Заавар
Хажуугийн урт (a) ба өгөгдсөн эзэлхүүнтэй (V) дөрвөлжин пирамидын суурь өгөгдсөн бол өмнөх алхамын тооцооны томьёоны талбайг хажуугийн квадрат уртаар солино: H = 3*V/a².
Ямар ч хэлбэрийн суурьтай ердийн пирамидын өндрийг (H) тооцоолохын тулд эхний алхамын томъёог өөрчилж болно. Үүнд хамрагдах ёстой анхны өгөгдөл нь полиэдрийн эзэлхүүн (V), суурийн ирмэгийн урт (a) ба суурин дээрх оройнуудын тоо (n) юм. Дөрвөлжин ердийн олон өнцөгтХажуугийн уртын квадрат ба өнцгийн котангентын үржвэрийн дөрөвний нэгээр оройнуудын тоо 180°-ийн харьцаа ба оройнуудын тоотой тэнцүү байна: ¼*n*a²*ctg(180°) / n). Энэ илэрхийлэлийг эхний алхамын томъёонд орлуулна уу: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .
Хэрэв суурийн талбай нь асуудлын нөхцлөөс үл мэдэгдэх бөгөөд зөвхөн эзэлхүүн (V) ба ирмэгийн урт (a) өгөгдсөн бол өмнөх алхамын томъёонд алга болсон хувьсагчийг сольж болно. ирмэгийн уртаар илэрхийлсэн эквивалентаар. Талбай (энэ нь таны санаж байгаагаар тухайн төрлийн пирамидын ёроолд байрладаг) бүтээгдэхүүний дөрөвний нэгтэй тэнцэнэ. квадрат язгуургурваас хажуугийн дөрвөлжин урт хүртэл. Өмнөх алхамын томъёонд суурийн талбайн оронд энэ илэрхийллийг орлуулж, дараах үр дүнг авна уу: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3) ).
Тетраэдрийн эзэлхүүнийг мөн ирмэгийн уртаар илэрхийлж болох тул зургийн өндрийг тооцоолох томъёоноос бүх хувьсагчийг хасч, зөвхөн нүүрний талыг нь үлдээж болно. Энэхүү пирамидын эзэлхүүнийг хоёрын квадрат язгуурын үржвэрийг нүүрний шоо урттай 12-т хуваах замаар тооцоолно. Энэ илэрхийллийг өмнөх алхамын томъёонд орлуулж, үр дүнг гарга: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Зөв призмБөмбөрцөгт бичиж болох бөгөөд зөвхөн түүний радиусыг (R) мэдэж байж тетраэдрийг тооцоолж болно. Ирмэгийн урт нь радиус ба квадрат язгуурын зургаа дахин харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Өмнөх алхамын томьёоны а хувьсагчийг энэ илэрхийллээр сольж, тэгшитгэлийг авна: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Тетраэдр дотор бичигдсэн тойргийн радиусыг (r) мэдэх замаар ижил төстэй томъёог олж авч болно. Энэ тохиолдолд ирмэгийн урт нь радиус ба зургаан квадратын хоорондох арван хоёр харьцаатай тэнцүү байх болно. Гурав дахь алхамын томъёонд энэ илэрхийллийг орлуулна уу: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Пирамид бол геометрийн хамгийн нууцлаг дүрүүдийн нэг юм. Урсгалууд үүнтэй холбоотой байдаг сансрын энерги, эртний олон хүмүүс шашны барилгуудаа барихдаа энэ хэлбэрийг сонгосон. Гэсэн хэдий ч математикийн үүднээс авч үзвэл пирамид бол зүгээр л олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, нүүр нь гурвалжин юм. нийтлэг дээд. Хэрхэн олохыг харцгаая дөрвөлжин ирмэгүүдВ пирамид.
Танд хэрэгтэй болно
- тооцоолуур.
Заавар
Пирамидын төрөл: тогтмол (суурь нь ердийн олон өнцөгт, орой нь түүний төвд байдаг), дурын (суурь нь аль ч олон өнцөгт байх ба оройн проекц нь түүний төвтэй давхцах албагүй), тэгш өнцөгт (нэг нь). хажуугийн ирмэгүүд нь суурьтай тэгш өнцөг үүсгэдэг) ба . Пирамидын суурь дахь олон өнцөгтийн талуудаас хамааран үүнийг гурван, дөрөв, тав, жишээлбэл, арван өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Таслагдсанаас бусад бүх төрлийн пирамидын хувьд: Гурвалжны суурийн урт ба пирамидын оройноос доош буулгасан өндрийг үржүүлнэ. Үүссэн бүтээгдэхүүнийг 2-т хуваана - энэ нь хүссэн зүйл байх болно дөрвөлжинтал ирмэгүүдпирамидууд.
Таслагдсан пирамид Ийм пирамидын нүүр царай болох трапецын хоёр суурийг нугалав. Үр дүнг хоёр хуваана. Үр дүнгийн утгыг өндрөөр үржүүлнэ ирмэгүүд- трапец. Үр дүнгийн утга нь дөрвөлжинтал ирмэгүүдпирамидууд энэ төрлийн.
Сэдвийн талаархи видео
Хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбай, пирамидын суурийн периметр ба түүний эзэлхүүн нь хоорондоо холбоотой байдаг. тодорхой томъёо. Энэ нь заримдаа пирамид дахь нүүрний талбайг тодорхойлоход шаардагдах дутуу өгөгдлийн утгыг тооцоолох боломжийг олгодог.
Ямар ч тайраагүй пирамидын эзэлхүүн нь пирамидын өндөр ба суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Ердийн пирамидын хувьд энэ нь үнэн юм: хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметрийн хагасыг нүүрний аль нэгний өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохдоо суурийн талбайн оронд утгыг орлуулна уу. нийлбэртэй тэнцүү байнадээд ба доод суурийн талбай ба тэдгээрийн бүтээгдэхүүний квадрат язгуур.
Эх сурвалжууд:
- Стереометр
- пирамидын хажуугийн нүүрийг хэрхэн олох вэ
Пирамидын аль нэг ирмэг нь суурьтай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл 90˚ өнцгөөр байрладаг бол түүнийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ ирмэг нь бас өндөр юм тэгш өнцөгт пирамид. Пирамидын эзэлхүүний томъёог анх Архимед гаргажээ.
Танд хэрэгтэй болно
- - үзэг;
- - цаас;
- - тооцоолуур.
Заавар
IN тэгш өнцөгт өндөрсуурьтай 90˚ өнцгөөр байрлах түүний ирмэг байх болно. Тэгш өнцөгт суурийн талбайг S гэж, өндрийг нь бас тэмдэглэнэ пирамидууд, − h. Дараа нь энэ хэмжээг олохын тулд пирамидууд, түүний суурийн талбайг өндрөөр нь үржүүлж, 3-т хуваах шаардлагатай. Тиймээс тэгш өнцөгтийн эзэлхүүн пирамидууд V=(S*h)/3 томъёогоор тооцоолно.
Дараахыг бий болгох өгөгдсөн параметрүүд. Түүний суурийг латин ABCDE, дээд талд нь тэмдэглэнэ үү пирамидууд- S. Зураг нь проекцын хувьд хавтгай дээр байх тул төөрөгдүүлэхгүйн тулд аль хэдийн мэддэг өгөгдлийг зааж өгнө үү: SE = 30см; S(ABCDE)=45 см².
Тэгш өнцөгтийн эзлэхүүнийг тооцоол пирамидууд, томъёог ашиглан. Өгөгдлийг орлуулж, тооцоолол хийснээр тэгш өнцөгтийн эзэлхүүн гарч ирдэг пирамидуудтэнцүү байх болно: V=(45*30)/3=см³.
Асуудлын мэдэгдэлд дээр болон өндрийн өгөгдлийг агуулаагүй бол пирамидууд, дараа нь та эдгээр утгыг олж авахын тулд нэмэлт тооцоолол хийх хэрэгтэй. Суурийн талбайг олон өнцөгт нь түүний суурь дээр байгаа эсэхээс хамаарч тооцоолно.
Өндөр пирамидуудтэгш өнцөгт EDS эсвэл EAS-ийн аль нэгний гипотенуз болон SD эсвэл SA хажуугийн нүүр нь түүний суурь руу налуу байгаа өнцгийг мэдэж байгаа эсэхийг олж мэдээрэй. Синусын теоремыг ашиглан SE хөлийг тооцоол. Энэ нь тэгш өнцөгтийн өндөр байх болно пирамидууд.
Анхаарна уу
Өндөр, эзэлхүүн, талбай гэх мэт хэмжигдэхүүнийг тооцоолохдоо тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн хэмжигдэхүүнтэй байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Тиймээс талбайг см², өндөр нь см, эзэлхүүнийг см³-ээр хэмждэг.
Куб сантиметрирмэг нь 1 см урттай шоо дөрвөлжингийн эзэлхүүнтэй тэнцүү эзлэхүүний нэгж юм. Хэрэв бид өгөгдлийг томьёодоо орлуулах юм бол бид дараахийг авна: cm³= (см²*см)/3.
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Дүрмээр бол, хэрэв асуудал нь тэгш өнцөгт пирамидын эзэлхүүнийг олох шаардлагатай бол шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэддэг байх ёстой - наад зах нь суурийн талбай, зургийн өндрийг олохын тулд.
Зураг зурах нь асуудлыг шийдэх эхний бөгөөд маш чухал алхам юм геометрийн асуудал. Ердийн пирамидын зураг ямар байх ёстой вэ?
Эхлээд санацгаая зэрэгцээ дизайны шинж чанарууд:
- зургийн зэрэгцээ хэсгүүдийг дүрсэлсэн зэрэгцээ сегментүүд;
- зэрэгцээ шугамын сегментүүдийн урт ба нэг шулуун шугамын сегментүүдийн харьцаа хадгалагдана.
Зөв зурсан гурвалжин пирамид
Эхлээд бид суурийг зурна. Хэзээнээс зэрэгцээ загварөнцөг болон уртын харьцаа нь тийм биш юм зэрэгцээ сегментүүдхадгалагдаагүй бол пирамидын суурь дахь ердийн гурвалжинг дурын гурвалжин хэлбэрээр дүрсэлсэн.
Тогтмол гурвалжны төв нь гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг юм. Уулзвар цэгийн голчуудыг оройноос нь тооцоход 2:1 харьцаагаар хуваагддаг тул бид суурийн оройг эсрэг талын дунд хэсэгтэй оюун ухаанаар холбож, ойролцоогоор гурван хэсэгт хувааж, цэгийг байрлуулна. оройноос 2 хэсгийн зайтай. Энэ цэгээс бид дээшээ перпендикуляр зурна. Энэ бол пирамидын өндөр юм. Ийм урттай перпендикуляр зур хажуугийн хавиргаөндрийн зургийг хамарсангүй.
Зөв зурсан дөрвөлжин пирамид
Бид мөн суурин дээрээс ердийн дөрвөлжин пирамид зурж эхэлдэг. Сегментүүдийн параллелизм хадгалагдан үлдсэн боловч өнцгийн утга байхгүй тул суурь дээрх квадратыг параллелограмм хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Боломжтой хурц өнцөгЭнэ параллелограммыг жижиг болго, тэгвэл хажуугийн нүүрнүүд том болно. Дөрвөлжингийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Бид диагональ зурж, огтлолцлын цэгээс перпендикулярыг сэргээдэг. Энэ перпендикуляр нь пирамидын өндөр юм. Хажуугийн хавирга нь хоорондоо нийлдэггүй байхын тулд бид перпендикулярын уртыг сонгоно.
Зөв зурсан зургаан өнцөгт пирамид
Зэрэгцээ дизайн хийх үед сегментүүдийн параллель байдал хадгалагдан үлдсэн тул ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь буюу ердийн зургаан өнцөгт нь эсрэг талууд нь параллель ба тэнцүү зургаан өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Ердийн зургаан өнцөгтийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд бид диагональ зурдаггүй, гэхдээ энэ цэгийг ойролцоогоор олдог. Үүнээс бид перпендикуляр - пирамидын өндрийг сэргээж, хажуугийн хавирга нь хоорондоо нийлдэггүй.
Пирамидууд нь: гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт, ямар суурьтай байгаагаас хамааран гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт.
Хэрэв нэгдүгээрт, суурь нь ердийн олон өнцөгт, хоёрдугаарт, өндөр нь энэ олон өнцөгтийн төвөөр дамжин өнгөрдөг бол пирамидыг ердийн гэж нэрлэдэг (Зураг 286, б).
Үгүй бол пирамидыг жигд бус гэж нэрлэдэг (Зураг 286, в). IN зөв пирамидХажуугийн бүх хавирга нь бие биетэйгээ тэнцүү байна (налуу тэнцүү төсөөлөл). Тиймээс ердийн пирамидын бүх хажуугийн гадаргуу нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын элементүүдийн шинжилгээ, тэдгээрийг нарийн төвөгтэй зураг дээр дүрслэх (Зураг 287).
A) Нарийн төвөгтэй зурагердийн зургаан өнцөгт пирамид. Пирамидын суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг; пирамидын суурийн хоёр тал нь проекцын P 2 хавтгайтай параллель байна.
b) ABCDEF суурь нь P 1 проекцын хавтгайд байрладаг зургаан өнцөгт юм.
V) Хажуугийн ирмэг ASF нь ерөнхий хавтгайд байрладаг гурвалжин юм.
d) FSE-ийн хажуугийн нүүр нь профиль-проектийн хавтгайд байрладаг гурвалжин юм.
e) Edge SE нь ерөнхий байрлал дахь сегмент юм.
f) Rib SA - урд талын сегмент.
g) Пирамидын дээд S нь огторгуйн цэг юм.
288, 289-р зурагт пирамидуудын нарийн төвөгтэй зураг, дүрслэл (аксонометр) хийх үед дараалсан график үйлдлийн жишээг үзүүлэв.
Өгөгдсөн:
1. Суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг.
2. Суурийн нэг тал нь х тэнхлэгтэй 12 параллель байна.
I. Цогцолбор зураг.
би, а. Бид пирамидын суурийг - олон өнцөгтийн дагуу зохион бүтээдэгэнэ нөхцөл
P1 хавтгайд хэвтэж байна.
Бид оройг зохион бүтээдэг - орон зайд байрлах цэг. S цэгийн өндөр нь пирамидын өндөртэй тэнцүү байна. S цэгийн хэвтээ төсөөлөл S 1 нь пирамидын суурийн проекцын төвд байрлана (нөхцөлөөр).
би, б. Бид пирамидын ирмэгийг зохион бүтээдэг - сегментүүд; Үүний тулд бид ABCDE суурийн оройнуудын проекцуудыг S пирамидын оройн харгалзах проекцуудтай шулуун шугамаар холбоно. Бид пирамидын ирмэгүүдийн S 2 C 2 ба S 2 D 2 урд талын төсөөллийг тасархай шугамаар, пирамидын ирмэгээр (SА ба SAE) хаагдсан үл үзэгдэх байдлаар дүрсэлсэн.би, в. SBA-ийн хажуугийн гадаргуу дээрх K цэгийн K 1 хэвтээ проекцийг өгөгдсөн бол та түүний урд талын проекцийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид S 1 ба K 1 цэгүүдээр дамжуулан туслах шулуун S 1 F 1 шугамыг зурж, түүний урд талын проекцийг олоорой.
босоо шугам холболт, бид K цэгийн хүссэн урд талын проекц K 2 байрлалыг тодорхойлно. II.
Пирамидын гадаргуугийн хөгжил -
хавтгай дүрс 1
, хажуугийн нүүрнээс бүрдэх - ижил тэгш өнцөгт гурвалжин, нэг тал нь суурийн талтай тэнцүү, нөгөө хоёр нь хажуугийн ирмэг хүртэл, ердийн олон өнцөгтөөс - суурь. Суурийн хажуугийн байгалийн хэмжээсийг түүний хэвтээ проекц дээр харуулав. Хавирганы байгалийн хэмжээсийг төсөөлөл дээр харуулаагүй болно.Гипотенуз S 2 ¯A 2 (Зураг 288, , б)зөв гурвалжин
Том хөлтэй S 2 O 2 ¯A 2 өндөртэй тэнцүүПирамидын S 2 O 2, жижиг нь ирмэгийн хэвтээ төсөөлөл S 1 A 1 нь пирамидын ирмэгийн байгалийн хэмжээ юм. Цэвэрлэгээний барилгын ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ. a) -аасдурын цэг
S (оройнууд) R радиустай нум зурах,
ирмэгтэй тэнцүү пирамидууд;, энэ пирамидын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийг бүрдүүлдэг, SD ирмэгийн дагуу зүсэгдсэн;
г) бид пирамидын суурийг - таван өнцөгтийг гурвалжингийн аргыг ашиглан аль ч нүүрэнд, жишээлбэл DSE нүүрэнд хавсаргана.
К цэгийг сканнерт шилжүүлэх нь хэвтээ проекц дээр авсан B 1 F 1 хэмжээс, хавирганы байгалийн хэмжээгээр авсан A 2 K 2 хэмжээсийг ашиглан туслах шулуун шугамаар хийгддэг.
III.
Изометрийн пирамидын харааны дүрслэл. 1
III, а.
Бид пирамидын суурийг координатыг ашиглан дүрсэлсэн (Зураг 288, 1
III, а.
, A).
Бид пирамидын дээд хэсгийг координатыг ашиглан дүрсэлсэн (Зураг 288,
III, б.
Өгөгдсөн:
Бид пирамидын хажуугийн ирмэгийг дүрсэлж, дээд хэсгийг суурийн оройтой холбодог. S"D" ирмэг ба суурийн C"D" ба D"E" талуудыг C"S"B, B"S"A" пирамидын ирмэгээр хаагдсан, үл үзэгдэх байдлаар тасархай шугамаар дүрсэлсэн болно. ба A"S"E".
III, д.
Бид пирамидын гадаргуу дээрх K цэгийг y F ба x K хэмжээсүүдийг ашиглан тодорхойлно. Пирамидын диметрийн зургийн хувьд ижил дарааллыг баримтлах хэрэгтэй.
Тогтмол бус гурвалжин пирамидын зураг. 1. Суурь нь P 1 хавтгайд байрладаг. 2. Суурийн ВС тал нь X тэнхлэгт перпендикуляр байна.
I. Цогцолбор зураг
би, а.
Пирамидын суурийг зохион бүтээх -
тэгш өнцөгт гурвалжин , P 1 хавтгайд хэвтэж байгаа бөгөөд S орой нь орон зайд байрлах цэг бөгөөд түүний өндөр нь пирамидын өндөртэй тэнцүү байна.би, б.
Пирамидын гадаргуугийн хөгжлийг бий болгох дараалал:
a) CB пирамидын суурийн талтай тэнцүү суурь нь CSB нүүртэй адил тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах ба талууд- хавирганы SC-ийн байгалийн хэмжээ;
б) баригдсан гурвалжны SC ба SB талуудад хоёр гурвалжинг хавсаргана - CSA ба BSA пирамидын нүүрнүүд, баригдсан гурвалжны суурь CB - пирамидын суурь CBA, үр дүнд нь бид бүрэн утгыг олж авна. энэ пирамидын гадаргуугийн хөгжил.
D цэгийг скан руу шилжүүлэх ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ: эхлээд ASC-ийн хажуугийн нүүрний скан дээр R 1 хэмжээсийг ашиглан хэвтээ шугам зурж, дараа нь D цэгийн байрлалыг хэвтээ шугамаар тодорхойлно. хэмжээс R 2.
III. Пирамидын харааны дүрслэл e урд талын диметрийн проекц
III, а. Бид пирамидын A "B"C суурь ба дээд S хэсгийг дүрсэлж, координатыг (
Орон зайн тоонуудын эзлэхүүнийг тооцоолох нь эдгээрийн нэг юм чухал ажлуудстереометр. Энэ нийтлэлд бид пирамид гэх мэт олон өнцөгтийн эзэлхүүнийг тодорхойлох асуудлыг авч үзэхээс гадна зургаан өнцөгт ердийн нэгийг өгөх болно.
Зургаан өнцөгт пирамид
Юуны өмнө, нийтлэлд авч үзэх зураг гэж юу болохыг харцгаая.
Талууд нь хоорондоо тэнцүү байх албагүй, дурын зургаан өнцөгттэй болгоё. Мөн бид зургаан өнцөгтийн хавтгайд ороогүй огторгуйн цэгийг сонгосон гэж үзье. Сүүлчийн бүх буланг сонгосон цэгтэй холбосноор бид пирамид авдаг. Хоёр өөр пирамидтай зургаан өнцөгт суурь, доорх зурагт үзүүлэв.
Зургаан өнцөгтөөс гадна уг дүрс нь зургаан гурвалжингаас бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн холбох цэгийг орой гэж нэрлэдэг. Дүрслэгдсэн пирамидуудын ялгаа нь баруун талынх нь h өндөр нь зургаан өнцөгт суурьтай огтлолцохгүй байх явдал юм. геометрийн төв, мөн зүүн зургийн өндөр нь яг энэ төвд унадаг. Энэ шалгуурын ачаар зүүн пирамидыг шулуун, баруун пирамидыг налуу гэж нэрлэжээ.
Зураг дээрх зүүн талын зургийн суурь нь тэгш тал ба өнцөг бүхий зургаан өнцөгтөөс бүрдсэн тул үүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Цаашид нийтлэлд бид зөвхөн энэ пирамидын талаар ярих болно.
Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд бидэнд байна дараах томъёо:
Энд h нь зургийн өндрийн урт, S o нь суурийн талбай юм. Зургаан өнцөгт ердийн пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо энэ илэрхийллийг ашиглая.
Энэ зургийн суурь нь тэгш талт зургаан өнцөгт тул түүний талбайг тооцоолохын тулд та дараахь зүйлийг ашиглаж болно ерөнхий илэрхийлэл n-gon-ийн хувьд:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Энд n нь олон өнцөгтийн талуудын (өнцгийн) тоотой тэнцүү бүхэл тоо, a нь түүний хажуугийн урт, котангентын функцийг тохирох хүснэгтүүдийг ашиглан тооцоолно.
n = 6 илэрхийлэлийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Одоо энэ илэрхийллийг орлуулах л үлдлээ ерөнхий томъёо V ботид:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Тиймээс пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд түүний хоёрыг мэдэх шаардлагатай шугаман параметр: суурийн хажуугийн урт ба зургийн өндөр.
Асуудлыг шийдэх жишээ
Дараах асуудлыг шийдэхийн тулд V 6-ийн үр дүнгийн илэрхийллийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулъя.
Зөв эзэлхүүн нь 100 см 3 гэдгийг мэддэг. Дараах тэгшитгэлээр бие биентэйгээ хамааралтай болохыг мэдэж байгаа бол суурийн тал ба зургийн өндрийг тодорхойлох шаардлагатай.
Эзлэхүүний томьёо нь зөвхөн a ба h-г агуулдаг тул та эдгээр параметрүүдийн аль нэгийг нь нөгөөгөөр илэрхийлсэн аль нэгийг нь орлуулж болно. Жишээлбэл, a-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Зургийн өндрийг олохын тулд уртын хэмжээстэй тохирох эзэлхүүний гурав дахь үндсийг авах хэрэгтэй. Асуудлын нөхцлөөс бид пирамидын V 6 эзлэхүүний утгыг орлуулж, өндрийг авна.
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3.0676 см
Асуудлын нөхцлийн дагуу суурийн тал нь олдсон утгаас хоёр дахин их байгаа тул бид түүний утгыг олж авна.
a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 см
Зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүнийг зөвхөн зургийн өндөр, суурийн хажуугийн утгыг ашиглан олж болно. Үүнийг тооцоолохын тулд пирамидын хоёр өөр шугаман параметрийг мэдэхэд хангалттай, жишээлбэл, апотем ба хажуугийн ирмэгийн урт.
Пирамидуудтай холбоотой асуудлууд. Энэ нийтлэлд бид пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Тэдгээрийг ямар ч анги, төрлийн даалгаварт хамааруулж болохгүй бөгөөд шийдлийн ерөнхий (алгоритм) зөвлөмж өгөх боломжгүй. Өмнө нь авч үзээгүй үлдсэн ажлуудыг энд цуглуулсан болно.
Шийдвэрлэхээсээ өмнө санах ойгоо сэргээх хэрэгтэй гэсэн онолыг би жагсаах болно: пирамидууд, дүрс ба биеийн ижил төстэй шинж чанарууд, ердийн пирамидын шинж чанарууд, Пифагорын теорем, гурвалжны талбайн томъёо (энэ нь хоёр дахь нь). Даалгавруудыг авч үзье:
Эзлэхүүн нь 80 хэмжээтэй гурвалжин пирамидаас гурвалжин пирамидыг пирамидын орой ба суурийн дунд шугамаар дайран өнгөрдөг хавтгайгаар таслав. Таслагдсан гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг ол.
Пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.
Эдгээр пирамидууд (эх ба таслагдсан) нийтлэг өндөртэй тул тэдгээрийн эзэлхүүн нь суурийн талбайн хэмжээтэй холбоотой байдаг. Дунд шугаманхны гурвалжингаас талбай нь дөрөв дахин бага гурвалжинг таслав, өөрөөр хэлбэл:
Энэ талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг эндээс авах боломжтой.
Энэ нь захын пирамидын хэмжээ дөрөв дахин бага байх болно гэсэн үг юм.
Тэгэхээр 20-той тэнцэнэ.
Хариулт: 20
* ижил төстэй асуудал бол гурвалжны талбайн томъёог ашигладаг.
Гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь 15. Хавтгай нь энэ пирамидын суурийн хажуу талыг дайран өнгөрч, пирамидын оройноос эхлэн тоолоход эсрэг талын ирмэгийг 1: 2 харьцаагаар хуваах цэгээр огтолж байна. Онгоц нь анхны пирамидыг хуваасан пирамидын хамгийн том эзэлхүүнийг ол.
Пирамид байгуулж, оройг нь тэмдэглэе.AS ирмэг дээр E цэгийг тэмдэглэж, AE нь ES-ээс 2 дахин том байхаар (нөхцөлд ES нь AE-тэй 1-ээс 2-ын хооронд хамааралтай гэж заасан) АС ирмэг ба Е цэгийг дайран өнгөрөх заасан хавтгайг байгуулъя:
Аль пирамидын эзэлхүүнийг шинжлэхийг үзье: EABC эсвэл SEBC?
* Пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн үржвэрийн гуравны нэгтэй тэнцүү байна.
Хэрэв бид үүссэн хоёр пирамидыг авч үзээд EBC-ийн нүүрийг хоёуланд нь суурь болгон авбал AEB пирамидын эзэлхүүн нь SEBC пирамидын эзэлхүүнээс их байх нь тодорхой болно. Яагаад?
А цэгээс EBC хавтгай хүртэлх зай нь S цэгээс хол зайд их байна. Мөн энэ зай нь бидний хувьд өндрийн үүрэг гүйцэтгэдэг.
Тэгэхээр EABC пирамидын эзэлхүүнийг олъё.
Анхны пирамидын эзэлхүүнийг бидэнд өгсөн SABC болон EABC пирамидууд нь нийтлэг суурьтай байдаг. Хэрэв бид өндрийн харьцааг тогтоовол эзлэхүүнийг хялбархан тодорхойлж чадна.
ES ба AE сегментүүдийн харьцаанаас харахад AE нь ES-ийн гуравны хоёртой тэнцүү байна. SABC ба EABC пирамидуудын өндөр нь ижил хамааралтай -EABC пирамидын өндөр нь SABC пирамидын өндрийн 2/3-тай тэнцүү байх болно.
Тиймээс, хэрэв
Тэр
Хариулт: 10
Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн 6. Суурийн тал нь 1. Хажуугийн ирмэгийг ол.
Ердийн пирамидын хувьд орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.Нэмэлт бүтээн байгуулалтуудыг хийцгээе:
Бид SOC-ийн тэгш өнцөгт гурвалжингаас хажуугийн ирмэгийг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд та SO болон OS-ийг мэдэх хэрэгтэй.
SO нь пирамидын өндөр бөгөөд бид үүнийг эзлэхүүний томъёогоор тооцоолж болно.
Суурийн талбайг тооцоолъё. энгийн зургаан өнцөгт нь 1-тэй тэнцүү талтай. Энгийн зургаан өнцөгтийн талбай нь зургаагийн талбайтай тэнцүү. тэгш талт гурвалжинижил талтай, энэ талаар дэлгэрэнгүй (6-р зүйл), тиймээс:
гэсэн үг
OS = BC = 1, учир нь ердийн зургаан өнцөгт нь түүний төвийг оройтой холбодог сегмент юм талтай тэнцүүэнэ зургаан өнцөгт.
Тиймээс Пифагорын теоремын дагуу:
Хариулт: 7
ЭзлэхүүнТетраэдрийн эзэлхүүн 200. Оройнууд нь өгөгдсөн тетраэдрийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүд болох олон өнцөгтийн эзэлхүүнийг ол.
Заасан олон өнцөгтийн эзэлхүүн зөрүүтэй тэнцүү байнаАнхны тетраэдр V 0 ба дөрвөн тэнцүү тетраэдрүүдийн эзэлхүүн тус бүрийг нийтлэг оройтой ирмэгийн дундуур дайран өнгөрөх хавтгайг таслах замаар олж авдаг.
Юу болохыг тодорхойлъё эзлэхүүнтэй тэнцүүтетраэдрийг таслав.
Анхны тетраэдр ба "таслагдсан" тетраэдр нь ижил төстэй биетүүд гэдгийг анхаарна уу. Эзлэхүүний харьцаа нь мэдэгдэж байна ижил төстэй биетүүдтэнцүү k 3, энд k нь ижил төстэй байдлын коэффициент. IN энэ тохиолдолдэнэ нь 2-той тэнцүү (эхний тетраэдрийн бүх шугаман хэмжээсүүд нь зүссэн хэсгийн харгалзах хэмжээсээс хоёр дахин том учраас):
Зүссэн тетраэдрийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.
Тиймээс шаардлагатай хэмжээ нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байх болно.
Хариулт: 100
Тетраэдрийн гадаргуугийн талбай 120. Орой нь өгөгдсөн тетраэдрийн ирмэгийн дунд цэгүүд болох олон талт гадаргуугийн талбайг ол.
Эхний арга:
Шаардлагатай гадаргуу нь анхны тетраэдрийн ирмэгийн хагастай тэнцүү талтай 8 тэгш талт гурвалжингаас бүрдэнэ. Анхны тетраэдрийн гадаргуу нь ийм 16 гурвалжингаас бүрддэг (тетраэдрийн 4 нүүр тус бүр дээр 4 гурвалжин байдаг) тул шаардагдах талбай нь өгөгдсөн тетраэдрийн гадаргуугийн талтай тэнцүү бөгөөд 60-тай тэнцүү байна.
Хоёр дахь арга:
Тетраэдрийн гадаргуугийн талбай нь мэдэгдэж байгаа тул бид түүний ирмэгийг олж, дараа нь олон өнцөгтийн ирмэгийн уртыг тодорхойлж, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно.
Тетраэдрийн гадаргуугийн талбай нь дөрвөн тэнцүү талбайгаас бүрдэнэ тогтмол гурвалжин. Ийм гурвалжны тал (тетраэдрийн ирмэг) нь a-тай тэнцүү байвал бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
