Bangos lygties tipas fizinę sistemą yra nulemtas jo Hamiltono, todėl įgyja esminę reikšmę visame matematiniame kvantinės mechanikos aparate.

Laisvosios dalelės Hamiltono forma jau nustatyta Bendrieji reikalavimai, susijęs su erdvės homogeniškumu ir izotropija bei Galilėjaus reliatyvumo principu. IN klasikinė mechanikašie reikalavimai lemia kvadratinę dalelės energijos priklausomybę nuo jos impulso: kur konstanta vadinama dalelės mase (žr. I, § 4). IN Kvantinė mechanika tie patys reikalavimai lemia tą patį energijos ir impulso savųjų verčių ryšį - tuo pačiu metu išmatuojamus išsaugotus (laisvos dalelės) kiekius.

Tačiau norint, kad ryšys galiotų visoms energijos ir impulso savinėms vertėms, jis turi galioti ir jų operatoriams:

Pakeitę (15.2) čia, gauname laisvai judančios dalelės Hamiltono formą

kur - Laplaso operatorius.

Nesąveikaujančių dalelių sistemos Hamiltono lygi sumai Kiekvieno iš jų hamiltoniečiai:

kur indeksas a sunumeruoja daleles; - Laplaso operatorius, kuriame diferencijavimas atliekamas atsižvelgiant į dalelės koordinates.

Klasikinėje (nereliatyvistinėje) mechanikoje dalelių sąveika Hamiltono funkcijoje apibūdinama adityviu terminu – potencialia sąveikos energija, kuri yra dalelių koordinačių funkcija.

Pridėjus tą pačią funkciją prie sistemos Hamiltono, aprašoma dalelių sąveika kvantinėje mechanikoje:

pirmasis terminas gali būti laikomas operatoriumi kinetinė energija o antrasis kaip operatorius potencinė energija. Visų pirma, Hamiltono vienai dalelei, esančiai išoriniame lauke, yra

čia U(x, y, z) yra dalelės potencinė energija išoriniame lauke.

Pakeitus išraiškas (17.2)-(17.5) į bendrąją lygtį (8.1), gaunamos atitinkamų sistemų banginės lygtys. Užrašykime čia išoriniame lauke esančios dalelės bangos lygtį

Nejudančias būsenas apibrėžianti lygtis (10.2) įgauna formą

Lygtis (17.6), (17.7) sukūrė Schrödingeris 1926 m. ir jos vadinamos Šriodingerio lygtimis.

Laisvosios dalelės (17.7) lygtis turi tokią formą

Ši lygtis turi sprendinius, kurie yra baigtiniai visoje erdvėje bet kuriai teigiama vertė energija E. Būsenoms su tam tikromis judėjimo kryptimis šie sprendiniai yra impulso operatoriaus savosios funkcijos ir . Pilnos (nuo laiko priklausomos) banginės funkcijos tokių stacionarios būsenos atrodyti kaip

(17,9)

Kiekviena tokia funkcija – plokštuminė banga – apibūdina būseną, kurioje dalelė turi tam tikrą energiją E ir impulsą. Šios bangos dažnis yra lygus, o jos bangos vektorius atitinkamas bangos ilgis vadinamas de Broglie dalelės bangos ilgiu.

Taigi laisvai judančios dalelės energijos spektras yra tolydis, besitęsiantis nuo nulio iki Kiekviena iš šių savųjų reikšmių (išskyrus atvejus, kai tik vertė yra išsigimusi, o išsigimimas yra begalinis. Iš tiesų, kiekviena nenulinė E reikšmė atitinka begalinis rinkinys savosios funkcijos (17.9), besiskiriančios vektorių kryptimis su ta pačia absoliučia verte.

Leiskite atsekti, kaip Šriodingerio lygtyje vyksta ribinis perėjimas prie klasikinės mechanikos, paprastumo dėlei įvertinant tik vieną dalelę išoriniame lauke. Pakeitę banginės funkcijos ribinę išraišką (6.1) į Šriodingerio lygtį (17.6), diferencijuodami gauname,

Ši lygtis turi grynai realius ir grynai įsivaizduojamus terminus (prisiminkime, kad S ir a yra tikri); abu jas atskirai prilyginus nuliui, gauname dvi lygtis:

Nepaisydami termino, esančio pirmojoje iš šių lygčių, gauname

(17,10)

y., kaip ir tikėtasi, klasikinė Hamiltono-Jacobi lygtis S dalelės veikimui. Beje, matome, kad klasikinėje mechanikoje galioja iki pirmos (o ne nulinės) eilės dydžių imtinai.

Antrąją iš gautų lygčių po padauginimo iš 2a galima perrašyti į formą

Ši lygtis turi vizualinį vaizdą fizinę reikšmę: yra dalelės radimo tam tikroje erdvės vietoje tikimybės tankis, yra klasikinis dalelės greitis v. Todėl (17.11) lygtis yra ne kas kita, kaip tęstinumo lygtis, rodanti, kad tikimybių tankis „juda“ pagal klasikinės mechanikos dėsnius su klasikinis greitis v kiekviename taške.

Užduotis

Raskite banginės funkcijos transformacijos dėsnį pagal Galilėjos transformaciją.

Sprendimas. Užbaikime transformaciją bangos funkcija laisvas judėjimas dalelės (plokštumos banga). Kadangi bet kurią funkciją galima išplėsti į plokštumines bangas, transformacijos dėsnis bus rastas savavališkai banginei funkcijai.

Plokštumos bangos atskaitos sistemose K ir K" (K" juda K atžvilgiu V greičiu):

Be to, abiejų sistemų dalelių momentai ir energijos yra tarpusavyje susiję pagal formules

(žr. I, § 8), Pakeitę šiuos posakius gauname

Šioje formoje ši formulė nebeturi dydžių, apibūdinančių laisvą dalelės judėjimą, ir nustato norimą bendroji teisė savavališkos dalelės būsenos banginės funkcijos transformacija. Dalelių sistemoje (1) esantis eksponentas turėtų apimti dalelių sumą.

5 paskaita. SCHRÖDINGER LYGYTIS.

Tikimybinė de Broglie bangų reikšmė. Bangos funkcija.

De Broglie bangos turi specifinį kvantinė gamta, kuri neturi analogijos su klasikinės fizikos bangomis. Nėra elektromagnetines bangas, kadangi jų pasiskirstymas erdvėje nesusijęs su jokiu pasiskirstymu elektromagnetinis laukas. Klausimas apie bangų prigimtį gali būti suformuluotas kaip klausimas apie fizinę šių bangų amplitudės reikšmę. Vietoj amplitudės patogiau pasirinkti bangos intensyvumą, proporcingą amplitudės modulio kvadratui.

Iš elektronų difrakcijos eksperimentų matyti, kad šių eksperimentų metu nevienodas elektronų pluoštų pasiskirstymas, atsispindėjęs išilgai įvairiomis kryptimis. Bangos požiūriu elektronų skaičiaus maksimumų buvimas kai kuriomis kryptimis reiškia, kad šios kryptys atitinka didžiausią de Broglie bangų intensyvumą. Bangų intensyvumas tam tikrame erdvės taške nulemia elektronų, patekusių į šį tašką per 1 sekundę, tikimybę.

Tai buvo pagrindas tam tikram statistiniam, tikimybiniam de Broglie bangų aiškinimui.

De Broglie bangos amplitudės dydis tam tikrame taške yra tikimybės, kad tame taške bus aptikta dalelė, matas.

Norint apibūdinti dalelės radimo tikimybių pasiskirstymą Šis momentas laikas tam tikrame erdvės taške, pristatome funkciją, kuri yra laiko ir koordinačių funkcija, žymima Graikiškas laiškas ψ ir yra vadinamas bangos funkcija arba tiesiog psi funkcija.

Pagal apibrėžimą, tikimybė, kad dalelės koordinatės yra x, x+dx.

Jeigu , tada yra tikimybė, kad dalelė yra tūryje dxdydz.

Todėl tikimybė, kad dalelė yra tūrio elemente dV, yra proporcinga psi funkcijos modulio ir tūrio elemento dV kvadratui.

Fizinė reikšmė yra ne pati funkcija ψ, o jos modulio kvadratas, kur ψ* yra funkcijos kompleksas, susietas su ψ. Didumas turi prasmę tikimybės tankis, t.y. apibrėžia Tikimybė, kad dalelė bus tam tikrame erdvės taške. Kitaip tariant, tai lemia de Broglie bangų intensyvumą. Banginė funkcija yra pagrindinė mikroobjektų būklės charakteristika ( elementariosios dalelės, atomai, molekulės).

Nestabili lygtisŠriodingeris.

Niutono lygtys klasikinėje mechanikoje leidžia makroskopiniams kūnams išspręsti pagrindinę mechanikos problemą – atsižvelgiant į kūną (arba kūnų sistemą) veikiančias jėgas ir pradines sąlygas, rasti kūno koordinates ir jo greitį bet kuriuo momentu. laiku, t.y. apibūdinti kūno judėjimą erdvėje ir laike.

Keliant panašią kvantinės mechanikos problemą, būtina atsižvelgti į mikrodalelių taikymo galimybės apribojimus. klasikinės sąvokos koordinates ir impulsą. Kadangi mikrodalelės būseną erdvėje tam tikru laiko momentu lemia bangos funkcija, tiksliau, tikimybė rasti dalelę taškas x, y, z t laiku, pagrindinė kvantinės mechanikos lygtis yra lygtis psi funkcijos atžvilgiu.

Šią lygtį 1926 m. gavo Schrödingeris. Kaip ir Niutono judėjimo lygtys, Schrödingerio lygtis yra postuluojama, o ne išvesta. Šios lygties pagrįstumą įrodo tai, kad jos pagalba gautos išvados gerai sutampa su eksperimentais.

Šriodingerio lygtis turi formą

,

čia m yra dalelių masė, i yra įsivaizduojamas vienetas, yra Laplaso operatorius, kurio rezultatas veikia tam tikrą funkciją

.

U(x,y,z,t) – mūsų uždavinių rėmuose jėgos lauke judančios dalelės potencinė energija. Iš Schrödingerio lygties seka, kad psi funkcijos tipą lemia funkcija U, t.y. galiausiai – dalelę veikiančių jėgų prigimtis.

Šriodingerio lygtis papildyta svarbios sąlygos, kurie yra ant psi funkcijos. Yra trys sąlygos:

1) funkcija ψ turi būti baigtinė, tolydi ir vienareikšmė;

2) dariniai turi būti tęstinis

3) funkcija turi būti integruojama, t.y. integralas

turi būti galutinis. Paprasčiausiais atvejais trečioji sąlyga sumažinama iki normalizavimo sąlygos

Tai reiškia, kad dalelės buvimas kažkur erdvėje yra patikimas įvykis o jo tikimybė turi būti lygi vienetui. Pirmosios dvi sąlygos yra įprasti reikalavimai, keliami norimam diferencialinės lygties sprendimui.

Paaiškinkime, kaip galima pasiekti Šriodingerio lygtį. Dėl paprastumo apsiribojame vienmačiu atveju. Panagrinėkime laisvai judančią dalelę (U = 0).

Palyginkime su ja, pagal de Broglie idėją, plokštumos bangą

Pakeiskime ir perrašykime

.

Vieną kartą diferencijuodami šią išraišką t, o antrą kartą - du kartus pagal x, gauname

Laisvosios dalelės energija ir impulsas yra susiję ryšiu

E ir p 2 išraiškų pakeitimas šiuo ryšiu

Paskutinė išraiška sutampa su Šriodingerio lygtimi U =0.

Dalelių judėjimo jėgos lauke, kuriam būdinga potencinė energija U, atveju energija E ir impulsas p yra susiję su ryšiu

Nurodytas samprotavimas neturi įrodomosios vertės ir negali būti laikomas Schrödingerio lygties išvestiniu. Jų tikslas yra paaiškinti, kaip galima nustatyti šią lygtį.

Heisenbergas padarė išvadą, kad kvantinės mechanikos judėjimo lygtis, apibūdinanti mikrodalelių judėjimą įvairiose jėgos laukai, turi būti lygtis, iš kurios sektų eksperimentiškai stebimos vertės bangų savybės dalelės. Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos Ψ lygtis (x, y, z, t), kadangi būtent tai, tiksliau, kiekis |Ψ| 2, nustato dalelės buvimo tikimybę laiko momentu t tūryje Δ V, y., srityje su koordinatėmis X Ir x + dx, y Ir y + dу, z Ir z+ dz.

Pagrindinę nereliatyvistinės kvantinės mechanikos lygtį 1926 metais suformulavo E. Schrödingeris. Šriodingerio lygtis, kaip ir visos pagrindinės fizikos lygtys (pavyzdžiui, Niutono lygtys klasikinėje mechanikoje ir Maksvelo lygtys elektromagnetiniam laukui), yra ne išvestinė, o postuluojama. Šios lygties teisingumą patvirtina iš jos įgyta patirtis naudojant rezultatus, o tai savo ruožtu suteikia jam gamtos dėsnio pobūdį.

Bendroji lygtis Schrödingeris turi tokią formą:

Kur ? =h/(2π), m- dalelių masė, Δ - Laplaso operatorius , i- įsivaizduojamas vienetas, U(x, y, z, t) - potenciali funkcija dalelė jėgos lauke, kurioje ji juda, Ψ( x, y, z, t) yra norima dalelės banginė funkcija.

(1) lygtis galioja bet kuriai dalelei (kurios sukinys lygus 0), judančiai mažu (lyginant su šviesos greičiu) greičiu, t.y. υ "Su.

Ją papildo sąlygos, ant bangos funkcijos:

1) banginė funkcija turi būti baigtinė, vienareikšmė ir tolydi;

2) dariniai turi būti nuolatinis;

3) funkcija |Ψ| 2 turi būti integruojamas (ši sąlyga paprasčiausiais atvejais redukuojasi į tikimybių normalizavimo sąlygą).

Lygtis (1) vadinama nuo laiko priklausoma Šriodingerio lygtis.

Daugumai fizikiniai reiškiniai, vykstantis mikropasaulyje, (1) lygtį galima supaprastinti pašalinus Ψ priklausomybę nuo laiko, t.y. Raskite Šriodingerio lygtį stacionarioms būsenoms – būsenoms su fiksuotomis energijos reikšmėmis. Tai įmanoma, jei jėgos laukas, kuriame dalelė juda, yra nejudantis, ty funkcija U = U(x, y,z) tiesiogiai nepriklauso nuo laiko ir turi potencialios energijos reikšmę. IN tokiu atvejuŠriodingerio lygties sprendinį galima pavaizduoti kaip

. (2)

2 lygtis vadinama stacionarių būsenų Šriodingerio lygtimi.

Ši lygtis apima kaip parametrą visos energijos E dalelės. Teoriškai diferencialines lygtisįrodyta, kad tokios lygtys turi begalinį skaičių sprendinių, kurių primetant ribines sąlygas parenkami fizinę reikšmę turintys sprendimai. Šriodingerio lygčiai tokios sąlygos yra banginių funkcijų reguliarumo sąlygos: Naujos funkcijos turi būti baigtinės, nedviprasmiškos ir tęstinės kartu su pirmaisiais jų išvestiniais.

Taigi realią fizinę reikšmę turi tik tie sprendiniai, kurie išreiškiami reguliariosiomis funkcijomis Ψ. Tačiau įprastiniai sprendimai netaikomi jokioms parametrų reikšmėms E, bet tik tam tikram jų rinkiniui, būdingam duotai užduočiai. Šios energijos vertės vadinamos savosiomis vertėmis . Tinkami sprendimai savąsias reikšmes energija vadinama savosiomis funkcijomis . Savosios vertybės E gali susidaryti tiek ištisinių, tiek atskiros serijos. Pirmuoju atveju jie kalba apie ištisinį arba kietąjį spektrą, antruoju - apie atskirą spektrą.

Dalelė vienmačio stačiakampio „potencialaus šulinio“su be galo aukštomis "sienomis"

Vykdykime kokybinė analizėŠriodingerio lygties sprendiniai, taikomi dalelei vienmačio stačiakampio „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“. Tokia „skylė“ apibūdinama formos potencine energija (paprastumo dėlei darome prielaidą, kad dalelė juda išilgai ašies X)

Kur l yra „skylės“ plotis, o energija matuojama nuo jos apačios (2 pav.).

Šriodingerio lygtis stacionarioms būsenoms vienmatės problemos atveju bus parašyta tokia forma:

. (1)

Pagal problemos sąlygas (be galo aukštas „sieneles“) dalelė neprasiskverbia už „skylės“, todėl jos aptikimo (taigi ir bangos funkcijos) tikimybė už „skylės“ yra lygi nuliui. Prie „duobės“ ribų (at X= 0 ir x = 1) turi išnykti ir nuolatinės bangos funkcija.

Todėl ribinės sąlygos šiuo atveju yra tokios formos:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

„Duobėje“ (0 ≤ X≤ 0) Schrödingerio lygtis (1) bus sumažinta iki lygties:

arba . (3)

Kur k 2 = 2 mE / ? 2.(4)

Bendrasis diferencialinės lygties (3) sprendimas:

Ψ ( x) = A nuodėmė kx + B cos kx.

Kadangi pagal (2) Ψ (0) = 0, tai B = 0. Tada

Ψ ( x) = A nuodėmė kx. (5)

Sąlyga Ψ ( l) = A nuodėmė kl= 0 (2) įvykdoma tik tada, kai kl = nπ, Kur n- sveikieji skaičiai, t.y. tai būtina

k = nπ/l. (6)

Iš (4) ir (6) išraiškų matyti, kad:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

y., stacionarioji Šriodingerio lygtis, apibūdinanti dalelės judėjimą „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“, tenkinama tik savosioms reikšmėms E p, priklausomai nuo sveikojo skaičiaus P. Todėl energija E p dalelės „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienos“ priima tik tam tikras diskrečiųjų vertybių, t.y. jis yra kvantuojamas.

Kvantuotos energijos vertės E p yra vadinami energijos lygiai ir numerį P, kuris lemia dalelės energijos lygius vadinamas pagrindinis kvantinis skaičius. Taigi mikrodalelė „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“ gali būti tik tam tikro energijos lygio E p, arba, kaip sakoma, dalelė yra kvantinėje būsenoje P.

Vertės pakeitimas į (5). k iš (6) randame savąsias funkcijas:

.

Integracijos konstanta A randame iš normalizavimo sąlygos, kuri šiuo atveju bus parašyta tokia forma:

.

Dėl integracijos gauname , o savosios funkcijos turės tokią formą:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Savųjų funkcijų (8) grafikai, atitinkantys energijos lygius (7) at n= 1,2,3, parodyta pav. 3, A. Fig. 3, b parodo dalelės aptikimo įvairiais atstumais nuo skylės „sienelių“ tikimybės tankį, lygų ‌‌‌‌‌‌ Ψ n(x)‌ 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Dėl n = 1, 2 ir 3. Iš paveikslo matyti, kad, pavyzdžiui, kvantinėje būsenoje su n= 2, dalelė negali būti „skylės“ viduryje, o taip pat dažnai ji gali būti jos kairėje ir teisingos dalys. Toks dalelių elgesys rodo, kad dalelių trajektorijų sampratos kvantinėje mechanikoje yra nepagrįstos.

Iš (7) išraiškos matyti, kad energijos intervalas tarp dviejų gretimų lygių yra lygus:

Pavyzdžiui, elektronui su šulinio matmenimis l= 10-1 m (laisvieji elektronai metale) , Δ E n ≈ 10–35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, t.y. Energijos lygiai išsidėstę taip arti, kad spektrą praktiškai galima laikyti nuolatiniu. Jei šulinio matmenys yra panašūs į atominius ( l ≈ 10 -10 m), tada elektronui Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, t.y. Akivaizdu, kad gaunamos atskiros energijos vertės (linijų spektras).

Taigi, taikant Schrödingerio lygtį dalelei „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienomis“, gaunamos kvantuotos energijos vertės, o klasikinė mechanika nenustato jokių šios dalelės energijos apribojimų.

Be to, kvantinis mechaninis šios problemos nagrinėjimas leidžia daryti išvadą, kad dalelės „potencialų šulinyje“ su be galo aukštomis „sienos“ energija negali būti mažesnė už mažiausią energiją, lygią π 2 ? 2 /(2t1 2). Nenulinės minimalios energijos buvimas nėra atsitiktinis ir išplaukia iš neapibrėžtumo santykio. Koordinačių neapibrėžtis Δ X dalelės „duobėje“ pločio l lygus Δ X= l.

Tada pagal neapibrėžtumo santykį impulsas negali turėti tikslios, šiuo atveju nulinės, reikšmės. Impulso neapibrėžtis Δ R ≈ h/l. Šis impulso verčių sklaida atitinka kinetinę energiją E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Visi kiti lygiai ( p> 1) kurių energija viršija šią mažiausią vertę.

Iš (9) ir (7) formulių išplaukia, kad esant dideliems kvantiniams skaičiams ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P„1, t. y. gretimi lygiai išsidėstę arti: kuo arčiau, tuo daugiau P. Jeigu P yra labai didelis, tada galime kalbėti apie beveik nenutrūkstamą lygių seką ir būdingas bruožas kvantiniai procesai— išlyginamas diskretiškumas. Šis rezultatas yra ypatingas Boro korespondencijos principo (1923) atvejis, pagal kurį kvantinės mechanikos dėsniai turi didelės vertybės kvantiniai skaičiai virsta klasikinės fizikos dėsniais.

Stacionarūs Šriodingerio lygties sprendiniai.

A priedas

Schrödingerio lygties sprendimo paieška laisvasis elektronas bangų paketo pavidalu .

Parašykime Šriodingerio lygtį laisvajam elektronui

Po transformacijų Šriodingerio lygtis įgauna formą

(A.2)

Šią lygtį išsprendžiame pradine sąlyga

(A.3)

Čia yra elektronų bangos funkcija pradžios momentas laikas. Ieškome (A.2) lygties sprendimo Furjė integralo pavidalu

(A.4)

Pakeičiame (A.4) į (A.2) ir gauname

Sprendimas (A.4) dabar gali būti parašytas tokia forma

(A.6)

Mes naudojame pradinė būklė(A.3), o iš (A.6) gauname elektrono pradinės banginės funkcijos išplėtimą į Furjė integralą.

(A.7)

Išraiškai (A.7) taikome atvirkštinė konversija Furjė

(A.8)

Apibendrinkime atliktas transformacijas. Taigi, jei žinoma elektrono banginė funkcija pradiniu laiko momentu, tai po integracijos (A.8) randame koeficientus. Tada šiuos koeficientus pakeitę į (A.6) ir integravę, gauname elektrono banginę funkciją bet kuriame erdvės taške tam tikru laiko momentu.

Kai kurių paskirstymų atveju integracija gali būti atlikta aiškiai ir gauti analitinė išraiška išspręsti Šriodingerio lygtį. Kaip pradinę bangos funkciją imame Gauso pasiskirstymą, moduliuotą plokštumos monochromatine banga.

Čia yra vidutinis elektronų impulsas. Pasirinkę pradinę bangos funkciją tokia forma, galėsime gauti Schrödingerio lygties sprendimą bangos paketo pavidalu.

Išsamiai panagrinėkime pradinės banginės funkcijos (A.9) savybes.

Pirmiausia, bangos funkcija normalizuojama iki vieneto.

(A.10)

Normalizavimas (A.10) lengvai įrodomas naudojant toliau pateiktą lentelės integralą.

(A.11)

Antra, jei bangos funkcija normalizuojama iki vieneto, tai bangos funkcijos kvadratinis modulis yra tikimybės tankis rasti elektroną tam tikrame erdvės taške.

Čia dydis bus vadinamas bangos paketo amplitude pradiniu laiko momentu. Fizinė paketo amplitudės reikšmė yra maksimali vertė tikimybių skirstiniai. 1 paveiksle parodytas tikimybių tankio pasiskirstymo grafikas.

Tikimybių tankio pasiskirstymas pradiniu laiku.

Atkreipkime dėmesį į kai kurias grafiko ypatybes 1 pav.

1. Koordinatė yra ašies taškas x, kuriame tikimybių skirstinys turi didžiausią reikšmę. Todėl galime pasakyti, kad su greičiausiai galima aptikti elektroną šalia taško.

2. Vertė nustatys nuokrypį nuo taško, kuriame pasiskirstymo reikšmė mažėja e kartų didžiausią vertę.

(A.13)

Šiuo atveju reikšmė vadinama bangos paketo pločiu pradiniu laiko momentu, o reikšmė – pusės paketo pločiu.

3. Apskaičiuokite tikimybę rasti elektroną intervale .

(A.14)

Taigi, tikimybė aptikti elektroną srityje, kurioje yra centras ir pusės plotis, yra 0,843. Ši tikimybė yra artima vienybei, todėl paprastai apie pusę pločio sritį kalbama kaip apie sritį, kurioje elektronas yra pradiniu laiko momentu.

Trečias, pradinė bangos funkcija nėra impulso operatoriaus savoji funkcija. Todėl elektronas, esantis banginės funkcijos būsenoje, neturi konkretaus impulso, galime kalbėti tik apie vidutinį elektrono impulsą. Apskaičiuokime vidutinį elektronų impulsą.

Todėl reikšmė formulėje (A.9) yra vidutinė elektrono impulso vertė. Formulė (A.15) lengvai įrodoma, jei naudojate lentelės integralą (A.11).

Taigi, buvo išanalizuoti pradinės bangos funkcijos savybės. Dabar pakeisime funkciją Furjė integralu (A.8) ir suraskime koeficientus.

Integrale (A.16) atliekame tokį integravimo kintamojo pakeitimą.

(A.17)

Dėl to integralas (A.16) įgauna tokią formą.

(A.18)

Dėl to gauname tokią koeficientų išraišką.

(A.18)

Pakeitę koeficientus į (A.6) formulę, gauname tokią banginės funkcijos integralinę išraišką.

Integrale (A.19) atliekame tokį integravimo kintamojo pakeitimą.

(A.20)

Dėl to integralas (A.19) įgauna tokią formą.

Galiausiai gauname bangų paketo formulę.

(A.22)

Nesunku pastebėti, kad pradiniu laiko momentu formulė (A.22) virsta formule (A.9) pradinei banginei funkcijai. Raskime funkcijos (A.22) tikimybės tankį.

Bangų paketą (A.22) pakeičiame formule (A.23) ir gauname tokią išraišką.

(A.24)

Čia bangų paketo centras arba tikimybės tankio skirstinio maksimumas juda greičiu, lygiu šiai reikšmei.

Bangos paketo pusė pločio laikui bėgant didėja ir nustatoma pagal šią formulę.

(A.26)

Bangų paketo amplitudė laikui bėgant mažėja ir nustatoma pagal šią formulę.

(A.27)

Taigi bangos paketo tikimybių pasiskirstymas gali būti parašytas tokia forma.

(A.28)

2 pav. rodo tikimybių pasiskirstymą trimis laiko momentais iš eilės.

Tikimybių pasiskirstymas trimis laiko momentais iš eilės.

B priedas

Bendra informacija sprendžiant Šriodingerio lygtį .

Įvadas.

Kvantinės dalelės judėjimas bendras atvejis aprašyta Schrödingerio lygtimi:

Čia i yra įsivaizduojamas vienetas, h = 1,0546´10 -34 (J × s) yra Planko konstanta. operatorius Ĥ vadinamas Hamiltono operatoriumi. Hamiltono operatoriaus forma priklauso nuo elektrono sąveikos su išoriniais laukais tipo.

Jei neatsižvelgsime į elektrono sukimosi savybes, pavyzdžiui, jei neatsižvelgsime į elektrono judėjimą magnetiniame lauke, tada Hamiltono operatorius gali būti pavaizduotas formoje.

(B.2)

Čia yra kinetinės energijos operatorius:

, (B.3)

Kur m=9.1094´10 -31 (kg) – elektronų masė. Potenciali energija apibūdina elektrono sąveiką su išoriniu elektriniu lauku.

Šiame laboratoriniai darbai nagrinėsime vienmatį elektrono judėjimą išilgai ašies x. Šiuo atveju Schrödingerio lygtis yra tokia:

. (B.4)

Lygtis (B.4) su matematinis taškas vaizdas yra dalinė diferencialinė lygtis nežinomai banginei funkcijai Y=Y(x, t). Yra žinoma, kad tokia lygtis turi konkretus sprendimas, jei nurodytos atitinkamos pradinės ir ribinės sąlygos. Pradinės ir ribinės sąlygos parenkamos atsižvelgiant į konkrečias fizinė problema.

Tegu, pavyzdžiui, elektronas juda iš kairės į dešinę tam tikru vidutiniu impulsu p 0 . Be to, pradiniu laiku t=0 elektronas yra lokalizuotas tam tikroje erdvės x m -d srityje< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

Tokiu atveju pradinė sąlyga atrodys taip:

. (B.5)

Čia Y 0 (x) yra bangos funkcija pradiniu laiku. Bangos funkcija yra sudėtinga funkcija, todėl grafiškai patogu pavaizduoti ne pačią bangos funkciją, o tikimybių tankį.

Tikimybės tankis rasti elektroną Ši vieta tam tikru laiku bangos funkcija išreiškiama taip:

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybės turi būti normalizuotos iki vieneto. Iš čia gauname bangų funkcijos normalizavimo sąlygą:

. (B.7)

Tikimybių tankio pasiskirstymas pradiniu laiku

, (B.8)

gali būti pavaizduotas grafiškai. 3 pav. parodyta galima elektrono vieta pradiniu laiko momentu.

Elektrono vieta momentu t=0.

Iš šio paveikslo aišku, kad su didžiausia tikimybe elektronas yra taške x m. Laiškas A pažymėsime tikimybių skirstinio amplitudę (didžiausią reikšmę). Šis paveikslas taip pat parodo, kaip nustatomas skirstinio plotis 2d arba pusė pločio d. Jei skirstinys turi eksponentinį arba Gauso pobūdį, tada skirstinio plotis nustatomas lygiu in e kartų mažesnė už maksimalią vertę.

3 pav. parodytas vidutinio elektrono impulso vektorius. Tai reiškia, kad elektronas juda iš dešinės į kairę, o tikimybių pasiskirstymas taip pat judės iš dešinės į kairę. 2 pav. rodo tikimybių pasiskirstymą trimis laiko momentais iš eilės. 2 pav. matyti, kad skirstinio maksimumas x m (t) juda iš kairės į dešinę.

2 pav. galima pastebėti, kad elektrono judėjimą iš dešinės į kairę lydi tikimybių tankio pasiskirstymo deformacija. Amplitudė A(t) mažėja, o pusės plotis d(t) didėja. Visas aukščiau pateiktas elektrono judėjimo detales galima gauti išsprendus Šriodingerio lygtį (B4) su pradine sąlyga (B.5).

Santrauka . Priklausomai nuo fizinės problemos formuluotės, Šriodingerio lygties forma gali keistis. Tiriant tam tikrus fizikinius reiškinius, aprašytus Šriodingerio lygtimi, parenkamos būtinos pradinės ir ribinės sąlygos, kad būtų galima rasti Šriodingerio lygties sprendimą.

Stacionarūs Šriodingerio lygties sprendiniai.

Jeigu elektronas juda pastoviame laiko išoriniame lauke, tai jo potenciali energija nuo laiko nepriklausys. Šiuo atveju vienas iš galimi sprendimaiŠriodingerio lygtis (B.4) yra laiko atskiriamas sprendimas t ir išilgai x koordinatės.

Diferencialinėms lygtims spręsti naudojame matematikoje žinomą techniką. Ieškome (B.4) lygties sprendimo tokia forma:

. (B.9)

Pakeičiame (B.9) į (B.4) lygtį ir gauname tokius ryšius:

. (B.10)

Čia E– konstanta, kuriai kvantinėje mechanikoje suteikiama visuminės elektrono energijos reikšmė. Ryšiai (B.10) yra lygiaverčiai šioms dviem diferencialinėms lygtims:

. (B.11)

Pirmoji sistemos (B.11) lygtis turi tokią bendras sprendimas:

Čia C yra savavališka konstanta. (B.12) pakeičiame išraiška (B.9) ir gauname Šriodingerio lygties (B.4) sprendimą tokia forma:

, (B.13)

kur yra funkcija y(x) tenkina lygtį.

(B.14)

Pastovus C esančios funkcijoje y(x).

Šriodingerio lygties (B.4) sprendinys išraiškos forma (B.13) vadinamas stacionarus Šriodingerio lygties sprendimas. Lygtis (B.14) vadinama stacionarioji Šriodingerio lygtis. Funkcija y(x) vadinamas bangos funkcija, nepriklausomas nuo laiko.

Elektrono būsena, kuri apibūdinama bangine funkcija (B.13), vadinama stacionari būsena. Kvantinė mechanika teigia, kad nejudančioje būsenoje elektronas turi tam tikra energija E.

Gauti rezultatai gali būti apibendrinti pagal Šriodingerio lygtį (B.1) trimačiam elektronų judėjimui. Jei Hamiltono operatorius Ĥ nėra tiesiogiai priklausomas nuo laiko, tada vienas iš galimų Šriodingerio lygties (B.1) sprendinių yra tokios formos stacionarus sprendimas:

, (B.15)

kur banginė funkcija tenkina stacionarią Šriodingerio lygtį.

(B.16)

Atkreipkite dėmesį, kad lygtys (B.14) ir (B.16) kvantinėje mechanikoje taip pat turi šį pavadinimą. Šios lygtys yra lygtys gimtosios funkcijos Ir savąsias reikšmes Hamiltono operatorius. Kitaip tariant, išsprendę (B.16) lygtį randame energijas E(Hamiltono operatoriaus savosios reikšmės) ir atitinkamos bangų funkcijos (Hamiltono operatoriaus savosios funkcijos).

Santrauka . Stacionarūs Šriodingerio lygties sprendiniai yra tam tikra sprendinių klasė iš daugybės kitų Šriodingerio lygties sprendinių. Stacionarūs sprendimai egzistuoja, jei Hamiltono operatorius nėra aiškiai priklausomas nuo laiko. Nejudančioje būsenoje elektronas turi tam tikrą energiją. Rasti galimas vertes energijos, būtina išspręsti stacionarią Šriodingerio lygtį.

Bangų paketas.

Nesunku pastebėti, kad stacionarūs Šriodingerio lygties sprendiniai neaprašo lokalizuoto elektrono judėjimo, kaip parodyta 1 ir 2 pav. Iš tiesų, jei imsime stacionarųjį sprendimą (B.13) ir surasime tikimybių skirstinį, gausime nuo laiko nepriklausomą funkciją.

(B.17)

Tai nenuostabu, kad stacionarus sprendimas (B.13) yra vienas iš galimų dalinės diferencialinės lygties (B.4) sprendinių.

Tačiau įdomu tai, kad dėl Šriodingerio lygties (B.4) tiesiškumo bangos funkcijos atžvilgiu Y(x,t), šios lygties sprendiniams tenkinamas superpozicijos principas. Stacionarių būsenų atveju šis principas nurodo šiuos dalykus. Bet koks tiesinis stacionarių sprendimų derinys (su skirtingos energijos E) Šriodingerio lygties (B.4) taip pat yra Šriodingerio lygties (B.4) sprendinys.

Duoti matematinė išraiška Dėl superpozicijos principo turime pasakyti keletą žodžių apie elektrono energijos spektrą. Jei stacionarios Šriodingerio lygties (B.14) sprendinys turi diskrečiąjį spektrą, tai reiškia, kad lygtį (B.14) galima parašyti taip:

(B.18)

kur indeksas n eina per begalinę reikšmių seriją n=0,1,2,¼. Šiuo atveju Šriodingerio lygties (B.4) sprendinys gali būti pavaizduotas kaip stacionarių sprendinių suma.

(B.19)

Kvantinėje mechanikoje įrodyta, kad savosios funkcijos y n(x) diskretinio spektro gali būti padaryta ortonormalia funkcijų sistema. Tai reiškia, kad jis veikia kita sąlyga normalizavimas.

(B.20)

Čia d n m yra Kronecker simbolis.

y n (x) yra ortonormalus, tada koeficientai C n sumoje (B.19) turi paprastą fizinę reikšmę. Kvadratinis koeficiento modulis C n lygus tikimybei kad banginės funkcijos (B.19) būsenos elektronas turi energijos E n.

Svarbiausias dalykas šiame teiginyje yra tai, kad elektronas, esantis būsenoje su bangine funkcija (B.19), neturi konkrečios energijos. Matuojant energiją, šis elektronas gali turėti bet kokią energiją iš aibės su tikimybe (B.21).

Todėl jie sako, kad elektronas gali turėti vienokią ar kitokią energiją su tikimybe, kuri nustatoma pagal (B.21) formulę.

Bus vadinamas elektronas, kuris yra nejudančioje būsenoje ir turi tam tikrą energiją monochromatinis elektronas. Bus vadinamas elektronas, kuris nėra stacionarios būsenos ir todėl neturi tam tikros energijos ne monochromatinis elektronas.

Jei stacionarios Šriodingerio lygties (B.14) sprendinys turi ištisinį spektrą, tai reiškia, kad (B.14) lygtį galima parašyti taip:

, (B.22)

kur energija E ima vertes tam tikru nuolatiniu intervalu [ E min., E maks.]. Šiuo atveju Šriodingerio lygties (B.4) sprendinys gali būti pavaizduotas kaip stacionarių sprendinių integralas.

(B.23)

Ištisinio spektro savosios funkcijos y Kvantinėje mechanikoje E (x) paprastai normalizuojama į d funkciją:

, (B.24)

D-funkcijos apibrėžimas yra įtrauktas į šiuos integralinius ryšius:

Norint vizualizuoti d funkcijos veikimą, pateikiamas toks šios funkcijos aprašymas:

Taigi, jei funkcijų sistema y E (x) normalizuojama d funkcijai, tada koeficiento modulio kvadratui C(E) integralas (B.23) lygus tankiui tikimybė, kad elektronas, esantis bangos funkcijos būsenoje (B.19), turi energijos E.

Banginė funkcija Y(x,t), pateikiama kaip stacionarių Šriodingerio lygties sprendinių suma (B.19) arba integralas (B.23), vadinama bangų paketas.

Taigi nemonochromatinio elektrono būsena apibūdinama bangų paketu. Galima sakyti ir taip: monochromatinio elektrono būsenos su savo svorio koeficientais prisideda prie nevienspalvio elektrono būsenos.

1 pav. ir 2 pav. Elektronų bangų paketai vaizduojami skirtingu laiku.

Santrauka . Nemonochromatinio elektrono būsena apibūdinama bangų paketu. Ne monochromatinis elektronas neturi specifinės energijos. Bangų paketą galima pavaizduoti kaip stacionarių būsenų, turinčių savo energiją, banginių funkcijų sumą arba integralą. Tikimybę, kad ne monochromatinis elektronas turi vienokią ar kitokią energiją iš šio energijų rinkinio, lemia atitinkamų stacionarių būsenų indėlis į bangų paketą.

Laisvas judėjimas. Bendrasis Šriodingerio lygties sprendimas.

Priklausomai nuo lauko, su kuriuo elektronas sąveikauja, stacionarios Šriodingerio lygties (B.14) sprendimas gali turėti skirtingo tipo. Šioje laboratorijoje tiriamas laisvas judėjimas. Todėl į (B.14) lygtį įtraukiame potencialią energiją lygus nuliui. Kaip rezultatas, mes gauname sekančią lygtį:

, (B.26)

bendrasis šios lygties sprendimas turi tokią formą:

. (B.27)

Čia C 1 ir C 2 yra dvi savavališkos konstantos, k reiškia bangos skaičių.

Dabar, naudodami išraišką (B.23), užrašome bendrąjį laisvojo judėjimo Šriodingerio lygties sprendimą. Funkciją (B.27) pakeičiame integralu (B.23). Tuo pačiu metu mes atsižvelgiame į tai, kad integracijos ribos viršija energiją E laisvam judėjimui parenkami nuo nulio iki begalybės. Dėl to gauname tokią išraišką:

Šiame integrale patogu pereiti nuo integracijos prie energijos Eį integraciją per bangos skaičių k. Darysime prielaidą, kad bangos skaičius gali būti ir teigiamas, ir neigiamos reikšmės. Patogumui pateikiame dažnį w, susijusį su energija E, toks santykis:

Transformuodami integralą (B.28), gauname tokią bangų paketo išraišką:

. (B.30)

Integralas (B.30) pateikia bendrą Šriodingerio lygties (B.4) laisvojo judėjimo sprendimą. Šansai C k) randami iš pradinių sąlygų.

Paimkime pradinę sąlygą (B.5) ir pakeiskime sprendinį (B.30). Dėl to gauname tokią išraišką:

(B.31)

Integralas (B.31) yra ne kas kita, kaip pradinės bangos funkcijos išplėtimas į Furjė integralą. Naudodami atvirkštinę Furjė transformaciją, randame koeficientus C(k).

. (B.32)

Santrauka . Laisvas elektrono judėjimas reiškia judėjimą nesant išorinis laukas begalinėje erdvės srityje. Jei žinoma elektrono banginė funkcija pradiniu laiko momentu Y 0 (x), tai naudojant (B.32) ir (B.30) formules galima rasti bendrą Šriodingerio lygties Y(x,t) sprendimą. ) laisvam elektrono judėjimui.

§ 217. Bendroji Šriodingerio lygtis. Šriodingerio lygtis stacionarioms būsenoms

Statistinė da Broglie bangų interpretacija (žr. § 216) ir Heizenbergo neapibrėžtumo ryšį (žr. § 215) leido daryti išvadą, kad kvantinės mechanikos judėjimo lygtis, apibūdinanti mikrodalelių judėjimą įvairiuose jėgos laukuose, turėtų būti lygtis. iš kurių stebimos dalelių eksperimentinės banginės savybės. Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos lygtis (x, z, t ), y,t kadangi būtent tai, tiksliau, kiekis lemia dalelės buvimo tikimybę laiko momentuapimtimi , dVx y., srityje su koordinatėmis x + Ir . y dx y + Ir . dy + dz . zuz Kadangi reikalaujama lygtis turi atsižvelgti į dalelių bangines savybes, ji turi būti bangos lygtis

, panašiai kaip lygtis, apibūdinanti elektromagnetines bangas.Pagrindinė lygtis nereliatyvistinė kvantinė mechanika

(217.1)

1926 metais suformulavo E. Schrödingeris. Šriodingerio lygtis, kaip ir visos pagrindinės fizikos lygtys (pavyzdžiui, Niutono lygtys klasikinėje mechanikoje ir Maksvelo lygtys elektromagnetiniam laukui), yra ne išvestinė, o postuluojama.Šios lygties teisingumą patvirtina sutapimas su jos pagalba gautų rezultatų patirtimi, o tai savo ruožtu suteikia jai gamtos dėsnio pobūdį. Šriodingerio lygtis turi formą kur, ,

- T- dalelių masė, - Laplaso operatorius įsivaizduojamas vienetas, z , t ) V(x, y, z, t ) - potenciali dalelės funkcija jėgos lauke, kuriame ji juda,

(x, y, - norima dalelės banginė funkcija.

Lygtis (217.1) galioja bet kuriai dalelei (kurios sukimasis lygus 0; žr. § 225), judančioms mažu greičiu (palyginti su šviesos greičiu), t.y. greičiu. Ją papildo bangai nustatytos sąlygos. funkcija: 1) banginė funkcija turi būti baigtinė, vienareikšmė ir tolydi (žr. § 216); 2) dariniai

Norėdami pasiekti Šriodingerio lygtį, apsvarstykite laisvai judančią dalelę, kuri, remiantis de Broglie idėja, yra susijusi su plokštuma. Paprastumo dėlei mes svarstome vienmatį atvejį. Plokštumos bangos, sklindančios išilgai ašies, lygtis X, turi formą (žr. § 154) arba sudėtingu užrašu Todėl plokščia

de Broglie banga turi formą

(217.2)

(atsižvelgiama į tai Kvantinėje mechanikoje eksponentas imamas su minuso ženklu,

bet kadangi jis turi tik fizinę reikšmę, tai (žr. (217.2)) nėra svarbu. Tada

kur

Naudojant ryšį tarp energijosE ir impulsas ir pakeičiantys posakius

(217.3), gauname diferencialinę lygtį

kuri sutampa su (217.1) lygtimi tuo atvejuU =0 (laikėme laisvąja dalele).

Jei dalelė juda jėgos lauke, kuriam būdinga potencinė energijaU , Tai

visos energijosE susideda iš tipiškas faktinė ir potenciali energija. Atliekant panašius

samprotaujant ir naudojant ryšį tarpE dxR (šiam atvejui Sveiki atvykę

° į diferencialinę lygtį, sutampančią su (217.1).

Aukščiau pateiktas samprotavimas neturėtų būti laikomas Schrödingerio lygties išvedimu. Jie tik paaiškina, kaip galima pasiekti šią lygtį.

Šriodingerio lygties teisingumo įrodymas yra išvadų, prie kurių ji veda, sutapimas su patirtimi. Lygtis (217.1) yra bendroji Šriodingerio lygtis. Ji taip pat vadinama nuo laiko priklausoma Schroednäger lygtimi. Daugeliui fizinių reiškinių, vykstančių mikropasaulyje, (217.1) lygtį galima supaprastinti pašalinus priklausomybę nuo laiko, kitaip tariant, rasti Schrödingerio lygtį - stacionarios būsenos būsenos su fiksuotomis energijos vertėmis. Tai įmanoma, jei jėgos laukas, kuriame dalelė juda, yra nejudantis, ty funkcija

nėra tiesiogiai priklausomas nuo laiko ir turi potencialios energijos reikšmę. Šiuo atveju Schrödingerio lygties sprendimas gali būti pavaizduotas kaip dviejų funkcijų sandauga, iš kurių viena yra tik koordinačių funkcija, kita - tik laiko funkcija, o priklausomybė nuo laiko išreiškiama daugikliu.

TaigiE Kur

yra bendra dalelės energija, pastovi stacionariame lauke. Pakeitę (217.4) į (217.1), gauname

iš kur padalijus iš bendrų faktorių ir atitinkamų transformacijų

(217.5)

gauname funkciją apibrėžiančią lygtį E dalelės. Diferencialinių lygčių teorijoje įrodyta, kad tokios lygtys turi be galo daug sprendinių, iš kurių, nustatant ribines sąlygas, atrenkami fizikinę reikšmę turintys sprendiniai. Šriodingerio lygčiai tokios sąlygos yra banginių funkcijų reguliarumo sąlygos: banginės funkcijos turi būti baigtinės, vienareikšmės ir tolydžios kartu su jų pirmosiomis išvestinėmis. E, Taigi tik tie sprendimai, kurie išreiškiami įprastomis funkcijomis, turi realią fizinę reikšmę bet tik tam tikram jų rinkiniui, būdingam duotai užduočiai. Šios energijos vertės vadinamos tinkamomis vertėmis. Sprendimai , kurios atitinka energijos savąsias reikšmes, vadinamos savo funkcijas E . Savosios vertybės

gali susidaryti tiek nuolatinės

nenutrūkstamos ir atskiros serijos. Pirmuoju atveju jie kalba apie ištisinį arba kietąjį spektrą, antruoju - apie atskirą spektrą.

§ 218. Priežastingumo principas ■ kvantinė mechanika Iš neapibrėžtumo ryšio dažnai daroma išvada, kad priežastingumo principas netaikomas reiškiniams, vykstantiems mikrokosmose. Tai pagrįsta toliau nurodytais samprotavimais. Klasikinėje mechanikoje pagal priežastingumo principą - principu Klasikinis determinizmas, pagrįstas žinoma sistemos būsena tam tikru laiko momentu (visiškai nulemta visų sistemos dalelių koordinačių ir momentų reikšmių) ir jam veikiančiomis jėgomis, galima visiškai tiksliai nustatyti jos būklę. bet kuriuo vėlesniu momentu. Vadinasi, klasikinė fizika remiasi tokiu priežastingumo supratimu: būsena

mechaninė sistema

Tačiau priežastingumo principo pažeidimo mikroobjektų atžvilgiu nepastebėta, nes kvantinėje mechanikoje mikroobjekto būsenos samprata įgauna visai kitą reikšmę nei klasikinėje mechanikoje. Kvantinėje mechanikoje mikroobjekto būseną visiškai lemia bangos funkcija (x, Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos lygtis (x,z, t), kurio modulio kvadratas(x, Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos lygtis (x,z, t)\ 2 nurodo dalelės radimo taške su koordinatėmis tikimybės tankį x, y,z.

Savo ruožtu bangos funkcija (x, Valdymo lygtis turi būti banginės funkcijos lygtis (x,z, t) tenkina Šriodingerio lygtį (217.1), kurioje yra pirmoji funkcijos išvestinė laiko atžvilgiu. Tai taip pat reiškia, kad nurodant funkciją (laikui t 0) nustatoma jos reikšmė vėlesniais momentais. Todėl kvantinėje mechanikoje pradinė būsena

Yra priežastis, o būsena vėlesniu momentu yra pasekmė. Tai yra priežastingumo principo kvantinėje mechanikoje forma, ty nurodant funkciją, iš anksto nustatomos jos reikšmės bet kokiems vėlesniems momentams. Taigi mikrodalelių sistemos būsena, apibrėžta kvantinėje mechanikoje, vienareikšmiškai išplaukia iš ankstesnės būsenos, kaip to reikalauja priežastingumo principas.