Paskirstymas pagal greičio modulį. Maksvelo dėsnis dėl molekulių greičio pasiskirstymo

Nikas. Gorkavy

"Kosmoso detektyvai" - nauja knyga rašytojas, fizinių ir matematikos mokslų daktaras Nikolajus Nikolajevičius Gorkavy. Jo personažai skaitytojams pažįstami iš mokslinės fantastikos trilogijos „Astrovitas“ ir mokslo pasakos, publikuotas žurnale 2010-2014 m.; 1, 4-7, 9, 2015 m.; 1, 2, 3 2016 m

Natūralus elementariųjų dalelių ir plazmos greitintuvas: 2012 metų rugpjūčio 31 dieną iš Saulės išmesta medžiaga juda 1,5 tūkst. km/s greičiu.

Verneris Karlas Heisenbergas. 1933 m Nuotrauka: Vokietijos federalinis archyvas/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Miuncheno universitetas, Wernerio Heisenbergo alma mater. Nuotrauka: Diago Delso/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Profesorius Arnoldas Sommerfeldas. 1935 m Nuotrauka: GFHund/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Jaunas profesorius Werneris Heisenbergas. 1927 m Nuotrauka: Wikimedia Commons/PD.

Sudelfeldo miestelis Pietų Bavarija, kur profesorius A. Sommerfeldas su mokiniais išvyko slidinėti. Nuotrauka: LepoRello/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Nielsas Bohras ir Werneris Heisenbergas. Nuotrauka: Fermilab, JAV Energetikos departamentas / Wikimedia Commons / PD.

Gimęs Maksas. Nuotrauka: Wikimedia Commons/PD.

Vokiškas pašto ženklas, vaizduojantis Vernerį Heisenbergą ir jo garsųjį neapibrėžtumo ryšį. Nuotrauka: Wikimedia Commons/PD.

Vakaro kalnai trūkčiojo nuo vėsaus rūko, po žalias, švelniai pasvirusias ganyklas klaidžiojo karvės, skambindamos kaklo varpeliais ir traškėdami šviežią žolę. Pievoje buvo krūvos šieno, sukrauto žiemai. Šviesiaplaukis paauglys gulėjo vienoje šieno kupetoje ir skaitė vokiečių filosofo Immanuelio Kanto knygą. Kažkur tolumoje šaudė ginklai ir sprogo sviediniai, o berniukas skaitė apie žvaigždes, apie pažinimo procesus, mąstė apie būties, moralės ir etikos problemas. Jis nežinojo, kas laukia jo paties, jo šalies ir viso pasaulio. Pirmoji to nežinojo pasaulinis karas greitai baigsis ir kad tai nebus paskutinis; kad ateinančiais dešimtmečiais pasaulis neatpažįstamai pasikeis iš dalies dėl to, kad berniukas, vardu Werneris Heisenbergas, guli pievoje ir skaito Kantą. savo malonumui. Jis buvo ypatingas berniukas, ne toks kaip kiti.

Nuo to ir turėjome pradėti“, – pažymėjo Galatea.

Na, pradėkime nuo šito“, – atsakė princesė Dzintara, o jos vaikai Galatėja ir Andrejus susiruošė pasiklausyti dar vienos vakaro pasakos.

Taigi XX amžiaus pradžioje Vokietijoje gyveno berniukas... Jo tėvas Augustas Heisenbergas užsiėmė ramiausia veikla, kokią tik galima įsivaizduoti: tyrinėjo senovės Bizantijos rankraščius, parašytus senovės graikų kalba. Jis keliavo į Italiją ir Graikiją jų tyrinėti ir dėstė istoriją Miuncheno universiteto studentams. Jis turėjo du sūnus: Erwiną, kuris tapo chemiku, ir Vernerį. Ir turėjo atsitikti taip, kad žmogaus, labiausiai vertinančio klasikines idėjas apie pasaulį, šeimoje išaugo maištininkas, kuris atmetė esamus požiūrius į laiką ir erdvę ir siūlė naujus jų supratimo būdus.

Kaip tai atsitiko? - paklausė Andrejus.

Dar būdamas moksleivis, Werneris, ilgai sirgdamas, perskaitė Hermanno Weylio knygą „Kosmosas. Laikas. Materija“, ir jį sužavėjo galia matematiniai metodai. Nuo tos akimirkos Heisenbergas susidomėjo matematika. Puikios jaunuolio žinios buvo pažymėtos baigiamasis egzaminas gimnazijoje.

Vernerio jaunystė įvyko per audringą revoliucinį Vokietijos istorijos laikotarpį. 1918 metų pavasarį jis kartu su kitais šešiolikmečiais moksleiviais buvo išsiųstas dirbti į ūkį – padėti kariaujančiai Vokietijai. Heisenbergas skyrėsi nuo savo bendraamžių. Vakarais jis skubėdavo išeiti į pensiją ir su entuziazmu skaitydavo filosofiniai darbai Platonas ir Kantas.

Po Pirmojo pasaulinio karo Vokietija išgyveno politinio nestabilumo, socialinių neramumų ir protestų laikotarpį. Werneris dalyvavo jaunimo judėjimo susirinkimuose, kur klausėsi karštų kalbų prieš socialines tradicijas ir prietarai. Tačiau net ir tada pagrindinis jo interesas buvo ne politika ir filosofija, o fizika ir matematika.

1920 m. Heisenbergas įstojo į Miuncheno universitetą, tapo profesoriaus Arnoldo Sommerfeldo studentu ir pasinėrė į teorinės fizikos pasaulį. Po trejų metų jis parengė disertaciją apie teorinę hidrodinamiką, tačiau neatsižvelgė į tai, kad akademinis laipsnis turi išlaikyti egzaminą žodžiu ir eksperimentinė fizika. Werneris negalėjo atsakyti į kruopštaus profesoriaus Wilhelmo Wieno klausimus ir vos nepasisekė. Tik Arnoldo Sommerfeldo užtarimas išgelbėjo kandidatą į disertaciją nuo visiškos nesėkmės.

Gavęs diplomą, Heisenbergas ėmėsi naujo kvantinė fizika. Kartu su Wolfgangu Pauli jis tapo režisieriaus Maxo Borno asistentu Fizikos institutas Getingeno universitetas. Bornas apie Heisenbergą rašė: „Jis atrodė kaip paprastas valstietis, trumpais šviesiais plaukais, ryškiomis gyvomis akimis ir žavinga išraiška. Jis asistento pareigas vykdė rimčiau nei Paulius ir man labai padėjo. Jo nesuvokiamas greitis ir supratimo noras visada leido jam atlikti milžinišką darbą be didelių pastangų.

Heisenbergas taip pat dirbo su Niels Bohr (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 1, 2016, straipsnis). Jie susipažino 1922 metais per vadinamąjį Borovskio festivalį. Heisenbergas kalbėjosi su garsiuoju danu, ir šis pokalbis padarė didelę įtaką jo pažiūroms ir sprendimo požiūriams mokslines problemas. „Optimizmo išmokau iš Sommerfeldo, matematikos iš Getingeno žmonių ir fizikos iš Bohro“, – rašė jis.

1925 m., būdamas 23 metų, Werneris sukūrė naują kvantinę mechaniką, pagrįstą matematinės matricos. Ji buvo nepriklausoma nuo klasikinė fizika ir tapo kvantinės mokslo revoliucijos etapu.

Kas yra matricos?

Matricos vadinamos stačiakampiai stalai numeriai. Heisenbergas pasiūlė, kad bet koks fizinis dydis, kurį galima stebėti eksperimento metu, turi savo matricą. Jis sugebėjo aprašyti kvantinius šuolius Boro atome ir bet kokius kvantinių mechaninių sistemų būklės pokyčius, naudodamas matematines operacijas virš matricų. Po pusantrų metų Heisenbergas išvedė kvantinio neapibrėžtumo santykį, kuris tapo šiuolaikinio mokslo orientyru. Santykis teigė, kad mūsų pasaulis yra iš esmės netikslus: vienu metu negalime tiksliai žinoti kokio nors objekto, pavyzdžiui, elektrono, impulso ir padėties. Jei tiksliai išmatuosime elektrono impulsą, prarasime informaciją apie jo padėtį, o jei tiksliai išmatuosime jo koordinates, prarasime galimybę nustatyti impulsą ar greitį.

Vadinasi, mokslininkai nieko negali tiksliai žinoti? – nustebo Galatėja. – Kad ir kaip stengtųsi, jų matavimuose visada bus klaidų?

Deja, tai tiesa. Elektrono koordinačių neapibrėžtis, padauginta iš jo impulso paklaidos, yra lygi Plancko konstantai (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 7, 2015, straipsnis) – ir šis Heisenbergo neapibrėžtumo santykis puikiai papildė de Broglie koncepciją (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 2, 2016, straipsnis) apie daleles kaip bangas. Jei bandysime pagauti dalelę gudriuose spąstuose, tai yra tiksliai fiksuosime jos vietą, dalelės impulso nustatymo klaida taps be galo didelė.

Informacija liejasi pro pirštus kaip banga“, – šyptelėjo Galatea.

Labai tikėtina, – įsiterpė Andrejus, – kad Galatėja taip pat paklūsta šiam netikrumo santykiui: ji niekada neatsiranda tinkamoje vietoje tinkamu laiku!

Dzintara nusišypsojo žiūrėdama į pasipiktinusią dukrą ir tęsė:

Heizenbergo neapibrėžtumo santykis taip pat interpretuojamas taip: matuoti parametrus kvantinė sistema reikalingas instrumentinis įsikišimas, o ši intervencija taip iškreipia jos ypatybes, kad sistema „pamiršta“ savo pirminę būseną, ir mes netenkame galimybės sužinoti, kokia ji buvo.

Galatėja, apsimesdama, kad nepastebi savo brolio, kreipėsi į mamą:

Mama, sprendžiant iš istorijų, kurias mums papasakojote, teoretikai atranda atradimų būdami labai jauni. Tačiau bėgant metams patirtis ir žinios auga ir atradimų turėtų būti daugiau.

Jau seniai pastebėta, kad vaisingiausias amžius teoriniams atradimams – pirmieji keleri metai po universiteto baigimo, nes svarbu ne tik patirtis, žinios, bet ir gaivus žvilgsnis bei jaunystės drąsa. Senatvėje mokslininkui sunku susitaikyti su tų tiesų, su kuriomis gyveno ilgą laiką, pažeidimas.

Wernerio Heisenbergo sėkmė neliko nepastebėta. Universitetai varžėsi tarpusavyje, norėdami pakviesti jį užimti profesoriaus pareigas. Būdamas 25 metų Werneris tapo teorinės fizikos profesoriumi Leipcigo universitete.

Dabar niekas negalėtų jo kaltinti dėl fizikos neišmanymo! – su pasitenkinimu pažymėjo Galatėja.

Visi, kurie dirbo su juo, prisiminė, kad Heisenbergas buvo demokratiškas ir linksmas žmogus. Pavyzdžiui, po mokslinių studijų jis entuziastingai žaidė stalo tenisą. Biografai – jo mokiniai Neville Mott, laureatas Nobelio premija fizikoje 1977 m., o Rudolfas Peierlsas didžiajam mokslininkui skirtoje knygoje rašė apie Heisenbergo gyvenimo laikotarpį, kai jis kūrė kvantinę mechaniką ir tapo jaunu profesoriumi: „Niekas nebūtų jo pasmerkęs, jei jis būtų pradėjęs imti save. rimtai ir tapti šiek tiek pompastišku žengęs bent du ryžtingus žingsnius, pakeitusius fizikos veidą, ir gavęs tokį jauname amžiuje profesoriaus statusą, kuris privertė daugelį vyresnių ir mažiau reikšmingų žmonių jaučiasi svarbus, bet išliko toks, koks buvo – savo būdo neformalus ir linksmas, beveik berniukiškas ir pasižymintis kuklumu, besiribojančiu su drovumu.

Heisenbergas gavo Nobelio fizikos premiją „už kvantinės mechanikos sukūrimą“, būdamas jaunesnis nei 32 metų. Jis tikrai džiaugėsi, tačiau, būdamas kuklus ir teisingas, išreiškė nuostabą, kad jo kolegos kvantinės mechanikos kūryboje Erwinas Schrödingeris ir Paulas Diracas gavo vieną Nobelio premiją, o Maxas Bornas buvo visiškai aplenktas.

Heisenbergas taip sunkiai dirbo, bet ar jis turėjo merginą ar šeimą? - paklausė Galatėja. – O gal jis studijavo tik mokslus?

Būdamas 35 metų Werneris vedė Elisabeth Schumacher, Berlyno ekonomikos profesoriaus dukrą. Jie ilgai gyveno laimingai ir susilaukė septynių vaikų. Heisenbergo dukterys Anna-Maria ir Verena tapo fiziologėmis, sūnus Martinas – genetiku, o Jochenas pasekė tėvo pėdomis, jis buvo branduolinis fizikas.

Heisenbergas mirė 1976 m. Eugene Wigner, 1963 m. Nobelio fizikos premijos laureatas, tuo metu rašė: „Nėra gyvo fiziko teorinio, kuris būtų labiau prisidėjęs prie mūsų mokslo nei jis. Tuo pačiu metu jis buvo draugiškas visiems, nepasižymėjo arogancija ir buvo maloni kompanija. Ir pirmasis jo mokinys Feliksas Blochas, 1952 m. gavęs Nobelio fizikos premiją, prisiminė: „Jei man reikėtų pasirinkti vieną iš jo puikių mokytojo savybių, tai būtų jo nepaprasta. teigiamas požiūrisį bet kokią pažangą... Vienas iš nuostabiausių Heisenbergo bruožų buvo beveik neklystanti intuicija, kurią jis parodė savo požiūriu į fizinė problema, ir fenomenalus būdas, kuriuo sprendimai atrodė nukritę iš dangaus.

Werneris Carlas Heisenbergas(1901-1976) – vokiečių fizikas teoretikas, vienas kvantinės mechanikos pradininkų. 1932 m. Nobelio fizikos premijos laureatas.

Hermanas Weilas(1885-1955) – vokiečių matematikas ir fizikas teoretikas. Garsiosios knygos „Kosmosas. Laikas. Materija“ – vienas pirmųjų pristatymų bendroji teorija Einšteino reliatyvumo teorija.

Arnoldas Johannesas Wilhelmas Sommerfeldas(1868-1951) – vokiečių fizikas teoretikas ir matematikas. Mokytojas ir mokslinis vadovas Verneris Heisenbergas.

Maksas gimė(1882-1970) – vokiečių ir britų fizikas teoretikas, vienas kvantinės mechanikos kūrėjų. 1954 m. Nobelio fizikos premijos laureatas.

Feliksas Blochas(1905-1983) – Šveicarijos fizikas, Wernerio Heisenbergo mokinys. 1952 m. Nobelio fizikos premijos laureatas.

Nevilis Francis Motas(1905-1996) – anglų fizikas. 1977 m. Nobelio fizikos premijos laureatas, kurį gavo kartu su Philipu Andersonu ir Johnu van Vlecku.

Maxwell paskirstymas

Pusiausvyros būsenoje, sistemoje, susidedančioje iš daugybės dalelių, pavyzdžiui, tam tikrame dujų tūryje, nesant išorinių poveikių, makroskopinių pokyčių nevyksta: sistemos parametrai išlieka pastovūs. Vidutinis molekulių greitis taip pat išlieka pastovus. Atsakymą į klausimą, kiek molekulių arba kokia jų dalis tam tikru momentu juda tam tikru greičiu, teoriškai gavo Maksvelas.

Supažindinkime su koncepcija greičio erdvė. Kiekvienai molekulei jos greičio dedamąsias braižome išilgai trijų viena kitai statmenų ašių (1.3.1 pav.).

Kiekvienas greičio erdvės taškas atitinka vieną tam tikro greičio molekulę. Vektorius greitis eina nuo kilmės iki aptariamo taško.

Panagrinėkime, kaip dujų tūrio vienete esančios molekulės pasiskirstys pagal jų greitį.

Šios molekulės bus pavaizduotos n taškų rinkiniu. Dėl molekulių susidūrimų vieni taškai paliks tūrio elementą, o kiti pateks į jį. Šiuo atveju vidutinis taškų skaičius šis elementas tūris išlaikomas.

Maksvelo dėsnis apibūdinamas kokia nors funkcija f(v), kuri paprastai vadinama molekulių pasiskirstymo pagal greitį funkcija. Funkcija f(v) nustato santykinį molekulių skaičių dN(v)/N, kurių greičiai yra intervale nuo v iki v+dv, ᴛ.ᴇ.

Kur.

Naudodamas tikimybių teorijos metodus, Maxwellas rado šią funkciją:

Iš formulės aišku, kad konkretus tipas funkcija priklauso nuo dujų rūšies (nuo molekulės masės m 0) ir nuo būsenos parametro (temperatūros T).

Funkcijos f(v) grafikas parodytas 1.3.2 pav. Funkcija f(v) prasideda nuo nulio, pasiekia maksimumą ties v in ir tada asimptotiškai linksta į nulį. Kreivė nėra simetriška v in atžvilgiu.

Maksvelo skirstinys yra idealių dujų molekulių greičio pasiskirstymas termodinaminės pusiausvyros būsenoje.

Integruojant Maksvelo skirstinį, galima apskaičiuoti vidutines vertes. Vidutinis kvadratinis greitis (šaknis vidutinis kvadratinis greitis)

Norint rasti molekulių, kurių greičiai yra intervale nuo v 1 iki v 2, skaičių, labai svarbu nustatyti plotą po atitinkama kreivės atkarpa (1.3.2 pav.).

Kylant temperatūrai, Maksvelo kreivės maksimumas pasislenka didesnio greičio link ir kinta kreivės forma. Paskirstymai dviems skirtingos temperatūros parodytos 1.3.3 pav. Kadangi kreivės ribojamas plotas išlieka nepakitęs, todėl, kylant temperatūrai, molekulinio greičio pasiskirstymo kreivė ištįs ir mažės.

1.3.3 pav. T 1< Т.

Vidutinė greičio absoliučios vertės reikšmė (vidutinė greičio vertė lygi nuliui, nes neigiama ir teigiamas vertes komponentai yra lygūs) nustatoma pagal formulę

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, greičiai, apibūdinantys dujų būseną:

1) greičiausiai;

2) vidutinis greitis;

3) vidutinis kvadratas.

Šie greičiai yra susiję su ryšiu

v B: ávñ: áv sq ñ @1:1.13:1.22,

ty didžiausią reikšmę turi vidutinis kvadratinis greitis.

Remiantis jų molekulių pasiskirstymu pagal greitį, pereinant prie naujo kintamojo E = m 0 v 2 /2, galime gauti molekulių pasiskirstymo pagal energiją funkciją.

Tada idealios dujų molekulės vidutinė kinetinė energija yra lygi

Norint apskaičiuoti molekulių skaičių DN, kurių greičiai yra intervale nuo v iki v+Dv, patogu įvesti santykinį greitį u=v/v B, kur v B yra labiausiai tikėtinas greitis. Tada DN yra molekulių skaičius, santykiniai greičiai kurie yra intervale u, u+Du, ᴛ.ᴇ. v/v in, v+Dv/v in, kur turėtų būti Dvv. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, mes turime

kur N – bendras dujų molekulių skaičius, DN/N – santykinis molekulių, kurių greičiai yra u, u+Du, skaičius (dalis). Šios priklausomybės grafikas atitinka 1.3.2 pav., jei u pavaizduotas išilgai abscisių ašies, o reikšmė DN/(NDu) yra pasiskirstymo pagal ordinačių ašį funkcija.

7 pavyzdys. Nustatykite azoto molekulių vidutinį kvadratinį greitį esant 27°C temperatūrai. Kaip vidutinis kvadratinis greitis priklauso nuo molekulinės masės ir temperatūros?

T=300°K, m=28 kg/kmol, k=1,38×10 -23 J/deg.

Sprendimas. Kur;

Taigi

Vidutinis kvadratinis greitis yra tiesiogiai proporcingas temperatūros kvadratinei šaknis ir atvirkščiai proporcingas molekulinės masės kvadratinei šaknims.

Maksvelo skirstinys – samprata ir tipai. Kategorijos „Maxwell Distribution“ klasifikacija ir ypatybės 2017, 2018 m.

• Daugeliu atvejų žinojimas tik apie vidutines reikšmes fiziniai dydžiai neužtenka. Pavyzdžiui, žinant vidutinį žmonių ūgį, negalima planuoti drabužių gamybos įvairių dydžių. Turite žinoti apytikslį žmonių, kurių ūgis yra tam tikrame intervale, skaičių.

  Taip pat svarbu žinoti molekulių, kurių greitis skiriasi nuo vidutinės vertės, skaičių. Maxwellas pirmasis atrado, kaip galima nustatyti šiuos skaičius.

Atsitiktinio įvykio tikimybė

Jau minėjome § 4.1, kad apibūdintume elgesį didelė populiacija molekulės J. Maxwell pristatė tikimybės sąvoką.

Kaip buvo ne kartą pabrėžta, iš esmės neįmanoma atsekti vienos molekulės greičio (arba impulso) pokyčio per vieną molekulę. didelis intervalas laiko. Taip pat neįmanoma tiksliai nustatyti visų dujų molekulių greičių tam tikru metu. Atsižvelgiant į makroskopines sąlygas, kuriomis yra dujos (tam tikras tūris ir temperatūra), tam tikros molekulinių greičių reikšmės nebūtinai išplaukia. Molekulės greitis gali būti laikomas atsitiktiniu dydžiu, kuris tam tikromis makroskopinėmis sąlygomis gali užtrukti skirtingos reikšmės, kaip ir metant kauliukai Galite mesti bet kokį taškų skaičių nuo 1 iki 6 (kauliuko kraštinių skaičius yra šeši). Neįmanoma nuspėti, kiek taškų gausis metant kauliuką. Bet tikimybė, kad iškris, tarkime, penki balai, yra nustatoma.

Kokia yra atsitiktinio įvykio tikimybė? Tegu bus atliktas labai didelis N skaičius testų (N – kauliukų metimų skaičius). Be to, N" atvejais buvo palanki testų baigtis (t. y. penketukas buvo išmestas). Tada šio įvykio tikimybė yra lygi palankios baigties atvejų skaičiaus ir bendro testų skaičiaus santykiui, su sąlyga, kad šis skaičius yra tiek, kiek norima:

Simetriško kauliuko atveju bet kurio pasirinkto taškų skaičiaus nuo 1 iki 6 tikimybė yra .

Tai matome daugelio žmonių fone atsitiktiniai įvykiai atrandamas tam tikras kiekybinis modelis, atsiranda skaičius. Šis skaičius – tikimybė – leidžia apskaičiuoti vidurkius. Taigi, jei išmesite 300 kauliukų, vidutinis penketukų skaičius, kaip matyti iš (4.6.1) formulės, bus lygus 300 = 50, ir visiškai nesvarbu, ar tą patį kauliuką messite 300 kartų, ar 300 identiškų. kauliukus tuo pačiu metu.

Nėra jokių abejonių, kad dujų molekulių elgesys inde yra daug sudėtingesnis nei mesto kauliuko judėjimas. Tačiau net ir čia galima tikėtis rasti tam tikrų kiekybiniai modeliai, leidžiantis apskaičiuoti statistinius vidurkius, jei tik problema iškeliama taip, kaip žaidimų teorijoje, o ne kaip klasikinėje mechanikoje. Būtina atsisakyti neišsprendžiamos problemos, kaip nustatyti tikslią molekulės greičio reikšmę tam tikru momentu, ir pabandyti rasti tikimybę, kad greitis turi tam tikrą reikšmę.

Molekulių pasiskirstymas pagal greitį – Maksvelo pasiskirstymas

Maksvelas manė, kad dujose, esančiose šiluminės pusiausvyros būsenoje, yra tam tikras greičių pasiskirstymas, kuris laikui bėgant nekinta, kitaip tariant, molekulių, kurių greičiai tam tikrame verčių diapazone, skaičius išlieka pastovus. Ir Maxwellas rado šį platinimą.

Tačiau pagrindinis Maksvelo nuopelnas buvo ne tiek šios problemos sprendimas, kiek pati formuluotė nauja problema. Jis aiškiai suprato, kad atsitiktinis atskirų molekulių elgesys tam tikromis makroskopinėmis sąlygomis priklauso nuo tam tikro tikimybinio arba statistinio dėsnio. Šis statistinis dujų molekulių greičio pasiskirstymo dėsnis pasirodė gana paprastas.

Molekulių greičio pasiskirstymas gali būti vizualiai pavaizduotas taip. Rinksim stačiakampė sistema atskaita, kurios ašyse nubraižysime dalelių greičių projekcijas v x , v y , v z. Rezultatas bus trimatė „greičio erdvė“, kurios kiekvienas taškas atitinka molekulę, kurios greitis yra griežtai apibrėžtas v, kurio dydis yra lygus spindulio vektoriaus ilgiui, nubrėžtam nuo atskaitos sistemos pradžios iki šio taško ( 4.7 pav.).

Ryžiai. 4.7

Bendra molekulių greičio pasiskirstymo idėja bus gauta, jei kiekvienos iš N molekulių greitis bus pavaizduotas kaip taškas šioje greičio erdvėje (4.8 pav.). Taškai išsidėstys gana chaotiškai, tačiau vidutiniškai taškų tankis mažės jiems tolstant nuo pradžios (ne visi molekuliniai greičiai pasitaiko vienodai dažnai).

Ryžiai. 4.8

Taškų pasiskirstymo vaizdas, žinoma, nesustingęs. Laikui bėgant dėl ​​susidūrimų kinta molekulių greičiai ir dėl to kinta taškų pasiskirstymo greičio erdvėje modelis. Tačiau jo pokytis toks, kad vidutinis taškų tankis bet kurioje greičio erdvės srityje laikui bėgant nesikeis, išlieka toks pat. Kaip tik tai ir reiškia tam tikro statistinio dėsnio egzistavimas. Vidutinis tankis atitinka labiausiai tikėtiną greičio pasiskirstymą.

Taškų skaičius AN tam tikrame mažame greičio erdvės tūryje Δv x Δv y Δv z akivaizdžiai lygus šiam tūriui, padaugintam iš joje esančių taškų tankio. (Panašiai tam tikro tūrio ΔV masė Δm yra lygi medžiagos ρ tankio sandaugai pagal šį tūrį: Δm = ρΔV.) Pažymėkime Nf(v x , v y , v z) vidutinis tankis taškų greičio erdvėje, t.y. taškų skaičių greičio erdvės tūrio vienete (N – bendras dujų molekulių skaičius). Tada

Tiesą sakant, ΔN yra molekulių, kurių greičio projekcijos yra verčių intervaluose nuo v x iki v x + Δv x, nuo v y iki v y + Δv y ir nuo v z iki v z + Δv z (greičių spindulio vektoriai). šių molekulių baigiasi kubo formos greičio erdvės Δv = Δv x Δv y Δv z viduje tūrio viduje (žr. 4.8 pav.).

Tikimybė, kad molekulės greičio projekcijos yra tam tikrame greičio diapazone, yra lygi molekulių, turinčių tam tikrą greičio reikšmę, skaičiaus ir bendro molekulių skaičiaus santykiui:

Funkcija f(v x, v y, v z) vadinama molekulių greičio pasiskirstymo funkcija ir parodo tikimybės tankį, ty tikimybę greičio erdvės tūrio vienetui.

Molekulių greičiai tam tikru laiko momentu iš esmės gali būti bet kokie. Tačiau skirtingų greičių pasiskirstymo tikimybė nėra vienoda. Tarp visų galimų momentinių skirstinių yra vienas, kurio tikimybė didesnė už visų kitų – labiausiai tikėtinas skirstinys. Maksvelas nustatė, kad pasiskirstymo funkcija f(v x, v y, v z), suteikianti šį labiausiai tikėtiną molekulinių greičių pasiskirstymą (Maksvelo pasiskirstymą), nustatoma pagal molekulės kinetinės energijos santykį.

iki vidutinės jo šiluminio judėjimo energijos kT (k yra Boltzmanno konstanta). Šis paskirstymas turi formą

Čia e ≈ 2,718 yra natūraliųjų logaritmų bazė, o A reikšmė nepriklauso nuo greičio.

Taigi, pagal Maksvelą, taškų, reprezentuojančių molekules greičio erdvėje, tankis yra didžiausias netoli pradžios (v = 0) ir mažėja didėjant v, ir kuo greičiau, tuo mažesnė šiluminio judėjimo energija kT. 4.9 paveiksle parodyta skirstinio funkcijos f priklausomybė nuo projekcijos v x, jei projekcijos v y ir v z yra bet kokios. Pasiskirstymo funkcijai būdinga varpo formos forma, kuri dažnai randama statistinėse teorijose ir vadinama Gauso kreive.

Ryžiai. 4.9

Konstanta A randama iš sąlygos, kad tikimybė, kad molekulės greitis turės bet kokią reikšmę nuo nulio iki begalybės, turi būti lygi vienetui. Ši sąlyga vadinama normalizavimo sąlyga. (Panašiai tikimybė gauti bet kokį taškų skaičių nuo 1 iki 6 už tam tikrą kauliuko metimą yra viena.) Bendra tikimybė gaunamas sudėjus visų galimų atsitiktinio įvykio vienas kitą paneigiančių realizacijų tikimybes.

Susumavus visų tikimybes ΔW i galimas vertes greitis i, gauname lygtį

Pagal (4.6.5) lygtį apskaičiavę normalizavimo konstantą A, galime užrašyti vidutinį dalelių, kurių greitis tam tikrame intervale, skaičiaus išraišką tokia forma:

Bet kurios molekulės greitis tam tikru metu yra atsitiktinis kintamasis. Todėl pats molekulių pasiskirstymas pagal greitį tam tikru metu yra atsitiktinis. Bet vidutinis pasiskirstymas, nustatytas pagal statistinį dėsnį, būtinai realizuojamas tam tikromis makroskopinėmis sąlygomis ir laikui bėgant nekinta. Tačiau visada yra nukrypimų nuo vidurkio – svyravimų. Šie nukrypimai nuo lygia tikimybeįvykti viena ar kita kryptimi. Štai kodėl vidutiniškai yra tam tikras molekulių pasiskirstymas pagal greitį.

Maksvelo molekulių greičio pasiskirstymas galioja ne tik dujoms, bet ir skysčiams bei kietosios medžiagos. Tik tuo atveju, kai neįmanoma pritaikyti dalelių judėjimo apibūdinimui klasikinė mechanika, Maxwell paskirstymas nebegalioja.

Molekulinio greičio modulių pasiskirstymas

Raskime vidutinį skaičių molekulių, kurių absoliutūs greičiai yra intervale nuo v iki v + Δv.

Maksvelo skirstinys (4.6.4) nustato molekulių, kurių greičio projekcijos yra verčių intervaluose nuo v x iki v x + Δv x, nuo v y iki v y + Δv y, nuo v z iki v z + Δv z. Šių greičių vektoriai baigiasi tūrio Δv x Δu y Δv z viduje (žr. 4.8 pav.). Tai nustato vidutinį molekulių, turinčių tam tikrą modulį ir tam tikrą greičių kryptį, skaičių, nurodytą pagal tūrio Δv x Δu y Δv z padėtį greičio erdvėje.

Visos molekulės, kurių greičio moduliai yra intervale nuo v iki ir + Δv, yra greičio erdvėje sferinio spindulio v ir storio Δv sluoksnio viduje (4.10 pav.). Kamuolio tūris lygus produktui sluoksnio paviršiaus plotas jo storiui: 4πv 2 Δv.

Ryžiai. 4.10

Molekulių, esančių šio sluoksnio viduje ir todėl turinčių greičio modulio vertes intervale nuo v iki v + Δv, skaičių galima rasti iš (4.6.2) formulės, jei pakeisime tūrį Δv x Δu y Δv z su tūriu 4πv 2 Δv .

Taigi reikalingas vidutinis molekulių skaičius yra

Kadangi tam tikros molekulės greičio modulio vertės tikimybė yra lygi santykiui, tada tikimybės tankiui gauname

Grafikas, išreiškiantis šios funkcijos priklausomybę nuo greičio, parodytas 4.11 pav. Matome, kad funkcija f(v) nebeturi maksimumo ties nuliu, kaip ir tikimybės tankis f(v x, v y, v z). To priežastis yra tokia. Taškų, reprezentuojančių molekules greičio erdvėje, tankis vis tiek bus didžiausias šalia v = 0, tačiau dėl sferinių sluoksnių tūrio padidėjimo su didėjančiais greičio moduliais (~ v 2), funkcija f(v) didėja. Šiuo atveju taškų skaičius sferinio sluoksnio viduje auga greičiau nei funkcija f(v x, v y, v z) mažėja dėl taškų tankio sumažėjimo.

Ryžiai. 4.11

Ar galite paaiškinti, kas buvo pasakyta? aiškus pavyzdys. Tarkime, gana taiklus šaulys šaudo į įprastą taikinį su koncentriniais apskritimais. Kulkų smūgiai sutelkti aplink taikinio centrą. Pataikymo tankis – smūgių skaičius ploto vienete – bus didžiausias netoli taikinio centro. Padalinkime taikinį į atskiras siauras Δx pločio juosteles (4.12 pav., a). Tada smūgių skaičiaus tam tikroje juostoje ir jos pločio santykis bus didžiausias netoli taikinio centro.

Ryžiai. 4.12

Ryšys tarp pataikymo skaičiaus tam tikroje juostoje ir jos pločio yra toks, kaip parodyta 4.12 pav., b. Čia vėl gaunama Gauso kreivė, kaip ir f(v x) pasiskirstymui greičio projekcijomis (žr. 4.9 pav.).

Tačiau visiškai kitoks rezultatas bus gautas, jei suskaičiuosite smūgių skaičių įvairiuose taikinių žieduose. Šiuo atveju pataikymų skaičiaus žiede, kurio spindulys r, ir jo pločio santykis bus grafiškai apibūdintas 4.12c paveiksle parodyta kreive. Nors pataikymo tankis mažėja didėjant atstumui nuo taikinio centro, žiedų plotai didėja proporcingai r, o tai lemia kreivės maksimumo poslinkį nuo nulio.

Labiausiai tikėtinas molekulių greitis

Žinant (4.6.8) molekulinio greičio modulių tikimybių tankio formulę, galima rasti greičio reikšmę, atitinkančią šio tikimybės tankio maksimumą (1). Greitis (jis vadinamas labiausiai tikėtinu) pasirodo lygus

Daugumos molekulių greičiai artimi labiausiai tikėtiniems (žr. 4.11 pav.).

Didėjant absoliučiai temperatūrai T didėja labiausiai tikėtinas greitis ir tuo pačiu priklausomybės kreivė Do) tampa vis labiau išlyginta (4.13 pav.).

Ryžiai. 4.13

Greitų molekulių vaidmuo

Bet kurioje temperatūroje yra tam tikras skaičius molekulių, kurių greičiai, taigi ir kinetinė energija, yra pastebimai didesni nei vidutiniai.

Yra žinoma, kad daugelis cheminės reakcijos, pavyzdžiui, degimas dažnos rūšys kuro (mediena, anglis ir kt.), pradėti tik nuo tam tikro, pakankamo aukšta temperatūra. Energija, reikalinga kuro oksidacijos, t. y. degimo procesui pradėti (tai vadinama aktyvavimo energija), yra maždaug 10–19 J. O esant 293 K (kambario temperatūrai), vidutinė kinetinė energija terminis molekulių judėjimas yra maždaug 5 10 -21 J Todėl degimas nevyksta. Tačiau temperatūros padidėjimas tik 2 kartus (iki 586 K) sukelia uždegimą. Vidutinė energija molekulių taip pat padidėja 2 kartus, tačiau molekulių, kurių kinetinė energija viršija 10 -19 J, skaičius padidėja 10 8 kartus. Tai išplaukia iš Maxwell paskirstymo. Todėl 293 K temperatūroje jautiesi patogiai skaitydamas knygą, tačiau esant 586 K knyga pradeda degti.

Skysčio išgaravimą taip pat lemia greitos molekulės dešinėje Maksvelo skirstinio „uodegoje“. Vandens molekulių surišimo energija kambario temperatūroje yra žymiai didesnė nei kT. Tačiau išgaravimas vyksta dėl didelis skaičius greitos molekulės, kurių kinetinė energija viršija kT.

Maksvelas atrado naujo tipo fizinis įstatymas- statistinis - ir nustatė molekulių pasiskirstymą pagal greitį. Jis aiškiai suprato savo atradimo reikšmę. Pranešime Kembridžui filosofinė visuomenė Maxwellas sakė: „Aš tuo tikiu labiausiai svarbu plėtoti mūsų mąstymo metodus molekulines teorijas turi, nes jie verčia mus atskirti du pažinimo metodus, kuriuos galime vadinti dinaminiu ir statistiniu.

(1) Tai daroma pagal maksimumo nustatymo taisykles žinoma funkcija. Reikia apskaičiuoti šios funkcijos išvestinę greičio atžvilgiu ir prilyginti nuliui.

Tankio pasiskirstymo funkcija

Maxwell paskirstymas- fizikos ir chemijos tikimybių skirstinys. Juo grindžiama kinetinė dujų teorija, kuri paaiškina daugelį pagrindinės savybės dujos, įskaitant slėgį ir difuziją. Maxwell paskirstymas taip pat taikomas elektroniniai procesai perkėlimas ir kiti reiškiniai. Maksvelo skirstinys taikomas daugeliui atskirų dujų molekulių savybių. Paprastai manoma, kad tai yra molekulių energijos pasiskirstymas dujose, tačiau jis taip pat gali būti taikomas molekulių greičių, momentų ir modulių pasiskirstymui. Jis taip pat gali būti išreikštas kaip diskretiškas paskirstymas per kelis atskirus energijos lygius, arba kaip nuolatinis paskirstymas palei tam tikrą energijos kontinuumą.

Maksvelo skirstinį galima gauti naudojant statistinę mechaniką (žr. skaidymo funkcijos kilmę). Kaip energijos pasiskirstymas, jis atitinka labiausiai tikėtiną energijos pasiskirstymą sistemoje, kurioje dominuoja susidūrimai, kurią sudaro didelis kiekis nesąveikaujančios dalelės, kuriose kvantiniai efektai yra nereikšmingi. Kadangi sąveika tarp molekulių dujose paprastai yra gana maža, Maksvelo skirstinys suteikia gana gerą apytikslę situaciją dujose.

Tačiau daugeliu kitų atvejų elastinių susidūrimų dominavimo prieš visus kitus procesus sąlyga net apytiksliai netenkinama. Tai pasakytina, pavyzdžiui, jonosferos ir kosminės plazmos fizikoje, kur rekombinacijos ir susidūrimo sužadinimo procesai (tai yra spinduliavimo procesai) turi didelę reikšmę, ypač elektronams. Maksvelo skirstinio pritaikymo prielaida šiuo atveju ne tik duotų kiekybiškai neteisingus rezultatus, bet netgi užkirstų kelią teisingas supratimas procesų fizika ties kokybės lygis. Taip pat tuo atveju, kai dujų dalelių kvantinis de Broglie bangos ilgis nėra mažas, lyginant su atstumu tarp dalelių, bus stebimi nukrypimai nuo Maksvelo skirstinio dėl kvantinių efektų.

Maksvelo energijos pasiskirstymas gali būti išreikštas kaip atskiras energijos pasiskirstymas:

kur yra molekulių, turinčių energiją sistemos temperatūroje, skaičius, bendras molekulių skaičius sistemoje ir Boltzmanno konstanta. (Atkreipkite dėmesį, kad kartais aukščiau pateikta lygtis yra parašyta su koeficientu, nurodnčiu degeneracijos laipsnį energijos lygiai. Šiuo atveju suma bus per visas energijas, o ne per visas sistemos būsenas). Kadangi greitis yra susijęs su energija, (1) lygtis gali būti naudojama norint nustatyti ryšį tarp temperatūros ir molekulių greičio dujose. Vardiklis (1) lygtyje yra žinomas kaip kanoninio skaidymo funkcija.

Maxwell paskirstymas

Pasiskirstymas pagal impulsų vektorių

Tai, kas pateikiama toliau, labai skiriasi nuo Jameso Clerko Maxwello pasiūlyto ir vėliau Ludwigo Boltzmanno aprašyto su mažiau prielaidų.

Tuo atveju idealios dujos, susidedantis iš nesąveikaujančių atomų pagrindinėje būsenoje, visa energija yra kinetinės energijos pavidalu. Kinetinė energija yra susijusi su dalelės impulsu taip

kur yra impulso vektoriaus kvadratas.

Todėl galime perrašyti (1) lygtį taip:

kur yra statistinė suma, atitinkanti (1) lygties vardiklį, - molekulinė masė dujos, - termodinaminė temperatūra, ir yra Boltzmanno konstanta. Šis pasiskirstymas yra proporcingas tikimybės tankio funkcijai rasti molekulę tokioje būsenoje, kurioje yra šios impulso komponentų vertės. Taigi:

Normalizavimo konstanta C, nustatomas pagal sąlygą, pagal kurią tikimybė, kad molekulės turi bet koks Apskritai impulsas turėtų būti lygus vienybei. Todėl (4) lygties integralas virš visų reikšmių turėtų būti lygus vienam. Galima parodyti, kad:

Taigi, kad (4) lygties integralo reikšmė būtų 1, būtina, kad

Pakeitę išraišką (6) į (4) lygtį ir pasinaudoję tuo, kad , gauname

Greičio vektorių pasiskirstymas

Atsižvelgiant į tai, kad greičio pasiskirstymo tankis yra proporcingas impulso pasiskirstymo tankiui:

ir naudojant gauname:

kuris yra Maksvelo greičio skirstinys. Tikimybė aptikti dalelę be galo mažame elemente, esančiame šalia greičio, yra

Pasiskirstymas pagal absoliučią impulso vertę

Integruodami galime rasti paskirstymą absoliuti vertė impulsas

Energijos paskirstymas

Galiausiai, naudojant ryšius ir , gauname kinetinės energijos pasiskirstymą:

Prognozuojamas greičio pasiskirstymas

Greičio vektoriaus Maksvelo skirstinys yra pasiskirstymo kiekvienai iš trijų krypčių sandauga:

kur pasiskirstymas viena kryptimi:

Šis skirstinys turi normalaus skirstinio formą. Kaip ir galima tikėtis ramybės būsenoje esančių dujų atveju, vidutinis greitis bet kuria kryptimi yra lygus nuliui.

Paskirstymas pagal greičio modulį

Paprastai pasiskirstymas pagal absoliučią vertę yra įdomesnis, o ne pagal molekulinių greičių projekcijas. greičio modulis, v apibrėžiamas kaip:

todėl greičio modulis visada bus didesnis arba lygus nuliui. Kadangi viskas yra įprastai paskirstyta, tai bus chi kvadrato skirstinys su trimis laisvės laipsniais. Jei yra greičio modulio tikimybės tankio funkcija, tada:

taigi, greičio modulio tikimybės tankio funkcija yra lygi

Būdingas greitis

Nors (11) lygtis pateikia greičio pasiskirstymą arba, kitaip tariant, tam tikrą greitį turinčių molekulių dalį, kiti dydžiai, pavyzdžiui, vidutiniai dalelių greičiai, dažnai yra įdomesni. Tolesniuose poskyriuose mes apibrėžsime ir gausime greičiausiai greitis, vidutinis greitis Ir RMS greitis.

Labiausiai tikėtinas greitis

labiausiai tikėtinas greitis, - tikimybė, kad kurią nors sistemos molekulę turės didžiausia ir kuri atitinka maksimali vertė. Norėdami jį rasti, turite apskaičiuoti , prilyginti nuliui ir išspręsti:

Vidutinis greitis

RMS greitis

Pakeisdami ir integruodami gauname

Maksvelo skirstinio išvedimas

Dabar gaukime paskirstymo formulę, kaip tai padarė pats Jamesas Clerkas Maxwellas.
Panagrinėkime greičio taškų erdvę (kiekvieną molekulę pavaizduojame kaip tašką koordinačių sistemoje) stacionarioje dujų būsenoje. Pasirinkime be galo mažą tūrio elementą. Kadangi dujos yra nejudančios, greičio taškų skaičius laikui bėgant nesikeičia. Greičio erdvė yra izotropinė, todėl tikimybių tankio funkcijos visomis kryptimis yra vienodos.

Maksvelas manė, kad greičių pasiskirstymai kryptimis yra statistiškai nepriklausomi, tai yra, molekulės greičio komponentas nepriklauso nuo komponentų.

Dešinė pusė nepriklauso nuo ir , tai reiškia, kad kairysis nepriklauso nuo ir . Tačiau jie taip pat yra lygūs kairėje pusėje taip pat nepriklauso nuo . Reiškia ši išraiška gali būti lygus tik kokiai nors konstantai.

Dabar reikia žengti esminį žingsnį – įvesti temperatūrą. Kinetinis temperatūros nustatymas (kaip vidutinės molekulinio judėjimo kinetinės energijos matas).

Bet kurių dujų molekulės yra amžiname chaotiškame judėjime. Molekulių greičiai gali įgauti įvairias reikšmes. Molekulės susiduria, o dėl susidūrimų pasikeičia molekulių greičiai. Bet kuriuo laiko momentu kiekvienos atskiros molekulės greitis yra atsitiktinis tiek dydžiu, tiek kryptimi.

Bet, jei dujos paliekamos sau, tai skirtingi šiluminio judėjimo greičiai pasiskirsto tarp tam tikros temperatūros dujų masės molekulių pagal labai specifinį dėsnį, t.y. yra molekulių pasiskirstymas pagal greitį.

Molekulinio greičio pasiskirstymo dėsnį teoriškai išvedė Maksvelas. Išreiškiamas Maksvelo dėsnis tokią formulę:

kur yra molekulių, kurių greičiai yra intervale, skaičius; – bendras tam tikros dujų masės molekulių skaičius; – bazė natūralusis logaritmas; – nurodyta greičio reikšmė iš intervalo ; – labiausiai tikėtinas dujų molekulių greitis tam tikroje temperatūroje.

Greičiausiai greitis vadinamas greitis, kuriam artimas didžiausias tam tikros masės dujų molekulių skaičius. Vertė priklauso nuo dujų temperatūros.

Formulė (10.6) pateikia molekulių, kurių greičiai yra tam tikrame greičio diapazone, skaičių, nepriklausomai nuo greičių krypties.

Jei įdėsite daugiau privatus klausimas, būtent koks yra molekulių skaičius dujose, kurių greičio komponentai yra intervale tarp ir , ir , ir , tada

arba , (10.8)

kur yra dujų molekulės kinetinė energija; – molekulės masė; – Boltzmanno konstanta; – absoliuti temperatūra dujų Formulės (10.7) ir (10.8) taip pat yra Maksvelo paskirstymo formulės. Pasiskirstymo dėsnį (10.6) atitinkanti molekulių greičio pasiskirstymo kreivė parodyta pav. 10.1. Abscisių ašis rodo greičio vertes, kurias gali priimti atskira dujų molekulė.

Kreivės maksimumas atitinka labiausiai tikėtiną greitį. Kreivė yra asimetriška , nes dujose yra palyginti nedaug molekulių, kurių greitis yra labai didelis.

Panagrinėkime kokį nors intervalą , (10.1 pav.). Jei jis mažas, tada užtamsintos juostelės plotas yra artimas stačiakampio plotui:

tie. užtamsintos juostelės plotas reiškia molekulių, kurių greičiai yra intervale , skaičių. O plotas po visa kreive yra proporcingas bendram tam tikros dujų masės molekulių skaičiui.

Raskime, prie kokios vertės kreivė turės maksimumą. Mes randame maksimumą pagal normalios taisyklės matematika, prilyginant pirmąją išvestinę nulio atžvilgiu:

Nuo tada.

Paėmę išvestinę, gauname, kad, t.y. kreivės maksimumas atitinka labiausiai tikėtiną greitį.

Maksvelas teoriškai rado formules, pagal kurias galima apskaičiuoti vidutinį aritmetinį greitį. Išvardinkime greičius, kurie gali apibūdinti dujų molekulių šiluminį judėjimą.

1. Labiausiai tikėtinas greitis. (10,9)

2. Vidutinis kvadratinis greitis:

3. Aritmetinis vidutinis greitis. (10.11)

Visi greičiai yra tiesiogiai proporcingi ir atvirkščiai proporcingi , kur yra dujų molio masė.

Fig. 10.1, I grafikas pavaizduotas temperatūrai, o II grafikas - temperatūrai. Matyti, kad kylant temperatūrai kreivės maksimumas pasislenka į dešinę, nes Kylant temperatūrai, didėja molekulių greitis. Greitų molekulių yra daugiau, dešinė kreivės šaka kyla aukštyn, lėtųjų molekulių mažiau, kairioji šaka tampa statesnė. Ir visa kreivė mažėja, nes plotas po kreive turi išlikti toks pat, nes bendras dujų molekulių skaičius išliko toks pat ir, žinoma, negalėjo keistis kaitinant dujas.

Maksvelo dėsnis yra statistinis dėsnis, t.y. dėsnis, galiojantis labai daugybei molekulių.

Be to, Maksvelo dėsnis neatsižvelgia į išorinį poveikį dujoms, t.y. dujas veikiančių jėgos laukų nėra.

10.4. Idealios dujos išoriniame lauke.
Barometrinė formulė. Boltzmann platinimas

Panagrinėkime vertikalią oro stulpelį Žemės paviršiuje (10.2 pav.). Jei kolonėlės aukštis palyginti mažas (neviršija kelių šimtų metrų), dujų tankis ir molekulių skaičius tūrio vienete (koncentracija) bus maždaug vienodi. Tačiau jei stulpelio aukštis yra apie kilometrą ar daugiau, pažeidžiamas vienodas molekulių pasiskirstymas išilgai aukščio gravitacija, kuri linkusi koncentruoti molekules netoli Žemės paviršiaus. Dėl to oro tankis ir atmosferos slėgis mažės didėjant atstumui nuo Žemės paviršiaus.

Nustatykime slėgio kitimo su aukščiu dėsnį (rasime barometrinę formulę).

Barometrinė formulė parodo, kaip priklauso atmosferos slėgis P iš aukščio h virš Žemės paviršiaus. Tegul slėgis yra aukštyje, esančiame netoli Žemės paviršiaus. Slėgis žinomas. Turime rasti slėgio pokytį su aukščiu.

Darydami darome prielaidą, kad dujų temperatūra išlieka pastovi. Pasirinkime cilindrinę dujų (oro) kolonėlę, kurios skerspjūvis yra virš Žemės paviršiaus. Panagrinėkime be galo mažo storio dujų sluoksnį, esantį aukštyje nuo kolonos pagrindo.

Viršutinį ir apatinį sluoksnio pagrindą veikiančių jėgų skirtumas lygus šiame sluoksnyje esančių dujų svoriui, t.y.

Be galo maža masė dujos sluoksnyje apskaičiuojamos pagal formulę

kur yra dujų sluoksnio tūris.

Tada kur yra dujų tankis; – gravitacijos pagreitis.

Slėgio skirtumas abiejuose sluoksnio pagrinduose:

Taip pat reikia įdėti minuso ženklą

nes minuso ženklas turi fizinę reikšmę. Tai rodo, kad didėjant aukščiui dujų slėgis mažėja. Jei pakilsite į aukštį, dujų slėgis sumažės.

Dujų tankį randame iš Mendelejevo – Klapeirono lygties.

Pakeitę išraišką (10.12), turime

Tai diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

Integruokime:

Gaukime barometrinę formulę

Fig. 10.3 rodo dviejų temperatūros verčių slėgio ir aukščio diagramas T 1 ir T 2 (T 2 > T 1). Keičiantis dujų temperatūrai, slėgiui P 0 Žemės paviršiuje išlieka nepakitęs, nes jis lygus vertikalios dujų kolonėlės, esančios virš žemės paviršiaus, vienetinio pagrindo ploto ir neriboto aukščio, svoriui. Dujų svoris nepriklauso nuo temperatūros.

Iš barometrinės formulės labai lengva gauti Boltzmanno skirstinį tuo atveju, kai išorinis poveikis ant dujų yra gravitacijos jėga.

Dujų slėgis aukštyje yra tiesiogiai proporcingas molekulių skaičiui tūrio vienete šiame aukštyje, yra molekulių koncentracija aukštyje ir , – dujų molekulių koncentracija aukštyje .

Arba. (10.14)

Formulė (10.14) vadinama Boltzmanno skirstiniu molekulėms gravitacijos lauke.

Fig. 10.4 paveiksle parodytos dviejų temperatūros verčių molekulinių koncentracijų ir aukščio diagramos T 1 ir T 2 (T 2 >T 1) gravitacijos srityje. Molekulinė koncentracija n 0 Žemės paviršiuje mažėja didėjant temperatūrai ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) dėl molekulių persiskirstymo dujų kolonėlės viduje. Didesnę kinetinę energiją turinčios molekulės pakyla aukščiau.

Jei , yra potenciali energija molekulės aukštyje , Tada

Formulė (10.15) galioja ne tik tuo atveju, kai molekulės juda gravitaciniame lauke. Ši Boltzmanno skirstinį išreiškianti formulė galioja bet kuriam jėgos laukui su potenciali funkcija :

Perrin patirtis (1870–1942).
Avogadro skaičiaus apibrėžimas

prancūzų fizikas Perrinas naudojo Boltzmann skirstymą, kad eksperimentiškai nustatytų Avogadro skaičių.

Mikroskopas buvo nukreiptas viršutinis sluoksnis emulsijos (10.5 pav.), akimirksniu nufotografavo per mikroskopą ir suskaičiavo Brauno dalelių skaičių nuotraukoje. Po to mikroskopo vamzdis buvo nuleistas 0,01 mm, dar kartą fotografuojama ir suskaičiuotas Brauno dalelių skaičius nuotraukoje. Paaiškėjo, kad indo dugne Brauno dalelių yra daugiau, emulsijos paviršiuje – mažiau, o apskritai Brauno dalelių aukščio pasiskirstymas atitinka Boltzmanno pasiskirstymą. Kadangi dantenų rutuliukai yra skystyje (emulsijoje), jų potenciali energija, atsižvelgiant į Archimedo plūduriuojančią jėgą, gali būti užrašoma, kur m 0 – rutulio masė, m g – rutulio išstumto skysčio tūrio masė. Tada Boltzmann skirstinys gali būti parašytas kaip

Jeigu n 1 ir n 2 – išmatuotos dalelių koncentracijos aukštyje h 1 ir h 2, tada; , A.

Tada galime nustatyti ir .

Dydis

kur ir yra rutuliukų ir emulsijos medžiagos tankiai.

Eksperimentiškai nustatęs Boltzmanno konstantą k Perrinas išvedė Avogadro skaičiaus reikšmę iš priklausomybės. Tiksli vertė:

11 tema
DARBAS, VIDAUS ENERGETIKA IR ŠILUMAS.
PIRMASIS TERMODINAMIKOS DĖSNIS

Termodinamika yra mokslas, tiriantis transformacijos sąlygas įvairių tipų energijos pavertimą šilumine energija ir atvirkščiai, taip pat šiuo atveju pastebėtus kiekybinius ryšius. Termodinamikos dangteliai didelis ratas gamtoje ir technikoje stebimus reiškinius. Ypatinga reikšmė jis skirtas šildymo inžinerijai, nes yra šildymo ir šaldymo mašinų kūrimo pagrindas. Termodinamikoje šis žodis dažnai vartojamas kūno. Termodinamikoje kūną galima vadinti oru, vandeniu, gyvsidabriu, bet kokiomis dujomis, t.y. bet kokia medžiaga, užimanti tam tikrą tūrį.

Termodinaminė sistema gali apimti kelis kūnus, bet gali būti sudaryta iš vieno kūno, labai dažnai šis kūnas yra idealios dujos.

Termodinaminė sistema yra bet koks nagrinėjamų kūnų rinkinys, galintis keistis energija tarpusavyje ir su kitais kūnais. Pavyzdžiui, termodinaminė sistema gali būti idealios dujos.

Termodinaminės sistemos būsena apibūdinama termodinaminiais parametrais. Termodinaminiai parametrai yra sistemos būseną apibūdinantys dydžiai. Termodinaminiai parametrai apima tokius kiekius kaip slėgis, tūris, temperatūra, medžiagos tankis ir kt. Pavyzdžiui, idealios dujų būsenos parametrai yra slėgis P, apimtis V, temperatūra T. Lygtis, siejanti termodinaminės sistemos būsenos parametrus, vadinama būsenos lygtis. Pavyzdžiui, Mendelejevo – Klepeirono lygtis: .

Termodinaminės sistemos būsena vadinama pusiausvyra, jei visi jo parametrai turi tam tikrą reikšmę ir nekinta laikui bėgant pastoviomis išorinėmis sąlygomis.

Jeigu termodinaminė sistema ištrauktas iš pusiausvyros ir paliktas savieigai, jis grįžta į pradinę būseną. Šis procesas vadinamas atsipalaidavimas.

Termodinamikoje tiriami visų galimų sistemos perėjimų iš vienos būsenos į kitą dėsniai. Sistemos perėjimas iš vienos būsenos į kitą,kurį lydi bent vieno būsenos parametro pasikeitimas,vadinamas procesu. Lygtis, nustatanti sistemos parametrų kitimą pereinant iš vienos būsenos į kitą, vadinama proceso lygtimi.

Termodinamika tiria tik termodinamiškai pusiausvyros būsenos kūnai ir lėti procesai, kurie laikomi pusiausvyros būsenomis, nuolat sekantys vienas kitą. Ji mokosi bendrus modelius sistemų perėjimas į termodinaminės pusiausvyros būsenas.

Pusiausvyros procesai– procesai, kuriuose termodinaminių parametrų kitimo greitis yra be galo mažas, t.y. termodinaminių parametrų pokyčiai vyksta be galo ilgą laiką. Tai modelis, nes visi realūs procesai yra nepusiausvyros.

Pusiausvyros procesas yra procesas, kuris vyksta per pusiausvyros būsenų seką.

Nepusiausvyros procesas– procesas, kurio metu per ribotą laiką termodinaminiai parametrai pasikeičia baigtine verte.

Nepusiausvyros procesas negali būti pavaizduotas grafiškai.

Termodinamika naudoja specialų metodą reiškiniams tirti – termodinaminis metodas. Termodinamika žiūri į tai, kaip vyksta procesas.

Termodinamika remiasi dviem pagrindiniais dėsniais, kurie yra didžiulės faktinės medžiagos apibendrinimas. Šie dėsniai davė pradžią visam termodinamikos mokslui ir todėl gavo vardo pradžią.

11.1. Idealių dujų vidinė energija.
Laisvės laipsnių skaičius

Laisvės laipsnių skaičius paskambino mažiausias skaičius nepriklausomos koordinatės, kurias reikia įvesti norint nustatyti kūno padėtį erdvėje. – laisvės laipsnių skaičius.

Pasvarstykime monatominės dujos. Tokių dujų molekulę galima laikyti materialiu tašku (11.1 pav.) erdvėje nulemia trys koordinatės;

Molekulė gali judėti trimis kryptimis (11.2 pav.).

Vadinasi, ji turi tris vertimo laisvės laipsnius.

Molekulė yra materialus taškas.

Energija sukamasis judėjimas, nes materialaus taško inercijos momentas per tašką einančios ašies atžvilgiu lygus nuliui

Monatominės dujų molekulės laisvės laipsnių skaičius yra .

Pasvarstykime dviatominės dujos. Dviatominėje molekulėje kiekvienas atomas laikomas materialiu tašku ir manoma, kad atomai yra tvirtai sujungti vienas su kitu, tai yra hantelio modelis dviatomė molekulė. Tvirtai surišta dviatomė molekulė(dviejų materialių taškų, sujungtų nedeformuojančia jungtimi, rinkinys), pav. 11.3.

Molekulės masės centro padėtis nurodoma trimis koordinatėmis, (11.4 pav.) tai trys laisvės laipsniai, jos lemia judėjimas į priekį molekules. Tačiau molekulė taip pat gali atlikti sukimosi judesius aplink ašis ir tai yra dar du laisvės laipsniai, kurie lemia molekulių sukimasis. Molekulės sukimasis aplink ašį neįmanomas, nes materialūs taškai negali suktis aplink ašį, einantį per šiuos taškus.

Dviatominės dujų molekulės laisvės laipsnių skaičius yra .

Pasvarstykime triatominės dujos. Molekulės modelis – trys atomai (medžiagos taškai), standžiai sujungti vienas su kitu (11.5 pav.).

Triatominė molekulė yra glaudžiai surišta molekulė.

Triatominei dujų molekulei laisvės laipsnių skaičius yra .

Poliatominės molekulės laisvės laipsnių skaičius yra .

Realioms molekulėms, neturinčioms standžių ryšių tarp atomų, taip pat būtina atsižvelgti į vibracinio judėjimo laisvės laipsnius, tada realios molekulės laisvės laipsnių skaičius yra lygus

i= i bus taikomas + i pasukti + i svyravimas (11.1)

Teisė vienodas paskirstymas energijos
pagal laisvės laipsnius (Boltzmanno dėsnis)

Tolygaus energijos pasiskirstymo laisvės laipsniams įstatymas teigia, kad jei dalelių sistema yra termodinaminės pusiausvyros būsenoje, tai vidutinė kinetinė molekulių chaotiško judėjimo energija 1 laisvės laipsniui transliacinis ir rotacinis judėjimas yra lygus

Todėl laisvės laipsnius turinti molekulė turi energiją

yra apgamų skaičius, kur yra molio masė ir vidinė energija dujos išreiškiamos formule

Idealių dujų vidinė energija priklauso tik nuo dujų temperatūros. Idealių dujų vidinės energijos pokytis yra nulemtas temperatūros pokyčio ir nepriklauso nuo proceso, kuriame šis pokytis įvyko.

Idealiųjų dujų vidinės energijos pokytis

kur temperatūros pokytis.

Taikomas vienodo energijos pasiskirstymo dėsnis svyruojantis judesys atomai molekulėje. Vibracinis laisvės laipsnis sudaro ne tik kinetinę energiją, bet ir potencialią energiją, o vidutinė kinetinės energijos vertė vienam laipsniui yra lygi vidutinei vertei potenciali energija, vienam laisvės laipsniui ir yra lygus

Todėl, jei molekulė turi keletą laisvės laipsnių
i= i bus taikomas + i pasukti + i svyravimai, tada vidutinė bendra molekulės energija: , ir dujų masės vidinė energija:

11.2. Elementarus darbas. Idealus darbas dujomis
izoprocesų metu

Jeigu išorinės jėgos dirbti su sistema, tada darbas yra neigiamas.

Apsvarstykite idealias dujas, esančias po stūmokliu cilindre (11.6 pav.). Dujos plečiasi ir stūmoklis pakyla iki be galo mažo aukščio. Jėga, veikianti iš dujų stūmoklį, randama pagal formulę

V P ( V) ir tiesių linijų, einančių per atkarpos galus lygiagrečiai ordinačių ašiai.