Vaizdo įrašų kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!
Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.
Visi būtina teorija. Greiti būdai sprendimus, spąstus ir Vieningo valstybinio egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.
Kursą sudaro 5 didelės temos, po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.
Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodžių problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.
1. Mažiausias skaičius Tetraedras turi 6 briaunas.
2. Prizmė turi n veidų. Koks daugiakampis yra jo bazėje?
(n - 2) - kvadratas.
3. Ar prizmė yra tiesi, jei jos du gretimi šoniniai paviršiai statmeni pagrindo plokštumai?
Taip, tai yra.
4. Kurioje prizmėje šoninės briaunos lygiagrečios jos aukščiui?
Tiesioje prizmėje.
5. Ar prizmė yra taisyklinga, jei visos jos briaunos yra lygios viena kitai?
Ne, tai gali būti netiesioginė.
6. Ar vieno iš pasvirosios prizmės šoninių paviršių aukštis gali būti ir prizmės aukštis?
Taip, jei šis veidas yra statmenas pagrindui.
7. Ar yra prizmė, kurioje: a) šoninė briauna statmena tik vienai pagrindo briaunai; b) tik vienas šoninis paviršius yra statmenas pagrindui?
a) taip. b) ne.
8. Taisyklingąją trikampę prizmę plokštuma, einanti per pagrindų vidurio linijas, padalija į dvi prizmes. Koks yra šių prizmių šoninio paviršiaus plotų santykis?
Pagal 27 teoremą nustatome, kad šoniniai paviršiai yra santykiu 5:3
9. Ar piramidė bus taisyklinga, jei jos šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai?
10. Kiek statmenų pagrindo plokštumai veidų gali turėti piramidė?
11. Ar yra keturkampė piramidė, kurios priešingos kraštinės yra statmenos pagrindui?
Ne, priešingu atveju per piramidės viršūnę eitų bent dvi tiesios linijos, statmenos pagrindams.
12. Ar visi trikampės piramidės paviršiai gali būti stačiakampiai?
Taip (183 pav.).
Daugiakampis
Pagrindinis stereometrijos tyrimo objektas yra erdviniai kūnai. Kūnas vaizduoja tam tikro paviršiaus apribotą erdvės dalį.
Daugiakampis vadinamas kūnu, kurio paviršius susideda iš baigtinis skaičius plokšti daugiakampiai. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra kiekvieno jo paviršiaus plokštumos daugiakampio plokštumos vienoje pusėje. Bendroji dalis tokia plokštuma ir daugiakampio paviršius vadinamas kraštas. Išgaubto daugiakampio paviršiai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio briaunos, o viršūnės yra daugiakampio viršūnės.
Pavyzdžiui, kubas susideda iš šešių kvadratų, kurie yra jo veidai. Jame yra 12 kraštinių (kvadratų kraštinės) ir 8 viršūnės (kvadratų viršūnės).
Paprasčiausios daugiakampės yra prizmės ir piramidės, kurias toliau tyrinėsime.
Prizmė
Prizmės apibrėžimas ir savybės
Prizmė yra daugiakampis, sudarytas iš dviejų plokščių daugiakampių lygiagrečios plokštumos suderinama lygiagretus perdavimas, ir visos atkarpos, jungiančios atitinkamus šių daugiakampių taškus. Daugiakampiai vadinami prizmių pagrindai, o atkarpos, jungiančios atitinkamas daugiakampių viršūnes, yra šoniniai prizmės kraštai.
Prizmės aukštis vadinamas atstumu tarp jo pagrindų plokštumų (). Vadinamas segmentas, jungiantis dvi prizmės viršūnes, nepriklausančias tam pačiam paviršiui prizmės įstrižainė(). Prizmė vadinama n-anglies, jei jo pagrindas yra n-kampis.
Bet kokia prizmė turi šias savybes, atsirandanti dėl to, kad prizmės pagrindai yra sujungti lygiagrečiu vertimu:
1. Prizmės pagrindai lygūs.
2. Prizmės šoninės briaunos lygiagrečios ir lygios.
Prizmės paviršius susideda iš pagrindų ir šoninis paviršius. Prizmės šoninis paviršius susideda iš lygiagretainių (tai išplaukia iš prizmės savybių). Prizmės šoninio paviršiaus plotas yra šoninių paviršių plotų suma.
Tiesi prizmė
Prizmė vadinama tiesioginis, jei jo šoninės briaunos statmenos pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama linkęs.
Dešiniosios prizmės paviršiai yra stačiakampiai. Tiesios prizmės aukštis lygus jos šoniniams paviršiams.
Pilnas prizmės paviršius vadinama šoninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų suma.
Su tinkama prizme vadinama stačiąja prizme, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis.
13.1 teorema. Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus prizmės perimetro ir aukščio sandaugai (arba, kas yra tokia pati, šoninio krašto).
Įrodymas. Stačiakampės prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, kurių pagrindai yra prizmės pagrinduose esančių daugiakampių kraštinės, o aukščiai – prizmės šoninės briaunos. Tada pagal apibrėžimą šoninio paviršiaus plotas yra:
,
kur yra tiesios prizmės pagrindo perimetras.
Lygiagretaus vamzdžio
Jei prizmės pagrinduose yra lygiagretainiai, tai vadinama gretasienis. Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai. Tuo pačiu metu priešingi veidai gretasieniai yra lygiagretūs ir lygūs.
13.2 teorema. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško.
Įrodymas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, dvi savavališkas įstrižaines ir . Nes gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, tada ir , o tai reiškia, kad pagal To yra dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai. Be to, tai reiškia, kad tiesios linijos ir yra toje pačioje plokštumoje (plokštumoje). Ši plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas ir išilgai lygiagrečių linijų ir . Taigi keturkampis yra lygiagretainis, o pagal lygiagretainio savybę jo įstrižainės susikerta ir dalijamos per pusę iš susikirtimo taško, ką ir reikėjo įrodyti.
Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis gretasienis. Visi stačiakampio gretasienio paviršiai yra stačiakampiai. Stačiakampio gretasienio nelygiagrečių kraštinių ilgiai vadinami jo tiesiniais matmenimis (matmenimis). Yra trys tokie dydžiai (plotis, aukštis, ilgis).
13.3 teorema. Stačiakampiame gretasienyje bet kurios įstrižainės kvadratas lygi sumai jo trijų matmenų kvadratai 
(įrodyta du kartus pritaikius Pitagoro T).
Stačiakampis gretasienis, kurios visos briaunos lygios, vadinamas kubas.
Užduotys
13.1 Kiek jis turi įstrižainių? n- anglies prizmė
13.2 Pasvirusioje trikampėje prizmėje atstumai tarp šoninių briaunų yra 37, 13 ir 40. Raskite atstumą tarp didesnio šoninio krašto ir priešingos šoninės briaunos.
13.3Per dešiniojo apatinio pagrindo šoną trikampė prizmė plokštuma nubrėžta susikertanti šoniniai veidai išilgai segmentų, kampas tarp kurių yra . Raskite šios plokštumos pasvirimo kampą į prizmės pagrindą.
Lygiagrečiose plokštumose esantys daugiakampiai ABCDE ir FHKMP vadinami prizmės pagrindais, statmenas OO 1, nuleistas iš bet kurio pagrindo taško į kito plokštumą, vadinamas prizmės aukščiu. Lygiagretės ABHF, BCKH ir kt. vadinami šoniniais prizmės paviršiais, o jų kraštinės SC, DM ir kt., jungiančios atitinkamas pagrindų viršūnes, vadinamos šoninėmis briaunomis. Prizmėje visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai kaip lygiagrečių tiesių atkarpos, uždarytos tarp lygiagrečių plokštumų.
Prizmė vadinama tiesia linija ( 282 pav., b) arba įstrižai ( Pav.282,c) priklausomai nuo to, ar jo šoninės briaunos yra statmenos, ar pasvirusios į pagrindą. Tiesi prizmė turi stačiakampius šoninius paviršius. Šoninis kraštas gali būti laikomas tokios prizmės aukščiu.
Tiesioji prizmė vadinama reguliaria, jei jos pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai. Tokioje prizmėje visi šoniniai paviršiai yra vienodi stačiakampiai.
Norėdami pavaizduoti prizmę sudėtingame brėžinyje, turite žinoti ir mokėti pavaizduoti elementus, iš kurių ji susideda (taškas, tiesi linija, plokščia figūra).
ir jų atvaizdas kompleksiniame brėžinyje (283 pav., a - i)
a) Kompleksinis prizmės brėžinys. Prizmės pagrindas yra projekcijos plokštumoje P 1; vienas iš prizmės šoninių paviršių yra lygiagretus projekcijos plokštumai P 2.
b) šalia prizmės pagrindo DEF - plokščia figūra - taisyklingas trikampis, esantis plokštumoje P 1; trikampio DE kraštinė lygiagreti x ašiai 12 - Horizontali projekcija susilieja su duotu pagrindu ir todėl yra lygi jos natūraliam dydžiui; Priekinė projekcija susilieja su x 12 ašimi ir yra lygi prizmės pagrindo kraštinei.
c) Viršutinė prizmės ABC bazė yra plokščia figūra - trikampis, esantis horizontali plokštuma. Horizontali projekcija susilieja su apatinio pagrindo projekcija ir ją dengia, nes prizmė tiesi; frontalioji projekcija – tiesi, lygiagreti x 12 ašiai, prizmės aukščio atstumu.
d) Prizmės ABED šoninis paviršius yra plokščia figūra – stačiakampis, esantis priekinė plokštuma. Priekinė projekcija – stačiakampis, lygus natūraliam veido dydžiui; horizontali projekcija yra tiesi linija, lygi prizmės pagrindo kraštinei.
e) ir f) ACFD ir CBEF prizmių šoniniai paviršiai yra plokščios figūros – stačiakampiai, esantys horizontaliose išsikišančiose plokštumose, esančiose 60° kampu projekcijos plokštumos P 2 atžvilgiu. Horizontalios projekcijos yra tiesios linijos, esančios x12 ašies atžvilgiu 60° kampu ir lygios natūraliam prizmės pagrindo kraštinių dydžiui; priekinės projekcijos yra stačiakampiai, kurių atvaizdai yra mažesni už natūralų dydį: dvi kiekvieno stačiakampio kraštinės yra lygios prizmės aukščiui.
g) Prizmės kraštas AD yra tiesi linija, statmena projekcijos plokštumai P 1. Horizontali projekcija – taškas; priekinis – tiesus, statmenas x 12 ašiai, lygus šoninis šonkaulis prizmė (prizmės aukštis).
h) Viršutinio pagrindo kraštinė AB yra tiesi, lygiagreti plokštumoms P 1 ir P 2. Horizontalioji ir priekinė projekcijos yra tiesios, lygiagrečios x 12 ašiai ir lygios nurodytos prizmės pagrindo kraštinei. Priekinė projekcija yra nutolusi nuo x ašies 12 atstumu, lygiu prizmės aukščiui.
i) prizmės viršūnės. Taškas E - apatinio pagrindo viršus yra plokštumoje P 1. Horizontali projekcija sutampa su pačiu tašku; priekinis - yra ant x 12 ašies Taškas C - viršutinio pagrindo viršus - yra erdvėje. Horizontali projekcija turi gylį; priekinis aukštis, lygus ūgiuišios prizmės.
Iš to išplaukia: Kurdami bet kurį daugiakampį, turite mintyse padalyti jį į sudedamuosius elementus ir nustatyti jų vaizdavimo tvarką, susidedančią iš nuoseklių grafinių operacijų. 284 ir 285 paveiksluose pateikti nuoseklių grafinių operacijų pavyzdžiai atliekant sudėtingą prizmių piešinį ir vizualinį atvaizdavimą (aksonometriją).
(284 pav.).
Duota:
1. Pagrindas yra projekcinėje plokštumoje P 1.
2. Nė viena pagrindo pusė nėra lygiagreti x ašiai 12.
I. Kompleksinis brėžinys.
aš, a.
Suprojektuojame apatinį pagrindą - daugiakampį, kuris pagal sąlygą yra plokštumoje P1.
Aš, gim.
aš, g. Duota: taško F horizontali projekcija F 1 ant viršutinio pagrindo ir priekinė taško K projekcija K 2 šoniniame paviršiuje. Būtina nustatyti jų antrųjų projekcijų vietas.
Dėl punkto F. Antroji (priekinė) taško F projekcija F 2 sutaps su viršutinio pagrindo projekcija, kaip taškas, esantis šio pagrindo plokštumoje; jo vietą lemia vertikali ryšio linija.
Taškui K – taško K antroji (horizontalioji) projekcija K 1 sutaps su horizontalia šoninio paviršiaus projekcija, kaip taškas, esantis veido plokštumoje; jo vietą lemia vertikali ryšio linija.
II. Prizmės paviršiaus vystymasis- plokščia figūra, sudaryta iš šoninių paviršių - stačiakampių, kurių dvi kraštinės yra lygios prizmės aukščiui, o kitos dvi lygios atitinkamoms pagrindo kraštinėms, o iš dviejų vienas kitam lygių pagrindų - netaisyklingi daugiakampiai .
Iškyšose atskleidžiami natūralūs veidų pagrindų ir šonų matmenys, būtini plėtrai konstruoti; mes remiamės jais; Tiesioje linijoje nuosekliai nubrėžiame daugiakampio kraštines AB, BC, CD, DE ir EA - prizmės pagrindus, paimtus iš horizontalios projekcijos. Ant statmenų, nubrėžtų iš taškų A, B, C, D, E ir A, nubrėžiame šios prizmės aukštį H, paimtą iš frontalinės projekcijos, ir nubrėžiame tiesią liniją per žymes. Dėl to gauname prizmės šoninių paviršių nuskaitymą.
Jei prie šios raidos pritvirtinsime prizmės pagrindus, gausime vystymąsi viso paviršiaus prizmės. Prizmės pagrindai turi būti pritvirtinti prie atitinkamo šoninio paviršiaus trianguliacijos metodu.
Viršutiniame prizmės pagrinde, naudodami spindulius R ir R 1, nustatome taško F vietą, o šoninėje pusėje, naudodami spindulį R 3 ir H 1, nustatome tašką K.
III. Vizualus prizmės vaizdavimas dimetrija.
III, a.
Apatinį prizmės pagrindą pavaizduojame pagal taškų A, B, C, D ir E koordinates (284 pav. I, a).
III, b.
Viršutinį pagrindą pavaizduojame lygiagrečiai apatinei, atskirtą nuo jo prizmės aukščiu H.
III, c. Šoninius kraštus pavaizduojame sujungdami atitinkamas pagrindų viršūnes tiesiomis linijomis. Mes nustatome matomus ir nematomus prizmės elementus ir nubrėžiame juos atitinkamomis linijomis, III, d Prizmės paviršiuje nustatome taškus F ir K - taškas F - viršutiniame pagrinde nustatomas naudojant i ir e matmenis; taškas K - šoninėje pusėje, naudojant i 1 ir H".
Už
Duota:
izometrinis vaizdas
2. Šoninės briaunos lygiagrečios P 2 plokštumai.
3. Nė viena pagrindo pusė nėra lygiagreti x 12 ašiai
I. Kompleksinis brėžinys.
aš, a. Projektuojame pagalši sąlyga
: apatinis pagrindas yra daugiakampis, esantis plokštumoje P1, o šoninis kraštas yra atkarpa, lygiagreti plokštumai P2 ir pasvirusi į plokštumą P1. Aš, gim. Suprojektuojame likusius šoninius kraštus – segmentus lygius ir
lygiagrečiai pirmajai šonkaulis CE. Aš, c.
Viršutinį prizmės pagrindą projektuojame kaip daugiakampį, lygų ir lygiagretų apatiniam pagrindui, gauname
sudėtingas piešinys prizmės. Mes nustatome nematomus elementus ant projekcijų. VM krašto priekinė projekcija ir pagrindinio kompaktinio disko šono horizontalioji projekcija punktyrinėmis linijomis pavaizduotos kaip nematomos.
I, g Duota taško Q frontalioji projekcija šoninio paviršiaus projekcijoje A 2 K 2 F 2 D 2; reikia rasti jo horizontalią projekciją. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite pagalbinę liniją per tašką Q 2 prizmės paviršiaus projekcijoje A 2 K 2 F 2 D 2, lygiagrečią šio paviršiaus šoniniams kraštams. Randame pagalbinės linijos horizontalią projekciją ir ant jos naudodamiesi
vertikali linija
ryšį, nustatome norimos taško Q horizontalios projekcijos Q 1 vietą.
II. Prizmės paviršiaus vystymasis. Turint natūralius pagrindo kraštinių matmenis horizontalioje projekcijoje ir briaunų matmenis priekinėje projekcijoje, galima sukonstruoti pilną tam tikros prizmės paviršiaus raidą. Mes ridensime prizmę, kiekvieną kartą sukdami ją aplink šoninį kraštą, tada kiekvienas prizmės šoninis paviršius plokštumoje paliks pėdsaką (lygiagrečią), lygų jos natūralaus dydžio. Šoninį nuskaitymą sukursime tokia tvarka:
a) iš taškų A 2, B 2, D 2. . . E 2 (
priekinės projekcijos
pagrindų viršūnės) nubrėžti pagalbines tieses, statmenas briaunų projekcijoms;
b) spinduliu R (lygu pagrindo CD kraštinei) taške D padarome įpjovą pagalbinėje tiesėje, nubrėžtoje iš taško D 2 ; sujungę tiesius taškus C 2 ir D ir nubrėžę tieses lygiagrečias E 2 C 2 ir C 2 D, gauname šoninį paviršių CEFD;
c) tada, panašiai išdėstydami šiuos šoninius paviršius, gauname prizmės šoninių paviršių raidą. Norėdami visiškai išvystyti šios prizmės paviršių, pritvirtiname ją prie atitinkamų pagrindo paviršių. Prizmė III. Vizualus prizmės vaizdavimas izometrijoje. lygus daugiakampis ir atitinkamai su lygiagrečios pusės, o visos briaunos, esančios ne šiose plokštumose, yra lygiagrečios.
Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Susidaro visi šoniniai veidai šoninis paviršius prizmės .
Visi šoniniai prizmės paviršiai yra lygiagretainiai .
Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizmės įstrižainė yra atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (AD 1).
Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .
Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia, perėjimo tvarka nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viršūnės yra viename pagrinde yra žymimi raidėmis be rodyklės, o kitoje - su indeksu)
Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, gulinčioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle prie pagrindo yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet todėl tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai - prizmės pagrindai, 5 paviršiai - lygiagretainiai, - jos šoniniai paviršiai)
Tarp tiesių prizmių jis išsiskiria privatus vaizdas: teisingos prizmės.
Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.
Lygiagretaus vamzdžio
Lygiagretaus vamzdžio- Tai keturkampė prizmė, kurio pagrinde yra lygiagretainis (pasviręs gretasienis). Dešinysis gretasienis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms.Stačiakampis gretasienis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.
Savybės ir teoremos:
Kai kurios gretasienio savybės yra panašios žinomos savybės lygiagretainis Stačiakampis gretasienis, turintis vienodi išmatavimai, yra vadinami kubas
.Kubas turi visus vienodus kvadratus. Įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai 
,
čia d yra kvadrato įstrižainė;
a yra kvadrato kraštinė.
Prizmės idėją pateikia:
- įvairių architektūrinės konstrukcijos;
- Vaikiški žaislai;
- pakavimo dėžės;
- dizainerių dirbiniai ir kt.
Prizmės viso ir šoninio paviršiaus plotas
Bendras prizmės paviršiaus plotas yra visų jos veidų plotų suma Šoninio paviršiaus plotas vadinama jo šoninių paviršių plotų suma. Prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai, tada jų plotai lygūs. Štai kodėlS pilnas = S pusė + 2S pagrindinis,
Kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S bazė- bazinis plotas
Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.
S pusė= P pagrindinis * h,
Kur S pusė- tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,
P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,
h – tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.
Prizmės tūris
Prizmės tūris lygus produktui pagrindo plotas iki aukščio.
