Harmoninis osciliatorius(klasikinėje mechanikoje) - sistema, kuri, pašalinta iš pusiausvyros padėties, patiria atkuriamosios jėgos veikimą F, proporcingas poslinkiui x :
,Kur k- pastovus koeficientas.
Jeigu F yra vienintelė sistemą veikianti jėga, tada sistema vadinama paprastas arba konservatyvus harmoninis osciliatorius. Tokios sistemos laisvosios vibracijos yra periodinis judėjimas arti pusiausvyros padėties (harmoniniai virpesiai). Dažnis ir amplitudė yra pastovūs, o dažnis nepriklauso nuo amplitudės.
Mechaniniai pavyzdžiai harmoninis osciliatorius yra matematinė švytuoklė (su nedideliais nuokrypio kampais), sukimo švytuoklė ir akustinės sistemos. Tarp nemechaninių harmoninio osciliatoriaus analogų galima išskirti elektrinį harmoninį generatorių (žr. LC grandinę).
Konservatyvaus harmoninio osciliatoriaus laisvieji virpesiai
Lygtis ir jos sprendiniai
Leiskite x- materialaus taško poslinkis, palyginti su jo pusiausvyros padėtimi, ir F- bet kokios prigimties jėgos, veikiančios tašką, atstatymas
F = − k x (\displaystyle F=-kx),Kur k= konst. Tada, naudodami antrąjį Niutono dėsnį, pagreitį galime užrašyti kaip
a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).Paskyrimas ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^ (2) = k/m) ir pakeičiant aį antrąją koordinatės išvestinę laiko atžvilgiu x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), turime
x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).Ši diferencialinė lygtis apibūdina konservatyvaus harmoninio osciliatoriaus elgesį. Dydis ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) vadinamas cikliniu dažniu. (Tai reiškia apskritą dažnį, išmatuotą radianais per sekundę. Norėdami konvertuoti jį į dažnį, išreikštą hercais, turite padalyti iš 2 π (\displaystyle 2\pi ).)
Šios lygties sprendimo ieškosime formoje
x (t) = A sin (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).Čia A- amplitudė, ω - virpesių dažnis, φ - pradinė fazė.
Pakeiskite diferencialinę lygtį ir gaukite:
x ¨ (t) = − A ω 2 sin (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin (ω t + φ) + ω 0 2 A sin (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).Sumažėja amplitudė. Tai reiškia, kad jis gali turėti bet kokią reikšmę (įskaitant nulį - tai reiškia, kad materialus taškas yra pusiausvyros padėtyje). Taip pat galite sumažinti sinusu, nes lygybė turi būti teisinga bet kuriuo metu t. Taigi svyravimo dažnio sąlyga išlieka:
− ω 2 + ω 0 2 = 0, (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2) = 0,) ω = ± ω 0 .(\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) Paprastas harmoninis judėjimas yra kai kurių sudėtingesnių judesių tipų analizės būdų pagrindas. Vienas iš šių metodų yra Furjė transformacija pagrįstas metodas, kurio esmė susiveda į daugiau sudėtingas tipas
judesius į paprastų harmoninių judesių seriją.
Osciliatorių pavyzdžiai
- Bet kuri sistema, kurioje vyksta paprastas harmoninis judėjimas, turi dvi pagrindines savybes:
- kai sistema pažeidžiama iš pusiausvyros, turi atsirasti atkuriamoji jėga, linkusi grąžinti sistemą į pusiausvyrą;
atkuriamoji jėga turi būti tiksliai arba apytiksliai proporcinga poslinkiui.
Žemiau pateikiami keli pavyzdžiai.
Horizontali spyruoklių sistema Tipiškas sistemos, kurioje vyksta paprastas harmoninis judėjimas, pavyzdys yra idealizuota masė-spyruoklės sistema, kurioje masė yra pritvirtinta prie spyruoklės ir remiasi į horizontalus paviršius . Jei spyruoklė nėra nei suspausta, nei ištempta, tada apkrova neveikia. kintamos jėgos ir jis yra būsenoje mechaninis balansas
F = − k x (\displaystyle F=-kx),Kur k. Tačiau, jei apkrova pašalinama iš pusiausvyros padėties, spyruoklė deformuosis, o į jos pusę veiks jėga, linkusi grąžinti apkrovą į pusiausvyros padėtį. Apkrovos-spyruoklės sistemos atveju tokia jėga yra spyruoklės tamprumo jėga, kuri atitinka Huko dėsnį: turi gana specifinę reikšmę
yra spyruoklės standumo koeficientas. Kai pasislinkusi apkrova veikia atkuriamąją jėgą, ji įsibėgėja ir linkusi grįžti į pradinę padėtį. pradžios taškas x = 0 apkrova turi tam tikrą judesį (impulsą), įgyjamą veikiant atkuriamajai jėgai. Todėl apkrova viršija pusiausvyros padėtį ir vėl pradeda deformuoti spyruoklę (bet jau yra priešinga kryptimi). Atkuriamoji jėga bus linkusi ją sulėtinti, kol greitis taps lygus nuliui; ir jėga vėl stengsis grąžinti apkrovą į pusiausvyros padėtį.
Jei nėra energijos nuostolių, apkrova svyruos, kaip aprašyta aukščiau; toks judėjimas yra periodiškas.
Vertikali spyruoklių sistema
Esant vertikaliai apkrovai, pakabintai ant spyruoklės, kartu su elastine jėga, veikia gravitacijos jėga, ty visa jėga bus
F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).Jei keičiate kintamąjį, kad veiktų ne su kiekiu x (\displaystyle x), ir dydis X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), tada judesio lygtis bus tokia pati kaip horizontalios geometrijos atveju, tik kintamajam X (\displaystyle X).
Virpesiai vyks tokiu pat dažniu ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Tačiau jei horizontaliu atveju nedeformuotos spyruoklės būsena atitiko pusiausvyrą, tai vertikaliuoju atveju pusiausvyros spyruoklė bus ištempta. Dažnio priklausomybė nuo pagreičio vertės laisvasis kritimas g (\displaystyle g) tuo pačiu metu ne; g (\displaystyle g) turi įtakos tik pusiausvyros padėties poslinkiui m g / k (\displaystyle mg/k).
Spyruoklės apkrovos svyravimų dažnio (arba periodo) matavimai naudojami kūno svorio nustatymo prietaisuose - vadinamuosiuose masės matuokliuose, naudojamuose kosminės stotys kai svarstyklės negali veikti dėl nesvarumo.
Universalūs sukamieji judesiai
Paprastas harmoninis judėjimas kai kuriais atvejais gali būti laikomas universalaus apskrito judesio vienmačiu projekcija.
Jei objektas juda pastoviu kampiniu greičiu ω išilgai spindulio apskritimo r, kurio centras yra plokštumos pradžia x−y, tada toks judėjimas palei kiekvieną iš koordinačių ašys yra paprasta harmonika su amplitudė r ir apskrito dažnio ω.
Svoris kaip paprasta švytuoklė
Mažais kampais judesys paprasta švytuoklė yra artimas paprastajai harmonikai. Tokios švytuoklės, pritvirtintos prie ilgio strypo, svyravimo laikotarpis ℓ , pateikiama pagal formulę
T = 2 π ℓ g .Kur (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).) g (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).), todėl esant tokio paties ilgio švytuoklei, Mėnulyje ji svyruos lėčiau, nes ten gravitacija silpnesnė ir mažesnė vertė laisvojo kritimo pagreitis.
Šis aproksimavimas yra teisingas tik esant mažiems nuokrypio kampams, nes kampinio pagreičio išraiška yra proporcinga koordinatės sinusui:
ℓ mg sin θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)Kur aš- inercijos momentas; V šiuo atveju aš = mℓ 2. Maži kampai realizuojami tokiomis sąlygomis, kai vibracijos amplitudė yra žymiai mažesnė už strypo ilgį.
ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)ką jis veikia kampinis pagreitis tiesiogiai proporcingas kampui θ, ir tai atitinka paprasto harmoninio judėjimo apibrėžimą.
Harmoninio osciliatoriaus laisvieji virpesiai su slopinimu
Lygtis ir jos sprendiniai
Svarstant osciliatorių su slopinimu, modelis laikomas pagrindu konservatyvus osciliatorius, prie kurios pridedama klampios trinties jėga. Klampios trinties jėga yra nukreipta prieš krovinio judėjimo greitį terpės atžvilgiu ir yra tiesiogiai proporcinga šiam greičiui. Tada visa jėga, veikiantis apkrovą, rašomas taip:
F = − k x − α v.(\displaystyle F=-kx-\alpha v.)
Naudodami antrąjį Niutono dėsnį, gauname diferencialinę lygtį, apibūdinančią slopintą osciliatorių:x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\taškas (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .) Žymėjimas pristatomas čia: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m) . Koeficientasγ (\displaystyle \gamma)
vadinama slopinimo konstanta. Jis taip pat turi dažnio matmenį.
Sprendimas suskirstytas į tris atvejus.Kur x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))
- laisvųjų svyravimų dažnis. x (t) = (A + B t) e − γ t .Kur (\displaystyle \x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).)
x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t)) β 1, 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2.(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Harmoniniai judesiai paprastas Ir junginys. Įsivaizduokime tai spindulio apskritime A (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra ties APIE ) taškas juda N Su pastovus greitis rodyklės nurodyta kryptimi ir pilnas posūkis laikui bėgant jis sudaro ratą T (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra ties. Projekcija M 1 taškų tada atliks svyruojantį judesį išilgai jo, aukštyn ir žemyn, vadinamą paprastas harmoningas judesys ir išreikštas sekančią lygtį:
| x = a sin 2 π t T , (\displaystyle x=a\sin (\frac (2\pi t)(T)),) |
|
| x = a sin (2 π t T − ϵ) , (\displaystyle x=a\sin \left((\frac (2\pi t)(T))-\epsilon \right),) |
|
kur yra ε fazė, arba era, harmoninė vibracija, Ir - amplitudė(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) rodyklės nurodyta kryptimi ir - laikotarpis, arba trukmė, dvitaškis svyravimas M.
Po velnių. 2, judesys, išreikštas (I) lygtimi, pavaizduotas grafiškai. Iš taško A tiesia linija At brėžiami laikai proporcingi ilgiai t; taip, ilgis AR vaizduoja laiką T, ir ilgis Ar- laikas, per kurį praėjo apskritimu judantis taškas SU V (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra tiesį pragarą 1. Tada iš kiekvieno taško, pvz r, atidėkite ordinatas rK, lygus atitinkamam atstumui OM. Sukonstruota kreivė bus sinusoidinė;į pragarą 2 parodyta tik jo dalis, atitinkanti vieną visas laikotarpis ir vaizduoja vieną kreivės bangą.
Du ar daugiau tiesių harmoninių judesių išilgai tos pačios tiesios linijos, šalia to paties centro, tuo pačiu laikotarpiu, bet skirtingomis amplitudėmis ir skirtingomis fazėmis, yra sujungti į vieną paprastas harmoningas to paties laikotarpio judėjimas. Jeigu Ir 1 , Ir 2 , Ir 3,... yra harmoninių judesių dedamųjų amplitudės, o ε 1, ε 2, ε 3,... yra jų fazės, tada sudėtinio paprastojo harmoninio judėjimo amplitudės kvadratas bus lygus:
α 2 + β 2 , (\displaystyle \alpha ^(2)+\beta ^(2),)ir šio judėjimo fazinė liestinė lygus santykiuiβ į α, kur α ir β yra šios sumos:
α = a 1 cos ϵ 1 + a 2 cos ϵ 2 + … (\displaystyle \alpha =a_(1)\cos \epsilon _(1)+a_(2)\cos \epsilon _(2)+\ taškai) β = a 1 sin ϵ 1 + a 2 sin ϵ 2 + … (\displaystyle \beta =a_(1)\sin \epsilon _(1)+a_(2)\sin \epsilon _(2)+\ taškai)Sujungę kelis paprastus skirtingų laikotarpių geometrinius judesius išilgai tos pačios tiesės, gauname sudėtingi tiesiniai harmoniniai judesiai, o iš dviejų paprastų geometrinių judesių, atliekamų išilgai dviejų vienas kitam statmenų arba pasvirusių linijų, derinio gaunami kreiviniai geometriniai judesiai. Po velnių. 3 paveiksle grafiškai pavaizduotas sudėtingas tiesinis judėjimas, išreikštas lygtimi:
x = sin ω t + sin 2 ω t , (\displaystyle x=\sin \omega t+\sin 2\omega t,) |
 |
ir į pragarą. 4 - kitas sudėtingas G. judėjimas, išreikštas lygtimi:
x = sin 2 ω t + sin (3 ω t + 3 π 8) , (\displaystyle x=\sin 2\omega t+\sin \left(3\omega t+(\frac (3\pi )(8)) ))\teisingai))kur ω = 2π:T.
Kai sujungiami du paprasti skirtingų proporcingų laikotarpių geometriniai judesiai, judantis taškas apibūdina lenktas linijas, vadinamas Lissajous kreivėmis. Pilna teorija Judėjimo geometriją galima rasti „Thomsono ir Taito traktate apie gamtos filosofiją“ (I tomas. I dalis, kinematika).
Harmoninis santykis(žr. 1 t. 722 b. l.). Geometrinio santykio sąvoką įvedė senovės geometrijai. Papas savo knygoje Matematinė kolekcija"sako, kad trys skaičiai yra G. santykiu, jei pirmojo ir trečiojo santykis yra lygus pirmojo be antrojo ir trečiojo skirtumo santykiui; Ši nuostata vadinama G. nes buvo rasta senolių muzikos teorijoje.
Du taškai a(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Ir 1 padalijimo ilgis bc G. santykyje, jei ilgiai ac, ahh 1 ir ab yra G. santykyje, t.y.:
a c a b = a c − a a 1 a a 1 − a b , (\displaystyle \mathrm ((\frac (ac)(ab))=(\frac (ac-aa_(1))(aa_(1)-ab))) , )| a c a b = − a c − a a 1 a b − a a 1 , (\displaystyle \mathrm ((\frac (ac)(ab))=-(\frac (ac-aa_(1))(ab-aa_(1))) ),) |
|
(\displaystyle \mathrm ((\frac (ab)(ac)):(\frac (a_(1)b)(a_(1)c))=-1) .) ac, ahh 1 , ab Harmoninis trijų ilgių santykis
Taip pat galite pateikti šią formą:2 a a 1 = 1 a b + 1 a c , (\displaystyle \mathrm ((\frac (2)(aa_(1)))=(\frac (1)(ab))+(\frac (1)(ac) )) ,) kurią lengva gauti iš (III). G. požiūris vaidina svarbus vaidmuo
aukštesnėje geometrijoje; žr. Chasles "Traité de géometrie supérieure". Harmoninės sferinės funkcijos. Sferinių harmoninių funkcijų pavadinimu anglų fizikai ir matematikai reiškia vienarūšės funkcijos V iš x, y, z
, tenkinantis diferencialinę lygtį:x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t)) d 2 V d x 2 + d 2 V d y 2 + d 2 V d z 2 = 0 .(\displaystyle \mathrm ((\frac (d^(2)V)(dx^(2)))+(\frac (d^(2)V)(dy^(2)))+(\frac ( d^(2)V)(dz^(2)))=0) .) atskira dalelė atsiranda veikiant jėgai, nukreiptai į dalelės pusiausvyros padėtį ir kintančia tiesiogiai proporcingai jos atstumui nuo jos. Tokia jėga atsiranda tempimo, gniuždymo, lenkimo metu elastingi kūnai, kai lanksti ištempta styga atitraukiama iš pusiausvyros padėties ir daugelyje panašių atvejų. Todėl harmoninis judėjimas gamtoje vyksta labai dažnai: visi garso vibracijos kūno atstumai nuo pusiausvyros padėties, harmoninis judėjimas turi nepaprastas turtas- izochroniniai svyravimai, t.y. judėjimo periodo trukmė yra vienoda tiek didelėms, tiek mažoms virpesių amplitudėms. Dėl šios priežasties tas pats skambantis kūnas (kamtonas, styga ir kt.) visada skleidžia to paties aukščio toną, nors skirtingos stiprybės(tyliai arba garsiai), priklausomai nuo smūgio jėgos. Harmoninio svyravimo periodo (T) trukmė priklauso tik nuo pagreičio (k) ilgio vieneto atstumu (1 cm) nuo judančių dalelių pusiausvyros padėties, t.
T = 2 π : k .(\displaystyle \mathrm (T=2\pi:(\sqrt (k))) .) Judėjimo pagreitis yra proporcingas varomajai jėgai ir atvirkščiai proporcingas judančiai masei. Tai jie naudoja praktiškai: nustatydami muzikos instrumentai
x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))pakeisti stygų įtempimą; keisti kišeninio laikrodžio greitį, keisti švytuoklės spyruoklės ilgį ir kt.(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Harmoniniai judesiai paprastas Ir junginys. Įsivaizduokime tai spindulio apskritime A (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra ties paprastas rodyklės nurodyta kryptimi ir.
pastoviu greičiu rodyklės nurodyta kryptimi ir laikui bėgant apsuka visą apskritimą
1 brėžinys. 2 brėžinys. laikui bėgant jis sudaro ratą T (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra ties. Projekcija Projekcija X tada atliks svyruojantį judesį išilgai jo, aukštyn ir žemyn, vadinamą paprastas harmoningas judesys 1 JAUTIS
ir išreiškiamas tokia lygtimi: = a x sin(2π t/T)
ir išreiškiamas tokia lygtimi: = a x (aš) t/T- ε
Kur ) (II) e fazė, arba era, Yra harmoninė vibracija, - amplitudė A Ir - laikotarpis, T M.
Po velnių. 2, judesys, išreikštas (I) lygtimi, pavaizduotas grafiškai. Iš taško A tiesia linija At brėžiami laikai proporcingi ilgiai t; taip, ilgis AR vaizduoja laiką arba trukmė, dvitaškis svyravimas ,""" ir ilgis Ar- laikas, per kurį praėjo apskritimu judantis taškas SU V (1 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra tiesį pragarą 1. Tada iš kiekvieno taško, pvz r T Ordinatė ordinatės rK, OM. Sukonstruota kreivė bus sinusoidinė; lygus atitinkamam atstumui
Du ar daugiau tiesių harmoninių judesių išilgai tos pačios tiesios linijos, šalia to paties centro, tuo pačiu laikotarpiu, bet skirtingomis amplitudėmis ir skirtingomis fazėmis, yra sujungti į vieną paprastas harmoningas to paties laikotarpio judėjimas. Jeigu Ir į pragarą 2 paveiksle parodyta tik jo dalis, atitinkanti vieną pilną periodą ir vaizduojanti vieną kreivės bangą. 1, 2 ir 3
, ... yra harmoninių judesių dedamųjų amplitudės, o ε 1, ε 2, ε 3, ... yra jų fazės, tada sudėtinio paprastojo harmoninio judėjimo amplitudės kvadratas bus lygus: Tangentas liestinė
šio judėjimo fazė yra lygi β ir α santykiui, kur α ir β yra šios sumos:
α = a 1 cos ε 1 + a 2 cos ε 2 +....
Sujungę kelis paprastus skirtingų laikotarpių geometrinius judesius išilgai tos pačios tiesės, gauname sudėtingi tiesiniai harmoniniai judesiai, o iš dviejų paprastų geometrinių judesių, atliekamų išilgai dviejų vienas kitam statmenų arba pasvirusių linijų, derinio gaunami kreiviniai geometriniai judesiai. Po velnių. 3 paveiksle grafiškai pavaizduotas sudėtingas tiesinis judėjimas, išreikštas lygtimi:
ir išreiškiamas tokia lygtimi:β = a 1 sin ε 1 + a 2 sin ε 2 +.... t= sin ω t,
+ sin2 ω
ir į pragarą. 4 - kitas sudėtingas G. judėjimas, išreikštas lygtimi:
ir išreiškiamas tokia lygtimi: 3 piešinys t= sin2 ω t+ sin(3 ω
+ 3 π / 8), kur ω = 2 π /T.
Kvailas. 4 Kai sujungiami du paprasti skirtingų proporcingų laikotarpių geometriniai judesiai, judantis taškas apibūdina lenktas linijas, vadinamas kreivėmis. Lissajousas
. Išsamią geometrinių judesių teoriją galima rasti „Thomsono ir Taito traktate apie gamtos filosofiją“ (I tomas. I dalis, kinematika). Harmoninis santykis Muzika muzika
Du taškai a(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Ir 1 padalijimo ilgis senovės. G. santykyje, jei ilgiai ac, ahh 1 ir ab yra G. santykyje, t.y.:
bс/ab = (ac - ac 1)/(ac 1 - ab aa
bс/ab = -(ac - ac 1)/(ab - ac 1) (III)
ab/ac: a 1 b/a 1 c = - 1.
(\displaystyle \mathrm ((\frac (ab)(ac)):(\frac (a_(1)b)(a_(1)c))=-1) .) ac, ahh 1 ,ab Harmoninis trijų ilgių santykis
2/ac 1 = 1/ab + 1/ac
kurią lengva gauti iš (III). D. požiūris vaidina svarbų vaidmenį aukštesnėje geometrija; žr. Chasles „Trait é de géometrie supérieure“.
Harmoninis sferinės funkcijos. Sferinių harmoninių funkcijų pavadinimu anglų fizikai ir matematikai reiškia vienarūšes funkcijas. vienarūšės funkcijos V X, y, z x, y, z
d 2 vienarūšės funkcijos/dx 2 + d 2 vienarūšės funkcijos/dy 2 + d 2 vienarūšės funkcijos/dz 2 = 0
cm . Sferinės funkcijos.
D. B. Harmoniniai judesiai atskiros dalelės atsiranda veikiant jėgai, nukreiptai į dalelės pusiausvyros padėtį ir kintančia tiesiogiai proporcingai jos atstumui nuo jos. Tokios jėgos atsiranda tempiant, gniuždant, lenkiant tamprius kūnus, kai lanksti ištempta styga atitraukiama iš pusiausvyros padėties ir daugeliu panašių atvejų. Todėl harmoninis judėjimas gamtoje vyksta labai dažnai: visi garso virpesiai, tokie kaip kamertono, stygų ir kt., reiškia harmoninį judėjimą. Švytuoklės siūbavimas su mažais sūpuoklėmis, palyginti su jos ilgiu, vyksta pagal tuos pačius dėsnius. Dėl varomosios jėgos proporcingumo kūno atstumams nuo pusiausvyros padėties harmoninis judėjimas turi nepaprastą savybę – svyravimų izochroniškumą, t.y. judėjimo periodo trukmė yra vienoda tiek didelėms, tiek mažoms virpesių amplitudėms. . Dėl šios priežasties tas pats skambantis kūnas ( šakutė , styga ir tt) visada skleidžia vienodo aukščio toną, nors ir įvairaus stiprumo (tylaus ar garsaus), priklausomai nuo smūgio jėgos. Harmoninio svyravimo periodo (T) trukmė priklauso tik nuo pagreičio (k) ilgio vieneto atstumu (1 cm) nuo judančių dalelių pusiausvyros padėties, t.
Judėjimo pagreitis yra proporcingas varomajai jėgai ir atvirkščiai proporcingas judančiai masei. Tai yra tai, kas naudojama praktikoje: kada nustatymas keičiasi muzikos instrumentai įtampa stygos; keisti kišeninio laikrodžio greitį, keisti švytuoklės spyruoklės ilgį ir kt.
Kosinusas (21.2) lygties sprendime rodo, kad harmoninis judėjimas yra susijęs su apskritimu. Šis palyginimas, žinoma, dirbtinis, nes tiesiniu judesiu niekur nėra apskritimo: svoris juda griežtai aukštyn ir žemyn. Galime pateisinti save sakydami, kad jau išsprendėme harmoninio judėjimo lygtį, kai studijavome apskrito judėjimo mechaniką. Jei dalelė juda aplink apskritimą pastoviu greičiu, tai spindulio vektorius nuo apskritimo centro iki dalelės sukasi kampu, kurio dydis yra proporcingas laikui. Pažymime šį kampą (21.2 pav.). Tada 
. Yra žinoma, kad pagreitis 
ir nukreiptas į centrą. Judančio taško koordinatės tam tikru momentu yra lygios
O kaip su pagreitėjimu? Kas yra pagreičio komponentas? Šią reikšmę galima rasti grynai geometriškai: ji lygi pagreičio vertei, padaugintai iš projekcijos kampo kosinuso; Prieš gautą išraišką turite įdėti minuso ženklą, nes pagreitis nukreiptas į centrą:
Kitaip tariant, kai dalelė juda apskritimu, horizontalus judesio komponentas turi pagreitį, proporcingą horizontalus poslinkis nuo centro. Žinoma, žinome sprendimų judėjimo apskritime atveju: . (21.7) lygtis neapima apskritimo spindulio; taip pat judant bet kuriame apskritime su tuo pačiu .
Fig. 21.2. Dalelė, judanti apskritimu pastoviu greičiu.
Taigi, yra keletas priežasčių, kodėl turėtume tikėtis, kad svorio įlinkis į spyruoklę bus proporcingas ir judėjimas atrodys taip, tarsi sektume ratu judančios dalelės koordinates. kampinis greitis. Tai galima patikrinti atlikus eksperimentą, rodantį, kad svorio judėjimas aukštyn ir žemyn ant spyruoklės tiksliai atitinka taško judėjimą išilgai apskritimo. Fig. 21.3, lankinės lempos šviesa į ekraną projektuoja į besisukantį diską įsmeigtos judančios adatos ir šalia judančio vertikaliai svyruojančio svorio šešėlius. Jei priversite svorį svyruoti reikiamu laiku ir iš tinkamos vietos, o paskui atsargiai parinksite disko greitį, kad jų judesių dažniai sutaptų, šešėliai ekrane tiksliai seks vienas kitą. Štai dar vienas būdas tuo įsitikinti, kai rasite skaitinis sprendimas, esame beveik arti kosinuso.
Fig. 21.3. Paprasto harmoninio judėjimo lygiavertiškumo demonstravimas ir vienodas judesys aplink perimetrą.
Čia galima pabrėžti, kad kadangi tolygaus judesio sukamoji matematika yra labai panaši į matematiką svyruojantis judesys aukštyn ir žemyn, tuomet svyruojančių judesių analizė labai supaprastės, jei šį judėjimą įsivaizduosime kaip judėjimo projekciją apskritime. Kitaip tariant, galime papildyti (21.2) lygtį, kuri atrodo visiškai nereikalinga lygtis, ir nagrinėti abi lygtis kartu. Tai padarę vienmačius svyravimus sumažinsime iki judėjimo ratu, o tai išgelbės mus nuo sprendimo diferencialinė lygtis. Galite padaryti kitą triuką – įveskite kompleksiniai skaičiai, bet daugiau apie tai kitame skyriuje.
