Kaip rasti taisyklingos trikampės piramidės pagrindo aukštį. Kas leidžia piramidę laikyti geometriniu stebuklu? Interneto ištekliai

Čia galite rasti pagrindinės informacijos apie piramides ir susijusias formules bei sąvokas. Visi jie mokomi su matematikos kuratoriumi ruošiantis vieningajam valstybiniam egzaminui.

Apsvarstykite plokštumą, daugiakampį , guli jame ir taškas S, o ne guli jame. Sujungkime S prie visų daugiakampio viršūnių. Gautas daugiakampis vadinamas piramide. Segmentai vadinami šoniniais šonkauliais. Daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas S yra piramidės viršus. Priklausomai nuo skaičiaus n, piramidė vadinama trikampe (n=3), keturkampe (n=4), penkiakampe (n=5) ir pan. Alternatyvus pavadinimas trikampė piramidė – tetraedras. Piramidės aukštis yra statmenas, nusileidžiantis nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos.

Piramidė vadinama reguliaria, jei taisyklingas daugiakampis, o piramidės aukščio pagrindas (statmens pagrindas) yra jos centras.

Mokytojo komentaras:
Nepainiokite sąvokų „įprasta piramidė“ ir „reguliarus tetraedras“. Taisyklingoje piramidėje šoninės briaunos nebūtinai yra lygios pagrindo kraštams, tačiau taisyklingajame tetraedre visos 6 briaunos yra lygios. Tai yra jo apibrėžimas. Nesunku įrodyti, kad lygybė reiškia, kad daugiakampio centras P sutampa su pagrindo aukščiu, todėl taisyklingas tetraedras yra taisyklinga piramidė.

Kas yra apotemas?
Piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis. Jei piramidė yra taisyklinga, tai visi jos apotemai yra lygūs. Atvirkščiai netiesa.

Matematikos dėstytojas apie savo terminiją: 80% darbo su piramidėmis yra sudaryta iš dviejų tipų trikampių:
1) Sudėtyje yra apothem SK ir aukštis SP
2) Turintis šoninę briauną SA ir jos projekciją PA

Siekiant supaprastinti nuorodas į šiuos trikampius, matematikos mokytojui patogiau skambinti pirmuoju iš jų apotemiškas, ir antrasis pakrantės. Deja, šios terminijos nerasite nė viename vadovėlyje, o mokytojas turi vienašališkai ją supažindinti.

Piramidės tūrio formulė:
1) , kur yra piramidės pagrindo plotas ir piramidės aukštis
2) , kur įbrėžto rutulio spindulys ir plotas viso paviršiaus piramidės.
3) , kur MN yra atstumas tarp bet kurių dviejų susikertančių kraštų ir lygiagretainio plotas, sudarytas iš keturių likusių briaunų vidurio taškų.

Piramidės aukščio pagrindo savybė:

Taškas P (žr. paveikslą) sutampa su įbrėžto apskritimo centru piramidės pagrindu, jei tenkinama viena iš šių sąlygų:
1) Visi apotemai yra lygūs
2) Visi šoniniai veidai vienodai pasviręs į pagrindą
3) Visi apotemai vienodai pasvirę į piramidės aukštį
4) Piramidės aukštis yra vienodai pasviręs į visus šoninius paviršius

Matematikos mokytojo komentaras: Atkreipkite dėmesį, kad visi taškai turi vieną bendrą bruožą bendroji nuosavybė: vienaip ar kitaip, visur dalyvauja šoniniai veidai (apotemos yra jų elementai). Todėl dėstytojas gali pasiūlyti ne tokią tikslią, bet patogesnę mokymuisi formuluotę: taškas P sutampa su įbrėžto apskritimo centru, piramidės pagrindu, jei yra lygiavertė informacija apie jo šoninius paviršius. Norėdami tai įrodyti, pakanka parodyti, kad visi apotemų trikampiai yra lygūs.

Taškas P sutampa su apskritimo, apibrėžto šalia piramidės pagrindo, centru, jei yra viena iš trijų sąlygų:
1) Visi šoniniai kraštai yra vienodi
2) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į aukštį

Šis vaizdo įrašas padės vartotojams suprasti piramidės temą. Teisinga piramidė. Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą. Panagrinėkime, kas yra įprasta piramidė ir kokias jos savybes ji turi. Tada įrodome teoremą apie taisyklingosios piramidės šoninį paviršių.

Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą.

Apsvarstykite daugiakampį A 1 A 2...A n, kuris yra α plokštumoje, ir taškas P, kuris nėra α plokštumoje (1 pav.). Sujunkime taškus P su viršūnėmis A 1, A 2, A 3, … A n. Mes gauname n trikampiai: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ir taip toliau.

Apibrėžimas. Daugiakampis RA 1 A 2 ...A n, sudarytas iš n- kvadratas A 1 A 2...A n Ir n trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 vadinamas n- anglies piramidė. Ryžiai. 1.

Ryžiai. 1

Apsvarstykite keturkampę piramidę PABCD(2 pav.).

R- piramidės viršūnė.

ABCD- piramidės pagrindas.

RA- šoninis šonkaulis.

AB- pagrindo šonkaulis.

Iš taško R numeskime statmeną RNį bazinę plokštumą ABCD. Nubrėžtas statmuo yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 2

Visas piramidės paviršius susideda iš šoninio paviršiaus, tai yra, visų šoninių paviršių ploto ir pagrindo ploto:

S pilnas = S pusė + S pagrindinis

Piramidė vadinama teisinga, jei:

• jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis;
• atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra jos aukštis.

Paaiškinimas naudojant taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdį

Apsvarstykite taisyklingą keturkampę piramidę PABCD(3 pav.).

R- piramidės viršūnė. Piramidės pagrindas ABCD - taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Taškas APIE, įstrižainių susikirtimo taškas, yra kvadrato centras. Reiškia, RO yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 3

Paaiškinimas: teisinga n Trikampyje įbrėžto apskritimo centras ir apskritimo centras sutampa. Šis centras vadinamas daugiakampio centru. Kartais sakoma, kad viršūnė projektuojama į centrą.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas ir yra paskirtas h a.

1. visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios;

2. Šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.

Šias savybes pateiksime taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdžiu.

Duota: PABCD- teisingai keturkampė piramidė,

ABCD- kvadratas,

RO- piramidės aukštis.

Įrodyk:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Žr. pav. 4.

Ryžiai. 4

Įrodymas.

RO- piramidės aukštis. Tai yra, tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis UAB, VO, SO Ir DARYK guli joje. Taigi trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD- stačiakampis.

Apsvarstykite kvadratą ABCD. Iš kvadrato savybių matyti, kad AO = VO = CO = DARYK.

Tada stačiakampiai trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD koja RO- bendras ir kojos UAB, VO, SO Ir DARYK yra lygūs, o tai reiškia, kad šie trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių. Iš trikampių lygybės išplaukia atkarpų lygybė, RA = PB = RS = PD. 1 punktas įrodytas.

Segmentai AB Ir Saulė yra vienodos, nes yra to paties kvadrato kraštinės, RA = PB = RS. Taigi trikampiai AVR Ir VSR – lygiašonis ir lygus iš trijų kraštų.

Panašiai randame tuos trikampius ABP, VCP, CDP, DAP yra lygiašoniai ir lygūs, kaip reikalaujama įrodyti 2 dalyje.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos:

Norėdami tai įrodyti, parinkkime taisyklingą trikampę piramidę.

Duota: RAVS- taisyklinga trikampė piramidė.

AB = BC = AC.

RO- aukštis.

Įrodyk: . Žr. pav. 5.

Ryžiai. 5

Įrodymas.

RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Tai yra AB= AC = BC. Leiskite APIE- trikampio centras ABC, Tada RO yra piramidės aukštis. Piramidės pagrinde yra lygiakraštis trikampis ABC. Atkreipkite dėmesį, kad .

Trikampiai RAV, RVS, RSA- lygus lygiašoniai trikampiai(pagal nuosavybę). Trikampė piramidė turi tris šoninius paviršius: RAV, RVS, RSA. Tai reiškia, kad piramidės šoninio paviršiaus plotas yra:

S pusė = 3S RAW

Teorema įrodyta.

Į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys yra 3 m, piramidės aukštis – 4 m. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Duota: taisyklinga keturkampė piramidė ABCD,

ABCD- kvadratas,

r= 3 m,

RO- piramidės aukštis,

RO= 4 m.

Rasti: S pusė. Žr. pav. 6.

Ryžiai. 6

Sprendimas.

Pagal įrodytą teoremą,.

Pirmiausia suraskime pagrindo pusę AB. Žinome, kad į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys yra 3 m.

Tada, m.

Raskite kvadrato perimetrą ABCD kurių kraštinė yra 6 m:

Apsvarstykite trikampį BCD. Leiskite M- šono vidurys DC. Nes APIE- vidurys BD, Tai (m).

Trikampis DPC- lygiašoniai. M- vidurys DC. tai yra RM- mediana, taigi ir aukštis trikampyje DPC. Tada RM- piramidės apotema.

RO- piramidės aukštis. Tada tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis OM, guli jame. Raskime apotemą RM iš stačiojo trikampio ROM.

Dabar galime rasti piramidės šoninį paviršių:

Atsakymas Plotas: 60 m2.

Aplink taisyklingos trikampės piramidės pagrindą apibrėžto apskritimo spindulys lygus m. Šoninio paviršiaus plotas yra 18 m 2. Raskite apotemo ilgį.

Duota: ABCP- taisyklinga trikampė piramidė,

AB = BC = SA,

R= m,

P pusė = 18 m2.

Rasti: . Žr. pav. 7.

Ryžiai. 7

Sprendimas.

Stačiakampiame trikampyje ABC Nurodytas apibrėžto apskritimo spindulys. Raskime pusę ABšis trikampis naudojant sinusų teoremą.

Žinodami taisyklingo trikampio kraštinę (m), randame jo perimetrą.

Pagal teoremą apie taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotą, kur h a- piramidės apotema. Tada:

Atsakymas: 4 m.

Taigi, pažiūrėjome, kas yra piramidė, kas yra taisyklingoji piramidė, ir įrodėme teoremą apie taisyklingos piramidės šoninį paviršių. Kitoje pamokoje susipažinsime su nupjautąja piramide.

Nuorodos

1. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų(pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigų/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
3. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustardas, 008. - 233 p.: iliustr.

1. Interneto portalas "Yaklass" ()
2. Interneto portalas „Festivalis pedagoginės idėjos„Rugsėjo pirmoji“ ()
3. Interneto portalas „Slideshare.net“ ()

Namų darbai

1. Ar taisyklingas daugiakampis gali būti netaisyklingos piramidės pagrindas?
2. Įrodykite, kad taisyklingosios piramidės nesujungtos briaunos yra statmenos.
3. Raskite dvikampio kampo taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinėje reikšmę, jei piramidės apotemas lygus jos pagrindo kraštinei.
4. RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampą piramidės pagrindu.

Trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrinde yra trikampis. Šios piramidės aukštis yra statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.

Piramidės aukščio radimas

Kaip sužinoti piramidės aukštį? Labai paprasta! Norėdami rasti bet kurios trikampės piramidės aukštį, galite naudoti tūrio formulę: V = (1/3) Sh, kur S yra pagrindo plotas, V yra piramidės tūris, h yra jos aukštis. Iš šios formulės išveskite aukščio formulę: norėdami rasti trikampės piramidės aukštį, turite padauginti piramidės tūrį iš 3, o tada padalyti gautą reikšmę iš pagrindo ploto, tai bus: h = (3V)/S. Kadangi trikampės piramidės pagrindas yra trikampis, galite naudoti formulę trikampio plotui apskaičiuoti. Jei žinome: trikampio S plotą ir jo kraštinę z, tai pagal ploto formulę S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h – piramidės aukštis, γ yra trikampio kraštas; kampą tarp trikampio kraštinių ir pačių dviejų kraštinių, tada naudodami šią formulę: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ yra trikampio kraštinės, randame trikampio plotą. Į kampo Q sinuso reikšmę reikia pasižiūrėti sinusų lentelėje, kurią galima rasti internete. Toliau ploto reikšmę pakeičiame aukščio formule: h = (2S)/γ. Jei atliekant užduotį reikia apskaičiuoti trikampės piramidės aukštį, tai piramidės tūris jau žinomas.

Taisyklinga trikampė piramidė

Raskite taisyklingos trikampės piramidės, ty piramidės, kurioje yra visi veidai, aukštį lygiakraščiai trikampiai, žinant briaunos γ dydį. Šiuo atveju piramidės kraštai yra lygiakraščio trikampio kraštinės. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis bus: h = γ√(2/3), kur γ lygiakraščio trikampio kraštas, h piramidės aukštis. Jei pagrindo plotas (S) nežinomas ir pateikiamas tik daugiakampio briaunos ilgis (γ) ir tūris (V), tada reikia pakeisti ankstesnio žingsnio formulės kintamąjį. jo atitikmeniu, kuris išreiškiamas briaunos ilgiu. Trikampio plotas (reguliarus) yra lygus 1/4 šio trikampio kraštinės ilgio sandaugos iš kvadratinės šaknies iš 3. Šią formulę pakeičiame vietoj pagrindo ploto ankstesnėje formulėje. formulę, ir gauname tokią formulę: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedro tūrį galima išreikšti per jo krašto ilgį, tada iš figūros aukščio skaičiavimo formulės galite pašalinti visus kintamuosius ir palikti tik šoną trikampis veidas figūros. Tokios piramidės tūrį galima apskaičiuoti padalijus iš 12 iš sandaugos jos veido kubo ilgį iš kvadratinės šaknies iš 2.

Pakeitę šią išraišką į ankstesnę formulę, gauname tokią skaičiavimo formulę: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Taip pat teisinga trikampė prizmė gali būti įrašytas į sferą, o žinant tik rutulio spindulį (R) galima rasti paties tetraedro aukštį. Tetraedro briaunos ilgis: γ = 4R/√6. Kintamąjį γ pakeičiame šia išraiška ankstesnėje formulėje ir gauname formulę: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Tą pačią formulę galima gauti žinant į tetraedrą įbrėžto apskritimo spindulį (R). Šiuo atveju trikampio briaunos ilgis bus lygus 12 santykių tarp kvadratinė šaknis 6 ir spindulys. Šią išraišką pakeičiame ankstesne formule ir gauname: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kaip rasti taisyklingos keturkampės piramidės aukštį

Norėdami atsakyti į klausimą, kaip rasti piramidės aukščio ilgį, turite žinoti, kas yra taisyklinga piramidė. Keturkampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra keturkampis. Jei problemos sąlygomis turime: piramidės tūrį (V) ir pagrindo plotą (S), tada daugiakampio aukščio (h) apskaičiavimo formulė bus tokia - padalinkite tūris padaugintas iš 3 iš ploto S: h = (3V)/S. Duotas piramidės kvadratinis pagrindas, kurio tūris (V) ir kraštinės ilgis γ, ankstesnėje formulėje plotą (S) pakeiskite kraštinės ilgio kvadratu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Taisyklingos piramidės aukštis h = SO tiksliai eina per apskritimo centrą, kuris yra apibrėžtas šalia pagrindo. Kadangi šios piramidės pagrindas yra kvadratas, taškas O yra įstrižainių AD ir BC susikirtimo taškas. Turime: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Toliau stačiajame trikampyje SOC randame (naudojant Pitagoro teoremą): SO = √(SC 2 -OC 2). Dabar jūs žinote, kaip rasti įprastos piramidės aukštį.

Apibrėžimas. Šoninis kraštas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.

Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai- Tai bendri aspektaišoniniai kraštai. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.

Apibrėžimas. Piramidės aukštis- tai statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.

Apibrėžimas. Apotema- tai statmenas piramidės šoniniam paviršiui, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.

Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis - tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.

Apibrėžimas. Teisinga piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nukrenta į pagrindo centrą.

Piramidės tūris ir paviršiaus plotas

Formulė. Piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:

Piramidės savybės

Jei visos šoninės briaunos lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.

Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindo plokštumą tais pačiais kampais.

Šoniniai šonkauliai yra lygūs, kai susidaro su pagrindo plokštuma vienodi kampai arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama jo centre.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu, tada šoninių paviršių apotemos yra lygios.

Taisyklingos piramidės savybės

1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.

2. Visos šoninės briaunos lygios.

3. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę vienodais kampais į pagrindą.

4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.

5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.

6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.

7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Apribotos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštinių vidurį, susikirtimo taškas.

8. Į piramidę galite sutalpinti rutulį. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.

9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokštumos kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π/n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.

Piramidės ir sferos ryšys

Sfera gali būti apibūdinta aplink piramidę, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama būklė). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.

Visada galima apibūdinti sferą aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.

Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Piramidės ir kūgio ryšys

Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą.

Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemai yra lygūs vienas kitam.

Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.

Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Piramidės ir cilindro ryšys

Piramidė vadinama įbrėžta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.

Cilindras gali būti apibūdintas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrosios viršūnės bet jie neliečia.

Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampio kampo.

Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su centru priešingas veidas paskambino tetraedro mediana(GM).

Bimedian vadinama atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).

Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianos dalijamos per pusę, o medianos – santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.

Apibrėžimas. Smailaus kampo piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Bukoji piramidė- piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. Taisyklingas tetraedras- tetraedras, kurio visi keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Jis yra vienas iš penkių taisyklingieji daugiakampiai. IN taisyklingas tetraedras Visi dvikampiai kampai(tarp paviršių) ir trikampio kampai (viršūnėje) yra lygūs.

Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras yra tetraedras, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiu kampu (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas o kraštai yra stačiųjų trikampių, ir pagrindas savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.

Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Toks tetraedras turi lygiašonius trikampius.

Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedru, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.

Apibrėžimas. Žvaigždžių piramidė Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra žvaigždė.

Su piramidės koncepcija studentai susiduria dar gerokai prieš studijuodami geometriją. Dėl to kalti garsieji didieji Egipto pasaulio stebuklai. Todėl pradėdami tyrinėti šį nuostabų daugiakampį dauguma studentų jau aiškiai jį įsivaizduoja. Visi aukščiau paminėti atrakcionai yra tinkamos formos. Kas atsitiko taisyklinga piramidė, ir kokias savybes jis turi, bus aptarta toliau.

Apibrėžimas

Yra gana daug piramidės apibrėžimų. Nuo seniausių laikų jis buvo labai populiarus.

Pavyzdžiui, Euklidas jį apibrėžė kaip kūno figūrą, susidedančią iš plokštumų, kurios, pradedant nuo vienos, susilieja tam tikrame taške.

Heronas pateikė tikslesnę formulę. Jis tvirtino, kad tai yra ta figūra turi bazę ir lėktuvus trikampių pavidalu, susilieja viename taške.

Remiantis šiuolaikine interpretacija, piramidė vaizduojama kaip erdvinis daugiakampis, susidedantis iš tam tikro k-gon ir k. plokščios figūros trikampio formos, turintis vieną bendrą tašką.

Pažvelkime į tai išsamiau, iš kokių elementų jis susideda:

• K-gonas laikomas figūros pagrindu;
• 3 kampų formos išsikiša kaip šoninės dalies kraštai;
• viršutinė dalis, iš kurios atsiranda šoniniai elementai, vadinama viršūne;
• visos atkarpos, jungiančios viršūnę, vadinamos briaunomis;
• jei tiesė nuleista nuo viršūnės iki figūros plokštumos 90 laipsnių kampu, tada jos dalis vidinė erdvė- piramidės aukštis;
• bet kuriame šoniniame elemente statmenas, vadinamas apotemu, gali būti nubrėžtas į mūsų daugiakampio pusę.

Kraštinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę 2*k, kur k – k-kampio kraštinių skaičius. Kiek veidų turi daugiakampis, pavyzdžiui, piramidė, galima nustatyti naudojant išraišką k+1.

Svarbu! Piramidė teisinga forma vadinama stereometrine figūra, kurios pagrindinė plokštuma yra k-gon su lygiomis kraštinėmis.

Pagrindinės savybės

Teisinga piramidė turi daug savybių, kurios būdingos tik jai. Išvardinkime juos:

1. Pagrindas yra tinkamos formos figūra.
2. Šoninius elementus ribojančios piramidės briaunos turi vienodas skaitines reikšmes.
3. Šoniniai elementai yra lygiašoniai trikampiai.
4. Figūros aukščio pagrindas patenka į daugiakampio centrą, o kartu yra centrinis įbrėžto ir apibrėžto taškas.
5. Visi šoniniai šonkauliai pasviręs į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
6. Visi šoniniai paviršiai turi tokį patį pasvirimo kampą pagrindo atžvilgiu.

Ačiū visiems išvardytos savybės, atlikti elementų skaičiavimus yra daug lengviau. Remdamiesi aukščiau pateiktomis savybėmis, atkreipiame dėmesį į du ženklai:

1. Tuo atveju, kai daugiakampis tilps į apskritimą, šoniniai paviršiai turės lygius kampus su pagrindu.
2. Apibūdinant apskritimą aplink daugiakampį, visos piramidės briaunos, kylančios iš viršūnės, turės vienodo ilgio ir lygūs kampai su pagrindu.

Pagrindas yra kvadratas

Taisyklinga keturkampė piramidė - daugiakampis, kurio pagrindas yra kvadratas.

Jis turi keturis šoninius paviršius, kurie yra lygiašoniai.

Kvadratas vaizduojamas plokštumoje, bet remiasi visomis taisyklingo keturkampio savybėmis.

Pavyzdžiui, jei reikia sujungti kvadrato kraštą su jo įstrižaine, naudokite tokią formulę: Įstrižainė lygi kvadrato kraštinės ir dviejų kvadratinės šaknies sandaugai.

Jis pagrįstas taisyklingu trikampiu

Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingas 3 kampų.

Jei pagrindas yra stačiakampis trikampis, o šoniniai kraštai lygūs pagrindo kraštams, tada tokia figūra vadinamas tetraedru.

Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai 3 kampų. IN šiuo atveju Skaičiuodami turite žinoti kai kuriuos dalykus ir nešvaistyti jiems laiko:

• šonkaulių pasvirimo kampas į bet kurį pagrindą yra 60 laipsnių;
• visų vidinių veidų dydis taip pat yra 60 laipsnių;
• bet koks veidas gali veikti kaip pagrindas;
• , nupieštas paveikslo viduje, tai yra vienodi elementai.

Daugiakampio pjūviai

Bet kuriame daugiakampyje yra kelių tipų skyriai butas. Dažnai į mokyklos kursas geometrijos veikia su dviem:

• ašinis;
• lygiagrečiai pagrindui.

Ašinis pjūvis gaunamas susikertant daugiakampį su plokštuma, kuri eina per viršūnę, šonines briaunas ir ašį. Šiuo atveju ašis yra aukštis, nubrėžtas iš viršūnės. Pjovimo plokštumą riboja susikirtimo linijos su visais paviršiais, todėl susidaro trikampis.

Dėmesio! Taisyklingoje piramidėje ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis.

Jei pjovimo plokštuma eina lygiagrečiai pagrindui, rezultatas yra antrasis variantas. Šiuo atveju turime skerspjūvio figūrą, panašią į pagrindą.

Pavyzdžiui, jei pagrindas yra kvadratas, tada atkarpa lygiagreti pagrindui taip pat bus kvadratinė, tik mažesnių matmenų.

Spręsdami problemas pagal šią sąlygą, jie naudoja figūrų panašumo ženklus ir savybes, remiantis Thaleso teorema. Pirmiausia reikia nustatyti panašumo koeficientą.

Jei plokštuma nubrėžta lygiagrečiai pagrindui ir ji nupjaunama viršutinė dalis daugiakampis, tada apatinėje dalyje gaunama taisyklinga nupjauta piramidė. Tada sakoma, kad nupjauto daugiakampio pagrindai yra panašūs daugiakampiai. Šiuo atveju šoniniai paviršiai yra lygiašonės trapecijos. Ašinė pjūvis taip pat lygiašonis.

Norint nustatyti nupjauto daugiakampio aukštį, reikia įbrėžti aukštį ašinis skyrius, tai yra, trapecijos formos.

Paviršiaus plotai

Pagrindinis geometrinės problemos kurios turi būti sprendžiamos mokykliniame geometrijos kurse piramidės paviršiaus ploto ir tūrio radimas.

Yra dviejų tipų paviršiaus ploto vertės:

• šoninių elementų plotas;
• viso paviršiaus plotas.

Iš paties pavadinimo aišku, apie ką kalbame. Šoninis paviršius apima tik šoninius elementus. Iš to išplaukia, kad norint jį rasti, tereikia susumuoti šoninių plokštumų plotus, tai yra lygiašonių 3 kampų plotus. Pabandykime išvesti šoninių elementų ploto formulę:

1. Lygiašonio 3 kampo plotas yra lygus Str = 1/2 (aL), kur a yra pagrindo kraštinė, L yra apotemas.
2. Šoninių plokštumų skaičius priklauso nuo pagrindo k-gon tipo. Pavyzdžiui, taisyklinga keturkampė piramidė turi keturias šonines plokštumas. Todėl būtina pridėti keturių plotas skaičiai Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Išraiška tokiu būdu supaprastinta, nes reikšmė yra 4a = Rosn, kur Rosn yra pagrindo perimetras. O išraiška 1/2*Rosn yra jos pusiau perimetras.
3. Taigi darome išvadą, kad taisyklingos piramidės šoninių elementų plotas yra lygus pagrindo pusperimetro ir apotemos sandaugai: Sside = Rosn * L.

Piramidės viso paviršiaus plotas susideda iš šoninių plokštumų ir pagrindo plotų sumos: Sp.p = Sside + Sbas.

Kalbant apie pagrindo plotą, čia formulė naudojama pagal daugiakampio tipą.

Taisyklingos piramidės tūris lygi bazinės plokštumos ploto ir aukščio sandaugai, padalytai iš trijų: V=1/3*Sbas*H, kur H – daugiakampio aukštis.

Kas atsitiko teisinga piramidė geometrijoje

Taisyklingos keturkampės piramidės savybės