Хариулт: x = 3.

8 арга. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд деривативын хэрэглээ

Дериватив аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол үнэлгээний арга юм.

ЖИШЭЭ 15:

Тэгшитгэлийг шийд: (1)

Шийдэл: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, эсвэл (2) тул функцийг авч үзье. ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> огт, тиймээс нэмэгддэг. Тиймээс тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болох язгууртай тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

ЖИШЭЭ 16:

Иррационал тэгшитгэлийг шийд:

Функцийн домэйн нь сегмент юм. Хамгийн агуу, хамгийн ихийг олцгооё бага утгаинтервал дээрх энэ функцийн утгууд. Үүнийг хийхийн тулд функцийн деривативыг олно f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Функцийн утгыг олцгооё. f(x)сегментийн төгсгөл ба цэг дээр: Тэгэхээр, Гэхдээ, тиймийн тул, тэгш байдал нь зөвхөн https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= тохиолдолд л боломжтой. "19 src=" > шалгахад 3 тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулж байна.

Хариулт: x = 3.

9 арга. Функциональ

Шалгалтын үеэр тэд заримдаа функц гэж хаана байна гэсэн хэлбэрээр бичиж болох тэгшитгэлийг шийдэхийг шаарддаг.

Жишээлбэл, зарим тэгшитгэлүүд: 1) 2) . Үнэн хэрэгтээ, эхний тохиолдолд , хоёр дахь тохиолдолд . Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг ашиглан шийд дараагийн мэдэгдэл: хэрэв функц нь олонлог дээр хатуу нэмэгдэж байгаа бол Xба дурын хувьд тэгшитгэл гэх мэт олонлог дээр тэнцүү байна X .

Иррационал тэгшитгэлийг шийд: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> багц дээр хатуу нэмэгддэг R,болон https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > нэг язгууртай тул түүнтэй тэнцэх (1) тэгшитгэл нь бас нэг язгууртай

Хариулт: x = 3.

ЖИШЭЭ 18:

Иррационал тэгшитгэлийг шийд: (1)

Тодорхойлолтоор квадрат язгуурХэрэв тэгшитгэл (1) үндэстэй бол тэдгээр нь https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47"> олонлогт хамаарах болохыг бид олж мэдэв. ( 2)

Функцийг анхаарч үзээрэй https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> ямар ч ..gif" width="100" хувьд энэ багц дээр хатуу нэмэгддэг. өндөр ="41"> нэг язгууртай Тиймээс, мөн олонлог дээрх түүнтэй дүйцэхүйц Xтэгшитгэл (1) нь нэг үндэстэй

Хариулт: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" өргөн "145" өндөр "27 src=">

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь холимог системтэй тэнцүү байна

Нийтэлсэн огноо: 2016-03-23

Товч тайлбар: ...

ЗАРИМ ЭХ ТЕХНИК АШИГЛАН тэгшитгэлийг ШИЙДЭХ ЖИШЭЭ.

1
. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

1. Орлуулах арга.

1.1.1 Тэгшитгэлийг шийд .

Радикал дор байгаа x-ийн тэмдгүүд өөр өөр байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тэмдэглэгээг танилцуулъя

, .

Дараа нь,

Тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр нь нэмье.

Мөн бидэнд тэгшитгэлийн систем бий

Учир нь a + b = 4, тэгвэл

Үүнд: 9 – x = 8  x = 1. Хариу: x = 1.

1.1.2. Тэгшитгэлийг шийд .

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: , ; , .

гэсэн утгатай:

Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмбэл бид .

Мөн бидэнд тэгшитгэлийн систем бий

a + b = 2, , , ,

Тэгшитгэлийн систем рүү буцъя:

, .

(ab) тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид ab = 9, ab = -1 (-1 гадаад үндэс, учир нь) байна. , .).

Энэ системшийдэл байхгүй тул анхны тэгшитгэлд бас шийдэл байхгүй гэсэн үг.

Хариулт: шийдэл байхгүй.

1. 1. Тэгшитгэлийг шийд: .

Тэмдэглэгээг танилцуулъя, хаана . Дараа нь , .

, ,

Гурван тохиолдлыг авч үзье:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [ 1 ; 2). a = 2.

Шийдэл: [ 1 ; 2].

Хэрэв , Тэр , , .

Хариулт: .

1.2. Зүүн ба баруун талыг тооцоолох арга (мажоритын арга).

Мажоритын арга нь функцийн хязгаарыг олох арга юм.

Томруулах - функцийн хязгаарын цэгийг олох. М - үндсэн мэргэжил.

Хэрэв бид f(x) = g(x) ба ODZ нь мэдэгдэж байгаа бол, хэрэв

, , Тэр

1. 1. Тэгшитгэлийг шийд: .

ОДЗ: .

Ингээд авч үзье баруун талтэгшитгэл

Функцийг танилцуулъя. График нь A(3; 2) оройтой парабол юм.

Хамгийн бага утгафункцууд y(3) = 2, өөрөөр хэлбэл.

Тэгшитгэлийн зүүн талыг харцгаая.

Функцийг танилцуулъя. Деривативыг ашиглан x  (2; 4) дээр дифференциалагдах функцийн максимумыг олоход хэцүү биш юм.

At ,

X=3.

Г` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Бидэнд байна .

Үүний үр дүнд, дараа нь

Дээрх нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийн системийг байгуулъя.

Системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэхэд бид x = 3 байна. Энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид x = 3 нь системийн шийдэл гэдэгт итгэлтэй байна.

Хариулт: x = 3.

1.3. Функцийн монотон байдлын хэрэглээ.

1.3.1. Тэгшитгэлийг шийд:

DZ-ийн тухай: , учир нь .



Өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэр нь нэмэгдэж буй функц гэдгийг мэддэг.Зүүн тал

нэмэгдэж буй функц юм. Баруун тал нь шугаман функц (k=0). График тайлбар нь зөвхөн нэг үндэстэй болохыг харуулж байна. Сонголтоор олъё, бидэнд x = 1 байна.

Нотолгоо:

1-ээс их x 1 үндэс байна гэж бодъё

Учир нь x 1 >1,

Нэгээс их үндэс байхгүй гэж бид дүгнэж байна.

Үүний нэгэн адил нэгээс бага үндэс байхгүй гэдгийг баталж чадна.

Энэ нь x=1 нь цорын ганц үндэс гэсэн үг.

Хариулт: x = 1.

1.3.2. Тэгшитгэлийг шийд:

DZ-ийн тухай: [ 0.5; + ), учир нь

тэдгээр. . Тэгшитгэлийг өөрчилье,Зүүн тал нь нэмэгдэж буй функц (өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн бүтээгдэхүүн), баруун тал нь шугаман функц (k = 0) юм.

Геометрийн тайлбар

Анхны тэгшитгэл нь сонголтоор олддог нэг язгууртай байх ёстойг харуулж байна, x = 7.

Шалгалт:

Өөр үндэс байхгүй гэдгийг баталж болно (дээрх жишээг үзнэ үү).

1. Хариулт: x = 7.

2. Логарифм тэгшитгэл. 2 Зүүн ба баруун талыг тооцоолох арга. 2 2.1.1. Тэгшитгэлийг шийд: log 2 (2х - х

+ 15) = x

- 2x + 5.

Тэгшитгэлийн зүүн талын тооцоог өгье.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16  16.

Дараа нь лог 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Тэгшитгэлийн баруун талыг тооцоолъё.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

Анхны тэгшитгэл нь хоёр тал нь дөрөвтэй тэнцэх тохиолдолд л шийдэлтэй байж болно.

гэсэн үг Хариулт: x = 1..

2.1.2. Учир нь

2.1.3. бие даасан ажил

2.1.4. бүртгэл 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Хариулт: x = 3.

2.1.5. log 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Хариулт: x = 6.

log 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Хариулт: x = 1.

бүртгэл 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Хариулт: x = 3. 2 2.2. Функцийн монотон байдлыг ашиглах, үндэс сонгох. 2 2.1.1. Тэгшитгэлийг шийд: log 2 (2х - х

2.2.1. Тэгшитгэлийг шийд: log

(2х - х

2x - x 2 + 15 = t, t>0 гэж орлуулъя. Дараа нь x 2 - 2x + 5 = 20 - t гэсэн үг

2x - x 2 + 15 = 16 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид x = 1 болохыг олж мэдэв.

Шалгаснаар бид сонгосон утга зөв эсэхийг шалгана.

Анхны тэгшитгэл нь хоёр тал нь дөрөвтэй тэнцэх тохиолдолд л шийдэлтэй байж болно.

2.3. Зарим "сонирхолтой" логарифм тэгшитгэлүүд.

2.3.1. Тэгшитгэлийг шийд .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Тэгшитгэл рүү шилжье

, , ,

Эквивалент тэгшитгэл рүү шилжье

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, эсвэл cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 эсвэл cos x = -1,

x = 2  k, k Z . x =  + 2 л, l Z.

Олдсон утгыг ODZ-д орлуулах замаар шалгацгаая.

1) хэрэв x = 15 бол (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, буруу.

x = 15 нь тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

2) хэрэв x = 2 бол  k, k Z, дараа нь (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, 15  5 гэдгийг анхаарна уу. Бидэнд байна

k > 2.5, k  Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) хэрэв x =  + 2 л, l Z, дараа нь ( + 2 л - 15) (- 1) > 0,

 + 2 л< 15,

2л< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Бидэнд: л< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Хариулт: x = 2  k (k = 3,4,5,6,...); x =  +2 1(1 = 1.0, -1,- 2,…).

3. Тригонометрийн тэгшитгэл.

3.1. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тооцоолох арга.

4.1.1. cos3x cos2x = -1 тэгшитгэлийг шийд.

Эхний арга..

0.5 (cos x+ cos 5 x) = -1,cos x+ cos 5 x = -2.

Учир нь cos x - 1 , cos 5 x - 1, бид cos гэж дүгнэж байна x+ cos 5 x> -2, эндээс

тэгшитгэлийн системийг дагаж мөрддөг

в os x = -1,

cos 5 x = - 1.

cos тэгшитгэлийг шийдсэний дараа x= -1, бид олж авна X=  + 2 k, энд k Z.

Эдгээр үнэт зүйлс Xбас шийдэл юм cos тэгшитгэлүүд 5x= -1, учир нь

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Тиймээс, X=  + 2 k, энд k Z нь системийн бүх шийдэл, тиймээс анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Хариулт: X=  (2к + 1), k Z.

Хоёр дахь арга зам.

Анхны тэгшитгэл нь системийн багцыг агуулж байгааг харуулж болно

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Тэгшитгэлийн систем бүрийг шийдсэний дараа бид язгууруудын нэгдлийг олдог.

Хариулт: x = (2  k + 1), k Z.

Бие даасан ажилд зориулагдсан.

Тэгшитгэлийг шийд:

3.1.2. 2 учир 3x + 4 sin x/2 = 7. Хариулт: шийдэл байхгүй.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Хариулт: шийдэл байхгүй.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Хариулт: x = 2 к, к З.

3.1.5. нүгэл x нүгэл 3 x = -1. Хариулт: x = /2 +  к, к З.

3.1.6. cos 8 x + гэм 7 x = 1. Хариулт: x = м, м Z; x = /2 + 2  n, n З.

Бодит тоо. Бодит тоог төгсгөлтэй аравтын бутархайгаар ойртуулах.

Бодит эсвэл бодит тоо - математикийн хийсвэрлэл, энэ нь геометрийн хэмжилт хийх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй ба физик хэмжигдэхүүнүүдхүрээлэн буй ертөнц, түүнчлэн үндсийг гаргаж авах, логарифмыг тооцоолох, шийдвэрлэх зэрэг үйлдлүүдийг хийх. алгебрийн тэгшитгэл. Хэрэв натурал тоонуудтоолох явцад үүссэн, оновчтой тоонууд - бүхэл хэсгүүдтэй ажиллах хэрэгцээ шаардлагаас эхлээд бодит тоонуудыг хэмжихэд зориулагдсан болно. тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд. Тиймээс авч үзэж буй тоонуудын нөөцийг өргөжүүлснээр бодит тоонуудын багц бий болсон бөгөөд үүнд оновчтой тооноос гадна бусад элементүүдийг багтаасан болно. иррационал тоо .

Үнэмлэхүй алдаа ба түүний хязгаар.

Зарим тоон утгатай байг, мөн тоон утга, түүнд оноосон байна, үнэн зөв гэж үздэг, дараа нь дор ойролцоо утгын алдаа тоон утга (алдаа) тоон утгын яг ба ойролцоо утгын ялгааг ойлгох: . Алдаа нь эерэг эсвэл аль аль нь байж болно сөрөг утга. Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг мэдэгдэж байгаа ойролцоотоон хэмжигдэхүүний яг тодорхой утгад - оронд нь ашигласан дурын тоо яг үнэ цэнэ. Алдааны хамгийн энгийн тоон хэмжүүр бол үнэмлэхүй алдаа юм. Үнэмлэхүй алдааОйролцоо утга гэдэг нь мэдэгдэж байгаа хэмжигдэхүүн юм: Харьцангуй алдаа ба түүний хязгаар.

Ойролцоогоор чанар нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэмжилтийн нэгж, хэмжигдэхүүний масштабаас ихээхэн хамаардаг тул харьцангуй алдааны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн хэмжигдэхүүний алдаа ба түүний утгыг хооронд нь уялдуулахыг зөвлөж байна. Харьцангуй алдааОйролцоо утга гэдэг нь дараахь зүйлийг мэддэг хэмжигдэхүүн юм. . Харьцангуй алдааг ихэвчлэн хувиар илэрхийлдэг. Хэрэглээ харьцангуй алдааялангуяа тохиромжтой, учир нь тэдгээр нь хэмжигдэхүүн ба хэмжигдэхүүний нэгжээс хамаардаггүй.

Иррационал тэгшитгэл

Үндэс тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг иррациональ гэнэ. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үр дүнгийн шийдлүүд нь баталгаажуулалтыг шаарддаг, учир нь жишээлбэл, квадрат болгох үед буруу тэгш байдал нь зөв тэгш байдлыг өгч чаддаг. Үнэн хэрэгтээ, квадрат нь буруу тэгшитгэл нь зөв тэгшитгэлийг өгдөг 1 2 = (-1) 2, 1=1. Заримдаа эквивалент шилжилтийг ашиглан иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё; Өөрчлөлтийн дараа бид квадрат тэгшитгэлд хүрнэ; тэгээд орлуулъя.

Нарийн төвөгтэй тоо. Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Цогцолбор тоонууд нь бодит тооны олонлогийн өргөтгөл бөгөөд ихэвчлэн -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Аливаа цогцолбор тоог албан ёсны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно x + iy, Хаана xТэгээд y- бодит тоо, би - төсөөллийн нэгжЦогцолбор тоо нь алгебрийн хувьд хаалттай талбар үүсгэдэг - энэ нь градусын олон гишүүнт гэсэн үг юм nнарийн төвөгтэй коэффициентүүдтэй яг ижил байна n нарийн төвөгтэй үндэс, өөрөөр хэлбэл алгебрийн үндсэн теорем үнэн. Энэ нь түүнийг өргөнөөр ашиглах гол шалтгаануудын нэг юм нийлмэл тооВ математикийн судалгаа. Нэмж дурдахад, нийлмэл тоонуудын хэрэглээ нь олон тооны эвтэйхэн, нягт томъёолох боломжийг бидэнд олгодог математик загварууд,-д ашигласан математик физикболон дотор байгалийн шинжлэх ухаан- цахилгаан инженерчлэл, гидродинамик, зураг зүй, квант механик, хэлбэлзлийн онол болон бусад олон.

Харьцуулалт а + би = в + дигэсэн үг а = вТэгээд б = г(хоёр нийлмэл тоо нь зөвхөн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү байх тохиолдолд тэнцүү байна).

Нэмэлт ( а + би) + (в + ди) = (а + в) + (б + г) би .

Хасах ( а + би) − (в + ди) = (а − в) + (б − г) би .

Үржүүлэх

Тоон функц. Функцийг тодорхойлох аргууд

Математикийн хувьд тоон функцнь тодорхойлолт ба утгын домайн нь дэд олонлогууд байдаг функц юм тооны багц- ихэвчлэн бодит тоо эсвэл цогц тоонуудын багц.

Амаар: хамт байгалийн хэлИгрек тэнцүү байна бүхэл хэсэг x-ээс. Аналитик: Ашиглах аналитик томъёо е (x) = x !

График График ашиглах Функцийн графикийн фрагмент.

Хүснэгт: Утгын хүснэгт ашиглах

Функцийн үндсэн шинж чанарууд

1) Функцийн домэйн ба функцийн хүрээ . Функцийн домэйн x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.

Функцийн хүрээ y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг. Анхан шатны математикт функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.2 ) Тэг функц) Функцийн монотон байдал . Функцийг нэмэгдүүлэх Буурах функц . Тэр ч байтугай функц X f(-x) = f(x). Хачирхалтай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц X f (-x) = - f (x. Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал хязгааргүй .7) Функцийн үечлэл. f(x) функц - үе үе функцийн хугацаа

Функцийн графикууд. Функцийг ашиглан графикийн хамгийн энгийн хувиргалт

Функцийн график- абсцисса нь байгаа цэгүүдийн багц хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэмаргаан x, ординатууд нь функцийн харгалзах утгууд юм y .

Шулуун шугам- хуваарь шугаман функц у = сүх + б. y функц a > 0 үед нэг хэвийн өсөж, а үед буурна< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола- функциональ график квадрат гурвалжин y = сүх 2 + bx + c. Байна босоо тэнхлэгтэгш хэм. Хэрэв a > 0 бол хамгийн бага нь a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения сүх 2 + bx +c =0

Гипербола- функцийн график. a > O үед I ба III хороололд байрлаж байхад a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) эсвэл y - x (a< 0).

Логарифм функц у = log a x(a > 0)

Тригонометрийн функцууд.Тригонометрийн функцийг бүтээхдээ бид ашигладаг радианөнцгийн хэмжүүр. Дараа нь функц y= нүгэл xграфикаар дүрслэгдсэн байна (Зураг 19). Энэ муруй гэж нэрлэдэг синусоид .

Функцийн график y= cos xЗурагт үзүүлэв. 20; Энэ нь мөн графикийг хөдөлгөсний үр дүнд үүссэн синус долгион юм y= нүгэл xтэнхлэгийн дагуу X/2 хүртэл зүүн.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд. Функцийн монотон байдал, тэгш байдал, сондгой байдал, үе үе.

Функцийн домэйн ба функцийн домэйн . Функцийн домэйннь аргументийн хүчинтэй бүх утгуудын багц юм x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон.

Функцийн хүрээбүх бодит утгуудын багц юм y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Анхан шатны математикт функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.2 ) Тэг функц- функцын утга тэг байх аргументийн утга.3 ) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд- функцын утгууд нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байх аргументуудын утгуудын багц.4 ) Функцийн монотон байдал .

Функцийг нэмэгдүүлэх(зарим интервалд) - функц илүү өндөр үнэ цэнээнэ интервалын аргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна.

Буурах функц(тодорхой интервалд) - энэ интервалын аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байх функц.5. ) Тэгш (сондгой) функц . Тэр ч байтугай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц Xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(-x) = f(x).Хуваарь жигд функцординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй. Хачирхалтай функц- тодорхойлолтын домэйн нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц Xтодорхойлолтын талбараас тэгш байдал нь үнэн юм f (-x) = - f (x). Хуваарь сондгой функцгарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй.6 ) Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд. Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв эерэг тоо M байвал |f (x) | x-ийн бүх утгын хувьд ≤ M. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц нь байна хязгааргүй .7) Функцийн үечлэл. f(x) функц - үе үе, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын х-ийн хувьд дараах утга баримтлах тэгээс өөр T тоо байвал: f (x+T) = f (x). Энэ хамгийн бага тоодуудсан функцийн хугацаа. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. (Тригонометрийн томъёо).

Тогтмол функцууд. Функцийн үндсэн үеийг олох дүрэм.

Тогтмол функц- тэг биш хугацааны дараа утгуудаа давтдаг функц, өөрөөр хэлбэл аргумент дээр тогтсон тэг биш тоо (үе) нэмэгдэхэд утгыг нь өөрчлөхгүй. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. Үнэнч бус байнахэмжээний талаархи мэдэгдэл үечилсэн функцууд: Харьцуулж болох (бүр үндсэн) үетэй 2 функцийн нийлбэр Т 1 ба Т 2 нь LCM үетэй функц ( Т 1 ,Т 2). Хэмжээгүй (бүр үндсэн) үетэй тасралтгүй 2 функцийн нийлбэр нь үечилсэн бус функц юм. Тогтмол функц байхгүй тогтмолтой тэнцүү, тэдгээрийн үе нь харьцуулашгүй тоо юм.

Хүчин чадлын функцүүдийн графикийг зурах.

Эрчим хүчний функц. Энэ функц нь: у = сүх n, Хаана a, n- байнгын. At n= 1 бид авна шууд пропорциональ байдал : y =сүх; цагт n = 2 - квадрат парабол ; цагт n = 1 - урвуу пропорциональ байдалэсвэл гипербол. Тиймээс эдгээр функцууд нь чадлын функцийн онцгой тохиолдол юм. Тэгээс бусад тооны тэг хүчин чадал нь 1 гэдгийг бид мэднэ, тиймээс хэзээ n = 0 эрчим хүчний функцболж хувирдаг тогтмол утга: y =а, өөрөөр хэлбэл түүний график нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм X, гарал үүслийг эс тооцвол (яагаадыг тайлбарлана уу?). Эдгээр бүх тохиолдлууд (хамт а= 1) 13-р зурагт үзүүлэв ( n 0) ба Зураг 14 ( n < 0). Отрицательные значения xҮүнээс хойш зарим функцийг энд оруулаагүй болно:

Урвуу функц

Урвуу функц- энэ функцээр илэрхийлсэн хамаарлыг буцаах функц. Дараах шинж чанарууд хангагдсан тохиолдолд функц нь функцээс урвуу болно: бүгдэд хүн бүрт

Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгаарлалтын үндсэн шинж чанарууд.

n-р үндэс ба түүний шинж чанарууд.

Тооны n-р язгуур нь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү тоо юм.

Тодорхойлолт: a-ийн n-р зэрэглэлийн арифметик язгуур нь n-р зэрэглэл нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Үндэсний үндсэн шинж чанарууд:

Дурын бодит илтгэгчтэй хүч ба түүний шинж чанарууд.

Эерэг тоо ба дурын бодит тоог өгье. Тоо нь хүч гэж нэрлэгддэг, тоо нь чадлын суурь, тоо нь илтгэгч юм.

Тодорхойлолтоор тэд итгэдэг:

Хэрэв ба - эерэг тоонууд, ба - дурын бодит тоо, тэгвэл тэд шударга байна дараах шинж чанарууд:

.

.

Хүчин чадлын функц, түүний шинж чанар, графикууд

Эрчим хүчний функццогц хувьсагч е (z) = z nбүхэл тоон илтгэгчийг бодит аргументийн ижил төстэй функцын аналитик үргэлжлэлийг ашиглан тодорхойлно. Энэ зорилгоор комплекс тоо бичих экспоненциал хэлбэрийг ашигладаг. бүхэл тоон үзүүлэлт бүхий чадлын функц нь аналитик шинж чанартай байдаг нарийн төвөгтэй хавтгай, ажил болгон хязгаарлагдмал тоотаних тэмдгийн зураглалын тохиолдлууд е (z) = z. Өвөрмөц байдлын теоремын дагуу эдгээр хоёр шалгуур нь үр дүнд бий болсон аналитик үргэлжлэлийг өвөрмөц болгоход хангалттай юм. Энэхүү тодорхойлолтыг ашиглан бид нийлмэл хувьсагчийн чадлын функц нь түүний бодит харьцуулагчаас мэдэгдэхүйц ялгаатай байна гэж шууд дүгнэж болно.

Энэ нь хэлбэрийн функц , . Дараах тохиолдлуудыг авч үзнэ.

A). Хэрэв тийм бол. Дараа нь,; хэрэв тоо нь тэгш бол функц нь тэгш байна (өөрөөр хэлбэл хүн бүрийн өмнө); Хэрэв тоо сондгой бол функц нь сондгой байна (өөрөөр хэлбэл хүн бүрийн өмнө).

Экспоненциал функц, түүний шинж чанар, график

Экспоненциал функц - математик функц.

Бодит тохиолдолд зэрэглэлийн суурь нь зарим сөрөг биш юм бодит тоо, мөн функцийн аргумент нь бодит илтгэгч юм.

Онолын хувьд нарийн төвөгтэй функцуудилүү авч үзсэн ерөнхий тохиолдол, аргумент болон илтгэгч нь дурын комплекс тоо байж болох үед.

Маш их ерөнхий үзэл - у v, 1695 онд Лейбниц танилцуулсан

Ялангуяа е тоо нь зэрэглэлийн суурь болж байгаа нь анхаарал татаж байна. Ийм функцийг экспоненциал (бодит эсвэл цогцолбор) гэж нэрлэдэг.

Properties ; ; .

Экспоненциал тэгшитгэл.

Экспоненциал тэгшитгэл рүү шууд шилжье. Шийдвэрлэхийн тулд экспоненциал тэгшитгэлДараах теоремыг ашиглах шаардлагатай: Хэрэв эрхүүд тэнцүү, суурь нь тэнцүү, эерэг ба нэгээс ялгаатай бол тэдгээрийн илтгэгч тэнцүү байна. Энэ теоремыг баталъя: a>1, a x =a y байг.

Энэ тохиолдолд x=y гэдгийг баталцгаая. Нотлох ёстой зүйлийн эсрэгээр төсөөлье, өөрөөр хэлбэл. x>y эсвэл тэр x гэж үзье<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ай. Эдгээр хоёр үр дүн нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс x = y, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Тодорхойлолт 1. Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр гэдэг нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр шугамын хэсэг бөгөөд түүний төгсгөлүүдийн аль нэг нь огтлолцох цэг дээр байна. Өгөгдсөн шулуун дээр байрлах сегментийн төгсгөлийг перпендикулярын суурь гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун хүртэл татсан налууг сегментийн холболт гэнэ энэ цэгНэг цэгээс өгөгдсөн шулуун руу унасан перпендикулярын суурь биш шулуун дээрх дурын цэгтэй. AB нь α хавтгайд перпендикуляр байна.

AC - ташуу, CB - төсөөлөл.

C нь налуугийн суурь, В нь перпендикуляр суурь юм.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөгШулуун шугам ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох аливаа өнцгийг гэнэ.

Хоёр талт өнцөг.

Хоёр талт өнцөг- орон зайн геометрийн дүрс, нэг шулуун шугамаас үүссэн хоёр хагас хавтгай, түүнчлэн эдгээр хагас хавтгайгаар хязгаарлагдсан орон зайн нэг хэсэг. Хагас онгоц гэж нэрлэдэг ирмэгүүдхоёр талт өнцөг ба тэдгээрийн нийтлэг шулуун шугам нь ирмэг. Хоёр өнцөгт өнцгийг шугаман өнцгөөр хэмждэг, өөрөөр хэлбэл хоёр талт өнцгийг түүний ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайтай огтлолцсоноор үүссэн өнцгийг хэмждэг. Тогтмол ба жигд бус, гүдгэр эсвэл хотгор олон өнцөгт бүр байдаг хоёр талт өнцөгирмэг бүр дээр.

Хоёр хавтгайн перпендикуляр байдал.

ОНГОЦНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЬ БАЙДАЛЫН ТЭМДЭГ.

Хэрэв онгоц өөр хавтгайд перпендикуляр шугамаар дамжин өнгөрвөл эдгээр хавтгайнууд перпендикуляр байна.

1.1 Иррационал тэгшитгэл

Иррационал тэгшитгэлүүд ихэвчлэн олддог элсэлтийн шалгалтуудматематикийн хувьд, учир нь тэдний тусламжтайгаар ийм ойлголтын талаархи мэдлэгийг оношлоход хялбар байдаг эквивалент хувиргалт, тодорхойлолтын домэйн болон бусад. Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь дүрмээр бол иррационал тэгшитгэлийг (зарим хувиргалтын тусламжтайгаар) анхны иррационал тэгшитгэлтэй тэнцэх эсвэл түүний үр дагавар болох рационал тэгшитгэлээр солих боломж дээр суурилдаг. Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр тал ижил хүч хүртэл нэмэгддэг. Хоёр тал нь сондгой зэрэглэлд өргөгдсөн тохиолдолд тэнцүү байдал зөрчигддөггүй. Үгүй бол олсон шийдлүүдийг шалгах эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талын тэмдгийг үнэлэх шаардлагатай. Гэхдээ иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд илүү үр дүнтэй байж болох өөр аргууд байдаг. Жишээлбэл, арга тригонометрийн орлуулалт.

Жишээ 1: Тэгшитгэлийг шийд

Түүнээс хойш. Тиймээс бид тавьж болно . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгвэл хаана тавья

.

.

Хариулт: .

Алгебрийн шийдэл

Түүнээс хойш . гэсэн үг, , ингэснээр та модулийг өргөжүүлэх боломжтой

.

Хариулт: .

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгебрийн хувьдижил төрлийн хувиргалтыг хийх, түүнтэй адилтгах шилжилтийг чадварлаг зохицуулах сайн ур чадвар шаарддаг. Гэхдээ ерөнхийдөө шийдвэрийн хоёр арга нь тэнцүү юм.

Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг тэгш бус байдлаар өгсөн бөгөөд энэ нь нөхцөлтэй тэнцүү байна. Тиймээс та тавьж болно. Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Түүнээс хойш. Дотоод модулийг нээцгээе

тавья , Дараа нь

.

Нөхцөлийг хоёр утга хангасан ба .

.

.

Хариулт: .

Алгебрийн шийдэл

.

Популяцийн эхний системийн тэгшитгэлийг квадрат болгож, олж авцгаая

Тэгвэл байг. Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ

Шалгаснаар бид язгуур болохыг тогтоож, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах замаар тэгшитгэлийн баруун талын хүчин зүйлийн задралыг олж авна.

Хувьсагчаас хувьсагч руу шилжье, бид олж авна

.

Нөхцөл байдал хоёр утгыг хангана

.

Эдгээр утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэ нь үндэс болохыг олж мэднэ.

Анхны олонлогийн хоёр дахь системийн тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийдэж, энэ нь бас үндэс болохыг олж мэднэ.

Хариулт: .

Хэрэв өмнөх жишээнд алгебрийн шийдэл ба тригонометрийн орлуулалттай шийдэл нь тэнцүү байсан бол энэ тохиолдолдорлуулах замаар шийдэх нь илүү ашигтай. Алгебр ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхдээ хоёр тэгшитгэлийн багцыг, өөрөөр хэлбэл хоёр удаа квадрат болгох хэрэгтэй. Энэхүү тэгш бус хувирлын дараа бид орлуулах замаар арилгаж болох иррациональ коэффициент бүхий дөрөвдүгээр зэргийн хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг. Өөр нэг бэрхшээл бол олсон шийдлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах явдал юм.

Жишээ 3: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Түүнээс хойш. Үл мэдэгдэх сөрөг утга нь асуудлын шийдэл байж чадахгүй гэдгийг анхаарна уу. Үнэхээр анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье

.

Тэгшитгэлийн зүүн талын хаалтанд байгаа хүчин зүйл эерэг, баруун тал нь эерэг байх тул тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл сөрөг байж болохгүй. Тийм учраас, дараа нь, яагаад та тавьж болно Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно

Түүнээс хойш, тэр цагаас хойш болон . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Let . Тэгшитгэлээс эквивалент систем рүү шилжье

.

Тоонууд ба квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм

.

Алгебрийн шийдэл Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё

Сэлгээг танилцуулъя , дараа нь тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Хоёр дахь үндэс нь илүүц тул тэгшитгэлийг анхаарч үзээрэй

.

Түүнээс хойш.

Энэ тохиолдолд алгебрийн шийдэл нь техникийн хувьдилүү хялбар боловч тригонометрийн орлуулалт ашиглан өгөгдсөн шийдлийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ нь нэгдүгээрт, орлуулалтын стандарт бус шинж чанараас үүдэлтэй бөгөөд энэ нь тригонометрийн орлуулалтыг зөвхөн тухайн үед л ашиглах боломжтой гэсэн хэвшмэл ойлголтыг устгадаг. Тригонометрийн орлуулалт нь бас хэрэглэгдэхүүнийг олж авдаг. Хоёрдугаарт, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг , энэ нь тэгшитгэлийн системд орлуулалтыг нэвтрүүлэх замаар багасгасан. Тодорхой утгаараа энэхүү орлуулалтыг стандарт бус гэж үзэж болох бөгөөд үүнийг мэддэг байх нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техник, арсеналыг баяжуулах боломжийг олгодог.

Жишээ 4: Тэгшитгэлийг шийд

.

Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл

Учир нь хувьсагч ямар ч зүйлийг авч болно бодит үнэ цэнэ, тавъя . Дараа нь

,

Учир нь .

Хийсэн өөрчлөлтийг харгалзан анхны тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Нэгэнт тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваадаг тул бид олж авна

Болъё , Дараа нь . Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

.

Сэлгээг өгсөн , бид хоёр тэгшитгэлийн багцыг олж авна

.

Олонлогийн тэгшитгэл бүрийг тусад нь шийдье.

.

Аргументийн аль ч утгын хувьд синус утга байж болохгүй.

.

Учир нь ба анхны тэгшитгэлийн баруун тал эерэг байвал . Үүнээс үүдэн гарах юм .

Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул .

Тэгэхээр анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай

.

Алгебрийн шийдэл

Энэ тэгшитгэлийг анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор наймдугаар зэргийн рационал тэгшитгэлд амархан “хувиргаж” болно. Үүссэн оновчтой тэгшитгэлийн үндсийг олох нь хэцүү бөгөөд заавал байх ёстой өндөр зэрэгтэйдаалгаврыг даван туулах авъяас чадвар. Тиймээс уламжлалт бус асуудлыг шийдэх өөр аргыг мэдэхийг зөвлөж байна. Жишээлбэл, I. F. Sharygin-ийн санал болгосон орлуулалт.

тавья , Дараа нь

Тэгшитгэлийн баруун талыг хувиргацгаая :

Өөрчлөлтүүдийг харгалзан тэгшитгэл хэлбэрийг авна

.

Тэгвэл орлуулалтыг танилцуулъя

.

Хоёр дахь үндэс нь илүүц, тиймээс, мөн .

Хэрэв тэгшитгэлийг шийдэх санаа нь урьдчилан мэдэгдээгүй бол , тэгвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар стандарт шийдийг шийдэх нь асуудалтай, учир нь үр дүн нь үндсийг нь олоход маш хэцүү найм дахь зэрэгтэй тэгшитгэл юм. Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан шийдэл нь төвөгтэй харагдаж байна. Хэрэв та тэгшитгэл нь харилцан адилгүй байгааг анзаарахгүй бол түүний үндсийг олоход хэцүү байж болно. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь алгебрийн төхөөрөмжийг ашиглан хийгддэг тул санал болгож буй шийдлийг хосолсон гэж хэлж болно. Үүнд алгебр, тригонометрийн мэдээлэл нь нэг зорилгын төлөө ажилладаг - шийдлийг олж авах. Түүнчлэн, энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр тохиолдлыг анхааралтай авч үзэх шаардлагатай. Орлуулах шийдэл нь тригонометрийн орлуулалтыг ашиглахаас техникийн хувьд илүү энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй юм. Оюутнууд орлуулалтын энэ аргыг мэдэж, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахыг зөвлөж байна.

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах нь ухамсартай, үндэслэлтэй байх ёстой гэдгийг бид онцолж байна. Өөр аргаар шийдэх нь илүү хэцүү эсвэл бүрэн боломжгүй тохиолдолд орлуулах аргыг ашиглахыг зөвлөж байна. Өмнөхөөсөө ялгаатай нь стандарт аргыг ашиглан илүү хялбар бөгөөд хурдан шийдэж болох өөр нэг жишээг хэлье.