Сегмент дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийг ол. Тригонометрийн тэгшитгэл - томъёо, шийдэл, жишээ

Тригонометрийн тэгшитгэл- сэдэв нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Тэд хэтэрхий олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ор(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Мөн үүнтэй төстэй ...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл олддог. эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв X хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээ нь, sin2x + 3x = 3,Энэ нь аль хэдийн тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэлийг шаарддаг хувь хүний ​​хандлага. Бид тэдгээрийг энд авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдэл ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар дамжуулан энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёрдугаарт, энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийддэг. Тэгэхгүй бол арга ч үгүй.

Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд А ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд функц дотор цэвэр X биш байж болно, гэхдээ зарим төрлийн илэрхийлэл, жишээ нь:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлдөггүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ашиглах ба тригонометрийн тойрог. Бид энэ замыг эндээс харах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, янз бүрийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. стандарт бус жишээнүүд. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!)

Тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Та яаж гэдгийг мэдэхгүй байна уу? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог...... Энэ юу вэ?" гэсэн хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг хэмжих". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай нь...)

Өө, чи мэдэж байна уу!? Тэр ч байтугай "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил" -ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Ялангуяа тааламжтай зүйл бол тригонометрийн тойрогт таны ямар тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Ганцхан шийдлийн зарчим бий.

Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Бид X-г олох хэрэгтэй. Хэрэв бид ярилцвал хүний ​​хэл, хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашиглаж байсан бэ? Бид үүн дээр өнцөг зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. 0.5-тай тэнцүү тойрог дээр косинусыг шууд зуръя бид харах болно булан. Хариултаа бичих л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүнтэй адил:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү) ба чи харах болнояг энэ булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 вэ?

x = π /3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж инээх болно, тийм ээ... Бүх зүйл тодорхой болчихсон байхад тойрог хийх нь зүйтэй болов уу... Мэдээжийн хэрэг, инээж болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаатай хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл хангалтгүй. Тойрог сонирхогчид энд 0.5 косинусыг өгдөг бусад олон өнцөг байдаг гэдгийг ойлгодог.

Хэрэв та хөдөлж буй талыг эргүүлбэл OA бүрэн эргэлт, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радианаар, мөн косинус - үгүй.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Ийм бүрэн хувьсгалуудчи үүнийг эвдэж чадна хязгааргүй олонлог... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэд бүгд хариуд нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултаар бичнэ үү хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би үүнийг тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү тааламжтай, тийм үү?)

π /3 - энэ бол бидэнтэй ижил булан юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π Энэ нь радиан дахь нэг бүрэн эргэлт юм.

n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, өөрөөр хэлбэл. бүхэлд ньэрг / мин Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэттэй тэнцүү байж болно. Дээр дурдсанчлан богино тэмдэглэл:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны багц ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, дор хаяж 0, хамгийн багадаа +55. Юу ч хүссэн. Хэрэв та хариултанд энэ тоог орлуулбал тодорхой өнцөг гарах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь гарцаагүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x = π /3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндэсийг авахын тулд π /3 () дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүгд? Үгүй Би таашаалыг зориуд уртасгадаг. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - зөвхөн нэг үндэс биш, харин бүхэл бүтэн цуврал үндэс, богино хэлбэрээр бичсэн.

Гэхдээ косинусыг 0.5 өгдөг өнцөгүүд бас байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцъя. Энд байна:

Зурган дээр хулганаа аваачиж, бид харж байнаөөр өнцөг мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Тэр өнцөгтэй тэнцүү X , дөнгөж сая хойшлууллаа сөрөг чиглэл. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = - π /3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрог дээр бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) Бүгд 0.5 косинус өгдөг өнцгүүд. Тэгээд эдгээр өнцгүүдийг товчоор бичлээ математик хэлбэр. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал язгуурыг бий болгосон:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойрог ашиглах нь ойлгомжтой. Бид тойрог дээр косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тэмдэглэнэ өгөгдсөн тэгшитгэл, харгалзах өнцгүүдийг зурж, хариултыг бич.Мэдээжийн хэрэг, бид ямар булангуудыг олох хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Энд логик хэрэгтэй гэж би хэлсэн.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзье.

0.5 тоо нь цорын ганц биш гэдгийг анхаарна уу боломжит тоотэгшитгэлд!) Үүнийг бичих нь үндэс, бутархайгаас илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Энэ бол энгийн асуудал:

x = π /6

Бид бүрэн хувьсгалын тухай санаж байна, хамт цэвэр ухамсар, бид хариултын эхний цувралыг бичнэ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Гэхдээ одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусыг ашиглахаас илүү төвөгтэй, тийм ээ... Гэхдээ логик биднийг аварна! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ x-ээр дамжуулан? Энэ амархан! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм ч учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд эерэг хагас тэнхлэгийн OX-ээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. 0 градусын өнцгөөс.

Бид курсорыг зургийн дээр байрлуулж, бүх зүйлийг харна. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхож буй өнцөг (ногооноор зурсан) дараахтай тэнцүү байна.

π - x

X бид үүнийг мэднэ π /6 . Тиймээс хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалыг нэмж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ингээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хэрэв та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенс хэрхэн зурахаа мэддэг бол мэдээжийн хэрэг.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг үүрэг хүлээсэн.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Ийм косинусын утга нь товч хүснэгтүүдҮгүй Бид энэ аймшигт баримтыг үл тоомсорлодог. Тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зур. Бид энэ зургийг авдаг.

Эхлээд эхний улирлын өнцгийг харцгаая. Яагаад гэдгийг нь мэдмээр байна x-тэй тэнцүү, хариулт нь тэр дороо бичигдсэн байх байсан! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик нь өөрийн хүмүүсийг асуудалд оруулдаггүй! Тэр энэ тохиолдолд нуман косинусуудыг гаргаж ирэв. Мэдэхгүй байна уу? Дэмий л дээ. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ линк дээр "урвуу тригонометрийн функцууд"-ын талаар нэг ч зальтай шившлэг байхгүй ... Энэ сэдвээр энэ нь илүүц юм.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X бол косинус нь 2/3-тай тэнцүү өнцөг" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй нуман косинусын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын эхний цувралыг тайван бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийн хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн X (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, хамгийн анхааралтай нь энэ зураг нь нумын косинусаар шийдлийг харуулж байгааг анзаарах болно. Үндсэндээ cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас ялгаагүй.

Энэ нь зөв! Ерөнхий зарчимТийм ч учраас энэ нь нийтлэг байдаг! Би зориуд бараг ижилхэн хоёр зураг зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус мөн эсэх нь хүн бүрт мэдэгддэггүй. Энэ ямар өнцөг, π /3, эсвэл нуман косинус гэж юу вэ - энэ нь биднээс хамаарна.

Синустай ижил дуу. Жишээ нь:

Дахин тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, өнцгийг зур. Энэ бол бидний олж авсан зураг юм:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Синус нь 1/3 бол X хэдтэй тэнцүү вэ? Асуулт байхгүй!

Одоо эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийг авч үзье. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээн дээр энэ нь дараахтай тэнцүү байв.

π - x

Энд бас яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь өөр, arcsin 1/3. Тэгэхээр юу!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дээр үндэс сонгох замаар тригонометрийн тэгшитгэлд хадгалдаг хүн юм тригонометрийн тэгш бус байдал- Эдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү хэцүү аливаа ажилд.

Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье?)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Нэгдүгээрт, илүү энгийн, энэ хичээлээс шууд.

Одоо илүү төвөгтэй болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй болно. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо тэд гаднаасаа энгийн ... Тэднийг бас онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Санамж: энд хоёр цуврал хариулт хаана байна, хаана нэг хариулт байна гэж дугуйлан бодож олох хэрэгтэй... Тэгээд хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тийм ээ, тиймээс нэг үндэс байхгүй хязгааргүй тооалдагдаагүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөгөө: энд та арксин ба аркозин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Арктангенс, арккотангенс гэж юу вэ? Хамгийн их энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ үгүй ​​гэдгийг санаарай хүснэгтийн утгуудШаардлагагүй!)

Хариултууд нь мэдээж эмх замбараагүй байна):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм зүйл байдаг хуучирсан үг...) Мөн холбоосыг дагана уу. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Үүнгүйгээр тригонометр нь нүдийг нь таглаж зам хөндлөн гарахтай адил юм. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

"Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь хувьсагч нь тэмдгийн доор агуулагдах тэгшитгэл юм тригонометрийн функц.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтаж үзье.

1)Хэрэв |a|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |a|≤ 1 байвал гэмийн тэгшитгэл(x) = a шийдэлтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) Тэгшитгэл ctg(x)=a нь шийдэлтэй: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: T(kx+m)=a, T нь зарим тригонометрийн функц юм.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид олж авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ​​((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n – n-ийн зэрэглэлд нэгийг хасна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Шийдэл:

A) Энэ удаад тэгшитгэлийн үндсийг шууд тооцоолоход шууд шилжье:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Арктан(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Бид шийднэ ерөнхий үзэлбидний тэгшитгэл: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k-д k=0, x= π/16 үед бид өгөгдсөн хэрчимд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад бид дахин цохилоо.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оносонгүй, энэ нь том k-ийн хувьд бид онохгүй нь тодорхой гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашиглана.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Үндсийг нь олъё квадрат тэгшитгэл: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг гаргаж, үндсийг нь олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь үндэс юм: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд cos(x)-д хуваана: Хэрэв та косинусаар хувааж болохгүй тэгтэй тэнцүү, энэ нь тийм биш эсэхийг шалгацгаая:
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилдөөнийг олж авдаг тул аюулгүйгээр хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Бид үүнийг гаргана нийтлэг үржүүлэгч: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 үед x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a=0 бол бидний тэгшитгэл cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ өмнөх слайд дээр байна.

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилж тэгшитгэлийг авна.

Жишээ No:3-ыг шийд

Тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваая:

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилнө: t 2 + 2 t - 3 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё: t=-3 ба t=1

Дараа нь: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Хариулт: x=-arctg(3) + πk ба x= π/4+ πk

Жишээ No:4-ийг шийд

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид ийм тэгшитгэлийг шийдэж чадна: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Хариулт: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

№5 жишээг шийд

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд байх болно: t=-2 ба t=1/2

Дараа нь бид: tg(2x)=-2 ба tg(2x)=1/2 болно
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Хариулт: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ба x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Бие даасан шийдлийн асуудлууд.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Тэгшитгэлийг шийд: sin(3x)= √3/2. Мөн сегмент дэх бүх үндсийг [π/2; π].

3) Тэгшитгэлийг шийд: хүүхдийн ор 2 (х) + 2 хүүхдийн ор (х) + 1 =0

4) Тэгшитгэлийг шийд: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Тэгшитгэлийг шийд: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Та захиалж болно нарийвчилсан шийдэлчиний даалгавар!!!

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг (`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` байна хязгааргүй тоошийдвэрүүд.

Үндсэн томъёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд, шийдлүүд дунд бодит тообайхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын дурын утгуудын хувьд хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

• үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
• дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` ( нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгдүгээр зэрэг) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0`, хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0` гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Үүнийг бичээд үзье баруун тал`1=sin^2 x+cos^2 x` гэх мэт:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулах. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас өнцөг рүү шилжих

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Томьёог хэрэглээд үзье давхар өнцөг, үр дүнд нь: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээрхийг хэрэглэж байна алгебрийн арга, бид авах:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. Учир нь `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, дараа нь as туслах өнцөг`\varphi=arcsin 4/5`-г авч үзье. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч болон хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайн тэгшитгэл юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог тэгтэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулах. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томьёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.