Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системТа товшиж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүх зүйлийн тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.
Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?
Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Үүний шийдлийг олъё шугаман системтэгшитгэл Эхлэхийн тулд бид та системийн коэффициент матрицыг бичих хэрэгтэй.
Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд 3 дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад зөрүүг 3 дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. 
Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасаад зөрүүг гурав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 3-аар үржсэнийг хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. 
Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, тиймээс дөрөв, таваас гурав дахь хэсгийг хасвал тэдгээр нь тэг болно. 
Энэ матрицын дагуу бичих шинэ системтэгшитгэл.
Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид Бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй.
Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ыг илэрхийлээд дараа нь гарсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр илэрхийлэв. 
Дараа нь $x_4$ ба $x_5$-ын оронд дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-г олж болно. Эдгээр таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ийн оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ ба $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-ийг олох хэрэгтэй.
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
Тодорхойлолт.Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь ямар ч утгын хувьд энэ тэгшитгэлийн шийдэл болох функц юм.
Тодорхойлолт.Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэнэ. Хэрэв коэффициентүүд тогтмол байвал i.e. -аас хамаарахгүй бол энэ тэгшитгэлийг -тэй тэгшитгэл гэнэ тогтмол коэффициентүүдтэгээд ингэж бичнэ үү: .
Тэгшитгэл 
бид үүнийг шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл гэж нэрлэх болно.
Тодорхойлолт.Шугаман шугамаас олж авсан тэгшитгэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлфункцийг нэгээр, мөн харгалзах хүчээр орлуулахыг шинж чанарын тэгшитгэл гэнэ.
Квадрат тэгшитгэл нь дискриминантаас хамааран шийдэлтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. 
, өөрөөр хэлбэл хэрэв , тэгвэл үндэс ба бодит байна өөр өөр тоо. Хэрэв тийм бол. Хэрэв, өөрөөр хэлбэл. , тэгвэл тийм байх болно төсөөллийн тоо, мөн үндэс ба - нийлмэл тоо. Энэ тохиолдолд бид тэмдэглэхийг зөвшөөрч байна.
Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Үүнийг ялгаварлагч квадрат тэгшитгэл, Тийм учраас .
Онцлог тэгшитгэлийн язгуурын хэлбэрээс хэрхэн олохыг бид харуулах болно ерөнхий шийдэлХоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл.
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн бодит язгуурууд байвал 
.
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь ижил байвал, i.e. , дараа нь томъёог ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хайна 
эсвэл .
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлнарийн төвөгтэй үндэстэй, тэгвэл .
Жишээ 5.Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл.Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийг байгуулъя: . Үүний үндэс нь хүчинтэй бөгөөд өөр өөр байдаг. Тиймээс ерөнхий шийдэл 
.
Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем. Энэ хэсэгт бид үндэс суурь гэдгийг батлах болно шугаман орон зайнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүдийн аль ч багц үүрэг гүйцэтгэж болно n
түүний шугаман бие даасан шийдвэрүүд.
Def. 14.5.5.1. үндсэн системшийдлүүд. Шийдлийн үндсэн системшугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл n
--р дараалал нь дурын шугаман байна бие даасан систем y
1 (x
), y
2 (x
), …, у н
(x
) түүний n
хувийн шийдлүүд.
Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем 14.5.5.1.1. Ерөнхий шийдэл y
(x
) шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системээс авсан функцүүдийн шугаман хослол юм.
y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
).
Баримт бичиг. Болъё y
1 (x
), y
2 (x
), …, у н
(x
) нь шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем юм. Аливаа тодорхой шийдэл гэдгийг батлах шаардлагатай y
юу ( x
) энэ тэгшитгэлийн томъёонд агуулагдаж байна y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) тодорхой багц тогтмолуудын хувьд C
1 , C
2 , …, Cn
. Дурын цэгийг авч, энэ цэгийн тоог тооцоолж, тогтмолуудыг олъё C
1 , C
2 , …, Cn
шугаман шийдэл болгон Үгүй нэгэн төрлийн систем алгебрийн тэгшитгэл 
Энэ системийн тодорхойлогч нь -тэй тэнцүү тул ийм шийдэл байдаг бөгөөд өвөрмөц юм. Шугаман хослолыг авч үзье y
(x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) эдгээр тогтмолуудын утгууд бүхий шийдлийн үндсэн системээс функцууд C
1 , C
2 , …, Cn
функцтэй харьцуулж үзнэ үү y
юу ( x
). Функцүүд y
(x
) Мөн y
юу ( x
) ижил тэгшитгэлийг хангана анхны нөхцөлцэг дээр x
0, тиймээс Кошигийн асуудлын шийдлийн өвөрмөц байдлаас шалтгаалан тэдгээр нь давхцаж байна. y
юу ( x
) = C
1 y
1 (x
) + C
2 y
2 (x
) + … + C n y n
(x
). Теорем нь батлагдсан.
Энэ теоремоос нэг төрлийн тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдүүдийн шугаман орон зайн хэмжээс нь дараах байдалтай байна. тасралтгүй коэффициентүүдхэтрэхгүй n
. Энэ хэмжээс нь үүнээс багагүй гэдгийг батлах хэвээр байна n
.
Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем байгаа тухай теорем 14.5.5.1.2. Аливаа шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл n
Үргэлжилсэн коэффициент бүхий р дараалал нь шийдлийн үндсэн системтэй, өөрөөр хэлбэл. системээс n
шугаман бие даасан шийдлүүд.
Баримт бичиг. Аливаа тоон тодорхойлогчийг авч үзье n
--р дараалал, тэгтэй тэнцүү биш
Бид технологио үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүд
дээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийн техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна олон зүйл байх болно шинэ мэдээлэл, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?
Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна хүн бүрсистемийн тэгшитгэл тэгтэй тэнцүү. Жишээ нь:
Энэ нь туйлын тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Юуны өмнө таны анхаарлыг татдаг зүйл бол энэ юм өчүүхэншийдэл 
. Өчүүхэн гэдэг нь нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд шоудах зүйлгүй гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, эрдэм шинжилгээний хувьд биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ...Яагаад бутыг тойрон цохих вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:
Жишээ 1
Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар үүнийг үе шаттай хэлбэрт оруулна. Энд босоо бар болон тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу чөлөөт гишүүдЭцсийн эцэст та тэгтэй юу ч хийсэн хамаагүй тэг хэвээр байх болно: 
(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.
(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
Гурав дахь мөрийг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.
Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг 
, мөн Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.
Хариулах: 
Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зүгээр л өчүүхэн шийдэл, Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(В энэ тохиолдолд 3) хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).
Радиогоо дулаацуулж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулцгаая.
Жишээ 2
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд 
Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаврыг задлан шинжилье:
Жишээ 7
Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү. 
Шийдэл: системийн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя: 
(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би олон удаа тулгарч байсан техникт анхаарлаа хандуулж, дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг танд олгоно.
(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.
(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.
Үр дүн нь стандарт юм алхам матриц, мөн шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.
- үндсэн хувьсагч;
- чөлөөт хувьсагч.
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2-р тэгшитгэлээс:
- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:
Харж буй жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.
Гурвалсан утгыг орлуулъя 
ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, хүлээн авсан вектор бүрийг шалгахыг зөвлөж байна - энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ энэ нь таныг алдаанаас бүрэн хамгаалах болно.
Гурвалсан утгын төлөө 
векторыг ол
Тэгээд эцэст нь гурвын хувьд 
Бид гурав дахь векторыг авна.
Хариулах: , Хаана
зайлсхийх хүсэлтэй хүмүүс бутархай утгуудгурвалсан гэж үзэж болно 
мөн ижил төстэй хэлбэрээр хариулт аваарай:
Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая 
Тэгээд өөрөөсөө асууя: цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн тааламжтай биш байсан гэдгийг би хэлэх ёстой.
Хоёр дахь шийдэл:
Оролдоод үзэх санаа бусад суурь хувьсагчийг сонгох. Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг байж болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе:
Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхийг үзнэ үү
Шийдлийн үндсэн системийг хайх ерөнхий тохиолдолхангалттай хэцүү даалгавар. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг хялбархан шийдэж болох тэгшитгэлийн анги байдаг. Одоо бид энэ ангид суралцаж эхэлж байна.
(*)
Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (*) энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд тогтмол, өөрөөр хэлбэл a i (x)=const бол тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэе. Дараа нь харгалзах нэгэн төрлийн L(y)=0 тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно
. (6)
Бид (6) тэгшитгэлийн шийдлийг y = e rx хэлбэрээр хайх болно. Дараа нь y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx. (6) -д орлуулснаар бид гарч ирнэ.
Тиймээс e rx хаана ч алга болдоггүй
. (7)
(7) тэгшитгэлийг тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Тиймээс бид дараах теоремыг баталсан. Теорем. y = e rx функц нь тогтмол коэффициент (6) бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд хэрэв r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур (7) байвал л болно.
Дараах тохиолдлууд боломжтой.
1. Бүх үндэс онцлог олон гишүүнтбодит бөгөөд өөр. Тэдгээрийг r 1 , r 2 ,…, r n гэж тэмдэглэе. Дараа нь бид n өөр шийдлийг олж авна
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
тэгшитгэл (6). Үүссэн шийдлийн систем нь шугаман хамааралгүй гэдгийг баталцгаая. Үүний Вронскийн тодорхойлогчийг авч үзье
.
W(e r 1 x, e r 2 x,..., e rnx)-ийн баруун талд байрлах e (r 1+ r 2+..+ rn) х хүчин зүйл хаана ч алга болдоггүй. Тиймээс хоёр дахь хүчин зүйл (тодорхойлогч) нь тэгтэй тэнцүү биш гэдгийг харуулах хэвээр байна. Ингэж бодъё
Дараа нь энэ тодорхойлогчийн мөрүүд нь шугаман хамааралтай, өөрөөр хэлбэл α 1, α 2, ..., α n гэсэн тоонууд байдаг.
Ийнхүү r i , i = 1,2,..,n нь (n-1) зэрэгтэй олон гишүүнтийн n өөр үндэс болохыг олж мэдсэн бөгөөд энэ нь боломжгүй юм. Иймээс баруун талын тодорхойлогч W(e r 1 x, e r 2 x ,…, e rnx) нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд (8) функцын систем нь тухайн тохиолдолд (6) тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг. шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс өөр байх үед.
Жишээ. y""-3y" + 2y=0 тэгшитгэлийн хувьд r 2 - 3r + 2 = 0 шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь r 1 = 1, r 2 = 2-тэй тэнцүү байна (язгуурыг олох үйлчилгээгээр дамжуулан олсон). дискриминант). Үүний үр дүнд шийдлүүдийн үндсэн систем нь y 1 = e x, y 2 = e 2 x функцуудаас бүрдэх ба ерөнхий шийд нь y = C 1 e x + C 2 e 2 x гэж бичигдэнэ.
2. Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд үржвэрүүд байдаг. r 1 нь α үржвэртэй, бусад нь өөр байна гэж бодъё. Эхлээд r 1 = 0 тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
өөрөөр хэлбэл энэ нь α үржвэрийн үндэс болохгүй. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
өөрөөр хэлбэл α-аас доош эрэмбийн дериватив агуулаагүй болно. Энэ тэгшитгэлийг α ба түүнээс дээш эрэмбийн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү бүх функцээр хангана. Ялангуяа эдгээр нь бүгд α-1-ээс ихгүй олон гишүүнт юм, жишээлбэл,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Үүнийг харуулъя энэ системшугаман бие даасан. Энэхүү функцын системийн Вронски тодорхойлогчийг нэгтгэсний дараа бид олж авна
.
Энэ нь үндсэн диагональ дээр тэгээс бусад элементүүдтэй гурвалжин тодорхойлогч юм. Тиймээс энэ нь тэгээс ялгаатай бөгөөд энэ нь функцын системийн шугаман бие даасан байдлыг нотолж байна (9). Өмнөх догол мөр дэх жишээнүүдийн аль нэгэнд функцын системийн шугаман бие даасан байдлыг (9) өөр аргаар нотолсон болохыг анхаарна уу. Одоо α үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурыг r 1 ≠0 тоо гэж үзье. (6) L(y) = 0 тэгшитгэлд y = z r 1 x = z exp(r 1 x) орлуулалтыг хийцгээе. Дараа нь
гэх мэт. Деривативын олж авсан утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг дахин олж авна.
(0)
шинж чанарын тэгшитгэлтэй
. (1)
Хэрэв k нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур (1) бол z = e kx нь (0) тэгшитгэлийн шийдэл, y = y r 1 x = e (k + r 1) x нь тэгшитгэлийн шийдэл ( 6). Тэгвэл r=k+r 1 нь (7) шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс болно. Нөгөө талаас (6) тэгшитгэлийг z = ye - r 1 x урвуу орлуулалтаар (0) тэгшитгэлээс олж авч болох тул (7) шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур бүр нь k = r - r 1 -ийн үндэстэй тохирч байна. шинж чанарын тэгшитгэл (1). Тиймээс (7) ба (1) шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын хооронд нэг нэгээр нь харгалзах нь тогтоогдсон бөгөөд нэг тэгшитгэлийн өөр үндэс нь нөгөөгийн өөр үндэстэй тохирч байна. r = r 1 нь (7) тэгшитгэлийн α үржвэрийн үндэс учир (1) тэгшитгэл нь α үржвэрийн үндэс нь k=0 байна. Өмнө нь нотлогдсоны дагуу (0) тэгшитгэл нь α шугаман бие даасан шийдлүүдтэй байна
α шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна
(2)
тэгшитгэл (7). Үүссэн шийдлийн системийг (2) шинж чанарын тэгшитгэлийн үлдсэн язгуурт харгалзах n- α шийдлүүд дээр нэмснээр олон үндэстэй тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг олж авна.
Жишээ. y"""-4y""+4y" = 0 тэгшитгэлийн хувьд r 3 -4r байх тул шинж чанарын тэгшитгэл r 3 -4r 2 + 4r = 0 нь олон тооны 1-ийн r=0, r=2 олон тооны 2-ын үндэстэй байна. 2 + 4r = r(r-2) 2 тул шийдлийн үндсэн систем анхны тэгшитгэлнь y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x функцийн систем бөгөөд ерөнхий шийдэл нь y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x хэлбэртэй байна.
3. Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд нийлмэл язгуурууд байдаг. Та нарийн төвөгтэй шийдлүүдийг авч үзэж болно, гэхдээ бодит коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хувьд энэ нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Олъё хүчинтэй шийдлүүд, нарийн төвөгтэй үндэстэй харгалзах. Бид бодит коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзэж байгаа тул тус бүрийн хувьд цогц үндэсОнцлог тэгшитгэлийн α үржвэрийн r j = a+bi, түүний цогц коньюгат тоо r k = a-bi нь мөн энэ тэгшитгэлийн α үржвэрийн үндэс болно. Эдгээр язгуурт тохирох хос шийд нь функц ба , l=0,1,.., α-1 байна. Эдгээр шийдлүүдийн оронд тэдгээрийн шугаман хослолыг авч үзье 3. y (4) + 8y"" + 16y =0 тэгшитгэлийн хувьд r 4 +8r 2 +16=0 шинж чанарын тэгшитгэл нь r 1 = 2i, r 2 = -2i байна. үржвэрийн 2, r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2 тул анхны тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x функцын систем юм. , y 4 = xsin2x, ерөнхий шийдэл нь y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x хэлбэртэй байна.
n-р эрэмбийн LDE - ur-e, үл мэдэгдэх функц ба түүний деривативын хувьд шугаман бөгөөд хэлбэртэй байна
a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )
φ(x)≠0- LNOU
y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e өгөгдсөн хэлбэрээр
*хэрэв y 1 нь LOU-ийн шийдэл бол C нь дурын тогтмол болох C y 1 нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.
*ЛЭ-ийн y 1 + y 2 шийдүүдийн нийлбэр нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм.
1 0 Дурын шийдийн тогтмол y 1 , y 2 ,…, y m LOU бүхий шугаман хослол нь ижил тэгшитгэлийн шийдэл юм.
*хэрэв p i (x)∈R бодит коэффициенттэй LOU (1) байвал цогц шийдэл y(x)=u(x)+iv(x), тэгвэл энэ шийдийн бодит хэсэг Rey=u(x) ба түүний төсөөлөл Imy=v(x) нь тус тусад нь ижил тэгшитгэлийн шийд болно.
y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) функцуудыг гэнэ. шугаман хамааралтайзарим интервал дээр (a,b), хэрэв байгаа бол тогтмолууд a1,a2,…,an≠0 нь (a,b) интервалын бүх x-ийн хувьд адилтгал нь a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + нь үнэн a n y n (x)=0. Хэрэв функцүүд нь шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн дор хаяж нэг нь бусдын шугаман хослол юм.
Хэрэв таних тэмдэг нь зөвхөн a1=a2=…=an=0-д хүчинтэй байвал y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) функцуудыг дуудна. шугаман бие даасанинтервал дээр (a, b).
*хэрэв y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) функцүүд бол шугаман хамааралтайинтервал дээр (a,b), дараа нь тодорхойлогч (Вронскийн арал)
W(x)=W= 
Энэ интервал дээр = 0.
Нөхцөл байдал шугаман бие даасан байдалхувийн шийдлүүд:
* хэрэв шугаман бие даасан функцүүд y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) нь (a,b) интервал дээр үргэлжилсэн p i (x) коэффициент бүхий LOE (1)-ийн шийдүүд байвал тэдгээрт зориулж эмхэтгэсэн болно. Вронски тодорхойлогч нь (a,b) интервалын аль ч цэгт = 0 биш байна.
(a,b) (i=1,2,...,n) дээр үргэлжилсэн коэффициент бүхий LOU (1)-ийн ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол y oo = n шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийд y i ижил дээр байна. дурын тогтмол коэффициент бүхий интервал .
1 0 хамгийн их тоо LOU-ийн шугаман бие даасан шийдлүүд нь түүний дараалалтай тэнцүү байна.
FSR- n-р эрэмбийн дурын n бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийн LOU.
*y дээр =y oo +y chn
Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтэц. n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.
LPDE-ийг дурын тогтмолуудыг өөрчлөх аргаар шийддэг. Эхлээд ерөнхий шийдлийг олно 
нэгэн төрлийн тэгшитгэл 
, адилхан байх зүүн тал, эх хувилбар шиг нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл. Дараа нь тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр олно, i.e. С тогтмолууд нь x бие даасан хувьсагчийн f-mi байна гэж үздэг. Энэ тохиолдолд C 1 (x) ба C 2 (x) функцуудыг системийн шийдэл болгон авч болно.
U he = u oo + u chn
тэгшитгэлийн шийдүүдийн хамгийн их тоо нь түүний дараалалтай тэнцүү байна.
ерөнхий шийдэл
44*. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Онцлог олон гишүүнт ба шинж чанарын тэгшитгэл. Кейс дэх шийдлүүдийн үндсэн системийг бий болгох энгийн үндэсшинж чанарын олон гишүүнт (бодит ба нийлмэл).
y"+p(x)y=f(x) хэлбэрийн тэгшитгэл, энд p(x), f(x) нь a интервал дээрх тасралтгүй функцууд юм. Хэрэв f(x)= 0 бол тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэнэ. Хэрэв LO-д ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 Бүх pi коэффициентүүд тогтмол, дараа нь түүний хэсэгчилсэн шийдлүүдийг y=e kx хэлбэрээр олж болно, энд k нь тогтмол байна. ur-д орлуулж байна (k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0 e kx-ээр бууруулснаар бид гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авна Онцлог түвшин k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0 Энэхүү n-р зэргийн тэгшитгэл нь y= e kx нь тогтмол коэффициент бүхий анхны дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл болох k-ийн утгыг тодорхойлдог. 1.k 1 , k 2 ,…,k n – бодит ба өөр FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx 2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ , k ~ - m - ur-i-ийн олон үндэс, бусад бүх n- m язгуурууд өөр байна FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x
