliaiįvairios gamtos statiniai tradiciškai buvo statomi gana paprastų geometrinių formų pagrindu: tiesios linijos, daugiakampiai, apskritimai, daugiakampiai, rutuliai. Tačiau akivaizdu, kad šis klasikinis rinkinys, visiškai pakankamas elementarioms struktūroms aprašyti, tampa menkai pritaikomas apibūdinti tokius sudėtingus objektus kaip žemyno pakrantės kontūrai, greičio laukas turbulentiškame skysčio sraute, žaibo išlydis ore, porėtos medžiagos. , debesų forma, snaigės, ugnies liepsna, medžio kontūrai, žmogaus kraujotakos sistema, ląstelės membranos paviršius ir kt. Per pastaruosius 15–20 metų mokslininkai vis dažniau naudoja naujas geometrines sąvokas. apibūdinkite šiuos ir panašius darinius. Viena iš šių sąvokų, pakeitusių daugelį tradicinių idėjų apie geometriją, buvo fraktalo sąvoka. Jį į apyvartą paleido puikus prancūzų matematikas Lenkijoje gimęs Benoit Mandelbrotas 1975 m. Ir nors panašios konstrukcijos viena ar kita forma atsirado matematikoje prieš daugelį dešimtmečių, fizikoje tokių idėjų vertė buvo suvokta tik mūsų amžiaus 70-aisiais.

Naujosios geometrijos pagrindas yra savęs panašumo idėja. Tai išreiškia faktą, kad hierarchinis fraktalinių struktūrų organizavimo principas, žiūrint pro mikroskopą su skirtingais didinimais, reikšmingai nepasikeičia. Dėl to šios struktūros mažais masteliais atrodo taip pat, kaip ir dideliuose masteliuose. Čia reikia atskirti euklido geometriją, kuri nagrinėja tik lygias kreives, ir be galo tvirtas, panašias fraktalines kreives. Euklido kreivių elementai visada yra panašūs, bet nereikšmingu būdu: visos kreivės yra tiesios, o tiesi linija visada yra panaši į save. Idealiu atveju, bet kokio masto, net ir mažiausio, fraktalinė kreivė negali būti sumažinta iki tiesės ir paprastai yra geometriškai netaisyklinga ir chaotiška. Visų pirma, nėra liestinės taške sąvokos, nes šias kreives apibūdinančios funkcijos paprastai yra nediferencijuojamos.

Ko gero, įtikinamiausias argumentas dėl fraktalų tyrimo yra stulbinantis jų grožis.

Daugelis pagrindinių fraktalų mokslo pasiekimų tapo įmanomi tik naudojant skaičiavimo matematikos metodus, o tai šiuo metu neįsivaizduojama be šiuolaikinių kompiuterių. „Kompiuteriniai eksperimentai“ leido gana visapusiškai suprasti įvairias fraktalų struktūras ir jų atsiradimo priežastis. Neretai teorinis šių struktūrų modeliavimas kartais net aplenkdavo eksperimentiniai metodai tyrinėja tikrus sudėtingos formos gamtos objektus.

Šiais laikais gana paprastų algoritmų pagalba galima sukurti trimačius fantastiškų peizažų ir formų vaizdus, ​​kurie laikui bėgant gali virsti dar įdomesniais paveikslėliais. Kita vertus, dažnai dirbtiniai fraktalų atvaizdai yra tokie panašūs į natūralias formas, kad jų negalima atskirti vienas nuo kito.

Įvairių fraktalų struktūrų pavyzdžių galima rasti daugelyje gamtos reiškinių. Fraktaliniai vaizdai sėkmingai naudojami apibūdinti chaotišką netiesinių dinaminių ir dissipacinės sistemos, nehomogeniškas medžiagos pasiskirstymas Visatoje, tiriant įtrūkimus ir dislokacijų sankaupas kietose medžiagose, tiriant dalelių elektrinį skilimą, difuziją ir agregaciją, kristalų augimą ir kt.

Fraktalinės geometrijos kalba reikalinga, pavyzdžiui, tiriant spinduliuotės sugertį ar sklaidą poringose ​​terpėse, charakterizuojant stipriai išsivysčiusią turbulenciją, modeliuojant kietųjų kūnų paviršiaus savybes, apibūdinti žaibą, analizuojant medžiagų nuovargio irimo procesus. , tiriant įvairius medžiagos augimo etapus dėl difuzijos ir vėlesnės agregacijos, kvantinėje mechanikoje aprašant banginių funkcijų geometrinę struktūrą Andersono metalo-izoliatoriaus perėjimo taške. Stebina tai, kad panašios geometrinės figūros aptinkamos visiškai skirtingose ​​mokslo srityse: astrofizikoje aprašant galaktikų spiečius Visatoje, kartografijoje tiriant pakrantės formas ir platų upių kanalų tinklą ir, pvz. biologijoje, analizuojant kraujotakos sistemos sandarą ar tiriant sudėtingus ląstelių membranų paviršius.

Norint pristatyti visą fraktalų įvairovę, patogu pasinaudoti visuotinai priimta jų klasifikacija.

· Geometriniai fraktalai

· Algebriniai fraktalai

· A (\displaystyle A)

Pažvelkime į šiuos skirtingus fraktalų tipus išsamiau.

Geometriniai fraktalai

Šios klasės fraktalai yra vizualiausi. Dviejų matmenų atveju jie gaunami naudojant tam tikrą laužtą liniją (arba paviršių trimačiu atveju), vadinamą generatoriumi. Viename algoritmo žingsnyje kiekvienas segmentas, sudarantis poliliniją, atitinkamu mastu pakeičiamas generatoriaus polilinija. Be galo kartojant šią procedūrą, gaunamas geometrinis fraktalas.

1 pav. Kocho triados kreivės konstravimas.

Panagrinėkime vieną iš šių fraktalinių objektų – triadinę Kocho kreivę. Kreivės konstravimas prasideda vienetinio ilgio segmentu (1 pav.) – tai 0-oji Kocho kreivės karta. Toliau kiekviena grandis (vienas segmentas nulinėje kartoje) pakeičiamas formavimo elementu, pažymėtu 1 pav. n=1. Dėl šio pakeitimo gaunama naujos kartos Koch kreivė. Pirmoje kartoje tai yra keturių tiesių grandžių kreivė, kurių kiekviena yra 1/3 ilgio. Norint gauti 3 kartą, atliekami tie patys veiksmai - kiekviena nuoroda pakeičiama sumažintu formavimo elementu. Taigi, norint gauti kiekvieną paskesnę kartą, visos ankstesnės kartos jungtys turi būti pakeistos sumažintu formavimo elementu. Bet kurio baigtinio n n-osios kartos kreivė vadinama prefraktalu. 1 paveiksle pavaizduotos penkios kreivės kartos. Kadangi n linkusi į begalybę, Kocho kreivė tampa fraktaliniu objektu.

2 pav. Harter-Haithway „drakono“ konstrukcija.

Norėdami gauti kitą fraktalinį objektą, turite pakeisti statybos taisykles. Tegul formavimo elementas yra du vienodi segmentai, sujungti stačiu kampu. Nulinėje kartoje vieneto segmentą pakeičiame šiuo generuojančiu elementu, kad kampas būtų viršuje. Galime sakyti, kad su tokiu pakeitimu yra nuorodos vidurio poslinkis. Statant paskesnes kartas, vadovaujamasi taisykle: pati pirmoji grandis kairėje pakeičiama formuojančiu elementu taip, kad jungties vidurys pasislinktų į kairę nuo judėjimo krypties, o keičiant vėlesnes grandis – segmentų vidurių poslinkis turi būti kaitaliojamas. 2 paveiksle parodytos kelios pirmosios kartos ir 11-oji kreivės karta, sudaryta pagal aukščiau aprašytą principą. Apribojanti fraktalinė kreivė (su n linkusia į begalybę) vadinama Harter-Hathaway drakonu.

Kompiuterinėje grafikoje norint gauti medžių, krūmų ir pakrančių vaizdus, ​​būtina naudoti geometrinius fraktalus. 2D geometriniai fraktalai naudojami trimatėms tekstūroms (daikto paviršiaus raštams) sukurti.

Tai yra labiausiai didelė grupė fraktalai. Jie gaunami naudojant netiesinius procesus n matmenų erdvėse. Labiausiai tiriami dvimačiai procesai. Interpretuojant netiesinį iteracinį procesą kaip diskrečią dinaminę sistemą, galima vartoti šių sistemų teorijos terminus: fazinis portretas, pastovios būsenos procesas, atraktorius ir kt.

Yra žinoma, kad netiesinės dinaminės sistemos turi keletą stabilių būsenų. Būsena, kurioje dinaminė sistema atsiduria po tam tikro iteracijų skaičiaus, priklauso nuo jos pradinės būsenos. Todėl kiekviena stabili būsena (arba, kaip sakoma, atraktorius) turi tam tikrą pradinių būsenų sritį, iš kurios sistema būtinai pateks į nagrinėjamas galutines būsenas. Taigi sistemos fazinė erdvė yra padalinta į atraktorių traukos sritis. Jei fazinė erdvė yra dvimatė erdvė, tai traukos sritis nuspalvinus skirtingomis spalvomis, galima gauti šios sistemos spalvinį fazės portretą (iteracinis procesas). Pakeitę spalvų pasirinkimo algoritmą, galite gauti sudėtingų fraktalų raštų su keistais daugiaspalviais raštais. Staigmena matematikams buvo galimybė sukurti labai sudėtingas netrivialias struktūras naudojant primityvius algoritmus.

3 pav. Mandelbroto rinkinys.

Kaip pavyzdį apsvarstykite Mandelbroto rinkinį (žr. 3 pav. ir 4 pav.). Jo konstravimo algoritmas yra gana paprastas ir pagrįstas paprasta iteracine išraiška:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

kur Zi ir C yra sudėtingi kintamieji. Iteracijos atliekamos kiekvienam stačiakampės arba kvadratinės srities – kompleksinės plokštumos pogrupio – pradiniam taškui C. Iteracinis procesas tęsiasi tol, kol Z[i] išeina už 2 spindulio apskritimo, kurio centras yra taške (0,0), (tai reiškia, kad dinaminės sistemos atraktorius yra begalybėje) arba po pakankamai daug iteracijų (pavyzdžiui, 200-500) Z[i] susilies į tam tikrą apskritimo tašką. Priklausomai nuo iteracijų, per kurias Z[i] liko apskritimo viduje, skaičių, galite nustatyti taško C spalvą (jei Z[i] lieka apskritimo viduje pakankamai daug iteracijų, iteracijos procesas sustoja ir šis rastras taškas nudažytas juodai).

4 pav. Mandelbroto rinkinio ribos atkarpa, padidinta 200 kartų.

Aukščiau pateiktas algoritmas suteikia apytikslę vadinamąją Mandelbroto aibę. Mandelbroto rinkinyje yra taškų, kurie nesibaigia iki begalybės per begalinį iteracijų skaičių (taškai, kurie yra juodi). Taškai, priklausantys aibės ribai (čia yra sudėtingos struktūros) pereina į begalybę per baigtinį iteracijų skaičių, o taškai, esantys už aibės, po kelių iteracijų eina į begalybę (baltas fonas).

Kita gerai žinoma fraktalų klasė yra stochastiniai fraktalai, kurie gaunami atsitiktinai pakeitus kai kuriuos jo parametrus iteracinio proceso metu. Tokiu atveju gaunami objektai labai panašūs į natūralius – asimetriški medžiai, raižytos pakrantės ir kt. Dvimačiai stochastiniai fraktalai naudojami modeliuojant reljefą ir jūros paviršius.

Yra ir kitų fraktalų klasifikacijų, pavyzdžiui, fraktalai skirstomi į deterministinius (algebrinius ir geometrinius) ir nedeterministinius (stochastinius).

Fraktalai yra geometriniai objektai: linijos, paviršiai, erdviniai kūnai, kurie turi labai grubią formą ir turi savitumo panašumo. Žodis fraktalas kilęs iš Lotyniškas žodis fractus ir verčiamas kaip trupmeninis, sulaužytas. Savęs panašumas, kaip pagrindinė fraktalo savybė, reiškia, kad jis išsidėstęs daugiau ar mažiau vienodai įvairiose skalėse. Taigi, padidinus, maži fraktalo fragmentai pasirodo labai panašūs į didelius. IN idealiai Toks savęs panašumas lemia tai, kad fraktalinis objektas tempiant pasirodo esantis nekintamas, ty sakoma, kad jis turi išsiplėtimo simetriją. Ji prisiima pagrindinio nekintamumą geometrines ypatybes fraktalas keičiant skalę.

Žinoma, tikram natūraliam fraktalui yra tam tikra minimalaus ilgio skalė, tokia, kad per atstumus išnyksta pagrindinė jo savybė – savęs panašumas. Be to, pakankamai didelėse ilgio skalėse, kur yra būdingas geometrinis objektų dydis, ši savipanašumo savybė taip pat pažeidžiama. Todėl natūralių fraktalų savybės vertinamos tik svarstyklėmis l, tenkinantis santykius – Tokie apribojimai yra gana natūralūs, nes kai pateikiame kaip pavyzdį fraktalą - lūžusią, nelygią Brauno dalelės trajektoriją, tada suprantame, kad šis vaizdas yra akivaizdus idealizavimas. Faktas yra tas, kad mažas svarstykles veikia Brauno dalelės masės ir dydžio baigtumas, taip pat susidūrimo laiko baigtumas. Atsižvelgus į šias aplinkybes, Brauno dalelės trajektorija tampa lygi kreive.

Televizijos seriale „Jeremijas“ aptikau „Fraktalų teorijos“ paminėjimą ir susidomėjau šia gana elegantiška teorija, kurią šiuolaikiniai metafizikai naudoja įrodydami Dievo egzistavimą. Fraktalų teorija gana jauna. Jis pasirodė šeštojo dešimtmečio pabaigoje matematikos, informatikos, kalbotyros ir biologijos sankirtoje. Tuo metu kompiuteriai vis labiau skverbėsi į žmonių gyvenimus, mokslininkai pradėjo juos naudoti savo tyrimuose, o kompiuterių vartotojų daugėjo. Norint plačiai naudoti kompiuterius, atsirado būtinybė palengvinti bendravimo tarp žmogaus ir mašinos procesą. Jei pačioje kompiuterių eros pradžioje keli vartotojų programuotojai nesavanaudiškai įvesdavo komandas į mašininį kodą ir gaudavo rezultatus begalinių popieriaus juostelių pavidalu, tai masiškai ir intensyviai naudojant kompiuterius iškilo poreikis išrasti programavimo kalbą, kuri būtų suprantama mašinai ir tuo pat metu būtų lengva išmokti ir naudoti. Tai yra, vartotojui tereikėtų įvesti vieną komandą, o kompiuteris ją suskaidytų į paprastesnes ir jas vykdytų. Kad būtų lengviau rašyti vertėjus, informatikos ir kalbotyros sankirtoje atsirado fraktalų teorija, leidžianti griežtai apibrėžti algoritminių kalbų ryšius. O danų matematikas ir biologas A. Lindenmeeris 1968 metais sugalvojo vieną tokią gramatiką, kurią pavadino L sistema, kuri, kaip jis tikėjo, taip pat modeliuoja gyvų organizmų augimą, ypač krūmų ir šakų formavimąsi augaluose.

Fraktalas (lot. fractus - susmulkintas, sulaužytas, sulaužytas) yra sudėtinga geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, susidedanti iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą. Platesne prasme fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (Minkovskio ar Hausdorffo prasme) arba metrinį matmenį, griežtai didesnį už topologinį. Žiedinio kopūsto (Brassica cauliflora) porūšio fraktalinė forma. Fraktalas yra be galo į save panaši geometrinė figūra, kurios kiekvienas fragmentas kartojasi mažėjant masteliui.

Benoit Mandelbrot pagrįstai gali būti laikomas fraktalų tėvu. Mandelbrotas yra termino „fraktalas“ išradėjas. Mandelbrotas
rašė: „Aš sugalvojau žodį „fraktalas“, remdamasis lotynišku būdvardžiu „fractus“, reiškiantį netaisyklingą, pasikartojantį,
fragmentiškas“. Pirmąjį fraktalų apibrėžimą taip pat pateikė B. Mandelbrotas. Paveikslėlyje parodytas tik klasikinis fraktalinis modelis – Mandelbrot rinkinys.

Paprasčiau tariant, fraktalų teorija yra chaotiškų struktūrų gebėjimas savarankiškai organizuotis į sistemą. Attraktorius (angl. attract – pritraukti, pritraukti) – būsenų (tiksliau – taškų) rinkinys fazinė erdvė) dinaminės sistemos, kuriai ji linksta laikui bėgant. Dauguma paprasti variantai atraktoriai yra traukiantis fiksuotas taškas (pavyzdžiui, švytuoklės su trintimi problema) ir periodinė trajektorija (pavyzdžiui, savaime sužadinami virpesiai grandinėje su teigiamu grįžtamuoju ryšiu), tačiau yra ir daug sudėtingesnių pavyzdžių. Kai kurios dinaminės sistemos visada yra chaotiškos, tačiau dažniausiai chaotiškas elgesys pastebimas tik tais atvejais, kai dinaminės sistemos parametrai priklauso kokiai nors ypatingai poerdvei.

Įdomiausi yra chaotiško elgesio atvejai, kai didelė pradinių sąlygų visuma lemia atraktoriaus orbitų pasikeitimą. Paprastas būdas parodyti chaotišką atraktorių – pradėti nuo taško atraktoriaus traukos srityje ir nubraižyti tolesnę jo orbitą. Dėl topologinio tranzityvumo būsenos tai panašu į pilno baigtinio atraktoriaus paveikslėlio rodymą. Pavyzdžiui, švytuoklę apibūdinančioje sistemoje erdvė yra dvimatė ir susideda iš duomenų apie padėtį ir greitį. Galite sudaryti švytuoklės padėties ir jos greičio grafiką. Švytuoklės padėtis ramybės būsenoje bus taškas, o vienas svyravimų periodas grafike atsiras kaip paprasta uždara kreivė. Uždarosios kreivės formos grafikas vadinamas orbita. Švytuoklėje yra begalinis tokių orbitų skaičius, kurios, atrodo, sudaro įdėtų elipsių rinkinį.

Dauguma judėjimo tipų apibūdinami paprastais pritraukėjais, kurie yra riboti ciklai. Chaotiškas judėjimas apibūdinamas keistais atraktoriais, kurie yra labai sudėtingi ir turi daug parametrų. Pavyzdžiui, paprastą trimatę orų sistemą apibūdina garsusis Lorenco atraktorius – viena garsiausių chaotiškų sistemų diagramų ne tik todėl, kad ji buvo viena pirmųjų, bet ir dėl to, kad ji yra viena iš sudėtingiausių. Kitas toks pritraukėjas yra Rössler žemėlapis, turintis dvigubą periodą, panašų į logistinį žemėlapį. Abiejose sistemose atsiranda keistų pritraukėjų – tiek ištisinėse dinaminėse (pvz., Lorenco sistemoje), tiek kai kuriose atskirose (pavyzdžiui, Henono žemėlapiuose). Kai kurios diskrečios dinaminės sistemos pagal kilmę vadinamos Julijos sistemomis. IR keistus pritraukėjus ir Julijos sistemos turi tipišką rekursinę fraktalinę struktūrą. Poincaré-Bendixson teorema įrodo, kad keistas atraktorius gali atsirasti nuolatinėje dinaminėje sistemoje tik tuo atveju, jei jis turi tris arba daugiau matmenų. Tačiau šis apribojimas neveikia atskiroms dinaminėms sistemoms. Atskiros dvimatės ir net vienmatės sistemos gali turėti keistų pritraukėjų. Judėjimas iš trijų arba daugiau kūnus, patiriančius gravitacinę trauką tam tikruose pradines sąlygas gali pasirodyti chaotiškas judėjimas.

Taigi, chaotiškų sistemų savybė savarankiškai organizuotis netaisyklingų pritraukėjų pagalba, kai kurių matematikų nuomone, yra neįrodomas Dievo egzistavimo ir Jo visų daiktų kūrimo energijos įrodymas. Paslaptis!