Atsakymas: x = 3.

8 metodas. Išvestinės taikymas sprendžiant iracionaliąsias lygtis

Dažniausias metodas, naudojamas lygtims spręsti naudojant išvestinį metodą, yra įvertinimo metodas.

15 PAVYZDYS:

Išspręskite lygtį: (1)

Sprendimas: nuo https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> arba (2). Apsvarstykite funkciją ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> ir todėl didėja. Todėl lygtis yra lygiavertis lygčiai, kurios šaknis yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

16 PAVYZDYS:

Išspręskite neracionalią lygtį:

Funkcijos sritis yra segmentas. Raskime didžiausią ir labiausiai mažesnė vertėšios funkcijos reikšmės intervale. Norėdami tai padaryti, randame funkcijos išvestinę f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Raskime funkcijos reikšmes f(x) atkarpos galuose ir taške: Taigi, bet ir todėl lygybė įmanoma tik tuo atveju, jei https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > patikrinimas rodo, kad skaičius 3 yra šios lygties šaknis.

Atsakymas: x = 3.

9 metodas. Funkcinis

Egzaminuose kartais prašoma išspręsti lygtis, kurios gali būti parašytos forma , kur yra funkcija.

Pavyzdžiui, kai kurios lygtys: 1) 2) . Tiesa, pirmuoju atveju , antruoju atveju . Todėl neracionalias lygtis spręskite naudodami kitas pareiškimas: jei funkcija rinkinyje griežtai didėja X ir bet kuriam , tada lygtys ir tt yra lygiavertės aibėje X .

Išspręskite neracionalią lygtį: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> rinkinyje griežtai didėja R, ir https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > kuri turi vieną šaknį. Todėl jai lygiavertė (1) lygtis taip pat turi vieną šaknį

Atsakymas: x = 3.

18 PAVYZDYS:

Išspręskite neracionalią lygtį: (1)

Pagal apibrėžimą kvadratinė šaknis nustatome, kad jei (1) lygtis turi šaknis, tada jos priklauso aibei https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Apsvarstykite, kad funkcija https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> griežtai padidėja šiame rinkinyje bet kokiam ..gif" width="100" aukštis ="41">, kuris turi vieną šaknį Todėl ir jo atitikmenį rinkinyje X(1) lygtis turi vieną šaknį

Atsakymas: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Sprendimas: ši lygtis yra lygiavertė mišriai sistemai

Paskelbimo data: 2016-03-23

Trumpas aprašymas: ...

LYGČIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI NAUDOJANT KAI KURIUS ORIGINALUS METODUS.

1
. Iracionaliųjų lygčių sprendimas.

1. Pakeitimo metodas.

1.1.1 Išspręskite lygtį .

Atkreipkite dėmesį, kad x ženklai po radikalu yra skirtingi. Supažindinkime su užrašu

, .

Tada

Atlikime abiejų lygties pusių sudėtį.

Ir mes turime lygčių sistemą

Nes a + b = 4, tada

Taigi: 9 – x = 8  x = 1. Atsakymas: x = 1.

1.1.2. Išspręskite lygtį .

Įveskime tokį žymėjimą: , ; , .

Priemonės:

Pridėjus kairę ir dešinę lygčių puses po termino, gauname .

Ir mes turime lygčių sistemą

a + b = 2, , , ,

Grįžkime prie lygčių sistemos:

, .

Išsprendę (ab) lygtį, gauname ab = 9, ab = -1 (-1 pašalinė šaknis, nes , .).

Ši sistema neturi sprendinių, o tai reiškia, kad pradinė lygtis taip pat neturi sprendinio.

Atsakymas: nėra sprendimų.

1. 1. Išspręskite lygtį: .

Įveskime žymėjimą , kur . Tada,.

, ,

Panagrinėkime tris atvejus:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [1; 2). a = 2.

Sprendimas: [ 1 ; 2].

Jeigu , Tai , , .

Atsakymas: .

1.2. Kairės ir dešinės pusės įvertinimo metodas (majorantinis metodas).

Pagrindinis metodas yra funkcijos ribos nustatymo metodas.

Majorization – funkcijos ribinių taškų radimas. M – majorante.

Jei turime f(x) = g(x) ir ODZ yra žinomas, ir jei

, , Tai

1. 1. Išspręskite lygtį: .

ODZ: .

Pasvarstykime dešinėje pusėje lygtys

Supažindinkime su funkcija. Grafas yra parabolė, kurios viršūnė A(3; 2).

Mažiausia vertė funkcijos y(3) = 2, tai yra.

Pažvelkime į kairę lygties pusę.

Supažindinkime su funkcija. Naudojant išvestinę, nesunku rasti funkcijos, kuri diferencijuojama x  (2; 4), maksimumą.

At ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Turime .

Kaip rezultatas, tada

Sukurkime lygčių sistemą, pagrįstą aukščiau pateiktomis sąlygomis:

Išspręsdami pirmąją sistemos lygtį, gauname x = 3. Pakeitę šią reikšmę į antrąją lygtį, įsitikiname, kad x = 3 yra sistemos sprendimas.

Atsakymas: x = 3.

1.3. Funkcijos monotoniškumo taikymas.

1.3.1. Išspręskite lygtį:

Apie DZ: , nes .



Yra žinoma, kad didėjančių funkcijų suma yra didėjanti funkcija. Kairė pusė

yra didėjanti funkcija. Dešinė pusė yra tiesinė funkcija (k=0). Grafinis aiškinimas rodo, kad yra tik viena šaknis. Raskime jį pasirinkdami, turime x = 1.

Įrodymas:

Tarkime, kad šaknis x 1 yra didesnė už 1, tada

Nes x 1 > 1,

Darome išvadą, kad nėra šaknų, didesnių už vienybę.

Panašiai galima įrodyti, kad nėra mažiau nei viena šaknų.

Tai reiškia, kad x=1 yra vienintelė šaknis.

Atsakymas: x = 1.

1.3.2. Išspręskite lygtį:

Apie DZ: [ 0,5; +), nes

tie. . Transformuokime lygtį, Kairė pusė yra didėjanti funkcija (didėjančių funkcijų sandauga), dešinė – tiesinė funkcija (k = 0).

Geometrinė interpretacija

rodo, kad pradinė lygtis turi turėti vieną šaknį, kurią galima rasti pasirinkus, x = 7.

Egzaminas:

Galima įrodyti, kad nėra kitų šaknų (žr. pavyzdį aukščiau).

1. Atsakymas: x = 7.

2. Logaritminės lygtys. 2 Kairės ir dešinės pusės įvertinimo metodas. 2 2.1.1. Išspręskite lygtį: log 2 (2x - x

+ 15) = x

- 2x + 5.

Pateiksime kairiosios lygties pusės įvertinimą.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16  16.

Tada žurnalas 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Įvertinkime dešinę lygties pusę.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

Pradinė lygtis gali turėti sprendimą tik tuo atveju, jei abi pusės yra lygios keturioms.

Reiškia Atsakymas: x = 1..

2.1.2. Už

2.1.3. savarankiškas darbas

2.1.4. rąstas 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Atsakymas: x = 3.

2.1.5. rąstas 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Atsakymas: x = 6.

rąstas 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Atsakymas: x = 1.

rąstas 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Atsakymas: x = 3. 2 2.2. Naudojant funkcijos monotoniškumą, pasirenkant šaknis. 2 2.1.1. Išspręskite lygtį: log 2 (2x - x

2.2.1. Išspręskite lygtį: log

(2x - x

Padarykime pakeitimą 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Tada x 2 - 2x + 5 = 20 - t, o tai reiškia

Išsprendę lygtį 2x - x 2 + 15 = 16, mes nustatome, kad x = 1.

Patikrindami įsitikiname, kad pasirinkta vertė yra teisinga.

Pradinė lygtis gali turėti sprendimą tik tuo atveju, jei abi pusės yra lygios keturioms.

2.3. Kai kurios „įdomios“ logaritminės lygtys.

2.3.1. Išspręskite lygtį .

ODZ: (x – 15) cosx > 0.

Pereikime prie lygties

, , ,

Pereikime prie lygiavertės lygties

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0 arba cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 arba cos x = -1,

x = 2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Patikrinkime rastas reikšmes pakeisdami jas į ODZ.

1) jei x = 15, tada (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, neteisinga.

x = 15 nėra lygties šaknis.

2) jei x = 2  k, k Z, tada (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, atkreipkite dėmesį, kad 15  5 . Turime

k > 2,5, k  Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) jei x =  + 2 l, l Z, tada ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Turime: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Atsakymas: x = 2  k (k = 3,4,5,6,...); x =  +2 1(1 = 1,0, -1, - 2,…).

3. Trigonometrinės lygtys.

3.1. Kairiosios ir dešiniosios lygties pusių įvertinimo metodas.

4.1.1. Išspręskite lygtį cos3x cos2x = -1.

Pirmas būdas..

0,5 (kain x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Kadangi cos x - 1, cos 5 x - 1, darome išvadą, kad cos x+ cos 5 x> -2, iš čia

vadovaujasi lygčių sistema

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Išsprendę cos lygtį x= -1, gauname X=  + 2 k, kur k Z.

Šios vertybės X taip pat yra sprendimai cos lygtys 5x= -1, nes

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Taigi, X=  + 2 k, kur k Z yra visi sistemos, taigi ir pradinės lygties, sprendiniai.

Atsakymas: X=  (2k + 1), k Z.

Antras būdas.

Galima parodyti, kad pradinė lygtis reiškia sistemų rinkinį

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Išsprendę kiekvieną lygčių sistemą, randame šaknų sąjungą.

Atsakymas: x = (2  k + 1), k Z.

Savarankiškam darbui.

Išspręskite lygtis:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Atsakymas: sprendimų nėra.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Atsakymas: nėra sprendimų.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Atsakymas: x = 2 k, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Atsakymas: x = /2 +  k, k Z.

3.1.6. cos 8 x + nuodėmė 7 x = 1. Atsakymas: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Realūs skaičiai. Realiųjų skaičių aproksimacija baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis.

Tikrasis ar tikras skaičius - matematinė abstrakcija, kuris atsirado dėl poreikio matuoti geometrinius ir fiziniai dydžiai supantį pasaulį, taip pat atlikti tokias operacijas kaip šaknų ištraukimas, logaritmų skaičiavimas, sprendimas algebrines lygtis. Jeigu natūraliuosius skaičius atsirado skaičiavimo procese, racionalūs - iš poreikio operuoti su visumos dalimis, tada realieji skaičiai skirti matuoti nuolatiniai kiekiai. Taigi, išplėtus nagrinėjamų skaičių atsargą, atsirado realiųjų skaičių aibė, kuri, be racionaliųjų skaičių, apima ir kitus elementus, vadinamus neracionalūs skaičiai .

Absoliuti klaida ir jos riba.

Tegul yra kokia nors skaitinė reikšmė ir skaitinė reikšmė, kuris jam priskirtas, laikomas tiksliu, tada pagal apytikslės vertės paklaida skaitinė reikšmė (klaida) suprasti skirtumą tarp tikslios ir apytikslės skaitinės reikšmės reikšmės: . Klaida gali būti teigiama arba neigiama vertė. Kiekis vadinamas žinomas apytikslis iki tikslios skaitinio dydžio vertės – bet kurio vietoje naudojamo skaičiaus tikslią vertę. Paprasčiausias kiekybinis paklaidos matas yra absoliuti paklaida. Absoliuti klaida apytikslė reikšmė yra dydis, apie kurį žinoma, kad: Santykinė paklaida ir jos riba.

Aproksimacijos kokybė labai priklauso nuo priimtų matavimo vienetų ir dydžių skalių, todėl patartina koreliuoti kiekio paklaidą ir jo reikšmę, kuriai įvedama santykinės paklaidos sąvoka. Santykinė klaida apytikslė vertė yra dydis, apie kurį žinoma, kad: . Santykinė paklaida dažnai išreiškiama procentais. Naudojimas santykinės klaidos patogus, ypač todėl, kad jie nepriklauso nuo kiekių skalės ir matavimo vienetų.

Iracionalios lygtys

Lygtys, kuriose yra kintamasis po šaknies ženklu, vadinamos neracionaliosiomis. Sprendžiant neracionalias lygtis, gautus sprendinius reikia patikrinti, nes, pavyzdžiui, neteisinga lygybė kvadratuojant gali duoti teisingą lygybę. Tiesą sakant, neteisinga lygybė kvadratu suteikia teisingą lygybę 1 2 = (-1) 2, 1 = 1. Kartais neracionalias lygtis patogiau spręsti naudojant lygiaverčius perėjimus.

Padėkime abi šios lygties puses kvadratu; Po transformacijų gauname kvadratinę lygtį; ir pakeisime.

Sudėtingi skaičiai. Operacijos su kompleksiniais skaičiais.

Kompleksiniai skaičiai yra realiųjų skaičių aibės išplėtimas, paprastai žymimas . Bet koks kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip formali suma x + oi, Kur x Ir y- realūs skaičiai, i - įsivaizduojamas vienetas Sudėtiniai skaičiai sudaro algebriškai uždarą lauką – tai reiškia, kad laipsnio daugianario n su kompleksiniais koeficientais turi tiksliai n sudėtingos šaknys, tai yra, pagrindinė algebros teorema yra teisinga. Tai viena iš pagrindinių plataus jo naudojimo priežasčių kompleksiniai skaičiai V matematiniai tyrimai. Be to, kompleksinių skaičių naudojimas leidžia patogiai ir kompaktiškai suformuluoti daugelį matematiniai modeliai, naudojamas matematinė fizika ir viduje gamtos mokslai- elektrotechnika, hidrodinamika, kartografija, kvantinė mechanika, svyravimų teorija ir daugelis kitų.

Palyginimas a + bi = c + di reiškia tai a = c Ir b = d(du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios).

Papildymas ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Atimtis ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Daugyba

Skaitmeninė funkcija. Funkcijos nustatymo metodai

Matematikoje skaitinė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo ir reikšmių sritys yra poaibiai skaičių rinkiniai- paprastai realiųjų skaičių rinkinys arba kompleksinių skaičių rinkinys.

Žodinis: su natūrali kalba Igrek lygus visa dalis nuo x. Analitinė: naudojimas analitinė formulė f (x) = x !

Grafika Naudojant grafą Funkcijos grafiko fragmentas.

Lentelinė: reikšmių lentelės naudojimas

Pagrindinės funkcijos savybės

1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas . Funkcijos domenas x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) pasiryžusi.

Funkcijų diapazonas y, kurią funkcija priima. Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.2 ) Nulinė funkcija) Funkcijos monotoniškumas . Funkcijų didinimas Sumažėjusi funkcija . Netgi funkcija X f(-x) = f(x). Keista funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X f (-x) = - f (x. Funkcija vadinama ribotas neribotas .7) Funkcijos periodiškumas. F(x) funkcija – periodiškai funkcijos laikotarpis

Funkcijų grafikai. Paprasčiausios grafikų transformacijos naudojant funkciją

Funkcijos grafikas- taškų, kurių abscisės yra, rinkinys priimtinos vertės argumentas x, o ordinatės yra atitinkamos funkcijos reikšmės y .

Tiesi linija- grafikas tiesinė funkcija y = ax + b. Funkcija y monotoniškai didėja, kai a > 0, ir mažėja, kai a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabolė- funkcijų grafikas kvadratinis trinaris y = ax 2 + bx + c. Turi vertikalioji ašis simetrija. Jei a > 0, turi minimumą, jei a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0

Hiperbolė- funkcijos grafikas. Kai a > O jis yra I ir III ketvirčiuose, kai a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) arba y – x (a< 0).

Logaritminė funkcija y = log a x(a > 0)

Trigonometrinės funkcijos. Kurdami trigonometrines funkcijas naudojame radianas kampų matas. Tada funkcija y= nuodėmė x pavaizduotas grafiku (19 pav.). Ši kreivė vadinama sinusoidinė .

Funkcijos grafikas y= cos x parodyta pav. 20; tai taip pat sinusinė banga, atsirandanti judant grafiką y= nuodėmė x išilgai ašies X paliko iki /2.

Pagrindinės funkcijų savybės. Funkcijų monotoniškumas, lygumas, keistumas, periodiškumas.

Funkcijos domenas ir funkcijos domenas . Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumento reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) pasiryžusi.

Funkcijų diapazonas yra visų realių vertybių rinkinys y, kurią funkcija priima.

Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.2 ) Nulinė funkcija- argumento reikšmė, kuriai esant funkcijos reikšmė lygi nuliui.3 ) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai- tokie argumentų reikšmių rinkiniai, kurių funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.4 ) Funkcijos monotoniškumas .

Funkcijų didinimas(tam tikru intervalu) – funkcija, kuriai didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Sumažėjusi funkcija(tam tikrame intervale) – funkcija, kuriai didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.5 ) Lyginė (nelyginė) funkcija . Netgi funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Tvarkaraštis lygi funkcija simetriškas ordinačių ašiai. Keista funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f (-x) = - f (x). Tvarkaraštis nelyginė funkcija simetriškas kilmei.6 ) Ribotos ir neribotos funkcijos. Funkcija vadinama ribotas, jei yra toks teigiamas skaičius M, kad |f (x) | ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribotas .7) Funkcijos periodiškumas. F(x) funkcija – periodiškai, jei yra ne nulis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f (x+T) = f (x). Tai mažiausias skaičius paskambino funkcijos laikotarpis. Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. (Trigonometrinės formulės).

Periodinės funkcijos. Funkcijos pagrindinio laikotarpio nustatymo taisyklės.

Periodinė funkcija- funkcija, kuri pakartoja savo reikšmes po tam tikro ne nulio laikotarpio, tai yra, ji nekeičia savo vertės, kai prie argumento pridedamas fiksuotas nulinis skaičius (taškas). Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Yra neištikimi pareiškimai dėl sumos periodines funkcijas: 2 funkcijų suma su lyginamaisiais (netgi pagrindiniais) laikotarpiais T 1 ir T 2 yra funkcija su LCM periodu ( T 1 ,T 2). 2 ištisinių funkcijų su nesuderinamais (netgi pagrindiniais) laikotarpiais suma yra neperiodinė funkcija. Periodinių funkcijų nėra lygus konstantai, kurių laikotarpiai yra nesuderinami skaičiai.

Galios funkcijų grafikų braižymas.

Maitinimo funkcija. Tai yra funkcija: y = ax n, Kur a, n- nuolatinis. At n= 1 gauname tiesioginis proporcingumas : y =kirvis; adresu n = 2 - kvadratinė parabolė ; adresu n = 1 - atvirkštinis proporcingumas arba hiperbolė. Taigi šios funkcijos yra specialūs galios funkcijos atvejai. Žinome, kad bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį, nulinė galia yra 1, taigi, kada n = 0 galios funkcija virsta pastovią vertę: y =a, t.y. jo grafikas yra tiesė, lygiagreti ašiai X, neįskaitant kilmės (paaiškinkite kodėl?). Visi šie atvejai (su a= 1) parodyta 13 pav. n 0) ir 14 pav. n < 0). Отрицательные значения xčia neapimamos, nuo tada kai kurios funkcijos:

Atvirkštinė funkcija

Atvirkštinė funkcija- funkcija, kuri apverčia šios funkcijos išreikštą priklausomybę. Funkcija yra atvirkštinė funkcijai, jei tenkinamos šios tapatybės: visiems visiems

Funkcijos riba taške. Pagrindinės ribos savybės.

N-oji šaknis ir jos savybės.

N-oji skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnė yra lygi a.

Apibrėžimas: n-osios laipsnio a aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus a.

Pagrindinės šaknų savybės:

Galia su savavališku realiuoju rodikliu ir jo savybėmis.

Teigiamas teigiamas skaičius ir savavališkas realusis skaičius. Skaičius vadinamas laipsniu, skaičius yra laipsnio pagrindas, o skaičius yra rodiklis.

Pagal apibrėžimą jie tiki:

Jei ir - teigiami skaičiai, ir - bet koks realūs skaičiai, tada jie yra sąžiningi šias savybes:

.

.

Galios funkcija, jos savybės ir grafikai

Maitinimo funkcija sudėtingas kintamasis f (z) = z n su sveikuoju rodikliu nustatomas naudojant panašios tikrojo argumento funkcijos analitinį tęsinį. Šiuo tikslu naudojama kompleksinių skaičių rašymo eksponentinė forma. laipsnio funkcija su sveikuoju rodikliu yra analitinė sudėtinga plokštuma, kaip kūrinys baigtinis skaičius tapatybės atvaizdavimo atvejai f (z) = z. Pagal unikalumo teoremą šių dviejų kriterijų pakanka gautos analitinės tęsinio unikalumui. Naudodamiesi šiuo apibrėžimu, galime iš karto daryti išvadą, kad sudėtingo kintamojo galios funkcija labai skiriasi nuo tikrojo atitikmens.

Tai yra formos , funkcija. Svarstomi šie atvejai:

A). Jei, tada. Tada, ; jei skaičius lyginis, tada funkcija lyginė (ty visų akivaizdoje); jei skaičius yra nelyginis, tada funkcija yra nelyginė (ty visų akivaizdoje).

Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikai

Eksponentinė funkcija - matematinė funkcija.

Realiu atveju laipsnio pagrindas yra tam tikras neneigiamas realus skaičius, o funkcijos argumentas yra tikrasis eksponentas.

Teoriškai sudėtingos funkcijos svarstė daugiau bendras atvejis, kai argumentas ir rodiklis gali būti savavališkas kompleksinis skaičius.

Pačioje bendras vaizdas - u v Leibnicas pristatė 1695 m

Ypač vertas dėmesio atvejis, kai skaičius e veikia kaip laipsnio pagrindas. Tokia funkcija vadinama eksponentine (tikra arba kompleksine).

Savybės ; ; .

Eksponentinės lygtys.

Pereikime tiesiai prie eksponentinių lygčių. Norint apsispręsti eksponentinė lygtis reikia naudoti tokią teoremą: Jei laipsniai yra vienodi, o bazės lygios, teigiamos ir skiriasi nuo vieneto, tai jų eksponentai yra lygūs. Įrodykime šią teoremą: Tegu a>1 ir a x =a y.

Įrodykime, kad šiuo atveju x=y. Tarkime, priešingai nei reikia įrodyti, t.y. Tarkime, kad x>y arba kad x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х taip. Abu šie rezultatai prieštarauja teoremos sąlygoms. Todėl x = y, ką ir reikėjo įrodyti.

1 apibrėžimas. Statmenas duotai tiesei yra tam tikrai tiesei statmena linijos atkarpa, kurios vienas iš jos galų yra jų susikirtimo taške. Atkarpos, esančios ant nurodytos tiesės, galas vadinamas statmens pagrindu.

2 apibrėžimas. Nuolydis, nubrėžtas nuo nurodyto taško iki nurodytos linijos, vadinamas atkarpa, jungiančia šį tašką su bet kuriuo tiesės tašku, kuris nėra statmens, numesto iš to paties taško į nurodytą tiesę, pagrindas. AB yra statmena plokštumai α.

AC – įstrižinė, CB – projekcija.

C yra nuožulniojo pagrindas, B yra statmens pagrindas.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos Bet koks kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą vadinamas.

Dvikampis kampas.

Dvikampis kampas- erdvinis geometrinė figūra, kurią sudaro dvi pusplokštumos, kylančios iš vienos tiesios linijos, taip pat dalis erdvės, kurią riboja šios pusiau plokštumos. Puslėktuvai vadinami briaunos dvikampis kampas, o jų bendra tiesė yra kraštas. Dvikampiai kampai matuojami tiesiniu kampu, tai yra kampu, susidariusiu susikirtus dvibriauniam kampui su plokštuma, statmena jo kraštui. Kiekvienas daugiakampis, taisyklingas ar netaisyklingas, išgaubtas ar įgaubtas, turi dvikampis kampas ant kiekvieno krašto.

Dviejų plokštumų statmena.

PLOKŠTUMŲ STAMETUMO ŽENKLAS.

Jei plokštuma eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai šios plokštumos yra statmenos.

1.1 Iracionaliosios lygtys

Neretai randamos neracionalios lygtys stojamieji egzaminai matematikoje, nes su jų pagalba lengva diagnozuoti žinias apie tokias sąvokas kaip lygiavertės transformacijos, apibrėžimo sritis ir kt. Iracionaliųjų lygčių sprendimo metodai dažniausiai yra pagrįsti galimybe (kai kurių transformacijų pagalba) iracionaliąją lygtį pakeisti racionalia, kuri yra arba lygiavertė pradinei iracionaliajai lygčiai, arba yra jos pasekmė. Dažniausiai abi lygties pusės pakeliamos ta pačia galia. Lygiavertiškumas nepažeidžiamas, kai abi pusės pakeliamos iki nelyginės galios. Priešingu atveju būtina patikrinti rastus sprendinius arba įvertinti abiejų lygties pusių ženklą. Tačiau yra ir kitų metodų, kurie gali būti veiksmingesni sprendžiant neracionalias lygtis. Pavyzdžiui, metodas trigonometrinis pakeitimas.

1 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Nuo tada. Todėl galime įdėti . Lygtis įgaus formą

Tada padėkime kur

.

.

Atsakymas: .

Algebrinis sprendimas

Nuo tada . Reiškia, , todėl galite išplėsti modulį

.

Atsakymas: .

Lygties sprendimas algebriškai reikalauja gerų identiškų transformacijų atlikimo įgūdžių ir kompetentingo lygiaverčių perėjimų tvarkymo. Tačiau apskritai abu sprendimo būdai yra lygiaverčiai.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

.

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Lygties apibrėžimo sritis suteikiama nelygybe, kuri yra lygiavertė sąlygai, tada. Todėl galite įdėti. Lygtis įgaus formą

Nuo tada. Atidarykime vidinį modulį

Padėkime , Tada

.

Sąlygą tenkina dvi reikšmės ir .

.

.

Atsakymas: .

Algebrinis sprendimas

.

Pastatykime pirmosios populiacijos sistemos lygtį kvadratu ir gaukime

Tebūnie tada. Lygtis bus perrašyta kaip

Patikrinę nustatome, kad tai yra šaknis, tada padaliję daugianarį iš dvinario gauname dešiniosios lygties pusės išskaidymą į veiksnius

Pereikime nuo kintamojo prie kintamojo, gauname

.

Būklė atitinka dvi vertybes

.

Pakeitę šias reikšmes į pradinę lygtį, pamatysime, kad tai yra šaknis.

Panašiu būdu išspręsdami pradinės aibės antrosios sistemos lygtį, pastebime, kad ji taip pat yra šaknis.

Atsakymas: .

Jei ankstesniame pavyzdyje algebrinis sprendimas ir sprendimas naudojant trigonometrinį pakeitimą buvo lygiaverčiai, tada in šiuo atveju sprendimas pakeitimu yra pelningesnis. Spręsdami lygtį naudodami algebrą, turite išspręsti dviejų lygčių aibę, ty du kartus padalyti kvadratu. Po šios nelygios transformacijos gauname dvi ketvirtojo laipsnio lygtis su neracionaliais koeficientais, kurias galima pašalinti pakeitimu. Kitas sunkumas yra rasti sprendinius, pakeičiant juos į pradinę lygtį.

3 pavyzdys: Išspręskite lygtį

.

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Nuo tada. Atminkite, kad neigiama nežinomo reikšmė negali būti problemos sprendimas. Iš tiesų, paverskime pradinę lygtį į formą

.

Kairėje lygties pusėje skliausteliuose esantis koeficientas yra teigiamas, dešinioji lygties pusė taip pat yra teigiama, todėl koeficientas kairėje lygties pusėje negali būti neigiamas. Štai kodėl, tada, todėl galite įdėti Pradinė lygtis bus perrašyta kaip

Nuo tada ir . Lygtis įgaus formą

Tegul . Pereikime nuo lygties prie lygiavertės sistemos

.

Skaičiai ir yra kvadratinės lygties šaknys

.

Algebrinis sprendimas Padėkime kvadratu abi lygties puses

Pristatome pakaitalą , tada lygtis bus parašyta forma

Antroji šaknis yra nereikalinga, todėl apsvarstykite lygtį

.

Nuo tada.

Šiuo atveju algebrinis sprendimas in techniškai paprastesnis, bet būtina atsižvelgti į pateiktą sprendimą naudojant trigonometrinį pakeitimą. Taip yra visų pirma dėl nestandartinio paties pakeitimo pobūdžio, kuris griauna stereotipą, kad naudoti trigonometrinį pakeitimą galima tik tada, kai. Pasirodo, trigonometrinis pakeitimas taip pat randa pritaikymą. Antra, sunku išspręsti trigonometrinę lygtį , kuris sumažinamas įvedant pakaitalą lygčių sistemoje. Tam tikra prasme šis pakeitimas taip pat gali būti laikomas nestandartiniu, o susipažinimas su juo leidžia praturtinti trigonometrinių lygčių sprendimo metodų ir metodų arsenalą.

4 pavyzdys: Išspręskite lygtį

.

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Kadangi kintamasis gali būti bet koks tikrosios vertybės, padėkime . Tada

,

Nes .

Pradinė lygtis, atsižvelgiant į atliktas transformacijas, įgis formą

Kadangi padalijame abi lygties puses iš , gauname

Leiskite , Tada . Lygtis įgaus formą

.

Atsižvelgiant į pakeitimą , gauname dviejų lygčių aibę

.

Išspręskime kiekvieną aibės lygtį atskirai.

.

Negali būti sinuso reikšmė, nes bet kuriai argumento vertei.

.

Nes ir dešinioji pradinės lygties pusė yra teigiama, tada . Iš ko išplaukia, kad .

Ši lygtis neturi šaknų, nes .

Taigi pradinė lygtis turi vieną šaknį

.

Algebrinis sprendimas

Šią lygtį galima lengvai „paversti“ į racionalią aštuntojo laipsnio lygtį, padalijus abi pradinės lygties puses kvadratu. Rasti gautos racionalios lygties šaknis sunku, ir tai būtina turėti aukštas laipsnis išradingumas susidoroti su užduotimi. Todėl patartina žinoti kitą, ne tokį tradicinį, sprendimo būdą. Pavyzdžiui, I. F. Šarygino pasiūlytas pakaitalas.

Padėkime , Tada

Transformuokime dešinę lygties pusę :

Atsižvelgiant į transformacijas, lygtis įgaus formą

.

Tada pristatykime pakeitimą

.

Antroji šaknis yra nereikalinga, todėl ir .

Jei lygties sprendimo idėja nėra žinoma iš anksto , tada standartinį sprendinį išspręsti abiejų lygties pusių kvadratu yra problemiška, nes gaunama aštuntojo laipsnio lygtis, kurios šaknis rasti itin sunku. Sprendimas naudojant trigonometrinį pakeitimą atrodo sudėtingas. Gali būti sunku rasti lygties šaknis, jei nepastebėsite, kad ji yra abipusė. Šios lygties sprendimas įvyksta naudojant algebros aparatą, todėl galime sakyti, kad siūlomas sprendimas yra kombinuotas. Jame informacija iš algebros ir trigonometrijos veikia kartu vienam tikslui – gauti sprendimą. Be to, norint išspręsti šią lygtį, reikia atidžiai apsvarstyti du atvejus. Sprendimas pakeitimu yra techniškai paprastesnis ir gražesnis nei naudojant trigonometrinį pakeitimą. Patartina, kad mokiniai išmanytų šį pakeitimo būdą ir naudotų jį problemoms spręsti.

Pabrėžiame, kad trigonometrinio pakeitimo naudojimas problemoms spręsti turi būti sąmoningas ir pagrįstas. Patartina naudoti pakeitimą tais atvejais, kai sprendimas kitu būdu yra sunkesnis arba visiškai neįmanomas. Pateiksime kitą pavyzdį, kurį, skirtingai nei ankstesnis, galima lengviau ir greičiau išspręsti naudojant standartinį metodą.