Klasikinė ir kvantinė statistinė fizika. Gibso santykio išvedimas. Termodinamikos principai. Liouville'io teorema ir Boltzmanno bei Zieglerio kinetinės lygtys. Statistinės fizikos metodai heterogeninėse terpėse.

1. Gibso santykio išvedimas

Įvadinės pastabos . Centrinę vietą nevienalyčių terpių mechanikoje užima valdymo lygčių išvedimas. Būtent konstitucinėse lygtyse yra specifikacijos, leidžiančios atskirti skirtingų mechaninių savybių laikmenas. Valdymo lygtis galima išvesti įvairiais būdais – tiek griežtais, remiantis vidurkinimo metodais, tiek euristiniais. Labiausiai paplitęs metodas yra minčių eksperimentų derinys, atsižvelgiant į termodinaminius principus. Abu šie metodai yra fenomenologiniai, nors termodinaminis metodas yra giliai išplėtotas ir pagrįstas pagrindiniais fiziniais dėsniais. Akivaizdu, kad fenomenologinį apibrėžiančių santykių išvedimą reikia pagrįsti bendrais fiziniais principais, ypač naudojant statistinius metodus.

Statistinės fizikos studijų sistemos, susidedančios iš didžiulis skaičius tos pačios ar panašios sudėties elementai (atomai, molekulės, jonai, submolekulinės struktūros ir kt.). Heterogeninių terpių mechanikoje tokie elementai yra mikronehomogeniškumas (poros, įtrūkimai, grūdeliai ir kt.). Ištirti juos naudojant deterministinius metodus beveik neįmanoma. Tuo pačiu metu didžiulis šių elementų skaičius leidžia atskleisti statistinius modelius ir ištirti šią sistemą naudojant statistinius metodus.

Pagrinde statistiniais metodais yra pagrindinės sistemos ir posistemės sąvokos. Pagrindinė sistema (termostatas) yra daug didesnė nei posistemė, tačiau abi yra termodinaminės pusiausvyros būsenoje. Statistinės fizikos tyrimo objektas yra būtent posistemė, kuri kontinuuminėje mechanikoje tapatinama su elementariu tūriu, o heterogeninėje mechanikoje su fazių tūriu elementariame tūryje.

Gibso metodas statistinėje fizikoje yra pagrįstas sąvokomis fazinė erdvė ir trajektorijos fazinėje erdvėje. Fazinė erdvė yra kiekvienos dalelės, sudarančios posistemį, koordinačių ir impulsų erdvių topologinis produktas. Trajektorijose fazinėje erdvėje yra daug nereikalingos informacijos, pvz. pradines vertes ir informacija apie ribines sąlygas, kai trajektorija pasiekia ribą. Aprašant vieną trajektoriją fazinėje erdvėje, dažniausiai naudojama ergodinė hipotezė (arba jos pakaitalas, kuris ją šiek tiek modifikuoja, bet yra tinkamas griežtam įrodymui). Ergodinės hipotezės įrodinėjimo subtilybės nėra svarbios, todėl prie jų nesigiliname. Tai leidžia vieną trajektoriją pakeisti visu valstybių ansambliu. Lygiavertis aprašymas naudojant būsenų ansamblį leidžia atsikratyti šios nereikalingos informacijos. Valstybių ansamblis leidžia paprastai ir skaidriai interpretuoti. Jį galima įsivaizduoti kaip kažkokias fiktyvias dujas fazinėje erdvėje, kuri aprašoma naudojant transportavimo lygtį.

Statistinis metodas apima du tyrimų lygius – kvantinį ir klasikinį. Kiekvienas heterogeninės terpės mikroskopinis nehomogeniškumas kontinuumo mechanika apibūdinamas kaip kažkoks vienalytis vienalytis kūnas. Daroma prielaida, kad kvantinės statistinės fizikos teorija jau buvo panaudota tiriant šių nehomogeniškumo mechanines ir termodinamines savybes. Kai atliekame atsitiktinių nehomogeniškumo vidurkį nevienalytėje aplinkoje, šiuos nehomogeniškumus laikome klasikiniais atsitiktiniais objektais. Kvantinės ir klasikinės statistinės fizikos samprotavimai yra labai panašūs, nors ir turi tam tikrų skirtumų. Kvantinėje statistikoje fazės tūris turi atskiras reikšmes. Tačiau tai nėra vienintelis skirtumas. Kvantinėje statistikoje fiktyvios dujos yra nesuspaudžiamos ir yra tik transportuojamos. Klasikinėje statistikoje transporto lygtis apima terminą, apibūdinantį išsisklaidymą molekuliniame lygmenyje. Formaliai tai atrodo kaip šaltinis. Skirtinga šio šaltinio išvaizda leidžia išsaugoti visą fiktyvių dujų masę, tačiau leidžia joms lokaliai išnykti ir vėl atsirasti. Šis procesas primena difuziją fiktyvioje fazių erdvėje.

Be to, remiantis klasikine statistika, toliau aiškinama pati termodinamika, įskaitant termodinamiką negrįžtami procesai. Supažindinama su termodinaminių funkcijų sąvokomis, kurių pagalba išvedamos valdymo lygtys. Poroelastinės terpės apima konservatyvius ir dissipacinius procesus. Skelete atsiranda grįžtamos elastinės deformacijos, kurios atstovauja konservatyvią termodinaminę sistemą, o skystyje vyksta išsisklaidymo procesai. Poringoje klampioje terpėje abi fazės (skeleto ir skysčio) yra išsisklaidančios.

Mikroprocesai ir makroprocesai . Heterogeninėse terpėse posistemis yra elementarus tūris, kuris tenkina nevienalytės terpės postulatus. Visų pirma, jis atitinka vietinio statistinio homogeniškumo ir vietinės termodinaminės pusiausvyros sąlygas. Atitinkamai, visi objektai ir procesai savo mastu skiriasi į mikroprocesus ir makroprocesus. Makroprocesus aprašysime naudodami apibendrintas koordinates ir apibendrintas jėgas . Čia apatiniai indeksai reiškia ne tik vektorių ir tenzorių indeksus, bet ir įvairius dydžius (įskaitant dydžius su skirtingais tenzoriaus matmenimis). Svarstydami apie mikroprocesus naudosime apibendrintos koordinatėsIr apibendrintas greitis. Šios koordinatės apibūdina didelių molekulių judėjimą, jų asociacijas ir nehomogeniškumą, kurie laikomi klasikiniais objektais. Posistemės fazių erdvę sudaro koordinatės ir greičiai visos dalelės, sudarančios tam tikrą elementarų tūrį.

Reikėtų pažymėti, kad kvantinėje mechanikoje dalelių prigimtis yra griežtai nustatyta. Dalelių skaičius yra baigtinis, o jų judėjimo dėsniai yra žinomi ir vienodi kiekvienam dalelių tipui. Visai kitokia situacija susidaro heterogeninių terpių mechanikoje. Paprastai kiekvienai fazei turime fenomenologiniais metodais išvestus konstitucinius ryšius. Bendrieji konstituciniai ryšiai visam elementariajam tūriui makro lygmeniu dažniausiai yra tyrimo objektas. Dėl šios priežasties elementų sąveika mikro lygmeniu heterogeninėje aplinkoje nėra tinkama standartiniams tyrimo metodams.

Šiuo atžvilgiu reikalingi nauji metodai ir požiūriai, kurie dar nėra visiškai sukurti. Vienas iš tokių požiūrių yra Zieglerio Gibbso teorijos apibendrinimas. Jo esmė slypi tam tikroje Liouville lygties modifikacijoje. Šis metodas bus išsamiau aprašytas toliau. Pirmiausia pateikiame standartinį Gibbso teorijos pristatymą, o tada pateikiame ją apibendrinančias idėjas.

Sistemos energija pokyčiai dėl darbo
makro lygmeniu, kuris išreiškiamas ryšiu

. Jis taip pat keičiasi dėl šilumos antplūdžio
susijęs su molekulių judėjimu. Užrašykime pirmąjį termodinamikos dėsnį diferencine forma

. (1.1)

Aprašysime mikroprocesus naudojant Lagranžo lygtys

, (1.2) kur
–Lagrange funkcija,– kinetinės ir – potenciali energija.

Gibbso teorija nustato tokius apribojimus. Daroma prielaida, kad potencinė energija priklauso nuo mikrokoordinačių ir makrokoordinačių, o kinetinė – tik nuo mikrokoordinačių ir jų greičių. Tokiomis sąlygomis Lagrange funkcija nepriklauso nuo laiko ir makrogreičių.

.

Lagranžo formos (1.2) judėjimo lygtimis pagrįstas metodas gali būti pakeistas ekvivalentišku Hamiltono formalizmu, įvedant apibendrintą momentą. mikrokoordinatėms

,
, Ir Hamiltono funkcija
, kuris turi bendrosios dalelės energijos reikšmę. Užrašykime Hamiltono funkcijos prieaugį

Dėl impulsų apibrėžimo ir Lagranžo judėjimo lygčių ši išraiška transformuojama

, (1.2), kuris pateikiamas toliau Hamiltono judėjimo lygtis

,
. (1.3a) kur
turi sistemos energijos reikšmę, taip pat papildomą rasių tapatumą

. (1.3b)

Čia reikia pažymėti, kad Lagrange ir Hamilton funkcijos išreiškiamos skirtingais argumentais. Todėl paskutinė tapatybė turi ne visai trivialią reikšmę. Užrašykime vienos dalelės diferencialinę išraišką (1.2) jos trajektorijoje

.

Naudodami (1.3), transformuojame šią išraišką

.

Vadinasi, dalelių energija priklauso tik nuo apibendrintų makrokoordinačių. Jei laikui bėgant jie nesikeičia, tada energija išsaugoma.

Statistinis sistemos apibūdinimo metodas . Informacijos apie pradines sistemos (1.3) sąlygas ir jos elgesį prie kūno ribos trūkumą galima įveikti, jei naudosime statistinį šios sistemos tyrimo metodą. Tegul ši mechaninė sistema turi laisvės laipsniai, susiję su mikroskopiniais kintamaisiais. Kitaip tariant, visų taškų padėtis įprastoje trimatė erdvė charakterizuojamas apibendrintos koordinatės(
). Panagrinėkime didesnio skaičiaus kintamųjų fazių erdvę
. Fazinę būseną apibūdina taškas su koordinatėmis
V
-dimensinė Euklido erdvė. Praktiškai mes visada tiriame konkretų objektą, kuris yra kokios nors didelės (palyginti su nurodytu objektu) sistemos dalis ( išorinę aplinką ). Šis objektas dažniausiai sąveikauja su išorine aplinka. Todėl ateityje kalbėsime apie posistemė(kuri užima dalį fazinės erdvės) sąveikauja su sistema (kuri užima visą fazių erdvę).

Įsikrausčius
-dimensinė erdvė, viena trajektorija palaipsniui užpildo visą šią fazės erdvę. Padėkime
ir žymėti
ta fazinės erdvės tūrio dalis, kurioje tam tikras posistemis praleidžia „beveik visą laiką“. Čia turime omenyje laiką, per kurį posistemis yra beveik pusiausvyros būsenoje. Per pakankamai ilgą laiką fazės trajektorija per šią fazinės erdvės atkarpą praeis daug kartų. Priimkime ergodinę hipotezę, pagal kurią vietoj vieno judančio taško fazinėje erdvėje galime laikyti daug taškų, sudarančių statistinį ansamblį. Perėjimas į be galo mažą elementariosios fazės tūrį

, pristatykime nuolatinio paskirstymo funkciją naudojant santykį

. Čia – taškų skaičius fazinio tūrio elemente
,
– visas numeris taškai visoje fazių erdvėje, – tam tikras normalizavimo koeficientas, turintis veiksmo dimensiją. Jis apibūdina pasirinkto fazinės erdvės tūrio elemento statistinį svorį. Paskirstymo funkcija tenkina normalizavimo sąlygą

arba
. (1.4)

Leiskite
– bendras laikas, kurį sistema praleidžia elementariame tūryje
, A – visu etatu materialaus taško judėjimas jo trajektorija. Remdamiesi ergodine hipoteze, darome prielaidą, kad

. (1.5)

Grynai formaliai samprotaudami galime daryti prielaidą, kad fazinėje erdvėje yra fiktyvių dujų, kurių tankis lygus fazinės erdvės taškų skaičiaus tankiui. Išgalvotų dujų molekulių skaičiaus išsaugojimas išreiškiamas transportavimo lygtimi fazinėje erdvėje, panašiai kaip masės tvermės įprastoje trimatėje erdvėje dėsnis. Šis išsaugojimo dėsnis vadinamas Liuvilio teorema

. (1.6)

Remiantis Hamiltono lygtimis, fazinio skysčio nesuspaudžiamumo sąlyga yra tokia:

(1.7)

Įveskime konvekcinę išvestinę

.

Sujungę (1.6) ir (1.7), gauname fazinio skysčio transportavimo lygtį

arba
. (1.8)

Remiantis ergodine hipoteze, dalelių skaičiaus tankis fazinėje erdvėje yra proporcingas tikimybės tankiui būsenų ansamblyje. Todėl (1.8) lygtis gali būti pavaizduota kaip

. (1.9)

Esant pusiausvyros būsenai su pastoviais išoriniais parametrais, mikrosistemos energija, pavaizduota Hamiltono, išsaugoma palei trajektoriją fazinėje erdvėje. Lygiai taip pat dėl ​​(1.9) išsaugomas tikimybių tankis. Iš to išplaukia, kad tikimybės tankis yra energijos funkcija.

. (1.10)

Priklausomybė iš nesunku gauti, jei pastebėsite, kad posistemių energijos pridedamos, o tikimybės padauginamos. Šią sąlygą tenkina vienintelė funkcinės priklausomybės forma

. (1.11) Šis skirstinys vadinamas kanoniniu. Čia – Boltzmanno konstanta, kiekiai
Ir
turi energijos dimensiją. Kiekiai
Ir vadinamos laisva energija ir temperatūra.

Nustatykime vidinę energiją kaip tikrosios energijos vidutinė vertė

. (1.12)

Čia pakeitę (1.11), gauname

.

Entropija apibrėžiamas kaip

Santykis (1.13) įveda naują sąvoką – entropiją. Antrasis termodinamikos dėsnis teigia, kad pusiausvyros būsena sistemoje, jos entropija linkusi didėti, o esant termodinaminei pusiausvyrai entropija išlieka pastovi. Sujungę (1.12) ir (1.13), gauname

. (1.14) Ryšys (1.14) yra kitų termodinaminių funkcijų, apibūdinančių posistemio pusiausvyros būseną, išvedimo pagrindas.

Tarkime, kad fazės tūrio viduje
tam tikro posistemio tikimybės tankis yra beveik pastovus. Kitaip tariant, šis posistemis yra silpnai susietas su aplinka ir yra pusiausvyros būsenoje. Santykis tam galioja

. (1.15) Čia
– delta funkcija.

Šis skirstinys vadinamas mikrokanoniniu, priešingai nei kanoninis skirstinys (1.11). Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad abu skirstiniai labai skiriasi ir netgi prieštarauja vienas kitam. Tiesą sakant, tarp jų nėra prieštaravimų. Įveskime spindulį daugiamatėje fazių erdvėje tai labai didelis skaičius matavimai. Ploname vienodo atstumo (energijos) sferiniame sluoksnyje taškų skaičius žymiai viršija taškų skaičių šios sferos viduje. Būtent dėl ​​šios priežasties skirstiniai (1.11) ir (1.15) mažai skiriasi vienas nuo kito.

Norint patenkinti paskutinį ryšį (1.4), būtina, kad šis tikimybės tankis būtų lygus

. (1.16)

Paskirstymą (1.11) pakeiskime paskutiniuoju ryšiu (1.4)

ir jį atskirti. Atsižvelgiant į tai
yra makrokoordinačių funkcija, mes turime

,
.

Naudodami (1.14), transformuojame šią išraišką

. (1.17a) Čia
- šilumos srautas,
- Darbas išorinės jėgos. Šiuos santykius pirmasis sukūrė Gibbsas, ir jie vadinasi. Dujoms jis turi ypač paprastą formą

. (1.17b) Čia - spaudimas, - tūris.

Fenomenologiniame lygmenyje taip pat pateikiamas temperatūros apibrėžimas. Atkreipkite dėmesį, kad šilumos srautas nėra termodinaminės funkcijos skirtumas, o entropija tokia yra pagal apibrėžimą. Dėl šios priežasties išraiškoje (1.17) yra integruojantis veiksnys , kuri vadinama temperatūra. Galite paimti šiek tiek darbinio skysčio (vandens arba gyvsidabrio) ir įvesti temperatūros pokyčių skalę. Toks kūnas vadinamas termometras. Formoje parašykime (1.17).

. Temperatūra šiuo atžvilgiu yra tam tikras intensyvus dydis.

Apibendrintos jėgos ir poslinkiai yra termodinamiškai konjuguoti dydžiai. Taip pat temperatūra ir entropija yra konjuguoti dydžiai, iš kurių vienas yra apibendrinta jėga, o kitas yra apibendrintas poslinkis. Iš (1.17) išplaukia

. (1.18)

Pagal (1.14) už nemokama energija turime panašią diferencinę išraišką

. (1.19) Šiame santykyje temperatūra ir entropija, kaip konjuguoti dydžiai, keičiasi vietomis, o išraiška (1.18) yra modifikuota

. (1.20)

Norint panaudoti šiuos ryšius, būtina nurodyti nepriklausomus termodinamines funkcijas apibrėžiančius parametrus ir išraiškas.

Galima pateikti griežtesnį temperatūros apibrėžimą. Panagrinėkime, pavyzdžiui, uždarą (izoliuotą) sistemą, susidedančią iš dviejų kūnų ir esantį termodinaminės pusiausvyros būsenoje. Energija ir entropija yra papildomi dydžiai
,
. Atkreipkite dėmesį, kad entropija yra energijos funkcija, taigi
. Esant pusiausvyrai, entropija yra stacionarus taškas dėl energijos perskirstymo tarp dviejų posistemių, t.y.

.

Tai tiesiogiai seka

. (1.21)

Entropijos išvestinė energijos atžvilgiu vadinama absoliučia temperatūra (arba tiesiog temperatūra ). Šis faktas taip pat tiesiogiai išplaukia iš (1.17). Santykis (1.21) reiškia kai ką daugiau: termodinaminės pusiausvyros būsenoje kūnų temperatūros yra vienodos

. (1.22)

STATISTINĖ, statistikos skyrius. fizika, skirta sąveikos dėsniais pagrįstiems dėsniams pagrįsti. ir sistemą sudarančių dalelių judesiai. Sistemoms, kurios yra pusiausvyros būsenoje, statistiniai duomenys leidžia apskaičiuoti, įrašyti, fazės ir chemines sąlygas. . Nepusiausvyros statistika pagrindžia ryšius (energijos, impulso, masės perdavimo lygtis ir jų ribines sąlygas) ir leidžia apskaičiuoti į perdavimo lygtis įtrauktą kinetiką. koeficientai. Statistika nustato kiekius. ryšys tarp fizinių mikro ir makro savybių. ir chem. sistemos Skaičiavimo metodai

statistiniai yra naudojami visomis šiuolaikinės kryptimis. teorinis . Dėl statistikos makroskopiniai aprašymai sistemos J. Gibbsas (1901) pasiūlė vartoti statistikos sąvokas. ansamblio ir fazių erdvės, leidžiančios uždaviniams spręsti pritaikyti tikimybių teorijos metodus. Statistiniai ansamblis – labai daug vienodų daugiskaitos sistemų rinkinys. dalelės (t. y. nagrinėjamos sistemos „kopijos“), esančios toje pačioje makrobūsenoje, kurią lemia ; Sistemos mikrobūsenos gali skirtis. Pagrindinis statistiniai ansambliai – mikrokanoniniai, kanoniniai, didieji kanoniniai.

ir izobarinis-izoterminis.

Mikrokanoninis Gibso ansamblis naudojamas vertinant (nekeičiant energijos E su) turint pastovų tūrį V ir identiškų dalelių skaičių N (E, V ir N sistemos).

Kanonich. Gibso ansamblis naudojamas apibūdinti pastovaus tūrio sistemas, kurios yra šiluminėje c (absoliučioje temperatūroje T) su pastoviu dalelių skaičiumi N (V, T, N). Didysis kanonas. Gibbso ansamblis naudojamas apibūdinti esantiems šiluminiame c (temperatūra T) ir medžiagai su dalelių rezervuaru (visos dalelės keičiasi per sistemą supančias „sieneles“, kurių tūris V). tokios sistemos - V, T ir m - cheminis dalelių potencialas. Izobarinis-izoterminis Gibbso ansamblis naudojamas terminio ir kailio sistemoms apibūdinti. klasika sistema f(p, q) apibūdina tam tikro mikro realizavimo tikimybių tankįbūsenos (p, q) fazinės erdvės tūrio elemente dГ.

Tikimybė, kad N dalelių bus be galo mažame fazių erdvės tūryje, yra lygi: čia dГ N yra sistemos fazės tūrio elementas h 3N vienetais, h yra Planko konstanta; daliklis N! atsižvelgiama į tai, kad tapatybių pertvarkymas. dalelės nekeičia sistemos būklės. Pasiskirstymo funkcija tenkina normalizavimo sąlygą t f(p, q)dГ N = 1, nes sistema patikimai yra k.-l. sąlyga. Kvantinėms sistemoms pasiskirstymo funkcija nustato tikimybę w i , N rasti N dalelių sistemą , nurodytą aibės. kvantiniai skaičiai

i , kurios energija E i,N yra normalizuojamaVidutinė vertė momentu t (t. y. pagal

be galo mažas laiko intervalas nuo t iki t + dt) bet koks fizinis. reikšmė A(p, q), kuri yra visų sistemos dalelių koordinačių ir momento funkcija, apskaičiuojama naudojant pasiskirstymo funkciją pagal taisyklę (įskaitant nepusiausvyrinius procesus):

Integravimas per koordinates vykdomas visame sistemos tūryje, o integravimas per impulsus nuo - , iki +, . Termodinaminė būsena sistemos turėtų būti laikomos ribine t: , . Pusiausvyros būsenoms pasiskirstymo funkcijos nustatomos neišsprendžiant sistemą sudarančių dalelių judėjimo lygties. Šių funkcijų formą (ta pati klasikinėms ir kvantinėms sistemoms) nustatė J. Gibbsas (1901).

Mikrokanone. Gibso ansamblyje visos mikrobūsenos, turinčios tam tikrą energiją E, yra vienodai tikėtinos, o pasiskirstymo funkcija klasikinei sistemos turi tokią formą: f(p,q) = A

d, Kur d – Dirako delta funkcija, H(p, q) – Hamiltono funkcija, kuri yra kinetikos suma. ir potencialas visų dalelių energijos; konstanta A nustatoma iš funkcijos f(p, q) normalizavimo sąlygos. Kvantinėms sistemoms, turinčioms specifikacijų tikslumą, lygi vertei< Е и E k >D E, atsižvelgiant į tarp energijos ir laiko (tarp impulso ir dalelių koordinatės), funkcija w (E k) = -1, jei EE k E + D E, ir w (E k) = 0, jei E k

E + D E. Reikšmė g(E, N, V)-t. paskambino statistiniai , lygus energijos skaičiui. sluoksnis D E. Svarbus statistinis ryšys yra ryšys tarp sistemos ir statistinio. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), kur k-Boltzmanno konstanta.Kanone. Gibbso ansamblyje tikimybė, kad sistema bus mikrobūsenoje, kurią lemia visų N dalelių koordinatės ir momentas arba E i, N reikšmės, yra tokia: f(p, q) = exp (/kT) ;

w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],

kur Z N -statistinė. suma (tuo atveju kvantinė sistema

) arba statistiniai integralas (klasikinės sistemos atveju), nustatomas pagal funkcijų w i,N arba f(p, q) normalizavimo sąlygą: Z N =

t exp[-H(p, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(suma virš r visose sistemose, o integracija vykdoma visoje fazinėje erdvėje).

d, Didžiajame kanone. Gibso ansamblio skirstinio funkcija f(p, q) ir statistinė. suma X, nustatyta iš normalizavimo sąlygos, yra tokia:

W – termodinaminis

potencialas, priklausantis nuo kintamųjų V, T, m (sumavimas atliekamas per visus teigiamus sveikuosius skaičius N). Izobarinėje-izoterminėje Gibbso ansamblio pasiskirstymas ir statistinė funkcija. suma Q, nustatyta iš normalizavimo sąlygos, yra tokia: kur G sistemos (izobarinis-izoterminis potencialas, laisvas). Norėdami apskaičiuoti termodinamiką funkcijas, galite naudoti bet kokį paskirstymą: jie yra lygiaverčiai vienas kitam ir atitinka skirtingus fizinius. sąlygas. Mikrokanoninis Taikomas Gibso skirstinys. arr. teorinėje tyrimai. Norėdami išspręsti esant duotam išoriniam sąlygos (E, V, N), t.y. pusiausvyros būsena yra labiausiai. tikėtina būsena (su max. statistine ). Todėl perėjimas iš nepusiausvyros būsenos į pusiausvyros būseną yra perėjimo iš mažiau tikėtinų į labiau tikėtinų būsenų procesas. Tai yra statistinis taškas. didėjimo dėsnio prasmė, pagal kurią gali tik didėti (žr.). Tuo t-re abs. nuo nulio, bet kokia sistema yra iš esmės būsena, kurioje w 0 = 1 ir S = 0. Šis teiginys yra (žr.). Svarbu, kad nedviprasmiškas apibrėžimas reikia naudoti kvantinis aprašymas, nes klasikoje statistika m.b. apibrėžiamas tik iki savavališko termino.

Idealios sistemos. Statistikos skaičiavimas daugumos sistemų sumos sunki užduotis. Tai žymiai supaprastinta, jei potencialo indėlis. energija viduje pilna energija sistemų galima nepaisyti. Šiuo atveju pilnoji pasiskirstymo funkcija f(p, q) N dalelių ideali sistema išreiškiamas vienos dalelės pasiskirstymo funkcijų sandauga f 1 (p, q):

Dalelių pasiskirstymas tarp mikrobūsenų priklauso nuo jų kinetikos. energijos ir iš kvantinių šventųjų sistemoje, dėldėl dalelių tapatumo. Visos dalelės skirstomos į dvi klases: fermionus ir bozonus. Statistikos, kuriai taikomos dalelės, tipas yra vienareikšmiškai susijęs su jų .

Fermi-Dirac statistika apibūdina pasiskirstymą tapatybių sistemoje. dalelės, kurių pusinis sveikasis skaičius 1/2, 3/2,... vienetais ђ = h/2p. Dalelė (arba kvazidalelė), kuri paklūsta nurodytai statistikai, vadinama. fermionas. Fermionai apima ir nelyginius, ir nelyginius skirtumus bei skaičius, kvazidaleles (pavyzdžiui, skyles) ir kt. Ši statistika buvo pasiūlytas E. Fermio 1926 m. tais pačiais metais P. Diracas atrado jos kvantinę mechaniką.

prasmė. Fermioninės sistemos banginė funkcija yra antisimetrinė, t.y. keičia savo ženklą pertvarkydamas koordinates ir bet kokias tapatybes. dalelių. Kiekvienoje gali būti ne daugiau kaip viena dalelė (žr.). Vidutinis fermiono dalelių skaičius n i būsenoje su energija E i nustatomas pagal Fermi-Dirac pasiskirstymo funkciją:

n i =(1+exp[(E i -

m )/kT]) -1 , kur i yra kvantinių skaičių, apibūdinančių dalelės būseną, rinkinys. pavyzdžiui, iš lyginio skaičiaus fermionų. su lyginiu bendru skaičiumi ir (deuteronas, 4 He branduolys ir kt.).

Bozonai taip pat apima fononus ir skystą 4 He, eksitonus ir. Sistemos banginė funkcija yra simetriška bet kokių tapatybių permutacijos atžvilgiu. dalelių. Pildymo skaičiai niekaip neribojami, t.y. Vienoje būsenoje gali egzistuoti bet koks dalelių skaičius. Vidutinis dalelių skaičius n i bozonų būsenoje su energija E i apibūdinamas Bose-Einstein pasiskirstymo funkcija:

n i =(exp[(E i - m )/kT]-1) -1 . Boltzmanno statistika yra tokia ypatingas atvejis kvantinė statistika, kai galima nepaisyti kvantinių efektų (

aukštas t-ry ). Jame atsižvelgiama į dalelių pasiskirstymą pagal momentus ir koordinates vienos dalelės fazių erdvėje, o ne visų dalelių fazių erdvėje, kaip Gibso skirstiniuose. Kaip minimum

fazinės erdvės tūrio vienetai, kurie pagal kvantinę mechaniką turi šešis matmenis (tris koordinates ir tris dalelių impulso projekcijas). , negalite pasirinkti mažesnio nei h 3 tūrio. Vidutinis dalelių skaičius n i būsenoje su energija E i apibūdinamas Boltzmanno pasiskirstymo funkcija:n i =exp[( m -E i)/kT]. Dalelėms, kurios juda pagal klasikinius dėsnius. mechanika išorėje potencialą lauke U(r), dalelių momento p ir koordinačių r skirstinio f 1 (p,r) statistinės pusiausvyros funkcija yra tokia:

f 1 (p,r) = A exp( - [p 2 /2m + U(r)]/kT).

Čia p 2 /2t-kinetika. masės w energija, konstanta A nustatoma iš normalizavimo sąlygos. Ši išraiškadažnai vadinamas Maxwell-Boltzmann skirstinys, o Boltzmann skirstinys vadinamas. funkcija n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT], kur n(r) =

Maksvelo pasiskirstymas nepriklauso nuo sąveikos. tarp dalelių ir galioja ne tik , bet ir (jei galimas klasikinis jų aprašymas), taip pat Brauno dalelėms, suspenduotoms ir . Jis naudojamas skaičiuojant susidūrimų tarp cheminių reakcijų skaičių. rajone ir iš paviršiaus.

Suma pagal valstybę. Statistiniai suma kanonine Gibbso ansamblis išreiškiamas per vieno Q 1 būsenų sumą:

kur E i yra i-ojo kvantinio lygio energija (atitinka i = O nulinis lygis), g i -statistika. i-tas lygis. IN bendras atvejis atskiros rūšys

judesiai ir grupės, taip pat judėjimas kaip visuma yra tarpusavyje susiję, tačiau maždaug jie gali būti laikomi nepriklausomais. Tada suma virš valstybių gali būti pateikiamas atskirų komponentų, susijusių su žingsniais, gaminio pavidalu. judėjimas (Q post) ir su intramol. judesiai (Q int):

d, Q 1 = Q post · Q int, Q post = l (V/N), l = (2p mkT/h 2) 3/2. Q ext reiškia elektroninių ir branduolinių būsenų sumą; Q int - elektroninių, branduolinių, virpesių suma. ir pasukti. teigia. IN plotas t-r nuo 10 iki 10 3 K, dažniausiai naudojamas apytikslis aprašymas, kuriame kiekvienas iš nurodytų judesių tipų nagrinėjamas atskirai: Q in = Q el · Q nuodai · Q sukimas · Q skaičius /g, kur g yra skaičius,

lygus skaičiui

tapatybę. konfigūracijos, atsirandančios sukimosi metu, sudarytos iš identiškų arba grupių. Elektroninio judėjimo Q el būsenų suma lygi statistinei. R t bas. elektroninė būsena. Daugiskaita atvejų bas. lygis yra neišsigimęs ir atskirtas nuo artimiausio sužadinto lygio, o tai reiškia. energija: (P t = 1). Tačiau kai kuriais atvejais, pvz. O 2, Р t = з, iš esmės. būseną, judesio kiekio momentas skiriasi nuo nulio ir vyksta, o energija gali. gana žemas. Q nuodų būsenų suma dėl branduolinių degeneracijos yra lygi: kur s i yra branduolio i sukinys, sandauga perimama visa . Virpesių būsenų suma. judėjimas kur v i -dažniai

Skaičiuojant aukštesnėje nei 10 3 K temperatūroje, būtina atsižvelgti į virpesių anharmoniškumą, sąveikos efektus. svyruoti ir pasukti. laisvės laipsniai (žr.), taip pat elektroninės būsenos, sužadinimo lygių populiacija ir tt Kada žemas t-rah(žemesnėje nei 10 K) būtina atsižvelgti į kvantinius efektus (ypač diatominiams). Gerai, pasukime. heterobranduolinio AB judėjimas apibūdinamas tokia formule:

l skaičių pasukti. būsenų, o homobranduoliniam A 2 (ypač H 2, D 2, T 2) branduolinis ir sukasi. laisvės laipsnių sąveika Draugassu draugu: Q nuodai. pasukti

Q nuodas ·Q sukimasis Žinant būsenų sumą, galima apskaičiuoti termodinamiką. Šventieji ir, įskaitant. chem. , pusiausvyros jonizacijos laipsnis ir kt. Svarbu abs teorijoje. greičiai r-cijos turi galimybę apskaičiuoti aktyvavimo formavimosi procesą. kompleksas ( pereinamoji būsena

), kuri pateikiama kaip modifikacija. dalelė, viena iš vibracijų. laisvės laipsniai pjūvis pakeičiamas įvesties laisvės laipsniu. judesiai. Neidealios sistemos.

d,

Sąveikoje vienas su kitu. Šiuo atveju suma per ansamblio būsenas nesumažinama iki sumų per atskirų būsenų sandaugą. Jei manytume, kad intermol. sąveika neturi įtakos vidinei valstybės, statistiniai sistemos suma klasikinėje kalboje aproksimacija , susidedanti iš N tapatybių. dalelės turi tokią formą:<2 ČiaN konfigūracija.

integralas, atsižvelgiant į sąveiką. . Naib, dažnai potencialus. energija U laikoma porų potencialų suma: U = =kur U(r ij) – centro potencialas. jėgos priklauso nuo

Dėl teorinių tankiųjų savybių aprašymai, ir neelektrolitų tirpalai bei sąsajos šiose sistemose yra patogesni nei tiesioginis statistinių duomenų skaičiavimas.suma yra n-dalelių pasiskirstymo funkcijų metodas. Jame, užuot skaičiuoję statistiką. kiekviena valstybė su fiksuota energija naudoja ryšius tarp pasiskirstymo funkcijų f n, kurios apibūdina tikimybę vienu metu rasti dalelių erdvės taškuose, kurių koordinatės r 1,..., r n; jei n = N f N = b t f(p, r)dp (čia ir žemiau q i = r i). Vienos dalelės funkcija f 1 (r 1) (n = 1) apibūdina medžiagos tankio pasiskirstymą. Šiam periodiniam. f-cija su maksimumais kristaliniuose mazguose. konstrukcijos; dėl išorinių arba nesant laukas yra pastovi reikšmė, lygi makroskopinei.

upės tankis Dviejų dalelių pasiskirstymo funkcija (n = 2) apibūdina radimo tikimybę

Grotelių kondensatorių modeliai.

valstybės rado platų pritaikymą termodinamikai. atsižvelgti į beveik visas fizikines ir chemines medžiagas. užduotis. Visas sistemos tūris yra padalintas į vietinius regionus, kurių būdingas dydis yra u 0 dydžio. Apskritai, skirtinguose modeliuose vietinės teritorijos dydis gali būti ir didesnis, ir mažesnis už u 0 ;daugeliu atvejų jie yra vienodi. Perėjimas prie diskretiško pasiskirstymo erdvėje žymiai supaprastina skirtumo skaičiavimą. . Grotelių modeliuose atsižvelgiama į sąveiką. vienas su kitu; energijos sąveika energingai aprašyta. parametrus. Daugeliu atvejų gardelės modeliai leidžia priimti tikslius sprendimus, o tai leidžia įvertinti naudojamų aproksimacijų pobūdį. Jų pagalba galima svarstyti daugiadaleles ir specifines. sąveika, orientacija efektai ir kt. Tinkliniai modeliai yra esminiai taikomi skaičiavimai ir labai nevienalyčių sistemų tyrimai ir įgyvendinimas.Skaitiniai termodinamikos nustatymo metodai. St.-in tampa vis svarbesni kompiuteriams tobulėjant.

technologija. Monte Karlo metodu tiesiogiai skaičiuojami daugiamačiai integralai, kurie leidžia tiesiogiai gauti statistinius duomenis. vidutinis pastebėtas

vertės A(r1.....r N) pagal bet kurią iš statistinių

ansambliai

Fizinė kinetika yra statistikos skyrius. fizika, kuri pagrindžia ryšius, apibūdinančius energijos, impulso ir masės perdavimą bei išorinių poveikių įtaką šiems procesams. laukus. Kinetinis. makroskopiniai koeficientai ištisinės terpės charakteristikos, lemiančios fizinių srautų priklausomybes. kiekiai (šiluma, impulsas, komponentų masė ir kt.) nuogradientiniai srautai, sukeliantys šiuos srautus, yra hidrodinaminiai. greitis ir tt Būtina išskirti Onsager koeficientus, įtrauktus į lygtis, jungiančias srautus su termodinamika.

jėgos (termodinaminė judesio lygtis) ir perdavimo koeficientai (ir kt.), įtraukti į perdavimo lygtį. Pirmoji m.b. išreikštas per pastarąjį, naudojant ryšius tarp makroskopinių. sistemos charakteristikos, todėl ateityje bus atsižvelgiama tik į koeficientus. perkėlimas.

Norėdami apskaičiuoti makroskopinį

d, koeficientas perkėlimą, būtina atlikti elementariųjų perdavimų realizavimo tikimybių vidurkį, naudojant nepusiausvyro pasiskirstymo funkciją. Pagrindinis sunkumas yra tas, kad analitė. pasiskirstymo funkcijos f(p, q, t) forma (t-laikas) nežinoma (priešingai nei sistemos pusiausvyros būsena, kuri aprašoma naudojant Gibso pasiskirstymo funkcijas, gautas ties t: , ). Apsvarstykite n-dalelių pasiskirstymo funkcijas f n (r, q, t), kurios gaunamos iš funkcijų f (p, q, t), apskaičiuojant likusių (N - n) dalelių koordinates ir momentus:Jiems galbūt. buvo sudaryta lygčių sistema, leidžianti apibūdinti savavališkas nepusiausvyras būsenas. Išspręsti šią lygčių sistemą yra labai sunku. Kaip taisyklė, kinetiškai teoriją ir dujines kvazidaleles (fermionus ir bozonus), naudojama tik vienos dalelės pasiskirstymo funkcijos f 1 lygtis. Darant prielaidą, kad nėra jokios koreliacijos tarp kokių nors dalelių būsenų (molekulinio chaoso hipotezė), vadinamasis. kinetinės Boltzmanno lygtis (L. Boltzmann, 1872). Šioje lygtyje atsižvelgiama į dalelių pasiskirstymo kitimą veikiant išoriniams poveikiams. jėgos F(r, m) ir porų susidūrimai tarp dalelių:po susidūrimo; u ir -dalelių greičiai prieš susidūrimą, u" ir -tų pačių dalelių greičiai po susidūrimo ir = |u -|-susidūrusių dalelių santykinio greičio modulis, q - kampas tarp santykinio dalelių greičio. u - susidūrusios dalelės ir jų centrus jungianti linija , s (u,q )dW - diferencialinis efektyvusis skerspjūvis dalelių sklaidai erdvės kampu dW laboratorinėje koordinačių sistemoje, priklausomai nuo dalelių sąveikos dėsnio elastingų standžių rutulių, kurių spindulys R, s = 4R 2 cosq Klasikinėje mechanikoje diferencialinis skerspjūvis išreiškiamas susidūrimo parametrais b ir e (atitinkamas smūgio atstumas ir centrų linijos azimutinis kampas) : s dW = bdbde , ir yra laikomi jėgų centrais, kurių potencialas priklauso nuo atstumo , atsižvelgiant į efektų įtaką susidūrimo tikimybei.

Jei sistema yra statistikoje , susidūrimo integralas Stf lygus nuliui ir kinetikos sprendimas. Boltzmanno lygtis bus Maksvelo skirstinys. Nepusiausvyros būsenoms – kinetikos sprendiniai. Boltzmanno lygčių paprastai ieškoma funkcijos f 1 (u, r, m) serijos išplėtimo forma mažuose parametruose, palyginti su Maksvelo pasiskirstymo funkcija.

Taikant paprasčiausią (atsipalaidavimo) aproksimaciją, susidūrimo integralas aproksimuojamas kaip Stgas; už (įprasta molekulių skysčiuose vienos dalelės pasiskirstymo funkcija f 1 neatskleidžia reiškinių specifikos ir reikia atsižvelgti į dviejų dalelių pasiskirstymo funkciją f 2. Tačiau pakankamai lėtiems procesams ir tais atvejais, kai skalės erdviniai nehomogeniškumas yra žymiai mažesnis nei koreliacijos tarp dalelių skalė, galite naudoti lokaliai pusiausvyros vienos dalelės pasiskirstymo funkciją su t-roy, cheminiais potencialais ir hidrodinaminiu greičiu, kurie atitinka mažą nagrinėjamų komponentų potencialą ir apskaičiuokite impulsų, energijos ir materijos srautus, taip pat pagrįskite Navier-Stokes lygtį, ir šiuo atveju perdavimo koeficientai yra proporcingi energijos, impulso ir materijos srautų erdvės ir laiko santykiams komponentas.

Norint apibūdinti medžiagą sąsajose ir jose, plačiai naudojamas grotelių kondensatoriaus modelis. fazės. sistemos būklė aprašoma iš esmės. t f(p,q,t)du- pasiskirstymo funkcija, apskaičiuojama pagal visų N dalelių impulsų (greičių) vidurkį, apibūdinanti dalelių pasiskirstymą gardelės struktūros mazguose (jų skaičius N y, N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") yra tikimybė, kad sistema per laiko vienetą pereis iš būsenos q, aprašytos visu dalelių koordinačių rinkiniu, į kitą būseną q". Pirmoji suma apibūdina visų procesų, kuriuose vyksta perėjimas į tam tikrą būseną q, indėlį, antroji suma apibūdina išėjimą iš šios būsenos. Esant pusiausvyriniam dalelių pasiskirstymui (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, kur Q-statistinis. suma, H(q) – sistemos energija q būsenoje. Perėjimo tikimybės atitinka išsamų principą: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q : q")exp[-H(q)/kT]. Remiantis funkcijų P(q,t) lygtimis, sudaroma kinetinė lygtis. n-dalelių pasiskirstymo funkcijų lygtys, kurios gaunamos apskaičiuojant visų kitų (N - n) dalelių vietas. Mažiems h ribose su, augimu, fazių transformacijomis ir tt Tarpfaziniam perkėlimui dėl elementariųjų dalelių migracijos procesų būdingų laiko skirtumų svarbų vaidmenį atlieka ribinių sąlygų fazių ribose tipas.

Mažoms sistemoms (mazgų skaičius N y = 10 2 - 10 5) lygčių sistema, susijusi su funkcija P(q,t), gali būti išspręstas skaitiniu būdu Monte Karlo metodu. Sistemos etapas iki pusiausvyros būsenos leidžia apsvarstyti skirtumus. pereinamieji procesai tiriant fazių virsmų kinetiką, augimą, paviršiaus reakcijų kinetiką ir kt. ir nustatyti jų dinamiką. charakteristikos, įskaitant koeficientą. perkėlimas.

Koeficientui apskaičiuoti. pernešimas dujinėse, skystose ir kietose fazėse, taip pat fazių ribose, aktyviai naudojami įvairūs mol metodo variantai. dinamika, leidžianti detaliai atsekti sistemas nuo ~10 -15 s iki ~10 -10 s (10 -10 - 10 -9 s ir daugiau laikotarpiais, vadinamoji Langevin lygtis yra naudojamos šios lygties Niutono sąvokos, kurių dešinėje pusėje yra stochastinis terminas).

Sistemoms su cheminėmis medžiagomis p-cijas, dalelių pasiskirstymo pobūdžiui didelę įtaką turi charakteringų perdavimo laiko ir jų cheminių savybių ryšys. transformacijos. Jei cheminės medžiagos greitis transformacija nedidelė, dalelių pasiskirstymas nedaug skiriasi nuo to atvejo, kai tirpalo nėra. Jei pasiskirstymo greitis didelis, jo įtaka dalelių pasiskirstymo pobūdžiui yra didelė ir negalima naudoti vidutinių dalelių (t.y. pasiskirstymo funkcijų, kai n = 1), kaip tai daroma naudojant. Būtina išsamiau apibūdinti pasiskirstymą naudojant pasiskirstymo funkcijas f n su n > 1. Svarbu aprašant reakciją. dalelių srautai paviršiuje ir greičiai turi ribines sąlygas(cm. ).

Lit.: Kubo R., Statistinė mechanika, vert. iš anglų k., M., 1967; Zubarev D.N., Nepusiausvyros statistika, M., 1971; Ishihara A., Statistinė fizika, vert. iš anglų k., M., 1973; Landau L. D., Lifshits E. M. L

Termodinamika ir statistinė fizika

Gairės ir kontrolės užduotis nuotolinio mokymosi studentams

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Metodiniai nurodymai ir kontrolinės užduotys nuotolinio mokymosi inžinerinių, techninių ir technologinių specialybių studentams. Jame yra programų skyriai „Statistinė fizika“, „Termodinamika“, tipinių uždavinių sprendimo pavyzdžiai ir testo užduočių variantai.

Raktažodžiai: Vidinė energija, šiluma, darbas; izoprocesai, entropija: pasiskirstymo funkcijos: Maxwell, Boltzmann, Bose – Einstein; Fermi – Dirac; Fermi energija, šiluminė talpa, būdinga Einšteino ir Debėjaus temperatūra.

Redaktorius T.Yu.Artyunina

Paruošta spaudai Formatas 6080 1/16

Sąlyginis p.l.

___________________________________________________

; ed.l. 3,0; Tiražas ____ egz. įsakymas Nr.

RIO VSTU, Ulan Udė, Klyuchevskaya, 40a

Atspausdinta ant VSTU, Ulan Ude, rotaprinto,

Kliučevskaja, 42 m.

Federalinė švietimo agentūra

Rytų Sibiro valstybė

technologijos universitetas

FIZIKA Nr.4

(Termodinamika ir statistinė fizika)

Gairės ir kontrolės užduotys

nuotolinio mokymosi studentams

Sudarė: Shelkunova Z.V.

Sanejevas E.L.

Leidykla VSTU

Ulan Udė, 2009 m

Statistinė fizika ir termodinamika

1 tema Dinaminiai ir statistiniai fizikos modeliai. Termodinaminiai ir statistiniai metodai. Molekulinės kinetinės teorijos elementai. Makroskopinė būklė. Fizikinių sistemų fizikiniai dydžiai ir būsenos. Makroskopiniai parametrai kaip vidutinės reikšmės. Šiluminė pusiausvyra. Modelis idealios dujos

. Idealiųjų dujų būsenos lygtis. Temperatūros samprata.

Perdavimo reiškiniai. Difuzija. Šilumos laidumas. Difuzijos koeficientas. Šilumos laidumo koeficientas. Šiluminis difuziškumas. Difuzija dujose, skysčiuose ir kietose medžiagose. Klampumas. Dujų ir skysčių klampos koeficientas.

3 tema

Termodinamikos elementai. Pirmasis termodinamikos dėsnis. Vidinė energija. Intensyvūs ir platūs parametrai.

4 tema

Grįžtamieji ir negrįžtami procesai. Entropija. Antrasis termodinamikos dėsnis. Termodinaminiai potencialai ir pusiausvyros sąlygos. Cheminis potencialas. Cheminės pusiausvyros sąlygos. Carnot ciklas.

5 tema

Paskirstymo funkcijos. Mikroskopiniai parametrai. Tikimybė ir svyravimai. Maksvelo paskirstymas. Vidutinė dalelės kinetinė energija. Boltzmann platinimas. Poliatominių dujų šiluminė talpa. Klasikinės šilumos talpos teorijos apribojimai.

6 tema

Gibbso paskirstymas. Sistemos modelis termostate. Kanoninis Gibso paskirstymas. Statistinė termodinaminių potencialų ir temperatūros reikšmė. Laisvos energijos vaidmuo.

7 tema

Gibso skirstinys sistemai su kintamu dalelių skaičiumi. Entropija ir tikimybė. Pusiausvyros sistemos entropijos nustatymas pagal statistinį mikrobūsenos svorį.

8 tema

Bose ir Fermi paskirstymo funkcijos. Plancko formulė svertinei šiluminei spinduliuotei. Tvarka ir netvarka gamtoje. Entropija kaip kiekybinis chaoso matas. Entropijos didinimo principas. Perėjimas nuo tvarkos prie netvarkos apie šiluminės pusiausvyros būseną.

9 tema

Eksperimentiniai kristalų virpesių spektro tyrimo metodai. Fononų samprata. Akustinių ir optinių fononų sklaidos dėsniai. Kristalų šiluminė talpa žemoje ir aukštoje temperatūroje. Elektroninė šilumos talpa ir šilumos laidumas.

10 tema

Elektronai kristaluose. Stiprios ir silpnos jungties aproksimacija. Laisvųjų elektronų modelis. Fermi lygis. Kristalų juostos teorijos elementai. Bloch funkcija. Elektronų energijos spektro juostos struktūra.

11 tema

Fermi paviršius. Elektroninių būsenų skaičiaus zonoje skaičius ir tankis. Juostų užpildai: metalai, dielektrikai ir puslaidininkiai. Puslaidininkių elektrinis laidumas. Skylės laidumo samprata. Vidiniai ir priemaišiniai puslaidininkiai. Koncepcija p-n sandūra. Tranzistorius.

12 tema

Metalų elektrinis laidumas. Srovės nešikliai metaluose. Klasikinės elektroninės teorijos nepakankamumas. Elektronų Fermi dujos metale. Srovės nešikliai kaip kvazidalelės. Superlaidumo reiškinys. Kuperio elektronų poravimas. Tunelio kontaktas. Josephsono efektas ir jo taikymas. Užfiksavimas ir kvantavimas magnetinis srautas. Aukštos temperatūros laidumo samprata.

STATISTINĖ FIZIKA. TERMODINAMIKA

Pagrindinės formulės

1. Vienarūšių dujų medžiagos kiekis (moliais):

Kur N- dujų molekulių skaičius; N A- Avogadro numeris; m- dujų masė; -molinė dujų masė.

Jei sistema yra kelių dujų mišinys, tai medžiagos kiekis sistemoje

,

,

Kur  i , N i , m i ,  i - atitinkamai medžiagos kiekis, molekulių skaičius, masė, molinė masė i- mišinio komponentai.

2. Clapeyrono-Mendelejevo lygtis (idealiųjų dujų būsenos lygtis):

Kur m- dujų masė;  - molinė masė; R- universali dujų konstanta;  = m/ - medžiagos kiekis; T- termodinaminė temperatūra Kelvinas.

3. Eksperimentiniai dujų dėsniai, kurie yra ypatingi izoprocesų Clapeyrono-Mendelejevo lygties atvejai:

Boyle-Mariotte dėsnis

(izoterminis procesas - T=const; m = const):

arba dviem dujų būsenoms:

Kur p 1 ir V 1 - pradinės būsenos dujų slėgis ir tūris; p 2 ir V 2

Gay-Lussac dėsnis (izobarinis procesas - p=const, m=const):

arba dviem valstybėms:

Kur V 1 Ir T 1 - pradinės būsenos dujų tūris ir temperatūra; V 2 Ir T 2 - tos pačios vertės galutinėje būsenoje;

Karolio dėsnis (izochorinis procesas – V = const, m = const):

arba dviem valstybėms:

Kur r 1 Ir T 1 - pradinės būsenos dujų slėgis ir temperatūra; r 2 Ir T 2 - tos pačios vertės galutinėje būsenoje;

sujungti dujų įstatymas (m = konst):

Kur r 1 , V 1 , T 1 - pradinės būsenos dujų slėgis, tūris ir temperatūra; r 2 , V 2 , T 2 - tos pačios vertės galutinėje būsenoje.

4. Daltono dėsnis, nustatantis dujų mišinio slėgį:

p = p 1 + p 2 + ... +r n

Kur p i- mišinio komponentų daliniai slėgiai; n- mišinio komponentų skaičius.

5. Dujų mišinio molinė masė:

Kur m i- svoris i- mišinio komponentas;  i = m i / i- medžiagos kiekis i- mišinio komponentas; n- mišinio komponentų skaičius.

6. Masės dalis  i i dujų mišinio komponentas (vieneto dalimis arba procentais):

Kur m- mišinio masė.

7. Molekulių koncentracija (molekulių skaičius tūrio vienete):

Kur N- tam tikroje sistemoje esančių molekulių skaičius;  – medžiagos tankis. Formulė galioja ne tik dujoms, bet ir bet kokiai medžiagos agregacijos būsenai.

8. Pagrindinė lygtis kinetinė teorija dujos:

,

Kur<>- vidutinė kinetinė molekulės transliacinio judėjimo energija.

9. Vidutinė molekulės transliacinio judėjimo kinetinė energija:

,

Kur k- Boltzmanno konstanta.

10. Vidutinė bendra molekulės kinetinė energija:

Kur i- molekulės laisvės laipsnių skaičius.

11. Dujų slėgio priklausomybė nuo molekulių koncentracijos ir temperatūros:

p = nkT.

12. Molekuliniai greičiai:

vidutinis kvadratas ;

aritmetinis vidurkis ;

greičiausiai ,

Biblioteka > Fizikos knygos > Statistinė fizika

Statistinė fizika

• Aizenshits R. Statistinė negrįžtamų procesų teorija. M.: Leidykla. Užsienio lit., 1963 (djvu)
• Anselmas A.I. Statistinės fizikos ir termodinamikos pagrindai. M.: Nauka, 1973 (djvu)
• Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Statistinės fizikos metodai. M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Bazarovas I.P. Metodinės problemos statistinė fizika ir termodinamika. M.: Maskvos valstybinio universiteto leidykla, 1979 (djvu)
• Bogolyubovas N.N. Atrinkti darbai statistinėje fizikoje. M.: Maskvos valstybinio universiteto leidykla, 1979 (djvu)
• Bogolyubovas N.N. (jaunesnysis), Sadovnikovas B.I. Kai kurie klausimai statistinė mechanika. M.: Aukščiau. mokykla, 1975 (djvu)
• Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Grino funkcijos metodas statistinėje mechanikoje. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2,61 Mb)
• Vasiljevas A.M. Įvadas į statistinę fiziką. M.: Aukščiau. mokykla, 1980 (djvu)
• Vlasovas A.A. Nelokalinė statistinė mechanika. M.: Nauka, 1978 (djvu)
• Gibbsas J.W. Pagrindiniai statistinės mechanikos principai (pateikiami su specialiu pritaikymu racionaliam termodinamikos pagrindui). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
• Gurov K.P. Kinetinės teorijos pagrindai. Metodas N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
• Zaslavskis G.M. Statistinis negrįžtamumas in netiesinės sistemos. M.: Nauka, 1970 (djvu)
• Zacharovas A. Yu. Statistinės fizikos gardelės modeliai. Veliky Novgorod: 2006 m. lapkritis (pdf)
• Zacharovas A. Yu. Funkciniai metodai klasikinėje statistinėje fizikoje. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
• Ios G. Kursas teorinė fizika. 2 dalis. Termodinamika. Statistinė fizika. Kvantinė teorija. Branduolinė fizika. M.: Išsilavinimas, 1964 (djvu)
• Ishihara A. Statistinė fizika. M.: Mir, 1973 (djvu)
• Kadanov L., Beim G. Kvantinė statistinė mechanika. Greeno funkcijos metodai pusiausvyros ir nepusiausvyros procesų teorijoje. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Katz M. Tikimybė ir su jais susiję fizikos klausimai. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Katz M. Keletas tikimybinių fizikos ir matematikos problemų. M.: Nauka, 1967 (djvu)
• Kittel Ch. Elementarioji statistinė fizika. M.: IL, 1960 (djvu)
• Kittel Ch. Statistinė termodinamika. M: Nauka, 1977 (djvu)
• Kozlovas V.V. Šiluminė pusiausvyra pagal Gibbsą ir Poincaré. Maskva-Iževskas: Kompiuterinių tyrimų institutas, 2002 (djvu)
• Kompaneets A.S. Fizinės statistikos dėsniai. Šoko bangos. Supertanki medžiaga. M.: Nauka, 1976 (djvu)
• Kompaneets A.S. Teorinės fizikos kursas. 2 tomas. Statistikos dėsniai. M.: Išsilavinimas, 1975 (djvu)
• Kotkin G.L. Statistinės fizikos paskaitos, NSU (pdf)
• Krylovas N.S. Statistinės fizikos pagrindimo darbai. M.-L.: Iš ​​SSRS mokslų akademijos, 1950 (djvu)
• Kubo R. Statistinė mechanika. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Landsbergis P. (red.) Termodinamikos ir statistinės fizikos problemos. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Levichas V.G. Įvadas į statistinę fiziką (2 leidimas) M.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libovas R. Įvadas į teoriją kinetinės lygtys. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. Statistinė mechanika. M.: Mir, 1980 (djvu)
• Minlos R.A. (red.) Matematika. Naujiena užsienio moksle-11. Gibbso būsenos statistinėje fizikoje. Straipsnių rinkinys. M.: Mir, 1978 (djvu)
• Nozdrevas V.F., Senkevičius A.A. Statistinės fizikos kursas. M.: Aukščiau. mokykla, 1965 (djvu)
• Prigožinas I. Nepusiausvyros statistinė mechanika. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Raduškevičius L.V. Statistinės fizikos kursas (2 leid.) M.: Išsilavinimas, 1966 (djvu)
• Reif F. Berkeley fizikos kursas. 5 tomas. Statistinė fizika. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika, statistinė fizika ir kinetika. M.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika, statistinė fizika ir kinetika (2 leidimas). M.: Nauka, 1977 (djvu)
• Ruel D. Statistinė mechanika. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Savukovas V.V. Statistinės fizikos aksiomatinių principų išaiškinimas. SPb.: Balt. valstybė tech. Univ. „Voenmekh“, 2006 m

10. Pagrindiniai statistinės termodinamikos postulatai

Apibūdinant sistemas, susidedančias iš daugybės dalelių, galima naudoti du metodus: mikroskopinį ir makroskopinį. Pirmuoju požiūriu, remiantis klasikine arba kvantine mechanika, sistemos mikrobūsena apibūdinama išsamiai, pavyzdžiui, kiekvienos dalelės koordinatės ir momentai kiekvienu laiko momentu. Mikroskopiniam aprašymui reikalingi sprendimai klasikiniams ar kvantines lygtis judesiai daugeliui kintamųjų. Taigi kiekviena idealių dujų mikrobūsena klasikinėje mechanikoje apibūdinama 6 N kintamieji ( N- dalelių skaičius): 3 N koordinates ir 3 N impulsų projekcijos.

Makroskopinis metodas, kurį naudoja klasikinė termodinamika, apibūdina tik sistemos makrobūsenas ir tam naudoja nedaug kintamųjų, pavyzdžiui, tris: temperatūrą, tūrį ir dalelių skaičių. Jei sistema yra pusiausvyros būsenoje, tada jos makroskopiniai parametrai yra pastovūs, o mikroskopiniai parametrai keičiasi laikui bėgant. Tai reiškia, kad kiekvienai makrobūsenai yra keletas (iš tikrųjų be galo daug) mikrobūsenų.

Statistinė termodinamika nustato ryšį tarp šių dviejų požiūrių. Pagrindinė idėja yra tokia: jei kiekviena makrobūsena turi daug su ja susijusių mikrobūsenų, tada kiekviena iš jų prisideda prie makrobūsenos. Tada makrobūsenos savybes galima apskaičiuoti kaip visų mikrobūsenų vidurkį, t.y. susumavus jų įnašus atsižvelgiant į statistinius svorius.

Vidurkis pagal mikrobūsenas atliekamas naudojant statistinio ansamblio koncepciją. Ansamblis yra begalinis rinkinys identiškų sistemų, esančių visose įmanomose mikrobūsenose, atitinkančiose vieną makrobūseną. Kiekviena ansamblio sistema yra viena mikrobūsena. Kai kurie aprašo visą ansamblį paskirstymo funkcija pagal koordinates ir momentą ( p, q, t), kuri apibrėžiama taip:

(p, q, t) dp dq yra tikimybė, kad ansamblio sistema yra tūrio elemente dp dq netoli taško ( p, q) šiuo metu t.

Pasiskirstymo funkcijos reikšmė yra ta, kad ji nustato kiekvienos makrobūsenos mikrobūsenos statistinį svorį.

Iš apibrėžimo sekite elementarias paskirstymo funkcijos savybes:

1. Normalizavimas

. (10.1)

2. Teigiamas tikrumas

(p, q, t) i 0 (10,2)

Daugelį makroskopinių sistemos savybių galima apibrėžti kaip vidutinė vertė koordinačių ir momentų funkcijos f(p, q) pagal ansamblį:

Pavyzdžiui, vidinė energija yra vidutinė Hamiltono funkcijos reikšmė H(p,q):

Paskirstymo funkcijos buvimas yra esmė pagrindinis klasikinės statistinės mechanikos postulatas:

Sistemos makroskopinę būseną visiškai nusako tam tikra paskirstymo funkcija, atitinkanti (10.1) ir (10.2) sąlygas.

Pusiausvyros sistemų ir pusiausvyros ansamblių pasiskirstymo funkcija tiesiogiai nepriklauso nuo laiko: = ( p,q). Tiksli paskirstymo funkcijos forma priklauso nuo ansamblio tipo. Yra trys pagrindiniai ansamblių tipai:

1) Mikrokanoninis ansamblis apibūdina izoliuotas sistemas ir apibūdinamas šiais kintamaisiais: E(energija), V(tūris), N(dalelių skaičius). IN izoliuota sistema visos mikrobūsenos yra vienodai tikėtinos ( lygios išankstinės tikimybės postulatas):

2) Kanoninis ansamblis apibūdina sistemas, kurios yra šiluminėje pusiausvyroje su aplinka. Šiluminę pusiausvyrą apibūdina temperatūra T. Todėl paskirstymo funkcija taip pat priklauso nuo temperatūros:

(10.6)

(k= 1,38 10 -23 J/K – Boltzmanno konstanta). Konstantos reikšmė (10.6) nustatoma pagal normalizavimo sąlygą (žr. (11.2)).

Ypatingas kanoninio skirstinio (10.6) atvejis yra Maksvelo paskirstymas pagal greitį v, kuris galioja dujoms:

(10.7)

(m- dujų molekulės masė). Išraiška (v) d v apibūdina tikimybę, kad molekulė turi absoliuti vertė greičiai nuo v iki v + d v. Funkcijos maksimumas (10,7) duoda labiausiai tikėtiną molekulių greitį ir integralą

Vidutinis molekulių greitis.

Jei sistema turi atskirus energijos lygius ir aprašoma kvantmechaniškai, tada vietoj Hamiltono funkcijos H(p,q) naudokite Hamiltono operatorių H, o vietoj pasiskirstymo funkcijos - tankio matricos operatorius:

(10.9)

Įstrižainės tankio matricos elementai suteikia tikimybę, kad sistema yra i-toji energetinė būsena ir turi energijos E i:

(10.10)

Konstantos reikšmė nustatoma pagal normalizavimo sąlygą: S i = 1:

(10.11)

Šios išraiškos vardiklis vadinamas būsenų suma (žr. 11 skyrių). Tai yra svarbiausia statistinis vertinimas termodinaminės sistemos savybės Iš (10.10) ir (10.11) galima rasti dalelių skaičių N i turintys energijos E i:

(10.12)

(N - bendras skaičius dalelės). Dalelių (10.12) pasiskirstymas energijos lygiais vadinamas Boltzmann platinimas, o šio skirstinio skaitiklis yra Boltzmanno koeficientas (daugiklis). Kartais šis skirstinys rašomas kitokia forma: jei yra keli lygiai su ta pačia energija E i, tada jie sujungiami į vieną grupę susumavus Boltzmanno veiksnius:

(10.13)

(g i- energijos lygių skaičius E i, arba statistinis svoris).

Daugelį termodinaminės sistemos makroskopinių parametrų galima apskaičiuoti naudojant Boltzmanno skirstinį. Pavyzdžiui, vidutinė energija apibrėžiama kaip energijos lygių vidurkis, atsižvelgiant į jų statistinius svorius:

, (10.14)

3) Didysis kanoninis ansamblis apibūdina atviras sistemas, kurios yra šiluminėje pusiausvyroje ir gali keistis medžiagomis su aplinka. Šiluminę pusiausvyrą apibūdina temperatūra T, o dalelių skaičiaus pusiausvyra yra cheminis potencialas. Todėl pasiskirstymo funkcija priklauso nuo temperatūros ir cheminio potencialo. Čia nenaudosime aiškios didelio kanoninio ansamblio paskirstymo funkcijos išraiškos.

Statistinėje teorijoje įrodyta, kad sistemoms su didelis skaičius dalelių (~ 10 23) visų trijų tipų ansambliai yra lygiaverčiai vienas kitam. Bet kurio ansamblio naudojimas lemia tas pačias termodinamines savybes, todėl vieno ar kito ansamblio pasirinkimą termodinaminei sistemai apibūdinti lemia tik pasiskirstymo funkcijų matematinio apdorojimo patogumas.

PAVYZDŽIAI

10-1 pavyzdys. Molekulė gali būti dviejų lygių, kurių energija yra 0 ir 300 cm -1. Kokia tikimybė, kad molekulė bus įjungta viršutinis lygis 250 o C temperatūroje?

Sprendimas. Būtina taikyti Boltzmann skirstinį, o spektroskopinį energijos vienetą cm -1 paversti džauliais, naudoti daugiklį hc (h= 6,63 10 -34 J. s, c= 3 10 10 cm/s): 300 cm -1 = 300 6,63 10 -34 3 10 10 = 5,97 10 -21 J.

Atsakymas. 0.304.

10-2 pavyzdys. Molekulė gali būti 0 energijos lygyje arba viename iš trijų energijos lygių E. Kokioje temperatūroje a) visos molekulės bus žemesniame lygyje, b) žemesnio lygio molekulių skaičius bus lygus viršutinių lygių molekulių skaičiui, c) žemesnio lygio molekulių skaičius bus trys kartų mažiau nei molekulių skaičius viršutiniuose lygiuose?

Sprendimas. Naudokime Boltzmann paskirstymą (10.13):

A) N 0 / N= 1; exp (- E/kT) = 0; T= 0. Temperatūrai mažėjant molekulės kaupiasi žemesniuose lygiuose.

b) N 0 / N= 1/2; exp (- E/kT) = 1/3; T = E / [k ln(3)].

V) N 0 / N= 1/4; exp (- E/kT) = 1; T= . At aukšta temperatūra molekulės yra tolygiai paskirstytos energijos lygiuose, nes visi Boltzmanno koeficientai yra beveik vienodi ir lygūs 1.

Atsakymas. A) T= 0; b) T = E / [k ln(3)]; V) T = .

10-3 pavyzdys. Kai kuri nors termodinaminė sistema šildoma, vienų lygių populiacija didėja, o kitų mažėja. Naudodamiesi Boltzmanno pasiskirstymo dėsniu, nustatykite, kokia turi būti lygio energija, kad jo populiacija padidėtų kylant temperatūrai.

Sprendimas. Užimtumas – tai tam tikrame energijos lygyje esančių molekulių dalis. Pagal sąlygą šio dydžio išvestinė temperatūra temperatūros atžvilgiu turi būti teigiama:

Antroje eilutėje naudojome vidutinės energijos apibrėžimą (10,14). Taigi populiacija didėja didėjant temperatūrai visais aukščiau esančiais lygiais vidutinė energija sistemos.

Atsakymas. .

UŽDUOTYS

10-1. Molekulė gali būti dviejų lygių, kurių energija yra 0 ir 100 cm -1. Kokia tikimybė, kad molekulė bus įjungta žemiausias lygis 25 o C temperatūroje?

10-2. Molekulė gali būti dviejų lygių, kurių energija yra 0 ir 600 cm -1. Kokioje temperatūroje viršutiniame lygyje bus dvigubai daugiau molekulių nei apatiniame?

10-3. Molekulė gali būti 0 energijos lygyje arba viename iš trijų energijos lygių E. Raskite vidutinę molekulių energiją: a) ties labai žemos temperatūros, b) esant labai aukštai temperatūrai.

10-4. Kai kuri nors termodinaminė sistema vėsta, vienų lygių populiacija didėja, o kitų mažėja. Naudodami Boltzmanno pasiskirstymo dėsnį nustatykite, kokia turi būti lygio energija, kad jo populiacija padidėtų mažėjant temperatūrai.

10-5. Apskaičiuokite labiausiai tikėtiną molekulių greitį anglies dvideginio 300 K temperatūroje.

10-6. Apskaičiuokite vidutinis greitis helio atomai normaliomis sąlygomis.

10-7. Apskaičiuokite labiausiai tikėtiną ozono molekulių greitį esant -30 o C temperatūrai.

10-8. Kokioje temperatūroje vidutinis deguonies molekulių greitis lygus 500 m/s?

10-9. Tam tikromis sąlygomis vidutinis deguonies molekulių greitis yra 400 m/s. Koks yra vidutinis vandenilio molekulių greitis tomis pačiomis sąlygomis?

10-10. Kokia yra molekulių masės dalis m, kurių greitis viršija vidutinį esant temperatūrai T? Ar ši dalis priklauso nuo molekulių masės ir temperatūros?

10-11. Naudodami Maksvelo skirstinį, apskaičiuokite masės molekulių judėjimo vidutinę kinetinę energiją m esant temperatūrai T. Ar ši energija lygi kinetinė energija vidutiniu greičiu?