Давхар язгууртай иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энэ нийтлэлийн материалын эхний хэсэг нь иррационал тэгшитгэлийн санааг бүрдүүлдэг. Үүнийг судалсны дараа та бусад төрлийн тэгшитгэлээс иррационал тэгшитгэлийг хялбархан ялгах боломжтой болно. Хоёрдахь хэсэгт шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно. иррационал тэгшитгэлүүд, нарийвчилсан шийдлүүдийг өгсөн асар их хэмжээ ердийн жишээнүүд. Хэрэв та энэ мэдээллийг эзэмшсэн бол сургуулийн математикийн хичээлийн бараг бүх иррационал тэгшитгэлийг даван туулах нь гарцаагүй. Мэдлэг олж авахад амжилт хүсье!

Иррационал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Эхлээд иррационал тэгшитгэл гэж юу болохыг тодруулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамнаас санал болгосон сурах бичигт тохирох тодорхойлолтыг олох болно.

Иррационал тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдлийн талаархи дэлгэрэнгүй яриаг алгебрийн хичээлээр явуулдаг бөгөөд ахлах сургуульд дүн шинжилгээ хийж эхэлсэн. Гэсэн хэдий ч зарим зохиогчид энэ төрлийн тэгшитгэлийг өмнө нь танилцуулсан. Жишээлбэл, А.Г. Мордковичийн сурах бичгийг ашиглан суралцдаг хүмүүс 8-р ангид байхдаа иррационал тэгшитгэлийн талаар суралцдаг: сурах бичигт заасан байдаг.

Иррационал тэгшитгэлийн жишээнүүд бас байдаг. , , гэх мэт. Дээрх тэгшитгэл бүрт тэмдгийн дор байгаа нь ойлгомжтой квадрат язгуур x хувьсагчийг агуулж байгаа нь дээрх тодорхойлолтын дагуу эдгээр тэгшитгэлүүд иррационал гэсэн үг юм. Энд бид тэдгээрийг шийдвэрлэх гол аргуудын нэгийг нэн даруй хэлэлцэх болно. Гэхдээ бид шийдлийн аргуудын талаар арай доогуур ярих болно, гэхдээ одоогоор бусад сурах бичгүүдээс иррационал тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг өгөх болно.

А.Н.Колмогоров, М.Колягин нарын сурах бичигт.

Тодорхойлолт

үндэслэлгүйязгуур тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэлүүд юм.

анхаарлаа хандуулъя үндсэн ялгаа энэ тодорхойлолтөмнөхөөсөө: дөрвөлжин язгуур биш харин язгуурыг хэлдэг, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн байрлаж буй язгуурын зэргийг заагаагүй болно. Энэ нь үндэс нь зөвхөн дөрвөлжин биш, гурав, дөрөв гэх мэт байж болно гэсэн үг юм. градус. Тиймээс сүүлчийн тодорхойлолт нь илүү өргөн тэгшитгэлийн багцыг тодорхойлдог.

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: яагаад бид ахлах сургуульд иррационал тэгшитгэлийн өргөн хүрээтэй тодорхойлолтыг ашиглаж эхэлдэг вэ? Бүх зүйл ойлгомжтой бөгөөд энгийн: 8-р ангидаа иррационал тэгшитгэлтэй танилцахдаа бид зөвхөн квадрат язгуурыг л сайн мэддэг, харин куб язгуур, дөрөв ба түүнээс дээш язгуурын тухай биш. өндөр зэрэгтэйБид хараахан мэдэхгүй байна. Мөн дунд сургуульд язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь ойлгодог, -ийн талаар суралцаж, иррационал тэгшитгэлийн тухай ярихдаа бид квадрат язгуураар хязгаарлагдахаа больсон, харин дурын зэрэглэлийн язгуурыг хэлдэг.

Тодорхой болгохын тулд бид иррационал тэгшитгэлийн хэд хэдэн жишээг үзүүлэх болно. - энд тэмдгийн доор байна шоо үндэсх хувьсагч байрладаг тул энэ тэгшитгэл нь иррациональ байна. Өөр нэг жишээ: - энд x хувьсагч нь квадрат язгуур тэмдэг ба дөрөв дэх язгуур тэмдгийн аль алиных нь доор байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь мөн ir байна. рационал тэгшитгэл. Иррационал тэгшитгэлийн хэд хэдэн жишээ энд байна нарийн төвөгтэй төрөл: Тэгээд .

Дээрх тодорхойлолтууд нь аливаа иррационал тэгшитгэлийн тэмдэглэгээнд язгуур шинж тэмдэг байдаг гэдгийг тэмдэглэх боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв язгуурын шинж тэмдэг байхгүй бол тэгшитгэл нь үндэслэлгүй биш гэдэг нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч үндэс тэмдэг агуулсан бүх тэгшитгэл нь үндэслэлгүй биш юм. Үнэн хэрэгтээ, иррациональ тэгшитгэлд язгуур тэмдгийн дор хувьсагч байх ёстой; хэрэв язгуур тэмдгийн дор хувьсагч байхгүй бол тэгшитгэл нь иррациональ биш юм. Жишээ болгон бид үндсийг агуулсан тэгшитгэлийн жишээг өгсөн боловч үндэслэлгүй биш юм. Тэгшитгэл Тэгээд Эдгээр нь язгуур тэмдгийн дор хувьсагч агуулаагүй тул язгуур тэмдэгтийн доор тоонууд байгаа боловч язгуур тэмдгийн дор хувьсагч байхгүй тул эдгээр тэгшитгэлүүд нь иррациональ биш юм.

Иррационал тэгшитгэл бичихэд оролцох хувьсагчийн тоог дурдах нь зүйтэй. Дээрх бүх иррациональ тэгшитгэлүүд нь нэг хувьсагч х агуулсан, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчтай тэгшитгэлүүд юм. Гэсэн хэдий ч хоёр, гурав гэх мэт иррационал тэгшитгэлийг авч үзэхэд юу ч саад болохгүй. хувьсагч. Хоёр хувьсагчтай иррационал тэгшитгэлийн жишээг өгье мөн гурван хувьсагчтай.

Сургуульд та голчлон нэг хувьсагчтай иррационал тэгшитгэлтэй ажиллах хэрэгтэй гэдгийг анхаарна уу. Хэд хэдэн хувьсагчтай иррационал тэгшитгэл нь хамаагүй бага түгээмэл байдаг. Тэдгээрийг найрлагаас нь олж болно, жишээлбэл, "тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх "эсвэл геометрийн объектын алгебрийн тайлбарт гарал үүсэл дээр төвтэй хагас тойрог, дээд хагас хавтгайд байрлах 3 нэгжийн радиус нь тэгшитгэлтэй тохирч байна.

"Иррационал тэгшитгэл" хэсэгт байгаа Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх зарим асуудлын цуглуулгад хувьсагч нь зөвхөн язгуур тэмдэгт бус өөр функцийн тэмдгийн дор, тухайлбал модуль, логарифм гэх мэт даалгавруудыг агуулдаг. . Энд нэг жишээ байна , номноос авсан, гэхдээ энд - цуглуулгаас. Эхний жишээнд х хувьсагч нь логарифмын тэмдгийн доор, логарифм нь мөн язгуур тэмдгийн доор байна, өөрөөр хэлбэл бидэнд иррационал логарифм (эсвэл логарифм иррационал) тэгшитгэл байна. Хоёрдахь жишээнд хувьсагч нь модулийн тэмдгийн доор, модуль нь мөн язгуур тэмдгийн доор байгаа тул бид үүнийг модультай иррационал тэгшитгэл гэж нэрлэх болно.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг үндэслэлгүй гэж үзэх ёстой юу? Сайхан асуулт байна. Язгуурын тэмдгийн дор хувьсагч байгаа мэт боловч "цэвэр хэлбэрээр" биш, нэг буюу хэд хэдэн функцийн тэмдгийн дор байгаа нь эндүүрэл юм. Өөрөөр хэлбэл, дээрх иррационал тэгшитгэлүүдийг бид хэрхэн тодорхойлсонтой зөрчилдөхгүй мэт боловч бусад функцууд байгаа тул тодорхой бус байдал бий. Бидний үзэж байгаагаар бол “хүрз гэж дуудах” гэж фанат байж болохгүй. Практикт "тэгшитгэл" гэж ямар төрөл болохыг заалгүйгээр зүгээр л хэлэхэд хангалттай. Эдгээр бүх нэмэлтүүд нь "иррационал", "логарифм" гэх мэт. Энэ нь ихэвчлэн материалыг танилцуулах, бүлэглэхэд тохиромжтой.

Сүүлийн догол мөр дэх мэдээллийн дагуу 11-р ангийн А.Г.Мордковичийн зохиосон сурах бичигт өгсөн иррационал тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг сонирхож байна.

Тодорхойлолт

ОновчгүйХувьсагч нь радикал тэмдгийн дор эсвэл бутархай зэрэгт нэмэгдэх тэмдгийн дор агуулагдах тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг.

Энд язгуурын тэмдгээр хувьсагчтай тэгшитгэлээс гадна бутархай зэрэгт хүрэх тэмдгээр хувьсагчтай тэгшитгэлийг мөн иррациональ гэж үзнэ. Жишээлбэл, энэ тодорхойлолтын дагуу тэгшитгэлийг иррациональ гэж үздэг. Яагаад гэнэт? Бид иррационал тэгшитгэлийн үндэст аль хэдийн дассан, гэхдээ энд энэ нь үндэс биш, харин зэрэг бөгөөд энэ тэгшитгэлийг иррациональ гэхээсээ илүү, жишээлбэл, хүчний тэгшитгэл гэж нэрлэхийг илүүд үзэх үү? Бүх зүйл энгийн: энэ нь үндэсээр тодорхойлогддог бөгөөд x хувьсагч дээр тодорхойлогддог өгөгдсөн тэгшитгэл(х 2 +2 x≥0 өгөгдсөн) гэж язгуурыг ашиглан дахин бичиж болно , мөн сүүлчийн тэгшитгэл нь язгуур тэмдгийн дор хувьсагчтай танил иррационал тэгшитгэл юм. Тийм ээ, мөн суурь дахь хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд бутархай эрх мэдэлиррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудтай яг адилхан (тэдгээрийг дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно). Тиймээс тэдгээрийг үндэслэлгүй гэж нэрлэж, энэ талаас нь авч үзэх нь тохиромжтой. Гэхдээ өөрсөддөө үнэнч байцгаая: эхлээд бидний өмнө тэгшитгэл байгаа, үгүй , мөн хэл нь дуудлага хийх хүсэлгүй байдаг анхны тэгшитгэлбичлэгт язгуур байхгүйн улмаас учир дутагдалтай. Үүнтэй ижил арга нь нэр томъёоны талаархи маргаантай асуудлаас зайлсхийх боломжийг бидэнд олгодог: тэгшитгэлийг ямар ч тодорхой тайлбаргүйгээр зүгээр л тэгшитгэл гэж нэрлэ.

Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлүүд

Энэ гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар хэлэх нь зүйтэй болов уу хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлүүд. Энэ нэр томъёо нь алгебр, анхан шатны шинжилгээний үндсэн сурах бичигт байдаггүй, харин заримдаа асуудлын ном, сургалтын гарын авлагад байдаг гэж шууд хэлье. Үүнийг нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн гэж үзэх ёсгүй, гэхдээ хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлээр ихэвчлэн юу ойлгогддогийг мэдэх нь гэмтээхгүй. Энэ нь ихэвчлэн хэлбэрийн иррационал тэгшитгэлд өгсөн нэр юм , f(x) ба g(x) нь зарим . Энэ үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг жишээ нь тэгшитгэл эсвэл гэж нэрлэж болно .

"Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэл" гэсэн нэр гарч ирснийг яаж тайлбарлах вэ? Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэдгээрийг анхны хэлбэрт оруулах шаардлагатай болдог болон цаашид ашиглах ямар ч стандарт аргуудшийдлүүд. Энэ хэлбэрийн иррационал тэгшитгэлийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Үндэсний тодорхойлолтоор

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг нь дээр суурилдаг. Үүний тусламжтайгаар хамгийн энгийн хэлбэрийн иррационал тэгшитгэлийг ихэвчлэн шийддэг , f(x) ба g(x) нь зарим юм оновчтой илэрхийллүүд(бид хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг өгсөн). Маягтын иррационал тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийддэг , гэхдээ f(x) ба/эсвэл g(x) нь рационалаас өөр илэрхийлэл юм. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд ийм тэгшитгэлийг бусад аргаар шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг бөгөөд үүнийг дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно.

Материалыг танилцуулахад тохиромжтой байхын тулд бид тэгш язгуур илтгэгчтэй иррационал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлүүдийг салгадаг. , 2·k=2, 4, 6, … , сондгой язгуур илтгэгчтэй тэгшитгэлээс , 2 k+1=3, 5, 7, … Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга барилыг нэн даруй тоймлоё:

Дээрх аргууд нь шууд дагаж мөрддөг Тэгээд .

Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга язгуурын тодорхойлолтоор дараах байдалтай байна:

Үндэсний тодорхойлолтоор баруун талд байгаа тоонуудтай хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг, өөрөөр хэлбэл C нь тодорхой тоо гэсэн хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь хамгийн тохиромжтой. Тэгшитгэлийн баруун талд тоо байгаа бол тэр ч байтугай хамт байна жигд үзүүлэлт root систем рүү орох шаардлагагүй: хэрэв C бол - үгүй сөрөг тоо, тэгвэл тэгш градусын язгуурын тодорхойлолтоор, хэрэв C нь сөрөг тоо бол тэгшитгэлийн язгуур байхгүй гэж шууд дүгнэж болно, учир нь тодорхойлолтоор бол тэгш градусын язгуур юм. сөрөг бус тоо, энэ нь тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирахгүй гэсэн үг юм бодит үнэ цэнэхувьсагч х.

Ердийн жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд шилжье.

Бид энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжих болно. Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе, түүний зүүн талд тэгш градусын үндэс, баруун талд нь эерэг тоо, өөрөөр хэлбэл C нь эерэг хэлбэртэй тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе. тоо. Үндэс тодорхойлох нь өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлээс үндэсгүй энгийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шилжих боломжийг олгодог С 2·k =f(x) .

Баруун талдаа тэгтэй хамгийн энгийн иррациональ тэгшитгэлийг язгуурыг тодорхойлох замаар ижил төстэй аргаар шийддэг.

Зүүн талд нь тэгш хэмийн язгуур, түүний тэмдгийн дор хувьсагч, баруун талд нь сөрөг тоо байдаг иррационал тэгшитгэлүүдийг тусад нь авч үзье. Ийм тэгшитгэлд бодит тооны олонлогийн шийдэл байдаггүй (ойролцоогоор нарийн төвөгтэй үндэсбид тантай уулзсаны дараа ярих болно нийлмэл тоо ). Энэ нь маш ойлгомжтой: тэгш язгуур нь сөрөг бус тоо бөгөөд энэ нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй гэсэн үг юм.

Өмнөх жишээнүүдийн иррационал тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш зэрэглэлийн үндэс, баруун тал нь тоонууд байв. Одоо баруун талдаа хувьсагчтай жишээнүүдийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл бид хэлбэрийн иррационал тэгшитгэлийг шийдэх болно. . Тэдгээрийг шийдэхийн тулд үндсийг нь тодорхойлох замаар системд шилжилт хийдэг , энэ нь анхны тэгшитгэлтэй ижил багц шийдэлтэй.

Энэ нь систем гэдгийг санаж байх ёстой , шийдэлд анхны иррационал тэгшитгэлийн шийдийг багасгасан , механик аргаар биш харин боломжтой бол оновчтой шийдэхийг зөвлөж байна. Энэ нь сэдвээс илүү асуулт болох нь тодорхой байна " системийн шийдэлГэсэн хэдий ч бид байнга тулгардаг гурван нөхцөл байдлыг жишээгээр жагсаав.

Жишээлбэл, хэрэв түүний эхний g 2 k (x) = f (x) тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол g(x)≥0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх утгагүй, учир нь тэгшитгэлийн шийдэл байхгүйгээс дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно. системд ямар ч шийдэл байхгүй гэдгийг .

Үүний нэгэн адил хэрэв g(x)≥0 тэгш бус байдал шийдэлгүй бол g 2·k (x)=f(x) тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь үүнгүйгээр ч гэсэн энэ тохиолдолд систем нь тодорхой байна. шийдэл байхгүй.

Ихэнх тохиолдолд g(x)≥0 тэгш бус байдал огт шийдэгдээгүй бөгөөд зөвхөн g 2·k (x)=f(x) тэгшитгэлийн язгуурын аль нь түүнийг хангаж байгааг шалгадаг. Тэгш бус байдлыг хангаж байгаа бүхний олонлог нь системийн шийдэл бөгөөд энэ нь түүнтэй тэнцэх анхны иррационал тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

Үндэсийн тэгш илтгэгчтэй тэгшитгэлийн талаар хангалттай. Маягтын сондгой хүчний үндэс бүхий иррационал тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулах цаг болжээ . Өмнө дурьдсанчлан, тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд бид эквивалент тэгшитгэл рүү шилждэг , үүнийг боломжтой ямар ч аргаар шийдэж болно.

Энэ санааг дүгнэхийн тулд энд дурдъя шийдлүүдийг шалгаж байна. Үндэс тодорхойлох замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь шилжилтийн тэнцүү байдлыг баталгаажуулдаг. Энэ нь олсон шийдлүүдийг шалгах шаардлагагүй гэсэн үг юм. Энэ цэгийг давуу талуудтай холбож болно энэ аргаүндэслэлгүй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, учир нь бусад ихэнх аргуудын хувьд баталгаажуулалт нь шийдлийн зайлшгүй үе шат бөгөөд энэ нь гадны үндэсийг таслах боломжийг олгодог. Гэхдээ олсон шийдлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах нь хэзээ ч илүүдэхгүй гэдгийг санах нь зүйтэй: тооцооллын алдаа гэнэт гарч ирэв.

Мөн баталгаажуулах, шалгах асуудал байгааг бид тэмдэглэж байна гадны үндэсЭнэ нь иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш чухал тул бид энэ зүйлийн дараагийн догол мөрүүдийн аль нэгэнд буцаж очих болно.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгтэй болгох арга

Цаашдын танилцуулгад уншигчид ижил төстэй тэгшитгэл ба үр дагавар тэгшитгэлийн талаархи ойлголттой болсон гэж үздэг.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгтэй болгох арга нь дараах мэдэгдэлд суурилдаг.

Мэдэгдэл

тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш тоо болгон өсгөх байгалийн зэрэгнийлбэр тэгшитгэлийг гаргаж, тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил сондгой байгалийн хүчин чадалд өсгөвөл тэнцүү тэгшитгэл гарна.

Баталгаа

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд үүнийг баталъя. Хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд нотлох зарчим ижил байна.

A(x)=B(x) нь анхны тэгшитгэл, x 0 нь язгуур байна. x 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс учир A(x 0)=B(x 0) – жинхэнэ тоон тэгш байдал. Тоон тэгш байдлын энэ шинж чанарыг бид мэднэ: жинхэнэ тоон тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлэх нь жинхэнэ тоон тэгш байдлыг өгдөг. Нэг гишүүнийг 2·k гишүүнээр үржүүлье, энд k – натурал тоо, A(x 0)=B(x 0) тооны тэгшитгэлийг зөв болго, энэ нь бидэнд зөв тоон тэгшитгэлийг өгөх болно A 2·k (x 0)=B 2·k (x 0) . Үүний үр дүнд үүссэн тэгшитгэл нь x 0 нь тэгшитгэлийн язгуур нь A 2·k (x)=B 2·k (x) гэсэн үг бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлээс хоёр талыг ижил тэгш натурал 2·к хүртэл өсгөх замаар олж авсан тэгшитгэл юм. .

Анхны A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур биш A 2·k (x)=B 2·k (x) тэгшитгэлийн язгуур оршин байх магадлалыг зөвтгөхөд энэ нь дараах байдалтай байна. жишээ хэлэхэд хангалттай. Иррационал тэгшитгэлийг авч үзье , ба тэгшитгэл , аль аль хэсгийг нь дөрвөлжин эхээс гаргаж авсан. Тэг нь тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг шалгахад хялбар байдаг , үнэхээр, , ижил зүйл 4=4 нь жинхэнэ тэгш байдал юм. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн тэг нь тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм , тэгийг орлуулсны дараа бид тэгш байдлыг олж авдаг , энэ нь 2=−2-тэй ижил, энэ нь буруу. Энэ нь хоёр талыг ижил тэгш түвшинд өсгөх замаар анхны тэгшитгэлээс олж авсан тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлээс харь үндэстэй болохыг баталж байна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш байгалийн хүчин чадалд өсгөх нь үр дагавар тэгшитгэлд хүргэдэг нь батлагдсан.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил сондгой байгалийн хүчин чадалд өсгөх нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг батлах хэвээр байна.

Тэгшитгэлийн язгуур бүр нь хоёр талыг дээш өргөх замаар анхны тэгшитгэлээс олж авсан тэгшитгэлийн язгуур болохыг харуулъя. сондгой зэрэг, мөн эсрэгээр, хоёр талыг сондгой зэрэглэлд өсгөх замаар эхээс олж авсан тэгшитгэлийн язгуур бүр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

A(x)=B(x) тэгшитгэлтэй байя. Түүний үндэс нь x 0 байг. Тэгвэл A(x 0)=B(x 0) тоон тэгшитгэл үнэн болно. Жинхэнэ тоон тэгш байдлын шинж чанарыг судлах явцад бид жинхэнэ тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр үржүүлж болохыг олж мэдсэн. Нэр томьёог 2·k+1 гишүүнээр үржүүлснээр k нь натурал тоо, зөв тоон тэгшитгэл A(x 0)=B(x 0) зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 ( x 0) нь x 0 нь A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг. Одоо буцаж. A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) тэгшитгэлийн үндэс нь x 0 байг. Энэ нь A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) тоон тэгшитгэл зөв гэсэн үг. Аливаа бодит тооны сондгой язгуур байдаг ба түүний өвөрмөц байдлаас шалтгаалан тэгш байдал нь бас үнэн байх болно. Энэ нь эргээд таних шинж чанартай холбоотой , хаана нь a аль нь байна бодит тооязгуур болон зэрэглэлийн шинж чанараас гарах , A(x 0)=B(x 0) гэж дахин бичиж болно. Энэ нь x 0 нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.

Иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг сондгой зэрэгт өсгөхөд тэнцүү тэгшитгэл гардаг нь батлагдсан.

Баталгаажсан мэдэгдэл нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бидэнд мэдэгдэж байсан арсеналыг тэгшитгэлийн өөр нэг хувиргалтаар дүүргэдэг - тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүч болгон өсгөдөг. Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил сондгой зэрэгт өсгөх нь үр дагавар тэгшитгэл рүү хөтөлдөг хувиргалт бөгөөд тэгш түвшинд өсгөх нь эквивалент хувиргалт. Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэг зэрэгт хүргэх арга нь энэхүү хувиргалт дээр суурилдаг.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүчин чадалд өсгөх нь голчлон иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг. тодорхой тохиолдолЭнэхүү өөрчлөлт нь үндэсийн шинж тэмдгүүдээс салах боломжийг танд олгоно. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн хоёр талыг өсгөх n-ийн зэрэглэлд тэгшитгэлийг өгнө , дараа нь f(x)=g n (x) тэгшитгэл болгон хувиргаж болох бөгөөд энэ нь зүүн талд язгуур агуулаагүй болно. Дээрх жишээг харуулж байна тэгшитгэлийн хоёр талыг нэг зэрэгт хүргэх аргын мөн чанар: тохирох хувиргалтыг ашиглан тэмдэглэгээнд радикал агуулаагүй энгийн тэгшитгэлийг олж, түүний шийдлээр дамжуулан анхны иррационал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Одоо бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүч болгон өсгөх аргын тайлбар руу шууд орж болно. Энэ аргыг ашиглан тэгш язгуур илтгэгчтэй хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмаас эхэлцгээе. , энд k нь натурал тоо, f(x) ба g(x) нь рационал илэрхийлэл юм. Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг сондгой язгуур илтгэгчтэй, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм. , бид үүнийг хэсэг хугацааны дараа өгөх болно. Дараа нь цаашаа явцгаая: тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгт хүргэх аргыг язгуурын тэмдэг, язгуурын хэд хэдэн тэмдэг гэх мэт үндэс агуулсан илүү төвөгтэй иррационал тэгшитгэл болгон өргөжүүлье.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш чадалтай болгох арга:

Дээрх мэдээллээс харахад алгоритмын эхний алхамыг хийсний дараа язгуур нь анхны тэгшитгэлийн бүх язгуурыг агуулсан тэгшитгэлд хүрэх болно, гэхдээ анхны тэгшитгэлээс харь үндэстэй байж болно. Тиймээс алгоритм нь гадны үндэсийг шүүх тухай заалтыг агуулдаг.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өгөгдсөн алгоритмын хэрэглээг жишээн дээр авч үзье.

Хоёр талыг нь квадрат болгох энгийн бөгөөд нэлээд ердийн иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе. квадрат тэгшитгэлүндэсгүй.

Хоёр талыг квадрат болгосноор анхны иррационал тэгшитгэлээс олж авсан тэгшитгэлийн бүх язгуурууд анхны тэгшитгэлээс гадуурх болсон жишээ энд байна. Дүгнэлт: энэ нь үндэсгүй.

Дараагийн жишээ нь арай илүү төвөгтэй юм. Үүний шийдэл нь өмнөх хоёроос ялгаатай нь хоёр хэсгийг дөрвөлжин рүү биш, харин зургаа дахь зэрэгт хүргэхийг шаарддаг бөгөөд энэ нь шугаман эсвэл квадрат тэгшитгэлд хүргэхээ болино. куб тэгшитгэл. Энд шалгах нь түүний гурван үндэс нь анх өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулах болно.

Энд бид цаашаа явах болно. Үндэсээс салахын тулд та иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрөв дэх зэрэгт хүргэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь эргээд дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлд хүргэнэ. Шалгах нь дөрвөн боломжит язгуурын зөвхөн нэг нь иррационал тэгшитгэлийн хүссэн язгуур байх болно, үлдсэн хэсэг нь гаднах байх болно.

Гурав сүүлийн үеийн жишээнүүджишээ юм дараагийн мэдэгдэл: хэрвээ иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш хэмжээнд өсгөхөд үндэстэй тэгшитгэл гарвал дараа нь тэдгээрийг шалгах нь үүнийг харуулж чадна.

эсвэл тэдгээр нь бүгд анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс бөгөөд үндэсгүй,
эсвэл тэдний дунд ямар ч гадны үндэс байхгүй бөгөөд бүгд анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.
эсвэл зарим нь л гадныхан.

Хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг сондгой язгуур илтгэгчтэй, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх цаг болжээ. . Харгалзах алгоритмаа бичье.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил сондгой зэрэгт өсгөх арга:

Иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил сондгой чадал 2·k+1 хүртэл өсгөсөн.
Үүссэн тэгшитгэл шийдэгдэнэ. Үүний шийдэл нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Анхаарна уу: дээрх алгоритм нь тэгш язгуур экспонент бүхий хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмаас ялгаатай нь гаднах үндсийг арилгах тухай заалт агуулаагүй болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг сондгой хэмжээнд өсгөх нь тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалт бөгөөд энэ нь ийм хувиргалт нь гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэггүй тул тэдгээрийг шүүх шаардлагагүй болно гэсэн үг юм.

Тиймээс хоёр талыг ижил сондгой зэрэгт өсгөх замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь гадны хүмүүсийг арилгахгүйгээр хийгдэж болно. Үүний зэрэгцээ, хүчийг жигд болгоход баталгаажуулалт шаардлагатай гэдгийг бүү мартаарай.

Энэ баримтыг мэдсэнээр иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гадны үндэсийг шигшихээс хууль ёсны дагуу зайлсхийх боломжтой. . Ялангуяа дотор энэ тохиолдолдбаталгаажуулалт нь "тааламжгүй" тооцоог агуулдаг. Ямар ч байсан гадны үндэс байхгүй болно, учир нь энэ нь хачирхалтай хүч, тухайлбал шоо болгон өргөгдсөн бөгөөд энэ нь түүнтэй адил өөрчлөлт юм. Шалгалтыг хийж болох нь ойлгомжтой, гэхдээ олсон шийдлийн зөв эсэхийг цаашид шалгахын тулд өөрийгөө хянах зорилгоор хийх боломжтой.

Завсрын үр дүнг нэгтгэж үзье. Энэ үед бид нэгдүгээрт, бидэнд мэдэгдэж байсан шийдлүүдийн арсеналыг өргөжүүлсэн өөр өөр тэгшитгэлүүдтэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч болгон өсгөхөөс бүрдсэн өөр нэг хувиргалт. Нэг жигд хүч чадалтай болвол энэ хувиргалт нь тэгш бус байж болох тул үүнийг ашиглахдаа гадны үндэсийг шүүж шалгах шаардлагатай. Хачирхалтай хүч хүртэл өсгөсөн тохиолдолд заасан хувиргалт нь тэнцүү бөгөөд гадны үндэсийг шүүх шаардлагагүй болно. Хоёрдугаарт, бид энэ хувиргалтыг хэлбэрийн хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж сурсан , энд n нь язгуур илтгэгч, f(x) ба g(x) нь рационал илэрхийлэл юм.

Одоо тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч болгон өсгөх талаар ерөнхий өнцгөөс харах цаг болжээ. Энэ нь түүн дээр үндэслэсэн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг хамгийн энгийн иррационал тэгшитгэлээс илүү төвөгтэй хэлбэрийн иррационал тэгшитгэл хүртэл өргөжүүлэх боломжийг бидэнд олгоно. Үүнийг хийцгээе.

Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгт өсгөх замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан зүйлийг ашигладаг. ерөнхий хандлага: анхны тэгшитгэлийг зарим хувиргалтаар дамжуулан илүү энгийн тэгшитгэл болгон хувиргах, бүр илүү энгийн тэгшитгэл болгон хувиргах гэх мэт бидний шийдэж чадах тэгшитгэл хүртэл өөрчлөгддөг. Хэрэв ийм хувиргалтын гинжин хэлхээнд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөх гэж байгаа бол тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөх ижил аргыг баримталж байна гэж хэлж болно. Үлдсэн зүйл бол тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөх замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд яг ямар хувиргалт, ямар дарааллаар хийх шаардлагатайг олж мэдэх явдал юм.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгтэй болгох замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий аргыг энд үзүүлэв.

Нэгдүгээрт, бид анхны иррационал тэгшитгэлээс илүү том тэгшитгэл рүү шилжих хэрэгтэй энгийн тэгшитгэл, үүнд ихэвчлэн дараах гурван үйлдлийг циклээр хийснээр хүрч болно.
- Радикал тусгаарлах (эсвэл үүнтэй төстэй аргууд, жишээлбэл, радикалуудын бүтээгдэхүүнийг тусгаарлах, тоологч ба/эсвэл хуваагч нь язгуур байдаг бутархайг тусгаарлах нь тэгшитгэлийн хоёр талыг дараа нь хүчирхэг болгон өсгөх боломжийг олгодог. үндсээс нь салах).
- Тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах.
Хоёрдугаарт, та үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
Эцэст нь, хэрэв шийдлийн явцад үр дүнд хүрсэн тэгшитгэл рүү шилжсэн бол (ялангуяа тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгшитгэсэн бол) гадны үндэсийг арилгах шаардлагатай.

Олж авсан мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлцгээе.

Радикалын ганцаардал нь иррационал тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулдаг жишээг шийдье, үүний дараа хоёр талыг квадрат болгож, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, гаднах үндсийг чек ашиглан арилгахад л үлддэг.

Дараах иррационал тэгшитгэлийг хуваагч дахь радикал бүхий бутархайг тусгаарлах замаар шийдэж болох бөгөөд тэгшитгэлийн хоёр талыг дараа нь квадрат болгох замаар арилгаж болно. Тэгээд бүх зүйл энгийн: үр дүн нь шийдэгдсэн бутархай рационал тэгшитгэлмөн хариуд гадны үндэс ороогүй эсэхийг шалгана.

Ердийн зүйл бол хоёр үндэс агуулсан иррационал тэгшитгэл юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч болгон өсгөх замаар амжилттай шийддэг. Хэрэв үндэс нь байгаа бол ижил зэрэгтэй, мөн тэдгээрээс гадна өөр нэр томъёо байхгүй тул радикалуудаас ангижрахын тулд дараах жишээн дээрх шиг радикалыг тусгаарлаж, экспоненциалыг нэг удаа хийхэд хангалттай.

Энд бас хоёр үндэс байдаг жишээ байна, тэднээс гадна нэр томъёо байдаггүй, гэхдээ язгуурын зэрэг нь өөр өөр байдаг. Энэ тохиолдолд радикалыг тусгаарласны дараа тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр радикалыг нэг дор арилгах чадалтай болгохыг зөвлөж байна. Ийм зэрэг нь жишээлбэл, үндэсийн үзүүлэлт болдог. Манай тохиолдолд язгуурын зэрэг нь 2 ба 3, LCM(2, 3) = 6, тиймээс бид хоёр талыг зургаа дахь зэрэглэлд өргөх болно. Бид бас стандарт замаар ажиллах боломжтой гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ энэ тохиолдолд бид хоёр хэсгийг хоёр удаа хүч чадалд шилжүүлэх шаардлагатай болно: эхлээд хоёр дахь, дараа нь гурав дахь. Бид хоёр шийдлийг харуулах болно.

Илүү их хүнд хэцүү тохиолдлууд, тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөх замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ та үүнийг хоёр удаа, бага давтамжтайгаар - гурван удаа, бүр бага зэрэг өсгөх хэрэгтэй. илүү их тоонэг удаа. Хэлсэн зүйлийг харуулсан эхний иррационал тэгшитгэл нь хоёр радикал, өөр нэг гишүүнийг агуулдаг.

Дараах иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр дараалсан экспонентацийг хийх шаардлагатай. Хэрэв та радикалуудыг тусгаарлахаа мартаагүй бол түүний тэмдэглэгээнд байгаа гурван радикалыг арилгахын тулд хоёр экспоненциац хийхэд хангалттай.

Иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөх арга нь үндэс дор өөр язгуур байдаг иррационал тэгшитгэлийг даван туулах боломжийг олгодог. Энгийн жишээний шийдэл энд байна.

Эцэст нь, дүн шинжилгээ хийхээс өмнө дараах аргуудИррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг нэг зэрэгт өсгөх нь цаашдын хувиргалтуудын үр дүнд дараах тэгшитгэлийг гаргаж чадна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Хязгааргүй олон үндэстэй тэгшитгэлийг жишээ нь иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар олж авна. ба үүссэн тэгшитгэлийн хэлбэрийг дараа нь хялбарчлах. Үүний зэрэгцээ, дагуу тодорхой шалтгааны улмаасбид орлуулах шалгалт хийх боломжгүй байна. Ийм тохиолдолд та бидний ярих бусад баталгаажуулах аргуудыг ашиглах эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч болгон өсгөх аргыг орхиж, өөр шийдлийн аргыг, жишээлбэл, аргыг сонгох хэрэгтэй. гэж таамаглаж байна.

Бид хамгийн ердийн иррационал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тэгшитгэлийн хоёр талыг нэг зэрэгт өсгөх замаар шалгасан. Судалсан ерөнхий арга нь хэрэв энэ шийдлийн арга нь тэдэнд тохиромжтой бол бусад иррационал тэгшитгэлийг даван туулах боломжийг олгодог.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга

Хэзээ шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг харахад хялбар хэвээр байна вэ? Хэрэв тэгшитгэл нь "урвуу" бутархайг агуулж байвал (таны зөвшөөрлөөр бид тэдгээрийг аналогиар харилцан урвуу гэж нэрлэх болно). Ийм бутархайтай рационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бид эдгээр бутархайн аль нэгийг t шинэ хувьсагч болгон авч байхад нөгөө хэсэг нь шинэ хувьсагчаар 1/t гэж илэрхийлэгдэх болно. Иррационал тэгшитгэлийн хувьд шинэ хувьсагчийг ийм байдлаар оруулах нь тийм ч практик биш юм, учир нь үндсийг нь цаашид арилгахын тулд та өөр хувьсагчийг нэвтрүүлэх шаардлагатай болно. Бутархайн үндсийг нэн даруй шинэ хувьсагч болгон хүлээн авах нь дээр. За, тэгвэл тэгшитгэлийн аль нэгийг ашиглан анхны тэгшитгэлийг хувирга Тэгээд , энэ нь танд шинэ хувьсагчтай тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгоно. Нэг жишээ авч үзье.

Аль хэдийнээ мартаж болохгүй мэдэгдэж байгаа хувилбаруудсолих Жишээлбэл, x+1/x, x 2 +1/x 2 илэрхийллүүд иррационал тэгшитгэлийн бичлэгт гарч ирж болох бөгөөд энэ нь x+1/x=t шинэ хувьсагчийг оруулах боломжийн талаар бодоход хүргэдэг. Энэ бодол санамсаргүй байдлаар үүсдэггүй, учир нь бид үүнийг шийдэхдээ аль хэдийн үүнийг хийсэн харилцан тэгшитгэл. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх энэ аргыг бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан бусад аргуудын нэгэн адил иррационал тэгшитгэл, түүнчлэн бусад төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ санаж байх хэрэгтэй.

Бид шинийг нэвтрүүлэхэд тохиромжтой илүү төвөгтэй иррационал тэгшитгэл рүү шилждэг хувьсах илэрхийлэлхарахад илүү хэцүү. Радикал илэрхийллүүд нь ижил байх тэгшитгэлээс эхэлье, гэхдээ дээр дурдсан тохиолдлоос ялгаатай нь, илүү өндөр хувьнэг үндэс нь нөгөө язгуурын жижиг индексээр бүхэлдээ хуваагддаггүй. Ийм тохиолдолд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхийн тулд зөв илэрхийллийг хэрхэн сонгохыг олж мэдье.

Радикал илэрхийллүүд ижил бөгөөд нэг язгуурын том илтгэгч k 1 нь нөгөө язгуурын бага илтгэгчид k 2 бүрэн хуваагдаагүй тохиолдолд LCM зэрэглэлийн язгуурыг (k 1 , k 2) авч болно. шинэ хувьсагч, LCM нь . Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийн үндэс нь 2 ба 3-тай тэнцүү, гурав нь хоёрын үржвэр биш, LCM(3, 2)=6 тул шинэ хувьсагчийг дараах байдлаар оруулж болно. . Цаашилбал, язгуурын тодорхойлолт, мөн язгуурын шинж чанарууд нь илэрхийлэлийг тодорхой сонгохын тулд анхны тэгшитгэлийг хувиргаж, дараа нь шинэ хувьсагчаар солих боломжийг олгодог. Бид бүрэн эхээр нь толилуулж байна нарийвчилсан шийдэлэнэ тэгшитгэл.

Үүнтэй төстэй зарчмуудыг ашиглан язгуурын доорх илэрхийлэл нь градусаар ялгаатай тохиолдолд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлдэг. Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлд хувьсагч нь зөвхөн язгуурын дор агуулагдаж, язгуурууд нь өөрөө ба хэлбэртэй байвал LCM(3, 4) = 12 язгуурын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолж, авах хэрэгтэй. Түүгээр ч барахгүй үндэс, хүч чадлын шинж чанарын дагуу үндэс нь өөрчлөгддөг Тэгээд үүний дагуу шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг танд олгоно.

Янз бүрийн илтгэгчтэй язгуурууд нь харилцан хамааралтай иррационал тэгшитгэлд та ижил төстэй байдлаар ажиллаж болно. харилцан бутархайМөн . Өөрөөр хэлбэл, язгуур үзүүлэлтүүдийн LCM-тэй тэнцүү үзүүлэлттэй үндэсийг шинэ хувьсагч болгон авахыг зөвлөж байна. За тэгвэл тэгшитгэл хийх боломжийг олгодог шинэ хувьсагчтай тэгшитгэл рүү шилжинэ Тэгээд , язгуурын тодорхойлолт, мөн үндэс ба хүчний шинж чанарууд. Нэг жишээ авч үзье.

Одоо шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг зөвхөн сэжиглэж болох бөгөөд хэрэв амжилттай болвол нэлээд ноцтой өөрчлөлтүүдийн дараа нээгддэг тэгшитгэлийн талаар ярилцъя. Жишээлбэл, тодорхой бус хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа л иррационал тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулдаг бөгөөд энэ нь орлуулах замыг нээж өгдөг. . Энэ жишээний шийдлийг өгье.

Эцэст нь жаахан чамин үзэмжийг нэмье. Заримдаа иррационал тэгшитгэлийг нэгээс олон хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ийм аргыг сурах бичигт санал болгосон. Иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тэнд хоёр хувьсагч оруулахыг санал болгож байна . Сурах бичиг өгдөг богино шийдэл, мөн дэлгэрэнгүй мэдээллийг сэргээцгээе.

Үржүүлгийн аргыг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргаас гадна өөр аргуудыг ашигладаг. ерөнхий аргууд, ялангуяа хүчин зүйлчлэлийн арга. Өмнөх өгүүлбэрт заасан холбоос дээрх нийтлэлд хүчин зүйлчлэлийн аргыг хэзээ ашигладаг, түүний мөн чанар юу болох, юунд үндэслэсэн талаар дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Энд бид аргыг өөрөө бус харин иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглахыг илүү сонирхож байна. Тиймээс бид материалыг дараах байдлаар танилцуулах болно: бид аргын үндсэн заалтуудыг товч дурсаж, дараа нь хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглан шинж чанарын иррационал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Үржүүлгийн аргыг зүүн тал нь тодорхой бүтээгдэхүүн агуулсан, баруун тал нь тэг агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0, f 1, f 2, …, f n нь зарим функц юм. Аргын мөн чанар нь тэгшитгэлийг орлуулах явдал юм f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0анхны тэгшитгэлийн хувьд x хувьсагч дээр.

Нийтлэлд шилжих тухай сүүлчийн өгүүлбэрийн эхний хэсэг нь сайн мэддэг зүйлээс гардаг бага сургуульбаримт: хэд хэдэн тооны үржвэр нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд зөвхөн эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. ODZ-ийн тухай хоёр дахь хэсэг байгаа нь тэгшитгэлээс шилжсэнтэй холбон тайлбарлаж байна f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0тэгшитгэлийн багц руу f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0тэгш бус байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд ODZ-ийг харгалзан үзээд арилгах боломжтой гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэг. Тохиромжтой бол гадны үндсийг илрүүлэх ажлыг зөвхөн ODZ-ээр бус бусад аргаар, жишээлбэл, олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0хүчин зүйлчлэл, түүний дотор үндэслэлгүй аргыг ашиглах нь зайлшгүй шаардлагатай

Тэгшитгэлийн багц руу оч f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
Зохиосон багцыг шийдэх,
Хэрэв шийдлийн багц байхгүй бол анхны тэгшитгэл нь үндэсгүй гэж дүгнэ. Хэрэв үндэс байгаа бол гадны үндсийг хогийн ургамлаар арилгана.

Практик хэсэг рүү шилжье.

Үржүүлгийн аргаар шийдэгддэг ердийн иррационал тэгшитгэлийн зүүн тал нь хэд хэдэн алгебрийн илэрхийлэл, ихэвчлэн шугаман хоёр болон квадрат гурвалжин, хэд хэдэн язгуурын үржвэрүүд юм. алгебрийн илэрхийллүүдтэдний доор. Баруун талд нь тэг байна. Ийм тэгшитгэл нь тэдгээрийг шийдвэрлэх анхны ур чадварыг олж авахад тохиромжтой. Бид ижил төстэй тэгшитгэлийг шийдэж эхэлнэ. Ингэхдээ бид хоёр зорилгод хүрэхийг хичээх болно.

иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хүчин зүйлчлэлийн аргын алгоритмын бүх үе шатыг авч үзэх,
Гадны үндсийг ялгах гурван үндсэн аргыг эргэн санацгаая (ODZ, ODZ нөхцөлөөр, шийдлийг анхны тэгшитгэлд шууд орлуулах).

Дараахь иррационал тэгшитгэл нь үүнийг хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглан шийдвэрлэхдээ ODZ хэлбэрийн дагуу бус харин ODZ-ийн нөхцлийн дагуу гадны үндсийг шүүх нь тохиромжтой байдаг гэсэн утгаараа ердийн зүйл юм. дугаар тогтоосон, учир нь ODZ-ийг тоон үржүүлэгч хэлбэрээр авахад хэцүү байдаг. Хэцүү тал нь DL-ийг тодорхойлох нөхцлүүдийн нэг юм үндэслэлгүй тэгш бус байдал . Гадны үндсийг шигших ийм арга нь үүнийг шийдэхгүйгээр хийх боломжийг олгодог, үүнээс гадна заримдаа дотор нь сургуулийн курсМатематикчид ерөнхийдөө иррационал тэгш бус байдлын асуудлыг сайн мэддэггүй.

Тэгшитгэлийн зүүн талд бүтээгдэхүүн, баруун талд тэг байвал сайн. Энэ тохиолдолд та нэн даруй тэгшитгэлийн багц руу очиж, түүнийг шийдэж, анхны тэгшитгэлээс гадуурх үндсийг олж, хаяж болно, энэ нь хүссэн шийдлийг өгөх болно. Гэхдээ ихэнхдээ тэгшитгэл нь өөр хэлбэртэй байдаг. Хэрэв үүнтэй зэрэгцэн тэдгээрийг хүчин зүйлчлэлийн аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэр болгон хувиргах боломж байгаа бол яагаад тохирох хувиргалтыг хийхийг оролдож болохгүй гэж. Жишээлбэл, дараах иррационал тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүтээгдэхүүнийг олж авахын тулд квадратуудын зөрүүг ашиглахад хангалттай.

Ихэвчлэн хүчин зүйлчлэлээр шийдэгддэг өөр нэг ангиллын тэгшитгэл байдаг. Үүнд хувьсагчтай илэрхийлэл хэлбэрээр ижил хүчин зүйлтэй бүтээгдэхүүнүүдийн хоёр тал нь тэгшитгэл орно. Энэ бол жишээлбэл, иррационал тэгшитгэл юм . Та тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүчин зүйлээр хувааж болно, гэхдээ та эдгээр илэрхийлэл алга болох утгыг тусад нь шалгахаа мартаж болохгүй, эс тэгвээс тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах нь шийдлээ алдаж магадгүй юм. тэгш бус өөрчлөлт байж болно. Үржүүлгийн аргыг ашиглах нь илүү найдвартай бөгөөд энэ нь цаашдын зөв шийдэлд үндэс нь алга болохгүйг баталгаажуулах боломжийг олгодог. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийн зүүн талд бүтээгдэхүүн, баруун талд нь тэг байх ёстой нь тодорхой байна. Энэ нь амархан: зүгээр л илэрхийлэлийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг нь сольж аваад гарга нийтлэг үржүүлэгчхаалтнаас гарсан. Бид танд үзүүлэх болно бүрэн шийдэлижил төстэй боловч арай илүү төвөгтэй иррационал тэгшитгэл.

ODZ-ийг олох замаар аливаа тэгшитгэлийг (үнэхээр бусад олон асуудлыг шийдэхийн адил) шийдэж эхлэх нь ашигтай байдаг, ялангуяа ODZ-ийг олоход хялбар байдаг. Үүнийг дэмжсэн хамгийн тодорхой аргументуудыг өгье.

Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэх даалгаврыг хүлээн авсны дараа та эргэж харалгүйгээр хувиргах, тооцоололд яарах хэрэггүй, магадгүй зүгээр л ODZ-ийг хараарай? Үүнийг дараах иррационал тэгшитгэл тодорхой харуулж байна.

Функциональ график арга

График арга

Өсөх, буурах функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах

Бид аль хэдийн тэмдэглэснээр, график аргаИррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын илэрхийлэл нь харгалзах функцын графикийг байгуулахад амаргүй тул нэлээд төвөгтэй тохиолдолд тохиромжгүй байдаг. Гэхдээ ихэвчлэн графикийн оронд функцүүдийн шинж чанарыг дурдаж болно. Тэгшитгэлийн хэсгүүдэд тохирох функцүүдийн монотон байдлыг ашигладаг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга байдаг. Ялангуяа энэ арга нь иррационал тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг олгодог. Энэ нь дараахь мэдэгдэлд үндэслэсэн болно.

Мэдэгдэл

хэрэв X олонлог дээр f функц тодорхойлогдсон бөгөөд хатуу монотон (өсөх эсвэл буурах) байвал тэгшитгэл f(x)=C, C нь тодорхой тоо, нэг язгууртай эсвэл заасан олонлог дээр үндэсгүй байна.

Дараахь мэдэгдэл нь үүнтэй холбоотой юм.

Мэдэгдэл

хэрэв f ба g функцууд X олонлог дээр тодорхойлогдвол тэдгээрийн нэг нь нэмэгдэж нөгөө нь буурч байвал f(x)=g(x) тэгшитгэл нь нэг язгууртай эсвэл X олонлог дээр үндэсгүй байна.

Эдгээр мэдэгдлүүд нь тэгшитгэлийн нэг язгуурыг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлох боломжтой үед ихэвчлэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг бөгөөд харгалзах функцүүдийн өсөлт, бууралтыг батлах боломжтой байдаг.

Тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд ердийн тохиолдолд энэ нь ойлгомжтой эсвэл таахад хялбар байдаг. Ихэвчлэн иррационал тэгшитгэлийн үндэс нь ODZ-ийн зарим тоо байдаг бөгөөд үүнийг үндэс дор анхны тэгшитгэлд орлуулахдаа бид үндсийг нь амархан гаргаж авах боломжтой тоог олж авдаг.

Өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн нотолгооны хувьд энэ нь ихэвчлэн үндсэн шинж чанарт тулгуурлан хийгддэг үндсэн функцуудба алдартай нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн шинж чанарууд(Өсөн нэмэгдэж буй функцийн үндэс нь нэмэгдэж буй функц гэх мэт), эсвэл илүү төвөгтэй тохиолдолд уламжлалыг нотлоход ашигладаг.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эдгээр цэгүүдийг харцгаая.

Ердийн иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе: түүний аль нэг хэсэгт харгалзах функцийн өсөлт нотлогдож, тэгшитгэлийн нөгөө хэсэгт харгалзах функц буурч байгаа нь нотлогдож, хувьсагчийн ODZ-аас үндэс сонгогдоно. Энэ тохиолдолд өвөрмөц байх тэгшитгэлийн хувьд.

Дараах иррационал тэгшитгэлийг мөн функциональ-график аргыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай. Өмнөх жишээний адил тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хялбар боловч энд нэг функцийн өсөлт, өөр функцийн бууралтыг дериватив ашиглан нотлох шаардлагатай.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах асуудлыг нэгтгэн дүгнэж үзье.

Хэрэв тэгшитгэлийн язгуур харагдаж байвал тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд тохирох функцуудыг нэмэгдүүлэх, багасгахыг оролдож болно. Магадгүй энэ нь олсон язгуурын өвөрмөц байдлыг батлах боломжийг бидэнд олгоно.
Хэрэв f ба g функцүүдийн аль нэг нь буурч, нөгөө нь нэмэгдэж байгаа нь тодорхой бол та тэгшитгэлийн цорын ганц боломжит язгуурыг олохыг хичээх хэрэгтэй. Хэрэв бид энэ үндсийг олж чадвал тэгшитгэл шийдэгдэх болно.

Үнэлгээний арга

Эцэст нь бид функцуудын хязгаарлагдмал байдлыг ашиглахад үндэслэсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функциональ-график аргын гурван үндсэн сортын сүүлчийнх нь юм. Энэ төрлийн функциональ-график аргыг үнэлгээний арга гэж нэрлэе.

Тооцооллын аргыг ихэвчлэн f(x)=C хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд f(x) нь x хувьсагчтай зарим илэрхийлэл (мөн f нь харгалзах функц), C нь зарим тоо эсвэл g(x) хэлбэр юм. )=h(x) , энд g(x) ба h(x) нь x хувьсагчтай зарим илэрхийлэл (мөн g ба h холбогдох функцууд). g(x)=h(x) тэгшитгэлийг үргэлж f(x)=C хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл болгон бууруулж болно гэдгийг анхаарна уу (ялангуяа h(x) илэрхийллийг баруун талаас зүүн тал руу шилжүүлснээр). эсрэг тэмдэг), өөрөөр хэлбэл бид зөвхөн f(x)=C хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд үнэлгээний аргыг авч үзэхээр хязгаарлаж болно. Гэсэн хэдий ч заримдаа g(x)=h(x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүдтэй ажиллах нь маш тохиромжтой байдаг тул бид тэдгээрийг авч үзэхээс татгалзахгүй.

Тооцооллын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шаттайгаар явагдана. Эхний үе шат нь f(x)=C тэгшитгэлийг шийдсэн бол f функцийн утгуудыг (эсвэл харгалзах f(x) илэрхийлэл нь үндсэндээ ижил зүйл) үнэлэх, эсвэл утгыг тооцоолох явдал юм. g(x)=h(x) тэгшитгэл шийдэгдсэн бол g ба h функцууд (эсвэл харгалзах f(x ) ба g(x) илэрхийллүүд). Хоёрдахь шат бол тэгшитгэлийн үндсийг цаашид хайх эсвэл байхгүйг зөвтгөхөд олж авсан тооцооллыг ашиглах явдал юм. Эдгээр зүйлийг тодруулъя.

Функцийн утгыг хэрхэн үнэлдэг вэ? Энэ асуултын талаар дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Энд бид тооцооллын аргыг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хамгийн их хэрэглэгддэг үнэлгээний аргуудыг жагсаах замаар хязгаарлагдах болно. Үнэлгээний аргуудын жагсаалтыг энд оруулав.

Тэгш илтгэгчтэй язгуурын тодорхойлолтод үндэслэсэн үнэлгээ. Тодорхойлолтоор тэгш илтгэгчтэй язгуур нь сөрөг бус тоо тул n нь натурал тоо, p(x) нь зарим илэрхийлэл, ODZ-ийн дурын х-ийн хувьд тэгш бус байдал хүчинтэй, мөн зөвхөн хэрэв p(x)= 0 бол.
Үнэлгээг үндэслэнэ дараах өмчүндэс: а ба b, а сөрөг бус тоонуудын хувьд , ≥ ), тэгш бус байдал (≤ , > , ≥ ) хангагдсан байна. Хэрэв ОД-ийн аль нэг x-ийн хувьд илэрхийлэлд p(x) тэгш бус байдал хангагдана , ≥ ), энд c нь сөрөг бус тоо, тэгвэл ODZ-ийн дурын x-ийн хувьд тэгш бус байдал (≤ , > , ≥ ) үнэн болно.

Тэгш илтгэгчтэй дурын тооны зэрэглэл нь сөрөг бус тоо байдаг гэсэн үндэслэлд үндэслэсэн тооцоо. ODZ-ийн дурын х-ийн хувьд p 2·n (x) илэрхийллийн хувьд p 2·n (x)≥0 тэгш бус байдал үнэн бөгөөд зөвхөн p(x)= тохиолдолд p 2·n (x)=0 байна. 0.

Үнэ цэнийн тооцоо квадрат гурвалжин. Тооцоолохын тулд та параболын оройн ординатыг ашиглаж болно, хэзээ сөрөг ялгаварлагч- тэг.
Хэрэв a>0 бол a x 2 +b x+c≥y 0, энд у 0 нь параболын оройн ординат, хэрэв a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .

Хэрэв a>0 ба дискриминант D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0, хэрэв a<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .

Тоон тэгш бус байдлын шинж чанарт суурилсан тооцоо.

Дериватив ашиглан олсон функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тооцоолох. Хэрэв А нь X олонлог дээрх p функцийн хамгийн бага утга бол p(x)≥A тэгш бус байдал X дээр үнэн болно. Хэрэв B нь X олонлог дээрх p функцийн хамгийн том утга бол p(x)≤B тэгш бус байдал X дээр биелнэ.

Бид эхний үе шатыг дуусгасан, өөрөөр хэлбэл функцүүдийн утгыг тооцоолсон гэж үзье. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд олж авсан тооцооллыг цаашид хэрхэн ашиглах талаар логик асуулт гарч ирнэ. Дараа нь та дараах мэдэгдлүүдийн аль нэгэнд хандах хэрэгтэй.

Хоёрдахь өгүүлбэрийн заалтууд нь ижил утгатай жинхэнэ тоон тэгш бус байдлыг нэмэх, үржүүлэх шинж чанаруудаас үүдэлтэй.

Хэрэв та f функцийн график болон y=C шулуун шугамын харьцангуй байрлалыг, харин g ба функцүүдийн графикуудын харьцангуй байрлалыг төсөөлвөл үлдсэн блокуудын байрлалыг төсөөлвөл эхний блок байрлал тодорхой болно. h.

Эхний мэдэгдлийн блокийг харцгаая. f функцийн график нь y=A шулууны доор эсвэл дээгүүр биш байх үед y=C шулуунаас доогуур байвал y=C шулуунтай огтлолцохгүй нь тодорхой бөгөөд энэ нь байхгүй гэсэн үг юм. f(x)=C тэгшитгэлийн үндэс. f функцийн график нь y=B шулуунаас өндөр эсвэл багагүй байх үед y=C шулуунаас өндөр байвал y=C шулуунтай огтлолцохгүй нь тодорхой байна. f(x)=C тэгшитгэлийн үндэс байхгүй гэсэн үг. f функцийн график нь y=C шулууны доор эсвэл дээр байвал энэ шулуунтай огтлолцохгүй нь тодорхой байна.

Одоо гурав дахь блок мэдэгдлийг зөвтгөе. X олонлог дээр g функцийн утгууд нь А тооноос бага эсвэл ихгүй, h функцийн утгууд B тооноос их эсвэл багагүй байна. Энэ нь g функцийн графикийн бүх цэгүүд y=A шулуунаас доогуур эсвэл дээгүүргүй, h функцийн графикийн цэгүүд y=B шулуунаас дээш эсвэл дооргүй байна гэсэн үг. А-д зориулсан X багц дээр байгаа нь тодорхой байна
Дөрөв дэх мэдэгдлийн блок руу шилжье. Энд, эхний тохиолдолд нэг график нь энэ шугамын доор, нөгөө нь энэ шугамын дээр байрладаг. Хоёр дахь тохиолдолд нэг график нь энэ шугамаас дээш биш, нөгөө нь энэ шугамаас дээш байна. Гурав дахь тохиолдолд нэг график нь энэ шугамын доор, нөгөө нь энэ шугамаас доогуур биш байна. Бүх тохиолдолд графикууд нийтлэг цэггүй байх нь тодорхой бөгөөд энэ нь g(x)=h(x) тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Сүүлчийн нөхцөлд нэг функцийн график y=C шулуунаас өндөргүй, нөгөө функцийн график нь энэ шулуунаас багагүй байна. Графикууд зөвхөн энэ шулуун дээр нийтлэг цэгтэй байх нь ойлгомжтой. Энэ нь g(x)=h(x) тэгшитгэлээс системд шилжих шилжилтийг тайлбарладаг.

Та дасгалаа үргэлжлүүлж болно. Тооцооллын аргыг ашиглан шинж чанарын иррационал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье.

Нэгдүгээрт, илэрхийллийн утгыг тооцоолох нарийвчлалын асуудлыг ойлгох нь зүйтэй. Энэ асуулт хаанаас ирснийг тодорхой болгохын тулд үндсэн утгын гурван тооцоог харна уу: эхлээд , хоёрдугаарт, гуравдугаарт, алийг нь илүүд үзэхийг надад хэлээч? За, эхнийхийг нь хаях болно, учир нь энэ нь ихэвчлэн хол зөрүүтэй боловч хоёр, гурав дахь тооцоо нь нэлээд хэрэгжих боломжтой бөгөөд нөхцөл байдлаас шалтгаалан эхнийх нь харьцангуй бүдүүлэг, хоёр дахь нь хоёулаа байж болно. ашигласан. Энэ асуудлыг практик талаас нь авч үзье.

Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэдгийг батлахын тулд ойролцоогоор тооцоолол хийхэд хангалттай. Нарийвчилсан тооцоололтой харьцуулахад бүдүүлэг тооцооллын гол давуу тал нь олж авахад харьцангуй хялбар байдаг. Ойролцоогоор тооцоолол нь бараг тодорхой бөгөөд нэмэлт судалгаа шаарддаггүй, учир нь эдгээр нь сайн мэддэг баримтууд дээр үндэслэсэн байдаг: квадрат язгуур нь сөрөг бус тоо, модуль нь сөрөг бус тоо, тооны квадрат нь сөрөг бус тоо, эерэг харилцан үйлчлэлийн нийлбэр нь хоёроос багагүй, сөрөг тэргүүлэх гишүүн ба сөрөг ялгагчтай квадрат гурвалжны утга сөрөг гэх мэт. Иймд дараах иррационал тэгшитгэлийг үнэлгээний аргаар шийдвэрлэхийн тулд нэг талаас язгуур, нөгөө талаас квадрат гурвалжийг ойролцоогоор тооцоолоход хангалттай.

Функц эсвэл илэрхийлэлийн утгын ойролцоогоор тооцооллыг авах нь үнэн зөвөөс илүү хялбар байдаг. Гэхдээ ихэнхдээ бүдүүлэг тооцоолол нь шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодоггүй, харин илүү нарийвчлалтай тооцоолол нь үүнийг хийх боломжтой болгодог. Ердийн иррационал тэгшитгэлийг шийдье.

Энгийн, гэхдээ маш онцлог шинж чанартай иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе: түүний зүүн талын утгыг тооцоолох нь түүнийг бүрдүүлэгч язгууруудын тооцооноос гарах бөгөөд үр дүнгийн тооцооноос харахад тэгшитгэлийн үндэс байхгүй гэсэн дүгнэлт гарна.

f(x)=C иррационал тэгшитгэлийн зүүн талд харгалзах илэрхийлэл нь хэд хэдэн илэрхийллийн нийлбэр буюу үржвэр бөгөөд түүний утгыг f(x)≤C эсвэл f(x) гэж тооцсон тохиолдолд нөхцөл байдал илүү сонирхолтой болно. ≥C. Ийм тохиолдолд дээр бичсэн мэдэгдлүүд нь анхны иррационал тэгшитгэлээс ижил тэгшитгэлийн систем рүү шилжихийг заадаг. Иррационал тэгшитгэлийн шийдлийг танилцуулъя.

Зүүн талд байгаа нийлбэр эсвэл үржвэртэй f(x) = C иррационал тэгшитгэлээс эквивалент тэгшитгэлийн системд шилжих ур чадвараа бататгацгаая. Үүний тулд бид харьцангуй нийлмэл иррационал тэгшитгэлийг шийдэх болно, түүний зүүн тал нь хоёр иррационал илэрхийллийн нийлбэр, нэг нь хоёр илэрхийллийн үржвэр юм. Шийдлийн зарчим нь адилхан: бид анхны тэгшитгэлээс эквивалент систем рүү шилжих боломжийг олгодог тооцооллыг олж авдаг.

g(x)=h(x) хэлбэрийн иррационал тэгшитгэл рүү шилжье.

Өмнөх жишээнүүд нь илэрхийлэл, функцүүдийн утгыг үнэлэхэд маш энгийн байсан. Үнэлгээний тал дээр илүү нарийвчлан ажиллах цаг болжээ. Тодорхой шалтгааны улмаас бид тооцооллын аргыг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн ашиглах шаардлагатай үнэлгээний аргуудад анхаарлаа хандуулах болно. Дериватив олох шаардлагагүй тооцооллын аргуудаас эхэлье. Тиймээс, дараахь иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та бараг бүх мэдэгдэж буй арга хэрэгслийг ашиглах хэрэгтэй болно: тэгш илтгэгчтэй хүчнүүдийн шинж чанар, язгуур олборлох функцийн монотон шинж чанараас эхлээд тоон тэгшитгэлийн шинж чанарт суурилсан тооцоолол хүртэл.

Өмнөх бүх жишээн дээр бидний ашигласан тооцооллыг олж авах аргууд нь үнэ цэнийг тооцоолох асуудлыг бүрэн хамардаггүй. Өөрөөр хэлбэл функц, илэрхийллийн утгыг тэдгээрийн тусламжтайгаар үнэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ялангуяа шийдэгдэж буй иррационал тэгшитгэлийн х хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь бүх бодит R тоонуудын багцаас өөр байх тохиолдолд авч үзсэн аргууд нь сайн биш юм. Жишээ болгон бид язгуурын тооцоог хоёр тохиолдолд өгдөг: ODZ нь R олонлог байх үед, ODZ нь 3-аас 5 хүртэлх сегмент байх үед. Дээр ашигласан тооцооллын аргууд дээр үндэслэн бид . ODZ нь олонлог R байх тохиолдолд энэ тооцоо маш сайн байна. Гэхдээ ODZ нь сегмент байх тохиолдолд бүртгэгдсэн тооцоо нь харьцангуй бүдүүлэг болж хувирсан бөгөөд үндсийг илүү нарийвчлалтай тооцоолох боломжтой. . Гэхдээ дээр дурдсан аргуудыг ашиглан тооцоолол хийх боломжийг хязгаарладаг нь зөвхөн DL биш юм. Ихэнхдээ эдгээр аргууд нь тооцоолж буй функцийн төрлөөс шалтгаалан функцийн утгыг тооцоолох боломжийг олгодоггүй. Жишээлбэл, бидний ярьж буй үнэлгээний аргууд нь үндэс ба , тэдгээрийн нийлбэрийн утгыг тооцоолох боломжийг олгодог: , , хаанаас ба цааш нь . Гэхдээ эдгээр тооцооллын аргууд нь заасан үндэс хоорондын зөрүүг тооцоолох боломжийг бидэнд олгохоо больсон. Ийм нөхцөлд функцийг судлах, түүний хамгийн том, хамгийн бага утгыг олох, түүгээр дамжуулан функцийн утгыг үнэлэх шаардлагатай болдог. Заримдаа тооцоолол хийх янз бүрийн аргыг хослуулах нь тохиромжтой байдаг. Иррационал тэгшитгэлийн шийдлийг үзүүлье.

Функциональ-график арга, ялангуяа үнэлгээний аргыг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай яриаг дуусгахдаа догол мөрний төгсгөлд өгсөн нэг амлалтыг санацгаая. Бид иррационал тэгшитгэлийг шийдсэн гэдгийг санаарай хоёр шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар нэлээд чамин байдлаар (үүнийг бодох шаардлагатай хэвээр байгаа) бөгөөд тэд илүү стандарт аргыг ашиглан түүний шийдлийг харуулахаа амлав. Энэ тохиолдолд энэ арга нь үнэлгээний арга юм. Тиймээс амлалтаа биелүүлцгээе.

Иррационал тэгшитгэлийг ODZ-ээр шийдвэрлэх

Ихэнхдээ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явцын нэг хэсэг байдаг. ODZ-ийг хайхад хүргэдэг шалтгаанууд нь өөр байж болно: тэгшитгэлийн хувиргалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд тэдгээр нь мэдэгдэж байгаагаар ODZ дээр хийгддэг бөгөөд сонгосон шийдлийн арга нь ODZ-ийг олох, гүйцэтгэх арга юм. ODZ гэх мэтийг ашиглан шалгах. Мөн зарим тохиолдолд ODZ нь туслах буюу хяналтын хэрэгсэл болж зогсохгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжийг олгодог. Энд бид хоёр нөхцөл байдлыг хэлж байна: ODZ нь хоосон олонлог байх ба ODZ нь хязгаарлагдмал тооны олонлог байх үед.

Хэрэв тэгшитгэлийн ODZ, ялангуяа иррациональ нь хоосон олонлог бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байх нь ойлгомжтой. Тэгэхээр дараах иррационал тэгшитгэлийн х хувьсагчийн ODZ нь хоосон олонлог бөгөөд энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Тэгшитгэлийн хувьсагчийн ODZ нь хязгаарлагдмал тооны багц байвал эдгээр тоонуудыг орлуулах замаар дараалан шалгах замаар тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, ODZ нь хоёр тооноос бүрдэх иррационал тэгшитгэлийг авч үзье, орлуулалт нь тэдгээрийн зөвхөн нэг нь тэгшитгэлийн язгуур болохыг харуулж байгаа бөгөөд үүнээс энэ язгуур нь тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл гэж дүгнэсэн.

“Бутархай нь тэгтэй тэнцүү” хэлбэрийн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Тоон тэгшитгэл болгон бууруулсан иррационал тэгшитгэл

Модулиуд руу очно уу

Хэрэв тэгш градусын язгуурын тэмдгийн дор иррационал тэгшитгэлийн тэмдэглэгээнд язгуурын илтгэгчтэй тэнцүү экспонент бүхий зарим илэрхийллийн зэрэг байгаа бол та модуль руу очиж болно. Энэ хувиргалт нь 2·m нь тэгш тоо, а нь дурын бодит тоо гэсэн томъёоны аль нэгний улмаас явагдана. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ ийм хувиргалт хийснээр үндэс нь ижил тэнцүү модулиар солигддог бол ODZ өөрчлөгддөггүй.

Модуль руу шилжих замаар шийдвэрлэх боломжтой иррационал тэгшитгэлийн шинж чанарыг авч үзье.

Боломжтой бол модуль руу шилжих нь үргэлж үнэ цэнэтэй юу? Ихэнх тохиолдолд ийм шилжилтийг зөвтгөдөг. Үл хамаарах зүйл бол иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр аргууд нь харьцангуй бага хөдөлмөр шаарддаг нь тодорхой тохиолдлууд юм. Модуль болон бусад аргууд руу шилжих замаар шийдэж болох иррационал тэгшитгэлийг авч үзье, жишээлбэл, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох эсвэл үндсийг тодорхойлох замаар аль шийдэл нь хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн авсаархан болохыг харцгаая.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр үндсийг тодорхойлох шийдэл нь илүү тохиромжтой харагдаж байна: энэ нь модуль руу шилжих шийдэл, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох шийдлээс хамаагүй богино бөгөөд энгийн юм. Гурван аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхээс өмнө бид үүнийг мэдэж чадах байсан уу? Үнэнийг хэлэхэд энэ нь тодорхойгүй байсан. Тиймээс та хэд хэдэн шийдлийн аргыг судалж байгаа бөгөөд алийг нь илүүд үзэх нь тодорхойгүй байгаа бол тэдгээрийн аль нэгийг нь ашиглан шийдлийг олохыг хичээх хэрэгтэй. Хэрэв энэ нь бүтэж байвал сайн. Хэрэв сонгосон арга нь үр дүнд хүргэхгүй эсвэл шийдэл нь маш хэцүү бол та өөр аргыг туршиж үзэх хэрэгтэй.

Энэ цэгийн төгсгөлд иррационал тэгшитгэл рүү буцъя. Өмнөх догол мөрөнд бид үүнийг аль хэдийн шийдсэн бөгөөд тэгшитгэлийн радикалыг тусгаарлаж, хоёр талыг квадрат болгох замаар шийдвэрлэх оролдлого нь 0=0 тоон тэгшитгэлд хүргэж, язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй болохыг олж харсан. Үндэсийг тодорхойлох шийдэл нь үндэслэлгүй тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх явдал байсан бөгөөд энэ нь өөрөө нэлээд хэцүү байдаг. Энэхүү иррационал тэгшитгэлийг шийдэх сайн арга бол модулиуд руу шилжих явдал юм. Нарийвчилсан шийдлийг өгье.

Иррационал тэгшитгэлийн хувиргалт

Иррационал тэгшитгэлийн шийдэл нь тэдгээрийг хувиргахгүйгээр бараг хэзээ ч бүрэн гүйцэд байдаггүй. Иррационал тэгшитгэлийг судлах үед бид тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг аль хэдийн мэддэг болсон. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг өмнө нь судалж байсан тэгшитгэлийн төрлүүдийг шийдвэрлэхтэй ижил аргаар ашигладаг. Та өмнөх догол мөрөнд иррационал тэгшитгэлийн ийм хувиргалтын жишээг харсан бөгөөд эдгээр нь бидэнд танил тул байгалийн жамаар хүлээн зөвшөөрөгдөж байсныг та харж байна. Дээр дурдсанчлан бид бидний хувьд шинэ өөрчлөлтийн талаар олж мэдсэн - тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч болгон өсгөх нь ерөнхий тохиолдолд энэ нь тэнцүү биш юм; Тэдгээрийг хэрэгжүүлэх явцад гарч ирдэг бүх нарийн ширийн зүйлийг мэдэж, алдаа гаргахгүйн тулд эдгээр бүх өөрчлөлтүүдийн талаар нарийвчлан ярих нь зүйтэй юм.

Бид иррационал тэгшитгэлийн хувиргалтыг дараах дарааллаар шинжлэх болно.

ODZ-ийг өөрчилдөггүй ижил төстэй илэрхийлэлтэй илэрхийлэлүүдийг сольж байна.

Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах.

Тэгшитгэлийн хоёр тал дээр шинж чанарын утгыг өөрчлөхгүйгээр ижил илэрхийллийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас шинж чанарыг өөрчлөхгүйгээр ижил илэрхийллийг хасах.

Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдэгтэй нэр томъёог шилжүүлэх.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр ижил тоогоор үржүүлэх, хуваах.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужийг өөрчилдөггүй бөгөөд тэг болж хувирдаггүй.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил чадалтай болгох.

Тиймээс асуултуудын хүрээг тоймлон харуулав. Тэдгээрийг жишээгээр ойлгож эхэлцгээе.

Бидний сонирхдог анхны хувиргалт бол тэгшитгэл дэх илэрхийлэлүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллүүдээр солих явдал юм. Хувиргасны үр дүнд олж авсан тэгшитгэлийн VA нь анхны тэгшитгэлийн VA-тай ижил байвал энэ нь тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Эндээс харахад энэхүү хувиргалтыг хийх явцад алдаа гарах хоёр үндсэн шалтгаан байгаа нь тодорхой байна: эхнийх нь хувиргасны үр дүнд үүссэн OD-ийн өөрчлөлт, хоёрдугаарт илэрхийллийг илэрхийллээр солих явдал юм. Энэ нь үүнтэй адилхан биш юм. Энэ төрлийн ердийн өөрчлөлтүүдийн жишээг авч үзэхийн тулд эдгээр талыг нарийвчлан, дарааллаар нь авч үзье.

Нэгдүгээрт, илэрхийлэлийг үргэлж тэнцүү байдаг ижил тэнцүү илэрхийллээр солихоос бүрддэг тэгшитгэлийн ердийн хувиргалтыг авч үзье. Энд холбогдох жагсаалт байна.

Нэр томьёо, хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах. Энэ хувиргалтыг иррационал тэгшитгэлийн зүүн болон баруун талд аль алинд нь хийж болно. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлахын тулд ижил төстэй нэр томъёог бүлэглэж, дараа нь багасгахад ашиглаж болно. Нэр томьёо эсвэл хүчин зүйлийг дахин зохион байгуулах нь тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалт юм. Энэ нь ойлгомжтой: анхны илэрхийлэл ба нэр томьёо эсвэл хүчин зүйлийг өөрчилсөн илэрхийлэл нь ижил тэнцүү байна (мэдээжийн хэрэг, дахин зохион байгуулалт зөв хийгдсэн бол), ийм өөрчлөлт нь ODZ-ийг өөрчлөхгүй нь ойлгомжтой. Нэг жишээ хэлье. x·3·x бүтээгдэхүүн дэх иррационал тэгшитгэлийн зүүн талд та эхний болон хоёр дахь хүчин зүйл x ба 3-ыг сольж болох бөгөөд энэ нь дараа нь язгуур тэмдгийн дор олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгоно. Мөн 4+x+5 нийлбэр дэх тэгшитгэлийн баруун талд та 4 ба х нөхцлүүдийг сольж болох бөгөөд энэ нь ирээдүйд 4 ба 5 тоог нэмэх боломжийг олгоно. Эдгээр дахин зохицуулалт хийсний дараа иррационал тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах бөгөөд үр дүнд нь тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү байна.

Хаалтуудыг өргөтгөж байна. Тэгшитгэлийн энэхүү хувиргалттай тэнцэх байдал нь тодорхой байна: хаалт нээхээс өмнөх ба дараа илэрхийлсэн илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү бөгөөд зөвшөөрөгдөх утгын ижил мужтай байна. Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийг авч үзье . Түүний шийдэл нь хаалт нээхийг шаарддаг. Тэгшитгэлийн зүүн талд, мөн тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хаалтуудыг нээвэл бид ижил тэгшитгэлд хүрнэ.

Нэр томьёо ба/эсвэл хүчин зүйлсийг бүлэглэх. Тэгшитгэлийн энэхүү хувиргалт нь үндсэндээ тэгшитгэлийн нэг хэсэг болох аливаа илэрхийллийг бүлэглэсэн нэр томъёо эсвэл хүчин зүйл бүхий ижил тэнцүү илэрхийллээр солихыг илэрхийлдэг. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь ODZ-ийг өөрчлөхгүй. Энэ нь тэгшитгэлийн заасан хувиргалт нь тэнцүү байна гэсэн үг юм. Дүрслэхийн тулд иррационал тэгшитгэлийг авч үзье. Нөхцөлүүдийг дахин цэгцлэх (бид энэ талаар дээр дурдсан хоёр догол мөрөнд ярьсан) болон нэр томьёог бүлэглэх нь бидэнд ижил тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Нэр томъёоны ийм бүлэглэлийн зорилго нь тодорхой харагдаж байна - шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг олгодог дараах ижил төстэй хувиргалтыг хийх.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахын өмнөх, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахын дараах илэрхийллүүд ижил тэнцүү байх нь тодорхой байна. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулснаар VA өөрчлөгдөхгүй нь ойлгомжтой. Иймд тэгшитгэлийн хэсэг болох илэрхийлэлд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авах нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт болно. Энэ хувиргалтыг жишээ нь тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэр болгон илэрхийлэхэд ашиглана. Энд тодорхой жишээ байна. Иррационал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг бүтээгдэхүүнээр илэрхийлж болно, үүнийг хийхийн тулд та нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтаас гаргах хэрэгтэй. Энэхүү хувиргалтын үр дүнд иррационал тэгшитгэлийг олж авна , анхныхтай тэнцэх бөгөөд үүнийг хүчин зүйлчлэлээр шийдэж болно.

Тоон илэрхийллийг утгаараа солих. Хэрэв тэгшитгэл нь тодорхой тоон илэрхийлэл агуулж байгаа бөгөөд бид энэ тоон илэрхийлэлийг түүний утгаар (зөв тооцоолсон) орлуулбал ийм орлуулалт нь тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэл нь ижил тэнцүү илэрхийллээр солигддог бөгөөд үүнтэй зэрэгцэн тэгшитгэлийн ODZ өөрчлөгддөггүй. Тиймээс иррационал тэгшитгэлд орлуулах −3 ба 1 гэсэн хоёр тооны нийлбэр ба энэ нийлбэрийн утга нь −2-тэй тэнцүү бол бид эквивалент иррационал тэгшитгэлийг олж авна. Үүний нэгэн адил иррационал тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг хийж болно , язгуур тэмдгийн доорх тоонуудтай үйлдэл хийх (1+2=3 ба ), энэ хувиргалт нь биднийг ижил тэгшитгэл рүү хөтөлнө .

Иррационал тэгшитгэлийн тэмдэглэгээнд олдсон мономиал ба олон гишүүнттэй үйлдлүүдийг гүйцэтгэх. Эдгээр үйлдлүүдийг зөв хэрэгжүүлэх нь ижил тэгшитгэлд хүргэх нь ойлгомжтой. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь ижил тэнцүү илэрхийллээр солигдох бөгөөд OD өөрчлөгдөхгүй. Жишээлбэл, иррациональ тэгшитгэлд та x 2 ба 3 x 2 мономиалуудыг нэмж, тэнцүү тэгшитгэл рүү очиж болно . Өөр нэг жишээ: Иррационал тэгшитгэлийн зүүн талд олон гишүүнтийг хасах нь эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг эквивалент хувиргалт юм. .

Бид илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солихоос бүрдэх тэгшитгэлийн хувиргалтыг үргэлжлүүлэн авч үздэг. Ийм өөрчлөлтүүд нь ODZ-ийг өөрчлөх боломжтой тул тэгш бус байж болно. Ялангуяа ОДЗ-ын өргөтгөл байж магадгүй юм. Энэ нь ижил төстэй нэр томъёог багасгах, бутархайг багасгах, бүтээгдэхүүнийг хэд хэдэн тэг хүчин зүйлээр эсвэл бутархайг тэгтэй тэнцүү тоологчоор солих, ихэнхдээ үндэсийн шинж чанарт тохирох томъёог ашиглах үед тохиолдож болно. Дашрамд хэлэхэд, үндэсийн шинж чанарыг хайхрамжгүй ашиглах нь ODZ-ийг нарийсгахад хүргэдэг. Хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед ODZ-ийг өргөтгөх хувиргалтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой бол (тэдгээр нь тодорхой аргаар арилдаг гадны үндэс гарч ирдэг) ODZ-ийг нарийсгах хувиргалтыг орхих хэрэгтэй, учир нь тэдгээр нь үндсийг алдахад хүргэдэг. Эдгээр цэгүүдэд анхаарлаа хандуулцгаая.

Эхний иррационал тэгшитгэл нь . Үүний шийдэл нь тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэх замаар эхэлдэг зэрэглэлийн шинж чанаруудын аль нэгэнд үндэслэсэн. Илэрхийлэл нь ижил тэнцүү илэрхийллээр солигдсон бөгөөд ODZ өөрчлөгдөхгүй тул энэ хувиргалт нь тэнцүү байна. Гэхдээ язгуурын тодорхойлолтын үндсэн дээр хийгдсэн тэгшитгэлд дараагийн шилжилт нь тэгшитгэлийн тэгш бус хувирал байж магадгүй, учир нь ийм хувиргалтаар ODZ өргөжсөн болно. Энэ тэгшитгэлийн бүрэн шийдлийг харуулъя.

Үндэс болон язгуурын тодорхойлолтыг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг хувиргах нь тэгш бус байж болохыг харуулахад тохиромжтой хоёр дахь иррационал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. . Хэрэв та өөрөө шийдлийг ингэж эхлүүлэхийг зөвшөөрөхгүй бол сайн байна
Эсвэл тийм

Эхний тохиолдлоос эхэлье. Эхний хувиргалт нь анхны иррационал тэгшитгэлээс шилжих явдал юм тэгшитгэл рүү x+3 илэрхийллийг илэрхийллээр солихоос бүрдэнэ. Эдгээр илэрхийлэл нь ижил төстэй байна. Гэхдээ ийм орлуулалт хийснээр ODZ олонлогоос (−∞, −3)∪[−1, +∞) [−1, +∞) олонлог хүртэл нарийсдаг. Мөн бид DLZ-ийг нарийсгах шинэчлэлээс татгалзахаар тохиролцсон, учир нь энэ нь үндсээ алдахад хүргэж болзошгүй юм.

Хоёр дахь тохиолдолд юу нь буруу байна вэ? -аас сүүлийн шилжилтийн үед ODZ-ийн өргөтгөл -3 тоо руу? Зөвхөн тэр ч биш. Анхны иррационал тэгшитгэлээс эхний шилжилт нь маш их санаа зовоож байна тэгшитгэл рүү . Энэхүү шилжилтийн мөн чанар нь x+3 илэрхийллийг илэрхийллээр солих явдал юм. Гэхдээ эдгээр илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм: x+3-ийн хувьд<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , үүнээс үүдэн гарч ирдэг .

Тэгвэл энэ иррационал тэгшитгэлийг яаж шийдэх вэ ? Энд шинэ хувьсагчийг нэн даруй нэвтрүүлэх нь дээр , энэ тохиолдолд (x+3)·(x+1)=t 2. Нарийвчилсан шийдлийг өгье.

Шинжилж буй тэгшитгэлүүдийн эхний хувиргалтыг нэгтгэн дүгнэж үзье - тэгшитгэлийн нэг хэсэг болох илэрхийлэлийг түүнтэй ижил илэрхийллээр сольж үзье. Үүнийг хийх бүрт хоёр нөхцлийг биелүүлэх шаардлагатай: нэгдүгээрт, илэрхийлэл нь ижил төстэй илэрхийллээр солигдох, хоёрдугаарт, ODZ-ийн нарийсалт үүсэхгүй байх. Хэрэв ийм орлуулалт нь ODZ-ийг өөрчлөхгүй бол хувиргах үр дүн нь ижил тэгшитгэл болно. Хэрэв ийм солих үед ODZ өргөжиж байвал гадны үндэс гарч ирж магадгүй тул тэдгээрийг шүүж авах хэрэгтэй.

Жагсаалтын хоёр дахь хувиргалт руу шилжье - тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмж, тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах. Энэ нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд ижил тоонууд байгаа тохиолдолд бид үүнийг ихэвчлэн ашигладаг; Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд 3 гэсэн нэр томъёо байдаг. Тэгшитгэлийн хоёр талаас гурвалсан тоог хасвал тоонуудтай залруулга хийсний дараа тэгшитгэл гарч ирнэ. болон цаашид хялбаршуулсан. Үр дүнгээс үзэхэд энэ хувиргалт нь тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэг рүү эсрэг тэмдэгтэй нэр томъёог шилжүүлэхтэй ижил төстэй зүйл байгаа боловч энэ өөрчлөлтийн талаар арай хожуу тайлбарлав. Энэ хувиргалтыг ашиглаж байгаа бусад жишээнүүд бий. Жишээлбэл, иррациональ тэгшитгэлд хоёр талдаа 3-ын тоог нэмэх нь тэгшитгэлийн зүүн талд төгс дөрвөлжин зохион байгуулж, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхийн тулд тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулах шаардлагатай.

Дөнгөж хэлэлцсэн хувиргалтын ерөнхий дүгнэлт нь тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг хасах явдал юм. ODZ өөрчлөгдөөгүй үед тэгшитгэлийн энэхүү хувиргалт нь тэнцүү байна. Энэхүү хувиргалт нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд нэгэн зэрэг байрлах ижил нэр томъёоноос салах зорилгоор голчлон хийгддэг. Нэг жишээ хэлье. Иррационал тэгшитгэлтэй гэж үзье. Тэгшитгэлийн зүүн, баруун талд аль алинд нь нэр томъёо байгаа нь ойлгомжтой. Энэ илэрхийллийг тэгшитгэлийн хоёр талаас хасах нь үндэслэлтэй: . Манай тохиолдолд ийм шилжилт нь ODZ-ийг өөрчилдөггүй тул гүйцэтгэсэн хувиргалт нь тэнцүү байна. Энэ нь илүү энгийн иррационал тэгшитгэл рүү шилжихийн тулд хийгддэг.

Энэ догол мөрөнд бидний ярих тэгшитгэлийн дараагийн хувиргалт бол тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү эсрэг тэмдэгтэй нэр томъёог шилжүүлэх явдал юм. Тэгшитгэлийн энэ хувиргалт нь үргэлж тэнцүү байна. Түүний хэрэглээний хамрах хүрээ нэлээд өргөн. Үүний тусламжтайгаар та жишээлбэл, тэгшитгэлийн нэг хэсэгт радикалыг тусгаарлах эсвэл ижил төстэй нэр томъёог цуглуулж, дараа нь тэдгээрийг багасгаж, улмаар тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбаршуулж болно. Нэг жишээ хэлье. Иррационал тэгшитгэлийг шийдэх Та −1 нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэдгээрийн тэмдгийг өөрчилснөөр тэнцүү тэгшитгэлийг өгнө. , үүнийг цааш нь, жишээлбэл, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар шийдэж болно.

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс ялгаатай ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваахын тулд тэгшитгэлийн хувиргалтыг авч үзэх замаар цааш явна. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлийн эквивалент хувирал юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэх нь бутархайгаас бүхэл тоо руу шилжихэд ашиглагддаг. Жишээлбэл, тиймээс иррационал тэгшитгэлд Бутархай хэсгүүдээс салахын тулд та хоёр хэсгийг 8-аар үржүүлэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг. , энэ нь цаашид хэлбэрт орсон . Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах нь голчлон тоон коэффициентийг багасгах зорилгоор хийгддэг. Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийн хоёр тал 18 ба 12 тоон коэффициентээр хуваахыг зөвлөж байна, өөрөөр хэлбэл 6-д хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг. , үүнээс бид дараа нь тэгшитгэл рүү шилжиж болно , энэ нь бага боловч бүхэл тооны коэффициенттэй.

Тэгшитгэлийн дараагийн хувиргалт нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлж хуваах явдал юм. Үржүүлэх эсвэл хуваах илэрхийлэл нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужийг өөрчлөхгүй бөгөөд тэг болж хувирахгүй тохиолдолд энэ хувиргалт тэнцүү байна. Ихэвчлэн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэхтэй төстэй юм. Ихэнх тохиолдолд энэ хувиргалтыг цаашдын хувиргалтаар бутархай хэсгүүдээс салахын тулд ашигладаг. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах шаардлагатай иррационал тэгшитгэлийг үл тоомсорлохгүй. Хэрэв энэ нь ODZ-д нөлөөлөхгүй бөгөөд ODZ дээрх энэ илэрхийлэл алга болохгүй бол ийм хуваагдал нь тэнцүү хувиргах болно гэдгийг бид арай дээр тэмдэглэв. Гэхдээ заримдаа хуваалтыг ODZ-д алга болох илэрхийллээр хийх шаардлагатай болдог. Хэрэв та нэгэн зэрэг энэ илэрхийллийн тэгийг тус тусад нь шалгаж, тэдгээрийн дунд шийдэж буй тэгшитгэлийн язгуур байгаа эсэхийг шалгавал үүнийг хийх бүрэн боломжтой, эс тэгвээс ийм хуваах явцад эдгээр үндэс алдагдаж магадгүй юм.

Энэ догол мөрөнд бидний ярих иррационал тэгшитгэлийн сүүлчийн хувиргалт бол тэгшитгэлийн хоёр талыг нэг зэрэгт хүргэх явдал юм. Энэ хувиргалтыг бусад төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бараг ашигладаггүй тул иррациональ тэгшитгэлийн хувьд ердийн гэж нэрлэж болно. Энэ өөрчлөлтийн талаар бид судалж үзэхдээ одоогийн нийтлэлд дурдсан. Мөн энэ өөрчлөлтийн олон жишээ бий. Бид энд давтахгүй, гэхдээ ерөнхий тохиолдолд энэ өөрчлөлт нь ижил төстэй биш гэдгийг санаарай. Энэ нь гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэг. Тиймээс, шийдлийн явцад бид энэ хувиргалт руу шилжсэн бол олсон үндэс нь тэдгээрийн дотор гадны үндэс байгаа эсэхийг шалгах ёстой.

Үндэс алдах тухай

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд юу үндэс алдагдах вэ? Үндэс алдагдах гол шалтгаан нь тэгшитгэлийн хувирал нь ОД-ыг нарийсгах явдал юм. Энэ санааг ойлгохын тулд жишээг авч үзье.

Иррационал тэгшитгэлийг авч үзье , үүнийг бид одоогийн нийтлэлд аль хэдийн шийдсэн. Бид тэгшитгэлийн дараах хувиргалтыг хийхгүй байхыг анхааруулж үүнийг шийдэж эхлэв

Хамгийн анхны хувиргалт бол тэгшитгэлээс шилжих шилжилт юм тэгшитгэл рүү - ODZ-ийг нарийсгадаг. Үнэн хэрэгтээ анхны тэгшитгэлийн ODZ нь (−∞, −3)∪[−1, +∞) , гарсан тэгшитгэлийн хувьд [−1, +∞) байна. Энэ нь (−∞, −3) интервалыг авч үзэхээс хасах ба үүний үр дүнд энэ интервалаас тэгшитгэлийн бүх язгуурыг алдахад хүргэдэг. Манай тохиолдолд энэ хувиргалтыг хийх үед тэгшитгэлийн бүх үндэс алдагдах бөгөөд үүнээс хоёр ба .

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн хувиргалт нь OD-ийн нарийсалт хүргэдэг бол нарийссан хэсэгт байрлах тэгшитгэлийн бүх үндэс алдагдах болно. Тийм учраас бид ДЗ-ийг нарийсгах шинэчлэл хийхгүй байхыг уриалж байна. Гэсэн хэдий ч нэг анхааруулга байна.

Энэ заалт нь ODZ-ийг нэг буюу хэд хэдэн тоогоор нарийсгах өөрчлөлтүүдэд хамаарна. Хэд хэдэн бие даасан тоо ODZ-ээс гарах хамгийн ердийн хувирал бол тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах явдал юм. Ийм хувиргалтыг хийхдээ зөвхөн ODZ-ийг нарийсгах үед унадаг энэхүү хязгаарлагдмал тооны тоонуудын үндэс нь л алдагдах нь тодорхой юм. Тиймээс, хэрэв та энэ багц дахь бүх тоонуудыг тусад нь шалгаж, тэгшитгэлийн язгуурууд, жишээлбэл, орлуулах замаар шийдэгдэж байгаа эсэхийг шалгаад, олсон язгуурыг хариултанд оруулбал, дараа нь та төлөвлөсөн өөрчлөлтийг хийж болно. үндсээ алдахаас айхгүйгээр. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Өмнөх догол мөрөнд аль хэдийн шийдэгдсэн иррационал тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг 1+x-д хуваах нь ашигтай. Энэ хуваалтаар ODZ-ээс −1 тоо хасагдана. Энэ утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар буруу тоон тэгшитгэл () гарч ирдэг бөгөөд энэ нь −1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм. Ийм шалгалтын дараа та үндсийг нь алдахаас айхгүйгээр төлөвлөсөн хуваалтыг аюулгүй хийж чадна.

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид ихэнхдээ иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах, мөн үндэсийн шинж чанарт суурилсан хувиргалт нь OD-ийн нарийсалт хүргэдэг болохыг бид тэмдэглэж байна. Тиймээс та ийм өөрчлөлтийг хийхдээ маш болгоомжтой байж, үндсээ алдахаас зайлсхийх хэрэгтэй.

Гадны үндэс, тэдгээрийг илрүүлэх аргуудын тухай

Маш олон тооны тэгшитгэлийн шийдлийг тэгшитгэлийг хувиргах замаар гүйцэтгэдэг. Тодорхой хувиргалт нь үр дагавар тэгшитгэлд хүргэж болох ба үр дүн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн дунд анхны тэгшитгэлд харь язгуурууд байж болно. Гадны үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш тул хариултанд гарч ирэх ёсгүй. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийг хогийн ургамлаас зайлуулах ёстой.

Тиймээс, хэрэв шийдэж буй тэгшитгэлийн хувиргалтуудын гинжин хэлхээнд дор хаяж нэг үр дүнд хүрсэн тэгшитгэл байгаа бол та гаднах үндсийг олж, шүүж авахад анхаарах хэрэгтэй.

Гадны үндсийг илрүүлэх, илрүүлэх арга нь тэдний боломжит харагдах байдлыг үүсгэсэн шалтгаанаас хамаарна. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед гаднах үндэс гарч ирэх хоёр шалтгаан бий: эхнийх нь тэгшитгэлийг хувиргасны үр дүнд ODZ-ийн тэлэлт, хоёр дахь нь тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш хүч болгон өсгөх явдал юм. Холбогдох аргуудыг авч үзье.

Гадны үндсийг илрүүлэх аргуудаас эхэлье, учир нь тэдгээрийн харагдах шалтгаан нь зөвхөн ODZ-ийн өргөтгөл юм. Энэ тохиолдолд гадны үндсийг илрүүлэх ажлыг дараах гурван аргын аль нэгээр гүйцэтгэнэ.

ODZ-ийн мэдээлснээр. Үүний тулд анхны тэгшитгэлийн хувьсагчийн ODZ-ийг олж, олсон язгууруудын хамаарлыг шалгана. ODZ-д хамаарах язгуурууд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс, харин ODZ-д хамаарахгүй нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур юм.

ODZ-ийн нөхцлөөр дамжуулан. Анхны тэгшитгэлийн хувьсагчийн ODZ-ийг тодорхойлох нөхцөлүүдийг бичиж, олсон үндсийг нэг нэгээр нь орлуулна. Бүх нөхцөлийг хангасан язгуурууд нь үндэс, ядаж нэг болзол хангаагүй нь анхны тэгшитгэлийн гадаад үндэс юм.

Анхны тэгшитгэлд (эсвэл түүнтэй адилтгах тэгшитгэлд) орлуулах замаар. Олдсон язгууруудыг анхны тэгшитгэл болгон сольж, тэдгээрийг орлуулснаар тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирдаг нь үндэс, тэдгээрийг орлуулснаар утгагүй илэрхийлэл гарч ирдэг. , анхны тэгшитгэлийн гадаад үндэс юм.

Дараахь иррациональ тэгшитгэлийг шийдэхдээ эдгээр аргуудын талаар ерөнхий ойлголттой болохын тулд гаднах үндсийг тус бүрээр нь шүүж үзье.

Бид мэдэгдэж байгаа бүх аргыг ашиглан гадны үндэсийг тодорхойлж, устгахгүй нь ойлгомжтой. Гадны үндсийг арилгахын тулд бид тодорхой тохиолдол бүрт хамгийн тохиромжтой аргыг сонгох болно. Жишээлбэл, дараах жишээнд ODZ-ийн нөхцлөөр гадны үндсийг шүүж авах нь хамгийн тохиромжтой, учир нь эдгээр нөхцөлд ODZ-ийг тоон багц хэлбэрээр олоход хэцүү байдаг.

Одоо иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш зэрэглэлд хүргэх замаар гадны үндэсийг шигших талаар ярилцъя. Энд ODZ эсвэл ODZ-ийн нөхцлөөр дамжуулан шигших нь цаашид тус болохгүй, учир нь энэ нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш хүч болгон өсгөсний улмаас өөр шалтгаанаар үүссэн гадны үндсийг арилгах боломжийг бидэнд олгохгүй. Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэнцүү хэмжээнд өсгөхөд яагаад гадны үндэс гарч ирдэг вэ? Энэ тохиолдолд гаднах үндэс гарч ирэх нь буруу тоон тэгш байдлын хоёр хэсгийг ижил тэгш чадалд өсгөх нь зөв тоон тэгш байдлыг өгч чадна гэсэн үг юм. Жишээлбэл, хоёр талыг квадрат болгосны дараа буруу тоон тэгшитгэл 3=−3 нь зөв тоон тэгшитгэл 3 2 =(−3) 2 болж, 9=9-тэй ижил байна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил түвшинд өсгөхөд бид гадны үндэс гарч ирэх шалтгааныг олж мэдсэн. Энэ тохиолдолд гадны үндэсийг хэрхэн арилгахыг харуулах хэвээр байна. Шалгалт нь голчлон олдсон боломжит язгуурыг анхны тэгшитгэлд эсвэл түүнтэй адилтгах тэгшитгэлд орлуулах замаар хийгддэг. Үүнийг жишээгээр харуулъя.

Гэхдээ ганцаарчилсан радикал бүхий иррационал тэгшитгэлийн хоёр тал нь ижил хүч чадалтай болсон тохиолдолд гадны үндэсийг арилгах боломжийг олгодог өөр нэг аргыг санах нь зүйтэй. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед , 2·k нь тэгш тоо, тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгтэй болгосноор g(x)≥0 нөхцөлөөр (өөрөөр хэлбэл иррационал тэгшитгэлийг бодитоор шийдвэрлэх замаар) гаднах үндсийг устгаж болно. үндэс). Орлуулах замаар гадны үндсийг шүүж, нарийн төвөгтэй тооцоолол хийх үед энэ арга нь ихэвчлэн аврах ажилд ирдэг. Дараах жишээ бол үүний сайн жишээ юм.

Уран зохиол

Мордкович A.G.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.

Мордкович A.G.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.

Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.

Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Математик. Улсын нэгдсэн шалгалт-2012 (С1, С3)-ын түвшин нэмэгдсэн. Сэдэвчилсэн тестүүд. Тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем / F. F. Lysenko, S. Yu. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. - 112 х. - (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх) ISBN 978-5-91724-094-7

2004 оны төгсөгч. Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх асуудлын цуглуулга. 1-р хэсэг. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.

Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.

Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.

Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Иррационал тэгшитгэл нь язгуур тэмдгийн дор функц агуулсан аливаа тэгшитгэл юм. Жишээ нь:

Ийм тэгшитгэлийг үргэлж 3 алхамаар шийддэг.

Үндэсийг нь тусгаарла. Өөрөөр хэлбэл, тэнцүү тэмдгийн зүүн талд язгуураас гадна бусад тоо эсвэл функц байгаа бол энэ бүгдийг баруун тийш шилжүүлж, тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд зөвхөн радикал зүүн талд үлдэх ёстой - ямар ч коэффициентгүйгээр.

2. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болго. Үүний зэрэгцээ, язгуурын утгын хүрээ нь бүх сөрөг бус тоонууд гэдгийг бид санаж байна. Тиймээс баруун талд байгаа функц иррационал тэгшитгэлмөн сөрөг биш байх ёстой: g(x) ≥ 0.

Гурав дахь алхам нь логикийн хувьд хоёр дахь алхамаас хамаарна: та шалгалт хийх хэрэгтэй. Хоёрдахь алхам дээр бид нэмэлт үндэстэй байж болох юм. Тэдгээрийг таслахын тулд та үүссэн нэр дэвшигчийн тоог анхны тэгшитгэлд орлуулж шалгах хэрэгтэй: зөв тоон тэгш байдал үнэхээр олдсон уу?

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хичээлийн эхэнд өгсөн иррационал тэгшитгэлээ харцгаая. Энд үндэс нь аль хэдийн тусгаарлагдсан: тэнцүү тэмдгийн зүүн талд үндэсээс өөр зүйл байхгүй. Хоёр талыг дөрвөлжин:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Бид үүссэн квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийднэ.

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Үлдсэн зүйл бол эдгээр тоонуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулах явдал юм, өөрөөр хэлбэл. шалгалтыг гүйцэтгэнэ. Гэхдээ энд ч гэсэн та эцсийн шийдвэрийг хялбарчлахын тулд зөв зүйлийг хийж чадна.

Шийдлийг хэрхэн хялбарчлах вэ

Бодоод үз дээ: яагаад бид иррационал тэгшитгэлийг шийдэхийн төгсгөлд шалгалт хийдэг вэ? Бид язгуураа орлуулахдаа тэнцүүгийн тэмдгийн баруун талд сөрөг бус тоо байх болно гэдгийг баталгаажуулахыг хүсч байна. Эцсийн эцэст, арифметик квадрат язгуур (бидний тэгшитгэлийг иррациональ гэж нэрлэдэг) тодорхойлолтоор тэгээс бага байж болохгүй тул зүүн талд сөрөг бус тоо байгааг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс бид тэнцүү тэмдгийн баруун талд байрлах g (x) = 5 − x функц нь сөрөг биш гэдгийг шалгахад л хангалттай.

g(x) ≥ 0

Бид энэ функцэд язгуураа орлуулаад:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Хүлээн авсан утгуудаас харахад x 1 = 6 үндэс нь бидэнд тохирохгүй байна, учир нь анхны тэгшитгэлийн баруун талд орлуулахдаа бид сөрөг тоог авна. Гэхдээ x 2 = −2 үндэс нь бидэнд маш тохиромжтой, учир нь:

Энэ язгуур нь хоёр талыг өсгөх замаар олж авсан квадрат тэгшитгэлийн шийдэл юм иррационал тэгшитгэлдөрвөлжин болгон.

X 2 = −2 үндсийг орлуулах үед анхны иррационал тэгшитгэлийн баруун тал эерэг тоо болж хувирна, өөрөөр хэлбэл. арифметик язгуурын утгын мужийг зөрчөөгүй.

Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм! Таны харж байгаагаар радикалуудтай тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Хамгийн гол нь хүлээн авсан үндсийг шалгахаа мартаж болохгүй, эс тэгвээс шаардлагагүй хариулт авах магадлал маш өндөр байна.

Хэрэв тэгшитгэл нь язгуур тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулж байвал тэгшитгэлийг иррациональ гэж нэрлэдэг.
Иррационал тэгшитгэлийг авч үзье

Энэ тэгш байдал нь квадрат язгуурын тодорхойлолтоор 2x + 1 = 32 гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлээс бид 2х + 1 = 9 рационал тэгшитгэл рүү шилжиж иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгов. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох арга нь иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь ойлгомжтой: бид квадрат язгуурын тэмдгийг өөр яаж арилгах вэ? 2x + 1 = 9 тэгшитгэлээс бид x = 4-ийг олно.
Энэ нь 2х + 1 = 9 тэгшитгэлийн үндэс ба өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлийн аль аль нь юм.
Квадратжуулах арга нь техникийн хувьд энгийн боловч заримдаа асуудалд хүргэдэг. Жишээлбэл, иррационал тэгшитгэлийг авч үзье

Хоёр талыг квадрат болгосноор бид олж авна

Дараа нь бидэнд байна:
2х-4х = -7 +5; -2х = -2; x = 1.
Харин 2х - 5 = 4х - 7 рационал тэгшитгэлийн үндэс болох x - 1 утга нь өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлийн үндэс биш юм. Яагаад? Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлд x-ийн оронд 1-ийг орлуулснаар бид олж авна . Хэрэв түүний зүүн болон баруун талд хоёуланд нь утгагүй илэрхийлэл байгаа бол тоон тэгш байдлын биелэлтийг яаж ярих вэ? Ийм тохиолдолд тэд: x = 1 нь өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм. Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэл нь үндэсгүй болох нь харагдаж байна.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдье

-
Энэ тэгшитгэлийн үндсийг бид өмнөх догол мөрийн төгсгөлд хийсэн шиг амаар олж болно: тэдгээрийн үржвэр нь - 38, нийлбэр нь - 17; Эдгээр нь 2 тоо гэдгийг таахад хэцүү биш юм
ба - 19. Тэгэхээр x 1 = 2, x 2 = - 19.
Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлд x-ийн оронд 2 утгыг орлуулснаар бид олж авна

Энэ үнэн биш.
Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлд x-ийн оронд - 19 утгыг орлуулснаар бид олж авна

Энэ нь бас буруу.
Дүгнэлт нь юу вэ? Олдсон үнэ цэнэ хоёулаа гадны үндэс юм. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн иррационал тэгшитгэл нь өмнөхтэй адил үндэсгүй юм.
Гадны үндэс нь таны хувьд шинэ ойлголт биш бөгөөд оновчтой тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд аль хэдийн тулгарсан; Иррациональ тэгшитгэлийн хувьд баталгаажуулалт нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зайлшгүй алхам бөгөөд хэрэв байгаа бол гадны үндэсийг илрүүлж, тэдгээрийг устгахад тусална (ихэвчлэн "хогийн ургамал" гэж хэлдэг).

Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг квадрат болгох замаар шийддэг; Үүссэн оновчтой тэгшитгэлийг шийдсэний дараа та боломжит гадны үндсийг арилгахын тулд шалгалт хийх шаардлагатай.

Энэ дүгнэлтийг ашиглан зарим жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. (1) тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё:

Дараа нь бид дараалсан байна

5x - 16 = x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Шалгалт. (1) тэгшитгэлд x = 5-ыг орлуулснаар бид зөв тэгшитгэлийг олж авна. (1) тэгшитгэлд x = 4-ийг орлуулснаар бид зөв тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь олсон хоёр утга нь тэгшитгэлийн үндэс (1) гэсэн үг юм.
Хариулт: 4; 5.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд
(бид энэ тэгшитгэлтэй § 22-т тулгарсан бөгөөд бид "илүү сайн цаг болтол түүний шийдлийг хойшлуулсан" гэж бид олж мэдэв).
2х2 + 8* + 16 = (44 - 2х) 2 .
Дараа нь бидэнд байна
2x 2 + 8x + 16 = 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Шалгалт. Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлд x = 80-ыг орлуулснаар бид гарч ирнэ

Баруун тал нь сөрөг тоо, зүүн тал нь эерэг тоо агуулсан учраас энэ нь худал тэгшитгэл болох нь тодорхой. Энэ нь x = 80 нь энэ тэгшитгэлийн гадаад үндэс гэсэн үг юм.

Өгөгдсөн иррационал тэгшитгэлд x = 12-ыг орлуулснаар бид гарч ирнэ

Энэ нь... = 20 бол зөв тэгш байдал. Иймд x = 12 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.
Хариулт: 12.

Сүүлийн тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг 2-т хуваая:

Шалгалт. (2) тэгшитгэлд x = 14 утгыг орлуулснаар бид олж авна нь буруу тэгшитгэл бөгөөд энэ нь x = 14 нь гадны үндэс гэсэн үг юм.
(2) тэгшитгэлд x = -1 утгыг орлуулснаар бид олж авна
- жинхэнэ тэгш байдал. Иймд x = - 1 нь (2) тэгшитгэлийн язгуур юм.
ХАРИУЛТ: - 1.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, та энэ тэгшитгэлийг өмнөх жишээнүүдэд ашигласан ижил схемийг ашиглан шийдэж болно: тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ үү.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, үүссэн рационал тэгшитгэлийг шийдэж, олсон язгуурыг дараах байдлаар орлуулж шалгана уу.
анхны иррационал тэгшитгэл.

Гэхдээ бид илүү гоёмсог аргыг ашиглах болно: y = шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх болно. Дараа нь бид y хувьсагчтай холбоотой 2y 2 + y - 3 = 0 - квадрат тэгшитгэлийг авна. Үүний язгуурыг олъё: y 1 = 1, y 2 = -. Ингээд асуудал хоёрыг шийдэх хүртэл багассан

Эхний тэгшитгэлээс бид x = 1-ийг оллоо, хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй (энэ нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг гэдгийг та санаж байна).
Хариулт: 1.
Энэ догол мөрийг нэлээд нухацтай онолын яриагаар дуусгая. Гол нь энэ. Та шугаман, квадрат, рациональ, иррациональ гэсэн янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх туршлага хуримтлуулсан байна. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ янз бүрийн хувиргалт хийдэг гэдгийг та мэднэ.
жишээ нь: тэгшитгэлийн гишүүнийг эсрэг тэмдгээр тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэгт шилжүүлсэн; тэгшитгэлийн хоёр тал нь ижил тэг биш тоогоор үржих буюу хуваах; хуваагчаас чөлөөлөгдөнө, өөрөөр хэлбэл = 0 тэгшитгэлийг p (x) = 0 тэгшитгэлээр солино; тэгшитгэлийн хоёр тал квадрат байна.

Мэдээжийн хэрэг, зарим өөрчлөлтийн үр дүнд гадны үндэс гарч ирж болохыг та анзаарсан тул та сонор сэрэмжтэй байх хэрэгтэй: олдсон бүх үндэсийг шалгана уу. Тиймээс бид одоо энэ бүхнийг онолын үүднээс ойлгохыг хичээх болно.

Тодорхойлолт. f (x) = g (x) ба r (x) = s (x) гэсэн хоёр тэгшитгэл нь ижил язгууртай бол (ялангуяа хоёр тэгшитгэл нь үндэсгүй бол) эквивалент гэж нэрлэгддэг.

Ихэвчлэн тэгшитгэлийг шийдэхдээ энэ тэгшитгэлийг илүү энгийн, гэхдээ түүнтэй тэнцэх тэгшитгэлээр солихыг оролддог. Ийм орлуулалтыг тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт нь дараах хувиралууд юм.

1. Тэгшитгэлийн гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэгт эсрэг тэмдгээр шилжүүлэх.
Жишээлбэл, 2x + 5 = 7x - 8 тэгшитгэлийг 2x - 7x = - 8 - 5 тэгшитгэлээр солих нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт болно. Энэ нь гэсэн үг

2x + 5 = 7x -8 ба 2x - 7x = -8 - 5 тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

2. Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.
Жишээлбэл, 0.5x 2 - 0.3x = 2 тэгшитгэлийг 5x 2 - 3x = 20 тэгшитгэлээр солих
(тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр нь 10-аар үржүүлнэ) нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт юм.

Дараахь хувиргалтууд нь тэгшитгэлийн тэгш бус хувиргалт юм.

1. Хувьсагч агуулсан хуваагчаас чөлөөлөх.
Жишээлбэл, тэгшитгэлийг x 2 = 4 тэгшитгэлээр солих нь тэгшитгэлийн тэгш бус хувирал юм. Баримт нь x 2 = 4 тэгшитгэл нь 2 ба - 2 гэсэн хоёр үндэстэй бөгөөд x = 2 утга нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангаж чадахгүй (хүлээн авагч нь тэг болно). Ийм тохиолдолд бид ингэж хэлсэн: x = 2 нь гадны үндэс юм.

2. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох.
Энэ догол мөрөнд маш олон жишээ байсан тул бид жишээ өгөхгүй.
Хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад заасан эквивалент бус хувиргалтын аль нэгийг ашигласан бол олсон бүх язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах шаардлагатай, учир нь тэдгээрийн дунд гадны үндэс байж болно.

Сургуулийн хүүхдүүд алгебр судлах явцад олон төрлийн тэгшитгэлтэй тулгардаг. Тэдгээрийн дотроос хамгийн энгийн нь нэг үл мэдэгдэх шугаман байдаг. Хэрэв математик илэрхийлэл дэх хувьсагчийг тодорхой хэмжээнд өсгөсөн бол тэгшитгэлийг квадрат, куб, биквадрат гэх мэт гэж нэрлэдэг. Эдгээр илэрхийлэл нь оновчтой тоонуудыг агуулж болно. Гэхдээ бас иррациональ тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээр нь үл мэдэгдэх нь радикал тэмдгийн дор байрлах функц байгаагаараа бусдаас ялгаатай (өөрөөр хэлбэл, энд байгаа хувьсагчийг квадрат язгуур дор бичсэнийг харж болно). Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь өөрийн онцлог шинж чанартай байдаг. Зөв хариултыг авахын тулд хувьсагчийн утгыг тооцоолохдоо тэдгээрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.
"Үгээр хэлэхийн аргагүй"
Эртний математикчид голчлон рационал тоогоор ажилладаг байсан нь нууц биш. Эдгээрт мэдэгдэж байгаачлан энгийн болон аравтын бутархай үечилсэн бутархайгаар илэрхийлэгдсэн бүхэл тоонууд, тухайн нийгэмлэгийн төлөөлөл орно. Гэсэн хэдий ч тригонометр, одон орон, алгебрийг хөгжүүлж буй Дундад болон Ойрхи Дорнодын эрдэмтэд, түүнчлэн Энэтхэгийн эрдэмтэд иррационал тэгшитгэлийг шийдэж сурсан. Жишээлбэл, Грекчүүд ижил төстэй хэмжигдэхүүнийг мэддэг байсан боловч тэдгээрийг үгийн хэлбэрт оруулан "үгээр илэрхийлэхийн аргагүй" гэсэн утгатай "alogos" гэсэн ойлголтыг ашигласан. Хэсэг хугацааны дараа Европчууд тэднийг дуурайж ийм тоог "дүлий" гэж нэрлэжээ. Тэд зөвхөн төгсгөлгүй үечилсэн бус бутархай хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжтой гэдгээрээ бусдаас ялгаатай бөгөөд эцсийн тоон илэрхийлэлийг олж авах боломжгүй юм. Тиймээс ихэвчлэн тооны хаант улсын ийм төлөөлөгчдийг хоёр ба түүнээс дээш зэрэглэлийн үндэс дор байрлах зарим илэрхийлэл болгон тоо, тэмдгийн хэлбэрээр бичдэг.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн иррационал тэгшитгэлийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Ийм илэрхийлэлд язгуур тэмдэг ашиглан бичсэн "илэрхийлэх боломжгүй тоо" гэж нэрлэгддэг. Эдгээр нь бүх төрлийн нэлээд төвөгтэй сонголт байж болох ч хамгийн энгийн байдлаараа доорх зураг дээрх шиг харагдаж байна.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхдээ юуны өмнө хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тооцоолох шаардлагатай.
Илэрхийлэл нь утга учиртай юу?
Хүлээн авсан утгыг шалгах хэрэгцээ нь мэдэгдэж байгаагаар ийм илэрхийлэл нь зөвхөн тодорхой нөхцөлд ямар ч утгатай байдаг. Тэгш градусын үндэстэй тохиолдолд бүх радикал илэрхийлэл эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол танилцуулсан математик тэмдэглэгээг утга учиртай гэж үзэх боломжгүй.
Иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх тодорхой жишээг өгье (доорх зураг).
Энэ тохиолдолд 11 ≤ x ≤ 4 болох нь тодорхой болсон тул хүссэн утгаар хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудын хувьд заасан нөхцөлийг хангах боломжгүй нь тодорхой байна. Энэ нь зөвхөн Ø шийдэл байж болно гэсэн үг юм.
Шинжилгээний арга
Дээрхээс харахад тодорхой төрлийн иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх нь тодорхой болно. Энд энгийн дүн шинжилгээ хийх нь үр дүнтэй арга байж болно.
Үүнийг дахин тодорхой харуулах хэд хэдэн жишээг өгье (доорх зураг).
Эхний тохиолдолд илэрхийлэлийг сайтар судалж үзэхэд энэ нь үнэн байж чадахгүй нь маш тодорхой болж байна. Үнэн хэрэгтээ тэгш байдлын зүүн талд эерэг тоо гарах ёстой бөгөөд энэ нь -1-тэй тэнцүү байж болохгүй.
Хоёр дахь тохиолдолд зөвхөн x - 3 = 0 ба x + 3 = 0 үед хоёр эерэг илэрхийллийн нийлбэрийг тэгтэй тэнцүү гэж үзэж болно. Мөн энэ нь дахин боломжгүй юм. Энэ нь хариултыг дахин Ø гэж бичих ёстой гэсэн үг юм.
Гурав дахь жишээ нь өмнө нь авч үзсэнтэй маш төстэй юм. Үнэн хэрэгтээ энд ODZ-ийн нөхцөл нь дараах утгагүй тэгш бус байдлыг хангахыг шаарддаг: 5 ≤ x ≤ 2. Мөн ижил аргаар ийм тэгшитгэл нь ухаалаг шийдтэй байж чадахгүй.
Хязгааргүй томруулах
Иррационалын мөн чанарыг зөвхөн аравтын бутархай тоонуудын төгсгөлгүй цувралаар дамжуулан хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн тайлбарлаж, мэдэж болно. Энэ гэр бүлийн гишүүдийн тодорхой, тод жишээ бол pi юм. Энэхүү математикийн тогтмолыг эрт дээр үеэс мэддэг байсан нь тойргийн тойрог, талбайг тооцоолоход ашиглагдаж байсан нь шалтгаан биш юм. Гэхдээ Европчуудын дунд үүнийг анх англи хүн Уильям Жонс, Швейцарийн Леонард Эйлер нар хэрэгжүүлжээ.
Энэ тогтмол нь дараах байдлаар үүсдэг. Хэрэв бид өөр өөр тойрогтой тойргийг харьцуулж үзвэл тэдгээрийн урт ба диаметрийн харьцаа нь ижил тоотой тэнцүү байх ёстой. Энэ бол пи. Хэрэв бид үүнийг энгийн бутархайгаар илэрхийлбэл ойролцоогоор 22/7 болно. Үүнийг хамгийн түрүүнд агуу Архимед хийсэн бөгөөд түүний хөрөг зургийг дээрх зурагт үзүүлэв. Тийм ч учраас ийм тоо түүний нэрийг авсан. Гэхдээ энэ нь тодорхой биш, магадгүй хамгийн гайхалтай тоонуудын ойролцоо утга юм. Гайхалтай эрдэмтэн хүссэн утгыг 0.02-ын нарийвчлалтайгаар олсон боловч үнэн хэрэгтээ энэ тогтмол нь ямар ч бодит утгагүй, харин 3.1415926535 гэж илэрхийлэгддэг... Энэ бол ямар нэгэн домогт утгад хязгааргүй ойртож буй төгсгөлгүй тооны цуврал юм.
Дөрвөлжин
Гэхдээ иррационал тэгшитгэл рүү буцъя. Үл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд энэ тохиолдолд тэд ихэвчлэн энгийн аргыг ашигладаг: одоо байгаа тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгох. Энэ арга нь ихэвчлэн сайн үр дүнг өгдөг. Гэхдээ үндэслэлгүй хэмжигдэхүүний нууцлаг байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд олж авсан бүх үндэсийг шалгах ёстой, учир нь тэдгээр нь тохиромжгүй байж магадгүй юм.
Гэхдээ жишээнүүдийг үргэлжлүүлэн үзэж, шинээр санал болгож буй аргыг ашиглан хувьсагчдыг олохыг хичээцгээе.
Виетийн теоремыг ашиглан тодорхой үйлдлүүдийн үр дүнд бид квадрат тэгшитгэл үүсгэсний дараа хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Эндээс харахад язгууруудын дунд 2 ба -19 байх болно. Гэсэн хэдий ч, шалгаж, үр дүнгийн утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулахдаа эдгээр үндэсүүдийн аль нь ч тохирохгүй байгаа эсэхийг шалгаж болно. Энэ нь иррационал тэгшитгэлд түгээмэл тохиолддог үзэгдэл юм. Энэ нь бидний асуудал дахин шийдэлгүй гэсэн үг бөгөөд хариулт нь хоосон багцыг зааж өгөх ёстой.
Илүү төвөгтэй жишээнүүд
Зарим тохиолдолд илэрхийллийн хоёр талыг нэг удаа биш, хэд хэдэн удаа квадрат болгох шаардлагатай байдаг. Үүнийг шаардлагатай жишээнүүдийг харцгаая. Тэдгээрийг доороос харж болно.
Үндэсийг хүлээн авсны дараа тэдгээрийг шалгахаа бүү мартаарай, учир нь нэмэлт зүйл гарч ирж магадгүй юм. Энэ нь яагаад боломжтой болохыг тайлбарлах ёстой. Энэ аргыг хэрэглэх үед тэгшитгэлийг зарим талаар оновчтой болгодог. Гэвч арифметик үйлдлүүдийг хийхэд саад болж буй бидний дургүй язгуураас ангижрах замаар бид одоо байгаа утгын хүрээг өргөжүүлж байгаа юм шиг санагддаг бөгөөд энэ нь үр дагавартай (хүн ойлгож байгаагаар) юм. Үүнийг урьдчилан тооцоолж бид шалгалт хийдэг. Энэ тохиолдолд зөвхөн нэг үндэс тохиромжтой эсэхийг шалгах боломж бий: x = 0.
Системүүд
Иррационал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай тохиолдолд бид юу хийх ёстой вэ, гэхдээ бидэнд нэг биш, хоёр үл мэдэгдэх зүйл байна уу? Энд бид ердийн тохиолдлуудын адилаар ажилладаг боловч эдгээр математик илэрхийллийн дээрх шинж чанаруудыг харгалзан үздэг. Мэдээжийн хэрэг, шинэ ажил болгонд та бүтээлч хандлагыг ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ дахин хэлэхэд доор үзүүлсэн тодорхой жишээг ашиглан бүх зүйлийг авч үзэх нь дээр. Энд та зөвхөн x ба y хувьсагчдыг олохоос гадна хариултанд тэдгээрийн нийлбэрийг зааж өгөх хэрэгтэй. Тиймээс, иррационал хэмжигдэхүүнүүдийг агуулсан систем байдаг (доорх зургийг үз).
Таны харж байгаагаар ийм даалгавар нь ер бусын хэцүү зүйлийг төлөөлдөггүй. Та ухаалаг байж, эхний тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийлбэрийн квадрат гэдгийг таахад л хангалттай. Үүнтэй төстэй даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтаас олж болно.
Математикийн хувьд үндэслэлгүй
Зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай "орон зай" байхгүй үед хүн төрөлхтний дунд шинэ төрлийн тоо бий болгох хэрэгцээ гарч ирдэг. Иррационал тоо нь үл хамаарах зүйл биш юм. Үүнийг манай эринээс өмнө буюу 7-р зуунд их мэргэд анхлан анхаарч байсныг түүхийн баримт гэрчилдэг. Үүнийг Манава гэгддэг Энэтхэгийн математикч хийсэн. Зарим натурал тооноос үндэс гаргаж авах боломжгүй гэдгийг тэр тодорхой ойлгосон. Тухайлбал, эдгээрт 2; 17 эсвэл 61, түүнчлэн бусад олон.
Пифагорчуудын нэг болох Гиппас хэмээх сэтгэгч Пентаграмын талуудын тоон илэрхийлэлийг ашиглан тооцоолол хийхийг оролдсоноор ийм дүгнэлтэд хүрчээ. Тоон утгуудаар илэрхийлэх боломжгүй, энгийн тоонуудын шинж чанаргүй математикийн элементүүдийг олж илрүүлснээр тэрээр хамт ажиллагсдаа маш их уурлуулж, усан онгоцон дээрээс далайд шидэгдсэн байна. Бусад Пифагорчууд түүний үндэслэлийг орчлон ертөнцийн хуулиудын эсрэг бослого гэж үзсэн нь баримт юм.
Радикалын шинж тэмдэг: Хувьсал
"дүлий" тоонуудын тоон утгыг илэрхийлэх язгуур тэмдэг нь иррационал тэгш бус байдал, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шууд хэрэглэгдэж эхлээгүй. Европын, тэр дундаа Италийн математикчид 13-р зууны үед радикалын талаар анх бодож эхэлсэн. Үүний зэрэгцээ тэд латин R үсгийг тэмдэглэгээнд ашиглах санааг гаргаж ирсэн боловч Германы математикчид өөрсдийн бүтээлдээ өөрөөр ажилласан. Тэдэнд V үсэг илүү таалагдсан тул Германд V(2), V(3) гэсэн тэмдэглэгээ удалгүй тархаж, 2, 3 гэх мэтийн квадрат язгуурыг илэрхийлэх зорилготой байв. Хожим нь Голландууд хөндлөнгөөс оролцож, радикал шинж тэмдгийг өөрчилсөн. Мөн Рене Декарт хувьслыг дуусгаж, квадрат язгуур тэмдгийг орчин үеийн төгс төгөлдөрт хүргэсэн.
Ухаангүй зүйлээс салах
Иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь зөвхөн квадрат язгуур тэмдгийн доор биш хувьсагчийг багтааж болно. Энэ нь ямар ч зэрэгтэй байж болно. Үүнээс ангижрах хамгийн түгээмэл арга бол тэгшитгэлийн хоёр талыг зохих хүчин чадалд хүргэх явдал юм. Энэ бол үндэслэлгүй үйлдэлтэй ажиллахад тусалдаг гол үйлдэл юм. Тэгш тоотой тохиолдлын үйлдлүүд нь бидний өмнө нь хэлэлцсэнээс тийм ч их ялгаатай биш юм. Энд радикал илэрхийлэлийн сөрөг бус байх нөхцлийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд шийдлийн төгсгөлд аль хэдийн авч үзсэн жишээн дээр үзүүлсэнтэй адил хувьсагчийн гаднах утгыг шүүх шаардлагатай. .
Зөв хариултыг олоход тусалдаг нэмэлт хувиргалтын дотроос илэрхийлэлийг коньюгатаар үржүүлэх нь ихэвчлэн ашиглагддаг бөгөөд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь шийдлийг хялбар болгодог. Зарим тохиолдолд үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд график ашиглах нь зүйтэй.