Давхар интеграл гэсэн ойлголт

Давхар интеграл (DI) гэдэг нь нэг хувьсагчийн функцийн тодорхой интеграл (DI)-ыг хоёр хувьсагчийн функцтэй харьцуулан дүгнэх явдал юм.

$xOy$ координатын хавтгайд байрлах $D$ хаалттай домэйнд $z=f\left(x,y\right)$ тасралтгүй сөрөг бус функцийг тодорхойл. $z=f\left(x,y\right)$ функц нь $D$ домэйнд проекц хийгдсэн тодорхой гадаргууг дүрсэлдэг. $D$ бүс нь $L$ хаалттай шугамаар хүрээлэгдсэн бөгөөд хилийн цэгүүд нь мөн $D$ бүсэд хамаарна. Бид $L$ шугамыг $y=\vartheta \left(x\right)$ эсвэл $x=\psi \left(y\right)$ хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй муруйгаар үүсгэнэ гэж бид таамаглаж байна. .

$D$ мужийг $\Delta S_(i) $ талбайн $n$ дурын хэсгүүдэд хуваацгаая. Хэсэг бүрт бид нэг дурын цэгийг сонгоно $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Эдгээр цэг бүрт бид утгыг тооцдог өгөгдсөн функц$f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. $\Дельта S_(i) $ талбайд проекцолсон $z=f\left(x,y\right)$ гадаргуугийн тухайн хэсгийн доорх эзлэхүүнийг авч үзье. Геометрийн хувьд энэ эзлэхүүнийг ойролцоогоор $\Delta S_(i) $ суурьтай, $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ өндөртэй цилиндрийн эзэлхүүнээр дүрсэлж болно. , тэр бол бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна$f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \баруун)\cdot \Delta S_(i) $. Дараа нь $D$ муж дахь бүх гадаргуугийн доорх эзэлхүүнийг $z=f\left(x,y\right)$ бүх цилиндрийн эзэлхүүний нийлбэрээр ойролцоогоор тооцоолж болно $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Энэ нийлбэрийг $D$ домайн дахь $f\left(x,y\right)$ функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг.

$\Delta S_(i) $ хэсгийн $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ диаметрийг хамгийн их гэж нэрлэе. хол зайхооронд туйлын цэгүүдэнэ бүс. $\lambda $ нь $D$ бүсээс бүх хэсгийн диаметрүүдийн хамгийн томыг нь тэмдэглэе. $D$ домайныг хуваах хязгааргүй $n\to \infty $ сайжруулсны улмаас $\lambda \to 0$ байг.

Тодорхойлолт

Хэрэв $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $-ын интеграл нийлбэрийн хязгаар байгаа бол энэ тоог $f\left(x,y\) функцийн CI гэж нэрлэнэ. баруун)$ домэйн дээр $D $ ба $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ эсвэл $I=\iint \limits _(D)f\ гэж тэмдэглэнэ. зүүн(x,y\баруун) \cdot dx\cdot dy $.

Энэ тохиолдолд $D$ мужийг интеграцийн бүс гэж нэрлэдэг, $x$ ба $y$ нь интеграцийн хувьсагч, $dS=dx\cdot dy$ нь талбайн элемент юм.

Тодорхойлолтоос DI-ийн геометрийн утгыг дагаж мөрддөг: энэ нь өгдөг яг үнэ цэнэзарим муруй цилиндрийн эзэлхүүн.

Давхар интегралын хэрэглээ

Биеийн хэмжээ

ДИ-ийн геометрийн утгын дагуу зарим биеийн хэмжээ $V$ нь хавтгай дээрх $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, доор нь $D$ гадаргуугаар хязгаарлагдана. $xOy$, хажуу талдаа цилиндр гадаргуу, генераторууд нь $Oz$ тэнхлэгтэй параллель, чиглүүлэгч нь $D$ (мөр $L$) бүсийн контурыг $V=\iint \limits _(D)f томъёогоор тооцоолно. \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Бие нь дээрээс $z=f_(2) \left(x,y\right)$ гадаргууг, доороос $z=f_(1) \left(x,y\right)$ гадаргууг хязгаарлаж, ба $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. $xOy$ хавтгай дээрх хоёр гадаргуугийн проекц нь ижил муж $D$ байна. Дараа нь ийм биеийн эзэлхүүнийг $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) томъёогоор тооцоолно. \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

$D$ домайн дахь $f\left(x,y\right)$ функц тэмдэг өөрчлөгдөнө гэж бодъё. Дараа нь харгалзах биеийн эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд $D$ мужийг хоёр хэсэгт хуваах ёстой: хэсэг $D_(1) $, энд $f\left(x,y\right)\ge 0$, хэсэг $D_(2) $, энд $f\left(x,y\баруун)\le 0$. Энэ тохиолдолд $D_(1) $ муж дээрх интеграл эерэг байх ба $xOy$ хавтгайгаас дээш байрлах биеийн хэсгийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна. $D_(2) $ талбай дээрх интеграл сөрөг ба түүнээс дээш байх болно үнэмлэхүй үнэ цэнэ$xOy$ хавтгайн доор байрлах биеийн хэсгийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Дөрвөлжин хавтгай дүрс

Хэрэв $D$ бүс нутгийн хаана ч байсан $xOy$ координатын хавтгайд $f\left(x,y\right)\equiv 1$-ийг тавьсан бол DI нь тоон утгатай байна. талбайтай тэнцүүинтеграцийн домайн $D$, өөрөөр хэлбэл $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Туйлын координатын системд ижил томьёо нь $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $ хэлбэртэй байна.

Дурын гадаргуугийн талбай

$Q$-г гаргая. тэгшитгэлээр өгөгдсөн$z=f_(1) \left(x,y\right)$, дээр төслүүд координатын хавтгай$D_(1)$ бүс рүү $xOy$. Энэ тохиолдолд $Q$ гадаргуугийн талбайг $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) томъёогоор тооцоолж болно. \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

Бодисын хэмжээ

$D$ бүсэд $xOy$ онгоцонд зарим бодис тархсан гэж үзье. гадаргуугийн нягт$\rho \left(x,y\right)$. Энэ нь $\rho \left(x,y\right)$ гадаргуугийн нягтрал нь $D$ бүсийн $dx\cdot dy$ элементар талбайд ногдох бодисын масс гэсэн үг юм. Эдгээр нөхцөлд бодисын нийт массыг $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ томъёогоор тооцоолж болно.

"бодис" байж болохыг анхаарна уу цахилгаан цэнэг, дулаан гэх мэт.

Хавтгай дүрсийн массын төвийн координатууд

Хавтгай дүрсийн массын төвийн координатын утгыг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна:$ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x) ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.

Тоолуур дахь хэмжигдэхүүнүүдийг $D$ онгоцны дүрсийн $M_(y) $ ба $M_(x) $ $Oy$ ба $Ox$ тэнхлэгүүдийн талаарх статик моментууд гэж нэрлэнэ.

Хэрэв хавтгай дүрс нь нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл $\rho =const$ байвал эдгээр томъёог хялбарчилж, массаар бус, харин хавтгай дүрсийн талбайгаар илэрхийлнэ $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.

Онгоцны дүрсийн талбайн инерцийн моментууд

$xOy$ хавтгай дээрх материаллаг хавтгай дүрсийг авч үзье. Үүнийг ямар бодис тархсан $D$ тодорхой газар гэж төсөөлье нийт массГадаргуугийн хувьсах нягттай $M$ $\rho \left(x,y\right)$.

$Oy$ тэнхлэгтэй харьцуулахад хавтгай дүрсийн талбайн инерцийн моментийн утга: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. $Ox$ тэнхлэгт хамаарах инерцийн моментийн утга: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Хавтгай дүрсийн эхлэлтэй харьцуулахад инерцийн момент нийлбэртэй тэнцүү байнакоординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментууд, өөрөөр хэлбэл $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.

Гурван хувьсагчийн функцэд гурвалсан интегралыг оруулсан болно.

Зарим бүс нутгийг $V$ өгсөн гэж бодъё гурван хэмжээст орон зай, $S$ битүү гадаргуугаар хязгаарлагдсан. Гадаргуу дээр байрлах цэгүүд нь мөн $V$ бүсэд хамаарна гэж бид таамаглаж байна. $V$ домэйнд $f\left(x,y,z\right)$ тасралтгүй функц өгөгдсөн гэж бодъё. Жишээлбэл, $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ нөхцөлтэй ийм функц байж болно. их хэмжээний нягтралтайзарим бодисын тархалт, температурын хуваарилалт гэх мэт.

$V$ мужийг $n$ дурын хэсгүүдэд хуваая, эзлэхүүн нь $\Delta V_(i) $. Хэсэг бүрт бид нэг дурын цэгийг сонгоно $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Эдгээр цэг бүр дээр $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ өгөгдсөн функцийн утгыг тооцоолно.

$\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot интеграл нийлбэрийг байгуулъя. \Delta V_ (i) $ ба бид $\left(n\to \infty \right)$ мужийг $V$ хуваах бөгөөд ингэснээр бүх хэсгүүдийн диаметр $\lambda $ хамгийн том нь $\Delta болно. V_(i) $ нь тодорхойгүй хугацаагаар буурдаг $ \left(\lambda \to 0\right)$.

Тодорхойлолт

Дээрх нөхцлийн дагуу энэхүү интеграл нийлбэрийн $I$ хязгаарыг $V$ домэйн дээрх $f\left(x,y,z\right)$ функцийн гурвалсан интеграл гэж нэрлэдэг ба $I\ гэж тэмдэглэнэ. ; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ эсвэл $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.

Depositfiles-аас татаж авах

Лекц 5-6

Сэдэв 2. Олон интеграл.

Давхар интеграл.

Хяналтын асуултууд.

1. Давхар интеграл, түүний геометрийн болон физикийн утга

2. Давхар интегралын шинж чанарууд.

3. Декарт координат дахь давхар интегралын тооцоо.

4. Давхар интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Туйлын координат дахь давхар интегралын тооцоо.

Функцийг зөвшөөр z = е (x , y) хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд тодорхойлсон Донгоц. Талбайг хувацгаая Дсанамсаргүй байдлаар nанхан шатны хаалттай газрууд  1 , … , n, талбайтай байх   1 , …,   nба диаметрүүд г 1 , …, г n тус тус. гэж тэмдэглэе гталбайн хамгийн том диаметр  1 , … ,  n. Бүх бүс нутагт  кдурын цэг сонгох П к (x к , у к) болон зохиох интеграл нийлбэрфункцууд е(x,y)

С =
(1)

Тодорхойлолт. Давхар интегралфункцууд е(x,y) бүс нутгаар Динтеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг

, (2)

хэрэв байгаа бол.

Сэтгэгдэл. Хуримтлагдсан нийлбэр Сталбайг хэрхэн хуваахаас хамаарна Дболон цэгүүдийг сонгох П к (к=1, …, n). Гэсэн хэдий ч хязгаар
, хэрэв байгаа бол тухайн талбайг хэрхэн хуваахаас хамаарахгүй Дболон цэгүүдийг сонгох П к .

Хангалттай нөхцөлдавхар интеграл байгаа эсэх. Хэрэв функц байвал давхар интеграл (1) байна е(x,y) үргэлжилсэн Д-ийг эс тооцвол хязгаарлагдмал тоохэсэгчлэн гөлгөр муруй ба хязгаарлагдмал Д. Дараах зүйлд бид авч үзэж буй бүх давхар интегралууд байгаа гэж үзэх болно.

Геометрийн утгадавхар интеграл.

Хэрэв е(x,y) талбайд ≥0 Д, дараа нь давхар интеграл (1) нь зурагт үзүүлсэн "цилиндр" биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

В =
(3)

Цилиндр хэлбэртэй бие нь доороос бүс нутгаар хязгаарлагддаг Д, дээрээс - гадаргуугийн хэсэг z = е (x , y), хажуу талаас - энэ гадаргуу ба бүс нутгийн хил хязгаарыг холбосон босоо шулуун сегментээр Д.

Давхар интегралын физик утга. Хавтгай тавагны масс.

Өгчихье хавтгай хавтан Д-тай мэдэгдэж байгаа функцнягт γ( X,цагт), дараа нь D хавтанг D хэсгүүдэд хуваана бимөн сонгох дурын цэгүүд
, бид хавтангийн массыг олж авдаг
, эсвэл (2) томъёотой харьцуулбал:

(4)

4. Давхар интегралын зарим шинж чанарууд.

Шугаман чанар.Хэрэв ХАМТтоон тогтмол юм, тэгвэл

Нэмэлт чанар.Хэрэв талбай Д хэсэгт "эвдэрсэн" Д 1 Тэгээд Д 2, тэгвэл

3) Талбай хязгаарлагдмал талбай Дтэнцүү

(5)

Декарт координат дахь давхар интегралын тооцоо.

Талбайг нь өгөөч

Зураг 1

D= { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Бүс нутаг Д шулуун шугамын хоорондох зурваст хаалттай x = а , y = б, доороос болон дээрээс тус тус муруйгаар хязгаарлагдана y = φ 1 (x ) Тэгээд y = φ 2 (x ) .

Бүс нутаг дээрх давхар интеграл (1). Д(4) -д очих замаар тооцоолно давтагдсан интеграл:

(7)

Энэхүү давтагдсан интегралыг дараах байдлаар тооцоолно. Нэгдүгээрт, дотоод интегралыг тооцоолно

хувьсагчаар y, үүнд xтогтмол гэж үздэг. Үр дүн нь хувьсагчийн функц байх болно x, дараа нь хувьсагч дээрх энэ функцийн "гадна" интегралыг тооцоолно x .

Сэтгэгдэл. Томъёо (7)-ын дагуу давтагдсан интеграл руу шилжих үйл явцыг ихэвчлэн давхар интегралд интеграцийн хязгаарыг байрлуулах гэж нэрлэдэг. Интеграцийн хязгаарыг тогтоохдоо та хоёр зүйлийг санах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, интегралын доод хязгаар нь дээд хязгаараас хэтрэхгүй байх ёстой, хоёрдугаарт, гадаад интегралын хязгаар нь тогтмол байх ёстой, дотоод интегралын хязгаар нь байх ёстой; ерөнхий тохиолдолшалтгаалах интеграцийн хувьсагчгадаад интеграл.

Одоо талбайг зөвшөөр Дшиг харагдаж байна

D= { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Дараа нь

. (9)

талбай гэж үзье Д(6) ба (8) гэж нэгэн зэрэг илэрхийлж болно. Дараа нь тэгш байдал хадгалагдана

(10)

Нэг давтагдсан интегралаас нөгөөд шилжих шилжилтийг (10) тэнцүү гэж нэрлэдэг нэгтгэх дарааллыг өөрчлөхдавхар интегралд.

Жишээ.

1) Интеграл дахь интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

Шийдэл. Давтагдсан интегралын хэлбэрийг ашиглан мужийг олно

D= { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Талбайг дүрсэлцгээе Д. Зураг дээрээс харахад энэ хэсэг нь шулуун шугамын хоорондох хэвтээ туузан дээр байрладаг y =0, y=2 ба мөр хооронд x =0 Тэгээд x=Д

Заримдаа тооцооллыг хялбарчлахын тулд хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг.

,
(11)

Хэрэв (11) функцууд тасралтгүй дифференциалагдах ба тодорхойлогч (Якоб) нь авч үзэж буй мужид тэгээс өөр байвал:

(12)

Олон интеграл

Хавтгайн аль нэг хэсэгт тодорхойлогдсон функцийн интеграл, гурван хэмжээст буюу n-хэмжээст орон зай. K. болон. давхар интеграл, гурвалсан интеграл гэх мэтийг ялгах. n-олон интеграл.

Функцийг зөвшөөр е(x, y) зарим хэсэгт өгөгдсөн Донгоц xOy.Талбайг хувацгаая Ддээр nхэсэгчилсэн талбайнууд би,талбайнууд нь тэнцүү байна би,бүс бүрээс сонгох d бицэг ( ξi, ηi) (см. будаа. ) ба интеграл нийлбэрийг зохио

Хэсэгчилсэн талбайн хамгийн их диаметрийг хязгааргүй бууруулах тохиолдолд d бихэмжээ Сонооны сонголтоос үл хамааран хязгаартай байх ( ξi, ηi), тэгвэл энэ хязгаарыг функцийн давхар интеграл гэнэ е(x, y) бүс нутгаар Дболон тэмдэглэнэ

Гурвалсан интеграл нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог бөгөөд ерөнхийдөө: n-олон интеграл.

Давхар интеграл байхын тулд жишээлбэл бүс нутаг хангалттай Дхаалттай квадрат бүс байсан (Дөрвөлжин бүсийг үзнэ үү), функц е(x, y) үргэлжилсэн Д.К. ба. энгийн интегралын шинж чанаруудтай төстэй хэд хэдэн шинж чанартай байдаг . K. ба тооцоолохын тулд. ихэвчлэн үүнийг давтагдсан интеграл руу хөтөлдөг (Давталт интегралыг үзнэ үү). Онцгой тохиолдолд К.-ийн мэдээлэл болон. Грийн томъёо ба Остроградскийн томъёо нь доод хэмжээсийн интеграл болж чадна. К. ба. өргөн хүрээтэй хэрэглээтэй: тэдгээр нь биеийн эзэлхүүн, тэдгээрийн масс, статик момент, инерцийн момент гэх мэтийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.

Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Олон интеграл" гэж юу болохыг харна уу.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн интеграл. Энэ нь нэг хувьсагчийн функцийн тодорхой интегралтай адил интеграл нийлбэрийг ашиглан тодорхойлогддог (Интеграл тооцоог үзнэ үү). Хувьсагчийн тооноос хамааран давхар, гурав, n... ... байна. Том нэвтэрхий толь бичиг

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тодорхой интеграл. Боломжтой янз бүрийн ойлголтуудК. ба. (Риман интеграл, Лебесгийн интеграл, Лебег Стиелтьесийн интеграл гэх мэт). Жордан хэмжигдэхүүн дээр үндэслэн олон тооны Риманы интегралыг оруулсан болно. Математик нэвтэрхий толь бичиг

IN математик шинжилгээОлон буюу олон интеграл нь хувьсагчдаас авсан интегралуудын багц юм. Жишээ нь: Тайлбар: олон тооны интеграл нь тодорхой интеграл юм. Агуулга 1... ...Википедиа

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн интеграл. Үүнтэй адил интеграл нийлбэрийг ашиглан тодорхойлно тодорхой интегралнэг хувьсагчийн функц дээр (Интеграл тооцоог үзнэ үү). Хувьсагчийн тооноос хамааран давхар, гурав, n... ... байна. нэвтэрхий толь бичиг

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн интеграл. Интеграл нийлбэрийг ашиглан тодорхойлсон, ижил төстэй тодорхойлсон. нэг хувьсагчийн функцийн интеграл (Интеграл тооцоог үзнэ үү). Хувьсагчийн тооноос хамааран давхар, гурвалсан, би... ... Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Анхаарна уу: Энэ зүйлийн тэмдэглэгээ ашигласан бүх газар, өөрөөр заагаагүй бол (олон) Риманы интегралыг илэрхийлнэ; Бид олонлогийн хэмжигдэхүйн тухай ярьдаг энэ нийтлэлийн хаа сайгүй, хэрэв үгүй ​​бол Йорданы хэмжигдэхүүнийг хэлнэ... ... Википедиа

Модулийн 2к зэрэглэлийн дундаж утга нь хэлбэрийн олон тооны интеграл тригонометрийн нийлбэр. Энэ интегралын утгын тухай Виноградовын теорем буюу дундаж утгын теорем нь Вейлийн нийлбэрүүдийн тооцооны үндэс болдог. Уран зохиол Виноградова инте... Википедиа

Тодорхой интеграл нь дүрсийн талбай юм. Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, интеграл (утга) -ыг үзнэ үү. Функцийн интеграл ... Википедиа

Янз бүрийн хувьсагчид дээрх интегралыг дараалан гүйцэтгэдэг интеграл, өөрөөр хэлбэл (1) хэлбэрийн интеграл, f(x, y) функц нь А олонлог дээр байрладаг. шууд бүтээгдэхүүн s төгсгөлийн хэмжигдэхүүнүүд mx ба my,... ... өгөгдсөн ХХ Y орон зай X ба Y Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хавтгай эсвэл огторгуйн аль ч муруйн дагуу авсан интеграл. K. болон байдаг. 1 ба 2-р төрөл. К. ба. Жишээлбэл, хувьсах нягтын муруйн массыг тооцоолох асуудлыг авч үзэх үед 1-р төрөл үүсдэг; энэ нь томилогдсон ...... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Жордан ба - хуваалтыг тохируулах Э,өөрөөр хэлбэл Жорданы хэмжигдэхүйц багцын ийм систем Ээ,тэр хэмжээ

хаана d(Э би) - багцын диаметр E би, дуудсан Хуваалтын нарийн байдал Хэрэв багц дээр тодорхойлогдсон бол Э,дараа нь маягтын дурын нийлбэр

дуудсан Функцийн Риманы интеграл нийлбэр f. Хэрэв f функцийн хувьд хуваалтаас хамааралгүй функц байгаа бол үүнийг дуудна n - цэрэгтРиманы интегралаар тэмдэглэнэ

Функцийн нэр өөрөө. энэ тохиолдолд Riemann интеграл, товчоор - R-интеграл.

n=1 олонлогийн хувьд Э,Үүний дагуу -ийг ихэвчлэн авдаг бөгөөд түүний хуваалтуудын хувьд бид зөвхөн сегментүүдээс бүрдэх хуваалтуудыг авч үздэг (харна уу. Риманы интеграл). Тиймээс, энэ тохиолдолд интеграци хийгдсэн олонлог ба хуваалтын элементүүд нь Жорданы хэмжигдэхүйц маш их багц юм. тусгай төрөл--хэсгүүд. Тиймээс интервал дээрх R-интегралдах функцүүдийн бүх шинж чанарууд нь дурын Жорданы хэмжигдэхүйц олонлог дээрх D-интегралчлах функцүүдэд хүчинтэй байдаггүй. Жишээлбэл, Jordan хэмжигдэхүүн дээр тодорхойлогдсон аливаа функц нь D-интегралчлагдах боломжтой байдаг тул D-интегралчлах функцууд нь хязгааргүй байж болно гэсэн үг юм. Тодорхой олонлог дээрх функцийн D-интегралчлалаас функцийн хязгаарлагдмал байдлыг бий болгохын тулд бид авч үзэж буй олонлогт ногдуулдаг. нэмэлт нөхцөл, жишээлбэл, дур мэдэн жижиг хуваалтуудтай байхын тулд бүх элементүүд нь эерэг Жорданы хэмжүүртэй байдаг. Ийм багцад Жорданы хэмжигдэхүйц бүх багц багтана нээлттэй багцболон тэдгээрийн хаалт, ялангуяа Иорданы хэмжигдэхүйц бүс нутаг, тэдгээрийн хаалт. Ийм багцын хувьд Ихэнх хэсэг ньолон тооны Риманы интегралыг ашигладаг.

n=2 (n=3) тохиолдолд K. ба. дуудсан давхар (гурвалсан). Олон Риманы интегралыг зөвхөн Жордан хэмжигдэхүйц олонлогууд дээр авч болох тул (n=2 тохиолдолд тэдгээрийг квадрат олонлог гэж нэрлэдэг ба n=3 тохиолдолд - куб олонлогууд гэж нэрлэдэг) хоёр (гурвалсан) Риманы интеграл нь зөвхөн багц дээр (ихэвчлэн газар эсвэл тэдгээрийн хаалт) авч үздэг бөгөөд тэдгээрийн хил хязгаар нь Иорданы утгаараа талбайнууд (эзлэхүүн) байдаг. тэгтэй тэнцүү.

n хувьсагчийн хязгаарлагдмал функцуудын Риманы интеграл нь интегралын ердийн шинж чанартай байдаг (интеграл хийгдэж буй олонлогуудын шугаман байдал, интегралын явцад хатуу бус тэгш бус байдлыг хадгалах, интегралдах функцүүдийн үржвэрийн интегралчлал гэх мэт).

Олон Риманы интегралыг багасгаж болно давтагдсан интеграл.Болъё

E- хэмжигдэхүйц RnЖорданы багцын дагуу, = - E(n-m) хэмжээст гипер хавтгайгаар олонлогийн хэсэг - Эна ба (n-m) хэмжээст ба m хэмжээст Жорданы хэмжүүрээр хэмжигдэх боломжтой. Дараа нь хэрэв f функц нь E олонлог дээр D-интегралчлагдах боломжтой бөгөөд бүгдэд нь олонлогт түүний хязгаарлалтын интеграл (n-m) байгаа бол энэ нь байна.

энд гаднах интеграл нь m нугалах Риманы интеграл ба

n=3 тохиолдлын хувьд дараах томьёо дагана: 1) Хэрэв - E-ийн проекц ба функцууд нь E олонлог z тэнхлэгийн чиглэлд тэдгээрийн графикаар хязгаарлагдахаар, өөрөөр хэлбэл.

2) Олонлогийн проекцийг тэнхлэг гэж үзье Өөсегмент - олонлогийн хавтгайгаар хийсэн хэсэг, хавтгайтай зэрэгцээмөн цэгээр дамжин өнгөрөх X,Дараа нь

G нь сансар огторгуйд Йорданы хэмжигдэхүйц бүс байх тохиолдолд - нэгээс нэг G орон зайн хэмжигдэхүйц G дээр ба домэйн хаагдах үед тасралтгүй ялгагдах боломжтой. Г,= дээр интегралдах f(x) функцийн хувьд интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт хүчинтэй байна.

Энд J(t) нь зураглал j байна.

Хувьсагчийн функцийн олон Риман интегралын геометрийн утга нь ( n+ 1)-хэмжээст Жордан хэмжигдэхүүн нь олонлог дээр f(x) функцийг интегралчлах боломжтой бол Ei дээр

Олон тооны Лебегийн интеграл гэж нэрлэдэг Лебегийн интегралолон хувьсагчийн функцуудаас түүний тодорхойлолт нь үзэл баримтлалд суурилдаг Лебесгийн арга хэмжээ n хэмжээст Евклидийн орон зайд. Олон тооны Лебесгийн интегралыг давтагдсан интеграл болгон бууруулж болно (харна уу Фубини теорем). Тасралтгүй ялгах боломжтой домэйн зураглалын хувьд хувьсагчийн томьёо (1)-ийн өөрчлөлт, мөн геометрийг илэрхийлдэг томьёо (2) хүчинтэй бөгөөд үүнд хэмжигдэхүүн байх ёстой олон Лебегийн интегралын утгыг илэрхийлнэ. (n+1) хэмжээст Лебегийн хэмжүүр гэж ойлгодог.

К.-ийн тухай ойлголт ба. нь X ба Y орон зайн үржвэрт хамаарах А олонлог дээр интегралчлах функцууд руу шилжиж, тус бүрд нь төгсгөлтэй бүрэн сөрөг бус хэмжигдэхүүнүүд өгөгдсөн ба А олонлог дээрх интегралчлалыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ. арга хэмжээний бүтээгдэхүүн болох хэмжүүр

Олон хувьсагчийн функцүүдийн хувьд зохисгүй функц гэсэн ойлголт бас байдаг. (см. Буруу интеграл). К.-ийн тухай ойлголт ба. -д мөн хамаарна тодорхойгүй интегралуудолон хувьсагчийн функцууд. Тодорхойгүй K. дагуу ба. багц функцийг ойлгох

Хаана Э -хэмжигдэхүйц багц. Жишээлбэл, f(x) нь зарим олонлог дээр Лебесгийн интегралчлагдах боломжтой бол түүний F(E). энэ олонлог дээр тэгш хэмтэй деривативын f(x) функц байна. Энэ утгаараа (нэг хувьсагчийн функцтэй төстэй) тодорхойгүй бараг функциональ утгыг авна. олонлог функцийг ялгах үйлдлийн урвуу үйлдэл юм.

Гэрэл.: Il'in V. A., Loznyak E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 2-р хэвлэл, 2-р хэсэг, М., 1980; К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В., Функцийн онол ба функциональ анализын элементүүд, 5-р хэвлэл, М., 1981: )