Сайн уу Эрхэм найзууд аа! Өнөөдөр бид C хэсгийн даалгаврыг авч үзэх болно. Энэ бол хоёр тэгшитгэлийн систем юм. Тэгшитгэлүүд нь нэлээд өвөрмөц юм. Энд синус, косинус байдаг, бас үндэс байдаг. Квадрат болон энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх чадвар шаардлагатай. Танилцуулсан даалгаварт тэд нарийвчилсан шийдлүүдтанилцуулаагүй бол та аль хэдийн үүнийг хийх боломжтой байх ёстой. Өгөгдсөн холбоосыг ашиглан та холбогдох онол, практик даалгавруудыг үзэх боломжтой.

Гол бэрхшээл нь ижил төстэй жишээнүүдолж авсан шийдлүүдийг тодорхойлсон домэйнтэй харьцуулах шаардлагатай тул анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж амархан алдаа гаргаж болно.

Системийн шийдэл нь үргэлж (x;y) хэлбэрээр бичигдсэн x ба y тооны хос(ууд) юм.Хариултаа хүлээн авсны дараа шалгахаа мартуузай.Танд гурван арга замыг танилцуулж байна, үгүй, арга биш, харин таны авч болох гурван арга зам байна. Хувь хүнийхээ хувьд гурав дахь нь надад хамгийн ойр байдаг. Эхэлцгээе:

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

АНХНЫ АРГА!

Тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг олъё. Радикал илэрхийлэл нь сөрөг бус утгатай болохыг мэддэг.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзье.

1. x = 2 эсвэл x = 4 үед тэгтэй тэнцүү боловч 4 радиан нь (3) илэрхийллийн тодорхойлолтод хамаарахгүй.

*4 радианы өнцөг (229.188 0) 3-р улиралд оршдог ба синус утга нь сөрөг байна. Тийм ч учраас

Зөвхөн x = 2 үндэс л үлдэнэ.

x = 2-ын хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.

x-ийн энэ утгад 2 – y – y 2 илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь

2 – y – y 2-ыг шийдье = 0, бид y = – 2 эсвэл y = 1-ийг авна.

y = – 2-ын хувьд cos y-ийн үндэс нь шийдэлгүй гэдгийг анхаарна уу.

*3-р улиралд –2 радианы өнцөг (– 114.549 0) байх ба косинусын утга сөрөг байна.

Тиймээс зөвхөн y = 1 хэвээр байна.

Тиймээс системийн шийдэл нь хос (2;1) байх болно.

2. Эхний тэгшитгэл нь мөн cos y = 0 үед тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл

Гэхдээ (2) тодорхойлолтын олсон домэйныг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ y-ийн хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.

y = – Pi/2-тэй 2 – y – y 2 илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд энэ нь шийдэлтэй байхын тулд дараах нөхцөлийг хангасан байх ёстой гэсэн үг юм.

Бид шийднэ:

Тодорхойлолтын (1) олдсон домайныг харгалзан бид үүнийг олж авна

Тиймээс системийн шийдэл нь өөр нэг хос юм:

ХОЁРДУГААР ЗАМ!

Илэрхийллийн домэйныг олъё:

Үндэс дор байгаа илэрхийлэл нь сөрөг бус утгатай болохыг мэддэг.
6x – x 2 + 8 ≥ 0 тэгш бус байдлыг шийдэж, 2 ≤ x ≤ 4 (2 ба 4 нь радиан) болно.

Тохиолдол 1-ийг авч үзье:

x = 2 эсвэл x = 4 байг.

Хэрэв x = 4 бол нүгэл x болно< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

sin x ≠ 0 гэж үзвэл энэ тохиолдолд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд 2 – y – y 2 = 0 байна.

Тэгшитгэлийг шийдэж бид y = – 2 эсвэл y = 1 болохыг олж мэднэ.

Хүлээн авсан утгуудад дүн шинжилгээ хийснээр бид x = 4 ба y = – 2 нь үндэс биш гэж хэлж болно, учир нь бид нүгэл х авдаг.< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Эндээс харахад х = 2 ба у = 1 нь тодорхойлолтын мужид багтсан болно.

Тиймээс шийдэл нь хос (2;1) юм.

Тохиолдол 2-ыг авч үзье:

Одоо 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Үүний үндсэн дээр бид эхний тэгшитгэлд cos y байх ёстой гэж дүгнэж болно. тэгтэй тэнцүү.

Тэгшитгэлийг шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь тэгшитгэлд илэрхийллийн тодорхойлолтын мужийг олохдоо:

Бид авах:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Бүх шийдвэрүүдээс cos тэгшитгэлүүд y = 0 нь зөвхөн энэ нөхцлийг хангана:

At өгөгдсөн үнэ цэнэ y, илэрхийлэл 2 – y – y 2 ≠ 0. Тиймээс хоёрдугаарт гэмийн тэгшитгэл x нь тэгтэй тэнцүү байх болно, бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдээс интервал 2< х < 4 принадлежит только

Энэ нь системийн шийдэл нь өөр хос байх болно гэсэн үг юм.

* Бид системийн бүх илэрхийлэлийн тодорхойлолтын домэйныг нэн даруй олж чадаагүй бөгөөд эхний тэгшитгэлээс (2 тохиолдол) илэрхийллийг авч үзээд дараа нь олсон шийдлүүдийн тогтоосон тодорхойлолттой нийцэж байгааг тодорхойлсон. Миний бодлоор энэ нь тийм ч тохиромжтой биш, ямар нэгэн байдлаар төөрөгдүүлсэн юм.

ГУРАВДУГААР ЗАМ!

Энэ нь эхнийхтэй төстэй боловч ялгаа бий. Мөн илэрхийллийн тодорхойлолтын талбар эхлээд олддог. Дараа нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг тусад нь шийдэж, дараа нь системийн шийдийг олно.

Тодорхойлолтын домэйныг олъё. Радикал илэрхийлэл нь сөрөг бус утгатай болохыг мэддэг.

6x – x 2 + 8 ≥ 0 тэгш бус байдлыг шийдэхэд 2 ≤ x ≤ 4 (1) болно.

2 ба 4 утгууд нь радиан, бидний мэдэж байгаагаар 1 радиан ≈ 57.297 0

Бид градусаар ойролцоогоор 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 гэж бичиж болно.

2 – y – y 2 ≥ 0 тэгш бус байдлыг шийдэхэд – 2 ≤ y ≤ 1 (2) болно.

Бид градусаар бичиж болно – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

sin x ≥ 0 тэгш бус байдлыг шийдэхэд бид үүнийг олж авна

y ≥ 0 учир тэгш бус байдлыг шийдэж бид үүнийг олж авна

Хүчин зүйлийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байх нь мэдэгдэж байна (бусад нь утгаа алддаггүй).

Эхний тэгшитгэлийг авч үзье.

гэсэн үг

cos y = 0-ийн шийдэл нь:

Шийдэл 6x – x 2 + 8 = 0 нь x = 2 ба x = 4 байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.

гэсэн үг

x = 0 гэмийн шийдэл нь:

2 – y – y 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл нь у = – 2 эсвэл у = 1 байна.

Одоо тодорхойлолтын домэйныг харгалзан дүн шинжилгээ хийцгээе

олж авсан утгууд:

114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 тул энэ сегменттэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл байдаг sin x = 0, энэ нь x = Pi байна.

– 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 тул энэ сегмент тэгшитгэлийн зөвхөн нэг шийдийг агуулна. cos y = 0, энэ нь

x = 2 ба x = 4 язгууруудыг авч үзье.

Зөв!

Тиймээс системийн шийдэл нь хоёр хос тоо байх болно.

* Эндээс олсон тодорхойлолтын домэйныг харгалзан бид түүнд хамааралгүй бүх олж авсан утгыг хасч, боломжит хосуудын бүх сонголтыг авч үзсэн. Дараа нь бид тэдгээрийн аль нь системийн шийдэл болохыг шалгасан.

Би нэн даруй тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн систем, хэрэв үндэс, логарифм байгаа бол шийдэхийг зөвлөж байна. тригонометрийн функцууд, тодорхойлолтын домэйныг олохоо мартуузай. Мэдээжийн хэрэг, нэн даруй шийдэж, дараа нь шийдлийг шалгахад хялбар жишээ байдаг, гэхдээ эдгээр нь харьцангуй цөөнх юм.

Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!

Үүнд практик хичээлхэд хэдэн зүйлийг авч үзэх болно ердийн жишээнүүдшийдлийн аргуудыг харуулсан тригонометрийн тэгшитгэлба тэдгээрийн системүүд.

Энэ хичээл нь даалгавруудын аль нэгэнд бэлтгэхэд тань туслах болно B5 ба C1.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх

Туршилт

Хичээл 10. Тригонометрийн функцууд. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем.

Дасгал хийх

Хичээлийн хураангуй

Бид хичээлийн үндсэн хэсгийг тригонометрийн тэгшитгэл ба системийг шийдвэрлэхэд зориулах боловч тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоогүй тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудын талаархи даалгавруудаас эхэлнэ. Тригонометрийн функцүүдийн хугацааг нарийн төвөгтэй аргументуудтай тооцоолох талаар авч үзье.

Даалгавар №1. Функцийн хугацааг тооцоолох a) ; б) .

Лекцэнд өгсөн томьёог ашиглая.

a) Функцийн хувьд хугацаа . Манай тохиолдолд, i.e. .

б) Функцийн хувьд хугацаа . Бидэнтэй хамт, учир нь аргументыг зөвхөн гуравт хуваагаад зогсохгүй -ээр үржүүлж болно. Функцтэй бусад үйлдлүүд (-аар үржүүлэх, 1-ийг нэмэх) аргументад нөлөөлөхгүй тул бид сонирхохгүй байна.

Бид үүнийг ойлгодог

Хариулах. A); б) .

Дасгалынхаа үндсэн хэсэг рүү шилжиж, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе. Тохиромжтой болгох үүднээс бид тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг жагсаахдаа лекц дээр дурдсан жишээнүүдийн шийдлийг шинжлэх болно.

Даалгавар №2. Тэгшитгэлийг шийд: a) ; б) ; V); G) .

Ийм тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд бид ерөнхий шийдлийн томъёог ашигладаг.

Нумын функцийн утгыг тооцоолохын тулд бид өмнөх хичээл дээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн нумын тангенсийн сондгой байдал болон тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг ашигладаг. Бид эдгээр үйлдлүүдийг тусад нь авч үзэхгүй.

г) Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ерөнхий томьёог ашиглан бичихийг хүсч байна , гэхдээ үүнийг хийх боломжгүй. Энд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх эхэнд шалгадаг косинусын утгын мужийг шалгах нь үндсэндээ чухал юм.

Түүнээс хойш , энэ нь функцийн утгын мужид ороогүй тул тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байна.

Утгыг нь андуурахгүй байх нь чухал хүснэгтийн утгакосинус, болгоомжтой байгаарай!

Сэтгэгдэл. Ихэнхдээ тригонометрийн тэгшитгэл, системийг шийдэх асуудалд хязгааргүй язгуур гэр бүлийг харуулсан ерөнхий шийдлийг зааж өгөхгүй, харин тодорхой утгын хүрээнд оршдог цөөхөн хэдэн зүйлийг сонгох шаардлагатай байдаг. "c" цэгийн хариултын жишээг ашиглан эдгээр алхмуудыг хийцгээе.

"c" цэгийн нэмэлт даалгавар. Интервалд хамаарах тэгшитгэлийн язгуурын тоог зааж, тэдгээрийг жагсаана.

Бид ерөнхий шийдлийг аль хэдийн мэддэг болсон:

Заасан интервалд хамаарах үндсийг зааж өгөхийн тулд тэдгээрийг нэг нэгээр нь орлуулж бичих ёстой тодорхой утгуудпараметр. -аас эхлэн бүхэл тоог орлуулах болно, учир нь Бид тэгтэй ойролцоо мужаас үндсийг сонирхож байна.

Орлуулахад бид илүү ихийг авдаг илүү өндөр үнэ цэнэ root, тиймээс үүнийг хийх нь утгагүй юм. Одоо сөрөг утгыг орлъё:

Үүнтэй ижил шалтгаанаар орлуулах нь утгагүй юм. Тиймээс бид заасан мужид хамаарах тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг олсон.

Хариулах. ; заасан муж нь тэгшитгэлийн язгуурын нэг утгыг агуулна.

Тэгшитгэлийн язгуурын тодорхой утгыг хайх асуултын ижил төстэй томъёоллыг бусад төрлийн даалгавруудаас олж болно, цаашид бид үүнд цаг алдахгүй. Шаардлагатай үндсийг хайх ажлыг үргэлж ижил аргаар хийх болно. Заримдаа энэ зорилгоор тригонометрийн тойргийг дүрсэлсэн байдаг. Тухайн мужид багтах "a" ба "b" цэгүүдийн тэгшитгэлийн язгуурыг тойрог дээр зурж үзээрэй.

Даалгавар №3. Тэгшитгэлийг шийд.

Үндэс олох аргыг ашиглая тригонометрийн тойрог, лекцэнд үзүүлсэн шиг.

Бид өнцөгт тохирох тойрог дээр цэгүүдийг зурдаг. Ийм нэг л өнцөг бий.

Заасан цэгт тохирох өнцгийн эхний утга - цэг нь гарал үүсэл болох туяа дээр байрладаг. Дараа нь ижил цэг рүү дахин очихын тулд өөр өнцгийн утгатай байхын тулд та эхний олдсон үндэс дээр нэмж дараагийн язгуурыг авах хэрэгтэй. . Дараагийн үндсийг авахын тулд та ижил үйлдлийг гүйцэтгэх ёстой гэх мэт.

Тиймээс бид тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олж авахын тулд эхний утгад дурын бүхэл тоог нэмэх шаардлагатайг харуулах ерөнхий шийдлийг зааж өгч болно.

Маягтын тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийдэж болно гэдгийг санацгаая.

Даалгавар No4. Тэгшитгэлийг шийд .

Нарийн төвөгтэй аргумент байгаа нь тэгшитгэл нь үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн гэдгийг өөрчлөхгүй бөгөөд шийдэлд хандах хандлага хэвээр байна. Зүгээр л одоо энэ нь аргумент болж байна. Бид үүнийг томъёонд бичдэг ерөнхий шийдэл:

Асуудал №5. Тэгшитгэлийг шийд .

Хамгийн гол нь урьдчилан сэргийлэх явдал юм ердийн алдааба тэгшитгэлийн хоёр талыг -аар багасгаж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд бид харгалзах тэгшитгэлийн үндсийг алдах болно. Шийдвэрлэх чадварлаг арга нь бүх илэрхийлэлийг нэг тал руу шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг нэмэх явдал юм.

Энэ үе шатанд хэрэв бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү бол хүчин зүйлийн аль нэг нь тэг эсвэл нөгөө нь тэнцүү байвал энэ нь боломжтой гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс бидний тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багц болж хувирдаг.

Бид эхний тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийднэ онцгой тохиолдолхамгийн энгийн тэгшитгэл. Үүнийг өөрөө хий, бид эцсийн үр дүнг бичих болно. Хоёрдахь тэгшитгэлд бид нийлмэл аргументыг ашиглан энгийн хэлбэрт оруулах үйлдлүүдийг хийж, язгуурын ерөнхий томьёог ашиглан шийдвэрлэх болно.

Бичлэг хийхдээ энэ нюансыг анхаарч үзээрэй ерөнхий томъёоХоёрдахь тэгшитгэлийн үндэсийг бид өөр "" параметрийг ашигладаг. Энэ нь бид бие даасан тэгшитгэлийн багцыг шийдэж байгаатай холбоотой бөгөөд ямар ч байх ёсгүй ерөнхий параметрүүд. Үүний үр дүнд бид хоёр бие даасан шийдлийн бүлгийг олж авдаг.

Хариулт. ; .

Асуудал №6. Тэгшитгэлийг шийд.

Хялбаршуулахын тулд бид тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглана

Косинусын паритетыг ашиглаад тэгшитгэлийн хоёр тал дахь ижил гишүүнийг цуцалъя.

Бүгдийг нэг тал руу шилжүүлж, косинусын зөрүүний томъёог ашиглан функцүүдийн үржвэрийг гаргая, энэ нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Үүний томъёог хэрэгжүүлье .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараах байдлаар бууруулъя.

Бид өмнөх жишээн дээр авсан бүтээгдэхүүний хэлбэрт тэгшитгэлийг багасгасан. Бид танд үүнийг өөрөө шийдэхийг санал болгож байна. Эцсийн хариултыг зааж өгье.

Зарчмын хувьд энэ бол эцсийн хариулт юм. Гэсэн хэдий ч үүнийг хоёр биш харин нэг гэр бүлийн шийдлээр илүү авсаархан бичиж болно. Эхний шийдэл нь бүх хэсгүүдийн дөрөвний нэгийг агуулдаг бөгөөд хоёр дахь нь хэсгүүдийн бүх талыг агуулдаг боловч хагас нь дөрөвний хоёр байдаг тул хагас нь дөрөвний нэгд багтдаг. Тиймээс хоёр дахь гэр бүлийн үндэс нь эхнийх нь багтсан бөгөөд эцсийн хариултыг эхний гэр бүлийн шийдлээр дүрсэлж болно.

Эдгээр аргументуудыг илүү сайн ойлгохын тулд үүссэн үндсийг тригонометрийн тойрог дээр зурж үзээрэй.

Хариулах. эсвэл .

Бид тригонометрийн функцүүдийн хувиргалтыг ашиглан нэг тэгшитгэлийг авч үзсэн боловч тэдгээрийн маш олон төрөл, мөн хувиргалтын төрлүүд байдаг. Универсал ашиглах тэгшитгэл тригонометрийн орлуулалтӨмнө нь бид хичээл дээр өгөөгүй жишээг орлуулах аргыг задлан шинжилсний дараа авч үзэх болно.

Асуудал №7. Тэгшитгэлийг шийд.

IN энэ тохиолдолдТа эхлээд нэг тригонометрийн функц ашиглан тэгшитгэлийг багасгахыг хичээх хэрэгтэй. Учир нь Энэ нь тригонометрийн нэгжийг ашиглан амархан илэрхийлэгддэг тул тэгшитгэлийг синус руу хялбархан багасгаж чадна.

Илэрхийлэлийг орлуулъя бидний тэгшитгэлд:

Бүх зүйл нэг функц болж буурсан тул бид солих ажлыг хийж болно: .

Хүлээн авсан квадрат тэгшитгэл, энэ нь танд тохиромжтой ямар ч аргаар шийдвэрлэхэд хялбар, жишээлбэл, Виетийн теоремыг ашиглан дараахь зүйлийг олж авахад хялбар болно.

Эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь синус утга нь давсан байна хүчинтэй газар.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг өөрөө шийдэхийг санал болгож байна, учир нь... Энэ бол бидний өмнө нь авч үзсэн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн тусгай тохиолдлын төрөл юм. Үүний үндэсийг бичье:

Хариулах. .

Асуудал №8. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэлд бидний өмнө нь авч үзсэн шийдлийн аргууд шууд харагдахгүй байна. Ийм тохиолдолд та тэгшитгэлийг нэг функц болгон багасгахад туслах бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын томъёог ашиглахыг хичээх хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийг бүхэлд нь авчрах: ба гэсэн томъёог ашиглая.

Одоо солих ажлыг гүйцэтгэх боломжтой нь тодорхой болсон.

Бутархайг нэмж, тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваагчаар үржүүлье, учир нь энэ нь тэгтэй тэнцүү биш юм.

Бид тэгшитгэлийг өмнө нь хэлэлцсэн маягт руу багасгасан, өөрөөр хэлбэл. хүчин зүйлсийн үржвэрт, тэгтэй тэнцүү байна.

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе:

Үүссэн шийдлүүдийн гэр бүлийг хоёуланг нь хялбархан нэгтгэж болно:

Хариулах. .

Асуудал №9. Тэгшитгэлийг шийд. Хариултдаа зөвхөн -ийн үржвэрийн үндэсийг өгнө үү.

Тригонометрийн нэгжийн томъёог ашиглан синус эсвэл косинус болгон бууруулсны дараа заасан тэгшитгэл нь илүү төвөгтэй болно. Тиймээс өөр аргыг ашигладаг.

Бид заасан тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэсэн бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх функц эсвэл хувьсагчдыг дахин зохион байгуулсны дараа юу ч өөрчлөгдөхгүй тэгшитгэлийн нэр юм. Синус болон косинусыг сольж, энэ нь бидний хэрэг гэдгийг харах болно.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хоёр талыг функцийн хамгийн дээд хүчинд хуваах замаар шийддэг. Манай тохиолдолд энэ нь аль эсвэл юм. Бид хамгийн дуртайг нь сонгоод тэгшитгэлийн хоёр талыг түүгээр нь хуваана. Үүнийг жишээ болгон авч үзье. Энэ тохиолдолд ийм хуваагдлын үед бид тохирох үндсийг алдахгүй эсэхийг шалгах нь зайлшгүй юм. . Үүнийг хийхийн тулд эхлээд анхны тэгшитгэлийг орлуулах хэрэгтэй.

Бид таних тэмдэг аваагүй тул бидний тэгшитгэлийн үндэс тохирохгүй.

Одоо бид аюулгүйгээр хувааж болно:

Бид тэгшитгэлийг орлуулахын тулд багасгасан бөгөөд шийдлийн энэ аргыг аль хэдийн авч үзсэн. Тэдний хэлснээр "данхнаас ус асгая" гэж хэлээд асуудлыг аль хэдийн мэдэгдэж байгаа зүйл болгон бууруул. Цаашид өөрөө шийд. Бид эцсийн хариултыг өгөх болно:

Асуудлын мэдэгдэлд бид зөвхөн олон үндэсийг зааж өгөх шаардлагатай тул хариулт болгон зөвхөн эхний бүлгийн шийдлийг бичих болно.

Асуудал №10. Тэгшитгэлийг шийд .

Энэ тэгшитгэл нь хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг агуулж байгаагаараа гайхалтай боловч бидний мэдэж байгаагаар үүнийг шийдэж болно ерөнхий тохиолдолийм тэгшитгэл хийх боломжгүй юм. Өөр нэг асуудал бол энэ тэгшитгэл нь өмнө нь авч үзсэн бүх зүйлээс үндсэндээ ялгаатай, учир нь доторх үл мэдэгдэх зүйл нь зөвхөн тригонометрийн функцийн аргумент биш юм.

Үүнийг шийдэхийн тулд зүүн болон баруун талд тэнцүү функцүүдийн шинж чанаруудад анхаарлаа хандуулцгаая. Тодруулбал, эдгээр функцууд ямар үнэ цэнээр хязгаарлагдаж байгааг бид сонирхож байна.

Косинусын хувьд бид утгын хүрээг мэддэг:

Квадрат функцийн хувьд:

Эндээс бид эдгээр илэрхийлэлд зөвхөн нэг л байж болно гэж дүгнэж болно ерөнхий утга, тус бүр нь 1-тэй тэнцүү байх үед бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Хоёр тэгшитгэл хоёулаа бие даасан бөгөөд тус бүр нэг хувьсагчтай тул бидэнд аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглан амархан шийдэж болно.

Мэдээжийн хэрэг, энэ арга нь тодорхой биш бөгөөд даалгавар нь даалгавартай холбоотой байдаг нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэн. Энэ аргазаримдаа "мини-макс" гэж нэрлэдэг, учир нь хамгийн бага ба хамгийн их утгафункцууд.

Одоо бид тригонометрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг тусад нь авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь стандарт бөгөөд бид зөвхөн тригонометрийн функцийг хувиргах томъёог ашиглах болно. Ийм системийн хамгийн түгээмэл төрлүүдийг авч үзье.

Асуудал №11. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх .

Бид орлуулах аргаар шийдэж, жишээлбэл, энгийн шугаман тэгшитгэлээс илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Хоёр дахь тэгшитгэлд бид синусын үе гэж юу болохыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл. үүнийг арилгаж болно, мөн синус сондгой функц, өөрөөр хэлбэл үүнээс хасах нь хасагдсан.

Нэмэх томъёоны дагуу гармоник чичиргээБид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэг тригонометрийн функц болгон бууруулна. Эдгээр хөрвүүлэлтийг өөрөө туршаад үзээрэй.

Үүссэн шийдлийг дараах илэрхийлэлд орлъё.

Энэ тохиолдолд бид шийдлийн гэр бүлийн аль алинд нь ижил параметрийг ашигладаг, учир нь тэд бие биенээсээ хамааралтай байдаг.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн системүүд.

Асуудал №12. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх .

Систем дэх хоёр тэгшитгэл хоёулаа хамгийн энгийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бөгөөд бид тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг бөгөөд систем нь шугаман болж хурдан буурдаг.

Хоёр тэгшитгэлийн параметрүүд өөр, учир нь Бид тэгшитгэлийг бие биенээсээ хамааралгүйгээр шийдсэн бөгөөд хувьсагчид нэг нэгээр нь илэрхийлэгдээгүй байна.

Одоо шийдье шугаман системОрлуулах эсвэл нэмэх аргыг ашиглан эдгээр алхмуудыг өөрөө хий. Эцсийн үр дүнг харуулъя.

Хувьсагч нь хоёр параметрээс нэгэн зэрэг хамааралтай байх үед системийн шийдлийн бичлэгт анхаарлаа хандуулаарай. Үүнийг бичихийн тулд тоон утгуудЭнэ тохиолдолд бие биенээсээ хамааралгүй параметрүүдийн бүх бүхэл утгыг ээлжлэн орлуулна.

Хичээлийн энэ практик хэсэгт бид тригонометрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг харуулсан хэд хэдэн ердийн жишээг авч үзсэн.

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд , ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэлба квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By гадаад төрхтэгшитгэл, заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

Алхам 1.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

Алхам 1.Тэгшитгэлийг багасга алгебрийн хэлбэртригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй харьцуулахад.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

Алхам 1.Солих өгөгдсөн тэгшитгэлшугаман, зэргийг бууруулах томъёог ашиглан:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

Алхам 1.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 ( нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгдүгээр зэрэг)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

Алхам 1.Бүх төрлийн хэрэглээ тригонометрийн томъёо, энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд нь тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах замаар олж авсан олон мэдлэг, ур чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авна чухал газарматематикийн хичээл заах үйл явц, хувь хүний ​​хөгжил.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Хичээл 54-55. Тригонометрийн тэгшитгэлийн системүүд ( сонгомол үйл ажиллагаа)

Зорилтот: хамгийн их анхаарч үзээрэй ердийн системүүдтригонометрийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.

I. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг мэдээлэх

II. Хамарсан материалыг давтах, нэгтгэх

1. Асуултуудын хариулт гэрийн даалгавар(шийдвэрлэгдээгүй асуудлын дүн шинжилгээ).

2. Материалыг шингээхэд хяналт тавих (бие даасан ажил).

Сонголт 1

Тэгш бус байдлыг шийд:

Сонголт 2

Тэгш бус байдлыг шийд:

III. Шинэ материал сурах

Шалгалтанд тригонометрийн тэгшитгэлийн системүүд нь тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлаас хамаагүй бага байдаг. Тригонометрийн тэгшитгэлийн системийн тодорхой ангилал байдаггүй. Тиймээс бид тэднийг болзолт бүлэгт хувааж, эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх арга замыг авч үзэх болно.

1. Тэгшитгэлийн хамгийн энгийн системүүд

Эдгээрт тэгшитгэлийн аль нэг нь шугаман эсвэл системийн тэгшитгэлийг бие биенээсээ хамааралгүйгээр шийдэж болох систем орно.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Эхний тэгшитгэл нь шугаман учраас бид үүнээс хувьсагчийг илэрхийлнэба хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:Бид багасгах томъёо болон үндсэн томъёог ашигладаг тригонометрийн ижилсэл. Бид тэгшитгэлийг авдагэсвэл Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя t = нүгэл у. Бид 3-р квадрат тэгшитгэлтэй t 2 - 7 т + 2 = 0, түүний үндэс t 1 = 1/3 ба t 2 = 2 (учир нь тохиромжгүйнүгэл y ≤ 1). Хуучин үл мэдэгдэх зүйл рүү буцаж очоод тэгшитгэлийг авцгааягэмтэй = 1/3, түүний шийдэлОдоо үл мэдэгдэх зүйлийг олоход хялбар боллоо:Тэгэхээр тэгшитгэлийн систем шийдэлтэй байнаЭнд n ∈ Z.

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Системийн тэгшитгэл нь бие даасан байна. Тиймээс бид тэгшитгэл бүрийн шийдийг бичиж болно. Бид авах:Энэ системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж хасъя шугаман тэгшитгэлмөн олох:хаана

Тэгшитгэлийн бие даасан байдлаас шалтгаалан x - y ба x + y-г олохдоо өөр бүхэл тоо зааж өгөх ёстойг анхаарна уу. n ба к. Хэрэв k-ийн оронд бол мөн нийлүүлсэн n , дараа нь шийдлүүд дараах байдлаар харагдах болно.Энэ тохиолдолд алдах болно хязгааргүй олонлогшийдвэр гаргах ба үүнээс гадна хувьсагчдын хооронд холбоо байх болно x ба y: x = 3y (энэ нь бодит байдал дээр тийм биш). Жишээлбэл, үүнийг шалгахад хялбар байдаг энэ системнь x = 5π ба y = n (олж авсан томъёоны дагуу) уусмалтай, аль нь хэзээ k = n олох боломжгүй. Тиймээс болгоомжтой байгаарай.

2. Төрөл систем

Ийм системийг тэгшитгэлийг нэмэх, хасах замаар хамгийн энгийн болгож багасгадаг. Энэ тохиолдолд бид системийг олж авдагэсвэл Тодорхой хязгаарлалтыг тэмдэглэе:Тэгээд Ийм системийн шийдэл нь өөрөө ямар ч хүндрэл учруулдаггүй.

Жишээ 3

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Эхлээд системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг тэгш байдлыг ашиглан хувиргацгааяБид авах: Эхний тэгшитгэлийг энэ бутархайн тоонд орлъё.мөн илэрхийлнэ Одоо бид тэгшитгэлийн системтэй болсонЭдгээр тэгшитгэлүүдийг нэмж хасъя. Бидэнд: эсвэлЭнэхүү хамгийн энгийн системийн шийдлүүдийг бичье:Эдгээр шугаман тэгшитгэлийг нэмж, хасахад бид дараахь зүйлийг олно.

3. Төрөл системүүд

Ийм системийг хамгийн энгийн гэж үзэж, үүний дагуу шийдэж болно. Гэсэн хэдий ч үүнийг шийдэх өөр нэг арга бий: тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж, үлдсэн тэгшитгэлийг ашиглана.

Жишээ 4

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Эхлээд бид өнцгийн синусын нийлбэрийн томъёог ашиглан эхний тэгшитгэлийг хувиргана. Бид авах:Хоёр дахь тэгшитгэлийг ашигласнаар бид дараах байдалтай байна.хаана Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичье.Энэ системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг харгалзан шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авнаЭнэ системээс бид олж мэднэ Ийм шийдлүүдийг илүү олон хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой оновчтой хэлбэр. Дээд шинж тэмдгүүдийн хувьд бид дараах байдалтай байна.доод тэмдгүүдийн хувьд -

4. Төрөл системүүд

Юуны өмнө зөвхөн нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд жишээ нь нэг тэгшитгэлээс илэрхийлье sin y, өөрөөсөө - cos у. Эдгээр харьцааг квадрат болгож нэмье. Дараа нь бид үл мэдэгдэх х-г агуулсан тригонометрийн тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье. Дараа нь энэ системийн дурын тэгшитгэлийг ашиглан бид үл мэдэгдэх у-г олох тэгшитгэлийг олж авна.

Жишээ 5

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Системийг маягтаар бичьеСистемийн тэгшитгэл бүрийг квадрат болгоод:Энэ системийн тэгшитгэлийг нэмье.эсвэл Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнээсвэл Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд cos x = 1/2 (дараа нь ) ба cos x = 1/4 (хаанаас ), энд n, k ∈ Z байна . Үл мэдэгдэх зүйлсийн хоорондын холбоог авч үзэх cos y = 1 – 3 cos x, бид дараахийг авна: cos x = 1/2 cos y = -1/2; cos x = 1/4 cos y-ийн хувьд = 1/4. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ квадратын тооцоолол хийгдсэн бөгөөд энэ үйлдэл нь харагдах байдалд хүргэж болзошгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. гадны үндэс. Тиймээс энэ системийн эхний тэгшитгэлийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд үүнээс хэмжигдэхүүнүүд гарч ирнэ.нүгэл х ба нүгэл y ижил тэмдэгтэй байх ёстой.

Үүнийг харгалзан бид энэ тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авдагТэгээд Энд n, m, k, l ∈ Z . Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх x ба у-ийн хувьд дээд эсвэл доод тэмдгийг нэгэн зэрэг сонгоно.

Онцгой тохиолдолдтригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (эсвэл зөрүүг) бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж, дараа нь тэгшитгэлийг гишүүнээр хуваах замаар системийг шийдэж болно.

Жишээ 6

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Тэгшитгэл бүрт функцүүдийн нийлбэр ба ялгаварыг үржвэр болгон хувиргаж, тэгшитгэл бүрийг 2-т хуваана. Бид дараахыг авна.Тэгшитгэлийн зүүн талд нэг ч хүчин зүйл тэгтэй тэнцүү биш тул бид тэгшитгэлийн нэр томъёог (жишээлбэл, хоёр дахь нь эхнийх) хуваана. Бид авах:хаана Олдсон утгыг орлуулъяжишээлбэл, эхний тэгшитгэлд:Үүнийг анхаарч үзье Дараа нь хаана

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авсанЭнэ системийн тэгшитгэлийг нэмэх, хасах замаар бид олдогТэгээд Энд n, k ∈ Z.

5. Үл мэдэгдэхийг орлуулах замаар шийддэг системүүд

Хэрэв систем нь зөвхөн хоёр тригонометрийн функцийг агуулж байгаа эсвэл энэ хэлбэрт оруулах боломжтой бол үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Жишээ 7

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Энэ системд зөвхөн хоёр тригонометрийн функц багтдаг тул бид шинэ хувьсагч a = оруулж байна tan x ба b = нүгэл у. Бид алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авдагЭхний тэгшитгэлээс бид a = илэрхийлнэб + 3 ба хоёрдугаарт орлуулна уу:эсвэл Энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс b 1 = 1 ба b 2 = -4. Харгалзах утгууд нь a1 = 4 ба a2 = -1 байна. Хуучин үл мэдэгдэх зүйлс рүү буцаж орцгооё. Бид энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн хоёр системийг олж авдаг.

а) түүний шийдвэр Энд n, k ∈ Z.

б) ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь sin y ≥ -1.

Жишээ 8

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг зөвхөн функцуудыг агуулсан байхаар хувиргацгаая sin x ба cos у. Үүнийг хийхийн тулд бид багасгах томъёог ашигладаг. Бид авах:(хаана ) Мөн (Дараа нь ). Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.эсвэл Бид тригонометрийн тэгшитгэлийн системийг олж авсанШинэ хувьсагчдыг танилцуулъя a = sin x ба b = cos у. Бид тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системтэй цорын ганц шийдэлаль a = b = 1/2. Хуучин үл мэдэгдэх зүйлс рүү буцаж очоод авцгаая хамгийн энгийн системтригонометрийн тэгшитгэлҮүний шийдэл Энд n, k ∈ Z.

6. Тэгшитгэлийн онцлог нь чухал ач холбогдолтой системүүд

Бараг ямар ч тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ түүний нэг буюу өөр шинж чанарыг ашигладаг. Ялангуяа хамгийн их нь ерөнхий техниксистемийн шийдэл - таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд, зөвхөн нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. Өөрчлөлтийг сонгох нь мэдээжийн хэрэг системийн тэгшитгэлийн онцлогоор тодорхойлогддог.

Жишээ 9

Системээ шийдье

Жишээлбэл, тэгшитгэлийн зүүн талд анхаарлаа хандуулцгааяБууруулах томъёог ашиглан бид үүнийг π/4 + x аргументтай функц болгодог. Бид авах:Дараа нь тэгшитгэлийн систем дараах байдалтай байна.x хувьсагчийг арилгахын тулд бид тэгшитгэлийн гишүүнийг гишүүнээр үржүүлээд:эсвэл 1 = нүгэл 3 2у, үүнээс нүгэл 2у = 1. Бид олдог Тэгээд Тэгш ба сондгой утгын тохиолдлыг тусад нь авч үзэх нь тохиромжтой n. Тэгш n хувьд (n = 2 k, энд k ∈ Z) Дараа нь энэ системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авна:хаана m ∈ Z. Хачирхалтай нь Дараа нь эхний тэгшитгэлээс бид:Тэгэхээр энэ системд шийдэл бий

Тэгшитгэлийн нэгэн адил синус ба косинусын функцүүдийн хязгаарлагдмал шинж чанар нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг тэгшитгэлийн системүүд ихэвчлэн байдаг.

Жишээ 10

Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Юуны өмнө бид системийн эхний тэгшитгэлийг хувиргана.эсвэл эсвэл эсвэл эсвэл Синусын функцийн хязгаарлагдмал шинж чанарыг харгалзан үзвэл бид үүнийг харж байна зүүн талтэгшитгэл нь хамгийн багадаа 2, ба баруун тал 2-оос ихгүй байна.Иймд ийм тэгшитгэл нь нөхцөлтэй тэнцэнэнүгэл 2 2х = 1, нүгэл 2 у = 1.

Бид системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ sin 2 y = 1 - cos 2 z эсвэл sin 2 y = sin 2 z, тэгээд sin 2 z. = 1. Бид энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн системийг олж авлааЗэрэг бууруулах томъёог ашиглан бид системийг хэлбэрээр бичнээсвэл Дараа нь

Мэдээжийн хэрэг, бусад тригонометрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ эдгээр тэгшитгэлийн онцлогийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Материалыг татаж авах

Материалын бүрэн текстийг татаж авах боломжтой файлаас үзнэ үү.
Энэ хуудас нь зөвхөн материалын хэсгийг агуулна.

Дууссан ажлууд

ЗЭРГИЙН АЖИЛ

Маш их зүйл өнгөрсөн бөгөөд одоо та төгсөгч байна, хэрэв та дипломын ажлаа цаг тухайд нь бичвэл мэдээжийн хэрэг. Гэвч амьдрал бол оюутан байхаа больсныхоо дараа та хэзээ ч хичээж үзээгүй оюутны баяр баясгалангаа бүгдийг нь хойш тавьж, хожим нь хойшлуулах нь одоо л тодорхой болж байна. Одоо та гүйцэхээсээ илүү дипломын ажил дээрээ ажиллаж байна уу? Маш сайн шийдэл бий: танд хэрэгтэй дипломын ажлыг манай вэбсайтаас татаж аваарай - тэгвэл танд маш их чөлөөт цаг гарах болно!
Бүгд Найрамдах Казахстан улсын тэргүүлэх их дээд сургуулиудад дипломын ажил амжилттай хамгаалагдсан.
Ажлын өртөг 20,000 тенге

СУРГАЛТЫН АЖИЛ

Курсын төсөл нь анхны ноцтой практик ажил юм. Сургалтын ажлыг бичиж эхэлснээр хөгжүүлэлтийн бэлтгэл эхэлдэг. дипломын төслүүд. Хэрэв оюутан тухайн сэдвийн агуулгыг зөв илэрхийлж сурвал курсын төсөлҮүнийг зөв зурж, дараа нь тэр тайлан бичих, зурахад асуудал гарахгүй дипломууд, бусдын хэрэгжилттэй ч биш практик даалгавар. Энэ төрлийн оюутны ажлыг бичихэд оюутнуудад туслах, түүнийг бэлтгэх явцад гарч буй асуултуудыг тодруулах зорилгоор уг мэдээллийн хэсгийг бий болгосон.
Ажлын өртөг 2500 тенге

МАГИСТРЫН ДИССЕРТАЦИЯ

Одоогоор илүү өндөр байна боловсролын байгууллагуудКазахстан болон ТУХН-ийн орнуудад дээд боловсролын түвшин маш түгээмэл байдаг мэргэжлийн боловсрол, бакалаврын зэрэгтэй - магистрын зэрэгтэй. Магистрын хөтөлбөрт оюутнууд бакалавраас илүү дэлхийн ихэнх оронд хүлээн зөвшөөрөгдсөн, гадаадын ажил олгогчид ч хүлээн зөвшөөрөгдсөн магистрын зэрэгтэй болох зорилготой суралцдаг. Магистрын сургалтын үр дүн нь хамгаалалт юм магистрын ажил.
Бид танд хамгийн сүүлийн үеийн аналитик болон текст материалыг өгөх болно, үнэд 2 ширхэг багтсан болно шинжлэх ухааны нийтлэлүүдболон хийсвэр.
Ажлын өртөг 35,000 тенге

ДАДЛАГЫН ТАЙЛАН

Ямар ч төрлийн оюутны дадлагыг (боловсролын, үйлдвэрлэлийн, төгсөлтийн өмнөх) гүйцэтгэсний дараа тайлан гаргах шаардлагатай. Энэ баримт бичиг нь баталгаа болно практик ажилоюутан ба дадлага хийх үнэлгээг бүрдүүлэх үндэс. Ихэвчлэн дадлагын тайлан гаргахын тулд тухайн аж ахуйн нэгжийн талаарх мэдээллийг цуглуулж, дүн шинжилгээ хийх, дадлага хийж буй байгууллагын бүтэц, ажлын горимыг авч үзэх, эмхэтгэх шаардлагатай байдаг. хуанлийн төлөвлөгөөмөн өөрийнхөө тухай тайлбарла практик үйл ажиллагаа.
Бид тодорхой аж ахуйн нэгжийн үйл ажиллагааны онцлогийг харгалзан дадлага хийсэн тайлангаа бичихэд тань туслах болно.