Norėdami geriau suprasti mano Ričardsono kaip fraktalinės dimensijos interpretaciją, pereikime nuo gamtos reiškinių, kuriems mes neturime galios, prie geometrinių struktūrų, kurios visiškai priklauso nuo mūsų valios.
SAVIPAMANŠKUMAS IR KASkadOS
Iki šiol daugiau dėmesio skyrėme geometriniam pakrančių sudėtingumui; Dabar pats laikas paminėti, kad jų struktūra iš esmės supaprastinta.
Nors skirtingų mastelių žemėlapiai skiriasi konkrečiomis detalėmis, bendresni jų bruožai išlieka nepakitę. Apytiksliai apytiksliai didelės pakrantės detalės geometriškai identiškos mažoms, skiriasi tik mastelis.
Šią formą galima palyginti su raštu, kurį kai kurie daugiapakopiai fejerverkai piešia danguje: kiekviename jo degimo etape į bendrą vaizdą pridedamos naujos, vis mažesnės detalės, savo forma identiškos pirminio sprogimo rezultatui. Tačiau iš minėtų Lewiso Richardsono darbų apie turbulenciją galime pasiskolinti tinkamesnį palyginimą ir tokias struktūras generuojantį mechanizmą pavadinti kaskadu.
Jei kiekviena iš tam tikros formos dalių yra geometriškai panaši į visumą, tai ir forma, ir ją generuojanti kaskada vadinami savipanašiais. Šiame skyriuje nagrinėsime savęs panašumą naudodami taisyklingiausias figūras.
Išsamiausias kontrastas į save panašioms formoms yra kreivės, turinčios arba tik vieną mastelį (pavyzdžiui, apskritimą), arba dvi aiškiai atskirtas skales (pavyzdžiui, apskritimas, papuoštas daugelio mažesnių puslankių „kraiga“. Tokias formas galime apibūdinti kaip nekeičiamas.
TERAGONIAI KAIP PAKRANČIŲ MODELIAI. TRINITY KOCH KRIVĖ
Jei norime gauti kreivę, kurioje yra begalinis skaičius ilgio svarstykles, saugiausia būtų pačiam jas ten įvesti vieną po kitos. Taisyklingas trikampis, kurio kraštinės ilgis lygus 1, turi vieną mastelį, taisyklingieji trikampiai, kurių kraštinės ilgis lygus 1/3, taip pat turi vieną mastelį, tik mažesnį - toliau sumažinę kraštinės ilgį pagal taisyklę, gausime trikampius ever mažesnio masto. Tada sudėję visus šiuos trikampius vieną ant kito (kaip parodyta 70 pav.), gauname formą, kurioje visos mastelės yra mažesnės nei 1.
Iš esmės darome prielaidą, kad tam tikra pakrantės atkarpa, nubrėžta 1/1 000 000 masteliu, atrodo kaip vienetinio ilgio tiesi linija; Tokį skyrių pavadinkime iniciatoriumi. Tada darome prielaidą, kad 3/1000 000 mastelio žemėlapyje tampa matoma tam tikra detalė, būtent lygiakraščio trikampio formos iškyša, užimanti pradinio segmento vidurinį trečdalį. Antrasis aproksimacija, gauta tokiu būdu, yra trūkinė linija, sudaryta iš keturių segmentų vienodo ilgio- Pavadinkime tai generatoriumi. Darykime prielaidą, kad dar daugiau detalus žemėlapis(9/1000 000 skalė) atrodo kaip rezultatas pakeitus kiekvieną iš keturių generatoriaus segmentų to paties generatoriaus kopija, sumažinta tris kartus, t. y. išauga du nauji tos pačios formos, bet mažesnio dydžio iškyšos. iš kiekvienos iškyšos.
Tęsdami ta pačia dvasia, pakeičiame visus tiesius segmentus laužytos linijos, o iš pradžių tiesus iniciatorius pamažu virsta vis ilgesne lūžtančia kreive. Kadangi su tokiomis kreivėmis kalbėsime šiame rašinyje, siūlau jiems įvesti naują terminą: teragonai (iš graikų kalbos „pabaisa, keista būtybė“ ir „kampas“). Beje, priešdėlis tera reiškia (turiu pasakyti labai tinkamai) metrinėje sistemoje daugybą iš .
Jeigu tęsime aukščiau aprašytą pakopinį procesą iki begalybės, tai mūsų teragonai nuskubės iki ribos, kurią pirmiausia svarstė von Kochas (žr. 74 pav.). Pavadinkime tokią kreivę trinare Kocho kreive ir pažymėkime simboliu .
Fig. 71 aiškiai matyti, kad šios kreivės plotas išnyksta. Kita vertus, su kiekvienu jos statybos etapu bendras ilgis padidėja 4/3, todėl ribinėje Kocho kreivės ilgis yra begalinis. Be to, Kocho kreivė yra ištisinė, bet niekur neturi liestinės – būtent tolydžios funkcijos, neturinčios išvestinės, grafikas.
Kaip pakrantės linijos modelis, kreivė yra tik labai laisva aproksimacija, bet ne todėl, kad ji per daug netaisyklinga – veikiau todėl, kad, palyginti su įprastos pakrantės linijos nelygumu, Kocho kreivės nelygumai yra labai nuspėjami. 24 ir 28 skyriuose bandysime pasiekti geresnį atitikimą, šiek tiek atsitiktinai suskirstydami statybos procesą.
KOČO KREIVĖ KAIP MONSTRAS
Žmogui, perskaičiusiam ankstesnę dalį, gali susidaryti įspūdis, kad Kocho kreivė yra viena akivaizdžiausių ir intuityviausių geometrinių figūrų. Tačiau priežastys, paskatinusios von Kochą jį pastatyti, nėra tokios akivaizdžios. O požiūris į tai iš matematikų pusės atrodo visiškai paslaptingas. Beveik vienbalsiai jie paskelbė, kad kreivė yra siaubinga! Norėdami sužinoti daugiau, atsigręžkime į Khano kūrinį „Sveiko proto krizė“, kuris, beje, mums bus naudingas daugybę kartų. Khanas rašo: „[Neištaisomos kreivės arba kreivės, kuriai neįmanoma nubrėžti liestinės] prigimtis visiškai pranoksta tai, ką galime suprasti intuityviai. Tiesą sakant, vos kelis kartus pakartojus paprastą segmentavimo operaciją, gauta figūra tampa tokia sudėtinga, kad ją sunku tiesiogiai suvokti, o į ką ši kreivė linksta riboje, visiškai neįsivaizduojama. Tik su proto pagalba, naudojant loginė analizė, galime atsekti šios raidos raidą iki galo keistas objektas. Jei pasikliautume šiuo atveju sveikas protas, tada mūsų sukompiliuota idėja būtų iš esmės klaidinga, nes sveikas protas neišvengiamai vestų mus prie išvados, kad kreivės, kurių nė viename taške nėra liestinės, tiesiog neegzistuoja. Šis pirmasis intuityvaus požiūrio neadekvatumo pavyzdys paveikia pagrindines diferenciacijos sąvokas.
Turime atiduoti Khanui savo pareigas – savo teiginiuose jis nenueina iki garsiojo Charleso Ermito šūksnio dėl nediferencijuojamų funkcijų. 1893 m. gegužės 20 d. laiške Stieltjesui Hermitas rašo apie siaubą ir pasibjaurėjimą, kurį jame sukelia „ši Viešpaties bausmė, šios apgailėtinos funkcijos be išvestinių“ (II, p. 318). Žinoma, kiekvienas iš mūsų nori tikėti, kad didieji yra be trūkumų ir kad Ermitas tik juokavo, tačiau iš Lebesgue'o „Užrašų“, parašytų 1922 m. (I), galime daryti išvadą, kad tai nėra visiškai tiesa. Parašęs straipsnį apie paviršius, prie kurių negalima konstruoti liestinės plokštumos (apie „absoliučiai suglamžytas nosines“), Lebesgue pateikė jį publikuoti Mokslų akademijai, tačiau „Ermitas iš pradžių priešinosi straipsnio įtraukimui į Comptes Rendus“1; Jo laiškas Stieltjesui datuojamas maždaug tuo metu...“
Jūs ir aš jau žinome, kad Perrinas ir Steinhausas nebijojo monstrų, tačiau vienintelis matematikas, kuris prieštaravo bendrai nuomonei, pagrįstai būtent intuityviais samprotavimais (Steinhausas prieštaravo remdamasis faktais), buvo Paulas Levy: „[Aš] Visada buvo stebėtina girdėti, kad jei geometrijoje vadovausitės sveiku protu, tikrai padarysite išvadą, kad viskas nuolatinės funkcijos skiriasi. Kiek galiu spręsti iš savo patirties, nuo mano pirmojo susidūrimo su išvestinių priemonių sąvoka iki šios dienos, yra atvirkščiai.
Deja, šie balsai liko neišgirsti. Beveik visos knygos ir absoliučiai visi mokslo muziejai ir toliau tikina, kad nediferencijuotos funkcijos prieštarauja sveikam protui, yra „monstriškos“, „patologinės“ ar net „psichopatinės“.
KOCH KRIVĖS PRIJAUKINIMAS. MATMENYS
Aš tvirtinu, kad Kocho kreivė yra neapdorotas, bet matematiškai griežtas pakrantės modelis. Kaip pirmąjį kiekybinį patikrinimą, apsvarstykite Kocho trikampio, kurio kraštinių ilgis yra lygus , ilgį. Šį kartą kreivės ilgį galima išmatuoti tiksliai ir gauti itin patenkinamą rezultatą:
Paaiškėjo, kad ši tiksli formulė yra identiška Richardsono empiriniam dėsniui Didžiosios Britanijos pakrantės ilgiui. Mes turime trijų dalių Kocho kreivę
o tai reiškia, kad vertė yra Richardsono gautų verčių diapazone!
< Доказательство: Akivaizdu, kad ir
Ši lygtis turi formos sprendinį, jei ji tenkina santykį .
Todėl kas turėjo būti įrodyta.
Žinoma, Kocho kreivės atveju rodiklis yra ne empirinė, o matematinė konstanta. Taigi argumentai, palaikantys šio rodiklio vertinimą kaip dimensiją, tampa dar įtikinamesni nei pajūrio atveju.
Kita vertus, apytikslis Hausdorffo išplėtimas matmenimis (sąvoka, pristatyta m ankstesnis skyrius) yra lygus ilgio atkarpų skaičiaus sandaugai, t.y. Tai geras patvirtinimas, kad kiekis yra Hausdorffo matmuo. Deja, Hausdorffo šios dimensijos apibrėžimas labai prastai tinka griežtai matematinei interpretacijai. Ir net jei taip nebūtų, idėja apibendrinti dimensijos sąvoką ne sveikųjų skaičių aibėje yra tokia plati ir kupina tokių rimtų pasekmių, kad būtų tik sveikintinas gilesnis jos pagrindimas.
PANAŠUMO DIMENSIJA
Pasirodo, kad gilesnį ieškomą pagrindimą galime nesunkiai gauti svarstydami apie save panašių figūrų atvejį ir panašumo dimensijos sampratą. Dažnai girdime, kad matematikai naudoja panašumo dimensiją, siekdami aproksimuoti Hausdorffo dimensiją, ir daugeliu atvejų, aptartų šioje esė, pvz. apytikslis įvertinimas pasirodo tiesa. Taikant šiuos atvejus, galime manyti, kad fraktalinis matmuo yra panašumo dimensijos sinonimas.< Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности.
Kaip savotišką stimuliuojančią įžangą pažvelkime į standartines į save panašias formas: linijų atkarpas, stačiakampius plokštumoje ir pan. (žr. 73 pav.). Tiesios linijos euklidinis matmuo yra lygus 1, todėl bet kurio sveikojo skaičiaus „pagrindo“ atkarpa gali būti „uždengta“ per visą „ilgį“ (kiekvienas taškas padengiamas vieną kartą ir tik vieną kartą) tam tikru skaičiumi „ dalys“ lygus . Šios „dalys“ yra segmentai, kuriuose svyruoja nuo 1 iki . Kiekvieną dalį galima gauti iš visumos naudojant panašumo transformaciją su koeficientu 
.
Plokštumos euklidinis matmuo yra lygus 2. Iš to išplaukia panašiai, kad esant bet kokiai vertei „visuma“, susidedanti iš stačiakampio su jo kraštinių ilgiais, gali būti „suskaidyta“ į dalis be jokios liekanos. Šios dalys yra stačiakampiai, apibrėžti lygčių sistema
Kur ir pakeisti iš 1 į . Ir čia kiekvieną dalį galima gauti iš visumos naudojant panašumo transformaciją su koeficientu 
.
Stačiakampio gretasienio atveju panašus samprotavimas veda mus prie koeficiento.
Nekyla jokių sunkumų apibrėžiant erdves, kurių euklidinis matmuo yra didesnis nei 3. (Čia ir toliau Euklido – arba Dekarto – matmenis pažymėsime raide.) Visiems –matmenų gretasieniams () stebima lygybė.
.
Taigi,
Lygiavertės alternatyvios išraiškos yra šios:
Dabar pereikime prie nestandartinių figūrų. Kad savęs panašumo rodiklis turėtų formalią reikšmę, tereikia, kad nagrinėjama figūra būtų panaši į save, t.y., kad ją būtų galima suskirstyti į dalis, kurių kiekvieną galima gauti iš visos figūros naudojant panašumo transformacija su koeficientu (kartu su poslinkio arba simetrijos transformacija). Tokiu būdu gauta vertė visada tenkina lygybę
Trinarės Kocho kreivės atveju a, taigi, kuri visiškai sutampa su Hausdorffo matmeniu.
KREIVĖS. TOPOLOGINĖ DIMENSIJA
Iki šiol, daug negalvodami, Kocho figūrą vadindavome kreive; Atėjo laikas suprasti šią sąvoką. Sveikas protas rodo, kad standartinis lankas yra prijungtas rinkinys, o jei pašalinsite bet kurį iš jo taškų, rinkinys bus atjungtas. Uždaroji kreivė yra sujungta rinkinys, kuris yra padalintas į du standartinius lankus, pašalinus du taškus. Dėl šių priežasčių Kocho figūrą galima laikyti kreiva.
Bet kuris matematikas jums pasakys, kad visos figūros, turinčios aukščiau nurodytą savybę (ar tai būtų kreivė, intervalas ar apskritimas), turi topologinį matmenį, lygų 1. Tai reiškia, kad turime kitą matmens sampratą! Visi mokslininkai, kaip Williamo Ockhamo pasekėjai, puikiai žino, kad „subjektai neturėtų būti dauginami be reikalo“. Čia turiu pripažinti, kad mūsų veržimasis tarp kelių beveik lygiaverčių fraktalų matmenų formų paaiškinamas tiesiog patogumo sumetimais. Tačiau paralelinis fraktalinių ir topologinių matmenų egzistavimas yra pati rimčiausia būtinybė. Skaitytojams, kurie praleido nukrypimą 3 skyriuje, kur pateikiamas fraktalo apibrėžimas, rekomenduoju jį perskaityti dabar; Be to, visi turėtų būti susipažinę su 41 skyriaus skyriumi pavadinimu DIMENSIJA.
INTUITYVUS MATMENŲ JAUSMASDESANT slenksčiams IR
Vienas iš Cesaro darbų prasideda epigrafu:
„... neribota valia, beribiai troškimai, nepaisant to, kad mūsų jėgos ribotos, o svajonių įgyvendinimas yra galimybių gniaužtuose“.
Iš tiesų, galimybių gniaužtai turi galią mokslininkams ne mažiau nei Šekspyro „Troilui“ ir „Kresidai“. Norint sukonstruoti Kocho kreivę, būtina, kad kaskada naujų, kiekvieną kartą mažėjančių išsikišimų eitų iki begalybės, tačiau gamtoje kiekviena kaskada yra pasmerkta arba sustoti, arba pasikeisti. Žinoma, galime daryti prielaidą, kad egzistuoja begalinė iškyšų serija, tačiau jos gali būti apibūdinamos kaip panašios į save tik tam tikrose ribose. Kai ilgis sumažinamas iki mažesnių už apatinę ribą, pakrantės sąvoka nustoja priklausyti geografijai.
Taigi, atrodo, tikslinga tikrą pakrantę laikyti kreive, apimančia dvi slenksčio skales. Išoriniu slenksčiu galima laikyti mažiausio apskritimo, apibūdinančio salą ar žemyną, skersmenį, o kaip vidinį slenkstį galime paimti tuos pačius 20 m, kurie buvo aptarti 5 skyriuje. Labai sunku nurodyti tikrąsias skaitines reikšmes. slenksčius, tačiau nekyla abejonių dėl būtinybės įvesti tokias pačias ribas.
Ir vis dėlto, net ir atmetus didžiausias ir mažiausias detales, dydis ir toliau reiškia efektyvų matmenį, kaip aprašyta 3 skyriuje. Griežtai kalbant, trikampis, Dovydo žvaigždė ir baigtiniai Kocho teragonai turi 1 matmenį. intuityvus ir pragmatiškas požiūris, vadovaujamasi būtinų pataisos terminų paprastumu ir natūralumu - viename iš vėlesnių statybos etapų yra protingiau laikyti Kocho teragoną kaip figūrą, artimesnę kreivei, kurios matmuo 1, nei kreivei. su 1 matmeniu.
Kalbant apie pakrantę, ji greičiausiai turi keletą skirtingų matmenų (prisiminkite siūlų kamuolį iš trečio skyriaus). Jo geografinis matmuo yra Richardsono eksponentas. Tačiau dydžių diapazone, kurį nagrinėja fizika, pakrantės matmenys gali būti visiškai skirtingi – susiję su vandens, oro ir smėlio sąsajos koncepcija.
ALTERNATYVŪS KOCH GENERATORIAI IR KOCH KREIVĖS BE SAVIVEIKSNIŲ SANKRAIŽŲ
Dar kartą suformuluokime pagrindinį trinarės Kocho kreivės sudarymo principą. Konstrukcija prasideda nuo dviejų figūrų: iniciatoriaus ir generatoriaus. Pastaroji yra orientuota laužta linija, susidedanti iš vienodo ilgio segmentų. Kiekvieno statybos etapo pradžioje turime tam tikrą nutrūkusią liniją; pati stadija susideda iš kiekvienos tiesios atkarpos pakeitimo generatoriaus kopija, sumažinta ir perkelta taip, kad jos galiniai taškai sutaptų su pakeistos sekcijos galiniais taškais. Kiekviename etape 
.
Tai nesunku pakeisti bendras vaizdas gautas dizainas modifikuojant generatorių; Ypač įdomūs iškyšų ir įdubimų deriniai – pavyzdžių rasite iliustracijose po skyriumi. Taigi galima gauti įvairius Koch teragonus, susiliejančius į kreives, kurių matmenys yra nuo 1 iki 2.
Visos šios Kocho kreivės niekur nesikerta, todėl jas apibrėžiant galima be jokių dviprasmybių suskirstyti į nesikertančias dalis. Tačiau jei konstruodami Kocho kreivę naudosite neatsargiai parinktus generatorius, yra žinoma rizika susilieti, susikirtimo ar net persidengimo rizika. Jei norima vertė yra pakankamai maža, atidžiai pasirinkę generatorių galite lengvai išvengti dvigubų taškų atsiradimo. Problema tampa labai sudėtingesnė kaip , bet tol, kol reikšmė išlieka mažesnė nei 2, sprendimas egzistuoja.
Jei bandysime, naudodamiesi aukščiau aprašyta konstrukcija, gauti Kocho kreivę, kurios matmuo yra didesnis nei 2, tada neišvengiamai pasieksime kreives, kurios plokštumą dengia be galo daug kartų. Šis atvejis nusipelno ypatingo dėmesio, ir mes jį nagrinėsime 7 skyriuje.
LANKAI IR PUSIATISIOS DĖŽĖS
Kai kuriais atvejais terminą „Koch kreivė“ reikia pedantiškai pakeisti kažkuo tikslesniu ir tinkamesniu. Pavyzdžiui, paveikslėlyje parodytas paveikslėlis. 73 žemiau, formaliai yra Kocho linijos atkarpos žemėlapis ir gali būti vadinamas Kocho lanku. Dėl to ribinė linija Fig. 74, pasirodo, sudarytas iš trijų Kocho lankų. Dažnai naudinga ekstrapoliuoti lanką į Kocho pusliniją – ekstrapoliacija pirmiausia padidina pradinį lanką koeficientu, naudojant jo kairįjį galinį tašką kaip židinį, tada veiksniu ir tt Į kiekvienos paskesnės ekstrapoliacijos rezultatą įeina ankstesnė kreivė, o gautoje ribinėje kreivėje yra viskas, kas yra tarpinės galutinės kreivės.
MATAVIMO PRIKLAUSOMYBĖ NUO SPINDULIO SU TRUPMENINE VERTĖD
Panagrinėkime kitą standartinę Euklido geometrijos situaciją ir apibendrinkime ją atsižvelgdami į fraktalinius matmenis. Idealių vienalyčių fizinių tankio objektų atveju galime daryti prielaidą, kad ilgio strypo , disko ar spindulio rutulio masė yra proporcinga . Esant = 1,2 ir 3, proporcingumo koeficientai yra atitinkamai lygūs , ir .
Taisyklė taip pat taikoma fraktalams, jei jie yra panašūs.
Trinarės Kocho kreivių atveju šis teiginys lengviausiai įrodomas, jei kilmė sutampa su Kocho pustiesės pabaigos tašku. Jei spindulio apskritime (kur ) yra masė , tada spindulio apskritime bus masė 
. Iš čia
Todėl santykis nepriklauso nuo spindulio ir gali būti naudojamas tankiui nustatyti.
KOCH JUDĖJIMAS
Įsivaizduokite tašką, judantį išilgai Kocho pustiesės ir vienodais laiko intervalais kertantį to paties dydžio lanką. Jei dabar apverstume funkciją, kuri nustato laiką kaip taško padėties funkciją, tai gautume funkciją, kuri nustato taško padėtį kaip laiko funkciją, t.y. judėjimo funkciją. Tokio judėjimo greitis, žinoma, yra begalinis.
ATSITIKTINĖS KRANTYS: PRELIMINARUS PAŽVALGOS
Kocho kreivė panaši į tikrąsias pakrantės, tačiau ji turi tam tikrų reikšmingų trūkumų (šie trūkumai beveik nesikeičia visuose ankstyvuosiuose precedentų modeliuose, aptartuose šiame rašinyje). Jo dalys yra identiškos viena kitai, o patį panašumo koeficientą tikrai nustato griežta formos skalė , kur yra sveikas skaičius, t. Taigi Kocho kreivė gali būti laikoma tik labai preliminariu pakrantės modeliu.
Aš sukūriau keletą būdų, kaip apeiti šiuos trūkumus, tačiau nė vienas iš jų neapsieina be tam tikrų tikimybinių komplikacijų, kurių šiuo metu negalime išspręsti: pirma, yra daug klausimų, susijusių su neatsitiktiniais fraktalais, kuriuos reikia išspręsti. Besidominčiam skaitytojui, susipažinusiam su tikimybių teorija, niekas netrukdo pažvelgti toliau ir pasigrožėti modeliais, paremtais mano „kreivės kreivėmis“ (žr. 24 skyrių) ir, dar svarbiau, trupmeninių Brauno paviršių lygių linijomis (žr. 28 skyrių). ).
Čia ir toliau naudoju tokį medžiagos pateikimo būdą. Daugybė Gamtos sukurtų modelių yra nagrinėjami sutvarkytų fraktalų fone, kurie, nors ir labai grubiai, bet vis tiek gali tarnauti kaip nagrinėjamų reiškinių modeliai, o mano siūlomi atsitiktiniai modeliai perkeliami į vėlesnius skyrius.
Atmintinė. Visais atvejais, kai reikšmė tiksliai žinoma, nėra sveikas skaičius ir rašoma dešimtaine forma, kad būtų lengviau palyginti, ji išsaugoma keturių skaičių po kablelio tikslumu. Skaičius 4 pasirinktas remiantis šiais argumentais: Norėjau parodyti, kad šiuo atveju reikšmė nėra nei empirinė (visi empirines vertybesšiuo metu žinomi vieno ar dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu), taip pat nėra visiškai tikras geometrinė vertė(visos tokios vertės šiuo metu žinomos vieno ar dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu arba šešių skaitmenų po kablelio tikslumu).
KOMPLEKTU AR VIS PAPRASTA IR TEISINGA?
Kocho kreivės demonstruoja naują ir labai įdomus derinys paprastumas ir sudėtingumas. Iš pirmo žvilgsnio jie atrodo daug sudėtingesni nei bet kuri standartinė Euklido kreivė. Tačiau teorija matematiniai algoritmai Kolmogorovas-Chaitinas teigia priešingai: Kocho kreivė nėra sudėtingesnė už apskritimą! Ši teorija veikia su tam tikru „raidžių“ arba „atominių operacijų“ rinkiniu ir trumpiausio ilgiu. gerai žinomas algoritmas norimos funkcijos konstravimas laikomas objektyviu viršutinė ribašios funkcijos sudėtingumą.
Pabandykime pritaikyti aukščiau aprašytą kreivių sudarymo metodą. Sutikime grafinio proceso raides arba „atomus“ pavaizduoti tiesiais „brūkšniais“. Naudojant tokią abėcėlę, reikia sukurti taisyklingą daugiakampį baigtinis skaičius potėpių, kurių kiekvieną galima apibūdinti naudojant baigtinį skaičių instrukcijų, ir dėl to tai yra baigtinio sudėtingumo problema. Statant apskritimą, atvirkščiai, " begalinis skaičius be galo trumpi potėpiai“, todėl apskritimas mums atrodo kaip begalinio sudėtingumo kreivė. Tačiau jei apskritimą sudarote rekursyviai, matote, kad reikia tik baigtinio skaičiaus instrukcijų, todėl apskritimo sudarymas taip pat yra baigtinio sudėtingumo uždavinys. Pavyzdžiui, pradėkime nuo taisyklingo daugiakampio, kurio kraštinių skaičius lygus (), tada kiekvieną ilgio brūkšnį pakeiskite dviem ilgio brūkšniais ; tada procesas kartojamas vėl ir vėl. Norint sudaryti Kocho kreives, naudojamas tas pats metodas, tačiau naudojant daugiau paprastos operacijos: kiekvieno potėpio ilgį tereikia padauginti iš , o santykinė potėpių padėtis išlieka ta pati visos konstrukcijos metu. Tai veda prie paradoksalaus teiginio: kai sudėtingumą lemia geriausio ilgis dabarties akimirka Pagal algoritmą, išreikštą šia abėcėle, Kocho kreivė yra paprastesnė nei apskritimas.
Šis neįprastas kreivių pasiskirstymas pagal santykinį jų konstrukcijos sudėtingumą neturėtų būti vertinamas rimtai. Įdomiausia tai, kad naudodami abėcėlę, pagrįstą apskritimu ir liniuote (tai yra, paimdami apskritimą kaip „atomą“), padarysime priešingą išvadą. Ir vis dėlto, pagrįstai pasirinkus abėcėlę, bet kuri Kocho kreivė yra ne tik baigtinė, bet ir paprastesnė nei dauguma Euklido kreivių.
Mane visada žavėjo žodžių etimologija, todėl negaliu užbaigti šio skyriaus nepripažindamas, kad nekenčiu Kocho kreivės vadinti „neteisinga“. Šis terminas yra susijęs su žodžiu valdyti ir iš esmės yra gana priimtinas, jei šį žodį suprantame kaip „pataisyti, ištiesinti“: vargu ar kas nors gali ištiesinti Kocho kreivę. Tačiau prisiminus kitą žodžio valdyti reikšmę ir pagalvojus apie valdovus ar karalius (ta pati reikšmė, tik kiek kitokia etimologija. Beje, lotyniški žodžiai rex („karalius“) ir regula („taisyklė“) taip pat turi tą pačią šaknį), tai yra, apie tuos, kurie nustato nepajudinamų taisyklių rinkinį, kurio reikia neabejotinai laikytis, aš visada tyliai protestuoju prieš nelemtą terminą - šia prasme. , Pasaulyje tiesiog nėra nieko „teisingesnio“ už Kocho kreivę.
Ryžiai. 70. TREJYBĖS SALA (ARBA SNIEGĖS) KOCH. HELGE VON KOCH ORIGINALI KONSTRUKCIJA (PAKRANTĖS MATMENYS)
Konstrukcija prasideda „iniciatoriumi“, ty juodu lygiakraščiu trikampiu, kurio kraštinės ilgis yra lygus vienetui. Tada statome kiekvienos pusės vidurinį trečdalį lygiakraštis trikampis kurių kraštinių ilgis lygus 1/3. Šiame etape gauname šešiakampę žvaigždę arba Dovydo žvaigždę. Kiekvienoje gautos žvaigždės pusėje aukščiau aprašytu būdu sukonstruojame lygiakraštį trikampį ir kartojame procesą iki begalybės.
Bet kurio segmento vidurinio trečdalio taškai su kiekvienu papildymu pasislenka statmena kryptis, o trikampio iniciatoriaus viršūnės lieka nejudančios. Likę devyni Dovydo žvaigždės taškai galutines pozicijas pasiekia po riboto etapų skaičiaus. Kai kurie taškai pasislenka be galo daug kartų, bet kiekvieną kartą mažesniu kiekiu ir galiausiai susilieja į tam tikras ribas, kurios lemia pakrantės formą.
Pati sala reiškia sričių, apribotų daugiakampiais, kurių kiekviename yra ankstesnio daugiakampio ribojama sritis, sekos ribą. Šios ribos fotografinis negatyvas matomas fig. 74.
Atkreipkite dėmesį, kad šiame ir daugelyje kitų piešinių dažnai vaizduojamos salos ir ežerai, o ne pakrantės - apskritai „kietoms“ figūroms aiškiai teikiama pirmenybė, o ne kontūrai. Tai galima paaiškinti labai paprastai – mes tiesiog stengėmės maksimaliai išnaudoti didelę mūsų grafinės sistemos skiriamąją gebą.
Kodėl negalime nubrėžti šios kreivės liestinės? Pasirinkime vieną iš pradinio trikampio viršūnių kaip fiksuotąjį tašką ir nubrėžkime tiesią liniją į tam tikrą tašką, esantį ribinėje kreivėje pagal laikrodžio rodyklę. Kai pasirinktas kreivės taškas artėja prie mūsų viršūnės, juos jungianti tiesė svyruoja 30 laipsnių kampu ir visiškai nenori veržtis link jokios ribos, kurią galėtume pavadinti liestine pagal laikrodžio rodyklę. Liestinė prieš laikrodžio rodyklę taip pat neapibrėžta. Taškas, į kurį neįmanoma nubrėžti liestinės, nes iš jo nukritusios stygos visiškai svyruoja tam tikri kampai, vadinamas hiperboliniu tašku. Kalbant apie tuos taškus, į kuriuos kreivė linksta asimptotiškai, taip pat neįmanoma nubrėžti jų liestinės, bet dėl kitos priežasties.
Ryžiai. 71. TREJYBĖS SALA (ARBA SNIEGĖS) KOCH K. ALTERNATYVI ERNEST CESARO KONSTRUKCIJA (PAKRANTĖS MATMENYS)
Alternatyvi Kocho salos konstrukcija siūloma Cesaro straipsnyje apie von Kocho kreives – kūrinys toks nuostabus, kad kiekvieną kartą atsivertęs žurnalą pamirštu, kaip ilgai ir sunkiai ieškojau šio straipsnio (ir koks pykau, kai vėliau atradau kad visas mano darbas buvo bergždžias – turėjau iš karto pažiūrėti į kolekciją). Leiskite pacituoti keletą ypač žavių mano nemokamo vertimo eilučių. „Begalinis šios figūros lizdas savyje suteikia mums tam tikrą supratimą apie tai, ką Tenisonas kadaise vadino vidine begalybe – iš esmės vienintele begalybės rūšimi, prieinama mūsų gamtos suvokimui. Dėl šio panašumo tarp visumos ir dalių – iki mažiausių, nykstančių mažų dalių – Kocho kreivė įgauna tikrai nuostabių savybių. Jei jai būtų suteikta gyvybė, norėdami ją nužudyti, turėtume sunaikinti visą kreivę be pėdsakų, nes ji vėl ir vėl atgimtų iš savo trikampių gelmių; tačiau tą patį galima pasakyti apie gyvenimą Visatoje apskritai“.
Cesaro konstrukcijos iniciatorius yra taisyklingas šešiakampis, kurio kraštinės ilgis . Salą supantis vandenynas rodomas pilkai. Kiekvieną tiesią pakrantės atkarpą pakeičia trikampė įlanka, kurios dydis su kiekvienu statybos etapu mažėja iki begalybės, o Kohos sala tampa mažėjančių aproksimacijų riba.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduoti abu konstravimo būdai: Kocho metodas (žr. 70 pav.) ir ką tik aprašytas Cesaro metodas. Šiuo požiūriu galutinė Kocho pakrantė atrodo įsprausta tarp dviejų teragonų, kurie nuolat artėja iš vidaus ir išorės. Galima įsivaizduoti pakopinį procesą, kurio pradžioje turime tris koncentrinius žiedus: tvirta žemė(juoda), pelkė (balta) ir vanduo (pilka). Kiekviename šio pakopinio proceso etape tam tikra pelkės dalis paverčiama kieta žeme arba vandeniu. Prie ribos pelkė tampa itin plona, iš „paviršiaus“ virsdama vingiu.
Medianos poslinkio interpretacija. Mes naudojame generatorių ir tolesnį žingsnį žemiau (kampas yra 120 laipsnių):
Tiesios linijos atkarpos vidurio tašką perkėlus į išorę į vidinį teragoną, gaunamas trečiasis išorinis teragonas; Vidutinis poslinkis į vidų nuo išorinio teragono suteikia trečiąjį išorinį teragoną. Šio metodo veiksmingumas parodytas fig. 98 ir 99, taip pat 25 skyriuje.
Ryžiai. 73. DU SAVIPANAŠUMO TIPAI: STANDARTINIS IR FRAKTALAS
Paveikslėlyje parodyta, kaip, atsižvelgiant į tam tikrą sveikąjį skaičių (šiuo atveju = 5), galite padalinti tiesinį vieneto ilgio segmentą į subintervalus, kurių kiekvieno ilgis yra lygus . Panašiai vienetinį kvadratą galime padalyti į mažesnius kvadratus, kurių kraštinės ilgis . Abiem atvejais dydis reiškia nagrinėjamos figūros panašumo matmenį, dydį, kurio mokyklos geometrija nelaiko būtinu minėti, nes jo reikšmė sumažinama iki euklido dimensijos.
Apatinė figūra yra Kocho trinarė kreivė arba trečioji Kocho salos pakrantė. Jis taip pat gali būti suskirstytas į mažesnes figūras, panašias į pradinę kreivę, su , ir . Panašumo dimensija šiuo atveju paaiškėja trupmeninis skaičius(jo vertė yra maždaug 1,2618), neturinti analogų standartinėje geometrijoje.
Hausdorffas parodė, kad dydis gali būti labai naudingas matematikoje ir kad jis sutampa su Hausdorfo arba fraktalų matmeniu. Aš tvirtinu, kad gamtos moksluose neapsieisite be didybės.
Ryžiai. 74. Trejybės ežeras KOKHA K (PAKRANTĖS MATMENYS)
Tęskime 70 ir 71 paveikslų paaiškinimuose aprašytą konstrukciją iki tam tikros pažengusios stadijos ir nufotografuokime rezultatą. Tokios nuotraukos negatyvas parodytas paveikslėlyje ir labiau primena ežerą, o ne salą.
Neįprastas pilkų „bangų“ raštas, užpildantis šį ežerą, nėra atsitiktinis. Jos aprašymą galima rasti 104 ir 105 paveikslų paaiškinimuose.
Kokha ežero kranto linija nėra panaši į save, nes uždara kreivė negali būti pavaizduota kaip mažesnių uždarų, panašių į ją, rinkinys.< Хотя в главе 13 мы используем самоподобие для построения бесконечного скопления островов.
Ryžiai. 75 ir 76. KITOS SALOS IR KOHA EŽERAS (PAKRANTĖS MATMENYS)
Šią Kocho salos versiją esame skolingi W. Gosperiui (žr.): iniciatorius yra taisyklingas šešiakampis, o generatorius atrodo taip:
Ryžiai. 75.Štai keli „Gosper salos“ statybos etapai (parodyta stora linija). Apie vidinį salos užpildymą (plona linija) pakalbėsime kiek vėliau (žr. 106 pav.).
Ryžiai. 76. Vienas iš vėlesnių Gosper salos statybos etapų. Norėdami paaiškinti kamšalą (įvairaus storio linijos saloje), žr. 106.
Atkreipkite dėmesį, kad skirtingai nei originali Kocho kreivė, šis generatorius yra simetriškas jo centro atžvilgiu. Jis sujungia įlankas ir pusiasalius taip, kad salos plotas išliktų nepakitęs per visą statybą. Tas pats pasakytina ir apie Kocho kreives (iki 88 pav.).
Plytelių klojimas. Gosper salos gali visiškai uždengti lėktuvą be tarpų. Ši procedūra vadinama dengimu arba plytelėmis)
Susijęs. Be to, ši sala yra panaši į save, o tai nesunkiai matoma pažvelgus į skirtingo storio linijomis nuspalvintus paveikslo plotus. Tai yra, kiekvieną salą galima suskirstyti į septynias „provincijas“, kurių kiekvieną galima gauti iš visos salos panašumo transformacijos būdu su koeficientu . Plokštumos dengimui tokiomis panašiomis plytelėmis žymėti siūlau įvesti naują terminą pertilingas (lotyniškas priešdėlis čia išreiškia proceso tobulumą ir visapusiškumą).
Daugeliu paviršiaus dangos atvejų plytelės negali būti skaidomos į bet kokį skaičių mažesnių plytelių, panašių į originalią. Pavyzdžiui, daugelį žmonių labai erzina, kad taisyklingi šešiakampiai, sudėti kartu, nesudaro vienodai taisyklingo didesnio šešiakampio. Iš Gosper plytelių visiškai įmanoma „sukurti“ gana panašų į šešiakampį, galintį tiksliai padalyti į septynias identiškas dalis. Kitos fraktalinės plytelės leidžia padalyti į skirtingą dalių skaičių.
Prancūzija. Tarp geografinių realijų yra vienas stebinantis skaičius teisinga forma, dažnai vadinamas šešiakampiu dėl savo reguliarumo. Tai apie apie Prancūziją. Reikia pasakyti, kad figūra simbolizuoja geografinis žemėlapis Prancūzija, daug mažiau primena šešiakampį nei figūra, pavaizduota Fig. 76 (nors Bretanė mūsų piešinyje galbūt atrodo kiek nepakankamai maitinama).
< Почему нельзя провести касательную ни в одной точке этой береговой линии? Pasirinkite fiksuotą pakrantės tašką, gautą po tam tikro skaičiaus statybos etapų, ir sujunkite šį tašką tiesia linija su tam tikru judančiu ribojančios pakrantės tašku. Judančiam taškui artėjant prie stacionaraus taško palei ribinę pakrantę (į dešinę ar į kairę), taškus jungianti tiesi linija nuolat keičia kryptį. Tokie fiksuotas taškas vadinamas loksodrominiu tašku.
Ryžiai. 79. KITOS KOHOS SALOS IR EŽERAI (PAKRANTĖS MATMENYS NUO 1 IKI )
Šioje fraktalinių kreivių sekoje iniciatorius yra taisyklingas daugiakampis su pusių skaičiumi generatorius yra toks, kad , Ir kampai tarp jo pirmosios ir antrosios bei antrojo ir trečiojo segmentų sutampa ir yra lygūs . Fig. 75 ir 76 (šio paveikslo čia nėra), o kreivė c yra aptarta Fig. 109. Šiame paveikslėlyje pavaizduoti vėlyvieji teragonų, kurių reikšmės = 4, 8, 16 ir 32, konstravimo etapai įterptų ežerų ir salų pavidalu. Pavyzdžiui, vertė atitinka šį generatorių:
Centrinės salos () viduje esantis šešėlis aprašytas paaiškinime Fig. 109 ir 110.
Jei parametras eina į begalybę, atitinkama kreivė įgauna apskritimo formą. Jei jis mažėja, mūsų figūros pradeda „trauktis“, pirmiausia palaipsniui, tada staigiais šuoliais. Pasiekus 3, atitinkamoje kreivėje atsiranda savarankiškos sankirtos. Šį atvejį aptarsime vėliau (žr. 109 ir 110 pav.).
Kritinė dimensija. Kai segmentas pasirenkamas kaip iniciatorius, kampas gali būti bet kokia vertė nuo 180 laipsnių iki 60 laipsnių. Tačiau yra keletas kritinis kampas- tokia, kad pakrantė neturėtų susikirtimų tada ir tik tada, kai . Atitinkamas matmuo vadinamas kritiniu savęs susikirtimo matmeniu. Kampas yra arti 60 laipsnių.
Apibendrinimas. Konstrukcijos, parodytos fig. 75-88, leiskite atlikti tokį paprastą apibendrinimą. Pavadinkime paveikslėlyje pavaizduotus generatorius tiesioginiais (S) ir apibrėžkime atvirkštinį generatorių (F) kaip tiesioginio generatoriaus veidrodinį vaizdą linijos atžvilgiu. Kiekviename atskirame statybos etape naudosime po vieną generatorių, tačiau skirtingiems etapams galite rinktis skirtingus generatorius. Šių (ir kai kurių vėlesnių) paveikslų kreivės sudarytos naudojant S generatorius, tačiau kitos begalinės S ir F generatorių sekos duoda labai panašius rezultatus.
< При чередовании F- и S-генераторов локсодромические точки переходят в гиперболические, как в оригинальной кривой Коха.
Fig. 79-85 pavaizduotos kelios Kocho figūros, kurių iniciatorius yra kvadratas (taigi ir pavadinimas kvadratinis). Vienas iš tokių konstrukcijų privalumų – su jomis galima eksperimentuoti net ir silpnose grafikos sistemose.< Еще одно преимущество - квадратичные фрактальные кривые ведут непосредственно к оригинальной кривой Пеано, описанной в пояснении к рис. 95.
Ryžiai. 81. Iniciatorius čia yra kvadratas, o generatorius atrodo taip:
Kaip ir pav. 75-79, kiekviename statybos etape bendro ploto sala lieka nepakitusi. Fig. 81 aukščiau parodyti pirmieji du statybos etapai uždaryti ir du paskesni mažesnio masto.
Paskutinio etapo rezultatas, dar labiau padidintas, rodo mažiausias detales labai plonų, vos matomų iškilimų pavidalu, kurių, žinoma, nepamatytumėte, jei neturėtumėte mūsų grafikos sistema tokia puiki rezoliucija.
Tiek teragonuose, tiek ribinėje kreivėje nėra savęs persidengimo, susikirtimo ar savęs prisilietimo. Šis teiginys galioja ir vėlesnėms statyboms (iki 85 pav.).
< Не следует забывать о том, что фракталы на рис. 81-85 представляют береговые линии; суша и море здесь - это удобные фигуры, обладающие положительными и конечными площадями. На с. 209 упоминается случай, в котором только «море», будучи объединением простых трем, имеет вполне tam tikra sritis, o žemė neturi vieno vidinio taško.
Plytelių klijavimas ir klijavimas.Šią salą galima suskirstyti į 16 mažesnių salų (). Kiekvienas iš jų vaizduoja Kohos salą, pastatytą vienoje iš 16 aikščių, kurios sudaro pirmąjį statybos etapą.
< В главах 25 и 29 показано, что размерность характерна также для многих броуновских функций. Следовательно, это значение легко можно получить с помощью случайных кривых и поверхностей.
Ryžiai. 81. KVADRŲ SALA KOHA (PAKRANTĖS MATMENYS 
)
Vėl imkime kvadratą kaip iniciatorių, o generatorius bus tokia laužyta linija:
Tai, kad šioje iliustracijų rinktinėje pristatoma kvadratinių Kocho salų pakrantė labai priklauso nuo to, yra labai reikšminga. Tuo pačiu metu, kadangi jų bendras iniciatorius yra kvadratas, išorinė šių salų forma išlieka maždaug tokia pati. Jei iniciatorius yra koks nors kitas taisyklingas -gon (), tada galima stebėti, kaip jai didėjant išorinė forma tampa vis lygesnė. Mes nesužinome apie tikrąjį išorinės formos ir prasmės ryšį iki 28 skyriaus, kuriame nagrinėjamos atsitiktinės pakrantės, kurios efektyviai apibrėžia tiek generatorių, tiek iniciatorių.
< Максимальность. Prie išorinių formų panašumo prisideda tai, kad parodytos Fig. 79-85 kvadratinės Kocho kreivės turi labai įdomi nuosavybė maksimalus. Visus Koch generatorius, generuojančius kreives be susikirtimų, pastatykime ant kvadratinės gardelės, sudarytos iš tiesių linijų, lygiagrečių ir statmenai atkarpai. Taip pat darykime prielaidą, kad visi šie generatoriai gali būti naudojami su bet kuriais iniciatoriais mūsų kvadratinėje gardelėje. Apibrėžkime kaip maksimalius tuos generatorius, kurie charakterizuojami didžiausia vertė ir dėl to . Šis procesas baigiasi kitame skyriuje su Peano riba
ir taip - kreivei pav. 84:
Šių lakūnų košmarų užtvankos ir kanalai siaurėja, kai judame link tolimiausių pusiasalių kyšulių ar labiausiai iškirstų įlankų liežuvių. Be to, didėjant fraktalų matmeniui, pastebima ir siaurėjimo tendencija, o prie šių užtvankų ir kanalų atsiranda „vapsvų juosmens“.
< О турбулентной дисперсии. Mano nuomone, tarp fraktalinių kreivių aproksimacijų sekos, parodytos Fig. 85, ir egzistuoja nuoseklios turbulentinės rašalo dispersijos vandenyje stadijos stulbinantis panašumas. Žinoma, tikroji dispersija yra šiek tiek mažesnė, tačiau tai gali būti imituojama įvedant atsitiktinumo elementą į statybos procesą.
Galime pasakyti, kad čia matome Richardsono kaskadą „veikiant“. Pradinis nedidelis energijos kiekis paskleidžia kvadratinę rašalo dėmę vandens paviršiuje. Tada pradinis sūkurys skyla į mažesnius sūkurius, kurių poveikis yra didesnis vietinis charakteris. Pradinė energija dalijama į vis mažesnes dalis, kol galiausiai nelieka nieko kito, tik šiek tiek susilieja susidariusios dėmės kontūrai, kaip parodyta toliau pateiktoje iliustracijoje, pasiskolintoje iš Corrsino darbo.
Ryžiai. 84 ir 85. Kvadratinės KOHOS SALOS (PAKRANTĖS MATMENYS 
IR )
Greičiausiai tai priklauso nuo pradinės skysčio energijos ir nuo indo, kuriame vyksta dispersija, dydžio. Esant žemai pradinei energijai nuo apvali vieta bus kreivė su matmenimis (žr. 7 skyrių), pamatysime, kad ji kokybiškai skiriasi nuo atvejo, nes leidžia bet kurioms dviem rašalo dalelėms, kurios proceso pradžioje buvo toli viena nuo kitos, patekti į asimptotinę. susisiekti.<Я бы совсем не удивился, если бы оказалось, что за одним термином «турбулентная дисперсия» скрываются два совершенно отличных друг от друга феномена.
P.S. Po to, kai 1977 m. ši iliustracija pasirodė „Fraktaluose“, Paulius Dimotakis nufotografavo plonus turbulentinės srovės gabalėlius, kurie išsisklaido laminarinėje aplinkoje. Labai nudžiugino fotografijų ir iliustracijos panašumas.
Ryžiai. 87 ir 88. GENERALINĖS KOCH KRIVĖS IR SAVIPANAŠUMAS SU NELYGINGAIS KOEFICIENTAIS (,,)
Statant šias konstrukcijas buvo taikytas Kocho metodas, bet nevienodo generatoriaus šonų ilgio. Iki šiol turėjome omenyje, kad tas pats panašumo koeficientas taikomas visoms „dalims“, į kurias padalinta mūsų „visuma“. Esant nevienodiems koeficientams, Kocho kreivė šiek tiek praranda savo nenumaldomą teisingumą. Fig. 87 galite pamatyti taip modifikuotą Kocho trinarė kreivę.
Atkreipkite dėmesį, kad visoje ankstesnėje iliustracijų serijoje kreivės konstravimas tęsėsi tol, kol pasiekė mažiausias iš anksto nustatyto dydžio detales. Kai norimas tikslas pasiekiamas per tam tikrą iš anksto nustatytą statybos etapų skaičių, čia reikalingas etapų skaičius yra kintamas. taip pat gali būti perrašyta kaip kreivė, parodyta Fig. 88 viršuje, šiek tiek mažiau nei 2. Šios salos pakrantėje linksta Peano Poia kreivė, viena iš Peano kreivių, aptariama kitame skyriuje. Panašumas tarp šio paveikslo ir medžių eilės nėra atsitiktinis, kaip bus parodyta 17 skyriuje. Galiausiai kreivė pav. Žemiau esantis 88 yra tik šiek tiek didesnis nei 1.
Kreivė arba linija yra geometrinė sąvoka, kuri skirtingose geometrijos šakose apibrėžiama skirtingai. Turinys 1 Elementarioji geometrija 2 Parametriniai apibrėžimai 3 Jordano kreivė... Vikipedija
Deltinis raumenys (Steinerio kreivė) yra plokštumos kreivė, kurią apibūdina fiksuotas taškas apskritime, besisukančio išilgai kito apskritimo, kurio spindulys tris kartus didesnis už pirmojo apskritimo spindulį. Kreivė gavo savo pavadinimą dėl savo panašumo į graikų... ... Vikipediją
Brachistochrone (iš graikų kalbos βράχιστος trumpiausias ir χρόνος laikas) stačiausio nusileidimo kreivė. Užduotį jį surasti 1696 m. iškėlė Johanas Bernulis. Tai yra taip: Tarp plokštumos kreivių, jungiančių du duotus taškus A ir B, ... ... Vikipedija
- (toliau kreivė) pats bendriausias (bet ne per didelis) kreivės apibrėžimas, kurį Urysohnas pateikė 1921 m. Šis apibrėžimas apibendrina Kantoro apibrėžimą iki savavališko matmens. Apibrėžimas formuluojamas taip: Kreivė yra sujungta... ... Vikipedija
Bendras parametrinių kreivių, kurių vaizde yra kvadratas (arba, apskritai, atviros erdvės sritys), pavadinimas Turinys 1 ypatybės 2 pavyzdžiai 3 apibendrinimai ... Vikipedija
Levy kreivės fraktalas. Pasiūlė prancūzų matematikas P. Levy. Pasirodo, jei paimsite pusę formos / kvadrato, o tada pakeisite kiekvieną pusę tuo pačiu fragmentu ir, kartodami šią operaciją, ... Vikipedija
Įvairių parametrų persekiojimo kreivė yra kreivė, vaizduojanti „persekiojimo“ problemos sprendimą, kuris suformuluotas taip. Tegu... Vikipedija
Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Kreivė (reikšmės). Kreivė arba linija yra geometrinė sąvoka, kuri skirtingose geometrijos šakose apibrėžiama skirtingai. Turinys 1 Elementarioji geometrija 2 ... Vikipedija
Bezier kreives arba Bernstein Bezier kreives XX amžiaus šeštajame dešimtmetyje savarankiškai sukūrė Pierre'as Bézier iš „Renault“ automobilių kompanijos ir Paulas de Faget de Casteljau iš „Citroen“ ... Wikipedia
Minkovskio kreivės konstravimas Minkovskio kreivė yra klasikinis Minkowskio pasiūlytas geometrinis fraktalas. Iniciatorius – atkarpa, o generatorius – aštuonių laužyta linija... Vikipedija
Knygos
- Fraktalų aibių teorijos elementai, Sekovanov V.S.. Šiame vadovėlyje pateikiamas trumpas istorinis pagrindas apie naujos šiuolaikinės matematikos krypties – fraktalų geometrijos – raidą. Fraktalų taikymo sritys…
Šis skaičius yra vienas iš pirmųjų mokslininkų ištirtų fraktalų. Jis pagamintas iš trijų kopijų Kocho kreivė, kuris pirmą kartą pasirodė švedų matematiko Helge von Koch 1904 m. Ši kreivė buvo išrasta kaip ištisinės linijos, kuri negali liesti jokio taško, pavyzdys. Linijos su šia savybe buvo žinomos anksčiau (Karlas Weierstrassas savo pavyzdį pastatė dar 1872 m.), tačiau Kocho kreivė išsiskiria savo dizaino paprastumu. Neatsitiktinai jo straipsnis vadinasi „Ant ištisinės kreivės be liestinių, kuri kyla iš elementarios geometrijos“.
Brėžinys ir animacija puikiai parodo, kaip žingsnis po žingsnio konstruojama Kocho kreivė. Pirmoji iteracija yra tiesiog pradinis segmentas. Tada jis padalijamas į tris lygias dalis, centrinė užbaigiama, kad susidarytų taisyklingas trikampis, o po to išmetama. Rezultatas yra antroji iteracija – trūkinė linija, susidedanti iš keturių segmentų. Kiekvienam iš jų taikoma ta pati operacija ir gaunamas ketvirtas statybos etapas. Tęsdami ta pačia dvasia, galite gauti vis daugiau naujų eilučių (visos jos bus laužytos). O tai, kas vyksta riboje (tai jau bus įsivaizduojamas objektas), vadinama Kocho kreive.
Pagrindinės Kocho kreivės savybės
1. Jis yra tęstinis, bet niekur nesiskiriantis. Grubiai tariant, būtent todėl jis buvo išrastas - kaip tokių matematinių „keistuolių“ pavyzdys.
2. Turi begalinį ilgį. Tegul pradinio segmento ilgis yra 1. Kiekviename konstravimo etape kiekvieną liniją sudarantį segmentą pakeičiame 4/3 kartų ilgesne laužta linija. Tai reiškia, kad visos nutrūkusios linijos ilgis kiekviename žingsnyje dauginamas iš 4/3: linijos ilgio su skaičiumi n lygus (4/3) n–1. Todėl ribinė linija neturi kito pasirinkimo, kaip tik būti be galo ilga.
3. Kocho snaigė riboja baigtinį plotą. Ir tai nepaisant to, kad jo perimetras yra begalinis. Ši savybė gali pasirodyti paradoksali, tačiau ji akivaizdi – snaigė visiškai telpa į ratą, todėl jos plotas akivaizdžiai ribotas. Plotas gali būti apskaičiuotas, ir tam net nereikia specialių žinių - mokykloje mokomos trikampio ploto ir geometrinės progresijos sumos formulės. Tiems, kurie domisi, skaičiavimai pateikiami žemiau smulkiu šriftu.
Tegul pradinio taisyklingo trikampio kraštinė lygi a. Tada jo plotas yra . Pirmiausia kraštinė yra 1, o plotas: . Kas atsitinka, kai iteracija didėja? Galime daryti prielaidą, kad prie esamo daugiakampio yra pritvirtinti maži lygiakraščiai trikampiai. Pirmą kartą jų yra tik 3, o kiekvieną kitą kartą jų yra 4 kartus daugiau nei prieš tai. Tai yra, įjungta n veiksmas bus baigtas Tn= 34 n– 1 trikampis. Kiekvieno iš jų kraštinės ilgis yra trečdalis ankstesniame žingsnyje užbaigto trikampio kraštinės. Taigi jis lygus (1/3) n. Plotas yra proporcingas kraštinių kvadratams, taigi kiekvieno trikampio plotas yra 
. Dėl didelių vertybių n Beje, tai labai mažai. Bendras šių trikampių indėlis į snaigės plotą yra Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · S 0 . Todėl po n-žingsnis, figūros plotas bus lygus sumai S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +Tn S n = 
. Snaigė gaunama po begalinio skaičiaus žingsnių, o tai atitinka n→ ∞. Rezultatas yra begalinė suma, bet tai yra mažėjančios geometrinės progresijos suma, yra formulė: 
. Snaigės plotas yra.
4. Fraktalo matmuo yra lygus log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Tikslus skaičiavimas pareikalaus daug pastangų ir išsamių paaiškinimų, todėl čia veikiau fraktalinio matmens apibrėžimo iliustracija. Iš galios dėsnio formulės N(δ ) ~ (1/δ )D, Kur N- susikertančių kvadratų skaičius, δ - jų dydis ir D- matmuo, mes tai suprantame D= log 1/ δ N. Ši lygybė galioja iki konstantos pridėjimo (ta pati visiems δ ). Paveiksluose parodyta penktoji Kocho kreivės konstravimo iteracija, su ja susikertantys tinklelio kvadratai yra nuspalvinti žalia spalva. Pradinio segmento ilgis yra 1, taigi viršutiniame paveikslėlyje kvadratų kraštinės ilgis yra 1/9. 12 kvadratų nuspalvinta, log 9 12 ≈ 1.130929... . Dar nelabai panašus į 1.261859... . Pažiūrėkime toliau. Viduriniame paveikslėlyje kvadratai perpus mažesni, jų dydis 1/18, nuspalvintas 30. log 18 30 ≈ 1.176733... . Jau geriau. Žemiau kvadratai dar perpus didesni, jau nudažyti 72 vnt. log 72 30 ≈ 1.193426... . Dar arčiau. Tada reikia padidinti iteracijos skaičių ir tuo pačiu sumažinti kvadratus, tada „empirinė“ Kocho kreivės matmens reikšmė nuolat artėja prie log 3 4, o riboje ji visiškai sutaps.
Tema: Fraktalai.
1.Įvadas. Trumpas istorinis fraktalų fonas. 2. Fraktalai yra geometrijos elementai gamtoje.
3. Objektai, turintys fraktalinių savybių gamtoje. 4. Terminų „fraktalai“ apibrėžimas.
5.Fraktalų klasės.
6.Fraktalinių procesų aprašymas. 7.Fraktalų aibių gavimo tvarka.
8.1 Broken Kokha (gavimo procedūra).
8.2 Kocho snaigė (Koch Fractal).
8.3 Menger kempinės.
9. Fraktalų panaudojimo pavyzdžiai.
Įvadas. Trumpas istorinis fraktalų fonas.
Fraktalai yra jauna diskrečiosios matematikos šaka.
IN 1904 metais švedas Kochas sugalvojo ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės – Kocho kreivę.
IN 1918 metais prancūzė Julija aprašė visą fraktalų šeimą.
IN 1938 m. Pierre'as Levy paskelbė straipsnį „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“.
IN 1982 m. Benoit Mandelbrot išleido knygą „Fraktalinė gamtos geometrija“.
SU Naudojant paprastas konstrukcijas ir formules, gaunami vaizdai. Pasirodė „Fraktalų tapyba“.
Nuo 1993 m. World Scientific leidžia žurnalą „Fractals“.
Fraktalai yra geometrijos elementai gamtoje.
Fraktalai yra priemonė apibūdinti objektus, tokius kaip kalnų grandinės, raižytos pakrantės, daugelio kapiliarų ir kraujagyslių kraujotakos sistemos, medžių vainikai, kriokliai, šerkšniantys raštai ant stiklo.
Arba šie: paparčio lapas, debesys, dėmė.
Tokių objektų vaizdus galima pavaizduoti naudojant fraktalinę grafiką.
Objektai, turintys fraktalinių savybių gamtoje.
Koralai Žvaigždės ir ežiaiJūrų kriauklės
Gėlės ir augalai (brokoliai, kopūstai) Vaisiai (ananasai)
Medžių lajos ir augalų lapai Kraujotakos sistemaŽmonių ir gyvūnų bronchai negyvojoje gamtoje:
Geografinių objektų (šalių, regionų, miestų) ribos Pakrantės Kalnų grandinės Snaigės Debesys Žaibas
Ant stiklo susidarę raštai Kristalai Stalaktitai, stalagmitai, heliktitai.
Terminų „fraktalai“ apibrėžimas.
Fraktalai yra geometrinės formos, atitinkančios vieną ar daugiau iš šių savybių:
Jis turi sudėtingą netrivialią struktūrą bet kokiu padidinimu (visomis skalėmis) Jis yra (apytiksliai) panašus į save.
Jis turi trupmeninį Hausdorff (fraktalinį) matmenį arba viršija topologinį. Gali būti sukonstruotas rekursinėmis procedūromis.
Įprastoms figūroms, tokioms kaip apskritimas, elipsė, lygiosios funkcijos grafikas mažas fragmentas labai dideliu masteliu atrodo kaip tiesios linijos fragmentas. Fraktalo mastelio padidinimas nesupaprastina visų skalių paveikslų.
Fraktalų klasės
Fraktalas – tai struktūra, susidedanti iš dalių (postruktūrų), panašių į visumą.
Kai kuriuos fraktalus, kaip gamtos elementus, galima priskirti prie geometrinių (konstruktyvių) fraktalų.
Likusius galima priskirti dinaminiams fraktalams (algebriniams).
Fraktalų aibių gavimo procedūros.
Tai paprasta rekursinė fraktalinių kreivių gavimo procedūra: nurodykite savavališką trūkinę liniją su baigtiniu skaičiumi nuorodų – generatorių. Tada jame pakeičiamas kiekvienas generatoriaus segmentas. Tada kiekvienas segmentas jame vėl pakeičiamas generatoriumi ir taip toliau iki begalybės.
Rodoma: vieneto segmento padalijimas į 3 dalis (a), vienetinis kvadratinis plotas į 9 dalis (b), vienetinis kubas į 27 dalis (c) ir 64 dalis (d). Dalių skaičius yra n, mastelio koeficientas yra k, o erdvės matmuo yra d. Turime tokius ryšius: n = kd,
jei n = 3, k = 3, tai d = 1; jei n = 9, k = 3, tai d = 2; jei n = 27, k = 3, tai d = 3.
jei n = 4, k = 4, tai d = 1; jei n = 16, k = 4, tai d = 2; jei n = 64, k = 4, tai d = 3. Erdvės matmuo išreiškiamas sveikaisiais skaičiais: d = 1, 2, 3; jei n = 64, d reikšmė yra
Rodomi penki Koch trūkinės linijos konstravimo žingsniai: vienetinio ilgio atkarpa (a), padalinta į tris dalis (k = 3), iš keturių dalių (n = 4) - laužtinė linija (b); kiekvienas tiesus segmentas yra padalintas į tris dalis (k2 = 9) ir iš 16 dalių (n2 = 16) - laužyta linija (c); procedūra kartojama k3 = 27 ir n3 = 64 – trūkinė linija (g); kai k5 = 243 ir n5 = 1024 – trūkinė linija (e).
Matmenys
Tai trupmeninis arba fraktalinis matmuo.
Kocho polilinija, kurią 1904 m. pasiūlė Helgas von Kochas, veikia kaip fraktalas, tinkamas pakrantės linijos tvirtumui modeliuoti. Mandelbrotas į pakrantės tiesimo algoritmą įtraukė atsitiktinumo elementą, tačiau tai neturėjo įtakos pagrindinei išvadai dėl pakrantės ilgio. Nes riba
Pakrantės ilgis linkęs iki begalybės dėl begalinio pakrantės atšiaurumo.
Pakrantės išlyginimo procedūra pereinant nuo detalesnio mastelio prie ne tokio detalumo, t.y.
Kocho snaigė (Koch fraktalas)
Konstravimo pagrindu galite paimti ne vienetinio ilgio segmentus, o lygiakraštį trikampį, kurio kiekvienoje pusėje galite išplėsti nelygumų dauginimo procedūrą. Šiuo atveju gauname Kocho snaigę (pav.), ir trijų tipų: naujai suformuoti trikampiai nukreipti tik į išorę nuo ankstesnio trikampio (a) ir (b); tik viduje (in); atsitiktinai į išorę arba į vidų (d ir e). Kaip galite nustatyti Kocho fraktalo konstravimo procedūrą.
Ryžiai. Snaigė Kochas
Fig. parodytos dvi vektorinės diagramos; Skaičiai virš rodyklių tikriausiai sukels klausimą: ką jie reiškia? Vektorius 0 sutampa su teigiama abscisių ašies kryptimi, nes jo fazės koeficientas exp (i2πl/6) esant l = 0 išlaiko savo kryptį. 1 vektorius vektoriaus 0 atžvilgiu pasukamas 2π/6 kampu, kai l= 1. 5 vektorius turi fazės koeficientą exp (i2π5/6), l = 5. Paskutinis vektorius turi tokį patį fazės koeficientą kaip ir pirmasis ( l = 0). Sveikieji skaičiai l apibūdina vieneto vektoriaus fazės koeficiento kampą.
Pirmame žingsnyje (pav.) nurodoma rekursinė procedūra visiems tolesniems žingsniams ir ypač antrajam žingsniui (pav.). Kaip pereiti nuo skaičių aibės φ1 = (0 1 5 0) į φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0)? Atsakymas: per tiesioginį matricos dauginimą, kai kiekvienas vienos matricos elementas padauginamas iš pradinės matricos. Kadangi šiuo atveju turime reikalą su vienmačiu masyvu, t.y. Kadangi matricos yra vektoriai, kiekvienas vienos matricos-vektoriaus elementas padauginamas iš visų kitos matricos-vektoriaus elementų. Be to, matricos-vektoriaus φ1 elementai susideda iš eksponentinių funkcijų exp (i2πl/6), todėl 10 dauginant skaičių h reikės pridėti pagal mod (6), o ne dauginti.
