B) Тооны мөр
Тоон шугамыг авч үзье (Зураг 6):
Рационал тоонуудын багцыг авч үзье
Рационал тоо бүрийг тодорхой цэгээр илэрхийлдэг тооны тэнхлэг. Тиймээс тоонууд нь зураг дээр тэмдэглэгдсэн байна.
Үүнийг баталцгаая.
Баталгаа.Бутархай тоо байг: . Бид энэ фракцыг бууруулж болохгүй гэж үзэх эрхтэй. -ээс хойш - тоо нь тэгш байна: - сондгой. Түүний илэрхийлэлийг орлуулбал бид олж мэднэ: , үүнээс дараах нь - тэгш тоо. Бид мэдэгдлийг нотлох зөрчилдөөнийг олж авлаа.
Тиймээс тооны тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийг төлөөлдөггүй рационал тоо. Рационал тоонуудыг төлөөлдөггүй цэгүүд нь дуудагдсан тоог илэрхийлдэг үндэслэлгүй.
, , хэлбэрийн дурын тоо нь бүхэл тоо эсвэл иррационал тоо юм.
Тоон интервалууд
Тоон сегмент, интервал, хагас интервал, туяаг тоон интервал гэнэ.
| Тоон интервалыг тодорхойлсон тэгш бус байдал | Тоон интервалын тэмдэглэгээ | Тооны интервалын нэр | Энэ нь дараах байдалтай байна. |
| a ≤ x ≤ b | [a; б] | Тоон сегмент | a-аас b хүртэлх сегмент |
| а< x < b | (a; б) | Интервал | a-аас b хүртэлх зай |
| a ≤ x< b | [a; б) | Хагас интервал | Хагас интервалаас аруу б, үүнд а. |
| а< x ≤ b | (a; б] | Хагас интервал | Хагас интервалаас аруу б, үүнд б. |
| x ≥ a | [a; +∞) | Тооны цацраг | Тооны цацрагаас анэмэх хязгаар хүртэл |
| x>a | (a; +∞) | Нээлттэй тооны цацраг | -аас тоон цацрагийг нээх анэмэх хязгаар хүртэл |
| x ≤ a | (- ∞; а] | Тооны цацраг | Хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх тооны туяа а |
| x< a | (- ∞; а) | Нээлттэй тооны цацраг | Нээлттэй тооны туяа хасах хязгаараас хязгаар хүртэл а |
Координатын шугам дээрх тоонуудыг төлөөлүүлье аТэгээд б, түүнчлэн дугаар xтэдний хооронд.
Нөхцөлийг хангасан бүх тоонуудын багц a ≤ x ≤ b, дуудсан тоон сегментэсвэл зүгээр л хэсэг. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: [ a; б] - Энэ нь дараах байдалтай байна: a-аас b хүртэлх хэсэг.
Нөхцөлийг хангасан тооны багц а< x < b , дуудсан интервал. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( a; б)
Энэ нь дараах байдалтай байна: a-аас b хүртэлх зай.
a ≤ x нөхцлийг хангасан тооны багц< b или а<x ≤ b, гэж нэрлэдэг хагас интервалууд. Тэмдэглэл:
≤ x-г тохируулна уу< b обозначается так:[a; б), дараах байдлаар уншина: хагас интервалаас аруу б, үүнд а.
Олон а<x ≤ bдараах байдлаар заасан байна :( a; б], ингэж уншина: хагас интервалаас аруу б, үүнд б.
Одоо төсөөлөөд үз дээ цацрагцэгтэй а, баруун болон зүүн талд нь олон тооны тоо байдаг.
а, нөхцөлийг хангасан x ≥ a, дуудсан тоон цацраг.
Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: [ a; +∞)-Ингэж уншина: нь тоон туяа анэмэх хязгааргүй.
Цэгийн баруун талд байгаа тоонуудын багц а, тэгш бус байдалд харгалзах x>a, дуудсан нээлттэй тооны цацраг.
Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( a; +∞)-Ингэж уншина: -аас нээлттэй тоон туяа анэмэх хязгааргүй.
а, нөхцөлийг хангасан x ≤ a, дуудсан хасах хязгааргүй хүртэлх тоон туяаа .
Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон:( - ∞; а]-Ингэж уншина: хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх тоон туяа а.
Цэгийн зүүн талд байгаа тоонуудын багц а, тэгш бус байдалд харгалзах x< a , дуудсан Нээлттэй тооны туяа хасах хязгаарааса .
Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( - ∞; а)-Ингэж уншина: хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх нээлттэй тооны туяа а.
Бодит тоонуудын багцыг бүхэл бүтэн координатын шугамаар илэрхийлнэ. Тэд түүнийг дууддаг тооны шугам. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( - ∞; + ∞ )
3) Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, тэдгээрийн шийдлүүд:
Хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай тэгшитгэл эсвэл нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, нэг хувьсагчтай тэгшитгэл нь 3(2x+7)=4x-1 байна.
Тэгшитгэлийн үндэс буюу шийдэл нь тухайн тэгшитгэл жинхэнэ тоон тэгшитгэл болох хувьсагчийн утга юм. Жишээлбэл, 1-ийн тоо нь 2x+5=8x-1 тэгшитгэлийн шийдэл юм. x2+1=0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж тэгээс их байна. (x+3)(x-4) =0 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x1= -3, x2=4.
Тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх язгуурыг олох эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.
Эхний тэгшитгэлийн бүх язгуурууд нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс ба эсрэгээр, хоёр дахь тэгшитгэлийн бүх язгуур нь эхний тэгшитгэлийн язгуур эсвэл хоёулаа язгуургүй бол тэгшитгэлийг эквивалент гэнэ. Жишээлбэл, x-8=2 ба x+10=20 тэгшитгэлүүд нь тэнцүү, учир нь Эхний тэгшитгэлийн язгуур х=10 нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд хоёр тэгшитгэл хоёулаа ижил язгууртай.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах шинж чанаруудыг ашиглана.
Хэрэв та тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилбөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг авах болно.
Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.
x нь хувьсагч, a ба b нь зарим тоо байх ax=b тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
Хэрэв a¹0 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Хэрэв a=0, b=0 бол x-ийн дурын утга тэгшитгэлийг хангана.
Хэрэв a=0, b¹0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь 0x=b нь хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд гүйцэтгэгдэхгүй.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд: -8(11-2х)+40=3(5х-4)
Тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтуудыг нээж, x-тэй бүх гишүүнийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу, х-г агуулаагүй гишүүдийг баруун тал руу шилжүүлье.
16х-15х=88-40-12
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд:
x3-2x2-98x+18=0;
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шугаман биш боловч бид ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж болохыг харуулах болно.
3х2-5х=0; x(3x-5)=0. Бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү, хэрэв хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бид x1=0 болно; x2= .
Хариулт: 0; .
Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Үүнээс үзэхэд энэ тэгшитгэлийн шийд нь x1=2, x2=3, x3=-3 тоонууд юм.
в) 7x-ийг 3x+4x гэж төсөөлөөд үз дээ: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, иймээс x1=-3, x2=- 4.
Хариулт: -3; - 4.
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Тооны модулийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая. 
Жишээ нь: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
Энэ тэгшитгэлд модулийн тэмдгийн доор x-1 ба x+1 тоонууд байна. Хэрэв x нь –1-ээс бага бол x+1 тоо сөрөг, ½x+1½=-x-1. Хэрэв x>-1 бол ½x+1½=x+1 болно. x=-1 ½x+1½=0 үед.
Тиймээс, 
Үүний нэгэн адил
a) авч үзэх өгөгдсөн тэгшитгэл x£-1-д ½x+1½+½x-1½=3, энэ нь -x-1-x+1=3, -2x=3, x= тэгшитгэлтэй тэнцүү, энэ тоо нь x£-1 олонлогт хамаарна. .
б) -1 гэж үзье< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) x>1 тохиолдлыг авч үзье.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Энэ тоо нь x>1 олонлогт хамаарна.
Хариулт: x1=-1.5; x2=1.5.
Жишээ 4. Тэгшитгэлийг шийд:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Бид танд үзүүлэх болно богино тэмдэглэлтэгшитгэлийг шийдэж, "интервал"-ын модулийн тэмдгийг илрүүлэх.
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Хариулт: [-2; 0]
Жишээ 5. a параметрийн бүх утгын хувьд (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2) тэгшитгэлийг шийд.
Энэ тэгшитгэлд үнэндээ хоёр хувьсагч байгаа боловч x-г үл мэдэгдэх, а-г параметр гэж үзнэ. a параметрийн дурын утгын хувьд x хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.
Хэрэв a=1 бол энэ тэгшитгэл нь 0×x=0 хэлбэртэй байна.
Хэрэв a=-1 бол тэгшитгэл нь 0×x=-2 шиг харагдаж байна.
Хэрэв a¹1, a¹-1 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Хариулт: a=1 бол x дурын тоо;
хэрэв a=-1 бол шийдэл байхгүй;
Хэрэв a¹±1 бол .
B) Нэг хувьсагчтай шугаман тэгш бус байдал.
Хэрэв x хувьсагчд ямар нэгэн тоон утга өгөгдсөн бол бид үүнийг авна тоон тэгш бус байдал, үнэн эсвэл худал мэдэгдлийг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, 5x-1>3x+2 тэгш бус байдлыг өгье. x=2-ын хувьд бид 5·2-1>3·2+2 -ийг авна. үнэн мэдэгдэл(тооны зөв мэдэгдэл); x=0 үед бид 5·0-1>3·0+2 – худал мэдэгдлийг авна. Хувьсагчийн дурын утга энэ тэгш бус байдалхувьсагч нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болж хувирахыг тэгш бус байдлын шийдэл гэнэ. Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийн олонлогийг олох гэсэн үг юм.
Эдгээр тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц давхцаж байвал ижил x хувьсагчтай хоёр тэгш бус байдлыг эквивалент гэнэ.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол санаа нь дараах байдалтай байна: бид энэ тэгш бус байдлыг өөр, илүү энгийн, гэхдээ өгөгдсөнтэй тэнцэх зүйлээр солино; бид дахин үүссэн тэгш бус байдлыг үүнтэй дүйцэхүйц энгийн тэгш бус байдлаар солих гэх мэт.
Ийм орлуулалтыг дараах мэдэгдлийн үндсэн дээр хийсэн болно.
Теорем 1. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын аль нэг гишүүнийг тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлбэл эсрэг тэмдэг, тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй байхад бид өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдлыг олж авна.
Теорем 2. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлээд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй бол өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдал гарна.
Теорем 3. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил тэнцүүгээр үржүүлж эсвэл хуваавал сөрөг тоо, тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд бид өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдлыг олж авна.
ax+b>0 хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шугаман гэж нэрлэдэг (тус тусад нь ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Жишээ 1. Тэгш бус байдлыг шийд: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Хаалтуудыг нээвэл бид 2x-6+5-5x³6x-15,
Хариулт - (-∞;+∞) олонлогийг тооны шулуун гэж нэрлэдэг бөгөөд дурын тоо нь энэ шулуун дээрх цэг юм. - дурын цэгтооны шугам ба δ
Эерэг тоо. (a-δ; a+δ) интервалыг a цэгийн δ-хөрш гэж нэрлэдэг.
Аливаа x ∈ X-ийн хувьд x≤с (x≥c) тэгш бус байдал биелэх c тоо байвал X олонлогийг дээрээс (доороос) хязгаарлана. Энэ тохиолдолд c тоог X олонлогийн дээд (доод) хязгаар гэж нэрлэнэ. Дээр ба доор хоёуланд нь хязгаарлагдсан олонлогийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Олонлогийн дээд (доод) хязгаарын хамгийн бага (хамгийн том) нь энэ олонлогийн яг дээд (доод) хязгаар гэж нэрлэгддэг.
Тоон интервал гэдэг нь холбогдсон бодит тоонуудын багц, өөрөөр хэлбэл 2 тоо энэ олонлогт харьяалагддаг бол тэдгээрийн хоорондох бүх тоонууд мөн энэ олонлогт хамаарна. Хоосон бус хэд хэдэн өөр өөр төрлүүд байдаг тоон интервалууд: Шулуун, нээлттэй цацраг, хаалттай цацраг, сегмент, хагас интервал, интервал
Тооны шугам
Бүх бодит тоонуудын олонлогийг мөн тооны шугам гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг.
Практикт геометрийн утгаараа координат буюу тооны шулуун гэсэн ойлголт, энэ тодорхойлолтоор нэвтрүүлсэн тооны шулуун гэсэн ойлголтыг ялгах шаардлагагүй. Тиймээс эдгээр өөр өөр ойлголтуудыг ижил нэр томъёогоор илэрхийлдэг.
Ийм тооны багцыг нээлттэй тооны туяа гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг 
эсвэл үүний дагуу: 
.
Хаалттай цацраг
Ийм тооны багцыг хаалттай тооны шугам гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг 
эсвэл үүний дагуу:.
Тоонуудын багцыг тооны сегмент гэж нэрлэдэг.
Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтод үүнийг заагаагүй болно. Хэрэг гарах боломжтой гэж үзэж байна. Дараа нь тоон интервал нь цэг болж хувирна.
Интервал
Тоон интервал гэж нэрлэгддэг тоонуудын багц.
Сэтгэгдэл. Нээлттэй цацраг, шулуун шугам, интервалын тэмдэглэгээний давхцал нь санамсаргүй биш юм. Нээлттэй туяаг нэг төгсгөл нь хязгааргүй хүртэл арилдаг интервал, тооны шугамыг хоёр төгсгөл хүртэл хязгааргүй зайд авдаг интервал гэж ойлгож болно.
Хагас интервал
Ийм тооны багцыг тоон хагас интервал гэж нэрлэдэг.
Тэд бичдэг эсвэл тус тусад нь
3.Функц.Функцийн график. Функцийг тодорхойлох аргууд.
Хариулт - Хэрвээ x ба y гэсэн хоёр хувьсагч өгөгдсөн бол эдгээр хувьсагчдын хооронд утга тус бүрээр у-ийн утгыг онцгойлон тодорхойлох боломжтой ийм хамаарал өгөгдсөн бол у хувьсагчийг х хувьсагчийн функц гэнэ.
F = y(x) гэсэн тэмдэглэгээ нь хамааралтай хувьсагчийн харгалзах утгыг олохын тулд x бие даасан хувьсагчийн дурын утгыг (х аргументыг ерөнхийд нь авч болох утгуудаас) зөвшөөрөх функцийг авч үзэж байна гэсэн үг юм.
Функцийг тодорхойлох аргууд.
Функцийг томъёогоор тодорхойлж болно, жишээлбэл:
y = 3x2 – 2.
Функцийг графикаар тодорхойлж болно. График ашиглан та ямар функцийн утга нь заасан аргументын утгатай тохирч байгааг тодорхойлж болно. Энэ нь ихэвчлэн функцийн ойролцоо утгатай байдаг.
4.Функцийн үндсэн шинж чанарууд: монотон, паритет, үе үе.
Хариулт -Тогтмол байдлын тодорхойлолт. Хэрэв ийм тоо байгаа бол f функцийг үечилсэн гэж нэрлэдэг 
, тэр f(x+ 
)=f(x), бүх x-ийн хувьд 
D(f). Мэдээжийн хэрэг, ийм тоо тоо томшгүй олон байдаг. Хамгийн бага эерэг тоог ^ T функцийн үе гэж нэрлэдэг. Жишээ. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, энэ функц нь үе үе биш юм. Паритетийн тодорхойлолт. F(-x) = f(x) шинж чанар нь D(f)-ийн бүх x-д тохирч байсан ч f функцийг дуудна. Хэрэв f(-x) = -f(x) бол функцийг сондгой гэж нэрлэнэ. Хэрэв заасан харилцааны аль нь ч хангагдаагүй бол функцийг ерөнхий функц гэнэ. Жишээ. A. y = cos (x) - тэгш; V. y = tg (x) - сондгой; S. y = (x); y=sin(x+1) – ерөнхий хэлбэрийн функцууд. Монотоны тодорхойлолт. f: X -> R функцийг хэрэв байгаа бол нэмэгдэх (буурах) гэж нэрлэдэг 
нөхцөл хангагдсан: 
Тодорхойлолт. X -> R функц нь X дээр нэмэгдэж эсвэл буурч байвал X дээр монотон гэж нэрлэгддэг. Хэрэв f нь X-ийн зарим дэд олонлогт монотон байвал түүнийг хэсэгчилсэн монотон гэнэ. Жишээ. y = cos x - хэсэгчилсэн монотон функц.
Тоон интервалууд. Контекст. Тодорхойлолт
Тэгшитгэл (тэгшитгэл) нь тоон шулуун дээр нэг цэгтэй байдаг (хэдийгээр энэ цэг нь хийсэн хувиргалт болон сонгосон язгуураас хамаарна). Тэгшитгэлийн шийдэл нь өөрөө тоон багц (заримдаа ганц тооноос бүрдэх) байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн тоон мөрөнд байдаг (иж бүрдлийг дүрслэх бодит тоо) нь зөвхөн цэгийн дагуу харагдах болно, гэхдээ бас олон байна ерөнхий төрлүүдхоёр тооны хоорондын хамаарал - тэгш бус байдал. Тэдгээрийн дотор тооны шугамыг тодорхой тоонд хувааж, түүнээс таслав тодорхой хэсэг- илэрхийлэл эсвэл тоон интервалын утгууд.
Тоон интервалын сэдвийг тэгш бус байдлын хамт хэлэлцэх нь логик юм, гэхдээ энэ нь зөвхөн тэдгээртэй холбоотой гэсэн үг биш юм. Тоон интервал (интервал, сегмент, туяа) нь тодорхой тэгш бус байдлыг хангадаг хувьсах утгуудын багц юм. Энэ нь үндсэндээ энэ нь ямар нэгэн хүрээгээр хязгаарлагдсан тоон шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багц юм. Тиймээс тоон интервалын сэдэв нь үзэл баримтлалтай хамгийн нягт холбоотой байдаг хувьсагч. Хувьсагч эсвэл тоон шулуун дээрх дурын х цэг байгаа бөгөөд үүнийг ашиглаж байгаа тохиолдолд тоон интервалууд, интервалууд - x утгууд байдаг. Ихэнхдээ утга нь юу ч байж болно, гэхдээ энэ нь мөн бүх тооны шугамыг хамарсан тоон интервал юм.
Үзэл баримтлалыг танилцуулъя тоон интервал. дунд тооны багц, өөрөөр хэлбэл объектууд нь тоонууд болох олонлогууд нь тоон интервал гэж нэрлэгддэг зүйлийг ялгадаг. Тэдний үнэ цэнэ нь заасан тоон интервалд тохирох багцыг төсөөлөхөд маш хялбар байдаг ба эсрэгээр. Тиймээс тэдний тусламжтайгаар тэгш бус байдлын олон шийдлийг бичихэд тохиромжтой. Тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь тоон интервал биш, харин тэгш бус байдал бүхий тооны шулуун дээрх хэд хэдэн тоо, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн утгад ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаг бол тоон интервалууд гарч ирдэг.
Тооны интервал гэдэг нь өгөгдсөн тоо эсвэл тоогоор (тооны шулуун дээрх цэгүүд) хязгаарлагдмал тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багц юм.
Ямар ч төрлийн тоон интервалыг (тодорхой тоонуудын хооронд хавсаргасан x утгын багц) үргэлж гурван аргаар дүрсэлж болно. математик тэмдэглэгээ: интервал, тэгш бус байдлын хэлхээ (дан тэгш бус байдал эсвэл давхар тэгш бус байдал) эсвэл тооны шулуун дээрх геометрийн тусгай тэмдэглэгээ. Үндсэндээ эдгээр бүх тэмдэглэгээ нь ижил утгатай. Тэд зарим математикийн объектын утгуудын хязгаарлалтыг өгдөг. хувьсах хэмжээ(зарим хувьсагч, хувьсагчтай аливаа илэрхийлэл, функц гэх мэт).
Дээрхээс харахад тоон шугамын талбайг янз бүрийн аргаар хязгаарлах боломжтой гэдгийг ойлгож болно (байна. янз бүрийн төрөлтэгш бус байдал), дараа нь янз бүрийн төрлийн тоон интервалууд байдаг.
Тоон интервалын төрлүүд
Тооны интервалын төрөл бүр байдаг зохих нэр, тусгай тэмдэглэгээ. Тоон интервалыг харуулахын тулд дугуй ба дөрвөлжин хаалт ашиглана. Хаалт гэдэг нь энэ хаалтын тооны шулуун (төгсгөл) дээрх хил хязгаарыг тодорхойлох эцсийн цэг нь энэ интервалын цэгүүдийн багцад ороогүй гэсэн үг юм. Дөрвөлжин хаалттөгсгөл нь цоорхойд орно гэсэн үг. Хязгааргүй (энэ талд интервал хязгаарлагдмал биш) хаалт ашиглана. Заримдаа оронд нь хаалтта дөрвөлжин, эргүүлж бичиж болно урвуу тал: (a;b) ⇔]a;b[
| Цоорхойн төрөл (нэр) | Геометрийн дүрс(тооны мөрөнд) | Зориулалт | Тэгш бус байдлыг ашиглан бичих (товч байхын тулд үргэлж гинжлэгдсэн) |
|---|---|---|---|
| Интервал (нээлттэй) | (а;б) | а< x < b | |
| Сегмент (хэсэг) | a ≤ x ≤ b | ||
| Хагас интервал (хагас сегмент) | а< x ≤ b | ||
| Цацраг | x ≤ b | ||
| Нээлттэй цацраг | (a;+∞) | x>a | |
| Нээлттэй цацраг | (-∞;б) | x< b | |
| Бүх тоонуудын багц (координатын шугам дээр) | (-∞;+∞) , гэхдээ энд ажил гүйцэтгэж буй алгебрийн тодорхой багц зөөгчийг зааж өгөх шаардлагатай; жишээ: | x ∈(ихэвчлэн бид бодит тоонуудын багцын талаар ярьдаг нийлмэл тооаль хэдийн ашиглагдаж байна нарийн төвөгтэй хавтгай, шулуун биш) | |
| Тэгш байдал | эсвэл x=a | x = a (онцгой тохиолдолхатуу бус тэгш бус байдал: a ≤ x ≤ a- хоёр төгсгөл нь давхцаж байгаа 1 урттай интервал - нэг цэгээс бүрдэх сегмент) | |
| Хоосон багц | ∅ | Хоосон багц нь мөн интервал юм - x хувьсагч нь утгагүй (хоосон багц). Зориулалт: x∈∅⇔x∈( ). |
Интервалуудын нэрэнд төөрөгдөл үүсч магадгүй: байдаг асар их хэмжээсонголтууд. Тиймээс тэдгээрийг үнэн зөв зааж өгөх нь үргэлж дээр юм. Английн уран зохиолд зөвхөн нэр томъёог ашигладаг интервал ("интервал") - нээлттэй, хаалттай, хагас нээлттэй (хагас хаалттай). Олон янз байдаг.
Математикт интервал ашиглах нь маш их зүйлийг илэрхийлдэг их тоозүйлс: тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед тусгаарлах интервалууд, интегралын интервалууд, цуваа нэгтгэх интервалууд байдаг. Функцийг судлахдаа түүний утгын хүрээ, тодорхойлолтын хүрээг илэрхийлэхийн тулд интервалуудыг үргэлж ашигладаг. Цоорхой нь маш чухал, жишээлбэл, байдаг Болзано-Коши теорем(та Википедиа дээрээс илүү ихийг олж мэдэх боломжтой).
Систем ба тэгш бус байдлын багц
Тэгш бус байдлын систем
Тиймээс x хувьсагч эсвэл зарим илэрхийллийн утгыг заримтай харьцуулж болно тогтмол утга- энэ бол тэгш бус байдал, гэхдээ та энэ илэрхийллийг хэд хэдэн хэмжигдэхүүнтэй харьцуулж болно - давхар тэгш бус байдал, тэгш бус байдлын гинж гэх мэт. Энэ нь яг дээр үзүүлсэн зүйл юм - интервал ба сегмент гэж. Хоёулаа тэгш бус байдлын систем.
Тиймээс, хэрэв даалгавар бол багцаа олох явдал юм ерөнхий шийдлүүдхоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдал, дараа нь бид тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх талаар ярьж болно (яг тэгшитгэлтэй адил - тэгшитгэл нь онцгой тохиолдол гэж хэлж болно).
Дараа нь тэгш бус байдалд ашигласан хувьсагчийн утга тус бүр нь үнэн болох нь тэгш бус байдлын системийн шийдэл гэж нэрлэгддэг нь тодорхой байна.
Системд багтсан бүх тэгш бус байдал нэгдмэл байна буржгар хаалт- "(". Заримдаа тэдгээрийг хэлбэрээр бичдэг давхар тэгш бус байдал(дээр үзүүлсэн шиг) эсвэл бүр тэгш бус байдлын гинжин хэлхээ. Ердийн оруулгын жишээ: f x ≤ 30 g x 5 .
Системийн шийдэл шугаман тэгш бус байдалнэг хувьсагчтай ерөнхий тохиолдол x > a x > b (1) x > a x гэсэн 4 төрөлд хуваагдана< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Аливаа системийг тоон шугам ашиглан графикаар шийдэж болно. Системийг бүрдүүлдэг тэгш бус байдлын шийдлүүд огтлолцсон тохиолдолд систем өөрөө шийдэл байх болно.
Тохиолдол бүрийн хувьд график шийдлийг танилцуулъя.
(1) x>b (2) aЦаашилбал, тэгш бус байдлын систем нь нийтлэг шийдэлтэй бол тэдгээрийг эквивалент гэж ангилж болно. Эндээс (дээрээс харж болно) илүү төвөгтэй системийг хялбаршуулж болно (жишээлбэл, геометрийн шийдлийг ашиглан).
Буржгар хаалт нь бүдүүлэгээр хэлбэл, "холбооны" дүйцэхүйц гэж нэрлэгдэх боломжтой. БА"Тэгш бус байдлын хувьд
Тэгш бус байдлын багц
Гэсэн хэдий ч бусад тохиолдол байдаг. Тиймээс, шийдлүүдийн олонлогийн огтлолцолоос гадна тэдгээрийн нэгдэл байдаг: хэрэв даалгавар нь хувьсагчийн бүх утгуудын багцыг олох юм бол тэдгээр нь тус бүр нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын аль нэгнийх нь шийдэл юм. тэгвэл тэгш бус байдлын олонлогийг шийдэх шаардлагатай гэж хэлдэг.
Тиймээс нэгтгэсэн бүх тэгш бус байдлыг "[" нэгтгэсэн хаалтанд нэгтгэдэг. Хэрэв хувьсагчийн утга нь хүн амын дор хаяж нэг тэгш бус байдлыг хангаж байвал энэ нь нийт хүн амын шийдлийн багцад хамаарна. Тэгшитгэлд мөн адил хамаарна (дахин хэлэхэд тэдгээрийг тусгай тохиолдол гэж нэрлэж болно).
Хэрэв буржгар хаалт нь байвал Тэгээд, дараа нь нэгтгэсэн хаалт нь нөхцөлт байдлаар, энгийн хэлээр бол нэгдэл " ЭСВЭЛ" тэгш бус байдлын хувьд (хэдийгээр энэ нь мэдээжийн хэрэг логик байх болно, эсвэл хоёр нөхцөлийг хангасан тохиолдлыг оруулаад).
Тиймээс, тэгш бус байдлын багцын шийдэл нь дор хаяж нэг тэгш бус байдал үнэн болох хувьсагчийн утга юм.
Тэгш бус байдлын цуглуулга ба систем хоёулаа шийдлийн багцыг олонлогтой ажиллах хоёр үндсэн үйлдлээр тодорхойлж болно - огтлолцол ба нэгдэл. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багц нь юм уулзвартүүнийг бүрдүүлдэг тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц. Тэгш бус байдлын олонлогийн шийдлүүдийн багц нь юм холбоотүүнийг бүрдүүлдэг тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц. Үүнийг мөн дүрсэлж болно. Бид системтэй, хоёр тэгш бус байдлын олонлогтой гэж бодъё. Бид эхний шийдлийн багцыг тэмдэглэж байна А, мөн хоёр дахь шийдлийн багцыг тэмдэглэ Б. Маш сайн жишээ бол Эйлер-Венн диаграм байх болно.
A ∪ B - тэгш бус байдлын системийн шийдэл A ∩ B - тэгш бус байдлын олонлогийн шийдэлТоон интервал
Интервал, нээлттэй зай, интервал- өгөгдсөн хоёр тооны хоорондох тооны шулуун дээрх цэгүүдийн багц аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл тоонуудын багц x, нөхцөлийг хангаж байна: а < x < б . Интервал нь төгсгөлийг оруулаагүй бөгөөд үүнийг ( а,б) (Заримдаа) а,б[ ), сегментээс ялгаатай нь [ а,б] (хаалттай интервал), түүний дотор төгсгөлүүд, өөрөөр хэлбэл, цэгүүдээс бүрдэнэ.
Бичлэгт ( а,б), тоонууд аТэгээд бинтервалын төгсгөл гэж нэрлэдэг. Интервалд бүх бодит тоо, интервалд жижиг бүх тоо багтана аба интервал - бүх тоо том байна а .
Хугацаа интервалнарийн төвөгтэй үг хэллэгээр хэрэглэгддэг:
- нэгтгэх үед - интеграцийн интервал,
- тэгшитгэлийн үндсийг тодруулахдаа - тусгаарлагчийн зай
- хүчний цувааны нийлэлтийг тодорхойлохдоо - чадлын цуваа нийлэх интервал.
Дашрамд хэлэхэд, англи хэл дээр энэ үг интервалсегмент гэж нэрлэдэг. Мөн интервал гэсэн ойлголтыг илэрхийлэхийн тулд энэ нэр томъёог ашигладаг нээлттэй интервал.
Уран зохиол
- Выгодский М.Я. Дээд математикийн гарын авлага. М .: "Astrel", "AST", 2002
Мөн үзнэ үү
Холбоосууд
Викимедиа сан.
2010 он.
Бусад толь бичигт "Тоон интервал" гэж юу болохыг харна уу.
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Латаас. интерваллум интервал, зай: Хөгжимд: Интервал гэдэг нь хоёр авианы өндрийн харьцаа; эдгээр аялгууны дууны давтамжийн харьцаа. Математикийн хувьд: Интервал (геометр) гэдэг нь А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах шулуун дээрх цэгүүдийн багц юм, ... ... Википедиа< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Интервал, нээлттэй интервал, интервал гэдэг нь өгөгдсөн a ба b тоонуудын хооронд хүрээлэгдсэн тооны шулуун дээрх цэгүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл, нөхцөлийг хангасан х тооны багц юм: a
Интервал буюу тодорхой хэлбэл тоон шугамын интервал гэдэг нь дурын хоёр тооны хамт тэдгээрийн хооронд байрлах дурын тоог агуулсан бодит тоонуудын багц юм. Логик тэмдгүүдийг ашиглан энэ тодорхойлолтыг ... ... Википедиа
Бодит тооны зарим үндсэн дэд олонлогуудын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая. Хэрэв, дараа нь олонлогийг өргөтгөсөн тоон шугамын R сегмент гэж нэрлэдэг ба өөрөөр хэлбэл сегментийн хувьд ... Википедиа гэж тэмдэглэнэ.
Дараалал Тооны орон зай дахь элементүүдийн дараалал нь тоон дараалал юм. Тоон тоонууд... ВикипедиаМИКРОСКОП - (Грекийн mikros small, skopeo гэсэн үгнээс) энгийн нүдэнд шууд харагдахгүй жижиг биетүүдийг судлах оптик хэрэгсэл. Энгийн микроскоп буюу томруулдаг шил, нарийн төвөгтэй микроскоп буюу зөв утгаараа микроскоп гэж байдаг. Томруулдаг шил......
Агуу анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичигГОСТ Р 53187-2008: Акустик. Хот суурин газрын дуу чимээний хяналт - Нэр томьёо ГОСТ Р 53187 2008: Акустик. Хот суурин газрын дуу чимээний мониторингийн эх баримт бичиг: 1 Өдөр тутмын дууны түвшин. 2 Оройн хамгийн их дууны түвшин. 3 Шөнийн дууны даралтын тооцоолсон түвшин...
Норматив, техникийн баримт бичгийн нэр томъёоны толь бичиг-лавлах ном
Сегментийг геометр ба математикийн шинжилгээний хоёр холбоотой ойлголтын нэг гэж нэрлэж болно. Сегмент нь цэгүүдийн багц юм, ... ВикипедиаКорреляцийн коэффициент - (Корреляцийн коэффициент) Корреляцийн коэффициент нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарлын статистик үзүүлэлт юм.
