Яагаад жинхэнэ багц байдаг вэ? "Бодит тооны багц" хичээл

Бодит тоонуудын олонлог нь рационал тоонуудын иррационал тоонуудын нэмэлтүүдийн цуглуулга юм. Энэ олонлогийг R үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд (-∞, +∞) эсвэл (-∞,∞) тэмдэглэгээг тэмдэг болгон ашигладаг заншилтай.

Бодит тоонуудын багцыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: энэ нь төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй олонлог юм аравтын бутархай, төгсгөлтэй аравтын бутархай ба хязгааргүй аравтын үечилсэн бутархай нь рационал тоо, мөн төгсгөлгүй аравтын бутархай ба үечилсэн бус бутархай - иррационал тоо.
Аливаа бодит тоог координатын шугам дээр зааж болно. Эсрэг заалт нь бас тохиромжтой: координатын шугамын аль ч цэг нь бодит координаттай байна. Асаалттай математик хэлЭнэ нь иймэрхүү сонсогдож байна: координатын шулуун дээрх цэгүүдийн олонлог ба бодит тооны R олонлогуудын хооронд нэгийг харьцах харилцааг тогтоож болно. Координатын шугам нь бодит тоонуудын геометрийн загвар учраас "тооны шугам" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн ашигладаг.
Таны координатын шугамтай танилцах нь эрт дээр үеэс байсан, гэхдээ та үүнийг одоо л ашиглаж эхлэх болно. Яагаад? Та хариултыг видео хичээлийн жишээнээс олж болно.

Бодит a ба b тоонуудын хувьд та аль хэдийн сайн мэддэг нэмэх ба үржүүлэх хуулиудыг хангаж байгаа нь мэдэгдэж байна: нэмэхийн холбооны хууль, үржүүлэхийн солилцооны хууль, нэмэхийн ассоциатив хууль, харьцангуй үржүүлгийн тархалтын хууль. нэмэлт болон бусад. Тэдгээрийн заримыг нь харуулъя:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Мөн гүйцэтгэсэн дагаж мөрдөх дүрэм:
1. Хоёр сөрөг тооны үржвэрийн үр дүнд (хэсэг) эерэг тоо гарна.
2. Сөрөг ба эерэг тооны үржвэрийн үр дүнд сөрөг тоо гарна.
Тодорхойлолт дээр үндэслэн та бодит тоог бие биетэйгээ харьцуулж болно.
Бодит тоо нь бодит тоо b-ээс их эсвэл бага, a - b ялгаа нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байх тохиолдолд.
Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн: a > b, a< b.
Энэ нь байна гэсэн үг эерэг тоо, ба b сөрөг байна.
Өөрөөр хэлбэл, a > 0 => a эерэг байх тохиолдолд;
а< 0 =>сөрөг;
a > b, тэгвэл a - b эерэг => a - b > 0;
а< b, то a - b отрицательное =>а-б< 0.
тэмдгүүдээс гадна (<; >) хатуу тэгш бус байдал, сул тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг бас ашигладаг - (≤;≥).
Жишээлбэл, дурын b тооны хувьд b2 ≥ 0 тэгш бус байдал биелнэ.
Тоонуудыг харьцуулах, өсөх дарааллаар байрлуулах жишээг та видео хичээлээс харж болно.
-д баярлалаа геометрийн загварбодит тоонуудын багц - тооны шугам, харьцуулах үйлдэл нь ялангуяа тодорхой харагдаж байна.

Үндсэн өмч алгебрийн бутархай

Бид алгебрийн бутархайтай танилцаж байна. Хэрэв өмнөх хичээл дээр бид үндсэн ойлголтуудын талаар ярьсан бол энэ хичээлээр та алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарын талаар суралцах болно. Бутархайн үндсэн шинж чанарын тодорхойлолтыг 6-р ангийн математикийн хичээлээс (бутархайг багасгах) мэддэг. Энэ нь юунаас бүрддэг вэ? Ихэнхдээ асуудал, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тооцоололд нэг "тохиромжгүй" хэсгийг нөгөө, "тохирох" болгон хувиргах шаардлагатай болдог. Ийм өөрчлөлтийг хийхийн тулд та түүний үндсэн шинж чанар, тэмдгүүдийг өөрчлөх дүрмийг мэдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь видео хичээлийг үзэх замаар танд танил болно.

Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоогоор (тэгээс бусад) үржүүлэх буюу хуваахад энгийн бутархайн утга ижил хэвээр байх болно. Энэ бол бутархайн гол шинж чанар юм.
Нэг жишээг харцгаая:
7/9 = 14/18
Бидэнд бие биетэйгээ адилхан хоёр бутархай байна. Тоологч ба хуваагч дотор энэ тохиолдолд 2-оор үржүүлсэн боловч бутархайн утга өөрчлөгдөөгүй.
Тоолуур ба хуваагчийг ижил тоонд хуваахад бутархайд юу болдог талаар видео хичээлээс суралцах болно.
Алгебрийн бутархай нь зарчмын хувьд ижил байна энгийн бутархай, та үүн дээр энгийн үйлдэлтэй ижил үйлдлүүдийг хийж болно.
Бутархайн хуваагч дахь илэрхийлэл ба хуваагч дахь илэрхийлэлийг ижил үсэг, тоон илэрхийллээр (олон гишүүнт эсвэл нэг гишүүнт), ижил тоогоор (тэгээс бусад тохиолдолд: хуваагч бутархай дахь илэрхийлэл эсвэл тоог тэгээр үржүүлж) үржүүлж эсвэл хувааж болно. , энэ нь тэг утгыг авах бөгөөд та тэгээр хувааж болохгүй); Алгебрийн бутархайн энэ хувирлыг түүний бууралт гэж нэрлэдэг. Энэ бол алгебрийн бутархайн гол шинж чанар юм. Үүнийг практикт хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг видео хичээлээс мэдэж болно.
Бутархайг бутархай болгон хөрвүүлэх ижил хуваагчбутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах гэж нэрлэдэг. Гүйцэтгэх энэ үйлдлийн талаардараах үйлдлүүдээс бүрдэх тодорхой дарааллыг гүйцэтгэх шаардлагатай.

Бүх хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахдаа бид LCM-ийг тодорхойлно тоон коэффициентууд.
. Бид коэффициентүүдийн LCM болон бүх үсгийн хүчин зүйлийг харгалзан бүтээгдэхүүнийг бичдэг. Хэрэв үржүүлэгч нь ижил байвал үржүүлэгчийг нэг удаа авна. Тэр бүх зэрэглэлээс ижил үндэслэлүүд, үржүүлэгчийг хамт авна хамгийн их үзүүлэлтградус.
. Бутархай тус бүрийн тоологчийн нэмэлт хүчин зүйл болох утгуудыг бид олдог.
. Бутархай бүрийн хувьд бид шинэ тоологчийг хуучин тоологчийн үржвэр ба нэмэлт хүчин зүйл гэж тодорхойлдог.
. Бид өөрсдийн тогтоосон шинэ тоологч, нийтлэг хуваагчтай бутархайг бичдэг.

Жишээ 1: Дараах a/4b2 b a2/6b3 бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул.
Шийдэл:
Эхлэхийн тулд тодорхойлъё нийтлэг хуваагч. (Энэ нь 12b2-тэй тэнцүү).
Дараа нь алгоритмын дагуу бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг тодорхойлно. (Эхний хувьд - 3б, хоёр дахь нь - 2).
Үржүүлэлтийг хийсний дараа бид үр дүнг авна.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 ба (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
Жишээ 2: c/(c - d) ба c/(c + d) бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул.
Шийдэл:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

Илүү нарийвчилсан шийдэл ижил төстэй жишээнүүдТа видео хичээлээс олж мэдэх болно.
Алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанар нь тэмдгийг өөрчлөх дүрмийн үр дагавартай байдаг.
a - b/c - d = b - a/d - c
Энэ тохиолдолд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг -1-ээр үржүүлсэн. Үүнтэй төстэй үйлдлийг бүхэлд нь бутархайгаар биш, харин зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хуваагчаар хийж болно. Жишээлбэл, зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хуваагчийг -1-ээр үржүүлбэл үр дүн хэрхэн өөрчлөгдөхийг та видео хичээлийг үзэх замаар олж мэдэх болно.
Одоо бид алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанар ба түүнээс үүсэх дүрмийг судалсны дараа бид илүү их зүйлийг шийдэж чадна. нарийн төвөгтэй даалгавар, тухайлбал: бутархайг хасах ба нэмэх. Гэхдээ энэ бол дараагийн хичээлийн сэдэв юм.

Түүхэнд $N$ натурал тоонууд зүйлүүдийг дахин тооцоолсны үр дүнд анх гарч ирсэн. Эдгээр тооны олонлог нь хязгааргүй бөгөөд $N=\(1, 2, 3, ..., n, ...\)$ гэсэн натурал цувралыг бүрдүүлдэг. Энэ багцад нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд боломжтой. Хасах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд шинэ тоо шаардлагатай байсан бөгөөд үр дүнд нь бүхэл тооны багц гарч ирэв: $Z$. $ Z = N_+ \ аяга N_- \ аяга \ (0 \) $. Ийнхүү бүхэл тооны олонлогт нэмэх, үржүүлэх, хасах үйлдлүүд ямагт хийгддэг.

Рационал тоо

Хуваах хэрэгцээ нь $Q$ оновчтой тоонуудын багцад хүргэсэн. $Q=\(\frac(m)(n), m\in Z, n\in N\)$.

Тодорхойлолт.Хоёр оновчтой тоо тэнцүү байна: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ - хэрэв $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Энэ нь рационал тоо бүрийг $\frac(m)(n)$ бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно гэсэн үг юм. $GCD(м, n)=1$.

Рационал тооны олонлогийн шинж чанарууд

1. Рационал тоон дээрх арифметик үйлдлүүдийн үр дүнд (тэгээр хуваахаас бусад тохиолдолд нэмэх, үржүүлэх, хасах, хуваах) рационал тоо гарна.

2. Рационал тоонуудын багцыг эрэмбэлсэн, өөрөөр хэлбэл $a$ ба $b$ эсвэл $a рационал тоонуудын дурын хосын хувьд. б$.

3. Рационал тоонуудын олонлог нягт, өөрөөр хэлбэл ямар ч хос $a$ ба $b$ рационал тоонуудын хувьд $c$ рационал тоо байдаг бөгөөд $a

Аливаа эерэг оновчтой тоог үргэлж аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн. Жишээ нь: $\frac(3)(5)=0.6$, $\frac(1)(3)=0.333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - бүх $b_i=0$ биш аравтын бутархайн үе гэж нэрлэдэг.

Хязгаарлагдмал бутархайг хугацаанд нь тэгтэй хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Гэхдээ рационал тоонуудын аравтын бутархай хэлбэртэй өөр нэг дүрслэл илүү түгээмэл байдаг: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Сөрөг рационал тоог $-\frac(m)(n)$ аравтын бутархай болгон бичнэ. оновчтой тоо$\frac(m)(n)$ хэлбэрийн эсрэг тэмдгээр авсан.

$0$ тоог $0,000...$ гэж төлөөлдөг.

Иймд дурын рационал тоо нь өөрөө $0$ тооноос бусад хугацаанд $0$ агуулаагүй хязгааргүй аравтын үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энэ бол цорын ганц төлөөлөл юм.

Иррационал тоо

Рационал тоонуудын багцыг дөрвөн арифметик үйлдлээр хаадаг. Гэсэн хэдий ч рационал тоонуудын багцад $x^2-n=0$ хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдэл үргэлж байдаггүй. Тиймээс шинэ дугаар оруулах шаардлага гарч байна.

Рационал тоонуудын дунд квадрат нь гуравтай тэнцэх тоо байхгүй гэдгийг харуулъя. Бид зөрчилдөөнтэй нотлох баримтыг гаргана.

Квадрат нь гуравтай тэнцэх $\frac(m)(n)$ оновчтой тоо байна гэж бодъё: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;(1)$.

$\фрак(м^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Тэгш байдлын баруун тал (2) нь 3-т хуваагдана. Энэ нь $m^2$ нь мөн 3-т хуваагддаг тул $m$ нь 3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь $m=3k$ гэсэн үг юм. Тэгш байдлыг (2) орлуулбал бид дараахь зүйлийг авна.

$3к^2=n^2.\;\;\;(3)$

$(3)$ тэгш байдлын зүүн тал нь $3$-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь баруун тал нь мөн $3$-д хуваагддаг гэсэн үг юм. Тиймээс $n^2$ нь $3$-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь $n$ нь $3$-д хуваагддаг тул $n=3p$ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, өөрөөр хэлбэл $\frac(m)(n)$ хэсэг нь буурах боломжтой болсон нь зөрчилдөж байна. таамаглал. Энэ нь оновчтой тоонуудын дунд квадрат нь гуравтай тэнцэх тоо байхгүй гэсэн үг юм.

Гэхдээ квадрат нь гурав байгаа тоо байдаг. Үүнийг хязгааргүй үечилсэн бус бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мөн бид шинэ төрлийн дугаартай болсон. Тэднийг үндэслэлгүй гэж нэрлэе.

Тодорхойлолт.Иррационал тоо нь ямар ч хязгааргүй тоо юм үечилсэн бутархай.

Бүх хязгааргүй үечилсэн бус бутархайн олонлогийг иррационал тооны олонлог гэж нэрлэх ба $I$ гэж тэмдэглэнэ.

Бодит тоо

$Q$ рационал тоо ба $I$ иррационал тоонуудын нэгдэл нь $R$ бодит тооны олонлогийг өгдөг: $Q\cup I=R$.

Тиймээс бодит тоо бүрийг хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: оновчтой тооны хувьд үечилсэн, иррационал тооны хувьд үечилсэн бус.

Бодит тоонуудын харьцуулалт

Бодит тоонуудын хувьд $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ харьцуулалтыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1) $a$ ба $b$ хоёулаа эерэг байг: $a>0$, $b>0$, тэгвэл:

$a=b$, хэрэв байгаа бол $k$ $a_k=b_k$;

$\ байгаа бол $a>b$ s$ $\forall k b_s$.

2) $a>0$, $b гэж үзье<0$, или иначе: $b<0

3) $a$ ба $b$ хоёулаа сөрөг байг: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, хэрэв $-a=-b$ бол;

Хэрэв рационал тоонуудын багцыг иррационал тоонуудын багцаар нэмбэл тэдгээр нь хамтдаа бодит тооны олонлогийг бүрдүүлнэ. Бодит тоонуудын багцыг ихэвчлэн R үсгээр тэмдэглэдэг; Тэд мөн бэлгэдлийн тэмдэглэгээг (-oo, +oo) эсвэл (-oo, oo) ашигладаг.

Бодит тоонуудын багцыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: энэ нь төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй аравтын бутархайн багц юм; төгсгөлтэй аравтын бутархай ба хязгааргүй аравтын үечилсэн бутархай нь рационал тоо, хязгааргүй аравтын үет бус бутархай нь иррационал тоо юм.

Бодит тоо бүрийг координатын шулуун дээрх цэгээр дүрсэлж болно. Мөн эсрэгээр нь үнэн: координатын шулуун дээрх цэг бүр бодит координаттай байдаг. Математикчид ихэвчлэн ингэж хэлдэг: бодит тоонуудын R олонлог ба координатын шугам дээрх цэгүүдийн олонлогын хооронд нэг нэгээр нь харьцах харьцаа тогтоогдсон. Координатын шугам нь бодит тоонуудын олонлогийн геометрийн загвар юм; Ийм учраас координатын шугамын хувьд тооны шугам гэдэг нэр томъёог ихэвчлэн ашигладаг.

Энэ нэр томъёоны талаар бодоод үз: энэ нь танд ер бусын санагдахгүй байна уу? Эцсийн эцэст тоо бол алгебрийн объект, шулуун шугам бол геометрийн объект юм. Энд "төрлийн холимог" байна уу? Үгүй ээ, бүх зүйл логиктой, бүх зүйлийг бодож үзсэн. Энэ нэр томъёо нь математикийн янз бүрийн чиглэлүүдийн нэгдмэл байдлыг дахин онцолж, үүнийг боломжтой болгодог
"бодит тоо" ба "координатын (тоон) шугам дээрх цэг" гэсэн ойлголтыг тодорхойлох.

Анхаарна уу: Та 5-р ангиасаа эхлэн солбицлын шугам ашиглаж байна. Гэхдээ таны мэдлэгт бүрэн үндэслэлтэй цоорхой байсан нь харагдаж байна: координатын шугамын аль ч цэгийн хувьд та координатыг олох боломжгүй байсан - багш таныг ийм бэрхшээлээс хамгаалсан.

Нэг жишээ авч үзье. Координатын шугам өгөгдсөн, түүний нэгж сегмент дээр квадрат баригдсан (Зураг 100), ОБ квадратын диагональ нь О цэгээс баруун тийш координатын шулуун дээр зурсан, үр дүн нь D цэг юм. цэг D? Энэ нь квадратын диагоналын урттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Энэ тоо ийм байна
Энэ нь бүхэл эсвэл бутархай биш гэдгийг бид одоо мэдэж байна. Энэ нь 5, 6, 7-р ангид ч D цэгийн координатыг олох боломжгүй гэсэн үг юм.

Тийм ч учраас бид "тооны шугам" биш, харин "координатын шугам" гэж хэлсээр ирсэн.

Таны алгебрийн мэдлэгт бас нэг үндэслэлтэй зөрүү байгааг анхаарна уу. Хувьсагчтай илэрхийллүүдийг авч үзэхдээ бид үргэлж хувьсагчид ямар ч хүчинтэй утгыг авч болно, гэхдээ өөр утга байхгүй тул зөвхөн оновчтой утгуудыг авч болно гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ хувьсагчид авч болно
аливаа хүчинтэй хүчинтэй утгууд. Жишээлбэл, таних тэмдэг дээр
(a + b)(a-b) = a 2 -b 2 дурын тоо нь a ба b үүрэг гүйцэтгэх боломжтой, заавал биш
оновчтой. Өмнөх догол мөрний төгсгөлд бид үүнийг аль хэдийн ашигласан. Бид § 18-д ижил зүйлийг ашигласан - тухайлбал, энэ догол мөрний 6, 7, 8-р жишээнүүдэд.

a, b, c бодит тоонуудын хувьд ердийн хуулиуд үйлчилнэ:
a + b = b + a;
ab = ba;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(a + b) c = ac + bc гэх мэт.
Ердийн дүрмүүд бас хамаарна: хоёр эерэг тооны үржвэр (хэсэг) нь эерэг тоо;
хоёр сөрөг тооны үржвэр (хэсэг) нь эерэг тоо;
эерэг ба сөрөг тооны үржвэр (хэсэг) нь сөрөг тоо юм.

Бодит тоог дараах тодорхойлолтыг ашиглан өөр хоорондоо харьцуулж болно.

Тодорхойлолт . Хэрэв тэдгээрийн ялгаа нь a - b эерэг (сөрөг) тоо бол бодит a нь бодит тоо b-ээс их (бага) байна гэж тэд хэлдэг. a > b гэж бич (a< b).

Энэ тодорхойлолтоос харахад эерэг тоо бүр тэгээс их (a - 0 = a ялгаа нь эерэг тоо тул), сөрөг тоо бүр тэгээс бага (b - 0 = b ялгаа нь сөрөг байдаг тул) тоо).

Тэгэхээр a > 0 гэдэг нь a эерэг тоо гэсэн үг;
А< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b гэдэг нь a -b нь эерэг тоо, өөрөөр хэлбэл a - b > 0;
а тэдгээр. а - б< 0.
Хатуу тэгш бус байдлын шинж тэмдгүүдийн хамт (<, >) сул тэгш бус байдлын шинж тэмдгийг ашиглах:
a 0 нь a нь тэгээс их эсвэл тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a нь сөрөг бус тоо (эерэг эсвэл 0), эсвэл a нь тэгээс багагүй гэсэн үг;
ба 0 нь a нь тэгээс бага буюу тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, a нь эерэг бус тоо (сөрөг эсвэл 0), эсвэл a нь тэгээс ихгүй гэсэн үг;
ба b нь b-ээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, a - b нь сөрөг бус тоо, эсвэл a нь b-ээс багагүй гэсэн үг; a - b 0;
ба b нь b-ээс бага буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, a - b эерэг биш тоо, эсвэл a нь b-ээс ихгүй байна гэсэн үг; a - b 0.
Жишээлбэл, дурын тооны хувьд a 2 0 тэгш бус байдал үнэн;
a ба b тоонуудын хувьд тэгш бус байдал (a - b) 2 0 үнэн.
Гэсэн хэдий ч бодит тоог харьцуулахын тулд тэдгээрийн зөрүүг бүрд нь гаргаж, эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг олж мэдэх шаардлагагүй. Та аравтын бутархай хэлбэрээр тоонуудыг харьцуулах замаар зохих дүгнэлтийг гаргаж болно.

Бодит тоонуудын багцын геометрийн загвар, өөрөөр хэлбэл тоон шугам нь тоонуудыг харьцуулах үйлдлийг ялангуяа тодорхой болгодог: a, b хоёр тооноос баруун талд байгаа тооны шулуун дээр байрлах нь илүү байна.

Тиймээс бодит тоог харьцуулахдаа нэлээд уян хатан хандах шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид дараагийн жишээнд ашигладаг.

Жишээ 1.Тоонуудыг харьцуулах:

Жишээ 2.Тоонуудын өсөх дарааллаар байрлуул

Гурав дахь мөрөнд куб тэгшитгэл бүрийн гурван тоо байна. захиалсан дөрөв гэх мэт.

Тэр. Бид Кантор диагональ процессыг ашиглан хөндлөн гарах матрицыг олж авдаг. Хэрэв алгебрийн тэгшитгэлийн зарим язгуур нь төвөгтэй байвал дугаарлахдаа бид зүгээр л алгасдаг. Тэр. алгебрийн тоо бүр харгалзах тоог хүлээн авах бөгөөд энэ нь алгебрийн бодит тоонуудын багц болохыг баталж байна. тоолж баршгүй .

Баримт үр дүнтэй тоолох чадвар А олонлог нь элементүүдийг натурал тоогоор дугаарлах өгөгдсөн аргаас шууд дагалддаг, учир нь нэгэн зэрэг харгалзах зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог рационал тоонуудын багцыг дугаарлах үр дүнтэй процедурыг зааж өгсөн болно. N-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэл нь үр дүнтэй шийдлийн алгоритмтай байх нь чухал юм. Уг процедур нь бүрэн үр дүнтэй байдаг. Тиймээс, алгебрийн бодит тоонуудын багц нь тоолж болох бөгөөд үр дүнтэй тоолж болно. Q.E.D.

Бүх хос, гурвалсан гэх мэт алгебрийн тооноос бүрдсэн олонлогууд мөн тоолох боломжтой болно.

2.3.7. Тоолж болох тооны багц: ерөнхий ойлголт

T.2 теорем (баталгаагүй)

Хязгаарлагдмал тооны тоолж болох тэмдэгтүүдийг ашиглан дүрсэлж болох элементүүдийн багцыг тоолох боломжтой.

Бодит амьдрал дээр бид тоо, үсэг, тэмдэглэл гэх мэт янз бүрийн төгсгөлтэй тэмдгийн системийг ашигладаг.

Тэмдгийн системийг авч үзье, жишээлбэл, ямар ч төгсгөлтэй тооллын систем дэх тоо, аравтын бутархай гэх мэт. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 гэсэн 10 тэмдэгттэй бол бид тогтмол урт, дурын урт гэсэн хоёр төрлийн багц үүсгэж болно.

Эхний тохиолдолд бид цэвэр хослолын асуудлын тухай ярьж байна, жишээлбэл, та таван тэмдэгтээс бүрдсэн 105 өөр дарааллыг үүсгэж болно. Энэ бол нэлээд том тоо боловч энэ нь натурал тоо бөгөөд энэ төрлийн бүх боломжит дарааллын авч үзсэн багцын хүчийг натурал тоогоор илэрхийлдэг. Хоёрдахь тохиолдолд ийм дарааллын багц нь натурал тоонуудын цогцолборын олонлогтой адилтгаж тоолж баршгүй хязгааргүй байх бөгөөд түүний үндсэн чанар нь алеф-тэг тоо юм.

Теорем 2.3.(7)-ыг хэрэглэсний үр дүнд олж авсан олонлог нь хязгаарлагдмал тэмдгийн системийн хувьд дур мэдэн урт тэмдгүүдийн цогцолборыг (хүссэн ч гэсэн) зөвшөөрвөл тоолж баршгүй хязгааргүй болно гэж ерөнхийд нь хэлж болно. хязгаарлагдмал!).

Тоолж болохуйц хязгааргүй нь жишээлбэл:

· Хязгаарлагдмал цагаан толгойн үсгийг ашиглан зохиож болох "үг"-ийн багц ("энэ үг" гэдэг нь утгатай эсэхээс үл хамааран үсгүүдийн нийлбэр юм),

· аль ч хэлээр эсвэл бүр бүх хэлээр бичигдсэн бүх номын багц,

· бүх симфони гэх мэт.

2.4.1. Бодит тооны багцын тоолох боломжгүй байдал (үргэлжлэл)

Бид бодит тоонуудын багцыг тэмдэглэдэг Латин үсэгР.

T.2 теорем

Бодит тоонуудын багцыг тоолж баршгүй.

Баталгаа

Эсрэгээр нь бодъё, бодит тоонуудын олонлогийг тоолох боломжтой гэж үзье. Дараа нь тоолж болох олонлогийн аль ч дэд олонлогийг мөн тоолж болно. Бодит тоонуудын олонлог дээр R1 дэд олонлогийг авч үзье (0,1) ба энэ сегментээс ядаж нэг цифр нь тэг эсвэл ес агуулсан тоонуудыг хасъя (ийм тоонуудын жишээ: 0,9, 0,0001 гэх мэт). ). Үлдсэн тоонуудаас бүрдэх R2 олонлог нь R1 олонлогийн дэд олонлог юм. Энэ нь R2 тоолох боломжтой гэсэн үг юм.

R2 тоолох боломжтой тул түүний элементүүдийг тоолох ямар нэгэн арга замаар R2-ийн элементүүд болон олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харьцах боломжтой байдаг. натурал тоонууд. Энэ нь олонлогийн кардинал байдлын тодорхойлолтоос үүдэлтэй бөгөөд үүний дагуу ижил кардиналтай олонлогт нэг багцын элемент бүр өөр олонлогоос хосолсон элементтэй байдаг ба эсрэгээр. Энэхүү тодорхойлолт ба үр дүнтэй тоолох чадварын тодорхойлолтын үндсэн ялгаа нь энэ тохиолдолд бид ямар нэгэн тоолох алгоритм байгаа эсэх талаар яриагүй бөгөөд бид зүгээр л багцаас бодит тоонуудын жагсаалтыг өгөх боломжтой гэж мэдэгдэж байгааг анхаарна уу. R2 ба N олонлогийн харгалзах натурал тоонуудын жагсаалт. Энэ тохиолдолд бид N ↔ R2 холболтыг бий болгох алгоритмыг сонирхохгүй байна.

R2 олонлогоос дараах тоонуудын жагсаалтыг байгуулж, тоонуудыг цифрээр дугаарлацгаая.

Одоо b=0.b1b2... тоог байгуулъя, мөн

bi=aii+1, энд + нь нэмэх үйлдлийг илэрхийлдэг бөгөөд үр дүн нь 0 ба 9 тоо байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл aii=1 бол bi=2; aii=2 бол bi=3, ...., aii=8 бол bi=1).

Тиймээс бүтээгдсэн b тоо нь R2 багц дахь тоо бүрээс дор хаяж нэг оронтой тоогоор ялгаатай байх тул эмхэтгэсэн жагсаалтад оруулахгүй. Гэсэн хэдий ч бүтцийн хувьд b тоо R2 олонлогт агуулагдах ёстой. Бид зөрчилдөөнийг олж авдаг бөгөөд энэ нь анхны таамаглал буруу, R2 олонлогийг тоолж баршгүй гэсэн үг юм.

Нөхцөлөөр R2 олонлог нь R1 олонлогийн дэд олонлог тул R1 нь тоологдохгүй, R1 нь тоологдохгүй тул R олонлог нь тоологдох боломжгүй, Q.E.D.

Анхаарна уу: Та 0 ба 9-тэй тоонуудыг хаях шаардлагагүй. Тиймээс зарим тоо манай цувралд хоёр удаа гарч ирнэ. Учир нь төгсгөлтэй бутархайг хязгааргүй бутархай болгож болдог. Жишээ нь ½=0.5=0.5(0)=0.4(9).

Ерөнхийдөө энэ нь бодит тооны багцыг тоолох боломжгүй байсан шалтгаан байж болох юм. Харин хоёр аргаар (хязгаарлагдмал бутархай) төлөөлж болох тооны олонлог нь рационал тооны олонлог юм. Өмнө нь нотлогдсоноор тоолж баршгүй олон тоо байдаг. Энэ багцыг үр дүнтэй тоолох боломжтой гэдгийг ч харуулж чадна. Тэр. Ийм тооны олонлогийн давхар төлөөлөл ч гэсэн тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг тул ийм хялбарчлахгүйгээр нотлох баримт нь зөв юм.

Цоо шинэ үр дүнд хүрсэн - тоолж баршгүй олон тооны тоо олдсон. Батлагдсан теоремын дагуу түүний хүч нь алеф-тэг (À0) -тэй тэнцүү биш бөгөөд энэ нь трансфинит хуваарьт шинэ тоо шаардлагатай гэсэн үг юм.

Алеф ( À) – хоёр дахь трансфинит тоо. Тодорхойлолтоор бол энэ нь тасралтгүй (бүх бодит тоонуудын) хүч юм. Энэ бол хоёр дахь хамгийн дээд хязгааргүй хүч юм. Бодит тооны олонлогийн тоологдохгүй байдлын тухай дөнгөж батлагдсан теорем 2.4.(1) нь энэ олонлогийн кардинал чанар нь алеф-тэгээс (натурал тооны олонлогоос их) их гэдгийг баттай нотолж байна. Энэ нь янз бүрийн тооны тоонуудыг тоолж болох хэд хэдэн нотолгооны дараа маш чухал үр дүн юм.

Хэрэв бид үндсэн тоо (хүч) гэсэн ойлголттой ажиллах юм бол сегментийн тоо бүрийг (0,1) 0.a1a2a3 хэлбэрийн аравтын бутархайгаар төлөөлж болно ... ядаж нэг удаа, цагт. хамгийн ихдээ хоёр удаа, дараа нь:

À≤10 À0≤ 2À,

2À=À тул 10 À0= À болно. Хэрэв бид тоонуудыг аравтын бутархай биш, жишээлбэл, хоёртын бутархай, 3, 15, 10005 суурьтай бутархай, эсвэл бүр À0 (хэрэв та үүнийг төсөөлж байгаа бол) болгон задлах тохиолдолд ижил үндэслэл хүчинтэй байна.

Тэр. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Хэрэв та энэ талаар бодож үзвэл олонлогийн онолоос бүрэн тодорхой бус өөр нэг баримтыг олж мэдэх боломжтой. À2=À À нь хос бодит тооны олонлогийн хүч юм. Хос бодит тоо нь ерөнхийдөө хавтгай дээрх цэгтэй тохирч байна. Хариуд нь À3=À À À нь бодит тооны гурвалсан олонлогийн хүч бөгөөд эдгээр нь огторгуйн цэгүүд юм. Үндэслэлийг À0 хүртэл үргэлжлүүлж болно - хэмжээст орон зай эсвэл тоолж болох урттай бодит тооны бүх дарааллын багц. Тэр. бүх хязгаарлагдмал хэмжээст буюу тоолж болох хэмжээст орон зай нь ижил үндсэн шинж чанартай À (энд À нь орон зай дахь цэгүүдийн тоо).

À0 хэмжээст бодит орон зай буюу тоолж болох урттай бодит тооны бүх дарааллын олонлогийн хувьд үндсэн тоон дээрх үйлдлүүдийн үүднээс авч үзвэл ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À-г авна.

Энэ мөчид энэ чиглэлээр хэд хэдэн нотлох баримттай холбоотой түүхэн үйл явдлуудад хандах нь сонирхолтой байх болно. Математикчид тэр даруйдаа биш ч эцэст нь төгсгөлгүй шулуун шугам дээр хэрчмэн дээрхтэй адил олон цэг байдаг гэдэгтэй эвлэрсэн. Гэвч Канторын дараагийн үр дүн бүр ч гэнэтийн байлаа. Бодит тэнхлэг дээрх сегментээс илүү олон элементтэй олонлогийг хайж олохдоо тэрээр дөрвөлжингийн цэгүүдийн олонлогт анхаарлаа хандуулав. Эхэндээ үр дүнд нь эргэлзэх зүйл байсангүй: эцэст нь бүхэл бүтэн сегмент нь дөрвөлжингийн нэг талд байрладаг бөгөөд дөрвөлжинг задалж болох бүх сегментүүдийн багц нь дөрвөлжингийн цэгүүдийн багцтай ижил үндсэн шинж чанартай байдаг. сегмент. Бараг гурван жилийн турш (1871-1874 он) Кантор сегментийн цэгүүд ба квадратын цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харьцах боломжгүй гэдгийг нотлох баримтыг эрэлхийлэв. Хэзээ нэгэн цагт, огт санаанд оромгүй байдлаар, яг эсрэг үр дүн гарч ирэв: тэр чин сэтгэлээсээ боломжгүй гэж үзсэн захидал харилцааг бий болгож чаджээ. Кантор өөртөө итгээгүй бөгөөд Германы математикч Ричард Дедекинд хүртэл "Би үүнийг харж байна, гэхдээ би итгэхгүй байна" гэж бичжээ. Энэ баримтын цочрол өнгөрөхөд энэ нь зөн совингийн хувьд тодорхой болж, удалгүй шоо нь сегменттэй ижил тооны цэгтэй болох нь батлагдсан. Ерөнхийдөө дор хаяж нэг шулуун агуулсан хавтгай дээрх аливаа геометрийн дүрс (орон зай дахь геометрийн бие) нь сегменттэй ижил тооны цэгтэй байдаг. Ийм багцыг тасралтгүй эрчим хүчний багц гэж нэрлэдэг (Латин континуум - тасралтгүй). Дараагийн алхам нь бараг тодорхой байна: тодорхой хязгаар доторх орон зайн хэмжээ нь чухал биш юм. Жишээлбэл, 2 хэмжээст хавтгай, 3 хэмжээст танил орон зай, 4, 5 болон цаашлаад n хэмжээст орон зай нь харгалзах n хэмжээст биед агуулагдах цэгүүдийн тооны хувьд тэнцүү чадалтай байна. Хязгааргүй тооны хэмжээс бүхий орон зайд ч гэсэн энэ нөхцөл байдал ажиглагдах болно, зөвхөн энэ тоог тоолох боломжтой байх нь чухал юм.

Энэ үе шатанд хоёр төрлийн хязгааргүй байдал, үүний дагуу тэдгээрийн хүчийг илэрхийлдэг хоёр трансфинит тоо нээгдэв. Эхний төрлийн олонлогууд нь натурал тоонуудын чадалтай тэнцэх чадалтай (алеф-тэг). Хоёрдахь төрлийн багцууд нь бодит тэнхлэг дээрх цэгүүдийн тоотой тэнцэх үндсэн шинж чанартай байдаг (тасралт, алеф). Хоёрдахь төрлийн олонлогууд нь эхний төрлийн олонлогоос илүү олон элементтэй болохыг харуулж байна. Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирнэ: байгалийн тоонуудын тооноос их, гэхдээ нэгэн зэрэг шулуун дээрх цэгүүдийн багцаас бага "завсрын" олонлог байдаг уу? Энэ хэцүү асуулт гэж нэрлэдэг "тасралтгүй асуудал" . Түүнийг бас гэж нэрлэдэг "тасралтгүй таамаглал" эсвэл " Хилбертийн анхны асуудал". Тодорхой үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> XDIV_ADBLOCK186">

Үүний үр дүнд тасралтгүй байдлын таамаглалын талаар олон судалгаа хийсний дараа 1938 онд Германы математикч Курт Годель завсрын хүч оршин тогтнох нь олонлогийн онолын бусад аксиомуудтай зөрчилддөггүй гэдгийг нотолсон. Тэгээд дараа нь, in Бараг нэгэн зэрэг, гэхдээ бие биенээсээ хамааралгүйгээр Америкийн математикч Коэн, Чехийн математикч Вопенка нар ийм завсрын хүч байгааг олонлогийн онолын бусад аксиомуудаас гаргаж авах боломжгүй гэдгийг харуулсан. Дашрамд хэлэхэд, энэ үр дүн нь параллель шугамын постулаттай түүхтэй маш төстэй болохыг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Мэдэгдэж байгаагаар хоёр мянган жилийн турш тэд үүнийг геометрийн бусад аксиомуудаас гаргаж авахыг хичээсэн боловч Лобачевский, Гильберт болон бусад хүмүүсийн ажлын дараа л ижил үр дүнд хүрч чадсан: энэ постулат нь бусад аксиомуудтай зөрчилддөггүй, гэхдээ чадахгүй. тэднээс дүгнэлт хийх.

2.4.2. Цогцолбор, трансцендентал болон иррационал тоонуудын багц

Бодит тоонуудын багцаас гадна бид хэд хэдэн тоолж баршгүй олон багцыг танилцуулж байна.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) Теорем

Олон нийлмэл тоотоолж баршгүй.

Баталгаа

Өмнө нь нотлогдсон теорем 2.4.(1)-ээр тоологдох боломжгүй R бодит тооны олонлог нь C комплекс тоонуудын олонлогийн дэд олонлог тул нийлмэл тооны олонлог мөн тоологдохгүй, Q.E.D.

Трансцендент тоо - алгебрийн бус бодит тоо.

Олон трансцендент тооүүнийг латин үсгээр тэмдэглэе T. Трансценденталь бодит тоо бүхэн иррациональ боловч эсрэгээр нь үнэн биш. Жишээлбэл, тоо нь иррационал, гэхдээ трансцендент биш: энэ нь тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 − 2=0.

T.2 теорем

Трансцендент тоонуудын багцыг тоолж баршгүй.

Баталгаа

Бодит тоонууд нь тоолж баршгүй олонлог, алгебрийн тоонууд нь тоологддог, А олонлог нь R-ийн дэд олонлог тул R \ A (трансцендент тооны олонлог) нь тоолж баршгүй олонлог болно. Q.E.D.

Трансцендент тоо байдгийн энэхүү энгийн нотолгоог Кантор 1873 онд хэвлэн нийтэлж, олон тооны тоо байдгийг нэг тодорхой жишээ баримтлалгүйгээр нотолсон, гэхдээ зөвхөн ерөнхий дүгнэлтэд үндэслэсэн тул шинжлэх ухааны нийгэмлэгт гайхалтай сэтгэгдэл төрүүлсэн. Трансцендент тооны тодорхой жишээг энэ нотолгооноос гаргаж авах боломжгүй бүтээмжгүй .

Үүнийг анхаарах нь чухал удаан хугацаагаарМатематикчид зөвхөн алгебрийн тоонуудыг л авч үздэг байсан. Хэд хэдэн трансцендент тоог олохын тулд маш их хүчин чармайлт гаргасан. Энэ нь анх удаа боломжтой байсан Францын математикч 1844 онд Лиувилл бүтээх боломжийг олгодог теоремуудын багцыг баталжээ тодорхой жишээнүүдийм тоо. Жишээлбэл, трансцендент тоо нь 0,... тоо бөгөөд эхний нэгжийн дараа нэг тэг, хоёр дахь нэгжийн дараа хоёр, гурав дахь нэгжийн дараа 6, n-ийн дараа n байна! тэг.

Трансцендент гэдэг нь батлагдсан аравтын логарифм 10-аас бусад бүхэл тоо n. Трансцендент тооны багцад нүгэл ч багтдаг α, cos α болон тг α ямар ч тэгээс бусад алгебрийн тооны хувьд α . Трансцендент тооны хамгийн гайхалтай төлөөлөгчдийг ихэвчлэн тоо гэж үздэг π Тэгээд д.Дашрамд хэлэхэд тооны давж гарахын баталгаа π , Германы математикч Карл Линдерманы 1882 онд явуулсан нь том хэмжээтэй байсан шинжлэх ухааны үйл явдал, учир нь энэ нь тойргийг квадрат болгох боломжгүй гэсэн утгатай байв. Тойргийн квадратыг олох түүх дөрвөн мянган жил үргэлжилсэн бөгөөд энэ нэр томъёо нь өөрөө шийдэгдэхгүй асуудлуудтай ижил утгатай болсон.

Хэмжилтийн нэгж" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">тойргийн хэмжилтийн нэгж ба тэмдэглэнэ xшаардлагатай квадратын хажуугийн урт, дараа нь асуудлыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна. x 2 = π, хаанаас: . Таны мэдэж байгаагаар луужин ба захирагчийн тусламжтайгаар та 4-ийг бүгдийг нь хийж чадна арифметик үйлдлүүдболон олборлолт квадрат язгуур. Энэ нь хязгаарлагдмал тооны ийм үйлдлүүдийг ашиглан π урттай хэрчим байгуулах боломжтой тохиолдолд л тойргийг квадрат болгох боломжтой гэсэн үг юм. Тиймээс энэ асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй байдал нь тооны алгебрийн бус шинж чанараас (трансцендент) үүсдэг. π. Үнэн хэрэгтээ тойргийг квадрат болгох асуудлыг πr суурьтай, r өндөртэй гурвалжин байгуулах асуудал руу багасгасан. Үүний тулд тэнцүү квадратыг хялбархан барьж болно.

Өмнө дурьдсан 23 жагсаалтад үндсэн асуудлуудМатематикийн дугаар 7 нь тодорхой аргаар үүссэн тоонуудын хэтийн төлөвтэй холбоотой асуудал байв.

Хилбертийн долоо дахь бодлого. А --- эерэг алгебрийн тоо, 1-тэй тэнцүү биш, b --- үндэслэлгүйалгебрийн тоо. Ab нь трансцендент тоо гэдгийг батал.

1934 онд Зөвлөлтийн математикчГельфонд, хэсэг хугацааны дараа Германы математикч Шнайдер нар энэ мэдэгдлийн үнэн зөвийг нотолсон бөгөөд ингэснээр энэ асуудал шийдэгдсэн юм.

Өөр хоёр нь тоог оновчтой ба иррациональ гэж хуваах зарчимтай холбоотой юм сонирхолтой баримтууд, тэр даруй үнэн гэж ойлгогддоггүй.

Т.2.4.(5) Теорем

Аль ч хоёр өөр рационал тооны хооронд үргэлжилсэн хүчний иррационал тооны багц байдаг.

Баталгаа

Хоёр рационал тоо байг, аТэгээд б. Шугаман, тиймээс нэгийг харьцах функцийг байгуулъя е(x) = (x - а) / (б - а). Учир нь е(а) = 0 ба е(б) = 1, тэгвэл е(x) сегментийн зураглал [ а; б] тоонуудын оновчтой байдлыг хадгалахын зэрэгцээ сегмент рүү оруулна. Тиймээс олонлогуудын хүч [ а; б] ба бодит тоонууд тэнцүү байх ба нотлогдсончлан сегментийн хүч нь тасралтгүйийн чадалтай тэнцүү байна. Гарсан олонлогоос зөвхөн иррационал тоонуудыг сонгосноор дурын хоёр рационал тооны хооронд үргэлж иррационал тоонуудын үргэлжлэл байдгийг олж авна. Q.E.D.

Ерөнхийдөө энэ теоремзөн совингийн хувьд нэлээд логик юм шиг санагддаг. Дараахь зүйлийг эхлээд харахад эргэлзээтэй гэж үздэг.

T. 2.4.(6) Теорем

Аливаа хоёр ялгаатай иррационал тооны хооронд үргэлж тоолж болох рационал тооны багц байдаг.

Баталгаа

Хоёр иррационал тоо байг аТэгээд б, бид тэдгээрийн харгалзах цифрүүдийг гэж бичнэ а 1а 2а 3... ба б 1б 2б 2..., хаана ai, би- аравтын тоо. Болъё а < б, тэгвэл ийм N байна аН< б N. Шинэ дугаар байгуулъя в, яагаад тавья ci = ai = биУчир нь би= 1, …, N-1. Болъё cN = бН-1. Энэ нь ойлгомжтой в < б. Учир нь тоон бүх цифрүүд а N-ийн дараа ес байх боломжгүй (тэгвэл энэ нь үечилсэн бутархай, өөрөөр хэлбэл рационал тоо байх болно), дараа нь бид M >= N гэж тэмдэглэнэ. а, Юу аМ< 9. Положим cj = aj, Н< j < M, и в M = 9. Энэ тохиолдолд в > а. Тиймээс бид нэг рационал тоотой боллоо в, ийм а < в < б. -д нэмж байна аравтын тэмдэглэгээтоо вямар ч эцсийн тооАрд байгаа тоонуудын хооронд бид хүссэн хэмжээгээрээ оновчтой тоог авч болно аТэгээд б. Ийм дугаар бүрийг түүнд оноох замаар серийн дугаар, бид эдгээр тоонуудын олонлог ба натурал тоонуудын олонлогийн хооронд нэг нэгээр нь харьцах харьцааг олж авдаг тул үр дүнд хүрсэн олонлогийг тоолох боломжтой, Q.E.D.

Энэ үе шатанд дараахь теоремын нотлох баримт нь сонирхолтой бөгөөд чухал болж хувирдаг бөгөөд үүний утга нь трансфинит тоонуудын масштабыг нэвтрүүлэхээс өмнө ерөнхийдөө тодорхой байсан бөгөөд ийм тодорхой арифметик гарч ирснээр хатуу нотлох шаардлагатай болдог.

T.2 Канторын теорем

Аль ч үндсэн тоо α, α байна<2α.

Баталгаа

1. Үүнийг ядаж нотлоод үзье α≤2α

Мэдэгдэж байгаагаар Булийн олонлогийн M-ийн кардинал байдал нь 2|M|-тэй тэнцүү байна. Олонлогийг M = (m1, m2, m3, ...) болгоё. Булийн олонлог M (түүний бүх дэд олонлогуудын олонлог) нь тус бүр нь нэг элементээс бүрдэх олонлогуудыг агуулдаг, жишээ нь (m1), (m2), (m3), .... Зөвхөн энэ төрлийн дэд олонлогууд нь |M| байх ба тэдгээрээс гадна Boolean нь бусад дэд олонлогуудыг агуулдаг бөгөөд энэ нь ямар ч тохиолдолд |M| гэсэн үг юм. ≤ 2|М|

2. Тэгш бус байдлын хатуу байдлыг баталъя α<2α

1-р зүйлд нотлогдсон зүйлийг харгалзан үзнэ. байгаа нөхцөл байдлыг харуулахад хангалттай α=2α.Үүний эсрэгээр α=2α, өөрөөр хэлбэл |M| гэж үзье = 2|М|. Энэ нь M нь P(M)-тэй тэнцүү гэсэн үг бөгөөд энэ нь M олонлогийг өөрийн Булийн P(M) дээр буулгасан гэсэн үг юм. Тэр. M олонлогийн m элемент бүр нь P(M)-д хамаарах зарим Mm дэд олонлогтой нэг нэгээр харилцдаг. Энэ нь аливаа m элемент нь харгалзах Mm дэд олонлогт хамаарах эсвэл харьяалагдахгүй гэсэн үг юм. Хоёрдахь төрлийн бүх элементүүдээс (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн харгалзах дэд олонлогт хамаарахгүй m) M* олонлогийг байгуулъя.

Барилгын хувьд ямар ч m элемент M*-д хамаарах бол автоматаар Mm-д хамаарахгүй нь тодорхой байна. Энэ нь эргээд аль ч м-ийн хувьд M*=Мm нөхцөл байдал боломжгүй гэсэн үг юм. Энэ нь M* олонлог нь бүх Mm олонлогоос ялгаатай бөгөөд түүний хувьд M олонлогоос m нэгийг харьцах элемент байхгүй гэсэн үг. Энэ нь эргээд |M|= 2|M| буруу. Тэр. |М| гэдэг нь батлагдсан < 2|М| эсвэл α<2α , Q.E.D.

Хязгааргүй олонлогийг авч үзэхэд энэ нь натурал тооны бүх дэд олонлогуудын олонлог (мөн энэ нь үнэндээ хязгааргүй урттай цогцолборуудын олонлог юм) нь натурал тоонуудын олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг баттай нотолж байна. Энэ нь À0 ≠ 2À0 байна. Энэ нь ижил төстэй байдлаар, жишээлбэл, бодит тоон дээр үндэслэн илүү өргөн хүрээг бий болгох боломжтой гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, бусад төрлийн хязгааргүй олонлогуудын талаархи асуулт нь: бодит тооны олонлогийн үндсэн байдлаас илүү кардинал байдлын олонлог байдаг уу? Хэрэв ийм асуулт эерэгээр хариулвал дараагийнх нь шууд гарч ирнэ: үүнээс ч илүү их хүч бий юу? Дараа нь бүр илүү. Эцэст нь, дэлхийн логик асуулт: хамгийн агуу хүчний багц байдаг уу?

T.2 теорем

Аливаа А олонлогийн хувьд үндсэн чанар нь А-аас их В олонлог байдаг.

Баталгаа

Багцыг анхаарч үзээрэй INбагц дээр тодорхойлсон бүх функцууд А 0 ба 1 утгыг авна. Цэг бүр Абагц АЭнэ цэг дээр 1, бусад цэгүүдэд 0 утгыг авдаг fa(x) функцийг холбоно уу. Үүнээс үзэхэд багцын кардинал байдал INбагцын хүчнээс багагүй А (|Б|≥|А|).

Олон эрх мэдэлтэй гэж бодъё АТэгээд INбие биетэйгээ тэнцүү. Энэ тохиолдолд олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харилцаж байна АТэгээд IN. Элементэд тохирох функцийг тэмдэглэе Аолон хүнээс А, fa(x)-ээр дамжуулан. fa(x) бүлгийн бүх функцууд 0 эсвэл 1 гэсэн утгыг авна. φ(x)=1- fх(x) функцийг шинээр байгуулъя. Иймд φ(x) функцийн утгыг хэзээ нэгэн цагт олох А, багцад хамаарах А, бид эхлээд харгалзах функцийг олох ёстой fa( А) ба дараа нь цэг дээрх энэ функцийн утгыг нэгдлээс хасна А. Бүтэцээс харахад φ(x) функц нь олонлог дээр мөн тодорхойлогддог Аба 0 ба 1 утгыг авна. Тиймээс φ(x) нь олонлогийн элемент юм IN. Тэгвэл А олонлогт φ(x) = fb(x) байх b тоо байна. Өмнө нь оруулсан φ(x)=1- fх(x) функцийн тодорхойлолтыг харгалзан бид олонлогт хамаарах бүх x-ийн хувьд олж авна. А, үнэн 1 - fх(x)= fb(x). x = b гэж үзье. Дараа нь 1 - fb(b) = fb(b) ба энэ нь fb(b)=1/2 гэсэн үг. Энэ үр дүн нь fb(x) функцийн утгууд тэг эсвэл нэгтэй тэнцүү гэсэнтэй илт зөрчилдөж байна. Тиймээс хүлээн зөвшөөрөгдсөн таамаглал буруу бөгөөд энэ нь олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харгалзах зүйл байхгүй гэсэн үг юм. АТэгээд IN (| А| ≠| Б| ). Учир нь | А| ≠|Б| мөн нэгэн зэрэг | Б| ≥| А| , гэсэн үг | Б| >|А| . Энэ нь ямар ч багцад зориулагдсан гэсэн үг юм Ата багц барьж болно INилүү их хүч. Эндээс бид хамгийн том кардинал байдлын багц байхгүй гэж дүгнэж болно. Q.E.D.

Бүтээсэн олонлог функц болон Булийн олонлогийн хооронд нэлээд нягт холбоо бий А(бүх дэд олонлогуудын багц А). Багцыг анхаарч үзээрэй INолонлогийн бүх дэд олонлогууд А. Болъё ХАМТ– зарим нэг дэд хэсэг А. Функцийг авч үзье е(x) , хэрэв 1 гэсэн утгыг авна Xхарьяалагддаг ХАМТ, өөрөөр хэлбэл утга нь 0 байна. Тиймээс өөр өөр дэд бүлгүүд ХАМТянз бүрийн функцтэй нийцдэг. Үүний эсрэгээр функц бүр е(x) , 0 ба 1 гэсэн хоёр утгыг авах нь дэд олонлогтой тохирч байна А, тэдгээр элементүүдээс бүрдэнэ X, үүнд функц нь утгыг авдаг 1. Ийнхүү олонлог дээр тодорхойлогдсон функцүүдийн олонлогын хооронд нэгийг харьцах харьцаа тогтоогдсон. Амөн 0 ба 1 утгыг, бүх дэд олонлогийн багцыг авна А.

§ 2.5. Үргэлжлэлийн үндсэн чанараас их иж бүрдэл

Тиймээс хамгийн том кардинал байдлын багц байдаггүй. Эхний хоёр трансфинит тоо нь тэдгээрийг үүсгэсэн олонлогтой байсан (натурал болон бодит тоонуудын багц). Хэрэв бид үргэлжилсэн олонлогоос эхэлбэл, бид үргэлжилсэн бүх дэд олонлогийн олонлогийг байгуулж болно, бид түүний Булийг олж авах болно, энэ олонлогийг BR гэж нэрлэе. Тодорхойлолтоор BR багцын хүч нь 2А-тай тэнцүү байна. Канторын 2À≠À теоремын дагуу. BR олонлог нь хязгааргүй тул түүний үндсэн тоо нь трансфинит тоо бөгөөд өмнө авч үзсэн хоёр трансфинит тооны аль нэгэнтэй давхцаж чадахгүй нь ойлгомжтой. Энэ нь гурав дахь трансфинит тоог манай масштаб руу оруулах цаг болсон гэсэн үг юм.

Алеф Нэг ( À 1 ) - гурав дахь трансфинит тоо. Тодорхойлолтоор бол энэ нь үргэлжилсэн бүх дэд олонлогийн үндсэн шинж чанар юм. Ижил тоо нь бусад олон багцын үндсэн шинж чанартай тохирч байна, жишээлбэл:

· Аливаа бодит утгыг авдаг бүх шугаман функцүүдийн багц (шугаман функц нь нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчийн бодит функц юм). Үндсэндээ эдгээр нь тоолж болох хэмжээст орон зай дахь бүх боломжит муруйнуудын багц бөгөөд n хэмжээсийн тоо нь дурын төгсгөлтэй тоо эсвэл бүр À0 байна.

· Хавтгай дээрх дүрсүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх бүх дэд олонлогуудын багц эсвэл бодит тооны хос бүх дэд олонлогуудын олонлогууд.

· Энгийн гурван хэмжээст орон зайд, түүнчлэн ерөнхийд нь хэлбэл, n хэмжээсийн тоо нь дурын хязгаарлагдмал тоо эсвэл бүр À0 байх аливаа тоолж болох хэмжээст орон зай дахь биетүүдийн олонлогууд.

À1 тоо нь À-тай Булийн олонлогийн кардинал байдал гэж танилцуулагдсан тул À1 =2À гэсэн мэдэгдлийг олж авна.

§ 2.6. Олонлогийн онолын парадоксууд

Үндэслэлтэй асуулт гарч ирнэ: дараа нь яах вэ? Хэрэв бид BR олонлогийн бүх дэд олонлогийг байгуулбал юу болох вэ. Түүний үндсэн тоо хэдтэй тэнцүү байх вэ (мэдээж зүйрлэвэл бид үүнийг 2À1 гэж таамаглаж болно), хамгийн чухал нь энэ нь бодит амьдралын ямар олонлогтой тохирох вэ? BR-ээс их хязгааргүй олонлог байдаг уу, хэд байдаг вэ?

Хэдийгээр бид хамгийн том трансфинит тоо байхгүй гэдгийг харуулсан боловч судалгаагаар улам бүр шинэ том кардинал тоо руу өсөх нь аюултай - энэ нь антиномид (парадокс) хүргэдэг. Үнэн хэрэгтээ, үндсэн тоонуудын аль ч багцаас үл хамааран өгөгдсөн багц дахь бүх тооноос их, тиймээс түүнд ороогүй үндсэн тоог олох боломжтой байдаг. Тэр. ямар ч ийм багц бүх үндсэн тоонуудыг агуулдаггүй бөгөөд бүх үндсэн тоонуудын багцыг төсөөлөхийн аргагүй юм.

Математикч бүр тууштай онолтой, өөрөөр хэлбэл бие биенээ илт үгүйсгэдэг хоёр теоремыг нэгэн зэрэг батлах боломжгүй онолтой харьцахыг хүсдэг нь зүйн хэрэг юм. Канторын онол нийцэж байна уу? Багцуудын тойргийг хэр зэрэг тэлэх боломжтой вэ? Харамсалтай нь бүх зүйл тийм ч ягаан байдаггүй. Хэрэв бид "бүх U олонлогийн багц" гэх мэт гэм хоргүй мэт ойлголтыг танилцуулбал олон сонирхолтой зүйл гарч ирнэ.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" өргөн "81" өндөр "75 src="> T.2.6.(2) Расселын парадокс

Өөрийгөө өөрийн элемент болгон агуулаагүй бүх олонлогийн олонлогийг B гэж үзье. Дараа нь хоёр теоремыг баталж болно.

Теорем 2.6.(2).1.

В нь В-д харьяалагддаг.

Баталгаа

Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. INхамаарахгүй IN. Тодорхойлолтоор бол энэ нь гэсэн үг юм INхарьяалагддаг IN. Бид зөрчилдөөнийг олж авдаг - тиймээс анхны таамаглал буруу байна INхарьяалагддаг IN, Q.E.D.

Теорем 2.6.(2).2.

В нь В-д хамаарахгүй.

Баталгаа

Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. INхарьяалагддаг IN. Багцын тодорхойлолтоор INтүүний аль ч элемент нь өөрийн гэсэн элемент байж болохгүй, тиймээс INхамаарахгүй IN. Зөрчилдөөн - тиймээс анхны таамаглал буруу бөгөөд INхамаарахгүй IN, Q.E.D.

Теорем 2.6.(2).1 гэдгийг харахад хялбар байдаг. болон 2.6.(2).2. бие биенээ хасах.

Харамсалтай нь, бүх хэт өргөн багцуудыг авч үзэхгүй байсан ч Канторын онолыг аварч чадахгүй. Үнэн чанартаа Расселын парадокс нь логикт, өөрөөр хэлбэл нэг үнэн мэдэгдлээс нөгөөд шилжихэд шинэ үзэл баримтлал үүсэх үндэслэлийн аргуудад нөлөөлдөг.

Парадоксыг гаргахдаа аль хэдийн хасагдсан дундын логик хуулийг ашигладаг бөгөөд энэ нь сонгодог математикийн сэтгэхүйн салшгүй аргуудын нэг юм (өөрөөр хэлбэл, хэрэв-A гэсэн үг үнэн биш бол А нь худал болно). Хэрэв та аливаа зүйлийн мөн чанарыг эргэцүүлэн бодох юм бол ерөнхийдөө олонлогын онол, математикийн хичээлээс холдож болно.

богино кодууд">

Энэ бол математикийн тодорхойгүй үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Цуглуулга гэдэг нь зарим шинж чанараараа нэгдсэн зарим объектуудын цуглуулга (цуглуулга, анги, гэр бүл ...) гэж ойлгогддог. Тиймээс бид хүрээлэнгийн олон оюутнуудын тухай, Хар тэнгисийн олон загасны тухай, x 2 + 2x + 2 = 0 тэгшитгэлийн олон үндэс, тухай ярьж болно. олонбүх натурал тоо гэх мэт.

Олонлогийг бүрдүүлдэг объектуудыг түүний элементүүд гэж нэрлэдэг. Багцуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг том үсгээр Латин цагаан толгой A, B,..., X, Y,..., тэдгээрийн элементүүд - жижиг үсгээр a, b,... ..., x, y,...

Хэрэв x элемент нь X олонлогт хамаарах бол x О X гэж бичнэ; xÏ X эсвэл x бичлэг Î X гэдэг нь x элемент X олонлогт хамаарахгүй гэсэн үг.

Жишээлбэл, A=(1,3,15) гэсэн тэмдэглэгээ нь А олонлог нь 1, 3, 15 гэсэн гурван тооноос бүрдэнэ гэсэн үг; A=(x:0≤x≤2) гэсэн тэмдэглэгээ нь А олонлог нь 0 ≤ x ≤ 2 тэгш бус байдлыг хангасан бүх бодит (өөрөөр заагаагүй бол) тооноос бүрдэнэ гэсэн үг.

ОлонХэрэв А олонлогийн элемент бүр нь В олонлогийн элемент бол A-г В олонлогийн дэд олонлог гэж нэрлэдэг. Үүнийг бэлгэдлийн хувьд AÌ B ("A B-д багтсан") эсвэл BÉ A ("B олонлогт багц A").

Тэд ингэж хэлдэг багц A ба B нь тэнцүү буюу ижил бөгөөд AÌ B ба BÌ A бол A=B гэж бичнэ. Өөрөөр хэлбэл, багц, ижил элементүүдээс бүрдэхийг тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Холбоо(эсвэл нийлбэр) А ба В олонлогууд нь эдгээр олонлогуудын дор хаяж нэгд хамаарах элементүүдээс бүрдэх олонлог юм. Олонлогуудын нэгдлийг (нийлбэр) AUB (эсвэл A+B) гэж тэмдэглэнэ. Товчхондоо та AUB = (x: xєA эсвэл xєB) гэж бичиж болно.

А ба В олонлогуудын огтлолцол (эсвэл үржвэр) нь тус бүр нь А ба В олонлогт хамаарах элементүүдээс бүрдэх олонлог юм. Олонлогуудын огтлолцол (бүтээгдэхүүн)-ийг A∩B (эсвэл A*B) гэж тэмдэглэнэ. Товчхондоо бид A∩B=(x:xєA ба xєB) гэж бичиж болно.

Ирээдүйд бид бичлэгийг богиносгохын тулд хэд хэдэн энгийн логик тэмдэг ашиглах болно.

ΑÞ ß - "α өгүүлбэрээс ß өгүүлбэрийг дагаж байна" гэсэн утгатай;

ΑÛ ß - "α ба ß саналууд нь тэнцүү байна", өөрөөр хэлбэл α-аас ß, ß-ээс α-г дагаж байна;

" - "хэнд ч зориулсан", "бүх хүнд" гэсэн утгатай;

$ - "байна", "олдох болно";

: - "болдог", "ийм";

→ - "дагах".

Жишээ нь:
1) "xО А:α" гэсэн оруулга нь: "хО А элемент бүрийн хувьд α-ийн саналыг баримталдаг" гэсэн утгатай;
2) (х єA U В)<==>(x є A эсвэл x є B); Энэ оруулга нь А ба В олонлогуудын нэгдлийг тодорхойлдог.

13.2. Тоон багц. Бодит тоонуудын багц

Элементүүд нь тоо бүхий олонлогуудыг тоон гэж нэрлэдэг. Тоон багцуудын жишээ нь:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - натурал тооны олонлог;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - сөрөг бус бүхэл тоонуудын багц;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - бүхэл тооны олонлог;

Q=(m/n: mО Z,nО N) - рационал тооны олонлог.

Бодит тоонуудын R багц.

Эдгээр багцуудын хооронд харилцаа холбоо байдаг

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ Р.

Олон R нь рационал ба иррационал тоонуудыг агуулдаг. Рационал тоо бүрийг төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлдэг. Тэгэхээр 1/2= 0.5 (= 0.500...), 1/3=0.333... нь рационал тоо юм.

Рационал биш бодит тоонуудыг дуудна үндэслэлгүй.

Теорем 13.1.

Хэний квадрат нь оновчтой тоо гэж байдаггүй тоотой тэнцүү байна 2.

▼Квадрат нь 2-той тэнцүү, m/n бууруулж болохгүй бутархайгаар илэрхийлэгдсэн рационал тоо байна гэж бодъё. Дараа нь бид:

(м/н) 2 =2, өөрөөр хэлбэл m 2 =2n 2.

Үүнээс үзэхэд m 2 (тиймээс m) - тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл m=2k. m=2k-ийг m 2 =2n 2 тэгшитгэлд орлуулбал 4k 2 = 2n 2, өөрөөр хэлбэл 2k 2 =n 2,

Үүнээс үзэхэд энэ тоо n-тэгш байна, өөрөөр хэлбэл n=2l, гэхдээ дараа нь m/n=2k/2l хэсэг нь буурах боломжтой. Энэ нь m/n нь бууруулж болохгүй бутархай гэсэн таамаглалтай зөрчилдөж байна. Иймд квадрат нь 2-той тэнцүү рационал тоо байхгүй. ▲

Иррационал тоог хязгааргүй үечилсэн бус бутархайгаар илэрхийлнэ. Тэгэхээр √2=1.4142356... иррационал тоонууд байна. Бид хэлж чадна: бодит тоонуудын багц нь бүх хязгааргүй аравтын бутархайн олонлог юм. Тэгээд бичээрэй

R=(x: x=α,α 1 α 2 α 3 ...), энд aєZ, ба i є(0,1,...,9).

Олон R бодит тоо нь дараах шинж чанартай байна.

1. Захиалгатай: дурын хоёрт өөр өөр тооα ба b хоёр харилцааны аль нэг нь: a

2. Олон R нь нягт: дурын хоёр a ба b тооны хооронд бодит тоонуудын хязгааргүй олонлог х, өөрөөр хэлбэл a тэгш бус байдлыг хангасан тоонууд байна.<х

Тэгэхээр, хэрэв а

(а

3. Олон R тасралтгүй. Бодит тоо бүр зөвхөн нэг ангид, aєA ба bєB хос тоо бүрт a тэгш бус байдал байхаар R олонлогийг хоосон бус хоёр А ба В ангид хуваа.

Тасралтгүй байдлын шинж чанар нь хоорондоо ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгох боломжийг олгодог олонбүх бодит тоо болон шулуун дээрх бүх цэгүүдийн олонлог. Энэ нь xєR тоо бүр нь тоон тэнхлэг дээрх тодорхой (ганц) цэгтэй тохирч, эсрэгээр тэнхлэг дээрх цэг бүр нь тодорхой (ганц) бодит тоотой тохирч байна гэсэн үг юм. Тиймээс "тоо" гэдэг үгийн оронд "цэг" гэж ихэвчлэн хэлдэг.