Орон зайн тоонуудын эзлэхүүнийг тооцоолох нь эдгээрийн нэг юм чухал ажлуудстереометр. Энэ нийтлэлд бид ийм олон өнцөгтийн эзэлхүүнийг пирамид хэлбэрээр тодорхойлох асуудлыг авч үзэхээс гадна зургаан өнцөгт ердийн нэгийг өгөх болно.
Зургаан өнцөгт пирамид
Юуны өмнө, нийтлэлд авч үзэх зураг гэж юу болохыг харцгаая.
Талууд нь хоорондоо тэнцүү байх албагүй, дурын зургаан өнцөгттэй болгоё. Мөн бид зургаан өнцөгтийн хавтгайд ороогүй огторгуйн цэгийг сонгосон гэж үзье. Сүүлчийн бүх буланг сонгосон цэгтэй холбосноор бид пирамид авдаг. Хоёр өөр пирамидтай зургаан өнцөгт суурь, доорх зурагт үзүүлэв.
Зургаан өнцөгтөөс гадна уг дүрс нь зургаан гурвалжингаас бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн холбох цэгийг орой гэж нэрлэдэг. Дүрслэгдсэн пирамидуудын ялгаа нь баруун талынх нь h өндөр нь зургаан өнцөгт суурьтай огтлолцохгүй байх явдал юм. геометрийн төв, мөн зүүн зургийн өндөр нь яг энэ төвд унадаг. Энэ шалгуурын ачаар зүүн пирамидыг шулуун, баруун пирамидыг налуу гэж нэрлэжээ.
Зураг дээрх зүүн талын зургийн суурь нь тэгш тал ба өнцөг бүхий зургаан өнцөгтөөс бүрдсэн тул үүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Цаашид нийтлэлд бид зөвхөн энэ пирамидын талаар ярих болно.
Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд бидэнд байна дараах томъёо:
Энд h нь зургийн өндрийн урт, S o нь суурийн талбай юм. Зургаан өнцөгт ердийн пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо энэ илэрхийллийг ашиглая.
Энэ зургийн суурь нь тэгш талт зургаан өнцөгт тул түүний талбайг тооцоолохын тулд та дараахь зүйлийг ашиглаж болно ерөнхий илэрхийлэл n-gon-ийн хувьд:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Энд n нь олон өнцөгтийн талуудын (өнцгийн) тоотой тэнцүү бүхэл тоо, a нь түүний хажуугийн урт, котангентын функцийг тохирох хүснэгтүүдийг ашиглан тооцоолно.
n = 6 илэрхийлэлийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Одоо энэ илэрхийллийг орлуулах л үлдлээ ерөнхий томъёо V ботид:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Тиймээс пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд түүний хоёрыг мэдэх шаардлагатай шугаман параметр: суурийн хажуугийн урт ба зургийн өндөр.
Асуудлыг шийдэх жишээ
Дараах асуудлыг шийдэхийн тулд V 6-ийн үр дүнгийн илэрхийллийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулъя.
Зөв эзэлхүүн нь 100 см 3 гэдгийг мэддэг. Дараах тэгшитгэлээр бие биентэйгээ хамааралтай болохыг мэдэж байгаа бол суурийн тал ба зургийн өндрийг тодорхойлох шаардлагатай.
Эзлэхүүний томьёо нь зөвхөн a ба h-г агуулдаг тул та эдгээр параметрүүдийн аль нэгийг нь нөгөөгөөр илэрхийлсэн аль нэгийг нь орлуулж болно. Жишээлбэл, a-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Зургийн өндрийг олохын тулд уртын хэмжээстэй тохирох эзэлхүүний гурав дахь үндсийг авах хэрэгтэй. Асуудлын нөхцлөөс бид пирамидын V 6 эзлэхүүний утгыг орлуулж, өндрийг авна.
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3.0676 см
Асуудлын нөхцлийн дагуу суурийн тал нь олдсон утгаас хоёр дахин их байгаа тул бид түүний утгыг олж авна.
a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 см
Эзлэхүүн зургаан өнцөгт пирамидЗөвхөн зургийн өндрөөс гадна түүний суурийн хажуугийн утгыг олж болно. Үүнийг тооцоолохын тулд пирамидын хоёр өөр шугаман параметрийг мэдэхэд хангалттай, жишээлбэл, апотем ба хажуугийн ирмэгийн урт.
Огноо: 2015-01-19
Хэрэв танд хэрэгтэй бол алхам алхмаар зааварчилгааХэрхэн пирамид скан хийх вэ, тэгвэл би таныг манай хичээлд нэгдэхийг хүсч байна. Нэгдүгээрт, таны пирамид Зураг 1-тэй төстэй байдлаар байрлуулсан эсэхийг үнэл.
Хэрэв та үүнийг 90 градус эргүүлсэн бол зураг дээр "мэдэгдэж байгаа бодит утгууд" гэж тэмдэглэсэн ирмэгийг таны бүтээх шаардлагатай профайлын төсөөллөөс олж болно. Миний хувьд энэ нь шаардлагагүй; Энэ зураг дээр зөвхөн урд талын проекц дахь SA ба SD ирмэгийг бүрэн хэмжээгээр харуулсан гэдгийг мартаж болохгүй. Бусад бүх зүйл уртын гажуудалтай байна. Нэмж дурдахад, дээд талаас харахад зургаан өнцөгтийн бүх талыг бүрэн хэмжээгээр харуулсан болно. Үүний үндсэн дээр үргэлжлүүлье.
1. Илүү үзэсгэлэнтэй байхын тулд эхний шугамыг хэвтээ байдлаар зурцгаая (Зураг 1). Дараа нь R=a радиустай өргөн нум зуръя, өөрөөр хэлбэл. радиус урттай тэнцүүпирамидын хажуугийн ирмэг. А цэгийг авцгаая. Луужингийн тусламжтайгаар бид нуман дээр r=b радиустай (пирамидын суурийн хажуугийн урт) ховил гаргана. Б цэгийг авцгаая. Бид пирамидын эхний нүүртэй болсон!
2. В цэгээс бид ижил радиустай өөр ховилыг хийдэг - бид C цэгийг авч, B ба S цэгүүдтэй холбосноор бид пирамидын хоёр дахь хажуугийн нүүрийг авна (Зураг 2).
3. Эдгээр алхмуудыг давтах шаардлагатай тоо хэмжээнэг удаа (энэ нь таны пирамид хэдэн нүүртэй байхаас хамаарна) бид ийм фен авах болно (Зураг 3). Хэрэв зөв бүтээгдсэн бол та бүх үндсэн цэгүүдийг авах ёстой бөгөөд туйлын цэгүүдийг давтах ёстой.
4. Энэ нь үргэлж шаардлагатай биш боловч шаардлагатай хэвээр байна: хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэхэд пирамидын суурийг нэмнэ. Энэ хүртэл уншсан хүн бүр зургаан найман таван өнцөгтийг хэрхэн зурахаа мэддэг гэдэгт би итгэдэг (хэрхэн таван өнцөгт зурах талаар хичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно) нь зургийг зөв газарт зурах шаардлагатай байдаг мөн зөв өнцгөөр. Бид ямар ч нүүрний дундуур тэнхлэг зурдаг. Суурийн шулуун шугамтай огтлолцох цэгээс бид m зайг Зураг 4-т үзүүлсэн шиг зурна. 
Энэ цэгээр дамжуулан перпендикуляр зурснаар ирээдүйн зургаан өнцөгтийн тэнхлэгүүдийг олж авна. Үүссэн төвөөс бид дээд үзэмжийг бүтээхдээ хийсэн шиг тойрог зурдаг. Тойрог нь хажуугийн нүүрэн дээрх хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх ёстойг анхаарна уу (миний хувьд эдгээр нь F ба A юм)
5. Зургаан өнцөгт призмийн хөгжлийн эцсийн дүрслэлийг 5-р зурагт үзүүлэв. 
Энэ нь пирамидын барилгын ажил дуусна. Өөрийнхөө бүтээн байгуулалтыг бий болго, шийдлийг олж сур, нямбай байж, хэзээ ч бууж өг. Хүлээн авсанд баярлалаа. Найзууддаа биднийг санал болгохоо бүү мартаарай :) Сайн сайхныг хүсье!
эсвэлБидний утасны дугаарыг бичээд найзууддаа бидний тухай хэлээрэй - магадгүй хэн нэгэн зураг зурах арга хайж байгаа байх
эсвэлӨөрийн хуудас эсвэл блог дээрээ бидний хичээлийн талаар тэмдэглэл бичээрэй - тэгвэл өөр хэн нэгэн зураг зурах чадвартай болно.
Пирамидууд нь: гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт, ямар суурьтай байгаагаас хамааран гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт.
Хэрэв нэгдүгээрт, суурь нь ердийн олон өнцөгт, хоёрдугаарт, өндөр нь энэ олон өнцөгтийн төвөөр дамжин өнгөрдөг бол пирамидыг ердийн гэж нэрлэдэг (Зураг 286, б).
Үгүй бол пирамидыг жигд бус гэж нэрлэдэг (Зураг 286, в). Бүх зүйл зөв пирамид дотор байдаг хажуугийн хавиргабие биетэйгээ тэнцүү (налуу тэнцүү төсөөлөл). Тиймээс бүх зүйл хажуугийн нүүрнүүд ердийн пирамидтэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин байдаг.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын элементүүдийн шинжилгээ, тэдгээрийг нарийн төвөгтэй зураг дээр дүрслэх (Зураг 287).
A) Нарийн төвөгтэй зурагердийн зургаан өнцөгт пирамид. Пирамидын суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг; пирамидын суурийн хоёр тал нь проекцын P 2 хавтгайтай параллель байна.
b) ABCDEF суурь нь P 1 проекцын хавтгайд байрладаг зургаан өнцөгт юм.
в) ASF-ийн хажуугийн нүүр нь ерөнхий хавтгайд байрладаг гурвалжин юм.
d) FSE-ийн хажуугийн нүүр нь профиль-проектийн хавтгайд байрладаг гурвалжин юм.
e) Edge SE нь ерөнхий байрлал дахь сегмент юм.
f) Rib SA - урд талын сегмент.
g) Пирамидын дээд S нь огторгуйн цэг юм.
288, 289-р зурагт пирамидуудын нарийн төвөгтэй зураг, дүрслэл (аксонометр) хийх үед дараалсан график үйлдлийн жишээг үзүүлэв.
Өгөгдсөн:
1. Суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг.
2. Суурийн нэг тал нь х тэнхлэгтэй 12 параллель байна.
I. Цогцолбор зураг.
би, а. Бид пирамидын суурийг - олон өнцөгтийн дагуу зохион бүтээдэгэнэ нөхцөл
P1 хавтгайд хэвтэж байна.
Бид оройг зохион бүтээдэг - орон зайд байрлах цэг. S цэгийн өндөр нь пирамидын өндөртэй тэнцүү байна. S цэгийн хэвтээ төсөөлөл S 1 нь пирамидын суурийн проекцын төвд байрлана (нөхцөлөөр).
би, б. Бид пирамидын ирмэгийг зохион бүтээдэг - сегментүүд; Үүний тулд бид ABCDE суурийн оройнуудын проекцуудыг S пирамидын оройн харгалзах проекцуудтай шулуун шугамаар холбоно. Бид пирамидын ирмэгүүдийн S 2 C 2 ба S 2 D 2 урд талын төсөөллийг тасархай шугамаар, пирамидын ирмэгээр (SА ба SAE) хаагдсан үл үзэгдэх байдлаар дүрсэлсэн.би, в. SBA-ийн хажуугийн гадаргуу дээрх K цэгийн K 1 хэвтээ проекцийг өгөгдсөн бол та түүний урд талын проекцийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид S 1 ба K 1 цэгүүдээр дамжуулан туслах шулуун S 1 F 1 шугамыг зурж, түүний урд талын проекцийг олоорой.
босоо шугам холболт, бид K цэгийн хүссэн урд талын проекц K 2 байрлалыг тодорхойлно. II. Пирамидын гадаргуугийн хөгжил -хавтгай дүрс
, хажуугийн нүүрнүүдээс бүрдэх - ижил тэгш өнцөгт гурвалжин, тэдгээрийн нэг тал нь суурийн талтай, нөгөө хоёр нь хажуугийн ирмэгүүдтэй тэнцүү байна.
ердийн олон өнцөгт 1
- үндэслэл. Суурийн хажуугийн байгалийн хэмжээсийг түүний хэвтээ проекц дээр харуулав. Хавирганы байгалийн хэмжээсийг төсөөлөл дээр харуулаагүй болно.Гипотенуз S 2 ¯A 2 (Зураг 288, , б)зөв гурвалжин
Том хөлтэй S 2 O 2 ¯A 2 өндөртэй тэнцүүПирамидын S 2 O 2, жижиг нь ирмэгийн хэвтээ төсөөлөл S 1 A 1 нь пирамидын ирмэгийн байгалийн хэмжээ юм. Цэвэрлэгээний барилгын ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ. a) -аасдурын цэг
S (оройнууд) R радиустай нум зурах, ирмэгтэй тэнцүүпирамидууд;
б) зурсан нуман дээр бид R 1 хэмжээтэй таван хөвчийг зурдаг талтай тэнцүүүндэслэл;
г) бид пирамидын суурь - пентагоныг гурвалжингийн аргыг ашиглан дурын нүүрэнд, жишээлбэл DSE нүүрэнд хавсаргана.
К цэгийг сканнерт шилжүүлэх нь хэвтээ проекц дээр авсан B 1 F 1 хэмжээс, хавирганы байгалийн хэмжээгээр авсан A 2 K 2 хэмжээсийг ашиглан туслах шулуун шугамаар хийгддэг.
III.
Изометрийн пирамидын харааны дүрслэл. 1
III, а.
Бид пирамидын суурийг координатыг ашиглан дүрсэлсэн (Зураг 288, 1
III, а.
, A).
Бид пирамидын дээд хэсгийг координатыг ашиглан дүрсэлсэн (Зураг 288,
III, б.
Өгөгдсөн:
Бид пирамидын хажуугийн ирмэгийг дүрсэлж, дээд талыг нь суурийн оройтой холбодог. S"D" ирмэг ба суурийн C"D" ба D"E" талуудыг C"S"B, B"S"A" пирамидын ирмэгээр хаагдсан, үл үзэгдэх байдлаар тасархай шугамаар дүрсэлсэн болно. ба A"S"E".
III, д.
Бид пирамидын гадаргуу дээрх K цэгийг y F ба x K хэмжээсүүдийг ашиглан тодорхойлно. Пирамидын диметрийн зургийн хувьд ижил дарааллыг баримтлах хэрэгтэй.
Тогтмол бус гурвалжин пирамидын зураг. 1. Суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг. 2. Суурийн ВС тал нь X тэнхлэгт перпендикуляр байна.
I. Цогцолбор зураг
би, а.
Пирамидын суурийг зохион бүтээх -
тэгш өнцөгт гурвалжин , P 1 хавтгайд хэвтэж байгаа бөгөөд S орой нь орон зайд байрлах цэг бөгөөд түүний өндөр нь пирамидын өндөртэй тэнцүү байна.би, б.
Бид пирамидын ирмэгийг - сегментүүдийг зохион бүтээдэг бөгөөд үүний тулд үндсэн оройнуудын ижил нэртэй проекцуудын шулуун шугамыг пирамидын оройн ижил нэртэй проекцуудтай холбодог. Бид онгоцны суурийн хажуугийн хэвтээ проекцийг ABS, ACS пирамидын хоёр нүүрээр бүрхэгдсэн тасархай шугамаар дүрсэлсэн.
a) CB пирамидын суурийн талтай тэнцүү суурь нь CSB нүүртэй адил тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах ба талууд- хавирганы SC-ийн байгалийн хэмжээ;
б) баригдсан гурвалжны SC ба SB талуудад хоёр гурвалжинг хавсаргана - CSA ба BSA пирамидын нүүрнүүд, баригдсан гурвалжны суурь CB - пирамидын суурь CBA, үр дүнд нь бид бүрэн утгыг олж авна. энэ пирамидын гадаргуугийн хөгжил.
D цэгийг скан руу шилжүүлэх ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ: эхлээд ASC-ийн хажуугийн нүүрний скан дээр R 1 хэмжээсийг ашиглан хэвтээ шугам зурж, дараа нь D цэгийн байрлалыг хэвтээ шугамаар тодорхойлно. хэмжээс R 2.
III. Пирамидын харааны дүрслэл e урд талын диметрийн проекц
III, а. Бид пирамидын A "B"C суурь ба дээд S хэсгийг дүрсэлж, координатыг (
Зураг зурах нь асуудлыг шийдэх эхний бөгөөд маш чухал алхам юм геометрийн асуудал. Ердийн пирамидын зураг ямар байх ёстой вэ?
Эхлээд санацгаая зэрэгцээ дизайны шинж чанарууд:
- зургийн зэрэгцээ хэсгүүдийг дүрсэлсэн зэрэгцээ сегментүүд;
- зэрэгцээ шугамын сегментүүдийн урт ба нэг шулуун шугамын сегментүүдийн харьцаа хадгалагдана.
Ердийн гурвалжин пирамидын зураг
Эхлээд бид суурийг зурна. Хэзээнээс зэрэгцээ загварөнцөг болон уртын харьцаа нь тийм биш юм зэрэгцээ сегментүүдхадгалагдаагүй бол пирамидын суурь дахь ердийн гурвалжинг дурын гурвалжин хэлбэрээр дүрсэлсэн.
Төв тогтмол гурвалжингурвалжны медиануудын огтлолцох цэг юм. Уулзвар цэгийн голчуудыг оройноос нь тооцоход 2:1 харьцаагаар хуваагддаг тул бид суурийн оройг эсрэг талын дунд хэсэгтэй оюун ухаанаар холбож, ойролцоогоор гурван хэсэгт хувааж, цэгийг байрлуулна. оройноос 2 хэсгийн зайтай. Энэ цэгээс бид дээшээ перпендикуляр зурна. Энэ бол пирамидын өндөр юм. Хажуугийн ирмэг нь өндрийн дүрсийг хамрахгүй байхаар ийм урттай перпендикуляр зур.
Зөв зурсан дөрвөлжин пирамид
Бид мөн суурин дээрээс ердийн дөрвөлжин пирамид зурж эхэлдэг. Сегментүүдийн параллелизм хадгалагдан үлдсэн боловч өнцгийн утга байхгүй тул суурь дээрх квадратыг параллелограмм хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Боломжтой хурц өнцөгЭнэ параллелограммыг жижиг болго, тэгвэл хажуугийн нүүрнүүд том болно. Дөрвөлжингийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Бид диагональ зурж, огтлолцлын цэгээс перпендикулярыг сэргээдэг. Энэ перпендикуляр нь пирамидын өндөр юм. Хажуугийн хавирга нь хоорондоо нийлдэггүй байхын тулд бид перпендикулярын уртыг сонгоно.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын зураг
Зэрэгцээ дизайн хийх үед сегментүүдийн параллель байдал хадгалагдан үлдсэн тул ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь буюу ердийн зургаан өнцөгт нь эсрэг талууд нь параллель ба тэнцүү зургаан өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Ердийн зургаан өнцөгтийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд бид диагональ зурдаггүй, гэхдээ энэ цэгийг ойролцоогоор олдог. Үүнээс бид перпендикуляр - пирамидын өндрийг сэргээж, хажуугийн хавирга нь хоорондоо нийлдэггүй.
