Planuoti

Funkcijos ir neapibrėžto integralo antidarinė. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės. Pagrindinių neapibrėžtųjų integralų lentelė. Pagrindiniai integravimo būdai: tiesioginė integracija, pakeitimo būdas, integravimas dalimis.

Racionalios trupmenos. Integruoti paprasčiausią racionalios trupmenos. Racionaliųjų trupmenų integravimas.

Integracija trigonometrinės funkcijos. Kai kuriuos integruojant neracionalios funkcijos. Integralai, kurių negalima išreikšti elementariomis funkcijomis.

Apibrėžtasis integralas. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės. Integralas su kintamuoju viršutinė riba. Niutono-Leibnizo formulė. Pagrindiniai apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai (kintamojo keitimas, integravimas dalimis).

Geometrinės programos apibrėžtasis integralas. Kai kurie apibrėžtojo integralo taikymai ekonomikoje.

Netinkami integralai(integralai su begalinės ribos integracijos, neribotų funkcijų integralai).

Funkcijos ir neapibrėžto integralo antidarinys

Integraliniame skaičiavime pagrindinis uždavinys yra surasti funkciją y=f(x) žinomu jo išvestiniu.

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinamas antidarinis funkcijas f(x) intervale ( a, b), jei yra lygybė galioja: arba .

1 teorema. Bet kuri ištisinė eilutė intervale [ a, b] funkcija f(x) šiame segmente turi antidarinį F(x).

Toliau apžvelgsime funkcijas, kurios yra tolydžios intervale.

2 teorema. Jei funkcija F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) intervale ( a, b), tada visų antidarinių aibė pateikiama formule F(x)+SU, Kur SU -pastovus skaičius.

Įrodymas.

Funkcija F(x)+SU yra funkcijos antidarinys f(x), nes.

Leiskite F(x) – kitoks, kitoks nei F(x) antiderivatinė funkcija f(x), t.y. . Tada mes turime

o tai reiškia

,

Kur SU– pastovus skaičius. Vadinasi,

2 apibrėžimas. Visų antiderivatinių funkcijų rinkinys F(x)+SU už funkciją f(x) vadinamas Ne apibrėžtasis integralas nuo funkcijos f(x) ir yra pažymėtas simboliu .

Taigi, pagal apibrėžimą

(1)

(1) formulėje f(x) vadinamas integrand funkcija, f(x)dx – integrandas, x– integravimo kintamasis, neapibrėžto integralo ženklas.

Funkcijos neapibrėžtinio integralo radimo operacija vadinama integracijašią funkciją.

Geometriškai neapibrėžtas integralas yra kreivių šeima (kiekvienam skaitinė reikšmė SU atitinka tam tikrą šeimos kreivę). Kiekvienos antidarinės (kreivės) grafikas vadinamas integralinė kreivė. Jie nesikerta ir nesiliečia vienas su kitu. Per kiekvieną plokštumos tašką eina tik viena integralioji kreivė. Visos integralinės kreivės gaunamos viena iš kitos lygiagretus perdavimas išilgai ašies Oi.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

Panagrinėkime neapibrėžtinio integralo savybes, kurios išplaukia iš jo apibrėžimo.

1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui, neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrandas :

Įrodymas.

Leiskite Tada

2. Neapibrėžtas kokios nors funkcijos diferencialo integralas lygi sumaiši funkcija ir savavališka konstanta:

Įrodymas.

Tikrai,.

3. Pastovus veiksnys a() gali būti paimtas kaip neapibrėžto integralo ženklas:

4. Neapibrėžtas algebrinės sumos integralas baigtinis skaičius funkcijos yra lygios algebrinė sumašių funkcijų integralai:

5. Jeigu F(x) – antiderivatinė funkcija f(x), Tai

Įrodymas.

tikrai,

6 (integravimo formulių nekintamumas). Bet kuri integravimo formulė išlaiko savo formą, jei integracijos kintamasis pakeisti bet kuria diferencijuojama funkcija šiuo kintamuoju:

kur u– diferencijuojama funkcija.

Pagrindinių neapibrėžtųjų integralų lentelė

Kadangi integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas, daugumą pateiktų formulių galima gauti invertuojant atitinkamas formules diferenciacija. Kitaip tariant, stalas pagrindinės formulės integracija gaunama iš išvestinių lentelės elementarios funkcijos skaitant jį atgal (iš dešinės į kairę).

Čia yra pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelė. (Atkreipkite dėmesį, kad čia, kaip ir diferencialiniame skaičiavime, raidė u gali reikšti ir nepriklausomą kintamąjį ( u=x) ir nepriklausomo kintamojo ( u=u(x)).)

Vadinami integralai 1–12 lentelės formos.

Kai kurios iš minėtų formulių integralų lentelėje, neturinčios analogo išvestinių lentelėje, patikrinamos diferencijuojant jų dešiniąsias puses.

INTEGRALINIS SKAIČIUS- matematikos šaka, kurioje tiriami integralai įvairių tipų, pvz., apibrėžtasis integralas, neapibrėžtas integralas, linijinis integralas, paviršinis integralas, dvigubas integralas, trigubas integralas ir kt., jų savybes, skaičiavimo būdus, taip pat šių integralų taikymą įvairioms gamtos mokslų problemoms spręsti.

Centrinė formulė I. ir. yra Niutono-Leibnizo formulė (žr. Niutono-Leibnizo formulę), jungianti apibrėžtąjį ir neapibrėžtąjį integralą (žr. Apibrėžtinis integralas, Neapibrėžtas integralas) funkcijas – dydžius, apibrėžtus terminais, kurie visiškai skiriasi vienas nuo kito.

Būtent ši formulė tai teigia

šiomis sąlygomis ir užrašais:

Segmentas skaičių ašis, - ištisinė funkcija, - atkarpos padalijimas taškais , - atkarpa , - atkarpos taškas , , t. y. segmentų ilgių maksimumas yra antidarinė funkcija , t.y. tokia, kad . Kairėje pusėje yra riba nuolatinė funkcija, bet koks skaidinio patikslinimo metodas, kuriame , ir bet koks taškų pasirinkimas.

Peržiūrėti ribas atsiranda skaičiuojant daugybę dydžių, susijusių su fizinėmis, geometrinėmis ir kt. sąvokomis. Tuo pačiu skaičiuojant antidarinį už paprastos funkcijos Tai atliekama gana efektyviai pagal I. ir taisykles. Šios taisyklės pagrįstos diferencialiniame skaičiavime ištirtų diferencijuojamųjų funkcijų savybėmis, todėl I. ir. ir diferencialinis skaičiavimas sudaro neatskiriamą tikslą.

Pereinant nuo vieno kintamojo funkcijų prie kelių kintamųjų funkcijų, informacijos turinys ir. tampa daug turtingesnis. Dvigubos, trigubos (ir paprastai n karto), paviršutiniškos ir sąvokos kreiviniai integralai. aš ir. nustato šių integralų skaičiavimo taisykles, sumažinant juos iki kelis kartus kartojamų tam tikrų integralų skaičiavimų.

Atskiras skyrius I. ir. Kelių kintamųjų funkcijos yra lauko teorija (žr. Lauko teorija), kurios esminę dalį sudaro teoremos, nustatančios ryšį tarp integralų per sritį ir integralų per srities ribą (žr. Ostrogradskio formulę, Greeno formulę, Stokso formulę).

Toliau plėtojant I. ir. paskatino Stieltjes, Lebesgue ir Denjoy integralų tyrimą, paremtą bendresnėmis idėjomis nei aukščiau aptarti integralai.

I. ir atsiradimas. susiję su plotų ir tūrių skaičiavimo problemomis skirtingi kūnai. Tam tikra pažanga šia kryptimi įvyko dar m Senovės Graikija(Eudoksas Kindskis, Archimedas ir kt.). Susidomėjimas tokio pobūdžio problemomis Europoje įvyko XVI–XVII a. Iki to laiko Europos matematikai turėjo galimybę susipažinti su Archimedo darbais, išverstais į lotynų kalba. Tačiau pagrindinė tokio dėmesio priežastis ir. pasirodė pramonės plėtra nemažai Europos šalių, o tai kėlė naujų iššūkių matematikai. Šiuo metu didelis indėlis į I. ir. prisidėjo I. Kepleris, B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascalis, P. Fermatas, X. Huygensas.

Kokybinis poslinkis I. ir. pasirodė I. Newtono ir G. Leibnizo darbai, sukūrę serialą bendri metodai integralinių sumų ribų radimas. Svarbu turėjo patogią simboliką I. ir. (vis dar naudojamas), pristatė G. Leibnicas. Po I. Newtono ir G. Leibnizo darbų daugelis dirbtinio intelekto problemų, kurios anksčiau reikalavo nemažo įgūdžių joms išspręsti, buvo sumažintos iki grynai techninio lygio. Šiuo atveju ypač svarbios buvo diferenciacijos formulės sudėtinga funkcija, kintamųjų keitimo apibrėžtuosiuose ir neapibrėžtiniuose integraluose taisyklė ir (daugiausia) aukščiau minėta Niutono-Leibnizo formulė.

Toliau istorinė raida aš ir. siejamas su I. Bernoulli, L. Eulerio, O. Koši ir rusų matematikų M. V. Ostrogradskio, V. Bunyakovskio, P. L. Čebyševo vardais.

aš ir. kartu su diferencialinis skaičiavimas iki šių dienų tai yra vienas pagrindinių daugelio fizinių ir technikos mokslų matematinių priemonių.

Įvadas

Integralo simbolis buvo įvestas 1675 m., o integralo skaičiavimo klausimai nagrinėjami nuo 1696 m. Nors integralą daugiausia tiria matematikai, fizikai taip pat prisidėjo prie šio mokslo. Beveik nė viena fizikos formulė neapsieina be diferencialinio ir integralinio skaičiavimo. Todėl nusprendžiau patyrinėti integralą ir jo taikymą.

Integralinio skaičiavimo istorija

Integralo sąvokos istorija glaudžiai susijusi su kvadratų paieškos problemomis. Senovės Graikijos ir Romos matematikai plotams apskaičiuoti vadino tam tikros plokščios figūros kvadratūros uždavinius. Lotyniškas žodis quadratura verčiama kaip „duoti kvadrato forma“ Ypatingo termino poreikis paaiškinamas tuo, kad senovėje (o vėliau, iki XVIII a.) sklandė idėjos apie realūs skaičiai. Matematikai operavo savo geometriniais analogais arba skaliariniai dydžiai, kurių negalima padauginti. Todėl plotų paieškos uždavinius reikėjo suformuluoti, pavyzdžiui, taip: „Sukonstruokite vienodo ploto kvadratą šis ratas“ (Šį klasikinė problema„Dėl apskritimo kvadrato“ apskritimo“, kaip žinoma, negalima išspręsti naudojant kompasą ir liniuotę.)

Simbolį t įvedė Leibnicas (1675). Šis ženklas yra pokytis lotyniška raidė S (pirmoji žodžio summ raidė a) Patį žodį integralas sugalvojo J. Bernoulli (1690). Tikriausiai jis kilęs iš lotynų kalbos integro, kuris verčiamas kaip įvedimas į ankstesnę būseną, atkūrimas. (Iš tiesų, integravimo operacija „atkuria“ funkciją, kurią diferencijuojant buvo gautas integrandas.) Galbūt termino integralas kilmė kitokia: žodis sveikasis skaičius reiškia visumą.

Susirašinėjimo metu I. Bernoulli ir G. Leibnicas sutiko su J. Bernoulli pasiūlymu. Tuo pat metu, 1696 m., atsirado naujos matematikos šakos pavadinimas – integralinis skaičiavimas (calculus integralis), kurį įvedė I. Bernoulli.

Kiti žinomi terminai, susiję su integralinis skaičiavimas, pasirodė daug vėliau. Dabar vartojamas pavadinimas „primityvi funkcija“ pakeitė ankstesnę „primityviąją funkciją“, kurią įvedė Lagranžas (1797). Lotyniškas žodis primitivus verčiamas kaip „pradinis“: F(x) = m f(x)dx – f (x) pradinė (arba originali, arba antidarinė), kuri gaunama iš F(x) diferencijuojant.

IN šiuolaikinė literatūra visų funkcijos f(x) antidarinių aibė dar vadinama neapibrėžtuoju integralu. Šią koncepciją pabrėžė Leibnicas, kuris pažymėjo, kad viskas antiderivatinės funkcijos skiriasi savavališka konstanta b, jie vadinami apibrėžtuoju integralu (pavadinimą įvedė C. Fourier (1768-1830), bet integracijos ribas nurodė jau Euleris).

Daug reikšmingų Senovės Graikijos matematikų pasiekimų sprendžiant kvadratų paieškos (t.y. plotų skaičiavimo) problemas plokščios figūros, taip pat kūnų kubatūra (tūrių skaičiavimas) siejama su Eudokso Knidiečio (apie 408 m. – apie 355 m. pr. Kr.) pasiūlyto išsekimo metodo naudojimu. Naudodamas šį metodą Eudoxus įrodė, kad, pavyzdžiui, dviejų apskritimų plotai yra susiję kaip jų skersmens kvadratai, o kūgio tūris yra lygus 1/3 cilindro, turinčio tą patį pagrindą ir aukštį, tūrio.

Eudokso metodą patobulino Archimedas. Pagrindiniai Archimedo metodą apibūdinantys etapai: 1) įrodyta, kad apskritimo plotas mažiau ploto bet kas apie jį aprašyta taisyklingas daugiakampis, Bet daugiau ploto bet koks įrašytas; 2) įrodyta, kad neribotai padvigubėjus kraštinių skaičiui, šių daugiakampių plotų skirtumas siekia nulį; 3) norint apskaičiuoti apskritimo plotą, belieka rasti reikšmę, į kurią linksta taisyklingo daugiakampio ploto santykis, kai jo kraštinių skaičius neribotai padvigubinamas.

Naudodamas išnaudojimo metodą ir daugybę kitų išradingų svarstymų (įskaitant mechanikos modelių naudojimą), Archimedas išsprendė daug problemų. Jis įvertino skaičių p (3,10/71

Archimedas numatė daugelį integralinio skaičiavimo idėjų. (Priduriame, kad praktikoje pirmąsias teoremas apie ribas jis įrodė.) Tačiau prireikė daugiau nei pusantro tūkstančio metų, kol šios idėjos rado aiškią išraišką ir buvo perkeltos į skaičiavimo lygį.

Daug naujų rezultatų gavę XVII amžiaus matematikai mokėsi iš Archimedo darbų. Taip pat buvo aktyviai naudojamas ir kitas metodas – nedaliųjų metodas, taip pat atsiradęs Senovės Graikijoje (jis pirmiausia siejamas su atomistinėmis Demokrito pažiūromis). Pavyzdžiui, jie įsivaizdavo išlenktą trapeciją (1 pav., a) sudarytą iš vertikalių f(x) ilgio atkarpų, kurioms vis dėlto priskyrė plotą, lygų be galo mažajai reikšmei f(x)dx. Remiantis šiuo supratimu, reikalingas plotas buvo laikomas lygiu sumai

be galo daug be galo mažų plotų. Kartais net buvo pabrėžiama, kad atskiri šios sumos nariai yra nuliai, bet ypatingos rūšies nuliai, kurie, pridėdami prie begalinio skaičiaus, duoda tiksliai apibrėžtą teigiamą sumą.

Tokiu dabar, atrodytų, bent jau abejotinu pagrindu, J. Kepleris (1571-1630) savo raštuose „Naujoji astronomija“.

1609 ir „Vyno statinių stereometrija“ (1615) teisingai apskaičiavo plotų skaičių (pavyzdžiui, elipsės ribojamos figūros plotą) ir tūrius (kėbulas buvo supjaustytas į 6 plonas plokštes). Šiuos tyrimus tęsė italų matematikai B. Cavalieri (1598-1647) ir E. Torricelli (1608-1647). B. Cavalieri suformuluotas principas, jo įvestas pagal kai kurias papildomas prielaidas, išlaiko savo reikšmę ir mūsų laikais.

Tegul reikia rasti paveikslo plotą, parodytą 1 paveiksle, b, kur kreivės, ribojančios figūrą iš viršaus ir apačios, turi lygtis

y = f(x) ir y=f(x)+c.

Įsivaizduodami figūrą, sudarytą iš „nedalomų“, Cavalieri terminologija, be galo plonų stulpelių, pastebime, kad jų visų bendras ilgis yra c. Judindami juos vertikalia kryptimi, galime suformuoti stačiakampį, kurio pagrindas b-a ir aukštis c. Todėl reikalingas plotas lygus gauto stačiakampio plotui, t.y.

S = S1 = c (b - a).

Bendrasis Cavalieri principas plokštuminių figūrų plotams suformuluotas taip: Tegul tam tikro pieštuko linijos lygiagrečiai kerta figūras Ф1 ir Ф2 išilgai vienodo ilgio atkarpų (1 pav., c). Tada figūrų F1 ir F2 plotai yra lygūs.

Panašus principas veikia stereometrijoje ir yra naudingas ieškant tomų.

XVII amžiuje Buvo padaryta daug atradimų, susijusių su integraliniu skaičiavimu. Taigi P. Fermatas jau 1629 m. išsprendė bet kurios kreivės y = xn kvadratūros uždavinį, kur n yra sveikas skaičius (tai yra, iš esmės išvedė formulę m xndx = (1/n+1)xn+1), ir šiuo pagrindu išsprendė daugybę problemų, siekdamas surasti svorio centrus. I. Kepleris, išvesdamas savo garsiuosius planetų judėjimo dėsnius, iš tikrųjų rėmėsi apytikslės integracijos idėja. I. Barrow (1630-1677), Niutono mokytojas, priartėjo prie integracijos ir diferenciacijos ryšio supratimo. Didelę reikšmę turėjo darbas, susijęs su funkcijų vaizdavimu galios eilučių pavidalu.

Tačiau, nepaisant daugelio itin išradingų XVII amžiaus matematikų gautų rezultatų reikšmingumo, skaičiavimo dar nebuvo. Reikėjo išryškinti bendras idėjas, kuriomis grindžiamas daugelio konkrečių problemų sprendimas, taip pat nustatyti diferenciacijos ir integravimo operacijų ryšį, kuris suteikia gana bendrą algoritmą. Tai padarė Niutonas ir Leibnicas, kurie savarankiškai atrado faktą, žinomą kaip Niutono-Leibnizo formulė. Taigi pagaliau buvo suformuotas bendras metodas. Jis dar turėjo išmokti rasti daugelio funkcijų antidarinius, pateikti naujus loginius skaičiavimus ir pan. Tačiau pagrindinis dalykas jau padarytas: sukurtas diferencialinis ir integralinis skaičiavimas.

Kitame amžiuje aktyviai vystėsi matematinės analizės metodai (pirmiausia paminėtini L. Eulerio, baigusio sisteminį elementariųjų funkcijų integravimo tyrimą, ir I. Bernulli pavardes). Kuriant integralinį skaičiavimą, dalyvavo rusų matematikai M.V. Ostrogradskis (1801-1862), V.Ya. Bunyakovskis (1804-1889), P.L. Čebyševas (1821-1894). Ypač svarbūs buvo Čebyševo rezultatai, kurie įrodė, kad yra integralų, kurių negalima išreikšti elementariomis funkcijomis.

Griežtas integralinės teorijos pristatymas pasirodė tik praėjusiame amžiuje. Šios problemos sprendimas siejamas su O. Cauchy, vieno didžiausių matematikų, vokiečių mokslininko B. Riemanno (1826-1866) ir prancūzų matematiko G. Darboux (1842-1917) vardais.

Į daugelį klausimų, susijusių su plotų egzistavimu ir figūrų tūriais, atsakymus gavo sukūręs C. Jordanas (1838-1922) matavimo teoriją.

Įvairius integralo sąvokos apibendrinimus jau mūsų amžiaus pradžioje pasiūlė prancūzų matematikai A. Lebesgue (1875-1941) ir A. Denjoy (188 4-1974), sovietų matematikas A.Ya. Khinchinchin (1894-1959).

TIKIMUMU TEORIJOS RIBINĖS TEOROS

Čebyševo nelygybė ir jos reikšmė. Čebyševo teorema. Bernulio teorema. Tikimybių teorijos centrinė ribinė teorema (Ljapunovo teorema) ir jos panaudojimas matematinėje statistikoje.

Tikimybių teorija tiria masiniams atsitiktiniams reiškiniams būdingus modelius. Tikimybių teorijos ribinės teoremos nustato ryšį tarp atsitiktinumo ir būtinybės. Masiniais atsitiktiniais reiškiniais pasireiškiančių modelių tyrimas leidžia moksliškai numatyti būsimų bandymų rezultatus.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos skirstomos į dvi grupes, iš kurių viena vadinama didelių skaičių dėsnis o kitas - .

Šiame skyriuje aptariamos šios su didelių skaičių dėsniu susijusios teoremos: Čebyševo nelygybė, Čebyševo teoremos ir Bernulio teoremos.

Didelių skaičių dėsnis susideda iš kelių teoremų, kurios įrodo vidutinių charakteristikų aproksimaciją, esant tam tikroms sąlygoms, tam tikroms pastovioms reikšmėms.

1. Čebyševo nelygybė.

Jei atsitiktinis kintamasis turi baigtinį matematinį lūkestį ir dispersiją, tai bet kurio teigiamo skaičiaus nelygybė yra teisinga

, (9.1)

tai yra tikimybė, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte neviršys skirtumo tarp vieneto ir šio atsitiktinio dydžio dispersijos santykio su kvadratu.

Dabar užsirašykime įvykio tikimybę , t. y. įvykis, priešingas įvykiui . Tai akivaizdu

. (9.2)

Čebyševo nelygybė galioja bet kuriam atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniui ir taikoma tiek teigiamiems, tiek neigiamiems atsitiktiniams dydžiams. Nelygybė (9.2) iš viršaus riboja tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukryps nuo savo matematinio lūkesčio dydžiu, didesne nei. Iš šios nelygybės išplaukia, kad mažėjant dispersijai, mažėja ir viršutinė tikimybės riba, o atsitiktinio dydžio su maža dispersija reikšmės susikoncentruoja aplink jo matematinį lūkestį.

1 pavyzdys. Norint tinkamai organizuoti mazgo surinkimą, reikia įvertinti tikimybę, su kuria dalių matmenys nukryps nuo leistinojo nuokrypio lauko vidurio ne daugiau kaip . Yra žinoma, kad tolerancijos lauko vidurys sutampa su matematiniu apdirbamų dalių matmenų lūkesčiu, o standartinis nuokrypis yra lygus.

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas turime: ,. Mūsų atveju apdorojamų dalių dydis. Naudodami Čebyševo nelygybę gauname

2. Čebyševo teorema.

Turint pakankamai daug nepriklausomų testų, su tikimybe, artima vienybei, galima teigti, kad skirtumas tarp stebimų atsitiktinio dydžių verčių aritmetinio vidurkio ir šios reikšmės matematinio lūkesčio absoliučia verte būti mažesnis už savavališkai mažą skaičių, su sąlyga, kad atsitiktinis dydis turi baigtinę dispersiją, t.y.

kur yra teigiamas skaičius, artimas nuliui.

Garbanotuose skliaustuose pereidami prie priešingo įvykio, gauname

.

Čebyševo teorema leidžia pakankamai tiksliai įvertinti matematinį lūkestį naudojant aritmetinį vidurkį arba atvirkščiai: naudojant matematinį lūkestį numatomai vidurkio vertei numatyti. Taigi, remiantis šia teorema, galima teigti, kad jei prietaisu, kuriame nėra sisteminės paklaidos, yra atlikta pakankamai daug tam tikro parametro matavimų, tai šių matavimų rezultatų aritmetinis vidurkis kuo mažiau skiriasi. nuo tikrosios išmatuoto parametro vertės.

2 pavyzdys. Norint nustatyti skysto metalo ir žaliavų poreikį, selektyviai nustatomas vidutinis automobilio variklio įdėklo liejimo svoris, nes liejinio svoris, apskaičiuotas pagal metalinį modelį, skiriasi nuo tikrojo svorio. Kiek liejinių reikia paimti, kad tikimybe, didesne nei , būtų galima teigti, kad pasirinktų liejinių vidutinis svoris nuo apskaičiuoto svorio, priimto kaip matematinis lūkestis, skiriasi ne daugiau kaip kg? Nustatyta, kad standartinis svorio nuokrypis yra lygus kg .

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas turime ,, , kur yra vidutinis įdėklų liejinių svoris. Jei atsitiktiniam dydžiui pritaikysime Čebyševo nelygybę, gausime

,

ir atsižvelgiant į lygybes (4.4) ir (4.5) -

.

Pakeitę šias problemas čia gauname

,

is kur mes tai randame?

3. Bernulio teorema.

Bernulio teorema nustato ryšį tarp įvykio dažnumo ir jo tikimybės.

Esant pakankamai dideliam nepriklausomų bandymų skaičiui, su tikimybe, artima vienybei, galima teigti, kad skirtumas tarp įvykio dažnumo šiuose bandymuose ir jo tikimybės atskirame bandyme absoliučia verte bus mažesnis nei savavališkai mažas skaičius, jei šio įvykio tikimybė kiekviename bandyme yra pastovi ir lygi .

Teoremos teiginys gali būti parašytas kaip tokia nelygybė:

, (9.3)

kur ir yra bet kokie savavališkai maži teigiami skaičiai.

Naudojant matematinio lūkesčio ir sklaidos savybę, taip pat Čebyševo nelygybę, formulę (9.3) galima parašyti forma

, (9.4)

Sprendžiant praktines problemas kartais reikia įvertinti įvykio pasireiškimo dažnio didžiausio nukrypimo nuo numatomos reikšmės tikimybę. Atsitiktinis dydis šiuo atveju yra įvykio atvejų skaičius nepriklausomuose bandymuose. Turime:

,

.

Naudojant Čebyševo nelygybę, šiuo atveju gauname

.

3 pavyzdys. Iš į surinkimo cechą atsiųstų gaminių buvo tiriami atsitiktinai atrinkti gaminiai. Tarp jų buvo ir brokuotų. Atsižvelgdami į nekokybiškų gaminių dalį tarp pasirinktų kaip tikimybę pagaminti nekokybišką prekę, įvertinkite tikimybę, kad visoje nekokybiškų gaminių partijoje bus ne daugiau kaip % ir ne mažiau kaip %.

Sprendimas. Nustatykime tikimybę, kad gaminys bus sugedęs:

.

Didžiausias sugedusių gaminių atsiradimo dažnio nuokrypis nuo tikimybės absoliučia verte yra lygus ; testų skaičius. Naudodami (9.4) formulę randame norimą tikimybę:

,

.

4. Liapunovo teorema.

Nagrinėjamos didelių skaičių dėsnio teoremos susijusios su tam tikrų atsitiktinių dydžių priartinimo prie tam tikrų ribinių dydžių, neatsižvelgiant į jų pasiskirstymo dėsnį, klausimais. Tikimybių teorijoje yra dar viena teoremų grupė, susijusi su atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo ribiniais dėsniais. Ši teoremų grupė turi bendrą pavadinimą centrinės ribos teorema. Skirtingos centrinės ribos teoremos formos skiriasi viena nuo kitos sąlygomis, nustatytomis sudedamųjų atsitiktinių dydžių sumai.

Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis ( ) artėja prie normalaus paskirstymo dėsnio su neribotu padidėjimu, jei tenkinamos šios sąlygos:

1) visi dydžiai turi baigtinius matematinius lūkesčius ir dispersijas:

; ;,

kur, ;

2) nė vienas kiekis savo verte labai nesiskiria nuo visų kitų:

.

Sprendžiant daugelį praktinių problemų, stebimų atsitiktinio dydžio, kuris taip pat yra atsitiktinis dydis, aritmetiniam vidurkiui naudojama ši Lyapunov teoremos formuluotė (tenkinamos aukščiau išvardytos sąlygos):

jei atsitiktinis kintamasis turi baigtinę matematinę lūkesčius ir dispersiją, tada aritmetinio vidurkio pasiskirstymas , skaičiuojamas iš stebimų atsitiktinio dydžio verčių nepriklausomuose testuose, artėja prie normalaus dėsnio su matematiniais sklaidos lūkesčiais, t.y..

.

Todėl tikimybę, kas yra intervale, galima apskaičiuoti naudojant formulę

(9.5)

Naudojant Laplaso funkciją (žr. 2 priedą), formulę (9.5) galima parašyti tokia, patogia skaičiavimams, forma:

; .

Pažymėtina, kad centrinės ribos teorema galioja ne tik tolydžioms, bet ir diskretiesiems atsitiktiniesiems dydžiams. Liapunovo teoremos praktinė reikšmė yra didžiulė. Patirtis rodo, kad nepriklausomų atsitiktinių dydžių, palyginamų jų sklaida, sumos pasiskirstymo dėsnis greitai artėja prie normalaus. Jau turint dešimties eilės narių skaičių, sumos pasiskirstymo dėsnį galima pakeisti įprastu.

Ypatingas ribinės centrinės teoremos atvejis yra Laplaso teorema (žr. 3 skyriaus 5 pastraipą). Atsižvelgiama į atvejį, kai atsitiktiniai dydžiai ,, yra diskretūs, vienodai pasiskirstę ir turi tik dvi galimas reikšmes: ir. Apie šios teoremos taikymą matematinėje statistikoje žr. 3 skyriaus 6 pastraipą.

SAVITIKROS KLAUSIMAI

1. Kas vadinama didelių skaičių dėsniu? Kokia šio vardo reikšmė?

2. Suformuluokite Čebyševo nelygybę ir Čebyševo teoremą.

3. Kokį vaidmenį tikimybių teorijoje atlieka ribinės teoremos?

4. Kuris iš pasiskirstymo dėsnių pasirodo kaip ribojantis dėsnis?

5. Kas yra Liapunovo centrinės ribos teorema?

6. Kaip Laplaso teorema gali būti interpretuojama kaip ribinė tikimybių teorijos teorema?

NEPRIKLAUSOMO SPRENDIMO UŽDUOTYS.

1. Pagamintų gaminių ilgis yra atsitiktinis dydis, kurio vidutinė vertė (matematinė prognozė) yra lygi cm. Šio kiekio dispersija yra. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad: a) pagaminto gaminio ilgio nuokrypis nuo jo vidutinės vertės absoliučia verte neviršys; b) gaminio ilgis bus išreikštas skaičiumi tarp ir cm.

Atsakymas: a) ; b).

2. Prietaisas susideda iš savarankiškai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė laikui bėgant yra lygi. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad absoliuti skirtumo tarp sugedusių elementų skaičiaus ir vidutinio gedimų skaičiaus (matematinio lūkesčio) vertė laikui bėgant bus mažesnė.