Skaitykite apie bangos funkcija ir kvantinės mechanikos tikimybių teorijos: Šriodingerio lygties esmė, kvantinės dalelės būsena, harmoninis osciliatorius, diagrama.
Kalbame apie kvantinės mechanikos tikimybių amplitudę, kuri apibūdina dalelės kvantinę būseną ir jos elgesį.
Mokymosi tikslas
- Sujunkite bangos funkciją ir dalelės identifikavimo tikimybės tankį.
Pagrindiniai punktai
- |ψ| 2 (x) atitinka dalelės atpažinimo tam tikroje vietoje ir momentu tikimybės tankį.
- Kvantinės mechanikos dėsniai apibūdina banginės funkcijos raidą. Šriodingerio lygtis paaiškina jos pavadinimą.
- Banginė funkcija turi atitikti daugybę matematinių skaičiavimo ir fizinio aiškinimo apribojimų.
Sąlygos
- Šriodingerio lygtis yra dalinis diferencialas, apibūdinantis būsenos pasikeitimą fizinę sistemą. Ją 1925 m. suformulavo Erwinas Schrödingeris.
- Harmoninis osciliatorius yra sistema, kuri, pasislinkusi iš pradinės padėties, yra veikiama jėgos F, proporcingos poslinkiui x.
Kvantinėje mechanikoje bangų funkcija atspindi tikimybės amplitudę, apibūdinančią dalelės kvantinę būseną ir jos elgesį. Paprastai vertė yra kompleksinis skaičius. Dažniausi banginės funkcijos simboliai yra ψ (x) arba Ψ (x). Nors ψ yra kompleksinis skaičius, |ψ| 2 – realus ir atitinka tikimybės tankį rasti dalelę konkrečioje vietoje ir laiku.
Čia rodomos trajektorijos harmoninis osciliatorius klasikinėje (A-B) ir kvantinėje (C-H) mechanika. Kvantinis rutulys turi bangos funkciją, rodomą su tikroji dalis mėlyna ir įsivaizduojama raudona. TrajektorijosC-F – pavyzdžiai stovinčios bangos. Kiekvienas toks dažnis bus proporcingas galimam osciliatoriaus energijos lygiui
Laikui bėgant kvantinės mechanikos dėsniai vystosi. Bangų funkcija panaši į kitas, pavyzdžiui, bangas vandenyje ar stygą. Faktas yra tas, kad Schrödingerio formulė yra bangų lygties tipas matematikoje. Tai veda prie bangų dalelių dvilypumo.
Bangos funkcija turi atitikti šiuos apribojimus:
- visada galutinis.
- visada tęstinis ir nuolat diferencijuotas.
- atitinka atitinkamą normalizavimo sąlygą, kad dalelė egzistuotų su 100% tikrumu.
Jei reikalavimai netenkinami, bangos funkcija negali būti interpretuojama kaip tikimybių amplitudė. Jei nepaisysime šių pozicijų ir naudosime bangų funkciją kvantinės sistemos stebėjimams nustatyti, negausime baigtinių ir apibrėžtų verčių.
Bangos funkcija, arba psi funkcija ψ (\displaystyle \psi )- sudėtingos reikšmės funkcija, naudojama kvantinėje mechanikoje grynai sistemos būsenai apibūdinti. Ar būsenos vektoriaus plėtimosi koeficientas per bazę (dažniausiai koordinatės):
|
ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx) Kur | x⟩ = |
x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle )
yra koordinačių bazinis vektorius ir Ψ(x, t) = ⟨x |ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )
- banginė funkcija koordinačių vaizde.Banginės funkcijos normalizavimas Bangos funkcijaΨ (\displaystyle \Psi )
savo prasme turi atitikti vadinamąją normalizavimo sąlygą, pavyzdžiui, koordinačių vaizde, kurios forma:
∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Ši sąlyga išreiškia faktą, kad tikimybė rasti dalelę su tam tikra bangine funkcija bet kurioje erdvėje yra lygi vienetui. IN bendras atvejis turi būti integruojama per visus kintamuosius, nuo kurių priklauso bangos funkcija tam tikrame vaizde. Kvantinių būsenų superpozicijos principas
Banginėms funkcijoms galioja superpozicijos principas, kuris susideda iš to, kad jei sistema gali būti banginėmis funkcijomis aprašytose būsenoseΨ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Ir bendras atvejis Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)).
, tada jis taip pat gali būti bangos funkcijos aprašytos būsenos Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ltaškai +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\suma _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).
Šioje būsenoje koeficiento modulio kvadratas c n (\displaystyle (c)_(n)) nustato tikimybę, kad išmatuojant sistema bus aptikta bangos funkcijos aprašytoje būsenoje Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).
Todėl normalizuotoms bangų funkcijoms ∑ n = 1 N |.
c n |
2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1) Banginės funkcijos reguliarumo sąlygos Tikimybinė bangos funkcijos reikšmė tam tikri apribojimai
, arba sąlygos, dėl bangų funkcijų kvantinės mechanikos uždaviniuose. Šios standartinės sąlygos dažnai vadinamos banginės funkcijos reguliarumo sąlygos. Bangos funkcija įvairiais atvaizdais būsenos naudojamos skirtinguose vaizdavimuose – atitiks to paties vektoriaus išraišką skirtingose koordinačių sistemose. Kitos operacijos su banginėmis funkcijomis taip pat turės analogų vektorių kalba. Bangų mechanikoje naudojamas vaizdas, kai psi funkcijos argumentai yra visa sistema tęstinis važiuojant į darbą ir atgal stebimus duomenis, o matricos vaizde naudojamas vaizdas, kai psi funkcijos argumentai yra visa sistema
diskretiškas
važinėjimo į darbą ir atgal stebėjimai. Todėl funkcinės (bangos) ir matricos formuluotės akivaizdžiai yra matematiškai lygiavertės.
korpuskulinis - banginis dualizmas kvantinėje fizikoje, dalelės būsena aprašoma naudojant banginę funkciją ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-function). 1 apibrėžimas
Bangos funkcija
yra funkcija, kuri naudojama kvantinėje mechanikoje. Jis apibūdina sistemos, turinčios matmenis erdvėje, būseną. Tai būsenos vektorius.
Kvantinės fizikos tikslas yra ne tiksliai numatyti įvykį, o įvertinti konkretaus įvykio tikimybę. Žinodami tikimybės vertę, raskite vidutines fizikinių dydžių vertes. Bangos funkcija leidžia rasti tokias tikimybes.
Taigi, mikrodalelės buvimo tūryje dV tikimybę momentu t galima apibrėžti taip:
kur $\psi^*$ yra sudėtinga konjugavimo funkcija su funkcija $\psi.$ Tikimybės tankis (tikimybė tūrio vienetui) yra lygus:
Tikimybė yra dydis, kurį galima stebėti eksperimento metu. Tuo pačiu metu bangos funkcija nėra prieinama stebėjimui, nes ji yra sudėtinga (klasikinėje fizikoje parametrai, apibūdinantys dalelės būseną, yra prieinami stebėjimui).
Funkcijos $\psi$ normalizavimo sąlyga
Bangos funkcija nustatoma iki savavališko pastovaus koeficiento. Šis faktas neturi įtakos dalelės būsenai, kurią apibūdina funkcija $\psi$. Tačiau bangos funkcija parenkama taip, kad ji atitiktų normalizavimo sąlygą:
kur integralas perimtas visoje erdvėje arba per sritį, kurioje bangos funkcija nėra lygi nuliui. Normalizavimo sąlyga (2) reiškia, kad visame regione, kur $\psi\ne 0$ dalelė yra patikimai. Bangos funkcija, kuri paklūsta normalizavimo sąlygai, vadinama normalizuota. Jei $(\left|\psi\right|)^2=0$, tada ši sąlyga reiškia, kad tiriamoje srityje tikriausiai nėra dalelės.
Formos (2) normalizavimas galimas naudojant atskirą savųjų reikšmių spektrą.
Normalizavimo sąlygos gali būti neįgyvendinamos. Taigi, jei $\psi$ yra plokštuma de Broglie banga ir tikimybė rasti dalelę yra vienoda visuose erdvės taškuose. Šie atvejai laikomi idealus modelis, kurioje dalelė yra didelėje, bet ribotoje erdvės srityje.
Banginės funkcijos superpozicijos principas
Šis principas yra vienas pagrindinių postulatų kvantinė teorija. Jo reikšmė yra tokia: jei kai kurioms sistemoms galimos būsenos, kurios apibūdinamos banginėmis funkcijomis $\psi_1\ (\rm ir)\ $ $\psi_2$, tai šiai sistemai yra būsena:
kur $C_(1\ )ir\ C_2$ -- nuolatiniai šansai. Superpozicijos principas patvirtinamas empiriškai.
Galime kalbėti apie bet kokio kvantinių būsenų skaičiaus pridėjimą:
kur $(\left|C_n\right|)^2$ yra tikimybė, kad sistema bus tokioje būsenoje, kuri aprašyta bangine funkcija $\psi_n.$ Banginėms funkcijoms, kurioms taikoma normalizavimo sąlyga (2), tenkinama ši sąlyga:
Stacionarios būsenos
Kvantinėje teorijoje ypatingas vaidmuo turi stacionarias būsenas (būsenas, kuriose visi stebimi fiziniai parametrai laikui bėgant nesikeičia). (Pati bangos funkcija iš esmės nepastebima.) Pastovioje būsenoje funkcija $\psi$ yra tokia:
kur $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ nepriklauso nuo laiko, $E$ yra dalelių energija. Naudojant bangos funkcijos formą (3), tikimybės tankis ($P$) yra laiko konstanta:
Nuo fizines savybes stacionarios būsenos vadovaukitės banginės funkcijos $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$ matematiniais reikalavimais.
Nejudančių būsenų banginės funkcijos matematiniai reikalavimai
$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funkcija turi būti visuose taškuose:
- nuolatinis,
- nedviprasmiškas,
- baigtinis.
Jeigu potenciali energija turi nenutrūkstamą paviršių, tai ant tokių paviršių funkcija $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ir pirmoji jos išvestinė turi likti ištisinė. Erdvės srityje, kurioje potenciali energija tampa begalinė, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ turi būti lygus nuliui. Funkcijos $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ tęstinumui reikia, kad bet kurioje šio regiono riboje $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Tęstinumo sąlyga taikoma banginės funkcijos dalinėms išvestinėms ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ dalinis z)$).
1 pavyzdys
Pratimas: Tam tikrai dalelei duota formos banginė funkcija: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, kur $r$ yra atstumas nuo dalelės iki jėgos centro (1 pav.), $a=const$. Taikykite normalizavimo sąlygą, raskite normalizavimo koeficientą A.
1 pav.
Sprendimas:
Parašykime mūsų atvejo normalizavimo sąlygą tokia forma:
\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]
kur $dV=4\pi r^2dr$ (žr. 1 pav. Iš sąlygų aišku, kad problema turi sferinė simetrija). Iš problemos sąlygų turime:
\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1,2\right).\]
Normalizavimo sąlygoje pakeisime $dV$ ir bangines funkcijas (1.2):
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\) teisingai).)\]
Atlikime integraciją kairėje pusėje:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\kairė(1,4\dešinė).)\]
Iš (1.4) formulės išreiškiame reikiamą koeficientą:
Atsakymas:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$
2 pavyzdys
Pratimas: Koks yra labiausiai tikėtinas elektrono atstumas ($r_B$) nuo branduolio, jei bangos funkcija, apibūdinanti elektrono pagrindinę būseną vandenilio atome, gali būti apibrėžta taip: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, kur $ r$ – atstumas nuo elektrono iki branduolio, $a$ – pirmasis Boro spindulys?
Sprendimas:
Naudojame formulę, kuri nustato mikrodalelės buvimo $dV$ tūryje tikimybę momentu $t$:
kur $dV=4\pi r^2dr.\ $Todėl turime:
Šiuo atveju $p=\frac(dP)(dr)$ rašome kaip:
Norint nustatyti labiausiai tikėtiną atstumą, išvestinė $\frac(dp)(dr)$ yra lygi nuliui:
\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]
Kadangi sprendimas $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ mums netinka, jis vyksta taip:
Šiame straipsnyje aprašoma bangų funkcija ir jos fizinė reikšmė. Taip pat svarstomas šios sąvokos taikymas pagal Šriodingerio lygtį.
Mokslas yra ant kvantinės fizikos atradimo slenksčio
Devynioliktojo amžiaus pabaigoje jaunuoliai, norintys susieti savo gyvenimą su mokslu, buvo atgrasyti nuo fizikos. Buvo nuomonė, kad visi reiškiniai jau atrasti ir didelių proveržių šioje srityje nebegali būti. Dabar, nepaisant akivaizdaus žmogaus žinių išsamumo, niekas nedrįs taip kalbėti. Nes dažnai taip nutinka: reiškinys ar poveikis teoriškai nuspėjamas, tačiau žmonėms trūksta techninių ir technologinių galių tai įrodyti ar paneigti. Pavyzdžiui, Einšteinas numatė daugiau nei prieš šimtą metų, tačiau įrodyti jų egzistavimą tapo įmanoma tik prieš metus. Tai galioja ir pasauliui (būtent jiems tinka tokia sąvoka kaip bangų funkcija): kol mokslininkai nesuprato, kad atomo struktūra yra sudėtinga, jiems nereikėjo tirti tokių mažų objektų elgesio.
Spektrai ir fotografija
Impulsas vystymuisi kvantinė fizika buvo fotografijos technologijų plėtra. Iki XX amžiaus pradžios fiksuoti vaizdus buvo gremėzdiška, daug laiko ir brangu: fotoaparatas svėrė keliasdešimt kilogramų, o modeliai vienoje pozicijoje turėjo stovėti pusvalandį. Be to, dėl menkiausios klaidos tvarkant trapias stiklo plokštes, padengtas šviesai jautria emulsija, buvo negrįžtamai prarasta informacija. Tačiau pamažu įrenginiai lengvėjo, užrakto greitis trumpėjo, spaudinių gamyba tapo vis tobulesnė. Galiausiai atsirado galimybė gauti spektrą skirtingos medžiagos. Klausimai ir neatitikimai, iškilę pirmosiose teorijose apie spektrų prigimtį, sukėlė visumą naujas mokslas. Pagrindas už matematinis aprašymas mikrokosmoso elgesys tapo dalelės bangine funkcija ir jos Šriodingerio lygtimi.
Bangos-dalelių dvilypumas
Nustačius atomo sandarą, iškilo klausimas: kodėl elektronas nepatenka į branduolį? Juk pagal Maksvelo lygtis bet kuri judanti įkrauta dalelė skleidžia spinduliuotę ir todėl praranda energiją. Jei tai būtų tiesa apie elektronus branduolyje, visata, kaip mes ją žinome, ilgai neišsilaikytų. Prisiminkite, kad mūsų tikslas yra bangos funkcija ir jos statistinę reikšmę.
Į pagalbą atėjo puikus mokslininkų spėjimas: elementarios dalelės yra ir bangos, ir dalelės (kūneliai). Jų savybės yra masė ir impulsas, o bangos ilgis - dažnis. Be to, dėl dviejų anksčiau nesuderinamų savybių elementariosios dalelės įgijo naujų savybių.
Vienas iš jų – sunkiai įsivaizduojamas sukimasis. Yra daugiau nei smulkios dalelės, kvarkai, šių savybių yra tiek daug, kad jiems suteikiami visiškai neįtikėtini pavadinimai: aromatas, spalva. Jei skaitytojas su jais susidurs knygoje apie kvantinę mechaniką, leiskite jam prisiminti: jie visai ne tokie, kokie atrodo iš pirmo žvilgsnio. Tačiau kaip galima apibūdinti tokios sistemos elgesį, kai visi elementai turi keistą savybių rinkinį? Atsakymas yra kitame skyriuje.
Šriodingerio lygtis
Lygtis leidžia mums rasti būseną, kurioje yra elementarioji dalelė (o apibendrinta forma – kvantinė sistema):
i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.
Šių santykių žymos yra tokios:
- ħ=h/2 π, kur h yra Planko konstanta.
- Ĥ – Hamiltonietis, visos sistemos energijos operatorius.
Pakeitus koordinates, kuriose ši funkcija išspręsta, ir sąlygas pagal dalelės tipą ir lauką, kuriame ji yra, galima gauti nagrinėjamos sistemos elgesio dėsnį.
Kvantinės fizikos sąvokos
Tegul skaitytojo neapgauna akivaizdus vartojamų terminų paprastumas. Žodžiai ir posakiai, tokie kaip "operatorius", " visos energijos", "vieneto langelis", yra fiziniais terminais. Atskirai reikėtų išsiaiškinti jų reikšmes, geriau pasitelkti vadovėlius. Toliau pateiksime banginės funkcijos aprašymą ir formą, tačiau šis straipsnis yra apžvalginio pobūdžio. Norint giliau suprasti šią sąvoką, būtina tam tikru lygiu išstudijuoti matematinį aparatą.
Bangos funkcija
Jo matematinė išraiška yra
|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
Elektrono ar bet kurios kitos elementariosios dalelės banginė funkcija visada apibūdinama Graikiškas laiškasΨ, todėl ji kartais dar vadinama psi funkcija.
Pirmiausia turite suprasti, kad funkcija priklauso nuo visų koordinačių ir laiko. Tai yra, Ψ(x, t) iš tikrųjų yra Ψ(x 1, x 2 ... x n, t). Svarbi pastaba, kadangi Šriodingerio lygties sprendimas priklauso nuo koordinačių.
Toliau reikia patikslinti, kad |x> turime omenyje pasirinktos koordinačių sistemos bazinį vektorių. Tai yra, priklausomai nuo to, ką tiksliai reikia gauti, impulsas arba tikimybė |x> turės formą | x 1, x 2, …, x n >. Akivaizdu, kad n priklausys ir nuo minimumo vektoriaus pagrindu pasirinkta sistema. Tai yra normaliai trimatė erdvė n=3. Nepatyrusiam skaitytojui paaiškinkime, kad visos šios piktogramos šalia x indikatoriaus yra ne tik užgaida, o specifinis matematinis veiksmas. Be sudėtingiausių matematinių skaičiavimų to suprasti nepavyks, todėl nuoširdžiai tikimės, kad besidomintys patys išsiaiškins jo reikšmę.
Galiausiai būtina paaiškinti, kad Ψ(x, t)=
Fizinė banginės funkcijos esmė
Nepaisant bazinė vertėšio kiekio jis pats neturi reiškinio ar koncepcijos pagrindo. Fizinė bangos funkcijos reikšmė yra jos bendro modulio kvadratas. Formulė atrodo taip:
|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,
kur ω turi tikimybės tankio reikšmę. Diskrečiųjų spektrų (o ne nuolatinių) atveju šis dydis tampa tiesiog tikimybe.
Banginės funkcijos fizinės reikšmės pasekmė
Ši fizinė prasmė turi toli siekiančių pasekmių viskam. kvantinis pasaulis. Kaip aiškėja iš ω reikšmės, visos elementariųjų dalelių būsenos įgyja tikimybinę konotaciją. Dauguma aiškus pavyzdys yra elektronų debesų erdvinis pasiskirstymas orbitose aplink atomo branduolį.
Paimkime dviejų tipų elektronų hibridizaciją atomuose su daugiausia paprastos formos debesys: s ir p. Pirmojo tipo debesys yra sferinės formos. Bet jei skaitytojas prisimena iš fizikos vadovėlių, šie elektronų debesys visada vaizduojami kaip neryškus taškų spiečius, o ne kaip lygus rutulys. Tai reiškia, kad tam tikru atstumu nuo šerdies yra zona su greičiausiai susitinka s elektroną. Tačiau šiek tiek arčiau ir šiek tiek toliau ši tikimybė nėra lygi nuliui, ji tiesiog mažesnė. Šiuo atveju p-elektronams elektronų debesies forma vaizduojama kaip šiek tiek neaiškus hantelis. Tai yra, yra gana sudėtingas paviršius, kuriame tikimybė rasti elektroną yra didžiausia. Tačiau net arti šio „hantelio“, tiek toliau, tiek arčiau šerdies, tokia tikimybė nėra lygi nuliui.
Banginės funkcijos normalizavimas
Pastarasis reiškia, kad reikia normalizuoti bangos funkciją. Normalizavimas reiškia tokį tam tikrų parametrų „koregavimą“, kuriame tam tikras santykis yra teisingas. Jei atsižvelgsime į erdvines koordinates, tada tikimybė rasti tam tikrą dalelę (pavyzdžiui, elektroną) esama visata turėtų būti lygus 1. Formulė atrodo taip:
ʃ V Ψ* Ψ dV=1.
Taigi energijos tvermės dėsnis yra įvykdytas: jei ieškome konkretaus elektrono, jis turi būti visiškai suteikta erdvė. Priešingu atveju išspręsti Schrödingerio lygtį tiesiog nėra prasmės. Ir nesvarbu, ar ši dalelė yra žvaigždės viduje, ar milžiniškoje kosminėje tuštumoje, ji kažkur turi būti.
Tiesiog aukščiau minėjome, kad kintamieji, nuo kurių priklauso funkcija, taip pat gali būti neerdvinės koordinatės. Šiuo atveju normalizavimas atliekamas pagal visus parametrus, nuo kurių priklauso funkcija.
Momentinis judėjimas: triukas ar realybė?
Kvantinėje mechanikoje matematiką atskirkite nuo fizinę reikšmę neįtikėtinai sunku. Pavyzdžiui, kvantą dėl patogumo įvedė Planckas matematinė išraiška viena iš lygčių. Dabar yra daugelio dydžių ir sąvokų (energijos, kampinio momento, lauko) diskretiškumo principas. modernus požiūrisį mikropasaulio tyrimą. Ψ taip pat turi tokį paradoksą. Pagal vieną Šriodingerio lygties sprendinį, gali būti, kad matavimo metu sistemos kvantinė būsena pasikeičia akimirksniu. Šis reiškinys paprastai vadinamas bangos funkcijos sumažėjimu arba žlugimu. Jei tai įmanoma realybėje, kvantinės sistemos galintis judėti su begalinis greitis. Tačiau mūsų Visatos materialių objektų greičio apribojimas yra nekintamas: niekas negali judėti greičiau už šviesą. Šis reiškinys niekada nebuvo užfiksuotas, tačiau teoriškai jo paneigti dar nepavyko. Laikui bėgant, galbūt, šis paradoksas išsispręs: arba žmonija turės įrankį, kuris fiksuos tokį reiškinį, arba bus rastas matematinis triukas, kuris įrodys šios prielaidos nenuoseklumą. Yra ir trečias variantas: žmonės sukurs tokį reiškinį, bet kartu saulės sistema pateks į dirbtinę juodąją skylę.
Daugelio dalelių sistemos (vandenilio atomo) banginė funkcija
Kaip teigėme šiame straipsnyje, psi funkcija apibūdina vieną elementarioji dalelė. Tačiau atidžiau pažvelgus, vandenilio atomas atrodo kaip tik dviejų dalelių (vieno neigiamo elektrono ir vieno teigiamo protono) sistema. Vandenilio atomo bangines funkcijas galima apibūdinti kaip dviejų dalelių arba operatoriaus, pavyzdžiui, tankio matricos. Šios matricos nėra tiksliai psi funkcijos tęsinys. Atvirkščiai, jie parodo vienos ir kitos būsenos dalelės radimo tikimybių atitikimą. Svarbu atsiminti, kad problema buvo išspręsta tik dviem kūnams vienu metu. Tankio matricos gali būti taikomos dalelių poroms, bet negalimos didesnėms sudėtingos sistemos, pavyzdžiui, kai sąveikauja trys ar daugiau kūnų. Šis faktas atskleidžia neįtikėtiną „šiurkščiausio“ mechanikos ir „geriausios“ mechanikos panašumą. kvantinė fizika. Todėl neturėtumėte galvoti, kad yra kvantinė mechanika, įprastoje fizikoje negali kilti naujų idėjų. Už kiekvieno matematinių manipuliacijų posūkio slypi įdomūs dalykai.
Branduolio formulės išvedimas byloje laisvoji dalelė pateikta 4.11 užduotyje, yra nepatenkinama dėl dviejų tarpusavyje susijusių priežasčių. Pirma, sumos sąvoka įvairios sąlygos ir, vartojamas išraiškoje (4.62), nėra patenkinamas, jei būsenos priklauso ištisiniam spektrui, kaip yra laisvosios dalelės atveju. Antra, bangos funkcijos veikia laisvosioms dalelėms ( plokštumos bangos], nors jie yra stačiakampiai, jų negalima normalizuoti, nes
o lygybės (4.47) sąlyga, kuri buvo panaudota išvedant išraišką (4.62), netenkinama. Abu šie punktai vienu metu gali būti pataisyti grynai matematiškai. Grįžkime prie savavališkos funkcijos išplėtimo terminais savo funkcijas :
(4.65)
ir atsižvelgti į tai, kad visos būsenos arba jų dalis gali priklausyti ištisiniam spektrui, todėl dalis sumos turėtų būti pakeista integralu. Galima matematiškai griežtai gauti teisingą branduolio išraišką, panašią į išraišką (4.62), bet taikytina ir tuo atveju, kai būsenos yra ištisinėje spektro dalyje.
Normalizavimas iki galutinio tūrio. Daugelis fizikų renkasi kitokį, ne tokį griežtą požiūrį. Tai, ką jie daro, yra tam tikras pradinės problemos modifikavimas, o rezultatai (jų fizine prasme) pasikeis nežymiai, tačiau visos būsenos yra atskiros energijos atžvilgiu, todėl visi išsiplėtimai įgauna formą paprastos sumos. Mūsų pavyzdyje tai galima pasiekti taip. Mes atsižvelgiame į perėjimo iš taško į tašką tikimybės amplitudę pabaigos laikas. Jei šie du taškai yra nutolę vienas nuo kito, o juos skiriantis laiko intervalas nėra per ilgas, tai tikrai nebus pastebimų amplitudės skirtumų, ar elektronas iš tikrųjų yra laisvas, ar manoma, kad jis yra tam tikroje didelis dėžės tūris su sienomis, esančiomis labai toli nuo taškų ir . Jei dalelė galėtų pasiekti sienas ir laiku grįžti atgal, tai gali turėti įtakos amplitudei; bet jei sienos yra pakankamai toli, jos niekaip nepaveiks amplitudės.
Žinoma, ši prielaida gali būti klaidinga pasirinkus tam tikras sienas; pavyzdžiui, jei taškas yra bangų, kylančių iš taško ir atsispindinčių nuo sienų, židinyje. Kartais dėl inercijos jie daro klaidą pakeisdami laisvoje erdvėje esančią sistemą centre esančia sistema didelė sfera. Tai, kad sistema lieka tiksliai tobulos sferos centre, gali sukelti tam tikrą efektą (panašų į šviesios dėmės atsiradimą tobulai apvalaus objekto šešėlio centre), kuris neišnyksta net ir tuo atveju, jei sfera linkusi į begalybę. Paviršiaus įtaka būtų nereikšminga, jei sienos yra kitokios formos arba sistemos poslinkis šios sferos centro atžvilgiu.
Pirmiausia panagrinėkime vienmatį atvejį. Banginės funkcijos, priklausomai nuo koordinatės, turi formą , kur įgauna abu ženklus. Kokią formą turės funkcijos, jei pakeitimų diapazonas ribojamas iki savavališko intervalo nuo iki? Atsakymas priklauso nuo ribinių sąlygų, kurios nustato reikšmes taškuose ir . Paprasčiausias su fizinis taškas matymas yra ribinės sąlygos sienoms, kurios sukuria stiprų dalelės atstūmimo potencialą ir taip apriboja jos judėjimo plotą (t. y. su idealiu atspindžiu). Šiuo atveju taškuose ir . Bangos lygties sprendiniai
, (4.66)
atitinkanti energiją regione, bus eksponentai ir (arba) bet koks tiesinis jų derinys. Abu , ir neatitinka pasirinktų ribinių sąlygų, tačiau (kur yra sveikas skaičius), reikalingos savybės nelyginio atveju turi jų pusinės sumos (t. y. lyginės) atveju, o lygių atveju – padalytos iš jų pusės skirtumas (t. y.), kaip schematiškai parodyta fig. 4.1. Taigi būsenų banginės funkcijos turi sinusų ir kosinusų formą bei atitinkamas energijos lygiai diskretiški ir nesudaro kontinuumo.
Fig. 4.1. Vienmatės bangos funkcijų vaizdas, normalizuotas langelyje.
Pirmieji keturi iš jų rodomi. Atitinkamų lygių energijos yra lygios 
, , Ir. Absoliuti vertė energija, kuri priklauso nuo mūsų fiktyvios dėžės dydžio, daugeliui tikrų problemų yra nereikšminga. Iš tikrųjų svarbu yra skirtingų būsenų energijų santykis.
Jei sprendiniai parašyti forma ir , tada jie bus normalizuoti, nes
. (4.67)
Visų būsenų suma yra suma viršija. Jei, pavyzdžiui, atsižvelgsime į sinusinės bangos funkcijas (t. net vertybes), tada esant mažoms vertėms ir labai didelei vertei (sienos toli nuo mus dominančios vietos), skaičiais gretimos funkcijos skiriasi labai mažai. Jų skirtumas
(4.68)
maždaug proporcinga mažai vertei. Todėl sumą virš galima pakeisti integralu over . Kadangi galiojančios reikšmės yra išdėstytos nuosekliai su intervalu , būsenos yra intervale. Visa tai galioja ir būsenoms su kosinuso bangos funkcija, todėl visose mūsų formulėse sumas galime pakeisti integralais
, (4.69)
nepamirštant, kad pabaigoje reikia susumuoti abiejų tipų banginių funkcijų rezultatus, būtent ir .
Dažnai yra nepatogu naudoti ir kaip bangines funkcijas, o jų linijiniai deriniai yra labiau tinkami
Ir .
Tačiau įvesdami ribotą tūrį, esame priversti naudoti sinusus ir kosinusus, o ne jų tiesinius derinius, nes kai nustatyta vertė sprendimas bus tik viena iš šių funkcijų, o ne abi iš karto. Bet jei nepaisysime mažų klaidų, atsirandančių dėl tokių mažų reikšmių skirtumų, galime tikėtis gauti teisingus rezultatus su šiais naujais tiesiniais deriniais. Po normalizavimo jie įgauna formą ir . Kadangi banga gali būti laikoma banga, bet jos reikšmė yra neigiama, mūsų naujoji procedūra, įskaitant dviejų tipų bangų funkcijų derinimą, yra tokia: nykščio taisyklė: paimkite laisvosios dalelės bangines funkcijas, normalizuokite jas kintamojo pokyčio ilgio segmente (ty įdėkite ) ir būsenų sumas pakeiskite integralais virš kintamojo taip, kad būsenų skaičius būtų įtrauktas į reikšmes. intervale yra lygus , o pats pasikeičia iš į .
Periodinės ribinės sąlygos. Kartais toks nukrypimas į kosinusus ir sinusus, o paskui atgal į eksponentus, gali būti apeiti naudojant šį argumentą. Kadangi sienos įvedimas yra dirbtinė technika, jos specifinė padėtis ir atitinkama ribinė sąlyga neturėtų turėti jokios fizinę reikšmę, jei tik siena pakankamai pašalinta. Todėl vietoj fizinio paprastos sąlygos galime naudoti kitus, kurių sprendimai iš karto pasirodys esantys eksponencialūs. Šios sąlygos yra
(4.70)
. (4.71)
Jie vadinami periodiniais ribines sąlygas, nes reikalaujant periodiškumo su periodu visoje erdvėje, susidarytų tokios pačios sąlygos. Nesunku patikrinti, ar funkcijos yra sprendiniai, normalizuoti intervale, jei , kur yra bet koks sveikasis skaičius (teigiamas arba neigiamas) skaičius arba nulis. Tai tiesiogiai atitinka aukščiau suformuluotą taisyklę.
Galime suprasti, kas atsitinka trijų matmenų atveju, jei laikysime stačiakampę dėžę, kurios kraštinės yra lygios , , . Mes naudojame periodines ribines sąlygas, tai yra, reikalaujame, kad bangos funkcijos ir jos pirmosios išvestinės vertės vienoje dėžutės pusėje būtų simetriškai lygios jų vertėms priešingoje pusėje. Laisvosios dalelės normalizuotos bangos funkcija bus produktas
, (4.72)
kur yra dėžutės tūris ir priimtinos vertės bus , ir (, , - sveikieji skaičiai). Be to, sprendinių skaičius su reikšmėmis , , , esantys atitinkamai intervaluose , , , yra lygus sandaugai, reikia įvesti papildomą koeficientą . [Išraiškoje (4.64) yra dviejų banginių funkcijų sandauga.] Antra, sumos simbolis turi būti pakeistas integralu 
. Visa tai pateisina tai, kas buvo padaryta skyriaus 2 dalyje. 4, taip pat išvesties rezultatus 4.11 uždavinyje.
Reikėtų pažymėti, kad daugikliai panaikina, kaip turėtų, nes branduolys neturėtų priklausyti nuo dėžutės dydžio.
Keletas pastabų apie matematinį griežtumą. Skaitytojas, matydamas skaičiavimo pabaigoje mažėjantį tūrį, gali sulaukti vienos iš dviejų reakcijų: arba pasitenkinimas, kad mažėja, kaip ir turėtų būti, nes sienos nieko neveikia, arba suglumimas, kodėl viskas taip daroma. laisvi, „nešvarūs“ ir painūs, naudojant sienas, kurios neturi tikroji prasmė, ir pan., kai visa tai būtų galima padaryti daug elegantiškiau ir matematiškai griežčiau be jokių sienų ir panašiai. Jūsų reakcijos tipas priklauso nuo to, ar mąstote fiziškai ar matematiškai. Tarp matematikų ir fizikų kyla daug nesusipratimų dėl matematinio griežtumo fizikoje, todėl gali būti tikslinga įvertinti kiekvieną metodą: langelio samprotavimą ir matematinį griežtumą.
Žinoma, yra ir daugiau trivialus klausimas: Kuris metodas mums labiau pažįstamas, t.y. reikalaujantis mažiausiai naujų žinių? Prieš skaičiuodami skirtingų būsenų skaičių dėžutėje, dauguma fizikų pirmiausia pagalvojo apie tai.
Be to, matematiškai griežtas sprendimas negali būti fiziškai griežtas; kitaip tariant, gali būti, kad dėžutė iš tikrųjų egzistuoja. Tai nebūtinai gali būti stačiakampė dėžutė, nes nedažnai paaiškėja, kad eksperimentai atliekami po žvaigždėmis; dažniau jie praleidžiami kambaryje. Nors fiziškai atrodo visai pagrįsta, kad sienos neturėtų įtakos eksperimentui, vis dėlto toks problemos išdėstymas vertintinas kaip idealizavimas. Pašalinti sienas iki begalybės nėra geriau nei pakeisti jas pakankamai nutolusiais idealiais veidrodžiais. Pirmuoju atveju taip pat pažeidžiamas matematinis griežtumas, nes tikrosios sienos nėra begalybėje.
Nuotolinės sienos metodas yra toks pat teisingas ir griežtas, kiek jis yra pagrįstas. Jis turi keletą privalumų. Pavyzdžiui, sumažinus tūrį galutinėse formulėse, matome, kad bent vienas idealizacijos aspektas yra nesvarbus – kiek pašalinamos sienos. Šis rezultatas intuityviai mus įtikina, kad tikroji tikrosios aplinkos vieta gali būti nereikšminga. Galiausiai gauta formulė yra labai naudinga, kai iš tikrųjų turime baigtinių matmenų atvejį. Pavyzdžiui, sk. 8 naudosime jį norėdami suskaičiuoti skirtingų skaičių garso bangos dideliame stačiakampės medžiagos bloke.
Kita vertus, matematiškai griežto požiūrio pranašumas yra iš esmės nereikalingų detalių, kurios neįtrauktos į rezultatą, pašalinimas. Nors sienų įvedimas leidžia mums kai ką sužinoti apie tai, kodėl jos vis tiek nieko neveikia, vis dėlto galite įsitikinti to pagrįstumu nesigilindami į smulkmenas.
Banginių funkcijų normalizavimo problema yra gana sudėtinga. ypatingas pavyzdys, bet tai iliustruoja pagrindinį dalyką. Fizikas negali suprasti matematiko atsargumo spręsdamas idealizuotą problemą. fizinė problema. Jis žino, kad tikroji užduotis yra daug sunkesnė. Ją jau supaprastino intuicija, kuri atmeta neesminį ir apytiksliai tai, kas lieka.
