Одоогоор ажлын HTML хувилбар байхгүй байна.
Үүнтэй төстэй баримт бичиг
Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлоршихуй тодорхой интеграл. -ийн тодорхой интегралын тэгш байдал алгебрийн нийлбэрХоёр функцийн (ялгаанууд). Дундаж утгын теорем - үр дүн ба нотолгоо. Геометрийн утгатодорхой интеграл.
танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн
Интеграл нийлбэрийн тухай ойлголтыг судлах. Интеграцийн дээд ба доод хязгаар. Тодорхой интегралын шинж чанарын шинжилгээ. Дундаж утгын теоремын баталгаа. Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Хувьсагчийн дээд хязгаарт хамаарах интегралын дериватив.
танилцуулга, 04/11/2013 нэмэгдсэн
Тодорхой интегралын тухай ойлголт, үндсэн шинж чанаруудын танилцуулга. [a, b] сегмент дээрх y=f(x) функцийн интеграл нийлбэрийг тооцоолох томьёоны танилцуулга. Интегралын доод ба дээд хязгаар тэнцүү байх тохиолдолд интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.
танилцуулга, 2013 оны 09-р сарын 18-нд нэмэгдсэн
Тодорхой интегралын тухай ойлголтод хүргэдэг асуудлууд. Интеграл нийлбэрийн хязгаар болох тодорхой интеграл. Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл хоорондын хамаарал. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Геометр ба механик мэдрэмжтодорхой интеграл.
хураангуй, 2010/10/30 нэмэгдсэн
Эрт дээр үед интеграцийн аргууд. Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт. Гол теорем интеграл тооцоо. Тодорхой бус ба тодорхой интегралын шинж чанар, тэдгээрийг тооцоолох арга, дурын тогтмолууд. Энгийн функцүүдийн интегралын хүснэгт.
танилцуулга, 2011 оны 09-р сарын 11-нд нэмэгдсэн
Эсрэг дериватив функцийн тухай ойлголт, эсрэг деривативын тухай теорем. Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, хүснэгт. Тодорхой интегралын тухай ойлголт, түүний геометрийн утга, үндсэн шинж чанарууд. Тодорхой интеграл ба Ньютон-Лейбницийн томъёоны дериватив.
курсын ажил, 2011/10/21 нэмэгдсэн
Тусгалын функцийн тухай ойлголт ба шинж чанарууд. Дифференциал системийн анхны интеграл ба оршин тогтнох нөхцөл. Эвдрэлийн нөхцөл байдал дифференциал системүүд, энэ нь цагийн тэгш хэмийг өөрчилдөггүй. Эхний интеграл ба эквивалент системүүдийн хоорондын холбоог тодорхойлох.
курсын ажил, 2009-08-21 нэмэгдсэн
Тэгш, сондгой, тэгш хэмтэй харьцангуй тэнхлэгүүдийн тухай ойлголт, судалгаа. Тогтмол тэмдгийн интервалын тухай ойлголт. Гүдгэр ба хотгор, гулзайлтын цэг. Босоо ба ташуу асимптотууд. Хамгийн бага ба хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц ба интеграл.
практик ажил, 2011 оны 03-р сарын 25-нд нэмэгдсэн
Нэг бие даасан хувьсагчийн функц. Хязгаарлалтын шинж чанарууд. Дериватив ба дифференциал функцууд, тэдгээрийг асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах. Эсрэг деривативын тухай ойлголт. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралыг тооцоолох ойролцоо аргууд. Дундаж утгын теорем.
хичээлийн тэмдэглэл, 2013 оны 10-р сарын 23-нд нэмэгдсэн
Ерөнхий ойлголт тооны дараалал. Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгааргүй том, жижиг функц. Функц, түүний хязгаар ба хязгааргүй байдлын хоорондын холбоо жижиг функц. Хязгаарлалт байгаагийн шинж тэмдэг. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд: товч тайлбар.
Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xэнэ интервалаас та тоотой таарч болно 
,
Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), үүнийг ихэвчлэн хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ үед анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дээрх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед D x:
Д I(x) = I(x+Д x) – I(x) =
.
Зурагт үзүүлсэн шиг. 4, өсөлтийн томьёоны сүүлчийн интегралын утга D I(x) ангаахайгаар тэмдэглэгдсэн муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. Д-ийн бага утгуудад x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид үүнийг хэлж байна. үнэмлэхүй утгуудөсөлтүүд нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох тул энэ хэсэг нь ойролцоогоор болж хувирдаг тэнцүү талбайтэгш өнцөгт, зураг дээр давхар ангаахайгаар тэмдэглэгдсэн. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)D x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг
.
Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойролцоолсон нарийвчлал өндөр байх тусам D-ийн утга бага байна. x.
Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):
.
x цэгийн дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын дериватив нь х цэг дэх интегралын утгатай тэнцүү байна.. Үүнээс үзэхэд функц байна 
функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга, тэгтэй тэнцүү. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог
. (1)
Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь тухай теоремоор ерөнхий үзэлфункцүүдийн бүх эсрэг деривативууд I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- тоо биш. Үүний зэрэгцээ баруун талтомъёо (1) хэлбэрийг авна
I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (2)
Оруулсаны дараа (1) ба (2) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:
,
Үүнийг ихэвчлэн томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбниц. Энд Ф(x)- ямар ч функцийн эсрэг дериватив е(x).
Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондох ялгааг ихэвчлэн ᴛ.ᴇ тэмдгээр тэмдэглэдэг. 
.
Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох жишээг өгье.
Жишээ 1. 
.
Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо та ашиглаж болно Хувьсах орлуулалтын томъёо:
.
Энд аТэгээд бтэгшитгэлээс тус тус тодорхойлогддог j(а) = а; j(б) = б, болон функцууд е,j, j¢зохих интервалаар тасралтгүй байх ёстой.
Жишээ 2..
Сэлгээ хийцгээе: ln x = tэсвэл x = e t, дараа нь хэрэв x = 1, тэгвэл t = 0 ба хэрэв x = e, Тэр t = 1. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.
.
Гэсэн хэдий ч хувьсагчдын өөрчлөлтийг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо өмнөх интеграцийн хувьсагч руу буцах нь онц чухал биш юм. Интеграцийн шинэ хязгаарыг нэвтрүүлэхэд л хангалттай.
Хэрэв y = f(x) функц нь интервал дээр интегралдах боломжтой бол аль ч жижиг интервал дээр интегралдах боломжтой, өөрөөр хэлбэл. "xО"-ийн хувьд интеграл байна
Хязгаар ба интеграл хувьсагчийн тэмдэглэгээг төөрөгдүүлэхгүйн тулд бид интеграцийн хувьсагчийг t гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь интеграл (4) хэлбэрт бичигдэнэ Энэ интегралын утга нь функц юм дээд хязгаар x ба Ф(х)-ээр тэмдэглэнэ:
. (5)
Ф(х) функцийг дуудна хувьсах дээд хязгаартай интеграл.
Ф(х) функцийн зарим шинж чанарыг авч үзье.
Т.3.1.(Ф(х) функцын тасралтгүй байдал)
Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал Ф(х) функц мөн интервал дээр тасралтгүй байх болно.
Т.3.2 (Ф(х) функцын ялгаа)
Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал Ф(x) функц аль ч үед дифференциалагдах боломжтой дотоод цэгэнэ сегментийн x ба тэгш байдал нь үнэн юм
.
Үр дагавар
Хэрэв f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив on байна энэ сегмент, мөн Ф(х) функц - хувьсах дээд хязгаартай интеграл - f(x) функцийн эсрэг дериватив юм.
f(x) функцийн бусад эсрэг дериватив бүхэн Ф(x)-ээс зөвхөн тогтмол гишүүнээр ялгаатай тул бид үүнийг тогтоож болно. Тодорхойгүй ба тодорхой интеграл хоорондын холбоо:
,
Энд C нь дурын тогтмол юм.
Асуулт 4. Тодорхой интегралын тооцоо. Ньютон-Лейбницийн томъёо
Интегралыг интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж тодорхойлоход үндэслэсэн аргаар тодорхой интегралыг тооцоолох нь ихэвчлэн дараах байдалтай холбоотой байдаг. их бэрхшээлүүд. Тодорхойгүй интегралыг тооцоолох илүү тохиромжтой арга байдаг бөгөөд энэ нь тодорхойгүй ба тодорхой интегралуудын хооронд тогтоосон холболт дээр суурилдаг.
T.4.1.Хэрэв f(x) функц нь интервал дээр тасралтгүй, F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив байвал томъёо хүчинтэй байна.
. (6)
Формула (6) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо.
Хэрэв та тэмдэглэгээг оруулбал 
дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог (6) гэж дахин бичиж болно
.
Ньютон-Лейбницийн томьёо өгдөг тохиромжтой аргатодорхой интегралын тооцоо. Тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд f(x)-ийн эсрэг үүсмэл функц F(x)-ийг олж, сегментийн төгсгөлд F(b) ‒ F(a)-ын зөрүүг авах шаардлагатай.
Жишээ
Асуулт 5. Хувьсагчийн өөрчлөлт ба тодорхой интеграл дахь хэсгүүдийн интеграл
Хувьсагчийг солих арга
Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо орлуулах арга буюу хувьсагчийг өөрчлөх аргыг өргөн ашигладаг.
T.5.1. (тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт)
y = f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байг. Дараа нь хэрэв:
1) x = j(t) функц ба түүний уламжлал x′ = j′(t) нь интервал дээр тасралтгүй байна;
2) x = j(t) функцийн утгуудын багц нь сегмент юм;
3) j(a) = a, j(b) = b,
тэгвэл шударга тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо:
.
Сэтгэгдэл
1. Орлуулах аргыг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо хуучин хувьсагч руу буцах шаардлагагүй.
2. Ихэнхдээ x = j(t) орлуулалтын оронд t = g(x) орлуулалтыг ашигладаг.
3. Томьёог ашиглахдаа теоремд заасан нөхцлийн биелэлтийг шалгах шаардлагатай. Хэрэв эдгээр нөхцлийг зөрчсөн бол буруу үр дүн гарч болзошгүй.
Жишээ. Тооцоол
Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх
T.5.2. (тодорхой интеграл дахь хэсгүүдээр нэгтгэх)
Хэрэв u = u(x) ба v = v(x) функцууд интервал дээр тасралтгүй деривативтай бол тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо:
.
Жишээ. Интегралыг тооцоолох
Хувьсах дээд хязгаартай интеграл.Тодорхой интегралын утга нь интеграл хувьсагчийг ямар үсгээр тэмдэглэснээс хамаарахгүй: (үүнийг шалгахын тулд интеграл нийлбэрийг бичихэд хангалттай; тэдгээр нь давхцаж байна). Энэ хэсэгт интеграцийн хувьсагчийг үсгээр тэмдэглэнэ т
, мөн захидал x
интеграцийн дээд хязгаарыг тэмдэглэе. Интегралын дээд хязгаар өөрчлөгдөж болно гэж бид таамаглах болно, өөрөөр хэлбэл. Юу x
- хувьсагч, үр дүнд нь интеграл нь Ф( функц байх болно. x
) түүний дээд хязгаар: 
. Үүнийг батлахад амархан е
(т
) интегралдах боломжтой бол Ф( x
) тасралтгүй боловч дараах үндсэн теорем нь бидний хувьд илүү чухал юм.
Хувьсах дээд хязгаартай интеграл теорем. Хэрэв функц бол е
(т
) цэгийн ойролцоо үргэлжилдэг т
= x
, дараа нь энэ үед функц Ф( x
) ялгах боломжтой, ба 
.
Өөрөөр хэлбэл, тасралтгүй функцийн тодорхой интегралын дээд хязгаарт хамаарах дериватив нь энэ хязгаар дахь интегралын утгатай тэнцүү байна.
Баримт бичиг. Дээд хязгаараа өгье x
өсөлт. Дараа нь 
, Хаана в
- хооронд байрлах цэг x
ба (ийм цэг байгаа нь дундаж утгын теоремоор тодорхойлогддог; тэнцүү тэмдгийн дээрх тоонууд нь тодорхой интегралын хэрэглэгдэх шинж чанарын тоо юм). . Яарцгаая. Үүний зэрэгцээ ( в
- хооронд байрлах цэг x
Мөн ). Учир нь е
(т
) цэг дээр тасралтгүй байна т
= x
, Тэр 
. Тиймээс бий 
, Мөн 
. Теорем нь батлагдсан.
Эхнийхийг нь тэмдэглэе чухал үр дагаварэнэ теорем. Үндсэндээ бид ямар ч байсан гэдгийг нотолсон тасралтгүй функц е
(x
) эсрэг деривативтай бөгөөд энэ эсрэг деривативыг томъёогоор тодорхойлно 
36. Ньютон-Лейбницийн томъёо.
Хэрэв е
(x
) [ интервал дээр тасралтгүй байна а
, б
], Мөн Ф
(x
) нь функцийн эсрэг дериватив юм, тэгвэл 
.
Док.Бид функцийг тогтоосон - тасралтгүйгийн эсрэг дериватив е
(x
). Учир нь Ф
(x
) нь мөн эсрэг дериватив бол Ф( x
) = Ф
(x
) + C
. Энэ тэгш байдлыг оруулъя x
= а
. Учир нь 
, Тэр . Тэгш байдлаар 
хувьсагчдыг дахин нэрлэе: интеграцийн хувьсагчийн хувьд т
Тэмдэглэгээ рүү буцъя x
, дээд хязгаар x
гэж тэмдэглэе б
. Эцэст нь, 
.
Ньютон-Лейбницийн томъёоны баруун талд байгаа ялгааг тусгай тэмдгээр тэмдэглэв. 
(энд "-аас орлуулах" гэж уншина а
руу б
"), тиймээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг. 
.
37. Тодорхой интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт, хэсэгчилсэн интеграл.
Хэрэв у(x) Мөн v(x) - [ интервал дээр тодорхойлсон хоёр функц а, б] ба тэнд үргэлжилсэн деривативууд байх, тэгвэл
Формула (24) байна тодорхой интегралын хэсгүүдээр интегралдах томъёо.
Нотолгоо нь маш энгийн. Яг,
Хэсгийн томъёогоор интеграцийн дагуу ийм байх болно
Дараа нь (24) энд байна.
Болъё е(zх, q], А φ (x) нь [ интервал дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц юм. а, б], тэнд тасралтгүй дериватив байна φ "(x) ба тэгш бус байдлыг хангах х ≤ φ (x) ≤ q.
Энэ тохиолдолд
Формула (22) нь тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх дүрмийг илэрхийлдэг. Энэ нь хувьсагчийг тодорхой бус интегралд орлуулах дүрэмтэй төстэй боловч (22) томъёо нь хоёрын тэгш байдлыг илэрхийлдэг тул хуучин хувьсагч руу буцах шаардлагагүй гэдгээрээ ялгаатай. тогтмол тоонууд. Тодорхой интегралын хувьд энэ томъёо нь тодорхойгүй интеграл дахь орлуулах дүрмийг хоёуланг нь орлуулдаг гэдгийг мөн тэмдэглэе; Зөвхөн үүнийг практикт хэрэгжүүлэхдээ заримдаа зүүнээс баруун тийш, заримдаа баруунаас зүүн тийш унших хэрэгтэй болдог.
Теоремын нотолгоо руу шилжихдээ (22) томъёоны зүүн ба баруун талд орсон интегралуудыг тус тус тэмдэглэнэ. Iарслан ба Iзөв
Болъё Ф(z) - эсрэг дериватив функц е(z). Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёо/p>-ийн дагуу
Iэрх = Ф[φ (б)] - Ф[φ (а)]. (23)
тухайд Iтэгээд арслан
Гэхдээ теоремын дагуу ийм байх болно
Iарслан = Ф[φ (б)] - Ф[φ (а)].
Эндээс болон (23)-аас ийм зүйл гарч ирнэ Iарслан = Iзөв
38. Тэгш, сондгой, үечилсэн функцийн интеграл.
Онол 1. f(x) нь [-a,a] интервал дээр интегралдах боломжтой байг. жигд функц:
Үүнийг батлахын тулд анхны интегралыг хоёр интегралын нийлбэр хэлбэрээр үзүүлье.
Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.
Онол 2. f(x) нь [-a,a] интервал дээр интегралдах сондгой функц байг:
Теорем нь үүнтэй төстэй байдлаар батлагдсан:
λ-аас хамаарахгүй. Ялангуяа,
Энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа илэрхийллээс λ-тэй холбоотой деривативыг тооцоолъё.
Буруу интеграл
Интегралын хязгааргүй хязгаартай буруу интеграл
Заримдаа ийм зохисгүй интеграл гэж нэрлэдэг эхний төрлийн буруу интеграл. Ерөнхийдөө хязгааргүй хязгаартай буруу интеграл нь ихэвчлэн иймэрхүү харагддаг: . Энэ нь тодорхой интегралаас юугаараа ялгаатай вэ? Дээд хязгаарт. Энэ нь төгсгөлгүй юм: .
Хязгааргүй доод хязгаартай эсвэл хоёр интеграл нь бага түгээмэл байдаг хязгааргүй хязгаар: .
Бид хамгийн алдартай тохиолдлыг авч үзэх болно. Бусад сортуудтай ажиллах техник нь ижил төстэй бөгөөд догол мөрний төгсгөлд ийм жишээнүүдийн холбоос байх болно.
Буруу интеграл үргэлж байдаг уу? Үгүй, үргэлж биш интеграл интервал дээр тасралтгүй байх ёстой
Тусламж: хатуу хэлэхэд, мэдэгдэл худал: хэрэв функцэд тасалдал байгаа бол зарим тохиолдолд хагас интервалыг хэд хэдэн хэсэгт хувааж, хэд хэдэн буруу интегралыг тооцоолох боломжтой байдаг. Энгийн байхын тулд цаашид би зохисгүй интеграл байхгүй гэж хэлье.
Интеграл функцийн графикийг зурган дээр дүрсэлцгээе. Энэ тохиолдолд ердийн график ба муруй трапецын дүрс нь дараах байдалтай байна.
Энд бүх зүйл хэвийн, интеграл нь хагас интервал дээр үргэлжилдэг, тиймээс буруу интеграл байдаг. Манай муруй трапец байна гэдгийг анхаарна уу эцэс төгсгөлгүй(баруун талд хязгаарлагдахгүй) зураг.
Тоон хувьд буруу интеграл талбайтай тэнцүүсүүдэртэй зураг, хоёр тохиолдол боломжтой:
1) Эхлээд толгойд орж ирсэн бодол: "Зураг нь хязгааргүй тул 
", өөрөөр хэлбэл, талбай нь бас хязгааргүй юм. Тийм байж магадгүй. Энэ тохиолдолд тэд буруу интеграл хуваагддаг гэж хэлдэг.
2) Гэхдээ. Хэдий хачирхалтай сонсогдож байгаа ч хязгааргүй дүрсийн талбай нь... хязгаарлагдмал тоо! Жишээ нь: 
. Энэ үнэн байж болох уу? Амархан. Хоёр дахь тохиолдолд буруу интеграл нийлдэг.
Буруу интеграл ямар тохиолдолд ялгарах, ямар тохиолдолд нийлэх вэ? Энэ нь интегралаас хамаарна, ба тодорхой жишээнүүдБид тун удахгүй судлах болно.
Хэрэв тэнхлэгийн доор хязгааргүй муруй трапец байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд буруу интеграл 
(зөрнө) эсвэл төгсгөлтэй сөрөг тоотой тэнцүү байна.
Буруу интеграл нь сөрөг байж болно.
Чухал! Ямар ч зохисгүй интегралыг шийдэхийн тулд танд санал болговол ерөнхийдөө ямар ч талбайн талаар ярихгүй бөгөөд зураг зурах шаардлагагүй болно. Таны даалгавар бол ДУГААР олох эсвэл буруу интеграл салж байгааг батлах явдал юм. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс зохисгүй интегралын геометрийн утгыг тайлбарласан.
Буруу интеграл нь тодорхой интегралтай маш төстэй тул томъёог эргэн сана. Ньютон-Лейбниц: 
. Үнэн хэрэгтээ, томъёо нь бас хамаарна буруу интегралууд, үүнийг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй. Ялгаа нь юу вэ? Интегралын хязгааргүй дээд хязгаарт: . Магадгүй энэ нь хязгаарын онолын хэрэглээг аль хэдийн нотолсон гэж олон хүн таамаглаж байсан бөгөөд томъёог дараах байдлаар бичих болно. 
.
Функцийг зөвшөөр е(т) нь тухайн цэгийг агуулсан зарим интервал дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилдэг а.Дараа нь тоо бүр xЭнэ интервалаас бид тоотой таарч болно,
Ингэснээр интервал дээр функцийг тодорхойлно I(x), хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ үед анхаарна уу x = aЭнэ функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ функцийн деривативыг цэг дээр тооцоод үзье x. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тухайн цэг дээрх функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй xаргументыг нэмэгдүүлэх үед D x:
Д I(x) = I(x+Д x) – I(x) = 
.
Зурагт үзүүлсэн шиг. 4, өсөлтийн томьёоны сүүлчийн интегралын утга D I(x) талбайтай тэнцүү байна муруй трапец, сүүдэрлэж тэмдэглэсэн. Д-ийн бага утгуудад x(энд, энэ хичээлийн бусад хэсэгт, аргумент эсвэл функцийн жижиг өсөлтийн талаар ярихдаа бид өсөлтийн үнэмлэхүй хэмжээг хэлж байна, учир нь өсөлт нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно) энэ талбар нь ойролцоогоор тэнцүү байна. тэгш өнцөгтийн талбайг давхар зураасан дээр тэмдэглэсэн. Тэгш өнцөгтийн талбайг томъёогоор тодорхойлно е(x)D x. Эндээс бид хамаарлыг олж авдаг
.
Сүүлчийн ойролцоо тэгшитгэлд ойролцоолсон нарийвчлал өндөр байх тусам D-ийн утга бага байна. x.
Дээрхээс энэ нь функцийн деривативын томъёог дагаж мөрддөг I(x):
.
x цэгийн дээд хязгаарт хамаарах тодорхой интегралын дериватив нь х цэг дэх интегралын утгатай тэнцүү байна.. Үүнээс үзэхэд функц байна 
функцийн эсрэг дериватив юм е(x), мөн цэг дээр авдаг ийм эсрэг дериватив x = aутга нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ баримт нь тодорхой интегралыг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог
. (1)
Болъё Ф(x)нь мөн функцийн эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь функцийн бүх эсрэг деривативуудын ерөнхий хэлбэрийн тухай теоремоор I(x) = Ф(x) + C, Хаана C- тодорхой тоо. Энэ тохиолдолд (1) томъёоны баруун тал нь хэлбэрийг авна
I(x) – I(а) = Ф(x) + C– (Ф(а) +C) = Ф(x) – Ф(а). (2)
Оруулсаны дараа (1) ба (2) томъёоноос xдээр бфункцийн тодорхой интегралыг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг е(т) интервалын дагуу [ а;б]:
,
гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо. Энд Ф(x)- функцийн аливаа эсрэг дериватив е(x).
Функцийн тодорхой интегралыг тооцоолох е(x) интервалын дагуу [ а;б], та зарим эсрэг дериватив олох хэрэгтэй Ф(x) функцууд е(x) ба цэг дээрх эсрэг деривативын утгын зөрүүг тооцоол бТэгээд а. Эдгээр эсрэг дериватив утгуудын хоорондын ялгааг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл. 
.
Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт.Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолохдоо асуудлыг шийдвэрлэх үе шатуудыг (интегралын эсрэг деривативыг олох, эсрэг деривативын өсөлтийг олох) хатуу ялгахгүй байхыг илүүд үздэг. Ялангуяа хувьсагчийг өөрчлөх томьёо, тодорхой интегралыг хэсэг хэсгээр нь интеграцчилдаг энэ арга нь ихэвчлэн шийдлийн бичвэрийг хялбарчлах боломжийг олгодог.
ТЕОРЕМ. φ(t) функц нь [α,β], a=φ(α), β=φ(β) интервал дээр тасралтгүй деривативтэй, f(x) функц нь x хэлбэрийн x цэг бүрт тасралтгүй байг. =φ(t), энд t [α,β].
Дараах тэгш байдал үнэн болно.
Энэ томъёог тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо гэж нэрлэдэг.
Тодорхой бус интегралтай адил хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглах нь интегралыг хялбарчлах боломжийг олгодог бөгөөд үүнийг хүснэгтийн (үүд) рүү ойртуулдаг. Түүнээс гадна, тодорхойгүй интегралаас ялгаатай нь энэ тохиолдолданхны интеграцийн хувьсагч руу буцах шаардлагагүй. φ(t)=a ба φ(t)=b тэгшитгэлийн t хувьсагчийн шийд болох шинэ t хувьсагч дээрх α ба β-ийн интегралчлалын хязгаарыг олоход л хангалттай. Практикт хувьсагчийг орлуулахдаа шинэ хувьсагчийн t=ψ(x) илэрхийллийг хуучин хувьсагчаар нь зааж эхэлдэг. Энэ тохиолдолд t хувьсагч дээрх интегралын хязгаарыг олох нь хялбаршсан: α=ψ(a), β=ψ(b).
Жишээ 19. Тооцоо 
t=2-x 2 гэж үзье. Дараа нь dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx ба xdx=- dt. Хэрэв x=0 бол t=2-0 2 =2, хэрэв x=1 байвал t=2-1 2 =1.
Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх.Хэсэгээр нь нэгтгэх арга нь эхийг багасгах боломжийг бидэнд олгодог тодорхойгүй интегралилүү энгийн үзэмжэсвэл хүснэгтийн интеграл руу. Хэрэв интеграл нь логарифм, экспоненциал, урвуу тригонометрийг агуулсан бол энэ аргыг ихэвчлэн ашигладаг. тригонометрийн функцууд, түүнчлэн тэдгээрийн хослолууд.
Хэсэгээр нэгтгэх томъёо нь дараах байдалтай байна.
Энэ нь, интеграл f(x)dxфункцийн үржвэр болгон төлөөлнө u(x)дээр d(v(x))- дифференциал функц v(x). Дараа нь бид функцийг олно v(x)(ихэнхдээ аргаар шууд интеграци) Мөн d(u(x))- дифференциал функц u(x). Олсон илэрхийлэлүүдийг интегралд хэсгүүдийн томьёогоор орлуулах ба анхны тодорхойгүй интегралыг зөрүү болгон бууруулна. 
. Сүүлийн тодорхойгүй интегралыг аль ч интеграцийн аргыг, түүний дотор хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашиглан авч болно.
