Harmoninio osciliatoriaus judėjimo lygtis turi formą. §15

Paprasčiausias atomų vibracinio judėjimo dviatominėje molekulėje modelis gali būti dviejų masių sistema T/ ir w?, sujungti elastine spyruokle. Dviejų atomų vibracija masės centro atžvilgiu gali būti pakeista vieno ekvivalento vibracija

masė, palyginti su pradine nulinis taškas R= 0, kur

R- atstumas tarp masių, R e- pusiausvyros taško padėtis.

Klasikiniu požiūriu daroma prielaida, kad spyruoklė yra ideali – tamprumo jėga F yra tiesiogiai proporcinga deformacijai – nuokrypiui nuo pusiausvyros x = R-R e, pagal Huko dėsnį:

Kur Į- elastingumo konstanta. Taigi jėga nukreipta į grįžimą į pusiausvyros padėtį.

Naudojant Huko ir Niutono dėsnius kartu (F-ta), galima parašyti:

(žymi ). Yra žinoma, kad tokios lygties sprendimas yra

atlieka harmonines funkcijas

Kur xo- amplitudė ir

Naudojant sumažintą masę /l gauname:

Sistemos potencialios energijos matas V tarnauja darbui

IN kvantinė mechanika svyruojančių judesių analizė paprastam harmoninio generatoriaus modeliui yra gana sudėtinga. Jis pagrįstas Schrödingerio lygties sprendimu

(y/- vibracinės bangos funkcija, E - visos energijos dalelės) ir nepatenka į mūsų pristatymo sritį.

Kvantiniam generatoriui tai įmanoma tik atskiros serijos energijos E reikšmes ir dažnius pagal formulę E=hv. Be to, minimali osciliatoriaus energijos vertė nėra lygi nuliui. Šis kiekis vadinamas nulinės energijos, jis atitinka žemiausią osciliatoriaus energijos lygį ir yra lygus , jo egzistavimą galima paaiškinti remiantis Heisenbergo neapibrėžtumo ryšiu.

Taigi, vadovaujantis kvantinė mechanika harmoninio osciliatoriaus energija kvantuojama:

Kur v- svyruojantis kvantinis skaičius, kurios reikšmė gali būti y=0, 1, 2, 3,....

Kai osciliatorius sąveikauja su kvantais elektromagnetinė spinduliuotė reikia atsižvelgti į tris veiksnius: 1) lygių populiaciją (tikimybę rasti molekulę tam tikru momentu). energijos lygis); 2) dažnio taisyklė (Bohr), pagal kurią kvanto energija turi atitikti bet kurių dviejų lygių energijos skirtumą;

3) kvantinių perėjimų atrankos taisyklė: perėjimo tikimybė, t.y. linijų intensyvumą sugerties spektre lemia dydis perėjimo dipolio momentas (žr teorinis įvadas). Paprasčiausio harmoninio osciliatoriaus atveju pasirinkimo taisyklė gaunama atsižvelgiant į bangų funkcijas. Jame teigiama, kad perėjimai gali vykti tik tarp gretimų lygių („vienas žingsnis“): vibracinis kvantinis skaičius pasikeičia vienu Av= 1. Kadangi atstumai tarp gretimų lygių yra vienodi, harmoninio osciliatoriaus sugerties spektre turi būti tik viena eilutė su dažniu

Kadangi pagal Boltzmann pasiskirstymą kambario temperatūroje ir kt žemos temperatūrosžemiausias vibracijos lygis yra apgyvendintas, tada intensyviausias perėjimas yra iš paties žemas lygis(d=0), o šios linijos dažnis sutampa su silpnesnių perėjimų dažnumu iš aukštesnių lygių į gretimą, aukštesnį lygį.

Harmoninių osciliatorių bangų funkcijų grafikai skirtingos reikšmės energijos parodytos 2.3 pav. Jie atspindi harmoninio osciliatoriaus Schrödingerio lygties sprendinius

Kur N, - normalizuojantis veiksnys, H 0- Ermito daugianariai, x = R-R e- nukrypimas nuo pusiausvyros padėties.

Pereinamojo dipolio momentas vibraciniams perėjimams, R0(arba M") lygus:

Kur ju - dipolio momentas molekulės; dvejonės

pradinės ir galutinės būsenos kietosios bangos funkcijos atitinkamai. Iš formulės aišku, kad perėjimas leidžiamas,

jei pusiausvyros taške – molekulės dipolio momentas

pasikeičia netoli pusiausvyros taško padėties (kreivė ju=f(R)šiuo metu nepraeina per maksimumą). Integralas (antrasis koeficientas formulėje) taip pat neturi būti lygus nuliui. Galima parodyti, kad ši sąlyga yra įvykdyta, jei įvyksta perėjimas tarp gretimų lygių papildoma taisyklė pasirinkimas Ai = 1.

Dviatominių molekulių atveju vibraciniai spektrai gali būti stebimi tik heterobranduolinėms molekulėms, kurios neturi dipolio momento ir nesikeičia virpesių metu. CO2 virpesių spektrai pasižymi virpesiais (antisimetrinis tempimas ir lenkimas), kuriuose dipolio momentas keičiasi, tačiau simetrinių virpesių, kuriuose jis išlieka nepakitęs, neatsiranda.

Harmoninis osciliatorius

Harmoninis osciliatorius(klasikinėje mechanikoje) - sistema, kuri, išstumta iš pusiausvyros padėties, patiria atkuriamą jėgą F, proporcingas poslinkiui x(pagal Huko dėsnį):

Kur k- sistemos standumo koeficientas.

Jeigu F yra vienintelė sistemą veikianti jėga, tada sistema vadinama paprastas arba konservatyvus harmoninis osciliatorius. Laisvieji tokios sistemos svyravimai reiškia periodinį judėjimą aplink pusiausvyros padėtį (harmoninius virpesius). Dažnis ir amplitudė yra pastovūs, o dažnis nepriklauso nuo amplitudės.

Mechaniniai harmoninio osciliatoriaus pavyzdžiai yra matematinė švytuoklė (su nedideliais nuokrypio kampais), sukimo švytuoklė ir akustinės sistemos. Tarp kitų harmoninio osciliatoriaus analogų verta pabrėžti elektrinį harmoninis osciliatorius(žr. LC grandinę).

Laisvos vibracijos

Konservatyvus harmoninis osciliatorius

Kaip konservatyvaus harmoninio osciliatoriaus modelį imame masės apkrovą m, pritvirtintas prie spyruoklės standumu k .

Leiskite x- apkrovos poslinkis pusiausvyros padėties atžvilgiu. Tada, pagal Huko dėsnį, jį veiks atkuriamoji jėga:

Tada visos energijos turi pastovią vertę

Paprasta harmoninis judėjimas - tai paprastas judėjimas harmoninis osciliatorius, periodinis judesys, kuris nėra nei priverstinis, nei slopinamas. Paprastame harmoningai judantį kūną veikia viena kintama jėga, kuri absoliučia verte yra tiesiogiai proporcinga poslinkiui x iš pusiausvyros padėties ir yra nukreiptas priešinga kryptimi.

Šis judėjimas yra periodiškas: kūnas svyruoja aplink pusiausvyros padėtį pagal sinusoidinį dėsnį. Kiekvienas paskesnis svyravimas yra toks pat kaip ir ankstesnis, o svyravimų periodas, dažnis ir amplitudė išlieka pastovūs. Jei darysime prielaidą, kad pusiausvyros padėtis yra taške su koordinatėmis, lygus nuliui, tada kompensacija x kūnas iš pusiausvyros padėties bet kuriuo metu pateikiamas pagal formulę:

Kur A- svyravimų amplitudė, f- dažnis, φ - pradinė fazė.

Nustatomas judėjimo dažnis būdingos savybės sistema (pavyzdžiui, judančio kūno masė), tuo tarpu amplitudę ir pradinę fazę lemia pradinės sąlygos – kūno poslinkis ir greitis tuo momentu, kai prasideda svyravimai. Nuo šių savybių ir sąlygų taip pat priklauso sistemos kinetinė ir potencinė energija.

Paprastas harmoningas judesys gali būti matematiniai modeliai įvairių tipų judesiai, tokie kaip spyruoklės virpesiai. Kiti atvejai, kuriuos galima apytiksliai laikyti paprastu harmoniniu judesiu, yra švytuoklės judėjimas ir molekulių vibracija.

Paprastas harmoninis judėjimas yra kai kurių sudėtingesnių judesių tipų analizės būdų pagrindas. Vienas iš šių metodų yra Furjė transformacija pagrįstas metodas, kurio esmė susiveda į daugiau sudėtingas tipas judesius į paprastų harmoninių judesių seriją.

Bet kuri sistema, kurioje vyksta paprastas harmoninis judėjimas, turi dvi pagrindines savybes:

1. Kai sistema išstumiama iš pusiausvyros, turi atsirasti atkuriamoji jėga, kuri linkusi grąžinti sistemą į pusiausvyrą.
2. Atkuriamoji jėga turi būti tiksliai arba apytiksliai proporcinga poslinkiui.

Apkrovos-spyruoklių sistema atitinka abi šias sąlygas.

Kai pasislinkusi apkrova veikia atkuriamąją jėgą, ji įsibėgėja ir linkusi grįžti į pradinę padėtį. pradžios taškas, tai yra, į pusiausvyros padėtį. Kai apkrova artėja prie pusiausvyros padėties, atkuriamoji jėga mažėja ir linkusi į nulį. Tačiau situacijoje x = 0 apkrova turi tam tikrą judesį (impulsą), įgyjamą veikiant atkuriamajai jėgai. Todėl apkrova viršija pusiausvyros padėtį ir vėl pradeda deformuoti spyruoklę (bet jau yra priešinga kryptimi). Atkuriamoji jėga bus linkusi ją sulėtinti, kol greitis taps nulinis; ir jėga vėl stengsis grąžinti apkrovą į pusiausvyros padėtį.

Kol sistemoje nėra energijos nuostolių, apkrova svyruos taip, kaip aprašyta aukščiau; toks judėjimas vadinamas periodiniu.

Tolesnė analizė parodys, kad apkrovos-spyruoklės sistemos atveju judėjimas yra paprastas harmoningas.

Paprasto harmoninio judėjimo dinamika

Dėl vibracijų vienmatėje erdvėje, atsižvelgiant į antrąjį Niutono dėsnį ( F= m  d² x/d t² ) ir Huko dėsnis ( F = −kx, kaip aprašyta aukščiau), turime antros eilės tiesinę diferencialinę lygtį:

Šios diferencialinės lygties sprendimas yra sinusinis; vienas sprendimas yra:

Kur A, ω ir φ yra pastovūs dydžiai, o pusiausvyros padėtis laikoma pradine. Kiekviena iš šių konstantų yra svarbi fizinė nuosavybė judesiai: A yra amplitudė, ω = 2π f- apskritas dažnis, o φ - pradinė fazė.

Universalūs sukamieji judesiai

Paprastas harmoninis judėjimas kai kuriais atvejais gali būti laikomas universalaus apskrito judesio vienmačiu projekcija. Jei objektas juda pastoviu kampiniu greičiu ω išilgai spindulio apskritimo r, kurio centras yra plokštumos pradžia x−y, tada toks judėjimas palei kiekvieną iš koordinačių ašys yra paprasta harmonika su amplitudė r ir apskrito dažnio ω.

Svoris kaip paprasta švytuoklė

Mažais kampais judesys paprasta švytuoklė yra artimas paprastajai harmonikai. Tokios švytuoklės, pritvirtintos prie ilgio strypo, svyravimo laikotarpis ℓ su pagreičiu laisvasis kritimas g pateikiama pagal formulę

Tai rodo, kad svyravimo periodas nepriklauso nuo švytuoklės amplitudės ir masės, o priklauso nuo gravitacijos pagreičio g, todėl esant tokio paties ilgio švytuoklei, Mėnulyje ji svyruos lėčiau, nes ten gravitacija silpnesnė ir mažesnė vertė laisvo kritimo pagreitis.

Šis aproksimavimas yra teisingas tik esant mažiems nuokrypio kampams, nes kampinio pagreičio išraiška yra proporcinga koordinatės sinusui:

ką tai daro kampinis pagreitis tiesiogiai proporcingas kampui θ, ir tai atitinka paprasto harmoninio judėjimo apibrėžimą.

Slopinamas harmoninis osciliatorius

Remdamiesi tuo pačiu modeliu, prie jo pridėsime klampios trinties jėgą. Klampios trinties jėga nukreipta prieš krovinio judėjimo greitį terpės atžvilgiu ir yra proporcinga šiam greičiui. Tada visa jėga, veikiantis apkrovą, rašomas taip:

Atlikdami panašius veiksmus, gauname diferencialinė lygtis, apibūdinantis slopintą osciliatorių:

Čia įvedamas pavadinimas: . Koeficientas vadinamas slopinimo konstanta. Jis taip pat turi dažnio matmenį.

Sprendimas suskirstytas į tris atvejus.

Kritinis slopinimas yra puikus tuo, kad esant kritiniam slopinimui osciliatorius greičiausiai patenka į pusiausvyros padėtį. Jei trintis mažesnė nei kritinė, ji greičiau pasieks pusiausvyros padėtį, tačiau dėl inercijos ją „peršoks“ ir svyruos. Jei trintis yra didesnė nei kritinė, osciliatorius eksponentiškai linkęs į pusiausvyros padėtį, bet kuo lėčiau, tuo didesnė trintis.

Todėl ciferblato indikatoriuose (pavyzdžiui, ampermetrais) jie dažniausiai bando įvesti kritinį slopinimą, kad jo rodmenis būtų galima nuskaityti kuo greičiau.

Osciliatoriaus slopinimas taip pat dažnai apibūdinamas bedimensiniu parametru, vadinamu kokybės faktoriumi. Kokybės faktorius paprastai žymimas raide . Pagal apibrėžimą kokybės koeficientas yra lygus:

Kuo didesnis kokybės koeficientas, tuo lėčiau mažėja osciliatoriaus virpesiai.

Osciliatoriaus su kritiniu slopinimu kokybės koeficientas yra 0,5. Atitinkamai, kokybės koeficientas rodo osciliatoriaus elgesį. Jei kokybės koeficientas didesnis nei 0,5, tai laisvas osciliatoriaus judėjimas reiškia svyravimus; Laikui bėgant jis neribotą skaičių kartų kirs pusiausvyros padėtį. Kokybės koeficientas, mažesnis arba lygus 0,5, atitinka nesvyruojantį osciliatoriaus judesį; V laisvas judėjimas pusiausvyros padėtį jis kirs daugiausia vieną kartą.

Kokybės koeficientas kartais vadinamas generatoriaus stiprinimo koeficientu, nes taikant kai kuriuos sužadinimo būdus, kai sužadinimo dažnis sutampa su rezonansiniu, svyravimų amplitudė pasirodo maždaug kartų didesnė nei sužadinant žemu dažniu.

Taip pat kokybės koeficientas yra maždaug lygus virpesių ciklų, kurių metu virpesių amplitudė sumažėja koeficientu, skaičiui, padaugintam iš .

Esant svyruojančiam judesiui, slopinimas taip pat apibūdinamas tokiais parametrais kaip:

• Gyvenimo laikas vibracijos (dar žinomas kaip skilimo laikas, tai tas pats atsipalaidavimo laikas) τ - laikas, per kurį sumažės virpesių amplitudė e vieną kartą.

Priverstinės vibracijos

Osciliatoriaus svyravimai vadinami priverstiniais, kai jam taikomas papildomas išorinis poveikis. Šis efektas gali būti sukurtas įvairiomis priemonėmis ir pagal įvairių įstatymų. Pavyzdžiui, jėgos sužadinimas – jėgos, kuri pagal tam tikrą dėsnį priklauso tik nuo laiko, apkrova. Kinematinis sužadinimas yra spyruoklės tvirtinimo taško judėjimo išilgai osciliatoriaus poveikis duotas įstatymas. Taip pat gali būti paveikta trintis, kai, pavyzdžiui, terpė, su kuria patiria trintį, juda pagal duotą dėsnį.

1 paskaita

VIRPYMAI. BANGOS. OPTIKA

Pirmieji mokslininkai, tyrinėję virpesius, buvo Galileo Galilei ir Christiaan Huygens. Galilėjus nustatė svyravimo laikotarpio nepriklausomybę nuo amplitudės. Huygensas išrado švytuoklinį laikrodį.

Bet kuri sistema, kuri, šiek tiek sutrikusi iš pusiausvyros padėties, turi stabilius virpesius, vadinama harmoniniu osciliatoriumi. IN klasikinė fizika tokios sistemos yra matematinė švytuoklė, esanti mažuose nuokrypio kampuose, apkrova mažose svyravimų amplitudėse, elektros grandinė, susidedantis iš linijiniai elementai talpa ir induktyvumas.

(1.1.1)

Kur X A

Svyruojančios medžiagos taško greitis

A

.

Jei periodiškai pasikartojantis procesas aprašomas lygtimis, kurios nesutampa su (1.1.1), jis vadinamas anharmoniniu. Sistema, kuri atlieka anharmoninius virpesius, vadinama anharmoniniu osciliatoriumi.

1.1.2 . Laisvos sistemų vibracijos su vienu laisvės laipsniu. Sudėtinga forma pareiškimai harmonines vibracijas

Gamtoje labai dažni nedideli svyravimai, kuriuos sistema sukuria netoli savo pusiausvyros padėties. Jei sistema, pašalinta iš pusiausvyros padėties, paliekama sau, tai yra, jos neveikia jokios išorinės jėgos, tada tokia sistema veiks laisvai. neslopinami svyravimai. Panagrinėkime sistemą su vienu laisvės laipsniu.

q

,

Kur

, (1.1.4)

Išraiška (1.1.5) sutampa su laisvųjų harmoninių virpesių lygtimi (1.1.3), jei

,

, Kur A = Xe-iα

1.1.3 . Pavyzdžiai svyruojantys judesiaiįvairių fizinė prigimtis

Harmoninis osciliatorius. Pavasaris, fizinės ir matematinės švytuoklės

Harmoninis osciliatorius vadinama sistema, kuri svyruoja, apibūdinama (140.6) formos lygtimi;

Harmoninio osciliatoriaus svyravimai yra svarbus pavyzdys periodinio judėjimo ir tarnauja kaip tikslus arba apytikslis modelis daugelyje klasikinių ir klasikinių problemų kvantinė fizika. Harmoninių osciliatorių pavyzdžiai yra spyruoklinės, fizikinės ir matematinės švytuoklės, virpesių grandinė(skirta tokioms mažoms srovėms ir įtampoms, kad grandinės elementus būtų galima laikyti linijiniais).

1. Spyruoklinė švytuoklė- yra masės apkrova T, pakabinamas ant absoliučiai elastingos spyruoklės ir veikiant atlieka harmoninius virpesius elastinė jėga F = – kx, Kur k- spyruoklės standumas. Švytuoklės judėjimo lygtis

Iš (142.1) ir (140.1) išraiškų matyti, kad spyruoklinė švytuoklė atlieka harmoninius virpesius pagal dėsnį x=A su s (w 0 t + j) su cikliniu dažniu

Formulė (142.3) galioja elastinės vibracijos tose ribose, kuriose yra įvykdytas Huko dėsnis (žr. (21.3)), t.y. kai spyruoklės masė yra maža, palyginti su kūno mase. Potenciali energija spyruoklinė švytuoklė, pagal (141.5) ir (142.2), yra lygus

2. Fizinė švytuoklė- standus kūnas, kuris, veikiamas gravitacijos, svyruoja aplink nejudantį horizontalioji ašis, einantis per tašką APIE, nesutampa su masės centru SU kūnai (201 pav.).

Jeigu švytuoklė iš pusiausvyros padėties pasvirusi tam tikru kampu a, tada pagal standaus kūno sukimosi judėjimo dinamikos lygtį (18.3) momentas M atkuriančią jėgą galima parašyti kaip

Kur J-švytuoklės inercijos momentas ašies, einančios per pakabos tašką, atžvilgiu O aš - atstumas tarp jo ir švytuoklės masės centro, F t = – mg sin a » – mga. - atkuriant jėgą (minuso ženklas atsiranda dėl to, kad kryptys Ft Ir a visada priešinga; nuodėmė a » a atitinka nedidelius švytuoklės svyravimus, t.y. nedideli švytuoklės nukrypimai nuo pusiausvyros padėties). Lygtį (142.4) galima parašyti kaip

identiškas (142.1), kurio (140.1) sprendimas yra žinomas:

Iš (142.6) išraiškos matyti, kad esant mažiems virpesiams fizinė švytuoklė atlieka harmoninius svyravimus, kurių ciklinis dažnis w 0 (žr. (142.5)) ir periodas.

Kur L=J/(ml) - sumažintas ilgis fizinė švytuoklė.

Taškas APIE' tiesės tęsinyje OS, toli nuo taško APIEšvytuoklės pakabinimas nurodyto ilgio atstumu L, paskambino sūpynių centras fizinė švytuoklė (201 pav.). Taikydami Steinerio teoremą (16.1), gauname

t.y. OO' visada daugiau OS. Pakabos taškas APIEšvytuoklė ir sūpynės centras APIE' turėti pakeičiamumo savybė: jei pakabos taškas perkeliamas į siūbavimo centrą, tada ankstesnis taškas APIE sustabdymas

taps naujuoju sūpynių centru, o fizinės švytuoklės svyravimo periodas nesikeis.

3. Matematinė švytuoklė- Tai idealizuotas sistema, susidedanti iš materialaus taško, turinčio masę T, pakabintas ant netiesiamo nesvaraus sriegio ir svyruoja veikiamas gravitacijos. Geras aproksimacija matematinė švytuoklė yra mažas sunkus rutulys, pakabintas ant plono ilgo sriegio. Matematinės švytuoklės inercijos momentas

Kur l- švytuoklės ilgis.

Kadangi matematinė švytuoklė gali būti pavaizduota kaip ypatingas atvejis fizinė švytuoklė, darant prielaidą, kad visa jo masė yra sutelkta viename taške - masės centre, tada formulę (1417) pakeitę išraiška (142.8), gauname matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodo išraišką.

Palyginus (142.7) ir (142.9) formules, matome, kad jei sumažintas ilgis L fizinė švytuoklė yra lygi ilgiui l matematinė švytuoklė, tada šių švytuoklių svyravimo periodai yra vienodi. Vadinasi, sumažintas fizinės švytuoklės ilgis- tai yra tokios matematinės švytuoklės ilgis, kurios svyravimo periodas sutampa su tam tikros fizinės švytuoklės svyravimo periodu.

Idealus harmoninis osciliatorius. Ideali osciliatoriaus lygtis ir jos sprendimas. Virpesių amplitudė, dažnis ir fazė

VIRPYMAI

HARMONINIAI VIBRACIJAI

Idealus harmoninis osciliatorius. Ideali osciliatoriaus lygtis ir jos sprendimas. Virpesių amplitudė, dažnis ir fazė

Virpesiai yra vienas iš labiausiai paplitusių procesų gamtoje ir technologijoje. Virpesiai yra procesai, kurie laikui bėgant kartojasi. Dvejokite aukštybiniai pastatai ir aukštos įtampos laidai, veikiami vėjo, susukto laikrodžio švytuoklė ir automobilis ant spyruoklių važiuojant, upės lygis ištisus metus ir temperatūra žmogaus kūnas susirgus. Garsas yra oro slėgio svyravimai, radijo bangos yra periodiniai pokyčiai elektros įtampa ir magnetinis laukas, šviesa taip pat yra elektromagnetinės vibracijos. Žemės drebėjimai – dirvožemio virpesiai, atoslūgiai ir atoslūgiai – jūrų ir vandenynų lygio pokyčiai, kuriuos sukelia mėnulio trauka ir kt.

Virpesiai gali būti mechaniniai, elektromagnetiniai, cheminiai, termodinaminiai ir kt. Nepaisant tokios įvairovės, visi svyravimai apibūdinami tomis pačiomis diferencialinėmis lygtimis.

Harmoninis osciliatorius gali būti laikomas tiesiniu, jei poslinkis iš pusiausvyros padėties yra tiesiogiai proporcingas trikdančiajai jėgai. Harmoninio osciliatoriaus virpesių dažnis nepriklauso nuo amplitudės. Osciliatoriui superpozicijos principas yra tenkinamas - jei veikia kelios trikdančios jėgos, tai jų bendro veikimo efektą galima gauti sudėjus efektus iš aktyvios jėgos atskirai.

Harmoniniai virpesiai apibūdinami lygtimi (1.1.1 pav.)

(1.1.1)

Kur X- svyruojančio dydžio poslinkis iš pusiausvyros padėties, A– svyravimų amplitudė, lygi vertei didžiausias poslinkis, - svyravimų fazė, kuri lemia poslinkį laiko momentu, - pradinė fazė, kuri lemia poslinkio dydį pradiniu laiko momentu, - ciklinis virpesių dažnis.

Vieno pilno svyravimų laikas vadinamas periodu, , kur yra per tą laiką atliktų svyravimų skaičius.

Virpesių dažnis nustato svyravimų skaičių per laiko vienetą, jis yra susijęs su cikliniu dažniu santykiu , tada periodas.

Taigi harmoninio osciliatoriaus greitis ir pagreitis taip pat skiriasi harmonijos dėsnis su amplitude ir atitinkamai. Šiuo atveju greitis lenkia poslinkį faze , o pagreitį (1.1.2 pav.).

Palyginus harmoninio osciliatoriaus (1.1.1) ir (1.1.2) judėjimo lygtis, matyti, kad , arba

Ši antros eilės diferencialinė lygtis vadinama harmoninių generatorių lygtimi. Jo tirpale yra dvi konstantos A ir , kuriuos lemia užduotis pradines sąlygas

.

Stabilus balansas atitinka sistemos, kurioje ji yra, padėtį potenciali energija turi minimumą ( q– apibendrinta sistemos koordinatė). Sistemos nukrypimas nuo pusiausvyros padėties sukelia jėgos, kuri linkusi grąžinti sistemą atgal, atsiradimą. Apibendrintos koordinatės reikšmė, atitinkanti pusiausvyros padėtį, žymima , tada nuokrypis nuo pusiausvyros padėties

Potencialią energiją skaičiuosime nuo minimali vertė. Priimkime gautą funkciją ir išplėskime ją į Maclaurin seriją ir palikime pirmąjį išplėtimo terminą, turime: o

,

Kur . Tada, atsižvelgiant į įvestus užrašus:

, (1.1.4)

Atsižvelgdami į sistemą veikiančios jėgos išraišką (1.1.4), gauname:

Pagal antrąjį Niutono dėsnį, sistemos judėjimo lygtis yra tokia:

ir turi du nepriklausomi sprendimai: ir , taip bendras sprendimas:

,

Iš (1.1.6) formulės matyti, kad nustatomas tik dažnis savo nuosavybes mechaninė sistema ir nepriklauso nuo amplitudės bei pradinių judėjimo sąlygų.

Svyruojančios sistemos koordinačių priklausomybę nuo laiko galima nustatyti realiosios dalies pavidalu sudėtinga išraiška , Kur A = Xe-iα– kompleksinė amplitudė, jos modulis sutampa su įprasta amplitude, o argumentas sutampa su pradine faze.

Chemiko vadovas 21

Chemija ir cheminė technologija

Harmoninis judėjimo dėsnis

Mechaninis, kuriame sukamasis judesys paverčiamas svyruojančiu judesiu (daugiausia ekscentriniai ir kumšteliai). Varomosios grandies judėjimo dėsnis gali būti artimas harmoninei. Šie žadintuvai naudojami kai kurių tipų ekranuose, vibracinėse centrifugose ir sliekiniuose maišytuvuose.

IN klasikinė mechanika norint rasti taškų sistemos judėjimo dėsnį (koordinatės qi kaip laiko funkcijos), būtina išspręsti Niutono lygčių sistemą. Esant savavališkai pasirinktai koordinačių sistemai, bendras šių lygčių su potencialu (VII, 7) sprendimas nesukelia harmoninės q (t) formos. Tačiau nesunku parodyti, kad linijinių koordinačių q, kombinacijų pagalba galima sukonstruoti naujas koordinates, kurių kiekviena kinta pagal harmoninį dėsnį tam tikru dažniu (c. Tokios koordinatės

Iš tiesų, dviejų atomų, sujungtų jungtimi, virpesiai yra panašūs į spyruokle laikomų sferų poros virpesius. Esant nedideliems poslinkiams, atkuriamoji jėga yra proporcinga poslinkiui, o jei tokia sistema pajudėtų, svyravimai bus aprašyti paprasto harmoninio judėjimo dėsniu.

Geriausios regeneratoriaus veikimo sąlygos būtų sukurtos, jei stūmoklis nedarytų harmoningo judesio, o sustotų kiekvieno eigos pabaigoje. Tačiau gana didelį efektyvumą galima pasiekti naudojant, dėl jo paprastumo, harmoninį stūmoklio judėjimo dėsnį.

Kai dvejoja darbo aplinka vamzdyne ar bet kuriame kitame slėgio kanale srauto greičių pasiskirstymas srauto skerspjūvyje skiriasi nuo dėsnio, apibūdinančio šį pasiskirstymą esant pastoviam terpės judėjimui. Taigi, laminariniam skysčio srautui svyruojant apvaliame cilindriniame vamzdyje, sutrinka parabolinis greičių pasiskirstymas, kuris, kaip žinoma iš hidraulikos, būdingas laminariniam pastoviam skysčio judėjimui vamzdyje. At harmoninis pokytis slėgio gradientą išilgai vamzdžio, greičio pasiskirstymą galima rasti naudojant (9.42) formulę. Norėdami tai padaryti, vietoj (s) turėtumėte pakeisti Laplaso slėgio gradiento kitimo harmoninio dėsnio atvaizdą formulėje ir atlikti atvirkštinė konversija. Taip gauta funkcija (t, r) pateikta darbe.

Akivaizdu, kad pramoninių mašinų konstrukcijose nereikia diegti ciklo su pertraukiamu stūmoklių judėjimu. Esant bet kokiam stūmoklio judėjimo dėsniui, ypač harmoniniam (alkūninei pavarai), idealios Stirlingo mašinos termodinaminis efektyvumas yra lygus vienybei.

Šiuose įrenginiuose buvo priimtas supaprastintas, artimas harmonikai, strypų judėjimo dėsnis - šarnyrinė keturių strypų siurbimo mašinos jungtis buvo pakeista alkūniniais mechanizmais. Ši prielaida yra visuotinai priimta ir, kaip parodė eksperimentai, yra visiškai pagrįsta eksperimentų sąlygomis.

Vidinė būsena dviatomė molekulė apibrėžiamas, jei nurodyta jo būsena elektronų apvalkalas, taip pat visos molekulės sukimosi judėjimo ir branduolių vibracinio judėjimo charakteristikos. Manoma, kad sukimasis ir vibracijos pirmuoju aproksimavimu nepriklauso nuo molekulės elektroninės būsenos. Paprasčiausias dviatomės molekulės sukimosi ir vibracijos judesių aprašymo modelis yra standžiojo rotatoriaus – harmoninio osciliatoriaus modelis, pagal kurį molekulės, kaip standaus rotatoriaus, sukimasis ir branduolių virpesiai pagal harmonikos dėsnį nagrinėjami nepriklausomai. Klasikinis aprašymas apie šį modelį žr. IV., 5. Tuo pačiu aproksimavimu parašykime dviatominės molekulės energijos išraišką, naudodami kvantines mechanines formules (VII.19), (VII.20) ir (UP.22)

Virpesių amplitudės pokytis, taip pat perėjimas iš harmoninio į smūginį vibracijos režimą pasiekiamas įrengiant keičiamus ekscentrikus, kurių profilį lemia stūmiklio judėjimo su darbiniu stalu dėsnis ir blokas. ant jo sumontuoti koaksialiniai cilindrai.

E skyriuje buvo pažymėta, kad jei molekulių energija išreiškiama tam tikro skaičiaus terminų, kurie yra kvadratiniai arba erdvinių koordinačių () arba momento (/z) atžvilgiu, suma, tada pasiskirstymo forma. dėsnis nepriklauso nuo to, kiek terminų tiksliai įtraukta į kinetikos išraišką, o kiek – į potencialios energijos išraišką. Tačiau įstatymo išvedimas yra supaprastintas, jei atsižvelgsime tas pats numeris terminai, išreiškiantys potencialią kinetinę energiją. Fiziškai tai atitinka prielaidą, kad bendras molekulių judėjimas yra 5 nepriklausomų harmoninių generatorių skaičius. Molekulės energiją šiuo atveju galima parašyti taip:

Spektrometruose su nuolatinis pagreitis santykinis greitisŠaltinio ir absorberio judėjimas periodiškai keičiasi pagal tiesinį arba harmoninį dėsnį, kuris leidžia įrašyti tiriamą spektrą tam tikru greičio intervalu. Paprastai tokiuose spektrometruose informacija įrašoma į daugiakanalio analizatoriaus, veikiančio laiko režimu, atmintį, kai atminties kanalai atidaromi sinchroniškai su greičio ciklu.

Viena iš išraiškų kvantiniai dėsniai yra kūno energijos lygių diskretiškumas periodiniai judesiai. Apsvarstykite, kaip pavyzdį, harmoninį osciliatoriaus virpesį. Klasikinio harmoninio osciliatoriaus energija gali nuolat kisti. Ši energija lygi yA 2 ( didžiausia vertė potenciali energija, kai x = A). Elastinė konstanta

Priverstinės vibracijos. Pasvarstykime išilginės vibracijos tiesinė tamprioji sistema su vienu laisvės laipsniu veikiant varomąjai jėgai P if), besikeičianti pagal harmoninį dėsnį. Iš pradžių priimame prielaidą, kad nėra neelastinių pasipriešinimo jėgų. Judėjimo lygtis šiuo atveju (3.7 pav., a) turi formą tx = -Py + P (/), kuri po pakeitimų P = cx, dm = socialinis ir P (/) = Po sin (oi) duoda

Jei turėtume reikalų su klasikinė sistema, tada, esant tam tikroms pradinėms sąlygoms, iš esmės būtų galima sužadinti judėjimą, kuriame pasikeistų tik viena iš normalių koordinačių. būtų stebima proporcinga šiai koordinatei su koeficientais Jei normalios koordinatės keistųsi pagal harmoninį dėsnį, tai viskas geometriniai parametrai molekulės taip pat keistųsi pagal harmoninį dėsnį, o visi geometriniai parametrai pereitų per jų pusiausvyros reikšmes

Jei medžiagos elektronai yra šiek tiek pasislinkę iš savo pusiausvyros padėties, tada juos veikia atkuriamasis veiksmas, kurio dydis laikomas proporcingu poslinkiui. Šiuo atveju elektronų judėjimas pasirodo esąs paprastas harmoninis svyravimas. Šviesos praėjimas per sistemą, kurioje yra daug tokių elektrinių generatorių, prilygsta papildomo atsiradimui elektrinė jėga, kuri, remiantis Maksvelo teorija, pasirodo esanti viena iš elektromagnetinių šviesos virpesių komponentų. Kai šviesa praeina, elektrinis laukas kinta atitinkamu dažniu ir veikia svyruojančio elektrono judėjimą pagal energijos tvermės dėsnį. Greitis (ir todėl kinetinė energija) šviesos sklidimas medžiagoje yra mažesnis nei vakuume, todėl su šviesa sąveikaujančių elektronų kinetinė energija didėja. Taigi šviesa linkusi keisti elektronų judėjimą molekulėje ir veikia priešinga kryptimi nei jėga, linkusi išlaikyti elektroną pradinėje padėtyje.

Šis matavimo variantas gali būti įgyvendintas ir vamzdinio pavyzdžio sukimo virpesių metu, jei išorinis cilindras montuojamas nejudėdamas, vidinis cilindras montuojamas ant sukimo strypo ir jį veikiantis sukimo momentas nustatomas pagal harmonikos dėsnį. Jei dabar išmatuosime fazių skirtumą tarp sukimo momento ir cilindro sukimosi kampo, taip pat posūkio kampo amplitudę, tai O nustatymo skaičiavimo schema bus sumažinta iki aukščiau paminėtų formulių (VI. 15) ir (VI. 16). Tačiau jei matuojame sukimo momento ir cilindro kampinio greičio santykį, tai atitinka problema apie, b nustatant sistemos varžą.

Baigdami pažymime, kad visiško ir fiziškai pagrįsto požiūriu kiekybinis aprašymas skysčių dinamika, visi nagrinėjami modeliai yra tik pirmasis apytikslis difuzijos ir svyravimų vandenyje aprašymas, nes juos konstruojant buvo panaudota daugybė supaprastinimų. Tik esant ilgo sėdimo gyvenimo trukmės ribai (tai gali įvykti esant žemai temperatūrai) arba esant stipriam vandens molekulių elektrostrikcijai jonų hidratacijos apvalkale, harmoninė aproksimacija ir paprastas modelisšokinėjanti difuzija [(4-5 lygtis) lentelė. 4] yra teisėti. At aukšta temperatūra o tirpaluose, kuriuose ryšiai tarp vandens molekulių susilpninami jonų, vibracijos tampa smarkiai anharmoniškos, sulėtintos dėl atsipalaidavimo ir difuzijos judesių. Šiuo atveju skysčio elgsena labiau atitinka sistemos elgseną laisvųjų dalelių[(37) lygtis]. Taip pat daroma prielaida, kad nėra jokios koreliacijos tarp difuzijos ir svyruojančių judesių prieštaringas klausimas. Neseniai Ramanas ir kt.

Kitame skyriuje. 11,3 eilutė bus išardyta paprasti pavyzdžiai, leidžiantis įvertinti atskirų suskaidytų laisvės laipsnių indėlį į šiluminę talpą. Šiuo atveju daugiau dėmesio bus skiriama sistemai, susidedančiai iš dalelių su dviem galimomis energetinės būsenos, ir harmoninį osciliatorių, nes naudojant jų pavyzdį galima palyginti paprastai ir tuo pačiu gana visapusiškai išanalizuoti ryšį tarp molekulinio judėjimo ir sistemos šiluminės talpos. Norėdami daugiau sudėtingos sistemos dažnai nesunku įvertinti šilumos talpą esant vidutinei temperatūrai remiantis klasikinė teisė vienodas paskirstymas pagal laisvės laipsnius.

Mikrodalelių judėjimo dėsniai kvantinėje mechanikoje gerokai skiriasi nuo klasikinių. Viena vertus, jie elgiasi (pavyzdžiui, susidūrimo metu) kaip dalelės, turinčios nedalomus krūvius ir masę, kita vertus, kaip bangos, turinčios tam tikrą dažnį (bangos ilgį) ir pasižyminčios bangos funkcijaа1з – nuosavybė, otral Žr. puslapius, kuriuose paminėtas terminas Harmoninis judėjimo dėsnis Notarai Novoalekseevkoje Nemokami skelbimai Novoalekseevkos skiltyje Notarai. Skelbimų dar nėra, būk pirmas!

VIRPYMAI. BANGOS. OPTIKA

VIRPYMAI

1 paskaita

HARMONINIAI VIBRACIJAI

Idealus harmoninis osciliatorius. Ideali osciliatoriaus lygtis ir jos sprendimas. Virpesių amplitudė, dažnis ir fazė

Virpesiai yra vienas iš labiausiai paplitusių procesų gamtoje ir technologijoje. Virpesiai yra procesai, kurie laikui bėgant kartojasi. Aukštybiniai pastatai ir aukštos įtampos laidai svyruoja veikiami vėjo, suvynioto laikrodžio švytuoklė ir automobilio ant spyruoklių važiuojant, upės lygis ištisus metus ir žmogaus kūno temperatūra sergant. Garsas – tai oro slėgio svyravimai, radijo bangos – periodiniai elektrinio ir magnetinio lauko stiprumo pokyčiai, šviesa – taip pat elektromagnetiniai svyravimai. Žemės drebėjimai – dirvožemio virpesiai, atoslūgiai ir atoslūgiai – jūrų ir vandenynų lygio pokyčiai, kuriuos sukelia mėnulio trauka ir kt.

Virpesiai gali būti mechaniniai, elektromagnetiniai, cheminiai, termodinaminiai ir kt. Nepaisant tokios įvairovės, visi svyravimai apibūdinami tomis pačiomis diferencialinėmis lygtimis.

Pirmieji mokslininkai, tyrinėję virpesius, buvo Galileo Galilei ir Christiaan Huygens. Galilėjus nustatė svyravimo laikotarpio nepriklausomybę nuo amplitudės. Huygensas išrado švytuoklinį laikrodį.

Bet kuri sistema, kuri, šiek tiek sutrikusi iš pusiausvyros padėties, turi stabilius virpesius, vadinama harmoniniu osciliatoriumi. Klasikinėje fizikoje tokios sistemos yra matematinė švytuoklė, esanti mažuose nuokrypio kampuose, apkrova, esanti mažose svyravimų amplitudėse, ir elektros grandinė, susidedanti iš linijinių talpos ir induktyvumo elementų.

Harmoninis osciliatorius gali būti laikomas tiesiniu, jei poslinkis iš pusiausvyros padėties yra tiesiogiai proporcingas trikdančiajai jėgai. Harmoninio osciliatoriaus virpesių dažnis nepriklauso nuo amplitudės. Osciliatoriui superpozicijos principas yra patenkintas - jei veikia kelios trikdančios jėgos, tada jų bendro veikimo efektą galima gauti pridėjus atskirų veikiančių jėgų poveikį.

Harmoniniai virpesiai apibūdinami lygtimi (1.1.1 pav.)

(1.1.1)

Kur X- svyruojančio dydžio poslinkis iš pusiausvyros padėties, A– svyravimų amplitudė, lygi didžiausio poslinkio dydžiui, – svyravimų fazė, kuri lemia poslinkį laiko momentu, – pradinė fazė, kuri lemia poslinkio reikšmę pradiniu laiko momentu, - ciklinis virpesių dažnis.

Vieno pilno svyravimų laikas vadinamas periodu, , kur yra per tą laiką atliktų svyravimų skaičius.

Virpesių dažnis nustato svyravimų skaičių per laiko vienetą, jis yra susijęs su cikliniu dažniu santykiu , tada periodas.

Svyruojančios medžiagos taško greitis

pagreitis

Taigi harmoninio osciliatoriaus greitis ir pagreitis taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį su amplitude ir atitinkamai. Šiuo atveju greitis lenkia poslinkį faze , o pagreitį (1.1.2 pav.).

Palyginus harmoninio osciliatoriaus (1.1.1) ir (1.1.2) judėjimo lygtis, matyti, kad , arba

Ši antros eilės diferencialinė lygtis vadinama harmoninių generatorių lygtimi. Jo tirpale yra dvi konstantos A ir , kurios nustatomos nustatant pradines sąlygas

.

Jei periodiškai pasikartojantis procesas aprašomas lygtimis, kurios nesutampa su (1.1.1), jis vadinamas anharmoniniu. Sistema, kuri atlieka anharmoninius virpesius, vadinama anharmoniniu osciliatoriumi.

1.1.2 . Laisvos sistemų vibracijos su vienu laisvės laipsniu. Sudėtinga harmoninių virpesių vaizdavimo forma

Gamtoje labai dažni nedideli svyravimai, kuriuos sistema sukuria netoli savo pusiausvyros padėties. Jei iš pusiausvyros padėties pašalinta sistema paliekama sau, tai yra, jos neveikia jokios išorinės jėgos, tai tokia sistema atliks laisvus, neslopintus virpesius. Panagrinėkime sistemą su vienu laisvės laipsniu.

Stabili pusiausvyra atitinka sistemos padėtį, kurioje jos potenciali energija turi minimumą ( q– apibendrinta sistemos koordinatė). Sistemos nukrypimas nuo pusiausvyros padėties sukelia jėgos, kuri linkusi grąžinti sistemą atgal, atsiradimą. Apibendrintos koordinatės reikšmė, atitinkanti pusiausvyros padėtį, žymima , tada nuokrypis nuo pusiausvyros padėties

Potencialią energiją skaičiuosime nuo minimalios vertės. Priimkime gautą funkciją ir išplėskime ją į Maclaurin seriją ir palikime pirmąjį išplėtimo terminą, turime: o

,

Kur . Tada, atsižvelgiant į įvestus užrašus:

, (1.1.4)

Atsižvelgdami į sistemą veikiančios jėgos išraišką (1.1.4), gauname:

Pagal antrąjį Niutono dėsnį, sistemos judėjimo lygtis yra tokia:

Išraiška (1.1.5) sutampa su laisvųjų harmoninių virpesių lygtimi (1.1.3), jei

ir turi du nepriklausomus sprendimus: ir , todėl bendras sprendimas yra:

,

Iš (1.1.6) formulės išplaukia, kad dažnį lemia tik vidinės mechaninės sistemos savybės ir jis nepriklauso nuo amplitudės ir pradinių judėjimo sąlygų.

Virpesių sistemos koordinačių priklausomybę nuo laiko galima nustatyti kompleksinės išraiškos tikrosios dalies forma , Kur A = Xe-iα– kompleksinė amplitudė, jos modulis sutampa su įprasta amplitude, o argumentas sutampa su pradine faze.

1.1.3 . Įvairios fizinės prigimties svyruojančių judesių pavyzdžiai

Spyruoklės apkrovos svyravimai

Panagrinėkime spyruoklės apkrovos svyravimus su sąlyga, kad spyruoklė nėra deformuota už savo elastingumo ribų. Parodykime, kad tokia apkrova atliks harmoninius virpesius pusiausvyros padeties atžvilgiu (1.1.3 pav.). Iš tiesų, pagal Huko dėsnį, suspausta arba ištempta spyruoklė sukuria harmoninę jėgą:

Kur - spyruoklės standumo koeficientas, – pusiausvyros padėties koordinatės, X– apkrovos (medžiagos taško) koordinatė laiko momentu, – poslinkis iš pusiausvyros padėties.

Padėkime koordinatės pradžią sistemos pusiausvyros padėtyje. Šiuo atveju.

Jei spyruoklė ištempta kiek X, tada atleiskite tuo momentu t=0, tada apkrovos judėjimo lygtis pagal antrąjį Niutono dėsnį įgaus formą -kx=ma, arba , Ir

(1.1.6)

Ši lygtis pagal formą sutampa su harmoninius virpesius atliekančios sistemos judėjimo lygtimi (1.1.3), jos sprendimo ieškosime tokia forma:

. (1.1.7)

Pakeitę (1.17) į (1.1.6), turime: tai yra, išraiška (1.1.7) yra (1.1.6) lygties sprendimas, jei

Jei pradiniu laiko momentu apkrovos padėtis buvo savavališka, tada judesio lygtis bus tokia:

.

Panagrinėkime, kaip kinta apkrovos, patiriančios harmoninius virpesius, energija nesant išorinės jėgos(1.14 pav.). Jei šiuo metu t=0 nurodo kroviniui poslinkį x=A, tada jo bendra energija taps lygi deformuotos spyruoklės potencinei energijai, kinetinė energija lygi nuliui (1 taškas).

Krovinį veikia jėga F = -kx, linkęs jį grąžinti į pusiausvyros padėtį, todėl apkrova juda su pagreičiu ir padidina jos greitį, taigi ir kinetinę energiją. Ši jėga sumažina krovinio poslinkį X, apkrovos potenciali energija mažėja, virsdama kinetine energija. Apkrovos-spyruoklių sistema yra uždara, todėl išsaugoma jos bendra energija, ty:

. (1.1.8)

Šiuo metu apkrova yra pusiausvyros padėtyje (taškas 2), jos potencinė energija lygi nuliui, o kinetinė energija maksimali. Maksimalus greitis apkrovą randame iš energijos tvermės dėsnio (1.1.8):

Dėl kinetinės energijos rezervo apkrova veikia prieš elastinę jėgą – ir pusiausvyros padėtis praeina. Kinetinė energija palaipsniui virsta potencialia energija. Kai krovinys turi didžiausią neigiamą poslinkį – A, kinetinė energija sav=0, apkrova sustoja ir, veikiama tamprios jėgos, pradeda judėti į pusiausvyros padėtį F = -kx. Tolesnis judėjimas vyksta panašiai.

Švytuoklės

Švytuokle turime omenyje kietas, kuris svyruoja veikiamas gravitacijos fiksuotas taškas arba ašys. Yra fizinės ir matematinės švytuoklės.

Matematinė švytuoklė yra idealizuota sistema, susidedanti iš nesvario netiesioginio sriegio, ant kurio pakabinama masė, sutelkta viename materialiame taške.

Pavyzdžiui, matematinė švytuoklė yra rutulys ant ilgo plono sriegio.

Švytuoklės nuokrypis nuo pusiausvyros padėties apibūdinamas kampu φ , kuris sudaro sriegį su vertikale (1.15 pav.). Kai švytuoklė nukrypsta nuo pusiausvyros padėties, atsiranda išorinių jėgų (gravitacijos) momentas: , Kur m- svoris, – švytuoklės ilgis

Šis momentas linkęs grąžinti švytuoklę į pusiausvyros padėtį (panašią į kvazielastinę jėgą) ir nukreipta priešinga poslinkiui. φ , todėl formulėje yra minuso ženklas.

Švytuoklės sukimosi judėjimo dinamikos lygtis yra tokia: Iε=,

.

Todėl nagrinėsime mažų svyravimų atvejį sin φ ≈φ, žymi ,

mes turime: , arba , ir galiausiai

Tai harmoninių virpesių lygtis, jos sprendimas:

.

Matematinės švytuoklės virpesių dažnį lemia tik jos ilgis ir gravitacijos pagreitis, o nuo švytuoklės masės nepriklauso. Laikotarpis yra:

Jei svyruojantis kūnas negali būti įsivaizduojamas kaip materialus taškas, tada švytuoklė vadinama fizine (1.1.6 pav.). Rašome jo judėjimo lygtį tokia forma:

.

Esant nedideliems svyravimams , arba =0, kur . Tai kūno, atliekančio harmoninius virpesius, judėjimo lygtis. Fizinės švytuoklės svyravimo dažnis priklauso nuo jos masės, ilgio ir inercijos momento ašies, einančios per pakabos tašką, atžvilgiu.

Pažymėkime. Didumas vadinamas sumažintu fizinės švytuoklės ilgiu. Tai matematinės švytuoklės, kurios svyravimo periodas sutampa su tam tikros fizinės švytuoklės periodu, ilgis. Tiesios linijos, jungiančios pakabos tašką su masės centru, taškas, esantis tam tikro ilgio atstumu nuo sukimosi ašies, vadinamas fizinės švytuoklės svyravimo centru ( APIE'). Jei švytuoklė pakabinama siūbavimo centre, sumažintas svyravimo ilgis ir periodas bus tokie patys kaip ir taške. APIE. Taigi pakabos taškas ir sūpynės centras turi abipusiškumo savybes: pakabinimo tašką perkėlus į siūbavimo centrą, ankstesnis pakabos taškas tampa nauju sūpynės centru.

Matematinė švytuoklė, kuri svyruoja tuo pačiu laikotarpiu kaip ir nagrinėjama fizinė švytuoklė, vadinama izochronine šiai fizinei švytuoklei.

1.1.4. Virpesių papildymas (tūkiai, Lissajous figūros). Virpesių pridėjimo vektorinis aprašymas

Identiškai nukreiptų svyravimų pridėjimas gali būti atliktas naudojant metodą vektorines diagramas. Bet koks harmoninis svyravimas gali būti pavaizduotas kaip vektorius taip. Pasirinkime ašį X su pradžios tašku taške APIE(1.1.7 pav.)

Iš taško APIE sudarykime vektorių, kuris sudaro kampą su ašimi X. Tegul šis vektorius sukasi su kampinis greitis. Vektoriaus projekcija į ašį X yra lygus:

tai yra atlieka harmoninius virpesius su amplitude A.

Apsvarstykite du harmoninius tos pačios krypties virpesius ir tuos pačius ciklinius mažus, pateikiami vektoriais Ir . Ašies poslinkiai X yra lygūs:

gautas vektorius turi projekciją ir vaizduoja gautą svyravimą (1.1.8 pav.), pagal kosinuso teoremą Taigi harmoninių svyravimų sudėjimas atliekamas sudedant vektorius.

Atlikime viena kitai statmenų svyravimų pridėjimą. Tegul materialus taškas daro du dalykus tarpusavyje statmenos vibracijos dažnis:

.

Pats materialus taškas judės tam tikra kreivine trajektorija.

Iš judesio lygties seka: ,

. (1.1.9)

Iš (1.1.9) lygties galime gauti elipsės lygtį (1.1.9 pav.):

Panagrinėkime specialius šios lygties atvejus:

1. Virpesių fazių skirtumas α= 0. Tuo pačiu metu tie. arba Tai yra tiesės lygtis, o gautas svyravimas vyksta išilgai šios tiesės su amplitude (1.1.10 pav.).a.

jo pagreitis lygus antrajai poslinkio išvestinei laiko atžvilgiu tada svyravimo tašką veikianti jėga pagal antrąjį Niutono dėsnį yra lygi

Tai yra, jėga yra proporcinga poslinkiui X ir yra nukreiptas prieš poslinkį į pusiausvyros padėtį. Ši jėga vadinama atkuriamąja jėga. Esant apkrovai spyruoklei, atkuriamoji jėga yra tamprumo jėga, matematinės švytuoklės atveju tai yra gravitacijos jėgos komponentas.

Atkurianti jėga gamtoje paklūsta Huko dėsniui F = -kx, Kur

– jėgos koeficiento atstatymas. Tada svyruojančio taško potenciali energija yra:

(integravimo konstanta parenkama lygi nuliui, kad kada X).

ANHARMONINIS OSCILIATORIUS

Panagrinėkime paprastą fizinę sistemą– medžiaginis taškas, galintis svyruoti ant horizontalaus paviršiaus be trinties, veikiamas Huko jėgos (žr. 2 pav.).

Jei apkrovos poslinkis mažas (daug mažesnis už nedeformuotos spyruoklės ilgį), o spyruoklės standumas lygus k, tai vienintelė apkrovą veikianti jėga yra Hooke jėga. Tada lygtis

krovinio judėjimas (antrasis Niutono dėsnis) turi formą

Perkeldami narius į kairę lygybės pusę ir padalydami iš materialaus taško masės (neatsižvelgiame į spyruoklės masę, palyginti su m), gauname judėjimo lygtį

(*) ,

,

,

svyravimų periodas.

Tada imkitės funkcijos

ir išskyrę jį laiko atžvilgiu, esame įsitikinę, kad krovinio judėjimo greitis yra lygus

ir, antra, po pakartotinio diferenciacijos,

,

tai yra, X(t) iš tikrųjų yra spyruoklės apkrovos lygties sprendimas.

Tokia sistema, apskritai, bet kokia mechaninė, elektrinė ar kita sistema, turinti judėjimo lygtį (*), vadinama harmoniniu osciliatoriumi. X(t) tipo funkcija vadinama harmoninio osciliatoriaus judėjimo dėsniu, dydžiu
yra vadinami amplitudė,cikliškas arba natūralus dažnis,pradinė fazė. Natūralus dažnis nustatomas pagal osciliatoriaus parametrus, amplitudė ir pradinė fazė – pagal pradines sąlygas.

Judėjimo dėsnis X(t) reiškia laisvuosius virpesius. Tokius virpesius atlieka neslopintos švytuoklės (matematinės ar fizinės), srovė ir įtampa idealioje virpesių grandinėje ir kai kurios kitos sistemos.

Harmoniniai svyravimai gali susidėti tiek viena, tiek skirtingomis kryptimis. Sudėjimo rezultatas taip pat yra harmoninis svyravimas, pavyzdžiui,

.

Tai yra virpesių superpozicijos (superpozicijos) principas.

Matematikai sukūrė tokio tipo eilučių teoriją, kurios vadinamos Furjė eilėmis. Taip pat yra keletas apibendrinimų, tokių kaip Furjė integralai (dažniai gali nuolat keistis) ir net Laplaso integralai, kurie veikia su sudėtingais dažniais.

§15. Slopintas osciliatorius. Priverstinės vibracijos.

Tikras mechaninės sistemos visada turi bent šiek tiek trinties. Paprasčiausias atvejis yra skysta arba klampi trintis. Tai yra trintis, kurios dydis yra proporcingas sistemos judėjimo greičiui (ir, žinoma, yra nukreiptas prieš judėjimo kryptį). Jei judesys vyksta išilgai X ašies, tada judesio lygtį galima parašyti (pavyzdžiui, svorio ant spyruoklės) forma

,

Kur – klampios trinties koeficientas.

Šią judesio lygtį galima paversti forma

.

Čia
- slopinimo koeficientas, – vis dar yra natūralusis osciliatoriaus dažnis (kurio jau nebegalima vadinti harmoniniu; tai slopinamasis generatorius su klampia trintimi).

Matematikai gali išspręsti tokias diferencialines lygtis. Buvo parodyta, kad sprendimas yra funkcija

Paskutinėje formulėje naudojamas toks žymėjimas: – pradinė amplitudė, silpnai slopinamų virpesių dažnis
,
. Be to, dažnai naudojami kiti slopinimą apibūdinantys parametrai: logaritminis slopinimo mažinimas
, sistemos atsipalaidavimo laikas
, sistemos kokybės faktorius
, kur skaitiklis yra sistemos sukaupta energija, o vardiklis yra energijos nuostoliai per laikotarpį T.

Esant stipriam susilpnėjimui
tirpalas turi aperiodinę formą.

Dažnai pasitaiko atvejų, kai, be trinties jėgų, osciliatorių veikia ir išorinė jėga. Tada judesio lygtis redukuojama į formą

,

dešinėje esanti išraiška dažnai vadinama sumažinta jėga, pati išraiška
vadinama prievartos jėga. Dėl savavališkos varomosios jėgos neįmanoma rasti lygties sprendimo. Paprastai atsižvelgiama į harmoningą tipo varomąją jėgą
. Tada tirpalas vaizduoja slopintą (**) tipo dalį, kuri ilgą laiką linkusi į nulį ir nuolatinius (priverstinius) svyravimus

Priverstinių svyravimų amplitudė

,

ir priverstinių svyravimų fazė

.

Atkreipkite dėmesį, kad natūraliajam dažniui artėjant prie varomosios jėgos dažnio, priverstinių virpesių amplitudė didėja. Šis reiškinys žinomas kaip rezonansas. Jei slopinimas didelis, tai rezonansinis padidėjimas nėra didelis. Šis rezonansas vadinamas „nuobodu“. Esant mažam slopinimui, „aštriojo“ rezonanso amplitudė gali gerokai padidėti. Jeigu sistema ideali ir joje nėra trinties, tai priverstinių svyravimų amplitudė didėja neribotai.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad varomosios jėgos dažnis

Pasiekiama didžiausia varomosios jėgos amplitudės vertė, lygi

.