Ilgis pakrantės linija

Ar tai išmatuojama?
Ar turime teisę vadovėliuose nurodyti ilgį?
pakrantės ir ar mums nebus gėda,
paklausti šio skaičiaus iš studentų?

K.S. LAZARevičius

Geografijos pamokose dirbame su daugybe statistinių rodiklių. Dauguma jų atrodo labai paprastai ir aiškiai: tiek milijonas žmonių, tiek milijonų tonų anglies, tiek kilometrų. Bet tai yra, jei apie tai negalvoji. Bet jūs tiesiog turite įsigilinti į bet kurį skaičių ir jis nustoja būti aiškus. Kartais jis subyra į dulkes. Štai pavyzdžiai.
Atidarome neseniai išleistą Pasaulio atlasą, kuris ką tik pasirodė prekyboje (M.: Federalinė valstybinė vieninga įmonė kartografijos gamybos asociacija, 2003). Lentelėje „Pasaulio valstybės ir teritorijos“ randame: „Prancūzijos sostinė yra Paryžius (2 125,2 tūkst. gyv.). Jei studentas per egzaminą pateikia tokį skaičių, ar egzaminuotojas bus patenkintas? Juk Paryžius yra vienas iš didžiausi centrai Europa ir ne mažiau nei Sankt Peterburgas. Tačiau pateiktoje figūroje nėra jokios klaidos: tai yra Paryžius administracinės ribos Paryžiaus miestas. Ir tikrai susiformavusio miestų klasterio ribose tai yra dešimties milijonų dolerių kainuojantis miestas.
Daug kas priklauso nuo to, kaip skaičiuosi.
Tai nereiškia, kad kaip atsakymą galime priimti bet kurį skaičių nuo 2,2 iki 10; Cituodamas tą ar kitą skaičių, mokinys turi suprasti, kas už jo slypi, kas ir kaip matuojama. Milijonas tonų kaloringų anglių ir rusvųjų anglių yra skirtingi milijonai. Bet atrodė, kad kilometrai. Kilometras Afrikoje taip pat yra kilometras. O kas matuojama kilometrais, galima suabejoti? Bet pasirodo, net ir nurodydamas ilgius kilometrais, vadovėlio autorius pirmiausia turi pagalvoti. Mokytojas, naudodamasis vadovėliu, taip pat turi kritiškai išanalizuoti figūrą prieš transliuodamas ją mokiniams ir reikalaudamas įsiminti. Mes skaitome vadovėlį 10 klasei: „Kanada turi prieigą prie trijų vandenynų ir

Netaisyklingos kreivės žemėlapyje gali būti išmatuotos naudojant kreivmetrą – šio prietaiso ratas ridenamas išilgai kreivės, atidžiai fiksuojant kiekvieną kreivę. Tačiau pakrantės vingiuotumas dažnai toks didelis, kad jo neįmanoma sekti kreivmetru. Turite eiti išilgai kreivės su matavimo kompasu. Patogiausias žingsnio ilgis yra 2 mm. Skirtingomis mastelėmis šis žingsnis, žinoma, atitinka skirtingus atstumus, toks matavimas niekada neduos tikslaus ilgio, nes kiekvienas žingsnis ištiesina kreivę per mažą segmentą, bet santykinė klaida daugiau ar mažiau išsaugotas.
Dėl pavyzdžio pabandykime išmatuoti Čiukotkos autonominio krašto pakrantės ilgį. Paimkime žemėlapį iš Rusijos geografijos mokyklų atlaso (1: 22 000 000) ir nueikime visą Čiukčių pakrantę dviejų milimetrų kompaso laipteliu (44 km). Rezultatas bus 4300 km (98 kompaso žingsniai). Atlikime tą patį matavimą naudodami mastelio žemėlapį
1: 7 500 000 Čia jau suskaičiuosime 345 dviejų milimetrų (15 km) žingsnius, tai yra
5200 km. Logiška manyti, kad jei žemėlapis naudojamas matavimams didesniu mastu, išmatuota pakrantės linija taps dar ilgesnė.
Padarykime dar vieną eksperimentą. Leningrado srities pakrantės ilgis. žemėlapyje
1: 22 000 000 - 300 km, pagal žemėlapį 1: 2 500 000 - 555 km, o pagal topografinis žemėlapis
1: 500 000 - 670 km. Tuo pačiu metu vien Vyborgo įlankos (kur krantai ypač raižyti įlankomis ir įlankomis) pakrantės ilgis, matuojant pagal topografinį žemėlapį, yra 338 km. mokyklos atlasas- 65 km (skirtumas daugiau nei
5 kartus!).
Taigi, didėjant mastui, išmatuotos pakrantės ilgis natūraliai didėja. Priežastis yra ne tik tai, kad dviejų milimetrų kompaso žingsnis atitinka vis mažesnę vertę ant žemės, bet daugiausia dėl to, kad pati linija, net jei ji yra labai tiksliai išmatuota ir konvertuojama pagal skalę kilometrais, iš tikrųjų tampa ilgiau (1 pav.) . Rusijos žemėlapyje prie Leningrado srities kranto. Matomos tik Vyborgo įlankos, Nevos įlankos ir nedideli pietinės Suomijos įlankos pakrantės vingiai. 1: 2 500 000 mastelio žemėlapyje Vyborgo įlankos kontūrai jau gana sudėtingi, o pietuose aiškiai matomos Koporskos ir Lugos įlankos. Pusės milijono metų senumo žemėlapyje Vyborgo įlankoje yra daug kitų mažų įlankų, kai kurios iš jų tikriniai vardai(Baltietso įlanka, Kliučevskajos įlanka), ir tik pietinė pakrantė Suomijos įlanka atrodo mažai pasikeitusi, palyginti su ankstesniu mastu, pakrantė yra daug ne tokia tvirta.

Kaip nustatyti tikslų pakrantės ilgį?
Tokį tikslą sau išsikėlė anglų meteorologas Richardsonas, bandymų poligonu pasirinkęs gimtąją salą Didžiąją Britaniją. Jis padarė išvadą, kad pakrantės ilgis didėja didėjant žemėlapio, kuriuo matuojamas šis ilgis, mastelis (2 pav.). Ar yra šio padidėjimo ribos? Vargu ar. Pakrantės ilgį didina kiekviena maža į jūrą kyšanti smėlio iešma, kiekviena įduba, sukurianti mažytę įlanką, kiekvienas aplink vandenį tekantis akmenukas. Net ir didžiausio mastelio žemėlapyje jų nematyti, tačiau iš tikrųjų visi šie pakrantės nelygumai egzistuoja.

Yra daug pavyzdžių, kaip matematinių metodų naudojimas gali padaryti geografinius tyrimus įtikinamesnius ir patikimesnius. Čia atsitiko priešingai: geografiniai tyrimai – pakrantės ilgio tyrimas – prisidėjo prie naujos matematinė sąvoka. Angliškas šios sąvokos pavadinimas yra fraktalas, tačiau rusų kalba jis dar nėra visiškai nusistovėjęs ir randamas trimis versijomis: fraktalas(genityvas ir instrumentinės bylos valios fraktalas, fraktalas), fraktalas vyriškoje lytyje ( fraktalas, fraktalas) Ir fraktalas moteriškoje lytyje ( fraktalai, fraktalas); už pastaruoju metu atrodo, kad linksta.
fraktalas
Fraktalas yra linija, kurios kiekvienas fragmentas tampa be galo sudėtingesnis, kiekvieno fragmento ir visos linijos ilgis nuolat didėja. Pavyzdys yra figūra, paprastai vadinama Kocho snaigė, nors šis pavadinimas yra neteisingas: ši snaigė buvo pastatyta XX amžiaus pradžioje. Helga von Koch ir jos pavardė neturėtų būti atmesta. Paimkime lygiakraštis trikampis . Padalinkime kiekvieną kraštinę į tris lygias dalis ir kiekvienos kraštinės vidurinėje atkarpoje sukurkime lygiakraštį trikampį. Gausite įprastą šešiakampę žvaigždę, figūrą su šešiais išgaubti kampai ir šeši ateinantys. Padalinkime kiekvieną jos kraštinę (o šių kraštinių yra 12) į tris lygias dalis ir vėl sukonstruokime lygiakraštį trikampį kiekvienos kraštinės vidurinėje atkarpoje. Rezultatas bus 48 kraštinių figūra su 18 išgaubtų ir 30 pasikartojančių kampų. Šios operacijos kartojimas kartų (tai galima padaryti, žinoma, tik mintyse), gauname figūrą, kurios plotas nuolat didėja, bet vis lėčiau, palaipsniui artėdamas prie tam tikros ribos (3 pav.). Šios figūros perimetras didėja neribotai, nes kiekvieną kartą statant naują lygiakraštį trikampį figūros kraštinėje, kad ir koks jis mažas jis būtų, trys vienodi šios kraštinės segmentai pakeičiami keturiais vienodais, taigi ir kiekvienos kraštinės ilgis. (taigi ir visas perimetras) padidėja 4/3 kartų, o bet koks skaičius, didesnis už vienetą iki laipsnio, lygaus begalybei (o konstrukciją atliekame begalinį skaičių kartų) linksta į begalybę.

Snaigės kraštas bus panašus į plačią, gauruotą liniją, kuri užpildo visą pasienio zonaši figūra. Klasikinės matematikos požiūriu absurdiškos „plačios linijos“, „storo paviršiaus“ sąvokos (ten linija neturi pločio, o paviršius – storio), pilietybės teises įgijo tobulėjant fraktalų teorijai. . Manoma, kad tiesė yra vienmatė, ji turi tik ilgį, taško padėtį joje lemia viena koordinatė; paviršius yra dvimatis, turi plotą, taško padėtis jame nustatoma pagal dvi koordinates; kūnas yra trimatis, turi tūrį, reikia trijų koordinačių. O fraktalų teorija įveda trupmeninės dimensijos sampratą: linija netapo dvimatė, o nustojo būti vienmatė. Tai gana sunkiai suprantama nepasiruošusiam žmogui (pusantro karto negalima čiaudėti), bet jei prisiminsime, kaip elgiasi pakrantė - ne tik žemėlapyje, bet ir gamtoje, kaip ji keičiasi pažiūrėjus tai, pritūpę, tada atsistoję visu ūgiu, tada kopdami į kalną, tada pakildami į lėktuvą ar erdvėlaivį, mes ne tiek suprasime, kiek pajusime, ką sudėtinga sistema
atstovauja šiai linijai; Jai tikrai neužtenka vienos savybės – ilgio. O fraktalų teorija, gimusi iš geografinių tyrimų, pati ateina į pagalbą geografijai. Reljefo, kaip fraktalo, tyrimo metodas dar nebuvo sukurtas, bet tikrai žada. Žiūrint į reljefą viduje, nubraižę jį nedidelio mastelio žemėlapyje, matome kalnų grandines, plynaukštes ir gilius slėnius. Vidutiniu mastu jau atsiranda kalvos, nedideli slėniai, daubos. Dar didesnis – ir ant smėlio matosi kauburėliai ir vėjo raibuliavimas. Bet tai ne riba: yra pavienių akmenukų ir smėlio grūdelių. Praktiškai visa tai svarbu, nes reikia išmokti teisingai atrinkti objektus vaizduoti įvairaus mastelio žemėlapiuose; Viena pagrindinių žemėlapių sudarytojų klaidų – žemėlapio turinio ir jo mastelio neatitikimas žemėlapis yra arba per mažas, arba perkrautas.
Bet ką daryti su pakrantės ilgiu?
Atsisakyti jį matuoti, nes jis neišmatuojamas? Ne, tai nėra pasirinkimas. Tiesiog, pateikiant pakrantės ilgį, visada reikia nurodyti, kokio mastelio žemėlapiuose ir kokiu būdu ji buvo išmatuota. Ir būtinai tuo pat metu nurodykite, ar buvo atsižvelgta į salų pakrantę, ar ne. Nenurodžius žemėlapių mastelio ir ar įtrauktos salos, bet kokie duomenys apie pakrantės ilgį netenka prasmės. Deja, net ir šaltiniuose, kurie teigia esą visiškai patikimi, galima rasti baisių absurdų. Pavyzdžiui, garsioji CŽV svetainė " Pasaulis Faktų knyga“. Čia pateikiami kiekvienos šalies ir vandenyno pakrantės duomenys, tačiau matavimo metodas nenurodytas. Dėl to Kanados pakrantė yra daugiau nei 200 tūkst. km, Arkties vandenynas - 45,4 tūkst. km, Atlanto vandenynas - 111,9 tūkst. km (duomenys pateikiami - negalvokite apie tai neteisingai! artimiausias kilometras). Kanada buvo svarstoma atsižvelgiant į salas, tai neabejotina; Kaip buvo vertinami vandenynai, nežinoma, tačiau dviejų iš trijų Kanadą supančių vandenynų pakrantės sudaro mažiau nei vien Kanados pakrantės. Norvegijoje šis skaičius yra 21 925 km ir pateikiama pastaba: „Žemyninė dalis 3 419 km, didelės salos 2413 km, ilgi fiordai, daug mažų salelių ir nedidelių vingių [pažodžiui išvertus įpjovos] pakrantė 16 093 km. Bendra suma tiksliai tokia, kokia nurodyta

Paradokso pavyzdys: jei JK pakrantė matuojama 100 km atkarpomis, tai jos ilgis yra maždaug 2800 km. Jei naudojami 50 km ruožai, ilgis yra maždaug 3400 km, tai yra 600 km ilgesnis.

Pakrantės ilgis priklauso nuo to, kaip ji matuojama. Kadangi sausumos masyvą galima apibūdinti bet kokio dydžio kreivėmis, nuo šimtų kilometrų iki milimetro ar mažesnių dalių, nėra aiškaus būdo pasirinkti mažiausio elemento, kurį reikėtų matuoti, dydį. Vadinasi, vienareikšmiškai nustatyti šios srities perimetro neįmanoma. Šiai problemai išspręsti yra įvairių matematinių aproksimacijų.

Pagrindinis ribos arba pakrantės ilgio įvertinimo metodas buvo uždėjimas N vienodi segmentai ilgio lžemėlapyje arba aeronuotraukoje naudojant kompasą. Kiekvienas atkarpos galas turi priklausyti matuojamai ribai. Išnagrinėjęs ribų vertinimo neatitikimus, Richardsonas atrado tai, kas dabar vadinama Richardsono efektas: matavimo skalė yra atvirkščiai proporcinga bendram visų segmentų ilgiui. Tai yra, kuo trumpesnė naudojama liniuotė, tuo ilgesnė išmatuota riba. Taigi ispanų ir portugalų geografai tiesiog vadovavosi skirtingų mastelių matavimais.

Ričardsonui ryškiausia buvo tai, kad kai vertė l linkęs į nulį, pakrantės ilgis linkęs į begalybę. Iš pradžių Richardsonas, remdamasis euklido geometrija, manė, kad šis ilgis pasieks fiksuotą vertę, kaip ir įprastų. geometrines figūras. Pavyzdžiui, perimetras taisyklingas daugiakampis, įrašytas į apskritimą, didėjant kraštinių skaičiui (ir mažėjant kiekvienos kraštinės ilgiui), artėja prie paties apskritimo ilgio. Geometrinių matavimų teorijoje lygi kreivė, tokia kaip apskritimas, kurią galima apytiksliai pavaizduoti mažų segmentų pavidalu su tam tikra riba, vadinama ištaisoma kreive.

Praėjus daugiau nei dešimčiai metų po to, kai Richardsonas baigė savo darbą, Mandelbrotas sukūrė naują matematikos šaką – fraktalinę geometriją, kad apibūdintų tokius gamtoje egzistuojančius neištaisomus kompleksus, kaip begalinė pakrantė. Jo savo apibrėžimą Fraktalas, kaip jo tyrimo pagrindas, yra toks:

Aš sugalvojau žodį fraktalas, remiantis lotynišku būdvardžiu fractus. Atitinkamas lotyniškas veiksmažodis frangere reiškia pertrauka: sukurkite netaisyklingus fragmentus. Todėl pagrįsta, kad, be „fragmentinio“, fractus taip pat turi reikšti „netaisyklingas“.

Pagrindinė fraktalų savybė yra savęs panašumas, kurį sudaro to paties pasireiškimas bendra figūra bet kokiu mastu. Pakrantė suvokiama kaip įlankų ir kyšulių kaita. Hipotetiškai, jei tam tikra pakrantė turi panašumo savybę, nesvarbu, kiek viena ar kita dalis būtų išskleista, vis tiek bus panašus mažesnių įlankų ir pakraščių modelis, išsidėstęs ant didesnių įlankų ir pakraščių, iki pat pakrančių grūdelių. smėlio. Tokiais masteliais pakrantė atrodo kaip akimirksniu besikeičianti, galimai begalinė gija su stochastiniu įlankų ir pakraščių išsidėstymu. Esant tokioms sąlygoms (o ne lygioms kreivėms), Mandelbrotas teigia: „Krantės ilgis yra sunkiai suprantama sąvoka, slystanti tarp pirštų tiems, kurie bando tai suprasti.

kur pakrantės ilgis L yra vieneto ε funkcija ir yra aproksimuotas pagal išraišką dešinėje. F yra konstanta, D yra Richardsono parametras, priklausomai nuo pačios pakrantės (Richardsonas nepateikė teorinis paaiškinimasšis dydis, tačiau Mandelbrotas apibrėžė D kaip Hausdorff dimensijos, vėliau fraktalinės dimensijos, nesveiko skaičiaus formą. Kitaip tariant, D yra praktiškai išmatuota „šiurkštumo“ reikšmė). Persigrupavęs dešinėje pusėje posakius, gauname:

čia Fε -D turi būti ε vienetų, reikalingų L gauti, skaičius. Fraktalo dimensija yra objekto matmenų skaičius, naudojamas aproksimuoti fraktalą: 0 – taškas, 1 – linija, 2 – ploto figūros. Kadangi trūkinė linija, matuojanti pakrantės ilgį, nesitęsia viena kryptimi ir tuo pačiu neatspindi ploto, D reikšmė išraiškoje tarpinė padėtis tarp 1 ir 2 (pakrantėje paprastai mažiau nei 1,5). Jis gali būti interpretuojamas kaip stora linija arba 2ε pločio juostelė. Turi daugiau „sulaužytų“ pakrančių didesnę vertę D ir tokiu būdu L yra ilgesnis tam pačiam ε. Mandelbrotas parodė, kad D nepriklauso nuo ε.

Apskritai pakrantės skiriasi nuo matematinių fraktalų, nes jos formuojamos naudojant daugybę smulkių detalių, kurios sukuria šablonus tik statistiškai.

Iš tikrųjų pakrantėse nėra smulkesnių nei 1 cm detalių [ ] . Taip yra dėl erozijos ir kitų jūrinių reiškinių. Daugumoje vietų minimalus dydis yra daug didesnis. Todėl begalinis fraktalinis modelis netinka pakrantėms.

Praktiniais sumetimais pasirinkite minimalų dalių dydį, atitinkantį matavimo vienetų eilę. Taigi, jei pakrantė matuojama kilometrais, tada nedideli pakeitimaiį daug mažesnes nei vieno kilometro linijas tiesiog neatsižvelgiama. Norint išmatuoti pakrantę centimetrais, reikia atsižvelgti į visus nedidelius vieno centimetro skirtumus. Tačiau centimetrų skalėje turi būti daromos įvairios savavališkos ne fraktalinės prielaidos, pavyzdžiui, kur estuarija susijungia su jūra arba tose vietose, kur matavimai turi būti atliekami plačiais vatais. Be to, naudojimas įvairių metodų skirtingų matavimo vienetų matavimai neleidžia konvertuoti šių vienetų naudojant paprastą daugybą.

Būsenai nustatyti teritoriniai vandenys stato vadinamąsias Kanados Britų Kolumbijos provincijos pakrantės kreives, kurios sudaro daugiau nei 10 % Kanados pakrantės ilgio (atsižvelgiant į visas Kanados Arkties salyno salas) – 25 725 km iš 243 042; km tiesiniu atstumu tik 965 km

Studijuodami geografiją, žinoma, atsiminkite, kad kiekviena šalis turi savo plotą ir sienos ilgį, ypač jei šalį skalauja jūra ar vandenynas, tada ji turi tam tikro ilgio jūrinę sieną. Ar kada nors susimąstėte, kaip nustatomas šis krašto ilgis? 1977 m. amerikiečių matematikas Benoit Mandelbrot nustatė save kitas klausimas: Koks JK pakrantės ilgis? Paaiškėjo, kad į šį „vaikišką klausimą“ teisingai atsakyti neįmanoma. 1988 metais norvegų mokslininkas Jensas Federas nusprendė išsiaiškinti Norvegijos pakrantės ilgį. Atkreipkite dėmesį, kad Norvegijos pakrantė yra smarkiai išraižyta fiordų. Kiti mokslininkai uždavė sau panašius klausimus apie Australijos pakrančių ilgį, Pietų Afrika, Vokietija, Portugalija ir kitos šalys.

Pakrantės ilgį galime išmatuoti tik apytiksliai. Tolstant tenka matuoti vis daugiau mažų pakraščių ir įlankų – pakrantės ilgis ilgėja, o mastelio mažinimui (taigi ir pakrantės ilgiui) tiesiog nėra objektyvių ribų; esame priversti pripažinti, kad ši linija turi begalinis ilgis. Žinome, kad tiesės matmuo yra vienas, kvadrato – du, o kubo – trys. Mandelbrotas pasiūlė naudoti trupmeninius matmenis – Hausdorff – Besicovitch matmenis, kad būtų galima išmatuoti „monstriškas“ kreives. Be galo sulaužytos kreivės, pavyzdžiui, pakrantės linija, nėra visiškai linijos. Atrodo, kad jie „šluoja“ dalį plokštumos, kaip paviršių. Bet jie taip pat nėra paviršiai. Tai reiškia, kad pagrįsta manyti, kad jų matmenys yra daugiau nei vienas, bet ir mažesnis nei du, tai yra, tai yra trupmeninių matmenų objektai.

Norvegų mokslininkas E. Federas pasiūlė kitą būdą išmatuoti pakrantės ilgį. Žemėlapis buvo padengtas kvadratine tinkleliu, kurio langeliai turi matmenis e? e. Matyti, kad tokių langelių, kurios dengia pakrantę žemėlapyje, skaičius N(e) yra maždaug lygus žingsnių skaičiui, per kurį galima apeiti pakrantę žemėlapyje, naudojant kompasą su sprendimu e. Jei e sumažinamas, skaičius N(e) padidės. Jei JK pakrantės ilgis turėjo tam tikrą ilgį L, tada kompaso žingsnių skaičius su sprendimu (arba skaičius kvadratinės ląstelės

N(e) dengianti pakrantę žemėlapyje) būtų atvirkščiai proporcinga e, o reikšmė Ln (e)=N(e) ? Deja, daugelio mokslininkų atlikti skaičiavimai parodė, kad tai nėra visiškai tiesa. Mažėjant žingsniui, išmatuotas ilgis didėja. Paaiškėjo, kad ryšį tarp išmatuoto ilgio L(e) ir žingsnio e galima apibūdinti apytiksliu ryšiu Koeficientas D vadinamas fraktaliniu matmeniu. Žodis fraktalas kilęs iš

Lotyniškas žodis

Panašiai, jei uždaras ribotas plotas plokštumoje (4 pav.) yra padengtas kvadratine tinkleliu, kurio kraštinė yra e, tada minimalus kvadratų, kurių kraštinė e, dengiantis plotą, skaičius bus lygus

Jei laikysime uždarą ribotą regioną trimatė erdvė ir paimkite kubą su briauna e, tada kubelių, užpildančių šią sritį, skaičius yra

Nustatykime fraktalų matmenis pagal tai, kas buvo nurodyta aukščiau bendras atvejis taip:

Paimkime kairės ir dešinės pusių logaritmą

Pereinant prie ribos, nes e linkęs į nulį (N linkęs į begalybę), gauname

Ši lygybė yra matmens apibrėžimas, kuris žymimas d.

Gerai žinomas faktas:

Paradokso pavyzdys: jei JK pakrantė matuojama 100 km atkarpomis, tai jos ilgis yra maždaug 2800 km. Jei naudojami 50 km ruožai, ilgis yra maždaug 3400 km, tai yra 600 km ilgesnis.

Pakrantės ilgis priklauso nuo to, kaip ji matuojama. Kadangi sausumos masyvą galima apibūdinti bet kokio dydžio kreivėmis, nuo šimtų kilometrų iki milimetro ar mažesnių dalių, nėra aiškaus būdo pasirinkti mažiausio elemento, kurį reikėtų matuoti, dydį. Vadinasi, vienareikšmiškai nustatyti šios srities perimetro neįmanoma. Šiai problemai išspręsti yra įvairių matematinių aproksimacijų.

Prieš susipažindami su pirmojo tipo fraktalais – būtent su kreivėmis, kurių fraktalų matmenys viršija 1 – panagrinėkime tipišką kurio nors kranto atkarpą. Akivaizdu, kad jo ilgis negali būti mažesnis už tiesios linijos atstumą tarp jo pradžios ir pabaigos taškų. Tačiau, kaip taisyklė, pakrantės turi netaisyklingos formos- jie yra vingiuoti ir sulūžę, o jų ilgis, be jokios abejonės, gerokai viršija atstumus tarp jų kraštutinių taškų, matuojant tiesia linija.

Yra daug būdų, kaip tiksliau įvertinti pakrantės ilgį, ir šiame skyriuje panagrinėsime kai kuriuos iš jų. Pabaigoje padarysime labai nuostabią išvadą: pakrantės ilgis yra labai slidi sąvoka, ir jūs negalite jos suvokti plikomis rankomis. Kad ir kokį matavimo metodą naudotume, rezultatas visada yra tas pats: tipinės pakrantės ilgis yra labai ilgas ir taip blogai apibrėžtas, kad patogiausia jį laikyti begaliniu. Vadinasi, jei kas nors nuspręs palyginti skirtingus krantus jų ilgio požiūriu, jis turės rasti kuo pakeisti ilgio sąvoką, kuri ši byla netaikoma.

Šiame skyriuje pradėsime ieškoti tinkamo pakaitalo, o paieškos procese neišvengsime susipažinti su įvairių formų fraktalinės dimensijos, matų ir kreivės sąvokos.

ALTERNATYVŪS MATAVIMO METODAI

A metodas. Nustatykime matavimo kompaso angą iki tam tikro ilgio, kurį vadiname žingsnio ilgiu, ir eikime su šiuo kompasu mus dominančia pakrantės linija, kiekvieną naują žingsnį pradėdami nuo tos vietos, kur baigėsi ankstesnis. Žingsnių skaičius, padaugintas iš ilgio e, gaus apytikslį kranto ilgį. Iš mokyklos žinome, kad jei kartosime šią operaciją, kiekvieną kartą mažindami kompaso atidarymą, galime tikėtis, kad reikšmė greitai pasieks kažkokią labai konkrečią vertę, vadinamą tikruoju ilgiu. Tačiau tai, kas iš tikrųjų vyksta, neatitinka mūsų lūkesčių. Įprastu atveju stebimas ilgis be apribojimų didėja.

Tokio elgesio priežastis yra akivaizdi: jei pažvelgsite į kokį nors pusiasalį ar įlanką 1/100 000 ir 1/10 000 mastelio žemėlapiuose, tada paskutinis žemėlapis aiškiai galime išskirti mažesnius pusiasalius ir įlankas, kurių pirmajame nebuvo matyti. Tos pačios vietovės žemėlapis, padarytas 1/1000 masteliu, mums parodys dar mažesnius pusiasalius ir įlankelius ir t.t. Kiekviena nauja detalė padidina bendrą banko ilgį.

Aukščiau pateiktoje procedūroje daroma prielaida, kad kranto linija yra per netaisyklingos formos, kad jos ilgis būtų tiesiogiai pavaizduotas kaip paprastų geometrinių kreivių, kurių ilgius galima rasti žinynuose, ilgių suma. tai yra A metodas pakrantę pakeičia seka laužytos linijos, sudarytas iš tiesių atkarpų, kurių ilgį galime nustatyti.

B metodas. Tą patį „išlyginimą“ galima pasiekti kitais būdais. Įsivaizduokite žmogų, einantį pakrante trumpiausias maršrutas, kurio trajektorija niekada nenukrypsta nuo vandens toliau nei ties nurodytas atstumas. Pasiekęs pabaigos taškas, jis grįžta, šiek tiek sumažindamas . Tada vėl ir vėl, kol galiausiai vertė pasiekia, tarkime, 50 cm. Toliau jos sumažinti neįmanoma, nes žmogus per didelis ir nerangus, kad galėtų atsekti detalesnę trajektoriją. Man gali būti prieštaraujama, kad šios nepasiekiamos smulkmenos, pirma, iš karto nedomina žmonių, ir, antra, jos gali taip reikšmingai keistis priklausomai nuo metų laiko ir potvynio aukščio, kad jų išsamus įrašymas paprastai prarandamas. visa prasmė. Pirmąjį iš šių prieštaravimų apsvarstysime vėliau šiame skyriuje. Kalbant apie antrąjį prieštaravimą, jį galima neutralizuoti apsiribojus uolėtu krantu atoslūgio metu ir ramiu vandeniu. Iš esmės žmogus gali atsekti detalesnes apytiksles kreives, į pagalbą pasikviesdamas pelę, paskui skruzdėlę ir pan. Ir vėl, kai mūsų vaikščiotojas eina vis arčiau vandens keliu, atstumas, kurį jis turi įveikti, didėja neribotai.

C metodas. B metodas reiškia tam tikrą asimetriją tarp vandens ir kranto. Kad būtų išvengta šios asimetrijos, Kantoras pasiūlė žiūrėti į pakrantę tarsi per nesufokusuotą objektyvą, dėl kurio kiekvienas taškas virsta apvalia spindulio dėmė. Kitaip tariant, Kantoras laiko visus taškus – tiek sausumoje, tiek vandenyje – atstumą, nuo kurio iki pačios pakrantės neviršija . Šie taškai sudaro savotišką dešrą arba pločio juostelę (tokios „dešros“ pavyzdys – nors ir kitokiame kontekste – parodytas 56 pav.). Išmatuokime gautos juostos plotą ir padalinkime iš. Jei pakrantės linija būtų tiesi, juosta būtų stačiakampio formos, o aukščiau aprašytu būdu rasta vertė būtų tikrasis pakrantės ilgis. Kai kalbame apie tikras pakrantes, gauname apytikslį ilgio įvertinimą, kuris be apribojimų didėja kaip .

MetodasD. Įsivaizduokite žemėlapį, sudarytą puantilistų menininkų būdu, ty žemėlapį, kuriame žemynai ir vandenynai pavaizduoti spalvotomis apvaliomis spindulio dėmėmis. Užuot laikę dėmių centrus taškais, priklausančiais pakrantės linijai, kaip taikant C metodą, reikalausime, kad dėmių, kurios visiškai paslepia liniją, skaičius būtų mažiausias. Dėl to dėmės prie kyšulių dažniausiai bus sausumoje, o prie įlankų – jūroje. Apskaičiuotas pakrantės ilgis čia bus dėmių padengtą plotą padalijus iš . Šio vertinimo „elgesys“ taip pat palieka daug norimų rezultatų.

MATAVIMO REZULTATŲ ATSITIKTINIMAS

Apibendrinant ankstesnį skyrių, pastebime, kad bet kurio iš keturių metodų naudojimo rezultatas visada yra toks pat. Kai e mažėja, apytikslis kreivės ilgis linkęs į begalybę.

Norėdami tinkamai suprasti šio fakto reikšmę, atlikime panašų bet kurios įprastos Euklido kreivės ilgio matavimą. Pavyzdžiui, tiesiosios linijos atkarpoje apytiksliai apskaičiuoti matavimo duomenys iš esmės sutampa ir nustato reikiamą ilgį. Apskritimo atveju apytikslė vertė ilgis didėja, bet gana greitai veržiasi iki tam tikros ribos. Kreivės, kurių ilgį galima nustatyti tokiu būdu, vadinamos ištaisytomis.

Dar labiau pamokoma pabandyti išmatuoti kai kurių žmogaus prijaukintų pakrančių ilgį – tarkime, pakrantę netoli Čelsio, kokia ji atrodo šiandien. Kadangi žmonės vis tiek palieka nepakitusias labai dideles reljefo klostes, mes savo kompase įdiegsime labai didelį sprendimą ir palaipsniui jį sumažinsime. Kaip ir galima tikėtis, pakrantės ilgis padidės.

Tačiau yra vienas įdomi savybė: toliau mažindami, neišvengiamai atsiduriame kokioje nors tarpinėje zonoje, kur ilgis beveik nesikeičia. Ši zona tęsiasi nuo maždaug 20 m iki 20 cm (labai apytiksliai). Kai jis tampa mažesnis nei 20 cm, ilgis vėl pradeda didėti – dabar matavimo rezultatui įtakos turi atskiri akmenys. Taigi, jei nubraižysite vertės pokyčio grafiką kaip funkciją, tada, be jokios abejonės, panašiuose grafikuose rasite plokščią plotą, kurio e reikšmės yra nuo 20 m iki 20 cm. natūralioms „laukinėms“ pakrantėms tokių plokščių plotų nepastebima.

Akivaizdu, kad šioje plokščioje zonoje atlikti matavimai turi didžiulę praktinę vertę. Kadangi ribos tarp skirtingų mokslo disciplinas daugiausia yra mokslininkų susitarimo dėl darbo pasidalijimo rezultatas, mes galime, pavyzdžiui, visus reiškinius, kurių mastelis viršija 20 m, tai yra tuos, kurių žmogus dar nepasiekė, perkelti į geografijos katedrą. Toks apribojimas suteiks mums labai specifinį geografinį ilgį. pakrantės apsauga gali sėkmingai naudoti tą pačią reikšmę darbui su „laukiniais“ krantais, o enciklopedijos ir almanachai visiems nurodys atitinkamą ilgį.

Kita vertus, man sunku įsivaizduoti, kad visos suinteresuotos valstybinės institucijos, net ir kurios nors vienos šalies, susitars tarpusavyje vartoti vieną reikšmę, o jos perėmimas visose pasaulio šalyse yra visiškai neįsivaizduojamas. Richardsonas pateikia tokį pavyzdį: ispanų ir portugalų enciklopedijose pateikiami skirtingi ilgiai sausumos siena tarp šių šalių, o skirtumas yra 20 % (tas pats yra su Belgijos ir Nyderlandų siena). Šis neatitikimas iš dalies turi būti paaiškintas skirtingais pasirinkimais. Empiriniai įrodymai, kuriuos trumpai aptarsime, rodo, kad tokiam skirtumui atsirasti pakanka, kad viena reikšmė nuo kitos skirtųsi tik du kartus; Be to, nenuostabu, kad maža šalis (Portugalija) atidžiau matuoja savo sienų ilgį nei didžioji kaimynė.

Antrasis ir svarbesnis argumentas prieš savavališką pasirinkimą yra filosofinio ir bendro mokslinio pobūdžio. Gamta egzistuoja nepriklausomai nuo žmogaus, ir kiekvienas, kuris suteikia per daug reikšmės kokiai nors konkrečiai reikšmei arba daro prielaidą, kad gamtos suvokimo proceso lemiama grandis yra žmogus su savo visuotinai priimtais standartais arba labai kintančiomis techninėmis priemonėmis. Jei pakrantės kada nors taps objektais mokslinius tyrimus, vargu ar galėsime įstatymais uždrausti pastebėtą neapibrėžtumą, susijusį su jų ilgiu. Kad ir kaip būtų, geografinio ilgio sąvoka nėra tokia nekenksminga, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Tai nėra visiškai „objektyvu“, nes tokiu būdu nustatant ilgį, stebėtojo įtaka yra neišvengiama.

SAVAVALINIŲ MATAVIMŲ REZULTATŲ PRIPAŽINIMAS IR SVARBĖ

Be jokios abejonės, daugelis žmonių mano, kad pakrantės yra nesumažinamos kreivės, ir šiuo klausimu nepamenu, kad kas nors galvotų kitaip. Tačiau mano paieška rašytinių įrodymų, patvirtinančių šią nuomonę, buvo beveik visiškai nesėkminga. Be antrajame skyriuje pateiktų Perrino citatų, Steinhauso straipsnyje yra ir toks pastebėjimas: „Didėjančio tikslumo matuojant kairiojo Vyslos kranto ilgį, galima gauti dešimtis, šimtus ir net tūkstančius. kartų didesnis, nei pateikia mokyklos žemėlapis.. Toks teiginys atrodo labai artimas tikrovei: dauguma gamtoje rastų lankų nėra ištaisomi. Šis teiginys prieštarauja populiariam įsitikinimui, kuris susiveda į tai, kad neištaisomi lankai yra matematinė fikcija, o gamtoje visi lankai yra ištaisomi. Iš šių dviejų prieštaringų teiginių, matyt, pirmasis turėtų būti laikomas teisingu. Tačiau nei Perrinas, nei Steinhausas nesivargino išsamiau išplėtoti savo spėjimų ir padaryti jų logišką išvadą.

K. Fadimanas pasakoja įdomią istoriją. Jo draugas Edwardas Kasneris kelis kartus atliko šį eksperimentą: jis „paklausė mažų vaikų, koks, jų nuomone, yra bendras JAV pakrantės ilgis. Vienam iš vaikų išsakius gana „pagrįstą“ spėjimą,... Kasneris... pakvietė pagalvoti, kiek šis skaičius galėtų padidėti, jei labai kruopščiai išmatuotų visų kyšulių ir įlankų perimetrą, tada lygiai taip pat kruopščiai atsektų. mažesni kyšuliai ir įlankėlės kiekviename iš šių kyšulių ir kiekvienoje iš šių įlankų, tada išmatuokite kiekvieną akmenuką ir kiekvieną smėlio grūdelį, sudarantį pakrantę, kiekvieną molekulę, kiekvieną atomą ir tt Paaiškėjo, kad krantas gali būti toks ilgas. tau patinka. Vaikai tai suprato iš karto, bet Kasneris turėjo problemų su suaugusiaisiais. Istorija, žinoma, labai graži, bet vargu ar ji turi ką nors bendro su mano paieškomis. Kasneris aiškiai nesiekė pabrėžti kažkokio tikrovės aspekto, kurį verta toliau tirti.

Taigi galima teigti, kad straipsnis ir knyga, kurią laikote rankose, iš esmės yra pirmieji šiai temai skirti darbai.

Savo knygoje „Valia tikėti“1 Williamas Jamesas rašo: „Tai, kas netelpa į klasifikavimo rėmus... visada yra turtinga didelių atradimų sritis. Bet kuriame moksle, aplink visuotinai priimtus ir užsakytus faktus, visada sukasi dulkėtas taisyklių išimčių debesis – reiškiniai, kurie yra subtilūs, nenuoseklūs, retai sutinkami, reiškiniai, kuriuos lengviau ignoruoti nei apsvarstyti. Kiekvienas mokslas siekia idealios būklės uždara ir griežta tiesų sistema... Reiškiniai, kurių negalima klasifikuoti sistemos viduje, laikomi paradoksaliais absurdais ir akivaizdžiai nėra tiesa. Jie yra apleisti ir atmesti remiantis geriausiais mokslinės sąžinės ketinimais... Kas rimtai tyrinėja netaisyklingus reiškinius, galės kurti naujas mokslas ant senojo pamato. Pasibaigus šiam procesui, atnaujinto mokslo taisyklės dažniausiai taps vakarykštėmis išimtimis.

Šiame esė, kurio kuklus tikslas – visiškas Gamtos geometrijos atnaujinimas, aprašomi reiškiniai taip neklasifikuojami, kad apie juos galima kalbėti tik gavus cenzoriaus leidimą. Su pirmuoju iš šių reiškinių susidursite kitame skyriuje.

RICHARDSONO EFEKTAS

Empirinis apytikslio ilgio pokyčio tyrimas, gautas naudojant A metodą, aprašytas Richardsono straipsnyje, kurio nuoroda per laimingą (arba lemtingą) atsitiktinumą man pasirodė. Į tai atkreipiau dėmesį tik todėl, kad daug girdėjau apie Lewisą Fry Richardsoną kaip apie išskirtinį mokslininką, kurio mąstymo originalumas buvo panašus į ekscentriškumą (žr. 40 skyrių). Kaip matysime 10 skyriuje, žmonija turi kai kurias giliausias ir ilgalaikes idėjas apie turbulencijos prigimtį. ypatingas dėmesys Tarp jų vertas tas, pagal kurį turbulencija suponuoja į save panašios kaskados atsiradimą. Jis taip pat dirbo su kitais sudėtingos problemos- pavyzdžiui, ginkluoto konflikto tarp valstybių pobūdis. Jo eksperimentai buvo klasikinio paprastumo pavyzdžiai, tačiau iškilus poreikiui jis nedvejodamas vartojo sudėtingesnes sąvokas.

Parodyta pav. 57 grafikai, rasti po Richardsono mirties tarp jo straipsnių, buvo paskelbti beveik slaptame (ir visiškai netinkamame tokiems leidiniams) „Metų knygoje apie bendrosios sistemos“ Išnagrinėję šiuos grafikus, darome išvadą, kad yra dvi konstantos (vadinkime jas ir ) – tokios, kad norint nustatyti pakrantės ilgį, nubrėžiant jį aproksimuojančią trūkinę liniją, reikia paimti apytikslius ilgio intervalus ir parašyti tokią formulę:

Rodiklio reikšmė, matyt, priklauso nuo matuojamos pakrantės pobūdžio, o skirtingos šios linijos atkarpos, įvertinus atskirai, gali duoti skirtingas vertes. Richardsonui dydis buvo tiesiog patogus rodiklis be jokios ypatingos reikšmės. Tačiau šio rodiklio reikšmė, atrodo, nepriklauso nuo pasirinkto kranto ilgio įvertinimo metodo. Tai reiškia, kad jis nusipelno didžiausio dėmesio.

FRAKTALĖS PAKRANTĖS MATMENYS

Išstudijavus Richardsono darbą, pasiūliau, kad nors eksponentas nėra sveikasis skaičius, jį galima ir reikia suprasti kaip dimensiją – tiksliau, kaip fraktalinį matmenį. Žinoma, aš puikiai žinojau, kad visi aukščiau pateikti matavimo metodai yra pagrįsti nestandartiniais apibendrintais matmenų apibrėžimais, jau naudojamais grynojoje matematikoje. Ilgio nustatymas pagal kranto linijos aprėptį mažiausias skaičius spindulio dėmės, naudojamos dangos matmenims nustatyti. Ilgio nustatymas, pagrįstas pakrantės padengimu pločio juostele, įkūnija Kantoro ir Minkovskio idėją (žr. 56 pav.), o atitinkamą matmenį skolingi Buliganui. Tačiau šie du pavyzdžiai tik užsimena apie daugybės dimensijų egzistavimą (daugumą jų žino tik keli specialistai), kurie ryškėja įvairiose labai specializuotose matematikos srityse. Kai kuriuos iš šių matmenų išsamiau aptarsime 39 skyriuje.

Kodėl matematikams reikėjo pristatyti šią įvairių matmenų gausą? Tada kas viduje tam tikrais atvejais jie priima skirtingos reikšmės. Laimei, šiame rašinyje su tokiais atvejais nesusidursite, todėl galimų alternatyvių matmenų sąrašą rasite čia. švari sąžinė sumažinti iki dviejų, kurių aš dar nepaminėjau. Seniausia ir nuodugniausiai ištirta mūsų sąrašo dimensija siekia Hausdorffą ir yra skirta fraktalų matmeniui apibrėžti – mes su ja susidursime labai greitai. Antrasis, paprastesnis, matmuo vadinamas panašumo matmeniu: jis nėra tas pats bendras charakteris, tačiau daugeliu atvejų pirmasis matmuo yra daugiau nei tinkamas – mes jį apsvarstysime kitame skyriuje.

Žinoma, aš čia neduosiu matematinis įrodymas kad Richardsono eksponentas yra matmuo. Tiesą sakant, neįsivaizduoju, kaip toks įrodymas gali būti atliktas bet kokioje sistemoje gamtos mokslas. Tik noriu atkreipti skaitytojo dėmesį į tai, kad ilgio sąvoka kelia konceptualią problemą, o indikatorius pateikia patogų ir elegantišką sprendimą. Dabar, kai fraktalinė dimensija užėmė savo vietą pakrančių tyrime, mažai tikėtina, kad dėl kokių nors ypatingų priežasčių norėsime grįžti į tuos laikus, kai neapgalvotai ir naiviai tikėjome. Kiekvienas, kuris vis dar tiki, dabar turės pabandyti, jei nori įrodyti, kad jis teisus.

Kitą žingsnį – aiškinantis pakrančių formą ir išvedant prasmę iš kitų, fundamentalesnių svarstymų – siūlau atidėti iki 28 skyriaus. Šiame etape pakanka pasakyti, kad, kaip pirmą apytikslį, . Ši reikšmė yra per didelė, kad būtų galima tiksliai apibūdinti faktus, tačiau to daugiau nei pakanka, kad galėtume teigti, kad galima, reikia ir natūralu manyti, kad pakrantės matmuo viršija įprastą euklidinę kreivės reikšmę.

FRAKTALINĖ HAUSDORFO DIMENSIJA

Jei pripažįstame, kad skirtingos natūralios pakrantės yra begalinio ilgio, o ilgio reikšmė, pagrįsta antropometrine verte, suteikia tik dalinį tikrosios situacijos supratimą, kaip galima palyginti skirtingas pakrantes? Kadangi begalybė niekuo nesiskiria nuo begalybės, padaugintos iš keturių, ką mums duos sakymas, kad bet kurio kranto ilgis yra keturis kartus didesnis už bet kurio jo ketvirčio ilgį? Reikalingas geriausias būdas išreikšti gana pagrįstą idėją, kad kreivė turi turėti tam tikrą "matą", o šis visos kreivės matas turėtų būti keturis kartus didesnis už tą patį matą bet kuriam jos ketvirčiui.

Itin genialų metodą šiam tikslui pasiekti pasiūlė Feliksas Hausdorffas. Jo metodas pagrįstas tuo, kad daugiakampio tiesinis matas apskaičiuojamas sudedant jo kraštinių ilgius be jokių transformacijų. Galima daryti prielaidą, kad šie kraštinių ilgiai pakelti iki galios, lygios euklidiniam linijos matmeniui (šios prielaidos priežastis netrukus paaiškės). Panašiai apskaičiuojamas ir uždarojo daugiakampio vidinės srities paviršiaus matas - padengiant jį kvadratais, surandant šių kvadratų kraštinių ilgių sumą ir pakeliant ją iki laipsnio (euklidinis plokštumos matmuo ). Jei skaičiavimuose naudosime „neteisingą“ laipsnį, tada šių skaičiavimų rezultatas mums nieko neduos naudingos informacijos: bus bet kurio uždaro daugiakampio plotas lygus nuliui, o jo vidinės srities ilgis bus begalinis.

Iš tokių pozicijų panagrinėkime daugiakampį (pakopinį tiesinį) pakrantės linijos, sudarytos iš mažų ilgio intervalų, aproksimaciją. Padidinus intervalo ilgį iki laipsnio ir padauginus jį iš intervalų skaičiaus, gauname tam tikrą reikšmę, kurią preliminariai galima pavadinti „apytiksliu ilgiu matmenyje“. Kadangi, pasak Richardsono, kraštinių skaičius yra lygus, mūsų apytikslis dydis įgauna reikšmę .. Tai yra, apytikslis pakrantės plotis rodo apdairų elgesį tada ir tik tada, kai .

KREIVĖS FRAKTALĖS MATMENYS GALI BŪTI DIDESNĖ NEI VIENETAS; FRAKTALŲ KREIVĖS

Kaip numatė jos kūrėjas, Hausdorffo dimensija išlaiko įprastos dimensijos pareigas ir tarnauja kaip rodiklis nustatant matą.

Tačiau, kita vertus, matmuo labai neįprastas – jis išreikštas trupmeninis skaičius! Be to, jis yra didesnis už vienybę, kuri yra „natūralus“ kreivių matmuo (galima griežtai įrodyti, kad jų topologinis matmuo taip pat yra lygus vienybei).

Kreives, kurių fraktalinis matmuo viršija jų topologinį matmenį, siūlau vadinti fraktalinėmis kreivėmis. Kaip trumpą šio skyriaus santrauką galiu pasiūlyti kitas pareiškimas: geografiniu mastu pakrantės gali būti modeliuojamos naudojant fraktalines kreives. Pakrančių linijos yra fraktalinės struktūros.

Ryžiai. 55. BEŽDŽIO MEDIS

Šiame etape šis mažas piešinys turėtų būti laikomas tiesiog dekoratyviniu elementu, jis tiesiog užpildo tuščią vietą.

Tačiau, perskaitęs 14 skyrių, skaitytojas galės rasti užuominą, kaip įminti „architektūrinę“ mįslę pav. 210. Rimtesnį užuominą pateikia toliau pateiktas generatorius:

Jei matematikui reikia „prisijaukinti“ kurią nors ypač netaisyklingą kreivę, jis gali naudoti tokią standartinę procedūrą: pasirenkama tam tikra reikšmė ir aplink kiekvieną kreivės tašką nubrėžiamas spindulio apskritimas. Ši procedūra, pradėta bent jau Hermanno Minkowskio ir net paties Georgo Cantoro, yra šiek tiek grubi, bet labai efektyvi. (Kalbant apie terminą dešra, jo kilmė, remiantis nepatikrintais gandais, yra kažkaip susijusi su Norberto Wienerio taikymu šią procedūrą Brauno kreivėms.)

Čia patalpintose iliustracijose aukščiau aprašytas išlyginimas taikomas ne tikriems krantams, o vienai teorinei kreivei, kurią sukonstruosime kiek vėliau (žr. 79 pav.), nuolat papildydami vis daugiau smulkių detalių. Palyginus dešinėje pavaizduotą dešros gabalėlį su dešiniuoju dešros galu, esančiu viršuje, matome, kad kritinis kreivės konstravimo etapas įvyksta tada, kai kreivė pradeda apimti dalis, mažesnes nei . Daugiau vėlesniuose etapuose dešra labai nesikeičia.

Ryžiai. 57. RICHARDSONO EMPIRIJI DUOMENYS APIE PAKRANČIO ILGIŲ AUGIMO GRĮŽĄ

Šiame paveikslėlyje pavaizduoti eksperimentiniai kreivės ilgio matavimai, atlikti įvairiose kreivėse, naudojant lygiakraščius daugiakampius, kurių kraštinės ilgis mažėja. Kaip ir tikėtasi, apskritimo atveju vis didesnio tikslumo matavimai suteikia vertę, kuri labai greitai stabilizuojasi ties labai specifine verte.

Kalbant apie pakrantes, apytikslės ilgio reikšmės, priešingai, visai nesikeičia. Kadangi žingsnio ilgis linkęs į nulį, ilgio aproksimacijos, pavaizduotos dvigubos logaritminės koordinačių sistemoje, sudaro tiesią liniją su neigiamu nuolydžiu. Tas pats pasakytina apie sausumos sienas tarp šalių. Richardsono apklausos įvairiose enciklopedijose atskleidė reikšmingus skirtumus, kaip atitinkamų šalių kartografai nustatė bendros sienos ilgį: pavyzdžiui, Ispanijos ir Portugalijos sienos ilgis ispanų požiūriu yra 987 km, o 1214 m. km portugalų požiūriu; panašiai nukentėjo Nyderlandų ir Belgijos siena (380 ir 449 km). Kadangi atitinkamų linijų nuolydis yra -0,25, dvidešimties procentų skirtumas tarp matavimų reiškia dvigubą skirtumą tarp šiems matavimams priimtinų verčių – tai nėra tokia neįtikėtina prielaida.

Richardsonas nieko nedavė teorinis aiškinimas skirtingi jų tiesių linijų šlaitai. Ketiname pakrantes interpretuoti kaip fraktalų kreivių aproksimaciją ir apsvarstyti šlaitai atitinkamos tiesios linijos kaip apytikslės skirtumo reikšmės , kur yra fraktalinis matmuo.