Geometrinis fraktalas. Chaosas ir tvarka: fraktalų pasaulis

Savivaldybės biudžetas ugdymo įstaiga

„Siverskaya vidutinis vidurinę mokyklą Nr. 3"

Tiriamasis darbas

matematikoje.

Atliko darbą

8-1 klasės mokinys

Emelina Pavel

Mokslinis vadovas

matematikos mokytojas

Tupitsyna Natalija Aleksejevna

Siverskio kaimas

2014 m

Matematika persmelkta grožio ir harmonijos,

Jums tereikia pamatyti šį grožį.

B. Mandelbrotas

Įvadas_______________________________________________3-4psl.

1 skyrius.fraktalų atsiradimo istorija._______5-6psl.

2 skyrius. Fraktalų klasifikacija ______6-10pp.

Geometriniai fraktalai

Algebriniai fraktalai

Stochastiniai fraktalai

3 skyrius. "Fraktalinė gamtos geometrija"__________11-13psl.

4 skyrius. Fraktalų taikymas_______________13-15psl.

5 skyrius Praktinis darbas__________________16-24psl.

Išvada_____________________________________25.psl

Literatūros ir interneto išteklių sąrašas________26 puslapiai.

Įvadas

matematika,

jei pažiūrėsi teisingai,

atspindi ne tik tiesą,

bet ir neprilygstamo grožio.

Bertranas Raselas

Žodis „fraktalas“ yra kažkas, apie kurį šiais laikais kalba daug žmonių, pradedant mokslininkais ir baigiant vidurinių mokyklų moksleiviais. Jis yra ant daugelio matematikos vadovėlių viršelių, mokslo žurnalai ir dėžės su kompiuteriu programinė įranga. Spalvotų fraktalų vaizdų šiandien galima rasti visur: nuo atvirukų, marškinėlių iki paveikslėlių asmeninio kompiuterio darbalaukyje. Taigi, kokios yra šios spalvotos formos, kurias matome aplink?

matematika – senovės mokslas. Daugumai žmonių atrodė, kad geometrija gamtoje apsiriboja tokia paprastos figūros, pavyzdžiui, linija, apskritimas, daugiakampis, sfera ir kt. Kaip paaiškėjo, daugelis natūralios sistemos yra tokie sudėtingi, kad jiems modeliuoti naudoti tik pažįstamus įprastos geometrijos objektus atrodo beviltiška. Kaip, pavyzdžiui, galima sukurti kalnų grandinės ar medžio vainiko geometrijos modelį? Kaip apibūdinti tą įvairovę biologinė įvairovė kuriuos stebime augalų ir gyvūnų pasaulyje? Kaip įsivaizduoti kraujotakos sistemos, susidedančios iš daugybės kapiliarų ir kraujagyslių, tiekiančios kraują į kiekvieną ląstelę, sudėtingumą žmogaus kūnas? Įsivaizduokite plaučių ir inkstų struktūrą, savo struktūra primenančią medžius su šakotu vainiku?

Fraktalai yra tinkami įrankiai šiems klausimams tirti. Dažnai tai, ką matome gamtoje, mus intriguoja begaliniu to paties modelio kartojimu, kelis kartus padidintu arba sumažintu. Pavyzdžiui, medis turi šakas. Ant šių šakų yra mažesnės šakos ir kt. Teoriškai šakojantis elementas kartojasi neribotą laiką, vis mažėja. Tą patį galima pamatyti ir žiūrint į nuotrauką. kalnuotas reljefas. Pabandykite priartinti šiek tiek arčiau kalnų grandinės --- vėl pamatysite kalnus. Taip pasireiškia fraktalams būdinga savipanašumo savybė.

Fraktalų tyrimas atveria nuostabias galimybes tiek tiriant begalinį pritaikymų skaičių, tiek matematikos srityje. Fraktalų pritaikymas yra labai platus! Juk šie objektai tokie gražūs, kad juos naudoja dizaineriai, menininkai, jų pagalba grafikoje nupiešta daug elementų: medžiai, debesys, kalnai ir kt. Tačiau fraktalai netgi naudojami kaip antenos daugelyje mobiliųjų telefonų.

Daugeliui chaologų (mokslininkų, tyrinėjančių fraktalus ir chaosą) tai nėra lengva nauja sritisžinios, jungiančios matematiką, teorinę fiziką, meną ir kompiuterines technologijas, yra revoliucija. Tai naujo tipo geometrijos atradimas – geometrija, apibūdinanti mus supantį pasaulį ir kurią galima pamatyti ne tik vadovėliuose, bet ir gamtoje bei visur beribėje visatoje..

Savo darbe taip pat nusprendžiau „paliesti“ grožio pasaulį ir pasiryžau sau...

Darbo tikslas: kurti objektus, kurių vaizdai labai panašūs į natūralius.

Tyrimo metodai: lyginamoji analizė, sintezė, modeliavimas.

Užduotys:

susipažinimas su B. Mandelbroto samprata, kilmės istorija ir tyrinėjimais,

G. Kochas, V. Sierpinskis ir kt.;

pažintis su įvairių tipų fraktalų rinkiniais;

studijuojant populiariąją mokslinę literatūrą šia tema, susipažįstant su

mokslinės hipotezės;

supančio pasaulio fraktalumo teorijos patvirtinimo radimas;

tiria fraktalų panaudojimą kituose moksluose ir praktikoje;

eksperimentas, skirtas sukurti savo fraktalinius vaizdus.

Esminis Klausimas veikia:

Norėdami parodyti, kad matematika nėra sausas, bedvasis dalykas, ji gali išreikšti individualų žmogaus ir visos visuomenės dvasinį pasaulį.

Tyrimo objektas: Fraktalų geometrija.

Tyrimo objektas: fraktalai matematikoje ir realiame pasaulyje.

Hipotezė: Viskas, kas egzistuoja realiame pasaulyje, yra fraktalas.

Tyrimo metodai: analitinė, paieška.

Aktualumas Nurodytą temą pirmiausia lemia tyrimo objektas – fraktalinė geometrija.

Laukiami rezultatai: Darbo metu galėsiu praplėsti savo žinias matematikos srityje, pamatyti fraktalų geometrijos grožį, pradėti kurti savo fraktalus.

Darbo rezultatas bus kūryba kompiuterinis pristatymas, informacinis biuletenis ir bukletas.

1 skyrius. Istorija

B kai Mandelbrotas

„Fraktalo“ sąvoką išrado Benoit Mandelbrot. Žodis kilęs iš lotyniško „fractus“, reiškiančio „sulaužytas, sulaužytas“.

Fraktalas (lot. fractus – susmulkintas, sulaužytas, sulaužytas) yra terminas, reiškiantis sudėtingą geometrinę figūrą, turinčią savitumo savybę, tai yra, susidedančią iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą.

Matematiniai objektai, apie kuriuos jis kalba, pasižymi itin įdomiomis savybėmis. Įprastoje geometrijoje linija turi vieną matmenį, paviršius – du, o erdvinė figūra – tris matmenis. Fraktalai nėra linijos ar paviršiai, bet, jei galite įsivaizduoti, kažkas tarp jų. Didėjant dydžiui, didėja ir fraktalo tūris, tačiau jo matmuo (eksponentas) yra ne visa reikšmė, o trupmeninė, todėl fraktalo figūros riba nėra linija: esant dideliam padidinimui, tampa aišku, kad ji yra neryški ir susideda iš spiralių ir garbanų, pasikartojančių mažu didinimo mastu pati figūra. Šis geometrinis dėsningumas vadinamas mastelio nekintamumu arba savęs panašumu. Būtent tai lemia fraktalinių figūrų trupmeninį matmenį.

Prieš atsirandant fraktalinei geometrijai, mokslas nagrinėjo sistemas, esančias trijose erdvinėse dimensijose. Einšteino dėka tapo aišku, kad trimatė erdvė yra tik tikrovės modelis, o ne pati tikrovė. Tiesą sakant, mūsų pasaulis yra keturių dimensijų erdvės ir laiko kontinuume.
Mandelbroto dėka tapo aišku, kaip atrodo keturmatė erdvė, vaizdžiai tariant, fraktalinis Chaoso veidas. Benoit Mandelbrot atrado, kad ketvirtoji dimensija apima ne tik pirmąsias tris dimensijas, bet ir (tai labai svarbu!) intervalus tarp jų.

Rekursyvinė (arba fraktalinė) geometrija pakeičia Euklido geometriją. Naujas mokslas gali apibūdinti tikroji prigimtis kūnai ir reiškiniai. Euklido geometrija nagrinėjo tik dirbtinius, įsivaizduojamus objektus, priklausančius trims dimensijoms. Tik ketvirtoji dimensija gali juos paversti realybe.

Skystis, dujos, kietas- trys pažįstami fizinę būklę medžiaga, egzistuojanti trimačiame pasaulyje. Tačiau koks yra dūmų debesies matmuo, debesis, tiksliau, jų ribos, nuolatos ardomos audringo oro judėjimo?

Iš esmės fraktalai skirstomi į tris grupes:

Algebriniai fraktalai

Stochastiniai fraktalai

Geometriniai fraktalai

Pažvelkime į kiekvieną iš jų atidžiau.

2 skyrius. Fraktalų klasifikacija

Geometriniai fraktalai

Benoit Mandelbrot pasiūlė jau klasika tapusį fraktalų modelį, kuris dažnai naudojamas tiek tipiškam paties fraktalo pavyzdžiui, tiek fraktalų grožiui demonstruoti, kuris taip pat traukia tyrinėtojus, menininkus ir tiesiog susidomėjusius žmones.

Čia prasidėjo fraktalų istorija. Šio tipo fraktalai gaunami naudojant paprastas geometrines konstrukcijas. Paprastai statydami šiuos fraktalus jie taip ir daro: ima „sėklą“ – aksiomą – segmentų rinkinį, kurio pagrindu bus statomas fraktalas. Toliau šiai „sėklai“ taikomas taisyklių rinkinys, kuris paverčia ją tam tikra geometrine figūra. Tada kiekvienai šios figūros daliai vėl taikomos tos pačios taisyklės. Su kiekvienu žingsniu figūra taps vis sudėtingesnė, o jei atliksime (bent jau mintyse) begalinis skaičius transformacijos – gauname geometrinį fraktalą.

Šios klasės fraktalai yra patys vizualiausi, nes juose iš karto matomas savęs panašumas bet kokiu stebėjimo mastu. Dvimačiu atveju tokius fraktalus galima gauti nurodant kokią nors trūkinę liniją, vadinamą generatoriumi. Viename algoritmo žingsnyje kiekvienas segmentas, sudarantis poliliniją, atitinkamu mastu pakeičiamas generatoriaus polilinija. Dėl begalinio šios procedūros kartojimo (arba, tiksliau, einant iki ribos), gaunama fraktalinė kreivė. Nepaisant akivaizdaus gautos kreivės sudėtingumo, jos bendrą išvaizdą lemia tik generatoriaus forma. Tokių kreivių pavyzdžiai: Kocho kreivė (7 pav.), Peano kreivė (8 pav.), Minkovskio kreivė.

XX amžiaus pradžioje matematikai ieškojo kreivių, kurios jokiame taške neturėtų liestinės. Tai reiškė, kad kreivė staigiai pakeitė kryptį ir, be to, kolosalia didelis greitis(išvestinė lygi begalybei). Šių kreivių paieškas lėmė ne tik tuščias matematikų susidomėjimas. Faktas yra tas, kad dvidešimtojo amžiaus pradžioje buvo labai spartus vystymasis kvantinė mechanika. Tyrėjas M. Brownas nubrėžė vandenyje skendinčių dalelių trajektoriją ir paaiškino šį reiškinį taip: atsitiktinai judantys skysčio atomai atsitrenkia į suspenduotas daleles ir taip jas pajudina. Po šio paaiškinimo Brauno judesys Mokslininkai susidūrė su užduotimi rasti kreivę, kuri būtų geriausiu įmanomu būdu parodė Brauno dalelių judėjimą. Norėdami tai padaryti, kreivė turėjo atitikti šias savybes: neturėti liestinės jokiame taške. Matematikas Kochas pasiūlė tokią kreivę.

KAM Kocho kreivė yra tipiškas geometrinis fraktalas. Jo konstravimo procesas yra toks: imk vieneto segmentas, padalinkite į tris lygias dalis ir pakeiskite vidutinis intervalas lygiakraštis trikampis be šios atkarpos. Dėl to susidaro trūkinė linija, susidedanti iš keturių 1/3 ilgio grandžių. Kitame veiksme pakartojame operaciją kiekvienai iš keturių gautų nuorodų ir pan.

Ribinė kreivė yra Kocho kreivė.

Snaigė Kochas. Atlikdami panašią transformaciją lygiakraščio trikampio šonuose, galite gauti fraktalinį Kocho snaigės vaizdą.

T
Kitas paprastas geometrinio fraktalo atstovas yra Sierpinskio aikštė. Jis sukonstruotas gana paprastai: Kvadratas padalytas tiesiomis linijomis, lygiagrečiomis jo kraštinėms, į 9 vienodus kvadratus. Centrinė aikštė pašalinama iš aikštės. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš 8 likusių „pirmojo rango“ langelių. Lygiai taip pat darydami su kiekvienu pirmos eilės langeliu, gauname rinkinį, kurį sudaro 64 antrojo rango langeliai. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname begalinę seką arba Sierpinskio kvadratą.

Algebriniai fraktalai

Tai yra labiausiai didelė grupė fraktalai. Algebriniai fraktalai gavo savo pavadinimą, nes jie sukurti naudojant paprastus algebrines formules.

Jie gaunami naudojant netiesinius procesus n-dimensinės erdvės. Yra žinoma, kad netiesinės dinaminės sistemos turi keletą stabilių būsenų. Būsena, kurioje dinaminė sistema atsiduria po tam tikro iteracijų skaičiaus, priklauso nuo jos pradinės būsenos. Todėl kiekviena stabili būsena (arba, kaip sakoma, atraktorius) turi tam tikrą pradinių būsenų sritį, iš kurios sistema būtinai pateks į nagrinėjamas galutines būsenas. Taigi, fazinė erdvė sistema yra padalinta į traukos sritis pritraukėjai. Jei fazinė erdvė yra dvimatė, tai spalvinus traukos sritis skirtingomis spalvomis, galima gauti spalvinis fazinis portretasši sistema (iteracinis procesas). Pakeitę spalvų pasirinkimo algoritmą, galite gauti sudėtingų fraktalų raštų su keistais daugiaspalviais raštais. Tai, kas matematikus nustebino, buvo galimybė sukurti labai sudėtingas struktūras naudojant primityvius algoritmus.

Kaip pavyzdį apsvarstykite Mandelbroto rinkinį. Jie sukuria jį naudodami kompleksinius skaičius.

Mandelbroto rinkinio ribos atkarpa, padidinta 200 kartų.

Mandelbroto rinkinyje yra taškų, kurių metubegalinis iteracijų skaičius nesiekia begalybės (taškai, kurie yra juodi). Taškai, priklausantys aibės ribai(čia atsiranda sudėtingos struktūros) per baigtinį iteracijų skaičių patenka į begalybę, o taškai, esantys už aibės ribų, po kelių iteracijų patenka į begalybę (baltas fonas).

P



Kito algebrinio fraktalo pavyzdys yra Julijos rinkinys. Yra 2 šio fraktalo atmainos. Keista, bet Julijos rinkiniai sudaromi naudojant tą pačią formulę kaip ir Mandelbroto rinkinys. Julijos rinkinį išrado prancūzų matematikas Gastonas Julia, kurio vardu rinkinys ir buvo pavadintas.

IR
įdomus faktas, kai kurie algebriniai fraktalai stulbinamai primena gyvūnų, augalų ir kitų biologinių objektų atvaizdus, ​​todėl jie vadinami biomorfais.

Stochastiniai fraktalai

Kita gerai žinoma fraktalų klasė yra stochastiniai fraktalai, kurie gaunami atsitiktinai pakeitus kai kuriuos jo parametrus iteracinio proceso metu. Tokiu atveju gaunami objektai labai panašūs į natūralius – asimetriški medžiai, raižytos pakrantės ir kt.

Tipiškas šios fraktalų grupės atstovas yra „plazma“.

D
Norėdami jį sukonstruoti, paimkite stačiakampį ir kiekvienam jo kampui priskirkite spalvą. Tada randamas centrinis stačiakampio taškas ir nudažytas spalva, lygia stačiakampio kampuose esančių spalvų aritmetiniam vidurkiui ir tam tikram atsitiktiniam skaičiui. Kuo didesnis atsitiktinis skaičius, tuo piešinys bus „nusilaužęs“. Jei darysime prielaidą, kad taško spalva yra aukštis virš jūros lygio, vietoj plazmos gausime kalnų masyvą. Būtent šiuo principu daugumoje programų modeliuojami kalnai. Naudojant algoritmą, panašų į plazmą, sukuriamas aukščio žemėlapis, jam taikomi įvairūs filtrai, tekstūra ir paruošiami fotorealistiniai kalnai

E
Jei pažvelgsime į šį fraktalą skerspjūvyje, pamatysime, kad šis fraktalas yra tūrinis ir turi „šiurkštumą“, būtent dėl ​​šio „šiurkštumo“ yra labai svarbus šio fraktalo pritaikymas.

Tarkime, reikia apibūdinti kalno formą. Įprastos euklido geometrijos figūros čia nepadės, nes jose neatsižvelgiama į paviršiaus topografiją. Tačiau derindami įprastą geometriją su fraktaline geometrija, galite gauti patį kalno „šiurkštumą“. Turime užtepti plazmą ant įprasto kūgio ir gausime kalno reljefą. Tokias operacijas galima atlikti su daugybe kitų gamtoje esančių objektų dėka stochastinių fraktalų, galima apibūdinti pačią gamtą.

Dabar pakalbėkime apie geometrinius fraktalus.

.

3 skyrius "Fraktalinė gamtos geometrija"

" Kodėl geometrija dažnai vadinama "šalta" ir "sausa"? Viena iš priežasčių yra ta, kad ji negali apibūdinti debesies, kalno, pakrantės ar medžio formos. Debesys nėra sferos, kalnai nėra kūgiai, pakrantės nėra apskritimai, medžio žievė nėra lygus, žaibas nekeliauja tiesia linija. Apskritai aš tvirtinu, kad daugelis gamtos objektų yra tokie netaisyklingi ir suskaidyti, kad, palyginti su Euklidu – terminas, kuris šiame darbe reiškia visą standartinę geometriją – gamta turi ne tik didesnį sudėtingumą. , bet sudėtingumas visiškai kitokiu lygmeniu. Skirtingo ilgio gamtos objektų skaičius yra begalinis.

(Benoit Mandelbrot "Fraktalinė gamtos geometrija" ).

KAM Fraktalų grožis yra dvejopas: jis džiugina akį, tai liudija visą pasaulį apkeliavusi fraktalų vaizdų paroda, organizuoja grupė Bremeno matematikai, vadovaujami Peitgeno ir Richterio. Vėliau šios grandiozinės parodos eksponatai buvo užfiksuoti iliustracijose tų pačių autorių knygai „Fraktalų grožis“. Tačiau yra ir kitas, abstraktesnis ar didingesnis, fraktalų grožio aspektas, atviras, pasak R. Feynmano, tik protiniam teoretiko žvilgsniui, fraktalai yra gražūs su sunkiu grožiu matematinė problema. Benoit Mandelbrotas savo amžininkams (ir, tikėtina, jo palikuonims) atkreipė dėmesį į erzinančią Euklido elementų spragą, per kurią, nepastebėdama nutylėjimo, beveik du tūkstantmečiai žmonija suvokė supančio pasaulio geometriją ir išmoko matematinį pateikimo griežtumą. Žinoma, abu fraktalų grožio aspektai yra glaudžiai tarpusavyje susiję ir neišskiria, o papildo vienas kitą, nors kiekvienas iš jų yra savarankiškas.

Fraktalinė gamtos geometrija pagal Mandelbrotą yra tikroji geometrija, atitinkanti geometrijos apibrėžimą, kurį Erlangeno programoje pasiūlė F. Kleinas. Faktas yra tas, kad prieš atsirandant neeuklido geometrijai N.I. Lobačevskio – L. Bolyai, buvo tik viena geometrija – ta, kuri buvo išdėstyta „Principuose“, ir klausimas, kas yra geometrija, o kuri iš geometrijų yra realaus pasaulio geometrija, nekilo ir negalėjo. kilti. Tačiau atsiradus dar vienai geometrijai, iškilo klausimas, kas apskritai yra geometrija ir kuri iš daugelio geometrijų atitinka realų pasaulį. Anot F. Kleino, geometrija užsiima tokių objektų savybių, kurios transformacijose yra nekintamos, tyrinėjimu: Euklido – judesių grupės invariantai (transformacijos, kurios nekeičia atstumo tarp jokių dviejų taškų, t.y. vaizduojančios superpoziciją). lygiagretus perkėlimas ir sukimai su orientacijos pasikeitimu arba be jo), Lobačevskio-Bolyjaus geometrija – Lorenco grupės invariantai. Fraktalų geometrija nagrinėja savaiminių transformacijų grupės invariantus, t.y. savybės, išreikštos galios dėsniais.

Kalbant apie atitikimą realiam pasauliui, fraktalinė geometrija apibūdina labai plačią gamtos procesų ir reiškinių klasę, todėl mes, sekdami B. Mandelbrotu, galime pagrįstai kalbėti apie fraktalinę gamtos geometriją. Nauja – fraktaliniai objektai turi neįprastų savybių. Vienų fraktalų ilgiai, plotai ir tūriai yra lygūs nuliui, o kitų pasisuka į begalybę.

Gamta dažnai sukuria nuostabius ir gražius fraktalus su idealia geometrija ir tokia harmonija, kad tiesiog sustingti iš susižavėjimo. Ir čia yra jų pavyzdžiai:

Jūros kriauklės

Žaibasžavisi savo grožiu. Žaibo sukurti fraktalai nėra savavališki ar reguliarūs

Fraktalo forma žiedinių kopūstų porūšis(Brassica cauliflora). Tai ypatinga rūšis yra ypač simetriškas fraktalas.

P papartis taip pat yra geras pavyzdys fraktalas tarp floros.

Povai visi žinomi dėl savo spalvingų plunksnų, kuriuose slypi kietieji fraktalai.

Ledo, šerkšno raštai ant langų tai irgi fraktalai

APIE
t padidintas vaizdas lapelis, iki medžių šakos- fraktalų galite rasti visame kame

Fraktalai yra visur ir visur mus supančioje gamtoje. Visa Visata sukurta pagal nuostabiai harmoningus dėsnius su matematiniu tikslumu. Ar po to galima manyti, kad mūsų planeta yra atsitiktinė dalelių sankaupa? Vargu ar.

4 skyrius. Fraktalų taikymas

Fraktalų randama vis daugiau didesnis pritaikymas moksle. Pagrindinė to priežastis yra tai, kad jie aprašo realus pasaulis kartais net geriau nei tradicinė fizika ar matematika. Štai keletas pavyzdžių:

APIE
galingiausių fraktalų pritaikymo dienų kompiuterinė grafika . Tai yra fraktalinio vaizdo suspaudimas. Šiuolaikinė fizika ir mechanika tik pradeda tirti fraktalinių objektų elgesį.

Fraktalinio vaizdo glaudinimo algoritmų pranašumai yra labai mažas supakuoto failo dydis ir trumpas vaizdo atkūrimo laikas. Fraktalų supakuotų vaizdų mastelį galima keisti be pikselių (prastos vaizdo kokybės – dideli kvadratai). Tačiau suspaudimo procesas užtrunka ilgai ir kartais trunka valandas. Fraktalinio nuostolingo pakavimo algoritmas leidžia nustatyti suspaudimo lygį, panašų į jpeg formatą. Algoritmas pagrįstas didelių vaizdo dalių, panašių į kai kurias mažas dalis, paieška. Ir į išvesties failą įrašoma tik tai, kuri dalis yra panaši į kurią. Suspaudžiant dažniausiai naudojamas kvadratinis tinklelis (gabalai yra kvadratai), todėl atkuriant vaizdą šešiakampis tinklelis šio trūkumo neturi.

„Iterated“ sukūrė naują vaizdo formatą „Sting“, kuris sujungia fraktalinį ir „banginį“ (pvz., jpeg) be nuostolių. Naujasis formatas leidžia kurti vaizdus su galimybe vėliau atlikti aukštos kokybės mastelį, o grafinių failų apimtis yra 15-20% nesuspaustų vaizdų apimties.

Mechanikoje ir fizikoje Fraktalai naudojami dėl jų unikalios savybės atkartoti daugelio gamtos objektų kontūrus. Fraktalai leidžia apytiksliai nustatyti medžius, kalnų paviršius ir plyšius tiksliau nei apytiksliai naudojant segmentų ar daugiakampių rinkinius (su tokiu pat kiekiu saugomų duomenų). Fraktaliniai modeliai, kaip ir gamtos objektai, turi „šiurkštumą“, ir ši savybė išsaugoma, kad ir koks būtų modelio padidinimas. Vienodo mato buvimas fraktaluose leidžia taikyti integraciją, potencialų teoriją ir naudoti juos vietoj standartinių objektų jau ištirtose lygtyse.

T
Fraktalinė geometrija taip pat naudojama antenų įrenginių projektavimas. Pirmiausia tai panaudojo amerikiečių inžinierius Nathanas Cohenas, kuris tada gyveno Bostono centre, kur buvo uždrausta montuoti išorines antenas ant pastatų. Cohenas iš aliuminio folijos iškirpo Kocho kreivės formą, tada priklijavo ją ant popieriaus lapo ir pritvirtino prie imtuvo. Paaiškėjo, kad tokia antena veikia ne prasčiau nei įprasta. Ir nors fizinius principus Tokios antenos dar nebuvo ištirtos, tai nesutrukdė Cohenui įkurti savo įmonę ir pradėti jų serijinę gamybą. Šiuo metu amerikiečių kompanija „Fractal Antenna System“ sukūrė naujo tipo anteną. Dabar mobiliuosiuose telefonuose galite nebenaudoti išsikišusių išorinių antenų. Vadinamoji fraktalinė antena yra tiesiai ant pagrindinės plokštės įrenginio viduje.

Taip pat yra daug hipotezių apie fraktalų naudojimą – pavyzdžiui, limfinės ir kraujotakos sistemos, plaučiai ir daug daugiau taip pat turi fraktalų savybių.

5 skyrius. Praktinis darbas.

Pirmiausia pažvelkime į fraktalus „Vėrinys“, „Pergalė“ ir „Kvadratas“.

Pirma - "Vėrinys"(7 pav.). Šio fraktalo iniciatorius yra apskritimas. Šis apskritimas susideda iš tam tikro skaičiaus tų pačių, bet mažesnių dydžių apskritimų, o pats jis yra vienas iš kelių vienodų, bet didesnių dydžių apskritimų. Taigi ugdymo procesas yra begalinis ir gali būti vykdomas tiek viename, tiek viduje atvirkštinė pusė. Tie. Figūrą galima padidinti paimant tik vieną nedidelį lanką arba sumažinti, atsižvelgiant į jos konstrukciją iš mažesnių.

ryžių. 7.

Fraktalas „Vėrinys“

Antrasis fraktalas yra "Pergalė"(8 pav.). Jis gavo šį pavadinimą, nes atrodo kaip lotyniška raidė „V“, tai yra, „pergalė“. Šis fraktalas susideda iš tam tikro skaičiaus mažų „vs“, kurie sudaro vieną didelį „V“, o kairėje pusėje, kurioje mažieji dedami taip, kad jų kairiosios pusės sudarytų vieną tiesią liniją, dešinėje pusėje pastatytas taip pat. Kiekvienas iš šių „v“ yra sukurtas tokiu pačiu būdu ir tęsia tai iki begalybės.

8 pav. Fraktalas „Pergalė“

Trečiasis fraktalas yra „Kvadratas“ (9 pav.). Kiekvieną jo kraštą sudaro viena langelių eilutė, suformuota kaip kvadratas, kurių šonai taip pat žymi langelių eilutes ir kt.

9 pav. Fraktalas „Kvadratas“

Fraktalas buvo pavadintas „Rožė“ (10 pav.), dėl išorinio panašumo į šią gėlę. Fraktalo konstravimas apima koncentrinių apskritimų, kurių spindulys kinta proporcingai tam tikram santykiui, seriją. šiuo atveju R m / R b = ¾ = 0,75). Po to į kiekvieną apskritimą įrėžiamas taisyklingas šešiakampis, kurio kraštinė lygi aplink jį aprašyto apskritimo spinduliui.

Ryžiai. 11. Fraktalas „Rožė*“

Toliau pereikime prie taisyklingo penkiakampio, kuriame nubrėžiame jo įstrižaines. Tada gautame penkiakampyje atitinkamų segmentų sankirtoje vėl nubrėžiame įstrižaines. Tęskime šis procesas iki begalybės ir gauname „Pentagramos“ fraktalą (12 pav.).

Įveskime kūrybiškumo elementą ir mūsų fraktalas įgaus vizualesnio objekto formą (13 pav.).

R
yra. 12. Fraktalas „Pentagrama“.

Ryžiai. 13. Fraktalas „Pentagrama*“

Ryžiai. 14 fraktalų „Juodoji skylė“

Eksperimentas Nr. 1 „Medis“

Dabar, kai supratau, kas yra fraktalas ir kaip jį sukurti, pabandžiau sukurti savo fraktalų atvaizdus. „Adobe Photoshop“ sukūriau nedidelę paprogramę arba veiksmą, šio veiksmo ypatumas yra tas, kad jis kartoja veiksmus, kuriuos aš darau, ir taip gaunu fraktalą.

Pirmiausia sukūriau foną mūsų būsimam fraktalui, kurio skiriamoji geba yra 600 x 600. Tada šiame fone nubrėžiau 3 linijas – mūsų būsimo fraktalo pagrindą.

SU Kitas žingsnis – parašyti scenarijų.

dubliuoti sluoksnį ( sluoksnis > dublikatas) ir pakeiskite maišymo tipą į " Ekranas" .

Paskambinkime jam" fr1". Nukopijuokite šį sluoksnį (" fr1“) dar 2 kartus.

Dabar turime pereiti prie paskutinio sluoksnio (fr3) ir du kartus sujunkite jį su ankstesniu ( Ctrl + E). Sumažinti sluoksnio ryškumą ( Vaizdas > Koregavimai > Ryškumas / kontrastas , ryškumas nustatytas 50% ). Dar kartą sujunkite su ankstesniu sluoksniu ir apkarpykite viso piešinio kraštus, kad pašalintumėte nematomas dalis.

Paskutinis žingsnis buvo nukopijuoti šį vaizdą ir įklijuoti jį mažesnį ir pasuktą. Štai kas nutiko m galutinis rezultatas.

Išvada

Šis darbas – tai įvadas į fraktalų pasaulį. Apžvelgėme tik mažiausią dalį to, kas yra fraktalai ir kokiais principais jie sukurti.

Fraktalinė grafika – tai ne tik savaime pasikartojančių vaizdų rinkinys, tai bet kurio egzistuojančio daikto struktūros ir principo modelis. Visą mūsų gyvenimą reprezentuoja fraktalai. Visa mus supanti gamta susideda iš jų. Neįmanoma nepastebėti plačiai paplitusio fraktalų naudojimo kompiuteriniuose žaidimuose, kur reljefo reljefai dažnai yra fraktalų vaizdai, pagrįsti trimačiais sudėtingų rinkinių modeliais. Fraktalai labai palengvina kompiuterinės grafikos piešimą fraktalų pagalba, sukuriama daug specialiųjų efektų, įvairių pasakiškų ir neįtikėtinų paveikslėlių ir kt. Taip pat medžiai, debesys, krantai ir visa kita gamta piešiama naudojant fraktalinę geometriją. Fraktalinės grafikos reikia visur, o „fraktalų technologijų“ kūrimas yra vienas iš svarbiausių šiandienos uždavinių.

Ateityje planuoju išmokti konstruoti algebrinius fraktalus, kai tik išsamiau išnagrinėsiu kompleksinius skaičius. Taip pat noriu pabandyti sukurti savo fraktalinius vaizdus Pascal programavimo kalba naudojant kilpas.

Reikėtų pažymėti fraktalų naudojimą kompiuterines technologijas, ne tik gražių vaizdų kūrimas kompiuterio ekrane. Fraktalai kompiuterinėse technologijose naudojami šiose srityse:

1. Vaizdų ir informacijos suspaudimas

2. Slėpti informaciją vaizde, garse,…

3. Duomenų šifravimas naudojant fraktalinius algoritmus

4. Fraktalų muzikos kūrimas

5. Sistemos modeliavimas

Mūsų darbe ne visos sritys. žmogaus žinios, kur fraktalų teorija rado savo pritaikymą. Norime tik pasakyti, kad nuo teorijos atsiradimo nepraėjo daugiau nei trečdalis amžiaus, tačiau per tą laiką fraktalai daugeliui tyrinėtojų tapo staiga ryškia nakties šviesa, kuri apšvietė iki šiol nežinomus faktus ir modelius konkrečiose duomenų srityse. . Pasitelkę fraktalų teoriją, jie pradėjo aiškinti galaktikų evoliuciją ir ląstelių vystymąsi, kalnų atsiradimą ir debesų susidarymą, kainų judėjimą biržoje bei visuomenės ir šeimos raidą. Galbūt iš pradžių ši aistra fraktalams buvo net per stipri ir bandymai viską paaiškinti pasitelkiant fraktalų teoriją buvo nepagrįsti. Tačiau, be jokios abejonės, ši teorija turi teisę egzistuoti, ir dėl to apgailestaujame pastaruoju metu tai kažkaip buvo pamiršta ir liko išrinktųjų dalimi. Rengiant šį darbą mums buvo labai įdomu rasti TEORIJOS pritaikymo praktikoje. Nes labai dažnai yra toks jausmas teorinių žinių atsiriboti nuo gyvenimo realybės.

Taigi fraktalų samprata tampa ne tik „grynojo“ mokslo dalimi, bet ir visuotinės žmogaus kultūros elementu. Fraktalų mokslas dar labai jaunas ir jo laukia puiki ateitis. Fraktalų grožis dar toli gražu neišsenka ir vis tiek suteiks mums daug šedevrų – tų, kurie džiugina akį, ir tų, kurie teikia tikrą malonumą protui.

10. Literatūra

Božokinas S.V., Paršinas D.A. Fraktalai ir multifraktalai. RHD 2001 .

Vitolinas D. Fraktalų taikymas in mašininė grafika. // Kompiuterių pasaulis-Rusija.-1995

Mandelbrot B. Savarankiški fraktalų rinkiniai, „Fraktalai fizikoje“. M.: Mir 1988 m

Mandelbrot B. Fraktalinė gamtos geometrija. - M.: „Kompiuterinių tyrimų institutas“, 2002 m.

Morozovas A.D. Įvadas į fraktalų teoriją. N. Novgorodas: Leidykla Nižnij Novgorod. Universitetas 1999 m

Peitgen H.-O., Richter P. H. Fraktalų grožis. - M.: „Mir“, 1993 m.

Interneto ištekliai

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Šį fraktalą atradau, kai žiūrėjau į bangų trukdžius upės paviršiuje. Banga juda kranto link, atsispindi ir užsideda ant savęs. Ar bangų kuriamuose raštuose yra tvarka? Pabandykime jį surasti. Nagrinėkime ne visą bangą, o tik jos judėjimo vektorių. Kad eksperimentas būtų supaprastintas, padarykime „krantus“ lygius.

Eksperimentą galima atlikti ant įprasto popieriaus lapo iš mokyklinio sąsiuvinio.

Arba naudojant „JavaScript“ algoritmo įgyvendinimą.

Paimkite stačiakampį su kraštinėmis q ir p. Siųskime spindulį (vektorių) iš kampo į kampą. Spindulys pasislenka į vieną stačiakampio pusę, atsispindi ir toliau juda į kitą pusę. Tai tęsiasi tol, kol sija pasiekia vieną iš likusių kampų. Jei kraštinių dydis q ir p yra pirminiai skaičiai, tada gaunamas modelis (kaip matysime vėliau, fraktalas).

Nuotraukoje aiškiai matome, kaip veikia šis algoritmas.

Gif animacija:

Nuostabiausia, kad su skirtingomis stačiakampio kraštinėmis gauname skirtingus raštus.

Kodėl aš vadinu šiuos modelius fraktalais? Kaip žinote, „fraktalas“ yra geometrinė figūra, turinti panašumo savybių. Dalis paveikslo pakartoja visą vaizdą. Jei žymiai padidinsite Q ir P kraštų matmenis, akivaizdu, kad šie modeliai turi savito panašumo savybių.

Pabandykime jį padidinti. Padidinsime jį gudriu būdu. Paimkime, pavyzdžiui, 17x29 šabloną. Šie modeliai bus: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Viena pusė: F(n);
Antroji pusė: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Kaip ir Fibonačio skaičiai, tik su skirtingais pirmuoju ir antruoju sekos nariais: F(0)=17, F(1)=29.

Jei didesnė pusė yra lygi, rezultatas yra toks:

Jei trumpesnė pusė yra lygi:

Jei abi pusės yra nelyginės, gauname simetrišką modelį:

Priklausomai nuo to, kaip spindulys prasideda:

arba

Pabandysiu paaiškinti, kas vyksta šiuose stačiakampiuose.

Atskirkime kvadratą nuo stačiakampio ir pažiūrėkime, kas atsitiks pasienyje.

Spindulys išeina tame pačiame taške, iš kurio jis įėjo.

Tuo pačiu metu kvadratų, per kuriuos spindulys praeina, skaičius visada yra lyginis.

Todėl, jei iš stačiakampio nupjausite kvadratą, liks nepakitusi fraktalo dalis.

Jei kuo daugiau kartų atskirsite kvadratus nuo fraktalo, galite patekti į fraktalo „pradžią“.

Ar tai atrodo kaip Fibonačio spiralė?

Fraktalus taip pat galima gauti iš Fibonačio skaičių.

Matematikoje Fibonačio skaičiai (Fibonačio serija, Fibonačio seka) yra skaičiai:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Pagal apibrėžimą pirmieji du skaitmenys Fibonačio sekoje yra 0 ir 1, o kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Eime:

Kaip matome, kuo arčiau kraštinių santykis artėja prie auksinio pjūvio, tuo didesnė fraktalo detalė.

Šiuo atveju fraktalas pakartoja dalį fraktalo, padidintą .

Vietoj Fibonačio skaičių galite naudoti neracionalius kraštinių dydžius:

Gauname tą patį fraktalą.

Tuos pačius fraktalus galima gauti kvadrate, jei spindulį šaudysite kitu kampu:

Ką galite pasakyti pabaigai?
Chaosas taip pat yra tvarka. Su savais įstatymais. Ši tvarka nebuvo ištirta, bet yra gana tinkama studijuoti. Ir visas mokslo troškimas yra atrasti šiuos modelius. Ir galiausiai sujunkite dėlionės dalis, kad pamatytumėte bendrą vaizdą.
Pažiūrėkime į upės paviršių. Jei mesti į jį akmenį, kils bangos. Būreliai, kurie yra gana tinkami studijuoti. Greitis, periodas, bangos ilgis – visa tai galima apskaičiuoti. Bet kol banga nepasiekia kranto, ji neatsispindi ir ima pati persidengti. Gauname chaosą (interferenciją), kurį jau sunku ištirti.
O jei judėsime iš priešingos krypties? Kiek įmanoma supaprastinkite bangos elgesį. Supaprastinkite, suraskite modelį ir pabandykite jį apibūdinti pilnas vaizdas kas vyksta.
Ką galima supaprastinti? Akivaizdu, kad atspindintis paviršius turi būti tiesus, be lenkimų. Tada vietoj pačios bangos naudokite tik bangos judėjimo vektorių. Iš esmės to užtenka norint sukurti paprastą algoritmą ir imituoti procesą kompiuteryje. Ir netgi visiškai pakanka sukurti bangų elgesio „modelį“ ant paprasto languoto popieriaus lapo.
Ką mes turime kaip rezultatą? Dėl to matome, kad bangų procesai(tos pačios bangelės upės paviršiuje) turime ne chaosą, o fraktalų (panašių struktūrų) perdangą vienas ant kito.

Panagrinėkime kitą bangų rūšį. Kaip žinoma, elektromagnetinė banga susideda iš trijų vektorių – bangos vektoriaus ir elektrinio bei magnetinis laukas. Kaip matome, jei „pagauni“ tokią bangą uždara zona– ten, kur šie vektoriai susikerta, gauname gana aiškias uždaras struktūras. Galbūt elementariosios dalelės– Ar tai tie patys fraktalai?

Visi fraktalai stačiakampiuose nuo 1 iki 80 (6723x6723 px):

Uždaros sritys fraktalais (6723 x 6723 px):

Tiesiog gražus fraktalas (4078 x 2518 px):

Sveiki visi! Mano vardas yra Ribenek Valerija, Uljanovskas ir šiandien aš paskelbsiu keletą savo mokslinių straipsnių LCI svetainėje.

Mano pirmasis mokslinis straipsnis šiame tinklaraštyje bus skirtas fraktalai. Iš karto pasakysiu, kad mano straipsniai yra skirti beveik bet kuriai auditorijai. Tie. Tikiuosi, kad jos bus įdomios ir moksleiviams, ir studentams.

Neseniai sužinojau apie tokius įdomius objektus matematinis pasaulis kaip fraktalai. Tačiau jie egzistuoja ne tik matematikoje. Jie mus supa visur. Fraktalai yra natūralūs. Apie tai, kas yra fraktalai, apie fraktalų rūšis, apie šių objektų pavyzdžius ir jų pritaikymą, pakalbėsiu šiame straipsnyje. Pirmiausia trumpai papasakosiu, kas yra fraktalas.

Fraktalas(lot. fractus - susmulkinta, sulaužyta, sulaužyta) yra sudėtinga geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, susidedanti iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą. Daugiau plačiąja prasme Fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (Minkowskio arba Hausdorffo prasme) arba metrinį matmenį, kuris skiriasi nuo topologinio. Kaip pavyzdį įterpsiu paveikslėlį, kuriame pavaizduoti keturi skirtingi fraktalai.

Truputį papasakosiu apie fraktalų istoriją. Fraktalų ir fraktalų geometrijos sąvokos, atsiradusios 70-ųjų pabaigoje, nuo devintojo dešimtmečio vidurio tvirtai įsitvirtino tarp matematikų ir programuotojų. Žodį „fraktalas“ sugalvojo Benoit Mandelbrot 1975 m., turėdamas omenyje netaisyklingas, bet į save panašias struktūras, su kuriomis jis rūpėjo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbroto knygos „The Fractal Geometry of Nature“ paskelbimu 1977 m. Jo darbuose buvo panaudoti kitų 1875–1925 m. toje pačioje srityje dirbusių mokslininkų (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) moksliniai rezultatai. Tačiau tik mūsų laikais buvo įmanoma sujungti jų darbą į vieną sistemą.

Fraktalų pavyzdžių yra labai daug, nes, kaip sakiau, jie mus supa visur. Mano nuomone, net visa mūsų Visata yra vienas didžiulis fraktalas. Juk viskas jame, nuo atomo sandaros iki pačios Visatos sandaros, tiksliai kartojasi. Tačiau, žinoma, yra ir konkretesnių įvairių sričių fraktalų pavyzdžių. Pavyzdžiui, fraktalai yra sudėtingoje dinamikoje. Ten jie natūraliai atsiranda tiriant netiesinį dinamines sistemas. Labiausiai ištirtas atvejis, kai dinaminė sistema nurodoma iteracijomis daugianario arba holomorfinis kintamųjų komplekso funkcija lėktuve. Vieni žinomiausių šio tipo fraktalų yra Julijos rinkinys, Mandelbroto rinkinys ir Niutono baseinai. Žemiau pateiktose nuotraukose pavaizduotas kiekvienas iš aukščiau paminėtų fraktalų.

Kitas fraktalų pavyzdys yra fraktalų kreivės. Geriausia paaiškinti, kaip sudaryti fraktalą, naudojant fraktalų kreivių pavyzdį. Viena iš tokių kreivių yra vadinamoji Kocho snaigė. Yra paprasta procedūra, kaip gauti fraktalines kreives plokštumoje. Apibrėžkime savavališką trūkinę liniją su baigtinis skaičius nuorodos, vadinamos generatoriumi. Toliau kiekvieną jame esantį segmentą pakeičiame generatoriumi (tiksliau, laužyta linija, panašia į generatorių). Gautoje nutrūkusioje linijoje kiekvieną segmentą vėl pakeičiame generatoriumi. Tęsdami iki begalybės, riboje gauname fraktalinę kreivę. Žemiau yra Kocho snaigė (arba kreivė).

Taip pat yra didžiulė fraktalų kreivių įvairovė. Garsiausios iš jų – jau minėta Kocho snaigė, taip pat Levy kreivė, Minkovskio kreivė, Drakono laužta linija, Piano kreivė ir Pitagoro medis. Manau, kad jei norite, galite nesunkiai rasti šių fraktalų vaizdą ir jų istoriją Vikipedijoje.

Trečiasis fraktalų pavyzdys arba tipas yra stochastiniai fraktalai. Tokie fraktalai apima Brauno judėjimo plokštumoje ir erdvėje trajektoriją, Schramm-Löwnerio evoliuciją, įvairius atsitiktinių imčių fraktalus, tai yra fraktalus, gautus naudojant rekursinę procedūrą, į kurią kiekviename žingsnyje įvedamas atsitiktinis parametras.

Taip pat yra grynai matematinių fraktalų. Tai, pavyzdžiui, „Cantor“ rinkinys, „Menger“ kempinė, „Sierpinskio trikampis“ ir kt.

Tačiau bene įdomiausi fraktalai yra natūralūs. Natūralūs fraktalai– tai gamtos objektai, turintys fraktalinių savybių. O štai sąrašas jau didelis. Neišvardinsiu visko, nes visų išvardinti turbūt neįmanoma, bet apie kai kuriuos papasakosiu. Pavyzdžiui, gyvojoje gamtoje tokie fraktalai apima mūsų kraujotakos sistema ir plaučiai. Taip pat medžių vainikas ir lapai. Tai taip pat apima jūrų žvaigždes, jūrų ežius, koralus, jūros kriaukles ir kai kuriuos augalus, tokius kaip kopūstai ar brokoliai. Žemiau aiškiai parodyta keletas tokių natūralių fraktalų iš gyvos gamtos.

Jei laikysime negyvą gamtą, tada ten įdomių pavyzdžių daug daugiau nei realiame gyvenime. Žaibai, snaigės, debesys, gerai žinomi raštai ant langų šaltomis dienomis, kristalai, kalnų grandinės- visa tai yra natūralių fraktalų iš negyvosios gamtos pavyzdžiai.

Mes pažvelgėme į fraktalų pavyzdžius ir tipus. Kalbant apie fraktalų naudojimą, jie naudojami įvairiose žinių srityse. Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos-adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir kt. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijoje. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti. Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį. Fraktalai taip pat aktyviai naudojami radijo inžinerijoje, informacijos moksle ir kompiuterinėse technologijose, telekomunikacijose ir net ekonomikoje. Ir, žinoma, fraktalinis matymas aktyviai naudojamas šiuolaikiniame mene ir architektūroje. Štai vienas fraktalų modelių pavyzdys:

Taigi, manau, šiuo klausimu užbaigsiu savo istoriją apie tokį neįprastą matematinį reiškinį kaip fraktalas. Šiandien mes sužinojome apie tai, kas yra fraktalas, kaip jis atsirado, apie fraktalų rūšis ir pavyzdžius. Taip pat kalbėjau apie jų pritaikymą ir kai kuriuos fraktalus pademonstravau vaizdžiai. Tikiuosi, kad jums patiko ši maža ekskursija į nuostabių ir žavių fraktalinių objektų pasaulį.

Dažnai genialūs atradimai, ištobulintas moksle, gali radikaliai pakeisti mūsų gyvenimą. Pavyzdžiui, vakcinos išradimas gali išgelbėti daugybę žmonių, tačiau naujų ginklų sukūrimas veda į žmogžudystes. Žodžiu, vakar (istorijos mastu) žmogus „prisijaukino“ elektrą, o šiandien jau nebeįsivaizduoja savo gyvenimo be jos. Tačiau yra ir atradimų, kurie, kaip sakoma, lieka šešėlyje, nepaisant to, kad ir jie turi vienokią ar kitokią įtaką mūsų gyvenimui. Vienas iš šių atradimų buvo fraktalas. Daugelis žmonių net negirdėjo apie šią sąvoką ir nesugebės paaiškinti jos reikšmės. Šiame straipsnyje pabandysime suprasti klausimą, kas yra fraktalas, ir panagrinėsime šio termino reikšmę mokslo ir gamtos požiūriu.

Tvarka chaose

Kad suprastume, kas yra fraktalas, apibendrinimą turėtume pradėti nuo matematikos pozicijos, tačiau prieš gilindamiesi į tai, šiek tiek pafilosofuosime. Kiekvienas žmogus turi natūralų smalsumą, kurio dėka jis mokosi mus supantį pasaulį. Dažnai, siekdamas žinių, jis bando vadovautis logika savo sprendimuose. Taigi, analizuodamas aplink vykstančius procesus, jis bando apskaičiuoti ryšius ir išvesti tam tikrus šablonus. Didžiausi planetos protai yra užsiėmę šių problemų sprendimu. Grubiai tariant, mūsų mokslininkai ieško modelių ten, kur jų nėra ir neturėtų būti. Ir vis dėlto net chaose tarp tam tikrų įvykių egzistuoja ryšys. Šis ryšys yra tas, koks yra fraktalas. Kaip pavyzdį apsvarstykite nulūžusią šaką, gulinčią ant kelio. Atidžiau pažvelgę ​​pamatysime, kad su visomis šakomis ir šakelėmis jis pats atrodo kaip medis. Toks atskiros dalies panašumas su viena visuma rodo vadinamąjį rekursyvaus savęs panašumo principą. Fraktalų gamtoje galima rasti visur, nes daugelis neorganinių ir organinių formų susidaro panašiai. Tai debesys, jūros kriauklės, sraigių kiautai, medžių vainikai ir net kraujotakos sistema. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visos šios atsitiktinės formos lengvai apibūdinamos fraktaliniu algoritmu. Dabar mes pradėjome apsvarstyti, kas yra fraktalas iš tiksliųjų mokslų perspektyvos.

Keletas sausų faktų

Pats žodis „fraktalas“ iš lotynų kalbos išverstas kaip „dalinis“, „padalytas“, „suskaldytas“, o kalbant apie šio termino turinį, nėra jokios formuluotės. Paprastai jis interpretuojamas kaip į save panašus rinkinys, visumos dalis, kuri atkartoja savo struktūrą mikro lygmeniu. Šį terminą XX amžiaus aštuntajame dešimtmetyje sugalvojo tėvu pripažintas Benoit Mandelbrot. Šiandien fraktalo sąvoka reiškia tam tikros struktūros grafinį vaizdą, kuris padidintas bus panašus į save. Tačiau matematinis pagrindas šios teorijos sukūrimui buvo padėtas dar prieš gimstant pačiam Mandelbrotui, tačiau jis negalėjo išsivystyti, kol neatsirado elektroniniai kompiuteriai.

Istorinis fonas arba kaip viskas prasidėjo

19–20 amžių sandūroje fraktalų prigimties tyrimai buvo pavieniai. Tai paaiškinama tuo, kad matematikai pirmenybę teikė objektų, kuriais remiantis galima studijuoti, tyrinėjimui bendrosios teorijos ir metodai. 1872 metais vokiečių matematikas K. Weierstrassas sukonstravo niekur nediferencijuojamos tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau ši konstrukcija pasirodė visiškai abstrakti ir sunkiai suvokiama. Toliau atėjo švedas Helge von Koch, kuris 1904 m. sukonstravo ištisinę kreivę, kuri niekur neturėjo liestinės. Tai gana lengva piešti ir, pasirodo, turi fraktalinių savybių. Vienas iš šios kreivės variantų buvo pavadintas jo autoriaus vardu - „Koch snaigė“. Toliau figūrų panašumo į save idėją išplėtojo būsimas B. Mandelbrot mentorius prancūzas Paulas Levy. 1938 m. jis paskelbė straipsnį „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“. Jame jis aprašė nauja išvaizda- Levio C kreivė. Visos aukščiau pateiktos figūros sutartinai priskiriamos geometriniams fraktalams.

Dinaminiai arba algebriniai fraktalai

Mandelbrot rinkinys priklauso šiai klasei. Pirmieji šios krypties tyrinėtojai buvo prancūzų matematikai Pierre'as Fatou ir Gastonas Julia. 1918 m. Julija paskelbė straipsnį, pagrįstą racionalumo iteracijų tyrimu sudėtingos funkcijos. Čia jis aprašė fraktalų šeimą, kuri yra glaudžiai susijusi su Mandelbroto rinkiniu. Nepaisant to, šis darbasšlovino autorę tarp matematikų, ji greitai buvo pamiršta. Ir tik po pusės amžiaus kompiuterių dėka Julijos kūryba gavo antrą gyvenimą. Kompiuteriai leido kiekvienam žmogui padaryti matomą fraktalų pasaulio grožį ir turtingumą, kurį matematikai galėjo „pamatyti“ rodydami juos per funkcijas. Mandelbrotas pirmasis panaudojo kompiuterį skaičiavimams atlikti (tokio tūrio negalima atlikti rankiniu būdu), kurie leido sukurti šių figūrų vaizdą.

Asmuo, turintis erdvinę vaizduotę

Mandelbrotas pradėjo savo mokslinę karjerą IBM tyrimų centre. Duomenų perdavimo galimybių tyrinėjimas dideli atstumai, mokslininkai susidūrė su didelių nuostolių, atsiradusių dėl triukšmo trukdžių, faktu. Benoit ieškojo būdų, kaip išspręsti šią problemą. Žvelgdamas į matavimų rezultatus, jis pastebėjo keistą modelį, būtent: triukšmo grafikai skirtingose ​​​​laiko skalėse atrodė vienodai.

Panašus vaizdas buvo stebimas ir vieną dieną, ir septynias dienas ar valandą. Pats Benoit Mandelbrotas dažnai kartojo, kad jis nedirba su formulėmis, o žaidžia paveikslėliais. Šis mokslininkas buvo kitoks vaizduotės mąstymas, jis išvertė bet kokią algebrinę problemą į geometrinę sritį, kur teisingas atsakymas yra akivaizdus. Tad nenuostabu, kad jis išsiskiria savo turtais ir tapo fraktalinės geometrijos tėvu. Galų gale, suvokti šią figūrą galima tik tada, kai studijuojate brėžinius ir galvojate apie šių keistų sūkurių, formuojančių modelį, prasmę. Fraktalų modeliai neturi identiškų elementų, tačiau jie yra panašūs bet kokiu mastu.

Julija – Mandelbrotas

Vienas iš pirmųjų šios figūros piešinių buvo grafinė rinkinio interpretacija, kuri gimė iš Gastono Julijos darbų ir buvo toliau plėtojama Mandelbroto. Gastonas bandė įsivaizduoti, kaip atrodytų rinkinys pagal paprastą formulę, kartojamą per kilpą atsiliepimai. Pabandykime paaiškinti, kas buvo pasakyta žmonių kalba, taip sakant, ant pirštų. Dėl konkretaus skaitinė reikšmė naudodamiesi formule randame naują reikšmę. Pakeičiame jį į formulę ir randame taip. Rezultatas yra didelis. Norėdami pavaizduoti tokį rinkinį, turite atlikti šią operaciją didžiulė suma kartų: šimtai, tūkstančiai, milijonai. Tai padarė Benoit. Jis apdorojo seką ir perdavė rezultatus į grafinę formą. Vėliau jis nuspalvino gautą figūrą (kiekviena spalva atitinka tam tikrą pakartojimų skaičių). Šis grafinis vaizdas buvo pavadintas „Mandelbroto fraktalu“.

L. Carpenter: gamtos sukurtas menas

Greitai rasta fraktalų teorija praktinis pritaikymas. Kadangi tai labai glaudžiai susiję su į save panašių vaizdų vizualizavimu, menininkai pirmieji priėmė šių neįprastų formų konstravimo principus ir algoritmus. Pirmoji iš jų buvo būsimoji Pixar įkūrėja Lauren Carpenter. Dirbdamas su orlaivių prototipų pristatymu, jis sugalvojo kaip foną panaudoti kalnų atvaizdą. Šiandien su tokia užduotimi gali susidoroti beveik kiekvienas kompiuterio vartotojas, tačiau praėjusio amžiaus aštuntajame dešimtmetyje kompiuteriai tokių procesų atlikti negalėjo, nes tuo metu nebuvo nei grafinių redaktorių, nei aplikacijų trimačiai grafikai. Ir tada Loren aptiko Mandelbroto knygą „Fraktalai: forma, atsitiktinumas ir matmenys“. Jame Benoit pateikė daug pavyzdžių, rodančių, kad gamtoje egzistuoja fraktalai (fyva), aprašė įvairias jų formas ir įrodė, kad jie lengvai apibūdinami matematinėmis išraiškomis. Matematikas įvardijo šią analogiją kaip argumentą dėl teorijos, kurią jis sukūrė reaguodamas į kolegų kritikos antplūdį, naudingumo. Jie tvirtino, kad fraktalas yra teisingas gražus paveikslas, neturintis vertės, esantis šalutinis darbo produktas elektroninės mašinos. Carpenter nusprendė išbandyti šį metodą praktiškai. Atidžiai išstudijavus knygą, būsimasis animatorius ėmė ieškoti būdo, kaip kompiuterinėje grafikoje įgyvendinti fraktalinę geometriją. Jam prireikė vos trijų dienų, kad kompiuteryje būtų sukurtas visiškai tikroviškas kalnų kraštovaizdžio vaizdas. Ir šiandien šis principas yra plačiai naudojamas. Pasirodo, fraktalų kūrimas nereikalauja daug laiko ir pastangų.

Dailidės sprendimas

Lauren naudojamas principas buvo paprastas. Jis susideda iš didesnių dalijimo į mažus elementus, o tuos į panašius mažesnius ir pan. Carpenteris, naudodamas didelius trikampius, padalino juos į 4 mažus ir taip toliau, kol gavo tikrovišką kalnų kraštovaizdį. Taip jis tapo pirmuoju menininku, kuris kompiuterinėje grafikoje panaudojo fraktalinį algoritmą reikiamam vaizdui sukonstruoti. Šiandien šis principas naudojamas įvairioms tikroviškoms gamtos formoms imituoti.

Pirmoji 3D vizualizacija naudojant fraktalų algoritmą

Per kelerius metus Lauren pritaikė savo pokyčius didelio masto projektas- animacinis vaizdo įrašas „Vol Libre“, parodytas „Siggraph“ 1980 m. Šis vaizdo įrašas sukrėtė daugelį, o jo kūrėjas buvo pakviestas dirbti į „Lucasfilm“. Čia animatorius sugebėjo išnaudoti visas savo galimybes, jis sukūrė trimačius peizažus (ištisą planetą) vaidybiniam filmui „Žvaigždžių kelias“. Bet kuri moderni programa („Fractals“) ar programa, skirta trimatei grafikai kurti („Terragen“, „Vue“, „Bryce“) naudoja tą patį algoritmą tekstūroms ir paviršiams modeliuoti.

Tomas Beddardas

Buvęs lazerių fizikas, o dabar skaitmeninis menininkas ir menininkas, Beddardas sukūrė daugybę labai intriguojančių geometrinių formų, kurias pavadino Fabergé fraktalais. Išoriškai jie primena dekoratyvinius rusų juvelyro kiaušinius, turi tą patį puikų, sudėtingą raštą. Beddardas naudojo šablono metodą, kad sukurtų savo skaitmeninius modelių atvaizdus. Gauti produktai stebina savo grožiu. Nors daugelis atsisako palyginti produktą pačių pagamintas Su kompiuterine programa, tačiau reikia pripažinti, kad gautos formos yra nepaprastai gražios. Svarbiausia, kad kiekvienas gali sukurti tokį fraktalą naudodamas WebGL programinės įrangos biblioteką. Tai leidžia tyrinėti įvairias fraktalų struktūras realiuoju laiku.

Fraktalai gamtoje

Mažai kas atkreipia dėmesį, bet šie nuostabios figūros yra visur. Gamta yra sukurta iš savęs panašių skaičių, mes to tiesiog nepastebime. Pakanka pažvelgti pro padidinamąjį stiklą į savo odą ar medžio lapą, ir pamatysime fraktalus. Arba paimkite, pavyzdžiui, ananasą ar net povo uodegą – jie susideda iš panašių figūrų. O Romanescu brokolių veislė apskritai stebina savo išvaizda, nes ją tikrai galima pavadinti gamtos stebuklu.

Muzikinė pertrauka

Pasirodo, fraktalai – tai ne tik geometrinės figūros, tai gali būti ir garsai. Taigi muzikantas Jonathanas Coltonas muziką rašo naudodamas fraktalinius algoritmus. Teigiama, kad ji atitinka natūralią harmoniją. Kompozitorius visus savo kūrinius publikuoja pagal CreativeCommons Attribution-Noncommercial licenciją, kuri numato nemokamą kūrinių platinimą, kopijavimą ir perdavimą kitiems.

Fraktalų indikatorius

Ši technika rado labai netikėtą pritaikymą. Jos pagrindu buvo sukurtas biržos rinkos analizės įrankis, todėl jis pradėtas naudoti Forex rinkoje. Šiais laikais fraktalinis indikatorius randamas visose prekybos platformose ir yra naudojamas prekybos technikoje, vadinamoje kainų išmušimu. Šią techniką sukūrė Billas Williamsas. Kaip autorius komentuoja savo išradimą, šis algoritmas yra kelių „žvakių“ derinys, kuriame centrinė atspindi maksimalų arba, atvirkščiai, minimalų kraštutinį tašką.

Apibendrinant

Taigi pažiūrėjome, kas yra fraktalas. Pasirodo, kad chaose, kuris mus supa, iš tikrųjų egzistuoja tobulos formos. Gamta yra geriausias architektas, idealus statybininkas ir inžinierius. Jis išdėstytas labai logiškai, ir jei nerandame modelio, tai nereiškia, kad jo nėra. Galbūt mums reikia pažvelgti kitu mastu. Galime drąsiai teigti, kad fraktalai vis dar turi daug paslapčių, kurių dar turime atrasti.

Ką bendro turi medis, pajūris, debesis ar mūsų rankos kraujagyslės? Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi šie objektai neturi nieko bendro. Tačiau iš tikrųjų yra viena struktūros savybė, kuri būdinga visiems išvardytiems objektams: jie yra panašūs. Iš šakos, kaip iš medžio kamieno, ištįsta smulkesni ūgliai, nuo jų dar smulkesni ir pan., tai yra šaka panaši į visą medį. Panašiai struktūrizuota ir kraujotakos sistema: iš arterijų pasitraukia arteriolės, o iš jų – mažiausi kapiliarai, kuriais deguonis patenka į organus ir audinius. Pažiūrėkime erdvės vaizdai jūros pakrantė: pamatysime įlankas ir pusiasalius; Pažiūrėkime, bet iš paukščio skrydžio: pamatysime įlankas ir kyšulius; Dabar įsivaizduokite, kad stovime paplūdimyje ir žiūrime į savo kojas: visada bus akmenukų, kurie išsikiša toliau į vandenį nei kiti. Tai yra, pakrantės linija, priartinus, išlieka panaši į save. Amerikiečių matematikas (nors ir užaugo Prancūzijoje) Benoit Mandelbrot šią objektų savybę pavadino fraktalumu, o pačius tokius objektus – fraktalais (iš lot. fractus – sulaužyti).

Ši sąvoka neturi griežto apibrėžimo. Todėl žodžio „fraktalas“ nėra matematinis terminas. Paprastai fraktalas yra geometrinė figūra, atitinkanti vieną ar kelias iš šių savybių: Ji turi sudėtingą struktūrą bet kokiu mastelio padidėjimu (skirtingai nuo, pavyzdžiui, tiesės, kurios bet kuri dalis yra paprasčiausia geometrinė figūra – atkarpa ). Yra (apytiksliai) panašus į save. Jis turi trupmeninį Hausdorffo (fraktalinį) matmenį, kuris yra didesnis nei topologinis. Galima konstruoti naudojant rekursines procedūras.

Geometrija ir algebra

Fraktalų tyrimas XIX–XX amžių sandūroje buvo labiau epizodinis nei sisteminis, nes anksčiau matematikai daugiausia tyrinėjo „gerus“ objektus, kuriuos buvo galima tirti naudojant bendruosius metodus ir teorijas. 1872 m. vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas sukūrė niekur nesiskiriančios tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau jo konstrukcija buvo visiškai abstrakti ir sunkiai suprantama. Todėl 1904 metais švedas Helge von Koch sugalvojo ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės ir kurią gana lengva nubrėžti. Paaiškėjo, kad jis turi fraktalo savybių. Vienas šios kreivės variantų vadinamas „Kocho snaigė“.

Figūrų panašumo idėjas perėmė prancūzas Paulas Pierre'as Levy, būsimas Benoit Mandelbrot mentorius. 1938 m. buvo paskelbtas jo straipsnis „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“, kuriame buvo aprašytas kitas fraktalas - Levy C kreivė. Visus šiuos aukščiau išvardintus fraktalus sąlygiškai galima priskirti vienai konstruktyviųjų (geometrinių) fraktalų klasei.

Kita klasė yra dinaminiai (algebriniai) fraktalai, kurie apima Mandelbroto rinkinį. Pirmieji šios krypties tyrimai pradėti XX amžiaus pradžioje ir siejami su vardais prancūzų matematikai Gastonas Julia ir Pierre'as Fatu. 1918 m. buvo paskelbti beveik dviejų šimtų puslapių Julijos memuarai, skirti sudėtingo kartojimams. racionalios funkcijos, kuriame aprašomi Julijos rinkiniai – visa fraktalų šeima, glaudžiai susijusi su Mandelbroto rinkiniu. Šis darbas buvo apdovanotas prizu Prancūzų akademija, tačiau jame nebuvo nė vienos iliustracijos, todėl buvo neįmanoma įvertinti atvirų objektų grožio. Nepaisant to, kad šis darbas išgarsino Juliją tarp to meto matematikų, jis greitai buvo pamirštas. Dėmesys į tai vėl nukrypo tik po pusės amžiaus, atsiradus kompiuteriams: būtent jie padarė matomą fraktalų pasaulio turtingumą ir grožį.

Fraktalų matmenys

Kaip žinoma, geometrinės figūros matmuo (matmenų skaičius) yra koordinačių skaičius, būtinas norint nustatyti taško, esančio ant šios figūros, padėtį.
Pavyzdžiui, taško padėtis kreivėje nustatoma pagal vieną koordinatę, paviršiuje (nebūtinai plokštumoje) – dvi koordinatės, o trimatėje erdvėje – trys koordinatės.
Iš bendresnio matematinis taškas Topologiniu požiūriu matmenis galima apibrėžti taip: linijinių matmenų padidėjimas, tarkime, du kartus, vienmačiams (topologiniu požiūriu) objektams (segmentui) padidina. pagal dydį (ilgį) du kartus, dvimačio (kvadrato) atveju dėl to paties linijinių matmenų padidėjimo dydis (plotas) padidėja 4 kartus, trimatės (kubo) - 8 kartus. Tai yra, „tikroji“ (vadinamoji Hausdorff) dimensija gali būti apskaičiuojama kaip objekto „dydžio“ padidėjimo logaritmo ir jo tiesinio dydžio padidėjimo logaritmo santykis. Tai yra, atkarpai D = log (2) / log (2) = 1, plokštumai D = log (4) / log (2) = 2, tūriui D = log (8) / log (2) )=3.
Dabar apskaičiuokime Kocho kreivės matmenį, kad sudarytume vienetinį segmentą, padalintą į tris lygias dalis, o vidurinį intervalą pakeičiame lygiakraščiu trikampiu be šios atkarpos. Kai minimalaus segmento tiesiniai matmenys padidėja tris kartus, Kocho kreivės ilgis padidėja log (4)/log (3) ~ 1,26. Tai yra, Kocho kreivės matmuo yra trupmeninis!

Mokslas ir menas

1982 metais buvo išleista Mandelbroto knyga „Fraktalinė gamtos geometrija“, kurioje autorius surinko ir susistemino beveik visą tuo metu turimą informaciją apie fraktalus ir ją lengvai bei prieinamai pateikė. Mandelbrotas savo pristatyme pagrindinį akcentą skyrė ne sunkioms formulėms ir matematinėms konstrukcijoms, o geometrinei skaitytojų intuicijai. Kompiuteriu gautų iliustracijų ir istorinių istorijų, kuriomis autorius sumaniai atskiedė monografijos mokslinį komponentą, dėka knyga tapo bestseleriu, o fraktalai tapo žinomi plačiajai visuomenei. Jų sėkmę tarp ne matematikų daugiausia lemia tai, kad, padedant labai paprasti dizainai ir formules, kurias gali suprasti net vidurinės mokyklos mokinys, gaunami vaizdai yra nuostabūs sudėtingumu ir grožiu. Kai asmeniniai kompiuteriai tapo pakankamai galingi, atsirado net ištisa meno kryptis – fraktalų tapyba, ir tai galėjo padaryti beveik bet kuris kompiuterio savininkas. Dabar internete galite lengvai rasti daugybę šiai temai skirtų svetainių.

Kocho kreivės gavimo schema

Karas ir taika

Kaip minėta aukščiau, vienas iš natūralių objektų, turinčių fraktalinių savybių, yra pakrantė. Su juo siejama įdomi istorija, o tiksliau – bandymas išmatuoti jos ilgį, kuris ir sudarė pagrindą mokslinis straipsnis Mandelbrotas, taip pat aprašytas jo knygoje „Fraktalinė gamtos geometrija“. Tai apie apie eksperimentą, kurį atliko labai talentingas ir ekscentriškas matematikas, fizikas ir meteorologas Lewisas Richardsonas. Viena iš jo tyrimų krypčių buvo bandymas rasti matematinį dviejų šalių ginkluoto konflikto priežasčių ir tikimybės aprašymą. Tarp parametrų, į kuriuos jis atsižvelgė, buvo abiejų kariaujančių šalių bendros sienos ilgis. Kai jis rinko duomenis skaitiniams eksperimentams, jis tai atrado skirtingų šaltinių duomenys apie bendrą Ispanijos ir Portugalijos sieną labai skiriasi. Tai paskatino jį padaryti tokį atradimą: šalies sienų ilgis priklauso nuo valdovo, kuriuo jas matuojame. Kuo mažesnis mastelis, tuo ilgesnė riba. Taip yra dėl to, kad esant didesniam padidinimui atsiranda galimybė atsižvelgti į vis naujus pakrantės vingius, kurie anksčiau buvo ignoruojami dėl matavimų šiurkštumo. Ir jei su kiekvienu mastelio padidėjimu atskleidžiami anksčiau neapskaityti linijų vingiai, tada paaiškėja, kad ribų ilgis yra begalinis! Tiesa, taip iš tikrųjų neįvyksta – mūsų matavimų tikslumas turi baigtinę ribą. Šis paradoksas vadinamas Ričardsono efektu.

Konstruktyvūs (geometriniai) fraktalai

Konstruktyviojo fraktalo konstravimo algoritmas bendras atvejisštai kaip yra. Pirmiausia reikia dviejų tinkamų geometrinių figūrų, pavadinkime jas pagrindu ir fragmentu. Pirmajame etape vaizduojamas būsimo fraktalo pagrindas. Tada kai kurios jo dalys pakeičiamos fragmentu, paimtu tinkamu masteliu - tai pirmoji konstrukcijos iteracija. Tada gauta figūra vėl pakeičia kai kurias dalis į figūras, panašias į fragmentą ir tt Jei tęsime šį procesą iki begalybės, tada riboje gausime fraktalą.

Pažvelkime į šį procesą naudodami Kocho kreivę kaip pavyzdį (žr. šoninę juostą ankstesniame puslapyje). Bet kuri kreivė gali būti laikoma Kocho kreivės pagrindu ("Koch snaigės" atveju tai yra trikampis). Tačiau apsiribosime paprasčiausiu atveju – segmentu. Fragmentas yra laužyta linija, parodyta paveikslo viršuje. Po pirmosios algoritmo iteracijos šiuo atveju pradinis segmentas sutaps su fragmentu, tada kiekvienas jį sudarantis segmentas bus pakeistas laužta linija, panašia į fragmentą ir tt Paveikslėlyje parodyti pirmieji keturi šio žingsnio žingsniai. procesas.

Matematikos kalba: dinaminiai (algebriniai) fraktalai

Šio tipo fraktalai atsiranda tiriant netiesines dinamines sistemas (iš čia ir kilęs pavadinimas). Tokios sistemos elgesį galima apibūdinti sudėtinga netiesine funkcija (polinomu) f (z). Paimkime pradinį tašką z0 sudėtinga plokštuma(žr. šoninę juostą). Dabar apsvarstykite tokią begalinę skaičių seką kompleksinėje plokštumoje, kurių kiekvienas kitas gaunamas iš ankstesnės: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ). Priklausomai nuo pradinio taško z0, tokia seka gali elgtis skirtingai: linkusi į begalybę kaip n -> ∞; suartėti su kai kuriais pabaigos taškas; cikliškai imkite fiksuotų verčių seriją; Galimi ir sudėtingesni variantai.

Sudėtingi skaičiai

Kompleksinis skaičius yra skaičius, susidedantis iš dviejų dalių - tikrosios ir įsivaizduojamos, tai yra formalioji suma x + iy (x ir y čia - realūs skaičiai). aš esu vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, tai yra skaičius, kuris tenkina lygtį aš^ 2 = -1. Apibrėžiamos pagrindinės matematinės operacijos su kompleksiniais skaičiais: sudėtis, daugyba, dalyba, atėmimas (tik palyginimo operacija neapibrėžta). Kompleksiniams skaičiams atvaizduoti dažnai naudojamas geometrinis vaizdas – plokštumoje (ji vadinama kompleksine), tikroji dalis brėžiama išilgai abscisių ašies, o įsivaizduojama dalis – išilgai ordinačių ašies, o taškas su atitiks kompleksinis skaičius Dekarto koordinatės x ir y.

Taigi bet kuris kompleksinės plokštumos taškas z turi savo elgseną funkcijos f (z) iteracijų metu, o visa plokštuma yra padalinta į dalis. Be to, taškai, esantys ant šių dalių ribų, turi tokią savybę: esant savavališkai mažam poslinkiui, jų elgesio pobūdis smarkiai pasikeičia (tokie taškai vadinami bifurkacijos taškais). Taigi paaiškėja, kad taškų rinkiniai, turintys vieną specifinį elgesio tipą, taip pat bifurkacijos taškų rinkiniai dažnai turi fraktalinių savybių. Tai yra funkcijos f (z) Julijos rinkiniai.

Drakonų šeima

Keičiant pagrindą ir fragmentą, galite gauti stulbinančią konstruktyvių fraktalų įvairovę.
Be to, panašias operacijas galima atlikti trimatė erdvė. Tūrinių fraktalų pavyzdžiai yra „Mengerio kempinė“, „Sierpinskio piramidė“ ir kt.
Drakonų šeima taip pat laikoma konstruktyviu fraktalu. Kartais jie vadinami atradėjų vardu „Heavey-Harter drakonai“ (savo forma jie primena kinų drakonus). Yra keletas būdų, kaip sudaryti šią kreivę. Paprasčiausias ir vaizdingiausias iš jų yra toks: reikia paimti gana ilgą popieriaus juostelę (kuo plonesnis popierius, tuo geriau) ir perlenkti per pusę. Tada vėl sulenkite per pusę ta pačia kryptimi, kaip ir pirmą kartą. Po kelių pakartojimų (dažniausiai po penkių ar šešių sulenkimų juostelė tampa per stora, kad ją būtų galima švelniai lenkti toliau), reikia atlenkti juostelę atgal ir pabandyti padaryti 90˚ kampus ties raukšlėmis. Tada profilyje gausite drakono kreivę. Žinoma, tai bus tik apytikslis, kaip ir visi mūsų bandymai pavaizduoti fraktalinius objektus. Kompiuteris leidžia pavaizduoti daug daugiau šio proceso žingsnių, o rezultatas – labai graži figūra.

Mandelbroto rinkinys sukonstruotas kiek kitaip. Apsvarstykite funkciją fc (z) = z 2 +c, kur c yra kompleksinis skaičius. Sukurkime šios funkcijos seką su z0=0, priklausomai nuo parametro c, ji gali skirtis iki begalybės arba likti ribota. Be to, visos c reikšmės, kurioms ši seka yra ribota, sudaro Mandelbroto rinkinį. Ją išsamiai ištyrė pats Mandelbrotas ir kiti matematikai, atradę daug įdomių šio rinkinio savybių.

Galima pastebėti, kad Julijos ir Mandelbroto aibių apibrėžimai yra panašūs vienas į kitą. Tiesą sakant, šie du rinkiniai yra glaudžiai susiję. Būtent Mandelbroto rinkinys yra visos kompleksinio parametro c reikšmės, prie kurių yra prijungtas Julijos rinkinys fc (z) (aibė vadinama sujungta, jei jos negalima padalyti į dvi atskiras dalis, su tam tikromis papildomomis sąlygomis).

Fraktalai ir gyvenimas

Šiais laikais fraktalų teorija plačiai naudojama įvairiose sritysežmogaus veikla. Be grynai mokslinio tyrimams skirto objekto ir jau minėtos fraktalinės tapybos, fraktalai informacijos teorijoje naudojami grafiniams duomenims suspausti (čia daugiausia naudojama fraktalų savipanašumo savybė – juk norint prisiminti nedidelį fragmentą paveikslėlį ir transformacijas, su kuriomis galite gauti likusias dalis, reikia daug mažiau atminties nei visam failui išsaugoti). Fraktalą apibrėžiančiose formulėse pridėjus atsitiktinius trikdžius, galima gauti stochastinius fraktalus, kurie labai patikimai perteikia kai kuriuos tikrus objektus – reljefo elementus, rezervuarų paviršių, kai kuriuos augalus, kurie sėkmingai naudojami fizikoje, geografijoje ir kompiuterinėje grafikoje, siekiant didesnių rezultatų. imituojamų objektų panašumas į tikrus. Radijo elektronikoje pastarąjį dešimtmetį pradėtos gaminti fraktalinės formos antenos. Užimdami mažai vietos, jie užtikrina aukštos kokybės signalo priėmimą. Ekonomistai naudoja fraktalus, kad apibūdintų valiutos svyravimų kreives (šią savybę Mandelbrotas atrado daugiau nei prieš 30 metų). Tai užbaigia šią trumpą ekskursiją į nuostabiai gražų ir įvairų fraktalų pasaulį.