Apibrėžimas. Taškas begalybėje sudėtinga plokštuma paskambino izoliuotas vienaskaitos taškas nedviprasmiškas analitinė funkcijaf(z), jei lauke tam tikro spindulio apskritimas R,
tie. už , nėra baigtinio funkcijos vienaskaitos taško f(z).
Norėdami ištirti funkciją begalybės taške, atliekame pakeitimą 
Funkcija
taške turės singuliarumą ζ
= 0, ir šis taškas bus izoliuotas, nes
apskritimo viduje 
Kitų išskirtinių taškų pagal būklę nėra. Būdamas analitiškas šiuo klausimu
ratas (išskyrus vadinamąjį ζ
= 0), funkcija 
gali būti išplėsta Laurent serijoje ζ
. Ankstesnėje pastraipoje aprašyta klasifikacija lieka visiškai nepakitusi.
Tačiau jei grįšime prie pradinio kintamojo z, tada serijos teigiamomis ir neigiamomis galiomis z„pakeisti“ vietas. Tie. klasifikacija be galo nuotoliniai taškai atrodys taip:
Pavyzdžiai. 1.
. z =
Taškas
i
2.
− III eilės stulpas. z =
∞
. Taškas − reikšmingai.
vienaskaitos taškas
§18. Analitinės funkcijos liekana izoliuotame vienaskaitos taške. z Tegul taškas
f(z 0 yra izoliuotas vienos vertės analitinės funkcijos vienaskaitos taškas f(z). Pagal ankstesnįjį, netoli šio punkto 
) gali būti unikaliai pavaizduotas Laurent serijos: 
Apibrėžimas.Kur Išskaičiavimas f(z analitinė funkcija z 0
) izoliuotame vienaskaitos taške paskambino kompleksinis skaičius 
, lygus integralo reikšmei z 0 .
, paimtas teigiama kryptimi išilgai bet kurio uždaro kontūro, esančio funkcijos analitiškumo srityje ir turintį vieną vienintelį tašką [f(z),z 0 ].
Išskaitymas žymimas simboliu Res Nesunku pastebėti, kad likutis yra įprastame arba nuimamame vienaskaitos taške.
lygus nuliui Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui Su
.
-1 eilutė Laurent: Pavyzdys. 
.
Raskite funkcijos likutį
(Tegul tai lengva pamatyti Poliuje arba iš esmės vienaskaitoje liekana yra lygi koeficientui koeficientas -1 gaunamas dauginant terminus iš n f(z),Taškas
]
=
}
= 0:Res[ Dažnai galima apskaičiuoti funkcijų likučius paprastu būdu f(z. Tegul funkcija z) turi įsk. 
0 pirmos eilės polių. Šiuo atveju Laurent serijos funkcijos išplėtimas turi formą (§16):. Padauginkime šią lygybę iš (z−z 0) ir pereikime prie ribos ties f(z),z 0 ] =
. Rezultate gauname: Res[
Taigi, į f(z),Taškas
]
=
.
Paskutiniame pavyzdyje turime Res[
Norėdami apskaičiuoti likučius aukštesnės eilės poliuose, padauginkite funkciją 
(įjungta− polių tvarka) ir atskirkite gautas eilutes ( įjungta −
1) kartus.
Šiuo atveju turime: Res[ f(z),z 0 ]
-1 eilutė Laurent: Pavyzdys. 
ties z= −1.
{
Res[ f(z),
−1]
}
- (anglų kalba surinkimo taškas) viena iš pagrindinių sąvokų, kurią savo knygose vartojo ezoterinis mąstytojas ir mistikas Carlosas Castaneda. Vienas iš dramatiškiausių bruožų žmogaus prigimtis yra baisus ryšys tarp... Vikipedija
Funkcijos, kurios riba, kaip argumentas linksta į begalybę, grafikas yra lygus L. Funkcijos riba yra viena iš pagrindinių sąvokų matematinė analizė. Funkcija f(x) turi ribą A taške x0, jei visoms x reikšmėms yra pakankamai artimos x0,... ... Vikipedija
Taškai čia. Taip pat žr. vienaskaitos tašką (diferencialinės lygtys). Matematikos bruožas arba singuliarumas yra taškas, kuriame matematinis objektas (dažniausiai funkcija) yra neapibrėžtas arba veikia netaisyklingai (pavyzdžiui, taškas, kuriame ... ... Vikipedija
Čia nurodomas vienetinis taškas. Taip pat žr. vienaskaitos tašką (diferencialinės lygtys). Matematikos bruožas arba singuliarumas yra taškas, kuriame matematinis objektas (dažniausiai funkcija) yra neapibrėžtas arba elgiasi netaisyklingai (pavyzdžiui... ... Vikipedija
- ∞ Terminas begalybė atitinka kelis įvairios sąvokos, priklausomai nuo taikymo srities, ar tai būtų matematika, fizika, filosofija, teologija ar kasdieniame gyvenime. Finitizmas neigia Begalybės sampratą. Begalybė daugumoje... ... Vikipedija
Temperatūra (apie 2,17 K), žemiau kurios skystas helis (helis I) pereina į superskysčio būseną (helis II). Tiksliau sakant, yra apatinis lambda taškas (esant 2,172 K ir 0,0497 atm) ir viršutinis lambda taškas (esant 1,76 K ir 29,8 atm).... ... Wikipedia
1) K. t eilės, kad toks kompleksinės plokštumos taškas, kuriame analitinis. funkcija f(z) yra taisyklinga, o jos išvestinė f(z) turi m eilės nulį, kur m natūralusis skaičius. Kitaip tariant, K. t lemia sąlygos: Be galo nutolęs K. t... ... Matematinė enciklopedija
Analitinė funkcija yra taškas, kuriame pažeidžiamos analitiškumo sąlygos. Jei analitinė funkcija f(z) pateikiama tam tikroje taško z0 kaimynystėje visur... Fizinė enciklopedija
Diferencialinių lygčių su sudėtingu laiku teorijoje taškas vadinamas Fuksijos vienaskaitos tiesinės linijos tašku. diferencialinė lygtis jeigu sistemos A(t) matricoje yra pirmos eilės polius. Tai yra paprasčiausias galima savybė... ... Vikipedija
Netinkamas balno taškas, dinaminių trajektorijų vietos tipas. sistemos. Jie sako, kad tai dinamiška. sistema ft (arba, kitaip tariant, f(, р),. žr.), pateikta ant, turi sistemą b., jei yra taškai ir skaičiai, kurių sekos yra konvergencinės, ir ... Matematinė enciklopedija
Apolonijaus užduotis – naudojant kompasą ir liniuotę sukonstruoti apskritimą, liečiantį tris duotus apskritimus. Pasak legendos, šią problemą maždaug 220 m. pr. Kr. suformulavo Apolonijus Pergietis. e. knygoje „Prisilietimas“, kuri buvo prarasta ... Vikipedija
Knygos
- , Davidas Deutschas. Citata „... Pažanga nebūtinai turi pabaigą, bet ji visada turi pradžios tašką – priežastį, dėl kurios ji prasidėjo, įvykį, kuris prie to prisidėjo, arba būtiną...
- Begalybės pradžia. Paaiškinimai, kurie keičia pasaulį, David Deutsch. Citata `... Pažanga nebūtinai turi turėti pabaigą, bet ji visada turi atspirties tašką – priežastį, kodėl ji prasidėjo, įvykį, kuris prie to prisidėjo, arba būtiną...
Apibrėžimas
Pasekmė (βn) vadinama be galo didele seka, jei kam, savavališkai didelis skaičius M , yra natūralusis skaičius N M, priklausantis nuo M taip, kad visų natūraliųjų skaičių n > N M nelygybė
|βn | > M.
Šiuo atveju jie rašo
.
Arba adresu .
Jie sako, kad jis linkęs į begalybę arba susilieja į begalybę.
Jei pradedant nuo kurio nors skaičiaus N 0
, Tai
( susilieja į plius begalybę).
Jeigu tada
( susilieja į minus begalybę).
Parašykime šiuos apibrėžimus naudodami loginius egzistavimo ir universalumo simbolius:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Sekos su ribomis (2) ir (3) yra specialūs begalybės atvejai didelė seka(1). Iš šių apibrėžimų išplaukia, kad jei sekos riba yra lygi pliuso arba minuso begalybei, tada ji taip pat lygi begalybei:
.
Atvirkščiai, žinoma, netiesa. Sekos nariai gali turėti kintamus ženklus. Šiuo atveju riba gali būti lygi begalybei, bet be konkretaus ženklo.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei kuri nors savybė galioja savavališkai sekai, kurios riba lygi begalybei, tai ta pati savybė galioja ir sekai, kurios riba lygi pliuso arba minuso begalybei.
Daugelyje skaičiavimo vadovėlių be galo didelės sekos apibrėžimas teigia, kad skaičius M yra teigiamas: M > 0 . Tačiau šis reikalavimas nereikalingas. Jei jis atšaukiamas, nekyla jokių prieštaravimų. Tiesiog mažos ar neigiamos vertybės mums neįdomios. Mus domina savavališkai didelės sekos elgsena teigiamas vertes M. Todėl, jei reikia, M iš apačios gali būti apribotas bet kuriuo, iš anksto
duotas numeris a, tai yra, tarkime, kad M > a. Kada apibrėžėme ε – kaimynystę > 0 pabaigos taškas , tada reikalavimas ε yra svarbu. At
neigiamos reikšmės
, nelygybė negali būti visiškai patenkinta.
Taškų kaimynystės begalybėje
Kai svarstėme baigtines ribas, pristatėme taško kaimynystės sąvoką. Prisiminkite, kad pabaigos taško kaimynystė yra atviras intervalas, kuriame yra šis taškas. Taip pat galime pristatyti begalybės taškų apylinkių sąvoką. Tegul M yra savavališkas skaičius.
Taško „begalybė“ kaimynystė Tegul M yra savavališkas skaičius.
, , vadinamas rinkiniu. Tegul M yra savavališkas skaičius.
Taško kaimynystė „plius begalybė“
(4)
,
Netoli taško "minus begalybė" 1
Griežtai tariant, taško „begalybė“ kaimynystė yra aibė 2
kur M
Dabar galime pateikti vieningą sekos ribos apibrėžimą, kuris taikomas ir baigtinei, ir.
iki begalinių ribų
Universalus sekos ribos apibrėžimas Taškas a (baigtinis arba begalybėje) yra sekos riba, jei bet kurioje šio taško kaimynystėje yra natūralusis skaičius N, kad visi sekos elementai su skaičiais priklauso šiai kaimynei..
Taigi, jei riba egzistuoja, tai už taško a kaimynystės gali būti tik baigtinis sekos narių skaičius arba tuščia aibė. Ši sąlyga yra būtina ir pakankama. Šios savybės įrodymas yra lygiai toks pat kaip ir
baigtinės ribos
Konvergencinės sekos kaimynystės savybė
Kad taškas a (baigtinis arba begalybėje) būtų sekos riba, būtina ir pakanka, kad už bet kurios šio taško kaimynystės būtų baigtinis sekos narių skaičius arba tuščia aibė.
Įrodymas .
Įveskime tokį žymėjimą. Tegul ε žymime taško a kaimynystę.
.
Tada pabaigai,
;
;
.
Dėl taškų begalybėje: Naudodami ε – apylinkių sąvokas, galime pateikti kitą universalus apibrėžimas
sekos riba: Taškas a (galas arba begalybėje) yra sekos riba, jei tokia yra ε > 0
teigiamas skaičius
.
yra natūralusis skaičius N ε, priklausantis nuo ε, todėl visiems skaičiams n > N ε terminai x n priklauso taško a ε kaimynystei:
.
Naudojant loginius egzistavimo ir universalumo simbolius, šis apibrėžimas gali būti parašytas taip:
Be galo didelių sekų pavyzdžiai
Pirmiausia pažvelgsime į tris paprastus panašius pavyzdžius, o tada išspręsime sudėtingesnį.
.
.
1 pavyzdys
(1)
.
Užrašykime be galo didelės sekos apibrėžimą:
.
Mūsų atveju
.
Įvedame skaičius ir , sujungdami juos su nelygybėmis:
.
Pagal nelygybių savybes, jei ir , tada
Atkreipkite dėmesį, kad ši nelygybė galioja bet kuriai n.
Todėl galite rinktis taip:
adresu ;
.
adresu .
Taigi, bet kuriam galime rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę.
Tada visiems,
.
(2)
.
Tai reiškia, kad.
.
Tai yra, seka yra be galo didelė.
.
.
2 pavyzdys
.
Naudodami be galo didelės sekos apibrėžimą, parodykite tai
.
Bendrasis nurodytos sekos terminas turi tokią formą:
Tada visiems,
.
Įveskite skaičius ir:
(3)
.
Tai reiškia, kad.
.
Tai yra, seka yra be galo didelė.
.
Tada kiekvienas gali rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, todėl visiems ,
.
Tai reiškia, kad.
.
3 pavyzdys
.
Užrašykime sekos, lygios minus begalybei, ribos apibrėžimą:
Tada visiems,
.
Iš to aišku, kad jei ir , tada Kadangi bet kuriam iš jų galima rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, tada Atsižvelgiant į , kaip N galime paimti bet kurį natūralųjį skaičių, kuris tenkina šią nelygybę:
.
4 pavyzdys
(2)
.
Mes jį išrašysime = 1, 2, 3, ...
, Tai
;
;
.
bendras narys
.
Tada kiekvienas gali rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę, todėl visiems ,
.
sekos:
.
Naudodami be galo didelės sekos apibrėžimą, parodykite tai
Užrašykime sekos, lygios plius begalybei, ribos apibrėžimą:
Kadangi n yra natūralusis skaičius, n
Įvedame skaičius ir M, sujungdami juos su nelygybėmis:
Taigi, bet kuriam skaičiui M galime rasti natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę. Tada visiems,, gali padėti nustatyti bendrą energijos impulso kiekį, esantį asimptotiškai plokščiame erdvėlaikyje ir gravitacinėje spinduliuotėje. Šiuo atveju spinoro metodai yra ypač veiksmingi kartu su metodu, kai „begalybė tampa baigtinė“ konformaliu metrinės transformacijos būdu. Šiuo metodu mes transformuojame erdvės ir laiko metriką, pakeisdami pradinę fizinę metriką nauja, „nefizine“ metrika, atitinkančia
kur - gana sklandžiai ir visur teigiama funkcija, apibrėžtas metriniame tenzoryje ir jo atvirkštinis tenzorius transformuojami pagal formules
Jei jis turi tinkamą asimptotinę struktūrą ir pasirenkamas tinkamas konforminis koeficientas, tada gali būti „pritvirtintas“ koks nors ribinis paviršius 3 [šis pavadinimas yra „kraštas“ - „I scenarijaus“ santrumpa]. Šis paviršius įvedamas taip, kad „nefizinė“ metrika gali būti išplėsta iki naujų taškų, esančių ant ribos be išsigimimo ir su tam tikru mastu lygumas. Funkciją J taip pat galima tęsti su atitinkamu lygumo laipsniu, tačiau paviršiuje ji išnyksta. Tai reiškia, kad fizikinė metrika turi būti begalinė ties riba Y, todėl negali būti išplėsta iki jos. Taigi, kalbant apie fizinę metriką, nauji taškai (būtent taškai paviršiuje yra be galo nutolę nuo
šalia jų esančius taškus. Fizikoje tai atitinka „taškus begalybėje“.
Pritvirtinus paviršių prie tokio erdvės laiko, gauname sklandų kolektorius su riba, kurią žymėsime simboliu ir
Kraštinės simbolis yra kolektoriaus vidinės srities simbolis). Siūlomo metodo pranašumas yra tas, kad dabar jį galima pritaikyti galingiems vietiniai metodai diferencialinė geometrija ir spinorinė algebra, kuri suteiks informacijos apie erdvės laiko asimptotiką svarbiausi dėsniai fizikinių ir geometrinių dydžių mažėjimas, pavyzdžiui, klausimais, susijusiais su spinduliuote asimptotiškai plokščiame erdvėlaikyje, nereikia sudėtingų perėjimų iki ribos. Ir pats asimptotinio euklido apibrėžimas bendroji teorija Dabar reliatyvumą galima pateikti patogia „be koordinačių“ forma. Konformalūs metodai yra labai tinkami reliatyvumo teorijai dėl tos paprastos priežasties, kad didžioji jos dalis yra konformiškai nekintama: bemasių lygčių. laisvas laukas, Weyl konforminis tenzorius, izotropinė geodezija, izotropiniai hiperpaviršiai, reliatyvistinis priežastinis ryšys ir (ypač Minkovskio erdvės atveju) suktoriaus teorija. Siūlomas metodas yra panašus į naudojamą išsamią analizę, kur norint gauti Riemanno sferą, prie Argando plokštumos pritvirtinamas „taškas begalybėje“ (1 skyrius, § 2), taip pat projekcinėje geometrijoje naudojamas metodas.
Aprašymas aiškia koordinačių forma
Pirmiausia panagrinėkime konformalios begalybės konforminės Minkovskio erdvės M konstravimo procedūrą. Šiuo atveju fizinė metrika sferinės koordinatės atrodo kaip
Patogumui pristatome du laiko parametrus: atsiliekantį ir vedantį
Laisvė pasirenkant konforminį faktorių yra gana didelė. Tačiau kalbant apie mus čia dominantį erdvėlaikį (būtent asimptotiškai paprastą), iš bendrų svarstymų [žr. tekstas po formulės (9.7.22)] funkcija turi būti parinkta taip, kad ji būtų linkusi į nulį išilgai bet kurio spindulio (ir praeityje, ir ateityje), kaip spindulio A afininio parametro atvirkštinė vertė (t. y. spindulys). Bet koks hiperpaviršius yra šviesus ateities kūgis, pastatytas iš spindulių (izotropinių tiesių linijų), kurių vertės 0 ir taip pat išlieka pastovios. Koordinatė atlieka afininio parametro vaidmenį kiekvieno iš šių radialinių spindulių ateičiai. Panašiai koordinatė tarnauja kaip afininis šių spindulių praeities parametras. Todėl turime reikalauti, kad sąlygos būtų tenkinamos spindulyje ir ant jo
(2 koeficientas patogumui įvedamas vėliau), o tada
Galioja daug kitų funkcijos formų, tačiau ši, kaip netrukus pamatysime, pasirodo ypač patogi.
Kad mūsų „taškai begalybėje“ atitiktų galutinės vertės koordinates, u ir o turėtų būti pakeisti tokiais parametrais, kad
Kintamųjų ir kitimo ribos nurodytos pav. 9.1, kur kiekvienas taškas reiškia 2 sferą su spinduliu. Vertikali linija atitinka erdvinę pradžią ir reiškia tik koordinačių singuliarumą. Pats erdvėlaikis šioje linijoje (ir visur), žinoma, yra nevientisas. Pasvirusios linijos žymi Minkovskio erdvės (izotropinę) begalybę (žymima atitinkamai simboliais) (nes šios linijos atitinka reikšmes, tačiau metrika (9.1.5) yra akivaizdžiai ideali šiose linijose. Galima tikėtis, kad erdvė - laikas
Ryžiai. 9.1. Erdvės sritis, atitinkanti erdvę M. Tiesi linija reiškia, kad ji yra sferinės simetrijos ašis.
o jos metrika bus ne vienaskaita už šių regionų ribų. Vertikali linija taip pat yra lygiai tokio paties tipo koordinačių singuliarumas kaip ir tiesė. Visa vertikali juosta gali būti naudojama erdvėlaikiui apibrėžti, kurios globali struktūra atitinka erdvinės 3 sferos ir begalinės laiko sandaugą. linija („statinė Einšteino visata“). Norėdami tai patikrinti, pasirinkite naujas koordinates
Šios metrikos dalis, esanti petnešomis, yra vieneto 3 sferos metrika.
Erdvės laiko dalis, atitinkanti pradinę Minkovskio erdvę, gali būti laikoma erdve, esančia tarp taškų šviesos kūgių, o taškas turi koordinates
Ryžiai. 9.2. Einšteino cilindro sritis, atitinkanti erdvę M.
ir užsidaro „galinėje“ pusėje viename taške su koordinatėmis. Atkreipkite dėmesį, kad taške a tai reiškia, kad taškas turi būti laikomas vienu tašku, o ne 2 rutuliu. Nagrinėjama situacija parodyta fig. 9.2, kur du matmenys atmetami. Minkovskio dviejų erdvių erdvė atitinka aikštės vidų (rodoma pakreipta 45°). Šis kvadratas apgaubia cilindrą, vaizduojantį dvimatę Einšteino statinės visatos versiją. Atsižvelgus į trūkstamus išmatavimus, niekas reikšmingai nekeičia. Netoli taško mus dominanti sritis yra su tašku susietame ateities šviesos kūgio viduje (t. y. taškas, kurį „nuneša“ spinduliai, einantys iš taško į ateitį), sutelkia dėmesį į užpakalinę jo pusę. Einšteino visata viename taške (kuris erdvės atžvilgiu yra diametraliai priešingas taškui. Netoli taško mus dominanti sritis (Minkovskio erdvė) tęsiasi erdvės kryptimis nuo taško būsimo šviesos kūgio, vėlgi erdvinė padėtis. yra sutelktas į vieną tašką.
Jei kuri nors seka susilieja su baigtinis skaičius a , tada jie rašo
.
Anksčiau mes įtraukėme be galo dideles sekas. Darėme prielaidą, kad jie susilieja, ir pažymėjome jų ribas simboliais ir . Šie simboliai reprezentuoja taškai begalybėje . Jie nepriklauso daugybei realūs skaičiai
Apibrėžimas
Taškas begalybėje, arba beženklė begalybė, yra riba, kurios link linksta be galo didelė seka.
Taškas begalybėje plius begalybė, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su teigiamais terminais.
Taškas iš begalybės atėmus begalybę, yra riba, iki kurios linksta be galo didelė seka su neigiamais terminais.
Bet kuriam realiajam skaičiui a galioja šios nelygybės:
;
.
Naudodami realius skaičius, pristatėme sąvoką taško kaimynystėje begalybėje.
Taško kaimynystė yra aibė.
Galiausiai taško kaimynystė yra aibė.
Čia M yra savavališkas, savavališkai didelis realusis skaičius.
Taigi mes išplėtėme realiųjų skaičių aibę, įtraukdami į ją naujų elementų. Šiuo atžvilgiu yra sekantį apibrėžimą:
Išplėsta skaičių eilutė arba išplėstinė realiųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių rinkinys, papildytas elementais ir :
.
Pirma, mes užrašysime savybes, kurias taškai ir . Toliau svarstome griežtumo klausimą matematinis apibrėžimas
šių taškų operacijos ir šių savybių įrodymai.
Taškų begalybėje savybės.
;
;
;
;
Suma ir skirtumas.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produktas ir koeficientas.
Ryšys su realiais skaičiais
;
;
;
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada > 0
Tegul a
;
;
.
Tegu a yra savavališkas realusis skaičius. Tada < 0
Tegul a
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Tada
Neapibrėžtos operacijos
Taškų begalybėje savybių įrodymai
Matematinių operacijų apibrėžimas Mes jau pateikėme begalybės taškų apibrėžimus. Dabar jiems reikia apibrėžti matematines operacijas. Kadangi šiuos taškus apibrėžėme naudodami sekas, operacijos su šiais taškais taip pat turėtų būti apibrėžtos naudojant sekas.
Taigi,
dviejų taškų suma
,
c = a + b,
,
priklausantys išplėstinei realiųjų skaičių aibei,
vadinsime ribą
kur ir yra savavališkos sekos, turinčios ribas
Ir .
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
Tada dviejų taškų skirtumas:
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
- tai yra riba: .
Panašiai apibrėžiamos atimties, daugybos ir dalybos operacijos. Tik dalybos atveju trupmenos vardiklio elementai neturėtų būti lygūs nuliui.
Taškų produktas: Privatus:, .
Čia ir yra savavališkos sekos, kurių ribos yra atitinkamai a ir b . IN
pastarasis atvejis
Savybių įrodymai
.
Norėdami įrodyti begalybės taškų savybes, turime naudoti be galo didelių sekų savybes.
,
Kitaip tariant, turime įrodyti, kad dviejų sekų, kurios susilieja į plius begalybę, suma susilieja su plius begalybe.
1
tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.
Tai reiškia, kad.
Panašiai galima įrodyti ir kitas savybes. Kaip pavyzdį, pateikime kitą įrodymą.
.
Įrodykime, kad:
,
Norėdami tai padaryti, turime tai parodyti
kur ir yra savavališkos sekos, su ribomis ir .
Tai reiškia, kad turime įrodyti, kad dviejų be galo didelių sekų sandauga yra be galo didelė seka. 1
tenkinamos šios nelygybės:
;
.
Tada už ir mes turime:
.
Padėkime.
Tada
,
Kur.
Įrodykime tai. Kadangi ir , tada yra keletas funkcijų ir , taigi bet kuriam teigiamam skaičiui M
Neapibrėžtos operacijos dalis matematines operacijas
su taškais begalybėje nėra apibrėžti. Norint parodyti jų neapibrėžtumą, reikia pateikti keletą ypatingų atvejų, kai operacijos rezultatas priklauso nuo į juos įtrauktų sekų pasirinkimo.
.
Apsvarstykite šią operaciją:
Nesunku parodyti, kad jei ir , tai sekų sumos riba priklauso nuo sekų pasirinkimo ir .
Tikrai, imkim.
Šių sekų ribos yra .
Sumos limitas
lygi begalybei. Dabar paimkime.Šių sekų ribos taip pat lygios.
Tačiau jų kiekio riba
