Арифметик прогресс. Арифметик ба геометрийн прогрессууд

Даалгаврууд арифметик прогрессэрт дээр үед аль хэдийн байсан. Тэд практик хэрэгцээтэй тул гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр Эртний Египетбайх математикийн агуулга, - Райндын папирус (МЭӨ 19-р зуун) - дараах даалгаварыг агуулна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, хэрэв тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэг байх ёстой."

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрийн Hypsicles (2-р зуунд маш их хэмжээний). сонирхолтой даалгаварАрван дөрөв дэх номыг Евклидийн элементүүдэд нэмсэн тэрээр дараахь бодлыг томъёолжээ: "Арифметик прогрессийн хувьд. тэгш тоо 2-р хагасын нөхцлийн нийлбэр нь 1-р хагасын нөхцлүүдийн нийлбэрээс гишүүний тооноос 1/2-ын квадратаар их байна."

Дараалал нь ангаар тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Үүгээр бид өмнөх гишүүн (n)-ийг ижил тооны d-тэй нэмснээр олж авсан нэгийг хэлж байгаа бөгөөд энэ нь прогрессийн зөрүү юм.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 байвал энэ дэвшилт нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг л авч үзвэл төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш их их хэмжээгээргишүүд аль хэдийн төгсгөлгүй дэвшил.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь дараахь шинж чанартай арифметик прогресс юм.

1. Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
2. Эсрэгээр: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм, өөрөөр хэлбэл. хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь ахиц дэвшлийн шинж тэмдэг бөгөөд иймээс үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг онцлог шинж чанардэвшил.
   Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль нэг гишүүний хувьд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг ашиглан олж болно дараах томъёо:

Жишээ нь: Арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гуравтай тэнцүү, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцүү байна. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р улиралмэдэгдэж байгаа тохиолдолд түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр (1-р n гишүүнийг илэрхийлнэ хязгаарлагдмал прогресс) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь асуудлын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометр прогресс байдаг.

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод баримт нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд цуврал хоорондын ялгаа байнгын тооаль хэдийн тавтай тэнцэж байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ямар ч үндэс байхгүй. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсэнд ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За яахав: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшил нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна. ижил тоо: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар бүгдээрээ гурван тохиолдолялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага эсвэл бага хэмжээгээр олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх тоог) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, асуудлын номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Ингээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-ийг орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулснаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт бид итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Ингээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, түүний эхний гишүүн сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдахаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тэгэхээр, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл ямар натурал тоо $n$ хүртэл) үлдэхийг олж мэдье.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрөнд зарим тайлбар шаардлагатай. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байдаг (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой.

Нэмж дурдахад бид тав дахь гишүүнийг эхний болон ялгаагаар илэрхийлэхийг хичээх болно стандарт томъёо:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид аналогиар үргэлжлүүлнэ өмнөх даалгавар. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл энэ тэгш бус байдлын тухай- 56 дугаар.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгавар дээр бүх зүйл бүтсэн хатуу тэгш бус байдал, тэгэхээр $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөх арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр яах вэ? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тэй тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнчлэн: бид $((a)_(n))$ цэгээсээ зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхамаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Хараад үзээрэй:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Учир нь заасан тоонуудПрогрессийн гишүүд бол тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: төв элемент$x+1$-ийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө шийдэж байна хамгийн сүүлийн үеийн даалгавар, бид өөр нэгэнтэй таарлаа сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо байвал хоёр дахь нь дунд байна эхлээд арифметикэцэст нь эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь бидэнд шууд утгаараа "дизайн" хийх боломжийг олгоно. шаардлагатай дэвшил, асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

-руу буцаж орцгооё тооны тэнхлэг. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд магадгүй. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх прогрессийн хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс алхам алхаж эхлэх юм бол. эсрэг талууд(бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээрээ холдох), дараа нь Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшинбидний дээр дурьдсанаас илүү хүндрэлүүд. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би үүнийг гаргаж авсан нийтлэг үржүүлэгчХоёр дахь хаалтаас 11. Тиймээс шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: хамгийн бага утгаэнэ парабола абсциссатай орой дээрээ $((d)_(0))$-г авдаг. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийг ашиглан тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо−66 ба −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь анхны дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний болон сүүлчийн тоог аль хэдийн мэддэг таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)(6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол одоогоорБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байгаа бол 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү төвөгтэй асуудал. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Иймд бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарах бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42 дугаарын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байв: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй холбоотой үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус хамт олон 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэжээ. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 4-өөр илүү ном хавсаргав. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүх зүйл адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн чухал, маш чухал зүйлийг судлах дараагийн хичээл рүү аюулгүй шилжиж болно. ашигтай үр дагавартүүнээс.

Арифметик прогрессийн нийлбэр.

Арифметик прогрессийн нийлбэр нь энгийн зүйл юм. Утгын хувьд ч, томъёоны хувьд ч. Гэхдээ энэ сэдвээр бүх төрлийн даалгавар байдаг. Үндсэнээс нэлээд хатуу хүртэл.

Эхлээд дүнгийн утга, томьёог ойлгоцгооё. Тэгээд бид шийднэ. Өөрийнхөө таашаалд зориулж.) Хэмжээний утга нь моо шиг энгийн. Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд түүний бүх гишүүнийг анхааралтай нэмэх хэрэгтэй. Хэрэв эдгээр нэр томъёо цөөн байвал та ямар ч томьёогүйгээр нэмж болно. Гэхдээ их, эсвэл их байвал ... нэмэх нь ядаргаатай.) Энэ тохиолдолд томъёо нь аврах ажилд ирдэг.

Хэмжээний томъёо нь энгийн:

Томъёонд ямар үсэг орсон болохыг олж мэдье. Энэ нь маш их зүйлийг тодруулах болно.

S n - арифметик прогрессийн нийлбэр. Нэмэлт үр дүн хүн бүргишүүд, хамт эхлээд By сүүлчийн.Энэ бол чухал. Тэд яг нийлдэг Бүгдгишүүд дараалан, алгасах, алгасахгүйгээр. Тэгээд яг тэрнээс эхлэн эхлээд.Гурав, найм дахь гишүүний нийлбэр, таваас хорь хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох зэрэг асуудалд - шууд програмтомъёонууд урам хугарах болно.)

a 1 - эхлээддэвшлийн гишүүн. Энд бүх зүйл ойлгомжтой, энгийн эхлээдэгнээний дугаар.

a n- сүүлчийндэвшлийн гишүүн. Сүүлийн дугаарэгнээ. Нэг их танил нэр биш, гэхдээ үнийн дүнгийн хувьд энэ нь маш тохиромжтой. Дараа нь та өөрөө харах болно.

n - сүүлчийн гишүүний дугаар. Томъёонд энэ тоог ойлгох нь чухал юм нэмэгдсэн нэр томъёоны тоотой давхцаж байна.

Үзэл баримтлалыг тодорхойлъё сүүлчийнгишүүн a n. Хэцүү асуулт: аль гишүүн байх вэ сүүлчийнх ньөгсөн бол эцэс төгсгөлгүйарифметик прогресс?)

Итгэлтэй хариулахын тулд та арифметик прогрессийн үндсэн утгыг ойлгох хэрэгтэй бөгөөд... даалгаврыг анхааралтай уншина уу!)

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг олох даалгаварт сүүлийн гишүүн үргэлж гарч ирдэг (шууд эсвэл шууд бус), хязгаарлах ёстой.Үгүй бол эцсийн, тодорхой хэмжээ зүгээр л байхгүй.Шийдлийн хувьд прогресс өгөгдсөн эсэх нь хамаагүй: төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй. Хэрхэн өгөгдсөн нь хамаагүй: цуврал тоо эсвэл n-р гишүүний томъёо.

Хамгийн гол нь томьёо нь прогрессийн эхний гишүүнээс тоотой нэр томъёо хүртэл ажилладаг гэдгийг ойлгох явдал юм n.Үнэндээ томъёоны бүтэн нэр дараах байдалтай байна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр.Эдгээр хамгийн анхны гишүүдийн тоо, i.e. n, зөвхөн даалгавараар тодорхойлогддог. Даалгаврын хувьд энэ бүх үнэ цэнэтэй мэдээллийг ихэвчлэн шифрлэдэг, тийм ээ ... Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, доорх жишээн дээр бид эдгээр нууцыг илчилдэг.)

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн даалгаврын жишээ.

Юуны өмнө, хэрэгтэй мэдээлэл:

Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой даалгаврын гол бэрхшээл нь зөв тодорхойлолттомъёоны элементүүд.

Даалгаврын зохиогчид эдгээр элементүүдийг хязгааргүй төсөөллийн тусламжтайгаар шифрлэдэг.) Энд гол зүйл бол айх хэрэггүй. Элементүүдийн мөн чанарыг ойлгохын тулд тэдгээрийг зүгээр л тайлахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье. Жинхэнэ ТЕГ дээр үндэслэсэн даалгавараас эхэлье.

1. Арифметик прогрессийг a n = 2n-3.5 нөхцөлөөр тодорхойлно. Түүний эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.

Сайн ажил. Хялбар.) Томьёог ашиглан хэмжээг тодорхойлохын тулд бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Анхны гишүүн a 1, сүүлийн улирал a n, тиймээ сүүлчийн гишүүний дугаар n.

Сүүлийн гишүүний дугаарыг хаанаас авах вэ? n? Тийм ээ, яг тэнд, нөхцөлтэйгээр! Энэ нь: нийлбэрийг ол эхний 10 гишүүн.За, ямар дугаартай байх вэ? сүүлчийн,арав дахь гишүүн үү?) Та үүнд итгэхгүй байна, түүний тоо арав дахь!) Тиймийн тул, оронд нь a nБид томъёонд орлуулах болно а 10, оронд нь n- арав. Дахин хэлье, сүүлийн гишүүний тоо гишүүдийн тоотой давхцаж байна.

Үүнийг тодорхойлоход л үлдлээ a 1Тэгээд а 10. Үүнийг асуудлын тайлбарт өгөгдсөн n-р гишүүний томъёогоор хялбархан тооцдог. Үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байна уу? Өмнөх хичээлд суу, үүнгүйгээр арга байхгүй.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

а 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёоны бүх элементүүдийн утгыг олж мэдсэн. Үлдсэн зүйл бол тэдгээрийг орлуулж, тоолох явдал юм:

Ингээд л болоо. Хариулт: 75.

ТЕГ-т суурилсан өөр нэг даалгавар. Бага зэрэг төвөгтэй:

2. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн бөгөөд ялгаа нь 3.7; a 1 =2.3. Түүний эхний 15 гишүүний нийлбэрийг ол.

Бид нэн даруй нийлбэрийн томъёог бичнэ.

Энэ томъёо нь ямар ч нэр томъёоны утгыг тоогоор нь олох боломжийг олгодог. Бид энгийн орлуулалтыг хайж байна:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёонд бүх элементүүдийг орлуулж, хариултыг тооцоолоход л үлддэг.

Хариулт: 423.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв оронд нь нийлбэрийн томъёонд a nБид зүгээр л n-р гишүүний томъёог орлуулаад дараахийг авна.

Ижил төстэйг нь авчиръя, бид авдаг шинэ томъёоАрифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр:

Таны харж байгаагаар энд n-р гишүүн байх шаардлагагүй a n. Зарим асуудалд энэ томъёо маш их тусалдаг, тиймээ ... Та энэ томъёог санаж болно. Энэ нь боломжтой юу зөв мөчэнд шиг харуулахад хялбар. Эцсийн эцэст та нийлбэрийн томъёо болон n-р гишүүний томъёог үргэлж санаж байх хэрэгтэй.)

Одоо богино шифрлэлтийн хэлбэрээр даалгавар):

3. Бүх эерэг зүйлийн нийлбэрийг ол хоёр оронтой тоо, гурвын үржвэр.

Хөөх! Чиний анхны гишүүн ч биш, сүүлчийнх ч биш, ахиц дэвшил ч биш... Яаж амьдрах вэ!?

Та толгойгоо бодож, нөхцөлөөс арифметик прогрессийн нийлбэрийн бүх элементүүдийг гаргаж авах хэрэгтэй болно. Хоёр оронтой тоо гэж юу байдгийг бид мэднэ. Тэд хоёр тооноос бүрдэнэ.) Ямар хоёр оронтой тоо байх вэ эхлээд? 10, магадгүй.) А сүүлчийнхоёр оронтой тоо? 99, мэдээжийн хэрэг! Гурван оронтой тоонууд түүнийг дагана...

Гуравын үржвэр... Хм... Эдгээр нь гуравт хуваагддаг тоонууд, энд! Арав нь гуравт хуваагддаггүй, 11 нь хуваагддаггүй... 12... хуваагддаг! Тэгэхээр ямар нэгэн зүйл гарч ирж байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу та аль хэдийн цуврал бичиж болно.

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Энэ цуврал арифметик прогресс байх уу? Мэдээжийн хэрэг! Нэр томьёо бүр өмнөхөөсөө 3-аар ялгаатай байна. Хэрэв та нэр томъёонд 2 эсвэл 4-ийг нэмбэл үр дүн, i.e. шинэ тоо 3-т хуваагдахаа больсон. Та арифметик прогрессийн зөрүүг шууд тодорхойлж болно: d = 3.Энэ нь хэрэг болно!)

Тиймээс бид зарим дэвшилтийн параметрүүдийг аюулгүйгээр бичиж болно:

Тоо хэд байх вэ? nсүүлчийн гишүүн? 99 гэж бодсон хүн үхмээр эндүүрч байна... Тоонууд дандаа дараалан гардаг ч манай гишүүд гурваас дээш үсэрдэг. Тэд таарахгүй байна.

Энд хоёр шийдэл байна. Нэг арга зам бол хэт хөдөлмөрч хүмүүс юм. Та дэвшилт, бүхэл бүтэн цувралыг бичиж, гишүүдийн тоог хуруугаараа тоолж болно.) Хоёр дахь арга нь бодолтой хүмүүст зориулагдсан юм. Та n-р гишүүний томъёог санах хэрэгтэй. Хэрэв бид томьёог бодлогодоо хэрэглэвэл 99 нь прогрессийн гуч дахь гишүүн болохыг олж мэднэ. Тэдгээр. n = 30.

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.

Бид харж, баярлаж байна.) Бид асуудлын мэдэгдлээс дүнг тооцоход шаардлагатай бүх зүйлийг гаргаж авсан.

a 1= 12.

нь 30= 99.

S n = S 30.

Үлдсэн зүйл бол энгийн арифметик юм. Бид тоонуудыг томъёонд орлуулж, тооцоолно:

Хариулт: 1665

Өөр нэг алдартай оньсого:

4. Арифметик прогресс өгөгдсөн:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Хорь-оос гучин дөрөв хүртэлх гишүүний нийлбэрийг ол.

Бид дүнгийн томъёог хараад... бид бухимдаж байна.) Томъёо, танд сануулъя, дүнг тооцдог. эхний үеэсгишүүн. Мөн асуудалд та нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй хорьдугаар оноос хойш ...Томъёо ажиллахгүй.

Мэдээжийн хэрэг та бүх явцыг цувралаар бичиж, 20-оос 34 хүртэлх нөхцөлийг нэмж болно. Гэхдээ ... энэ нь ямар нэгэн байдлаар тэнэг бөгөөд удаан хугацаа шаарддаг, тийм үү?)

Илүү олон бий гоёмсог шийдэл. Цувралуудаа хоёр хэсэгт хуваая. Эхний хэсэг нь байх болно эхний үеэс арван есдүгээр улирал хүртэл.Хоёр дахь хэсэг - хорин гучин дөрөв хүртэл.Хэрэв бид эхний хэсгийн нөхцлийн нийлбэрийг тооцвол тодорхой байна S 1-19, хоёрдугаар хэсгийн нөхцлийн нийлбэрээр нэмье S 20-34, бид эхний гишүүнээс гучин дөрөв дэх үе хүртэлх прогрессийн нийлбэрийг авна S 1-34. Үүнтэй адил:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Үүнээс бид нийлбэрийг олохыг харж болно S 20-34энгийн хасах замаар хийж болно

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Баруун талд байгаа хоёр дүнг хоёуланг нь харгалзан үзнэ эхний үеэсгишүүн, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн стандарт томъёо нь тэдэнд маш тохиромжтой. Эхэлцгээе?

Бид асуудлын мэдэгдлээс явцын параметрүүдийг гаргаж авдаг:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Эхний 19 ба эхний 34 гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд бидэнд 19 ба 34 дэх гишүүн байх шаардлагатай. Бид тэдгээрийг 2-р асуудлын адил n-р гишүүний томъёогоор тооцоолно.

а 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

а 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Юу ч үлдсэнгүй. 34 гишүүний нийлбэрээс 19 гишүүний нийлбэрийг хасна.

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Хариулт: 262.5

Нэг чухал тэмдэглэл! Энэ асуудлыг шийдэхэд маш хэрэгтэй заль мэх бий. Шууд тооцоолохын оронд танд хэрэгтэй зүйл (S 20-34),бид тоолсон шаардлагагүй мэт санагдах зүйл - S 1-19.Тэгээд тэд шийдсэн S 20-34, бүрэн үр дүнгээс шаардлагагүй зүйлийг хаях. Иймэрхүү "чихээрээ хуурах" нь таныг муу асуудлаас авардаг.)

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн нийлбэрийн утгыг ойлгоход хангалттай асуудлуудыг авч үзсэн. За, та хэд хэдэн томъёог мэдэх хэрэгтэй.)

Практик зөвлөгөө:

Арифметик прогрессийн нийлбэртэй холбоотой аливаа асуудлыг шийдэхдээ би энэ сэдвийн үндсэн хоёр томьёог нэн даруй бичихийг зөвлөж байна.

n-р гишүүний томъёо:

Эдгээр томьёо нь асуудлыг шийдэхийн тулд юуг хайх, ямар чиглэлд бодохыг шууд хэлэх болно. Туслана.

Одоо бие даасан шийдвэрлэх ажлууд.

5. Гуравт хуваагддаггүй бүх хоёр оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.

Гайхалтай юу?) 4-р асуудлын тэмдэглэлд зөвлөгөө нуугдаж байна. За 3-р асуудал тус болно.

6. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Түүний эхний 24 гишүүний нийлбэрийг ол.

Ер бусын уу?) Энэ бол давтагдах томъёо юм. Та энэ тухай өмнөх хичээлээс уншиж болно. Холбоосыг үл тоомсорлож болохгүй, ийм асуудал Улсын Шинжлэх Ухааны Академид ихэвчлэн гардаг.

7. Вася баярт зориулж мөнгө цуглуулсан. 4550 рубль хүртэл! Тэгээд би дуртай хүндээ (өөртөө) хэдэн өдрийн аз жаргал өгөхөөр шийдсэн). Өөрийгөө юуг ч үгүйсгэлгүй сайхан амьдар. Эхний өдөр 500 рубль зарцуулж, дараагийн өдөр бүр өмнөхөөсөө 50 рубль илүү зарцуулаарай! Мөнгө дуусах хүртэл. Вася хэдэн өдөр аз жаргалтай байсан бэ?

Хэцүү үү?) 2-р асуудлын нэмэлт томъёо нь туслах болно.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7, 3240, 6.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Эсвэл арифметик гэдэг нь шинж чанарыг нь судалдаг эрэмбэлэгдсэн тоон дарааллын нэг төрөл юм. сургуулийн курсалгебр. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ ямар дэвшил вэ?

Асуултанд шилжихээсээ өмнө (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) бидний юу ярьж байгааг ойлгох нь зүйтэй.

Өмнөх тоо бүрээс тодорхой утгыг нэмж (хасаж) олж авсан бодит тоонуудын аливаа дарааллыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Энэхүү тодорхойлолтыг математик хэл рүү орчуулбал дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i мөрийн элементийн серийн дугаар юм. Тиймээс, зөвхөн нэг эхлэлийн дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Харгалзан үзэж буй тоонуудын хувьд дараахь тэгш байдлыг хангаж байгааг хялбархан харуулж болно.

a n = a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 удаа нэмэх хэрэгтэй.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн зүйлийг авч үзэх нь зүйтэй онцгой тохиолдол. Явцыг нь өгөв натурал тоонууд 1-ээс 10 хүртэл та тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресст (10) нэр томъёо цөөхөн байдаг тул асуудлыг толгой дараалан шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Нэг зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй сонирхолтой зүйл: гишүүн бүр дараагийнхаас ижил утгаараа d = 1 ялгаатай тул эхнийх нь арав, хоёр дахь нь ес, гэх мэтийг хосоор нь нийлбэрлэвэл ижил үр дүн гарна. Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрнэ.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй гэдгийг харуулж байна, энэ нь эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай юм нийт тоо n нэр томъёо.

Гаусс өгөгдсөн асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын талаар хамгийн түрүүнд бодсон гэж үздэг. сургуулийн багшдаалгавар: эхний 100 бүхэл тоог нийлбэр.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүд) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ асуудалд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тооны нийлбэр хийх шаардлагатай байдаг. Үүнийг яаж хийх вэ?

Энэ асуултанд хариулах хамгийн хялбар арга бол эргэцүүлэн бодох явдал юм дараагийн жишээ: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай байг. Асуудлыг шийдэхийн тулд m-ээс n хүртэлх өгөгдсөн сегментийг шинэ болгон төлөөлөх хэрэгтэй тооны цуврал. Үүнд m-р төлөөлөл a m нэр томъёо нь эхнийх байх ба a n нь n-(m-1) гэж дугаарлагдана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доор өгөв тооны дараалал, та 5-аас эхлээд 12-оор төгссөн нөхцлүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн зөрүү 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүний утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Өгөгдсөн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх алгебрийн прогресс, мөн тэд эгнээнд ямар тоо эзэлж байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан дүнгийн томъёог ашиглаж болно. Энэ нь гарах болно:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Энэ утгыг өөрөөр авч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд стандарт томьёо ашиглан эхний 12 элементийн нийлбэрийг олоод, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.

Гэсэн хэдий ч \(d\) бас байж болно сөрөг тоо. Жишээ нь, арифметик прогрессоор \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дуудна гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд, дээр дурдсан мэдээлэл нь бараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад) шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогресс өгөгдсөн дараах нөхцөлүүд: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тооны гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог нэмснээр олж авдаг. явцын ялгаа).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгойгоор" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид дөрөв \(385\) удаа нэмэх үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Та тоолохоос залхах болно ...

Тиймээс ийм тохиолдолд тэд асуудлыг "толгойгоор нь" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба \(n\) эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон явцын зөрүүг мэдэхийн тулд гурван зуу, сая дахь элементийг ч хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) - сүүлчийн нийлбэр гишүүн;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) – эхний элементүүдийн шаардлагатай \(n\) нийлбэр;
\(a_1\) – эхний нийлбэр гишүүн;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) – нийт элементийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо чамд бүх зүйл байна шаардлагатай мэдээлэлбараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элемент хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.