Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс.

Геометрийн эзэлхүүн үзүүлэлтүүд нь хатуу бодис, Евклидийн (гурван хэмжээст) орон зайд тэгээс өөр эзэлхүүнийг эзэлдэг. Эдгээр тоонуудыг "орон зайн геометр" хэмээх математикийн салбар судалдаг. Гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг инженерчлэл, байгалийн шинжлэх ухаанд ашигладаг. Нийтлэлд бид геометрийн гурван хэмжээст дүрс, тэдгээрийн нэрсийн талаархи асуултыг авч үзэх болно.

Геометрийн хатуу биетүүд

Эдгээр бие нь орон зайн гурван чиглэлд хязгаарлагдмал хэмжээстэй байдаг тул тэдгээрийг геометрт дүрслэхдээ гурвын системийг ашигладаг. координатын тэнхлэгүүд. Эдгээр тэнхлэгүүд байна дараах шинж чанарууд:

Тэд хоорондоо ортогональ, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр байдаг.
Эдгээр тэнхлэгүүдийг хэвийн болгосон тул тэнхлэг бүрийн суурь векторууд ижил урттай байна.
Координатын тэнхлэгүүдийн аль нэг нь үр дүн юм вектор бүтээгдэхүүнөөр хоёр.

Геометрийн эзэлхүүн ба тэдгээрийн нэрсийн талаар ярихад тэд бүгд 2 том ангийн аль нэгэнд багтдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Олон өнцөгтийн ангилал. Ангийн нэр дээр үндэслэсэн эдгээр дүрсүүд нь шулуун ирмэгтэй, хавтгай нүүртэй байдаг. Нүүр бол хэлбэр дүрсийг хязгаарладаг хавтгай юм. Хоёр нүүр нийлэх цэгийг ирмэг, гурван нүүр нийлэх цэгийг орой гэнэ. Полиэдрүүд нь куб, тетраэдр, призм, пирамид зэрэг геометрийн дүрсийг агуулдаг. Эдгээр тоонуудын хувьд Эйлерийн теорем хүчинтэй бөгөөд энэ нь олон өнцөгт бүрийн талуудын тоо (C), ирмэг (P) ба оройнуудын (B) хоорондын холбоог тогтоодог. Математикийн хувьд энэ теоремыг дараах байдлаар бичнэ: C + B = P + 2.
Дугуй биетүүдийн ангилал буюу хувьсгалын биетүүд. Эдгээр тоонууд нь муруй хэлбэртэй дор хаяж нэг гадаргуутай байдаг. Жишээлбэл, бөмбөг, конус, цилиндр, торус.

Эзлэхүүний тоонуудын шинж чанарын хувьд тэдгээрийн хамгийн чухал хоёрыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Орон зайд дүрс эзэлдэг тодорхой эзэлхүүн байгаа эсэх.
Гурван хэмжээст дүрс бүрийн оршихуй

Зураг тус бүрийн шинж чанарыг тодорхой математикийн томъёогоор дүрсэлсэн болно.

Хамгийн энгийн геометрийн эзэлхүүн дүрс, тэдгээрийн нэрсийг доор авч үзье: шоо, пирамид, призм, тетраэдр, бөмбөг.

Шоо зураг: тайлбар

Геометрийн шоо нь 6 дөрвөлжин хавтгай буюу гадаргуугаас үүссэн гурван хэмжээст бие юм. Энэ дүрсийг 6 талтай, эсвэл 3 хосоос бүрддэг тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг тул ердийн зургаан өнцөгт гэж нэрлэдэг. зэрэгцээ талууд, тэдгээр нь харилцан перпендикуляр байдаг. Суурь нь дөрвөлжин, өндөр нь суурийн талтай тэнцэх шоо гэж нэрлэдэг.

Куб нь олон өнцөгт эсвэл олон талт хэлбэртэй тул Эйлерийн теоремыг ашиглан түүний ирмэгийн тоог тодорхойлж болно. Хажуугийн тоо нь 6, шоо нь 8 оройтой гэдгийг мэдвэл ирмэгийн тоо нь: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Хэрэв бид шоо дөрвөлжин талын уртыг “a” үсгээр тэмдэглэвэл түүний эзэлхүүн ба гадаргуугийн томьёо нь V = a 3 ба S = 6 * a 2 болно.

Пирамид дүрс

Пирамид гэдэг нь энгийн олон өнцөгт (пирамидын суурь) ба суурьтай холбогддог гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд нэг хэлбэртэй байдаг. нийтлэг дээд(пирамидын дээд хэсэг). Гурвалжнуудыг пирамидын хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг.

Пирамидын геометрийн шинж чанар нь түүний суурь дээр аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас гадна пирамид нь шулуун эсвэл ташуу эсэхээс хамаарна. Шулуун пирамид гэдэг нь пирамидын оройг дундуур нь татсан суурьтай перпендикуляр шулуун шугам суурьтай огтлолцдог пирамид гэж ойлгогддог. геометрийн төв.

Нэг энгийн пирамидууднь дөрвөлжин шулуун пирамид бөгөөд түүний ёроолд "а" талтай дөрвөлжин байрладаг бөгөөд энэ пирамидын өндөр нь "h" юм. Энэ пирамидын дүрсийн хувьд эзлэхүүн ба гадаргуугийн талбай тэнцүү байх болно: V = a 2 *h/3 ба S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 тус тус. Нүүрний тоо 5, оройн тоо 5 байна гэдгийг харгалзан үзэхийн тулд бид ирмэгийн тоог олж авна: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Тетраэдр дүрс: тайлбар

Геометрийн дүрсийг тетраэдрон гэдэг нь 4 нүүрнээс бүрдсэн гурван хэмжээст биет гэж ойлгогддог. Орон зайн шинж чанарт үндэслэн ийм нүүр царай нь зөвхөн гурвалжинг төлөөлөх боломжтой. Тиймээс тетраэдр бол пирамидын онцгой тохиолдол бөгөөд түүний суурь дээр гурвалжин байдаг.

Хэрэв тетраэдрийн нүүрийг бүрдүүлдэг 4 гурвалжин бүгд ижил талт бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү бол ийм тетраэдрийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ тетраэдр нь 4 нүүр, 4 оройтой, ирмэгүүдийн тоо нь 4 + 4 - 2 = 6. Тухайн зурагт хавтгай геометрийн стандарт томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна: V = a 3 * √2/12 ба S = √ 3*a 2, энд a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт юм.

Байгаль дээр зарим молекулууд ийм хэлбэртэй байдаг нь сонирхолтой юм ердийн тетраэдр. Жишээлбэл, метан молекул CH 4, устөрөгчийн атомууд нь тетраэдрийн орой дээр байрладаг бөгөөд нүүрстөрөгчийн атомтай ковалентаар холбогддог. химийн холбоо. Нүүрстөрөгчийн атом нь тетраэдрийн геометрийн төвд байрладаг.

Үйлдвэрлэхэд хялбар тетраэдр хэлбэрийг инженерийн салбарт ч ашигладаг. Жишээлбэл, тетраэдр хэлбэрийг хөлөг онгоцны зангуу үйлдвэрлэхэд ашигладаг. Үүнийг анхаарна уу сансрын датчик 1997 оны 7-р сарын 4-нд Ангараг гарагийн гадаргуу дээр газардсан НАСА-гийн Ангараг зам хайгч нь мөн тетраэдр хэлбэртэй байжээ.

Призмийн дүрс

Энэ геометрийн дүрсХоёр олон өнцөгтийг авч, тэдгээрийг огторгуйн янз бүрийн хавтгайд параллель байрлуулж, тэдгээрийн оройг бие биетэйгээ уялдуулан холбох замаар олж авч болно. Үр дүн нь призм болох бөгөөд хоёр олон талтыг түүний суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр полиэдрүүдийг холбосон гадаргуу нь параллелограмм хэлбэртэй болно. Призмийг шулуун гэж нэрлэдэг талууд(параллелограмм) нь тэгш өнцөгт юм.

Призм бол олон өнцөгт тул Эйлерийн теорем нь үнэн юм. Жишээлбэл, призмийн суурь нь зургаан өнцөгт бол призмийн талуудын тоо 8, оройн тоо нь 12. Ирмэгийн тоо нь: P = 8 + 12 - 2 = 18 байна. Сууриндаа а талтай ердийн зургаан өнцөгт байрлах h өндөртэй шулуун призмийн хувьд эзлэхүүн нь: V = a 2 *h*√3/4, гадаргуугийн талбай нь: S = 3*a*(a*. √3 + 2*ц).

Энгийн геометрийн эзэлхүүн дүрс, тэдгээрийн нэрсийн талаар ярихдаа бөмбөгийг дурдах хэрэгтэй. Бөмбөлөг гэж нэрлэгддэг эзэлхүүнтэй биеийг бөмбөрцөгөөр хязгаарлагдсан бие гэж ойлгодог. Хариуд нь бөмбөрцөг нь нэг цэгээс ижил зайд байрлах орон зайн цэгүүдийн цуглуулга бөгөөд үүнийг бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэдэг.

Бөмбөг нь дугуй биетүүдийн ангилалд багтдаг тул түүний тал, ирмэг, оройн тухай ойлголт байдаггүй. Бөмбөгийг хүрээлж буй бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг S = 4 * pi * r 2 томъёогоор олдог бөгөөд бөмбөгний эзэлхүүнийг V = 4 * pi * r 3 / 3 томъёогоор тооцоолж болно. Энд pi нь pi тоо (3.14), r нь бөмбөрцгийн (бөмбөг) радиус юм.

Эзлэхүүн биетүүд Эргэн тойрноо харвал та хаа сайгүй олох болно эзэлхүүнтэй биетүүд. Эдгээр нь урт, өргөн, өндөр гэсэн гурван хэмжээс бүхий геометрийн хэлбэрүүд юм. Жишээлбэл, олон давхар байшинг төсөөлөхөд "Энэ байшин гурван орцтой, хоёр цонхны өргөн, зургаан давхар өндөр" гэж хэлэхэд хангалттай. Танд танигдсан бага сургуультэгш өнцөгт параллелепипед болон шоо гурван хэмжээст бүрэн дүрслэгдсэн байна. Бидний эргэн тойрон дахь бүх объектууд гурван хэмжээстэй байдаг ч тэдгээрийг бүгдийг нь урт, өргөн, өндөр гэж нэрлэж болохгүй. Жишээлбэл, модны хувьд бид зөвхөн өндрийг, олсны хувьд - урт, нүхний хувьд - гүнийг зааж өгч болно. Тэгээд бөмбөгний хувьд? Энэ нь бас гурван хэмжээстэй юу? Хэрэв дотор нь шоо эсвэл бөмбөг байрлуулж болох юм бол бие нь гурван хэмжээст (эзэлхүүнтэй) гэж бид хэлдэг. Бөмбөрцөг, цилиндр, конус хоёулаа гурван хэмжээстэй.

Полиэдр Хавтгай олон өнцөгтүүдээр хүрээлэгдсэн биеийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, шоо тэнцүү квадратуудаар хязгаарлагддаг. Олон өнцөгтийн гадаргууг бүрдүүлдэг олон өнцөгтийг нүүр гэж нэрлэдэг. Эдгээр олон өнцөгтүүдийн талууд нь олон өнцөгтийн ирмэгүүд юм. Олон өнцөгтийн орой, олон өнцөгтийн орой. Жишээлбэл, шоо нь 6 нүүртэй (бүгд нь тэнцүү квадратууд), 12 ирмэг ба 8 орой.

Олон талт. Пирамид. Баруун талд байгаа олон өнцөгт байна тусгай нэр: зөв дөрвөлжин пирамид. Энэ бол алдартай Cheops пирамидын яг хэлбэр юм: түүний суурь дээр дөрвөлжин байдаг хажуугийн нүүрнүүд тэнцүү гурвалжин. Энэ олон өнцөгт хэдэн нүүр, ирмэг, оройтой вэ? Зураг дээрх зарим дүрс нь олон талт, зарим нь биш юм. Олон өнцөгтийг ямар тоогоор харуулсан бэ?

Гүдгэр ба гүдгэр бус олон өнцөгт Бидний мэдэж байгаагаар олон өнцөгт нь гүдгэр ба гүдгэр биш байж болно. Гүдгэр олон өнцөгт нь олон өнцөгтийн аль нэг талыг агуулсан шугамын нэг талд байрладаг. Мөн гүдгэр бусын хувьд та түүнийг агуулсан шулуун шугам нь олон өнцөгтийг хэсэг болгон "зүсэх" талыг олж болно. Зураг дээр шар өнгийн олон өнцөгт нь гүдгэр, хөх нь гүдгэр бус байна. Полиэдр нь гүдгэр эсвэл гүдгэр биш байж болно. Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний аль нэг нүүрийг агуулсан аливаа хавтгайн нэг талд байрладаг. Гүдгэр бус олон өнцөгтийн хувьд түүгээр дамжин өнгөрөх онгоц түүнийг хэсэг болгон "тайрах" нүүрийг олж болно. Зураг дээрх шар өнгийн олон өнцөгт нь гүдгэр юм. Зураг дээрх аль тоо нь гүдгэр олон өнцөгтийг, аль тоо нь гүдгэр бусыг харуулсан бэ?

Асуултуудад хариулна уу: 1. Шоогийн нүүр гэж юу вэ: a) хэрчим в) дөрвөлжин; 2.Шоогийн ирмэг гэж юу вэ: а) хэрчим б) цэг в) квадрат; 3.Шоогийн орой гэж юу вэ: а) хэрчим в) дөрвөлжин; 4. Энэ нь хэдэн нүүртэй вэ? тэгш өнцөгт параллелепипед: a) 8b) 6c) 12 5. Олон өнцөгт нь a) ямар ч эзэлхүүнтэй бие б) хавтгай олон өнцөгтүүдээр хязгаарлагдсан бие юм.

Асуултанд хариулна уу: 6. Суурь нь юу байна ердийн пирамид a) тэгш өнцөгт) квадратc) параллелограмм 7. Аль дүрс нь ердийн пирамидын нүүр вэ a) тэгш өнцөгт) квадратc) тогтмол гурвалжин 8. Гүдгэр олон өнцөгт a) аль ч нүүрийг агуулсан аливаа хавтгайн нэг талд оршдог b) ямар ч эзэлхүүнтэй биет в) аль ч нүүрийг агуулсан аливаа хавтгайн хоёр талд оршдог. 9. Гүдгэр олон талтуудын зурагт ямар тоог харуулсан бэ?

Ашигласан эх сурвалж: Сургуулийн вэбсайт зайны сургалт(Москва) зайн сургалтын сургуулиуд (Москва) Дэлхий даяарх онлайн нэвтэрхий толь OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / зураг %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0 %B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Геометрийн сурах бичиг 6-9

Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Магистр бичиг үсэгтэй ба хурдан технологиашиглан графикийг хийж болно сургалтын материалГрафикийн геометрийн хувиргалт. Гэхдээ үнэндээ би зургийн ач холбогдлын талаар хэд хэдэн удаа хичээл дээр ярьж байсан.

Ерөнхийдөө дотор интеграл тооцооашиглаж байгаа олон сонирхолтой програмууд байдаг тодорхой интегралТа дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, эргэлтийн гадаргуугийн талбай болон бусад олон зүйлийг тооцоолж болно. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Хавтгай дүрс байна гэж төсөөлөөд үз дээ координатын хавтгай. Танилцуулсан уу? ... Хэн юу бэлэглэсэн юм бол... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ тооТа мөн хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно:

- абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд;
– ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой байдаг, энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж очно дүрсийн талбайг олох асуудал, мөн би тэнхлэгийн дагуу хоёр дахь аргаар талбайг хэрхэн олохыг танд хэлье. Материал нь сэдэвт сайн нийцэж байгаа тул энэ нь урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Талбайг олох асуудлын нэгэн адил, шийдэл нь зургаас эхэлдэг хавтгай дүрс . Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг зааж өгдөг гэдгийг мартаж болохгүй. Зургийг хэрхэн илүү үр дүнтэй, хурдан дуусгах талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанаруудТэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Энэ бол Хятадын сануулга, цаашлаад энэ мөчидБи дахиж зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрс нь тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлддэг, үр дүн нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номонд байгаа зүйлийг тодруулахаас залхуурсан тул бид цаашаа явлаа.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд тоо нь интегралын өмнө байх ёстой. Ийм зүйл тохиолдсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн нэгдмэл байдлын хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгайн дүрс нь дээд талын параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ нь томьёонд тусгагдсан функц юм.

IN практик даалгавархавтгай дүрс нь заримдаа тэнхлэгийн доор байрлаж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: , ингэснээр интеграл үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Биеийн эргэлтийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоолъё энэ томъёо:

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулах:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь ихэнх нь бүх нийтийн томъёолол. Байж магадгүй шоо см, байж болно шоо метр, магадгүй шоо километр гэх мэт, таны төсөөллөөр нисдэг таваганд хичнээн жижиг ногоон эрчүүд хийж чадах вэ.

Жишээ 2

Биеийн эзэлхүүнийг ол, эргэлтээр бий болсонЗургийн тэнхлэгийг тойруулан, шугамаар хүрээлэгдсэн, ,

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Дахиад хоёрыг авч үзье нарийн төвөгтэй даалгавар, энэ нь практикт бас ихэвчлэн тулгардаг.

Жишээ 3

, болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр , , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Дугуйлсан зургийг анхаарч үзээрэй ногоон. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Бид ашигладаг стандарт томъёоХувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд:

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулах:

Энэ нь сонин байна энэ тохиолдолдашиглан шийдлийг шалгаж болно сургуулийн томъёотаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (өөр) номонд анзаарсан байдаг Хөгжилтэй геометр . Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 талбайтай өрөөтэй тэнцэх хэмжээний уудаг. квадрат метр, энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээ юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн тэр ном нь хошин шогийн зохиолчийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, эхийг хайж олохыг зааж өгдөг. стандарт бус шийдлүүдасуудлууд. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Дараа нь уянгын хазайлтшийдэх нь зөв бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх тохиолдлууд нь хамтлагт тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх бэлэн хязгаар нь үнэндээ өгсөн байна. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурж, хичээлийн материалыг танд сануулъя графикийн геометрийн хувиргалт: хэрэв аргументыг хоёр хуваавал: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олохыг зөвлөж байна тригонометрийн хүснэгтийн дагуузургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординат тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох ажил нь бас нэлээд байнгын зочин юм. туршилтууд. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалХоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд бас практик тал бий. амьдралын утга учир! Математик заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид түүнд талархал илэрхийлэв. үр дүнтэй менежерүүдмөн ажилтнуудаа оновчтой удирдах." Энэ завшааныг ашиглан би түүнд маш их баярлаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ ашиглаж байгаадаа шууд зорилго =).

Би үүнийг хүн бүрт, бүр бүрэн дамми хүртэл зөвлөж байна. Түүнчлэн, хоёр дахь догол мөрөнд сурсан материал нь давхар интегралыг тооцоолоход үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно..

Жишээ 5

Хавтгай дүрс өгсөн шугамаар хязгаарлагдсан , , .

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь цэгийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд Заавалэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг зааж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талдаа" байдаг өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, олох гэж буй хэсэг нь цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн байна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд юу нь муу вэ? ердийн аргашийдлүүд? Нэгдүгээрт, бид хоёр интеграл авсан. Хоёрдугаарт, интеграл нь үндэс бөгөөд интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш бөгөөд үүнээс гадна та интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг алуурчин биш, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байж магадгүй тул би асуудлын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгосон.

Илүү олон бий оновчтой аргашийдлүүд: энэ нь шилжихээс бүрдэнэ урвуу функцуудболон тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх.

Урвуу функцууд руу хэрхэн орох вэ? Товчхондоо та “x”-ийг “y”-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг харцгаая:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Энэ тохиолдолд сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зүгээр л захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу: Тэнхлэгийн дагуух интеграцийн хязгаарыг тогтоох хэрэгтэй хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцийг хэрхэн гүйцэтгэсэн болохыг анхаарна уу, энэ бол хамгийн их юм оновчтой арга, мөн даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад байгаа нь тодорхой болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцийг зөв гүйцэтгэсэн гэсэн үг юм.

Хариулах:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Тиймээс цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "хөөрөх эрвээхэй" бий.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйний эзэлхүүн зөрүүтэй тэнцүү байнаботь

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Гэхдээ миний саяхан ярьсан интеграцийн давуу талыг олоход илүү хялбар байдаг , эхлээд интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хариулах:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй биш.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл та огт өөр эргэлттэй, өөр эзэлхүүнтэй биеийг олж авах болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шугаман болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэх замаар эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сонирхсон хүмүүс зургийн талбайг "ердийн" аргаар олж, 1) цэгийг шалгаж болно. Гэхдээ давтан хэлэхэд, хэрэв та тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлбэл, та өөр эзэлхүүнтэй огт өөр эргэлтийн биеийг авах болно, дашрамд хэлэхэд, зөв хариулт (мөн асуудлыг шийдэх дуртай хүмүүст).

Даалгаврын санал болгож буй хоёр цэгийн бүрэн шийдэл нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тийм ээ, эргэлтийн бие болон интеграцийн хязгаарыг ойлгохын тулд толгойгоо баруун тийш хазайхаа бүү мартаарай!

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Зорилтот:

хавтгай ба гурван хэмжээст объектын талаархи хүүхдийн ойлголтыг гүнзгийрүүлэх, өргөжүүлэх; тэдгээрийг харьцуулах, тэдгээрийн ялгааг тодорхойлох;
геометрийн дүрс, тэдгээрийн шинж чанарын талаархи оюутнуудын мэдлэгийг тодорхойлох, нэгтгэх;
янз бүрийн хавтгай дүрсийг зохион бүтээх;
багаар ажиллах ур чадварыг хөгжүүлэх, дүрэм журмыг дагаж мөрдөх, зорилго тавих, түүнд хүрэх, өөрийн ажил болон бүлгийн ажилд дүн шинжилгээ хийх.

Маягт:хичээл-аялал эсвэл хичээлээс гадуурх үйл ажиллагаанд бүлгийн ажил.

Тоног төхөөрөмж: ангид зориулсан танилцуулга; бүлэг тус бүрийн хувьд: барилгын багц, даалгавар, зураг бүхий дугтуй, геометрийн биетүүд, дүрмийн картууд.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Бид энд сурах гэж ирсэн, залхуурах гэж биш, харин ажиллах гэж ирсэн.
Бид хичээнгүйлэн ажиллаж, анхааралтай сонсдог.
Бид хамтдаа, хөгжилтэй, найрсаг байдлаар хэрэгтэй бүх зүйлийг хийдэг.

Өнөөдрийн бидний ажил бүлгээрээ явагддаг. Ажлынхаа дүрмийг давтан хэлье: (бүлэг бүрийн ширээн дээр сануулах карт байдаг, дүрэм бүрийг сануул - ахлах бүлгүүд ээлжлэн). Дүрмийг хавсралтад оруулсан болно.

Та үүнийг мэдэх үү асар том ертөнцОлон тооны математикч байдаг сонирхолтой улссайхан нэртэй - Геометр. Энэ улс тоогоор биш, янз бүрийн зураас, дүрс, биетээр амьдардаг. (Слайд 2)

Өнөөдөр бид Геометрийн орноор аялж, хавтгай ба гурван хэмжээст дүрсүүд амьдардаг хотуудаар зочлох болно. Бидний даалгавар бол аль геометрийн хэлбэрүүд нь хавтгай, аль нь гурван хэмжээст, тэдгээр нь хэрхэн ялгаатай болохыг олж мэдэх явдал юм.

Бид агаарын бөмбөлөгөөр аялах болно. (Слайд 3)

Та яагаад бодож байна вэ? - Геометрийн дүрсээс угсарсан.

Аяллын явцад бид бөмбөлөгний хэсгүүд аль бүлэгт хамаарахыг олж мэдэх болно.

II. Үндсэн хэсэг.

За, явцгаая!

Бид хотыг урд нь харж байна. Ямар хот вэ? Хараач!

1-р зогсоол - түгээлтийн зогсоол.

Тийм ээ, нэг хот биш, хоёр. (Слайд 4)

Таны өмнө хоёр хот байна. Тэдний нэрийг уншина уу.

Ширээн дээр та янз бүрийн дүрсийг хардаг - эдгээр нь хотын оршин суугчид юм. Дугтуйнд байгаа дүрсүүдийг харж, нэрлэж, нэгийг нь хэлээрэй.

Бүлгээр ажиллах.

Одоо та ямар тоонд оршин сууснаа бидэнд хэлээрэй Хавтгай дүрс бүхий хот.

Хүүхдүүдийн хариулт. (4-зүүн тийш гулсуулна уу)

Бүх хавтгай дүрст нийтлэг зүйл юу вэ?

(Тэдгээрийг бүхэлд нь хуудас эсвэл ширээн дээр тавьдаг, онгоцноос дээш гарахгүй, цааснаас хайчилж болно.)

Математикчид ингэж хэлдэг онгоц -энэ нь хоёр хэмжээст орон зай, i.e. Энэ нь урт ба өргөн гэсэн хоёр хэмжээстэй.

Та өөр ямар хавтгай дүрсийг мэдэх вэ?

Хэсэг, шулуун, гурвалжин, тойрог...

Одоо суурьшсан тоонуудыг нэрлэ Эзлэхүүн тоонуудын хот.

Хүүхдүүдийн хариулт. (Слайд 4-баруун)

Эдгээр тоон үзүүлэлтүүд юугаараа нийтлэг байдаг вэ?

Та тэдгээрийг хэрхэн байрлуулахаас үл хамааран тэд ширээ эсвэл самбараас дээш гарах болно.

Та өөр ямар гурван хэмжээст дүрсийг мэдэх вэ? Бүлэг бүр гурван хэмжээст дүрсээ нэрлэнэ.Хүүхдүүдийн хариулт.

Геометрийн хувьд эзэлхүүний тоонуудын тусгай нэр байдаг - геометрийн бие.

Бидний эргэн тойронд байгаа бүх бие махбодь байдаг гурван хэмжээс: урт, өргөн, өндөр. Үнэн, бүх геометрийн биетүүдийн урт, өргөн, өндрийг зааж өгөх боломжгүй. Гэхдээ цагт тэгш өнцөгт параллелепипедЧадах.

Багшийн үзүүлэнгээр хүүхдүүд ширээн дээр параллелепипедээ шалгана. Түүний бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Олон объект ийм хэлбэртэй байдаг. Тэднийг нэрлэ. (Слайд 6) Хүүхдүүдийн хариулт.

Манайх руугаа буцъя бөмбөлөг. Энэ нь хавтгай эсвэл гурван хэмжээст ямар хэлбэрээс бүрдэх вэ? - Цилиндр ба бөмбөлөг нь гурван хэмжээст дүрсүүд бөгөөд туузны шугамууд нь хавтгай юм. (Слайд 7)

Нар мандаж, бид хол нисч байна.

Зогсоол 2 - шинжлэх ухаан. Бүлэг №1.

Одоо бид ямар дүрсийн тухай ярьж байгааг тааварлаарай.

Сурагч 1: Гурван өнцөг, гурван тал

Янз бүрийн урттай байж болно. ( гурвалжин). (Слайд 8)

Оюутан 2:Энэ бол хавтгай дүрс юм. Энэ нь 3 орой, 3 булан, 3 талтай. Хажуу талууд нь ижил эсвэл өөр урттай байж болно.

Оюутан 3:Гурвалжин нь тасархай шугамын гурван сегментээс үүсдэг.

Энэ ямар дүрс вэ, хавтгай эсвэл гурван хэмжээст? Хүүхдүүдийн хариулт.

(Слайд 9) Геометрийн дүрс бүхий дугтуй. Дараагийн зураг...

Бүлэг №2.

Оюутан 1: Асфальт дээр тоосго бүхэлд нь шохойгоор зурж,

Та зураг авах болно - мэдээжийн хэрэг та үүнийг мэддэг.

Энэ тэгш өнцөгт. (слайд дээр дарна уу )

Оюутан 2:Тэгш өнцөгт нь 4 булан, 4 орой, 4 талтай. Хосоороо тэнцүү.

Оюутан 3:Загвар нь 4 холбоосын хаалттай эвдэрсэн шугам юм. Холбоосууд нь хосоороо тэнцүү байна.

Бүлэг №3.

Сурагч 1: Дөрвөн тал нь ижил урттай.

Тэр чамд өөрийгөө танилцуулж байгаадаа баяртай байгаа ч нэр нь...( дөрвөлжин).

Оюутан 2:Квадрат нь 4 орой, 4 булан, 4 тэнцүү талтай.

Оюутан 3:загвар - ижил урттай 4 холбоос бүхий хаалттай шугам.

Бүлэг №4.

Оюутан 1:Гурвалжин тийрэлтэт тоос сорогч руу хамраа наав.

Тэгээд тэр хамаргүй - бурхан минь! - банзал шиг болсон.

Хамгийн сонирхолтой нь одоо түүний нэр хэн бэ. ( трапец)

Оюутан 2: 4 булан, 4 орой, 4 тал. Хажуу тал нь бүгд өөр, эсвэл талууд тэнцүү, гэхдээ суурь нь өөр.

Оюутан 3:загвар – 4 хаалттай шугам, өнцөг – 2 мохоо, 2 хурц.

Бүлэг №5.

Оюутан 1:Хэрэв бүх квадратууд оройн цэгүүд дээр өнцгөөр зогсож байвал

Бидний харсан зүйл бол дөрвөлжин биш, харин... ( алмаз.)

Оюутан 2: 4 булан, 4 орой, 4 тал. Талууд тэнцүү байна эсрэг өнцөг- бас тэнцүү байна.

Оюутан 3:загвар – 4 хаалттай шугам, тодорхойлогдсон өнцөг.

Нар мандаж, бид хол нисч байна.
Урд зогс. Энэ юу вэ? Хараач!

3 дахь зогсоол - зогсолт. Биеийн тамирын хичээл: “Цэг, цэг, таслал...” Хөгжимд бүжгийн хөдөлгөөн хийх. (Ангид зориулсан видео бичлэг)

Зогсоол 4 - дизайн. (Слайд 10) Таны өмнө загвар зохион бүтээгчийн эд анги бүхий савнууд байна. Бүлэг бүр даалгаврын дагуу дүрсүүдийг цуглуулах шаардлагатай. (Хавсралтыг үзнэ үү).

Даалгавраа хайж, нарийн ширийн зүйлийг эрэмбэлж, үйл ажиллагааны төлөвлөгөөгөө хэлэлцэж, ажилдаа ороорой: геометрийн дүрсийг угсарна. Тэднийг нэрлэ.

Хосоор ажиллах. Бүлгүүдийн ахмадууд тусалж, зохион байгуулдаг. Бүтээлийн шинжилгээ.

III. Хичээлийн хураангуй. Тусгал. Ингээд геометрийн орноор хийсэн анхны аялал маань өндөрлөлөө. Гэхдээ та энэ гайхалтай, гайхалтай улсад нэг бус удаа очиж, олон шинэ зүйлийг сурч мэдсэн байх ёстой.

Бүлгийн ажлын дүн шинжилгээ: даалгаврыг биелүүлсэн эсэх, ажлын чанар, дүрмийн хэрэгжилт (бүлэг дэх ажлыг үнэлэх карт).

Бидний хичээл дууслаа. Анхаарал тавьсанд баярлалаа. (слайд 11)

ХЭРЭГЛЭЭ:

1-р бүлэгт гүйцэтгэх даалгавар:

1. Геометрийн дүрсүүдийг харж, нэрлээд ГУРВАЛЖИНГ сонго.

4. Зургийн загваруудыг хий.

2-р бүлэгт гүйцэтгэх даалгавар:

1. Геометрийн дүрсийг авч үзээд тэдгээрийг нэрлээд ТӨГШӨГТӨГЧИЙГ сонгоно.

2. Энэ геометрийн дүрсийн талаар юу мэддэгээ хэлээрэй.

3. Энэ зургийн ЗАГВАР хэрхэн бүтээх талаар бод. Тайлбарлах.

4. Зургийн загваруудыг хий.

3-р бүлэгт гүйцэтгэх даалгавар:

1. Геометрийн дүрсүүдийг харж, нэрлээд Квадратыг сонгоно.

2. Энэ геометрийн дүрсийн талаар юу мэддэгээ хэлээрэй.

3. Энэ зургийн ЗАГВАР хэрхэн бүтээх талаар бод. Тайлбарлах.

4. Зургийн загваруудыг хий.

4-р бүлэгт гүйцэтгэх даалгавар:

1. Геометрийн дүрсүүдийг авч үзээд нэрлээд ТРАПЕЦ-уудыг сонго.

2. Энэ геометрийн дүрсийн талаар юу мэддэгээ хэлээрэй.

3. Энэ зургийн ЗАГВАР хэрхэн бүтээх талаар бод. Тайлбарлах.

4. Зургийн загваруудыг хий.

5-р бүлэгт гүйцэтгэх даалгавар:

1. Геометрийн дүрсүүдийг харж, нэрлээд, ромбусуудыг сонго.

2. Энэ геометрийн дүрсийн талаар юу мэддэгээ хэлээрэй.

3. Энэ зургийн ЗАГВАР хэрхэн бүтээх талаар бод. Тайлбарлах.

4. Зургийн загваруудыг хий.

Бүлэгт ажиллах дүрэм.

Нөхрийгөө хүндэл.
Хүн бүрийг хэрхэн сонсохоо мэддэг.
Ажилдаа хариуцлагатай хандаж, нийтлэг шалтгааны төлөө ажилла.
Шүүмжлэлд хүлээцтэй ханд.
Хэрэв та санал нийлэхгүй бол санал болго!

Сэдэв: "Хавтгай дүрс ба эзэлхүүн биетүүд"

Зорилго:

хавтгай геометрийн дүрс ба эзэлхүүний геометрийн биетүүдийн талаархи санаа бодлыг нэгтгэх;

сурагчид гурван хэмжээст дүрсийг олж авах арга замыг "нээх" нөхцлийг бүрдүүлэх.

Даалгаварууд:

хавтгай дүрс ба гурван хэмжээст биетүүдийн ангилал, тэдгээрийн үндсэн ялгааны талаархи мэдлэгийг нэгтгэх;

"хувьсгалын бие" ба "олон талт" гэсэн ойлголтыг танилцуулах;

геометрийн шинжлэх ухаан, дүрслэх урлагийн хооронд холбоо тогтоох;

оригами техникийг ашиглан шоо загвар үүсгэх;

логик ба орон зайн сэтгэлгээ, анхаарал, санах ой, төсөөлөл, бүтээлч байдал;

багаж хэрэгсэлтэй ажиллахдаа үнэн зөв, аюулгүй байдлын дүрмийг дагаж мөрдөхийг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: интерактив самбар, танилцуулга, эзэлхүүнтэй геометрийн хэлбэрийн загварууд, тараах материал(бие даасан картууд).

Хичээлийн явц.

Зохион байгуулалтын мөч. Амжилтанд хүрэх нөхцөл байдлыг бий болгох.

II . Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.

Бага ангийн багш: - Залуус аа, өнөөдөр бидний хичээл геометрийн хичээлд зориулагдсан болно.

Геометр гэж юу болохыг санацгаая? (Грек хэлнээс орчуулбал "геометр" гэдэг нь "газар хэмжилт" гэсэн утгатай. Математикийн "геометр" нь геометрийн дүрс, тэдгээрийн шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан юм)

Бага ангийн багш: - Та ямар геометрийн дүрсийг мэддэг вэ? (Дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, шоо, бөмбөг гэх мэт)

Бага ангийн багш: - Эдгээр геометрийн дүрсийг ямар төрөлд хувааж болох вэ? (Эзлэхүүн геометрийн бие, хавтгай геометрийн хэлбэр, үндсэн геометрийн ойлголтууд)

Бага ангийн багш: - Бидний хичээлийн сэдэв бол “Хавтгай дүрс ба гурван хэмжээст бие” юм.

Бүх объектууд хавтгай эсвэл гурван хэмжээст байдаг.

Хавтгай дүрс нь гурван хэмжээст биеэс юугаараа ялгаатай вэ? (Хавтгай дүрс нь зөвхөн урт, өргөнтэй байдаг бол хатуу дүрс нь урт, өндөр, өргөнтэй байдаг.)

Урлагийн багш: - Энд байнаэхний даалгавар (сонголтуудын дагуу):өнгөт хавтгай хэлбэрүүд дулаан өнгө, мөн эзэлхүүний бие хүйтэн байна. Аль өнгийг дулаан, аль нь хүйтэн гэж нэрлэдэгийг санацгаая?

Бага ангийн багш: - Эзлэхүүн биетүүдийн бүтэц ямар байдаг вэ? (ирмэг, нүүр, суурь, дээд хэсэг).

- Загвар дээр эзэлхүүний биеийн жагсаасан хэсгүүдийг хэн харуулах вэ?

Бага ангийн багш: - Нэгтгэхийн тулд хийцгээехоёр дахь даалгавар

(сонголтуудын дагуу):

1 сонголт - Урд талыг сүүдэрлэх ба дээд ирмэгКуба.

Сонголт 2 - Алга болсон ирмэгүүдийг зур.

Сонголт 3 - Таван өнцөгт призмийн оройн тоог тоол.

Бага ангийн багш: - Одоо тоглоцгооё. Хэн хэнтэй "найзууд" болохыг олж мэдье (Бөмбөлөгтэй улбар шар, боргоцойтой лууван, зууван хэлбэртэй нимбэг, тэгш өнцөгттэй хайрцаг).

Урлагийн багш: - Бид геометрийг урлагаас ч олж болно. Жишээлбэл, геометрийн дүрсийн хөшөө:

Арабын нэгдсэн Эмират улсын Дубайн Забеэл цэцэрлэгт хүрээлэн дэх баримлын шоо

Бээжин дэх гэрэлтдэг шоо

Энэ мэтгантиг бөмбөг Ростов-на-Дону хотын төв гудамж Большая Садовая дээр суурилуулсан. Энэхүү бөмбөгний гайхалтай нарийн хэлбэрүүд нь математик, тэр дундаа геометрийн сонирхогчдыг гайхшруулдаг.

Хөшөө ердийн олон талтГерманд

Бельгийн тосгон дахь жигд бус гурвалжин

Москва мужид зураач Казимир Малевичийн хөшөөний төсөл

Каземир Малевич бол 20-р зуунд амьдарч байсан Зөвлөлтийн зураач бөгөөд геометрийн дүрсүүдээс бүрдсэн дүрсгүй бүтээлүүдийг туурвидаг. гол үүрэгдөрвөлжин жүжиг.

Казимир Малевичийн өөрийн хөрөг зураг

Энэ урлагийг "супрематизм" (давхар байдал, дээд байдал) гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, түүний анхны зургуудын нэг "Хар дөрвөлжин".

Ус зөөж буй эмэгтэй

III . Шинэ зүйлийн нээлт.

1. Хувьсгал ба олон талт биетүүд.

Бага ангийн багш: - Эзлэхүүн биетүүдийг мөн хоёр бүлэгт хуваадаг: эргэлтийн биет ба олон талт биет.

Яагаад гэж бодож байнахувьсгалын байгууллагууд ? (Цилиндр нь тэгш өнцөгтийг тэнхлэг болгон хажуу тийш нь эргүүлснээр олж авсан бие гэж үзэж болно. Конусыг эргүүлэх замаар олж авсан бие гэж үзэж болно. зөв гурвалжинтэнхлэг болгон хажуугийн эргэн тойронд.)

Урлагийн багш: - Байршлыг хар.

Бага ангийн багш: - Олон өнцөгтийг хэрхэн тодорхойлох вэ? ( Полиэдрон бол бүх талаараа нүүрээр хүрээлэгдсэн геометрийн бие юм. Нүүрний талуудыг олон өнцөгтийн ирмэг гэж нэрлэдэг ба ирмэгүүдийн төгсгөлийг олон өнцөгтийн орой гэж нэрлэдэг.)

Урлагийн багш: - Гурван хэмжээст дүрсийг хэрхэн дүрслэх вэ?

Эзлэхүүн тооЭдгээрийг хиароскуро ашиглан дүрсэлсэн байдаг, эс тэгвээс цаасан дээрээс "босч" байгааг харуулах боломжгүй юм. Мөн тасархай шугамын тусламжтайгаар үл үзэгдэх контурыг дүрсэлсэн болно. Chiaroscuro ашиглан хувьсгал ба олон талт биетүүдийн эзлэхүүнийг харуулахыг хичээцгээе.Гурав дахь даалгавар :

Сонголт 1 - конус;

Сонголт 2 - пирамид;

Сонголт 3 - цилиндр.( Бүтээлийн дүн шинжилгээ.)

IV . Биеийн тамирын минут. ( “Цэг, цэг, таслал...” дуунд тоглов)

Цэг, цэг, таслал.

Тэд бөхийж байхдаа гараараа харуулдаг.

Энэ нь инээдтэй царайтай болсон.

Гараа чих рүү, бие эргүүлнэ.

Гар, хөл, өргөст хэмх

Гар, хөлөө харуулж, гараараа зууван зур

Энэ нь жаахан хүн болж хувирав.

Туузан дээр гараа, биеийг зүүн, баруун тийш эргүүлнэ.

Эдгээр цэгүүд юу харах вэ?

Анивчих сормуус - хуруу

Эдгээр үзэг юу бүтээх вэ?

Гараа урагшаа мөрөн рүү чиглүүлнэ

Эдгээр хөл хэр хол вэ?

Тэд түүнийг аваад явна

Алхамууд байрандаа

Тэр дэлхий дээр хэрхэн амьдрах вэ?

Бид үүнд хариуцлага хүлээхгүй:

Туузан дээр гараа - бие нь зүүн, баруун тийш хазайдаг

Бид зурсан

Суу

Ингээд л болоо!

Босоод

В . Практик ажил.

Урлагийн багш: - Орон зайн геометрийн чухал дүрсүүдийн нэг бол шоо юм.

Кубын нүүр нь ямар хавтгай дүрс вэ? (дөрвөлжин)

Шоо хэдэн нүүртэй вэ? (6)

Одоо бид оригами техникийг ашиглан шоо угсрах болно. Ийм шоо нь ижил хэсгүүдээс нугалж болно. Шооны нүүртэй адил олон байх ёстой. Диаграммын дагуу хэсгүүдийг холбоно. Хурц булангуудхалаасандаа хий. Санаж байна уу: булан бүрийг халаасанд хийх ёстой. Та хосоороо ажиллах болно. Хос бүр өөр өөрийн шоо шийднэ. Цуглуулсан кубуудаас бид өөр геометрийн дүрсийг бий болгоно - шаталсан пирамид.