Комбинаторик бол өгөгдсөн дүрмийн дагуу тодорхой багцын элементүүдийг сонгох, байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан математикийн салбар юм. Комбинаторик нь объектуудын хослол, сэлгэлт, байгаа элементүүдийн зохион байгуулалтыг судалдаг өгөгдсөн шинж чанарууд. Нийтлэг асуулт комбинаторын асуудлуудаа: хэдэн аргаар ....
Комбинаторын бодлогод шидэт квадратуудыг байгуулах, код тайлах, кодлох бодлого орно.
Комбинаторик нь математикийн нэг салбар болж үүссэн нь 17-р зууны Францын агуу математикч Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665) нарын онолын бүтээлтэй холбоотой юм. мөрийтэй тоглоом. Эдгээр бүтээлүүд нь элементүүдийн хослолын тоог тодорхойлох зарчмуудыг агуулдаг хязгаарлагдмал олонлог. 20-р зууны 50-аад оноос кибернетикийн хурдацтай хөгжлөөр комбинаторикийн сонирхол сэргэж байна.
Комбинаторикийн үндсэн дүрмүүд нь нийлбэрийн дүрэмТэгээд дүрэм ажилладаг.
- Нийлбэрийн дүрэм
Хэрэв зарим элемент А-г сонгох боломжтой бол nарга замууд ба В элементийг сонгож болно марга, дараа нь "А эсвэл В" гэсэн сонголтыг хийж болно n+ марга замууд.
Жишээлбэл, тавган дээр 5 алим, 6 лийр байгаа бол нэг жимсийг 5 + 6 = 11 аргаар сонгож болно.
- Бүтээгдэхүүний дүрэм
Хэрэв А элементийг сонгох боломжтой бол nарга замууд ба В элементийг сонгож болно маргууд, дараа нь A ба B хосыг сонгож болно n марга замууд.
Жишээлбэл, хэрэв 2 өөр дугтуй, 3 өөр марк байгаа бол та дугтуй, тамга тэмдгийг 6 аргаар сонгож болно (2 3 = 6).
Бүтээгдэхүүний дүрэм нь хэд хэдэн багцын элементүүдийг авч үзэхэд бас үнэн юм.
Жишээлбэл, 2 өөр дугтуй, 3 өөр марк, 4 өөр ил захидал байгаа бол дугтуй, марк, ил захидлыг 24 аргаар сонгох боломжтой (2 3 4 = 24).
Бүгдийн бүтээгдэхүүн натурал тоонууд 1-ээс n хүртэлх тоог n - хүчин зүйл гэж нэрлэдэг бөгөөд n тэмдгээр тэмдэглэнэ!
n! = 1 2 3 4 … n.
Жишээлбэл, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.
Жишээлбэл, улаан, цэнхэр, ногоон гэсэн 3 бөмбөг байгаа бол тэдгээрийг 6 аргаар дараалан байрлуулж болно (3 2 1 = 3! = 6).
Заримдаа комбинатын асуудлыг бүтээх замаар шийддэг мод боломжит сонголтууд .
Жишээлбэл, шийдье өмнөх даалгавармод барих замаар ойролцоогоор 3 бөмбөг.
Комбинаторикийн асуудлыг шийдвэрлэх семинар.
БЭРХШЭЭЛ ба шийдэл
1. Вааранд 6 алим, 5 лийр, 4 чавга байна. Нэг жимс сонгоход хэдэн сонголт байдаг вэ?
Хариулт: 15 сонголт.
2. 3 час улаан, 2 час улаан, 4 шар сарнай зарж байгаа бол нэг сарнай худалдаж авах хэдэн сонголт байдаг вэ?
Хариулт: 9 сонголт.
3. А хотоос В хот руу таван зам, В хотоос С хот руу гурван зам гарна. В-ээр дамжин А-аас С руу хэдэн зам гарах вэ?
Хариулт: 15 арга.
4. “Алчуур” гэдэг үгийг хэдэн янзаар нэг эгшиг, нэг гийгүүлэгч хос болгож болох вэ?
эгшиг: a, o - 2 ширхэг.
гийгүүлэгч: p, l, t, k - 4 ширхэг.Хариулт: 8 арга.
5. 8 хүү, 6 охиноос хэдэн бүжгийн хос хийж болох вэ?
Хариулт: 48 хос.
6. Хоолны өрөөнд нэгдүгээр курс 4, хоёрдугаар курс 7 байна. Та хэдэн төрлийн хоёр хоолтой үдийн хоол захиалж болох вэ?
Хариулт: 28 сонголт.
7. Хэр их ялгаатай хоёр оронтой тоо 1, 4, 7 тоонуудыг ашиглан хийж болох уу?
1 оронтой - 3 арга
2 оронтой - 3 арга
3 оронтой - 3 аргаХариулт: 9 өөр хоёр оронтой тоо.
8. 3 ба 5-ын тоог давтаж болдог бол хэдэн өөр гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ?
1 оронтой - 2 арга
2-р цифр - 2 арга
3-р цифр - 2 аргаХариулт: 8 өөр тоо.
9. 0, 1, 2, 3-ын цифрүүд давтаж болдог бол хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ?
1 оронтой - 3 арга
2 оронтой - 4 аргаХариулт: 12 өөр тоо.
10. Бүх оронтой тоо нь тэгш байдаг гурван оронтой хэдэн тоо вэ?
Тэгш тоо - 0, 2, 4, 6, 8.
1 оронтой - 4 арга
2 оронтой - 5 арга
3 оронтой - 5 аргаХариулт: 100 тоо байна.
11. Тэгш гурван оронтой тоо хэд вэ?
1 оронтой - 9 арга (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2-р цифр - 10 арга (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3-р цифр - 5 арга (0, 2, 4, 6, 8)9 10 5 = 450
Хариулт: 450 тоо байна.
12. Гурваас хэдэн өөр гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ? өөр өөр тоо 4, 5, 6?
1 оронтой - 3 арга
2-р цифр - 2 арга
3-р орон - 1-р замХариулт: 6 өөр тоо.
13. Гурвалжны оройг A, B, C, D үсгээр хэдэн янзаар тодорхойлж болох вэ?
1 дээд - 4 арга
2-р дээд - 3 арга зам
3-р дээд - 2 аргаХариулт: 24 арга.
14. Нэг оронтой тоо давтагдахгүй бол 1, 2, 3, 4, 5-ын цифрүүдээс хэдэн өөр гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ?
1 оронтой - 5 арга
2 оронтой - 4 арга
3 оронтой - 3 аргаХариулт: 60 өөр тоо.
15. 1, 3, 5, 7, 9-ийн цифрүүдээс аль нэгийг нь зөвхөн нэг удаа ашиглах боломжтой бол 400-аас бага гурван оронтой хэдэн өөр тоо гаргаж болох вэ?
1 оронтой - 2 арга
2 оронтой - 4 арга
3 оронтой - 3 аргаХариулт: 24 өөр тоо.
16. Гурван хөндлөн зураасаас бүрдэх тугийг хэдэн аргаар хийж болох вэ? янз бүрийн өнгө, зургаан өнгийн материал байгаа бол?
1 эгнээ - 6 зам
2 эгнээ - 5 зам
3 эгнээ - 4 замХариулт: 120 арга.
17. Байсан ангиас 8 хүнийг шалгаруулна хамгийн сайн үр дүнгүйж байна. Тэднийг хэд хэдэн аргаар баг болгох боломжтой гурван хүнбуухиа тэмцээнд оролцох уу?
1 хүн - 8 арга
2 хүн - 7 арга
3 хүн - 6 аргаХариулт: 336 арга.
18. Пүрэв гарагт нэгдүгээр ангид бичих, унших, математик, биеийн тамирын дөрвөн хичээл байх ёстой. Та энэ өдөрт зориулж хэдэн өөр цагийн хуваарь үүсгэж болох вэ?
1 хичээл - 4 арга
Хичээл 2 - 3 арга
Хичээл 3-2 арга
Хичээл 4 - арга 14 3 2 1 = 24
Хариулт: 24 сонголт.
19. Тавдугаар ангид 8 хичээл судалдаг. Хэрэв энэ өдөр 5 хичээл байх ёстой бөгөөд бүх хичээлүүд өөр байвал даваа гаригт хэдэн өөр цагийн хуваарийн хувилбар үүсгэж болох вэ?
1 хичээл - 8 сонголт
Хичээл 2 - 7 сонголт
Хичээл 3-6 сонголтууд
Хичээл 4-5 сонголтууд
Хичээл 5 - 4 сонголт8 7 6 5 4 = 6720
Хариулт: 6720 сонголт.
20. Сейфний код нь таван өөр тооноос бүрдэнэ. Шифр үүсгэх хэдэн өөр сонголт байдаг вэ?
1 оронтой - 5 арга
2 оронтой - 4 арга
3 оронтой - 3 арга
4 оронтой - 2 арга
5 оронтой - 1 зам5 4 3 2 1 = 120
Хариулт: 120 сонголт.
21. 6 хутгатай ширээнд 6 хүнийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
6 5 4 3 2 1 = 720
Хариулт: 720 арга.
22. Тэг ба 9-өөр эхэлсэн тоог хасвал долоон оронтой хэдэн утасны дугаар үүсэх вэ?
1 оронтой - 8 арга
2 оронтой - 10 арга
3 оронтой - 10 арга
4 оронтой - 10 арга
5 оронтой - 10 арга
6 оронтой - 10 арга
7 оронтой - 10 арга8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000
Хариулт: 8,000,000 сонголт.
23. утасны станцУтасны дугаар нь 7 оронтой, 394-өөр эхэлдэг захиалагчдад үйлчилдэг. Энэ станц хэдэн хэрэглэгчдэд зориулагдсан бэ?
Утасны дугаар 394
10 10 10 10 = 10.000
Хариулт: 10,000 захиалагч.
24. 6 хос бээлий байна янз бүрийн хэмжээтэй. Тэднээс нэг бээлийг хэдэн янзаар сонгож болох вэ? зүүн гармөн нэг бээлий баруун гарТэгэхээр эдгээр бээлий өөр өөр хэмжээтэй байдаг уу?
Зүүн бээлий - 6 арга
Баруун бээлий - 5 арга (6 дахь бээлий нь зүүн талынхтай ижил хэмжээтэй)Хариулт: 30 арга.
25. 1, 2, 3, 4, 5 тоонууд нь бүх оронтой тоонууд өөр өөр байдаг таван оронтой тоонуудыг бүрдүүлдэг. Энэ хэд нь тэгш тоо?
5-р орон - 2 арга (хоёр тэгш орон)
4 оронтой - 4 арга
3 оронтой - 3 арга
2-р цифр - 2 арга
1 оронтой - 1 арга зам2 4 3 2 1 = 48
Хариулт: 48 тэгш тоо.
26. Сондгой оронтой, 5-д хуваагддаг дөрвөн оронтой тоо хэд вэ?
Сондгой тоо - 1, 3, 5, 7, 9.
Эдгээрээс 5-5-д хуваагддаг.
4 оронтой - 1 зам (5 оронтой)
3 оронтой - 4 арга
2 оронтой - 3 арга
1 оронтой - 2 арга1 4 3 2 = 24
Хариулт: 24.
27. Хэр олон байдаг таван оронтой тоо, хэний гурав дахь орон нь 7, сүүлчийн орон нь тэгш байх вэ?
1 оронтой - 9 арга (0-ээс бусад бүх)
2 оронтой - 10 арга
3 оронтой - 1 зам (цифр 7)
4 оронтой - 10 арга
5 оронтой - 5 арга (0, 2, 4, 6, 8)9 10 1 10 5 = 4500
Хариулт: 4500 тоо.
28. Хоёр дахь нь 2, дөрөв дэх нь 4, зургаа дахь нь 6, бусад нь сондгой байх зургаан оронтой тоо хэд вэ?
1 оронтой - 5 сонголт (1, 3, 5, 7, 9-ээс)
2 оронтой - 1 сонголт (2 оронтой)
3-р орон - 5 сонголт
4 оронтой - 1 сонголт (4 оронтой)
5 оронтой - 5 сонголт
6 оронтой - 1 сонголт (6 оронтой)5 1 5 1 5 1 = 125
Хариулт: 125 тоо.
29. 8 ба 9 тоог ашиглан нэг саяас бага хэдэн өөр тоо бичиж болох вэ?
Нэг оронтой тоо - 2
Хоёр оронтой тоо - 2 2 = 4
Гурван оронтой тоо - 2 2 2 = 8
Дөрвөн оронтой тоо – 2 2 2 2 =16
Таван оронтой - 2 2 2 2 2 = 32
Зургаан оронтой – 2 2 2 2 2 2 = 64Нийт: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126
Хариулт: 126 тоо.
30. Хөлбөмбөгийн багт 11 хүн байдаг. Та ахмад болон түүний орлогчийг сонгох хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Ахмад - 11 арга
Орлогч - 10 аргаХариулт: 110 арга.
31. Ангид 30 хүн байна. Та дарга болон аялалын тасалбар хариуцах хүнийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?
Дарга - 30 арга зам
Хариулт. тасалбарын хувьд - 29 аргаХариулт: 870 арга.
32. Явган аялалд 12 хүү, 10 охин, 2 багш оролцож байна. Жижүүрийн гурван хүнтэй (1 хөвгүүн, 1 охин, 1 багш) хэд хэдэн сонголт хийх боломжтой вэ?
12 10 2 = 240
Хариулт: 240 арга.
33. Орос цагаан толгойн дөрвөн үсгийг (цагаан толгойд ердөө 33 үсэг байдаг) 2 зэргэлдээ үсэг ялгаатай байвал хэдэн үсгийг хослуулж болох вэ?
Даалгавар 1.Найман оюутан гар барив. Хэдэн гар барив?
Шийдэл.Хоёр сурагчаас бүрдэх “дэд олонлог” (m=2) гар барихад оролцдог бол нийт сурагчид 8 хүн (n=8) байна. Гар барих явцад дараалал чухал биш тул бид хослолын тоог томъёогоор сонгоно.
Даалгавар.Өөр өөр өнгийн таван ширхэг материалаар гурван өнгийн судалтай тугийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Шийдэл. Гурван өнгийн тугны доторх асуудлыг дахин зохион байгуулах нь дараалал нь чухал юм өөр өөр улс орнууд. Тиймээс бид давталтгүйгээр байршуулах тоог тодорхойлох томъёог сонгоно, үүнд материйн хэсгүүдийн багц нь n = 5, өнгөний дэд олонлог нь m = 3 байна.
Даалгавар 2.Зургаан хэлнээс аль нэгэнд нь орчуулахын тулд хичнээн толь бичиг хэвлэгдсэн байх ёстой вэ?
Шийдэл. Энэхүү багцад n=6 6 хэл багтсан болно. Орчуулга нь хоёр хэлний хоорондын харилцаа учраас m = 2, дараалал нь чухал, учир нь жишээ нь Орос-Англи, Англи-Орос толь бичигт төрөл бүрийн програмууд. Тиймээс бид давталтгүйгээр байршлыг сонгодог.
Даалгавар 3.Оюутнууд 9 хичээлтэй, даваа гаригт 4 хос хичээлтэй, давтагдахгүй хичээлтэй бол даваа гаригийн хуваарь гаргах хэдэн хувилбар байдаг вэ?
Шийдэл. a) Оюутнуудын хувьд дараалал нь чухал биш тул бид хослолын тооны томъёог сонгоно.
б) Багш нарын хувьд дараалал чухал байдаг тул бид давталгүйгээр байршуулах томъёог сонгоно.
Даалгавар 4.Номын тавиур дээр есөн номыг хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ, үүнд А.С. Пушкин?
Шийдэл.
Гурван боть багцад багтсан гурван боть зэрэгцэн зогсох ёстой бөгөөд тооны баруун тийш нэмэгдэж буй дарааллаар бид тэдгээрийг өгөгдсөн багцын нэг элемент гэж үздэг бөгөөд үүнд 6 элемент байдаг. Тиймээс бид долоон элемент агуулсан багцад давталтгүйгээр сэлгэлтийг сонгодог.
P 7 = 7! = 5040
Даалгавар 5. 30 хүнтэй бүлэгт гурван жижүүрийг хэдэн янзаар хуваарилж болох вэ?
Шийдэл.
a) Хэрэв үүрэг гүйцэтгэх явцад тэдний үүрэг ижил байвал дараалал нь чухал биш тул бид давталтгүйгээр хослолыг сонгодог.
3 30 = 30-аас! / 3!27! = 4060
б) Хэрэв захиалга чухал бол, i.e. үүргээ гүйцэтгэх хугацаандаа функциональ үүрэг хариуцлагаөөр өөр байгаа бол дахин давталгүйгээр байршуулах томьёог ашиглан бид:
Мөн 3 30 = 30! / 27! = 24360
Даалгавар 6.Зургаан оронтой хэдэн утасны дугаар байна вэ: a) ямар ч цифр оруулах боломжтой; б) бүх тоо өөр байна уу?
Шийдэл.
a) 1. Утасны дугаарыг зургаан оронтой залгахад ямар ч цифр оруулах боломжтой тул 0-ээс 9 хүртэлх 10 оронтой аль нэг нь зургаан газар тус бүрт гарч ирэх боломжтой зургаан оронтой утасны дугаарыг ашиглах зургаан. Утасны дугаарыг бүртгэхдээ цифрүүдийн дараалал чухал байдаг тул давталттай байршуулах томъёог ашиглан бид:
A 10 6 = 10 6 = 1000000
2. Та бүхний мэдэж байгаагаар тэгээр эхэлсэн зургаан оронтой тоо байхгүй тул тэдгээрийн тоог тоолж, нийт хослолын тооноос хасах хэрэгтэй. Эхний орон нь 0 байгаа тоонуудын тоог бид давталттай байршуулах томьёог ашиглан, тэгийг "засах" замаар олох болно. үлдсэн таван боломжит газар бүрт арван цифрийн аль нэгийг оруулна
0-ээс 9. Дараа нь ийм хослолын тоо:
A 10 5 = 10 5 = 100000
3. Зургаан оронтой утасны дугааруудын нийт тоо, түүний дотор давтагдах цифрүүд нь дараах зөрүүтэй тэнцүү байна.
A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000
б) 1. Одоо зургаан оронтой олонлогийн бүх тоо өөр байг. Бүх боломжит арван оронтой тооноос зөвхөн зургаан оронтой утасны дугаарыг сонгох шаардлагатай бөгөөд ямар ч цифр давтагдахгүй. Дараа нь давталтгүйгээр байрлуулах томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
Мөн 10 6 = 10! / (10-6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200
2. Тэгээр эхэлсэн зургаан оронтой тоо байхгүй тул тэдгээрийн тоог тоолж, нийт хослолын тооноос хасах хэрэгтэй. Эхний орон нь 0 байгаа тоонуудын тоог бид "тэгийг засах" гэсэн давталтгүйгээр байршуулах томъёог ашиглан олох болно. Үлдсэн таван боломжит газар бүрт 0-ээс 9 хүртэлх тоонууд байж болно. Дараа нь бид давталгүйгээр байрлуулах томъёог ашиглан ийм хослолын тоог олох болно. Бидэнд:
Мөн 10 5 = 10! / (10-5)! = 6x7x8x9x10 = 30240
3. Дахин давтагдах цифртэй байж болохгүй зургаан оронтой утасны дугаарын нийт тоо нь дараах зөрүүтэй тэнцүү байна.
A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960
Даалгавар 7.Гурван хүнээс бүрдсэн төлөөлөгчдийг дөрвөн гэрлэсэн хосын дундаас сонгох хэд хэдэн аргаар сонгож болох вэ, хэрэв:
а) төлөөлөгчдийн бүрэлдэхүүнд эдгээр найман хүний аль нэг нь багтсан;
б) төлөөлөгчийн бүрэлдэхүүнд хоёр эмэгтэй, нэг эрэгтэй байх ёстой;
Төлөөлөгчдийн бүрэлдэхүүнд нэг гэр бүлийн гишүүд байхгүй юу?
Шийдэл.
a) Дараалал чухал биш:
8 3 = 8-аас! / 3! 5! = 56
б) Боломжтой 4 C 4 2 аргаас хоёр эмэгтэйг, 4 С 4 1 аргаас нэг эрэгтэйг сонгоцгооё. Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу ( Тэгээдхүн, Тэгээдхоёр эмэгтэй) бидэнд C 4 2 x C 4 1 = 24 байна.
в) Дөрвөн гэр бүлээс бид төлөөлөгчдийн 3 гишүүнийг дөрвөн аргаар (С 4 3 = 4! / 3!1! = 4) сонгодог. Гэхдээ айл болгонд төлөөлөгчдийн гишүүнийг сонгох хоёр арга бий. Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу C 4 3 x2x2x2 = 4x8 =32.
Даалгавар 8.Тус коллеж нь 2000 оюутантай. Наад зах нь хоёрынх нь нэр, овог хоёрын эхний үсэг ижил байна гэж хэлж болох уу?
Шийдэл.
Орос цагаан толгойд 33 үсэг байдгаас ъ, ь, ы, й үсэг хэрэглэх боломжгүй тул n = 33-4 = 29. 29 үсэг тус бүр нь эхний үсэг байж болно. Тэгээднэр, Тэгээдовог нэр. Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.
Комбинаторик бол өгөгдсөн объектуудаас тодорхой нөхцлийн дагуу хэдэн өөр хослол хийж болох тухай асуултуудыг судалдаг математикийн салбар юм. Комбинаторикийн үндэс нь санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тооцоолоход маш чухал, учир нь Эдгээр нь үйл явдлын хөгжлийн янз бүрийн хувилбаруудын үндсэн тоог тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог.
Комбинаторикийн үндсэн томъёо
k бүлэг элемент байг, ба i-р бүлэг n i элементээс бүрдэнэ. Бүлэг бүрээс нэг элемент сонгоцгооё. Дараа ньнийт тоо
Ийм сонголт хийх N аргыг N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k хамаарлаар тодорхойлно.Жишээ 1.
Энэ дүрмийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Хоёр бүлэг элемент байг, эхний бүлэг нь n 1 элементээс, хоёр дахь нь n 2 элементээс бүрдэнэ. Энэ хоёр бүлгээс хэдэн өөр хос элемент хийж болох бөгөөд энэ хос нь бүлэг тус бүрээс нэг элементийг агуулж болох вэ? Бид эхний бүлгээс эхний элементийг авч, түүнийг өөрчлөхгүйгээр бүх боломжит хосуудыг дамжуулж, зөвхөн хоёрдугаар бүлгийн элементүүдийг өөрчилсөн гэж үзье. Энэ элементийн хувьд ийм хос n 2 байж болно. Дараа нь бид эхний бүлгээс хоёр дахь элементийг авч, түүнд тохирох бүх хосыг хийнэ. Мөн n 2 ийм хос байх болно.Эхний бүлэгт зөвхөн n 1 элемент байгаа тул нийт боломжит сонголтууд нь n 1 *n 2 байх болно.
Жишээ 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн цифрүүдийг давтаж чадвал гурван оронтой хэдэн тэгш тоо гаргаж болох вэ?
Шийдэл:
n 1 =6 (учир нь та 1, 2, 3, 4, 5, 6-аас ямар ч тоог эхний орон болгон авч болно), n 2 =7 (учир нь та 0-ээс дурын тоог хоёр дахь цифр болгон авч болно , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (0, 2, 4, 6-аас ямар ч тоог гурав дахь орон болгон авч болно). Тэгэхээр N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.Бүх бүлгүүдээс бүрдэх тохиолдолд ижил тоо
элементүүд, өөрөөр хэлбэл. n 1 =n 2 =...n k =n сонголт бүрийг нэг бүлгээс хийсэн, сонгосны дараах элементийг бүлэгт буцаана гэж бид үзэж болно. Дараа нь бүх сонголтын аргын тоо n k байна. Комбинаторик дахь сонголтын энэ аргыг нэрлэдэгбуцаан олголттой дээж.
Шийдэл.Жишээ 3.
1, 5, 6, 7, 8 гэсэн цифрүүдээс дөрвөн оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ? Дөрвөн оронтой тооны цифр бүрт таван боломж байгаа нь N=5*5*5*5=5 4 =625 гэсэн үг..
n элементээс бүрдэх олонлогийг авч үзье. Комбинаторикт энэ олонлогийг нэрлэдэг
нийт хүн ам n элементийн байршлын тоо m nТодорхойлолт 1. м-аас байр элементүүдкомбинаторикт ямар ч мзахиалсан багц n-аас
дахь популяциас сонгосон янз бүрийн элементүүдэлементүүд.
Жишээ 4.
Гурван элементийн (1, 2, 3) хоёроор өөр өөр зохицуулалт нь (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) олонлогууд байх болно. , 2). Байрлуулалт нь элементүүд болон дарааллаар нь бие биенээсээ ялгаатай байж болно. n!=1*2*3*...*n (унш: “en factorial”), үүнээс гадна 0!=1 гэж үзнэ.
Жишээ 5. Аравтын орон ба нэгжийн орон нь өөр, сондгой байдаг хоёр оронтой хэдэн тоо байдаг вэ?
Жишээ 2.учир нь Хэрэв 1, 3, 5, 7, 9 гэсэн таван сондгой цифр байгаа бол энэ даалгавар нь таван өөр цифрээс хоёрыг сонгож, хоёр өөр байрлалд байрлуулах явдал юм. заасан тоонуудболно:
Тодорхойлолт 2. Хослол-аас nТодорхойлолт 1. мкомбинаторикт ямар ч захиалгагүй багцкомбинаторикт ямар ч м янз бүрийн элементүүд, нийт хүн амын дундаас сонгогдсон nэлементүүд.
Жишээ 6. (1, 2, 3) багцын хувьд (1, 2), (1, 3), (2, 3) хослолууд байна.
m-ийн n элементийн хослолын тоо
Хослолын тоог C n m-ээр тэмдэглэж, дараах томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 7.Уншигч зургаан номноос хоёрыг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?
Жишээ 2.Аргын тоо нь хоёр номын зургаан номын хослолын тоотой тэнцүү, i.e. тэнцүү байна:
n элементийн орлуулалт
Тодорхойлолт 3. Пермутаци-аас nэлементүүдийг дурын гэж нэрлэдэг элементүүдэдгээр элементүүд.
Жишээ 7a.Гурван элементээс (1, 2, 3) бүрдэх олонлогийн бүх боломжит орлуулалтууд нь: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
n элементийн өөр өөр сэлгэлтийн тоог P n гэж тэмдэглэж P n =n! томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 8.Өөр өөр зохиолчдын долоон номыг нэг эгнээнд тавиур дээр хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Жишээ 2.Энэ асуудал нь долоон сэлгэцийн тоотой холбоотой юм янз бүрийн ном. Номуудыг цэгцлэх P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 арга бий.
Хэлэлцүүлэг.Боломжит хослолуудын тоог тооцоолж болно гэдгийг бид харж байна өөр өөр дүрэм(сэлгэн залгалт, хослол, байршуулалт) ба үр дүн нь өөр байх болно, учир нь Тооцооллын зарчим, томъёо нь өөр өөр байдаг. Тодорхойлолтыг анхааралтай ажиглавал үр дүн нь хэд хэдэн хүчин зүйлээс нэгэн зэрэг хамааралтай болохыг анзаарах болно.
Нэгдүгээрт, бид хэдэн элементээс тэдгээрийн багцыг нэгтгэж чадах вэ (хэр том хүн амэлементүүд).
Хоёрдугаарт, үр дүн нь бидэнд хэрэгтэй элементийн багцын хэмжээнээс хамаарна.
Эцэст нь, багц дахь элементүүдийн дараалал нь бидний хувьд чухал ач холбогдолтой эсэхийг мэдэх нь чухал юм. Дараах жишээг ашиглан сүүлчийн хүчин зүйлийг тайлбарлая.
Жишээ 9.Асаалттай эцэг эхийн хурал 20 хүн оролцож байна. Хэдэн өөр найрлагатай сонголтууд байдаг вэ? эцэг эхийн хороо, хэрэв 5 хүн орох ёстой бол?
Жишээ 2.Энэ жишээн дээр бид хорооны жагсаалтын нэрсийн дарааллыг сонирхохгүй байна. Хэрэв үр дүнд нь ижил хүмүүс түүний нэг хэсэг болж хувирвал бидний хувьд энэ нь ижил сонголт юм. Тиймээс бид тоог тооцоолохдоо томъёог ашиглаж болно хослолууд 20 элемент тус бүр 5.
Хорооны гишүүн бүр ажлын тодорхой чиглэлийг хариуцдаг бол бүх зүйл өөр байх болно. Дараа нь, хорооны жагсаалтын нэг бүрэлдэхүүнтэй, дотор нь 5 байж магадгүй! сонголтууд орлуулалттэр асуудал. Өөр өөр сонголтуудын тоог (бүрэлдэхүүн болон хариуцлагын хүрээнд хоёуланг нь) энэ тохиолдолд тоогоор тодорхойлно байршуулалт 20 элемент тус бүр 5.
Өөрийгөө шалгах даалгавар
1. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6-ын цифрүүд давтагдаж чадвал гурван оронтой тэгш тоо хэд болох вэ?
2. Зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш ижил уншигдах таван оронтой тоо хэд вэ?
3. Ангид арван хичээл, өдөрт таван хичээл ордог. Та нэг өдрийн хуваарийг хэдэн аргаар гаргаж болох вэ?
4. Бүлэгт 20 хүн байгаа бол 4 төлөөлөгчийг хэдэн янзаар сонгох боломжтой вэ?
5. Дугтуй бүрд ганцхан үсэг хийвэл найман өөр үсгийг найман өөр дугтуйнд хэдэн янзаар хийж болох вэ?
6. Хоёр математикч, зургаан эдийн засагчаас бүрдсэн комисс гурван математикч, арван эдийн засагчаас бүрдсэн байх. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Сэдэв: "Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх"
Зорилтот: практик агуулгын хамгийн энгийн хослолын асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх; комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх өөр аргуудыг авч үзэх ( Үржүүлэх дүрэм; хүснэгт)
Даалгаварууд:
Боловсролын:
Үүнд хувь нэмэр оруулах:
сэдвийн талаархи оюутнуудын мэдлэг, чадварыг нэгтгэх, системчлэх
Хичээлийн төгсгөлд оюутнууд дараахь зүйлийг хийх чадвартай байх ёстой.
олох боломжит хослолууд, даалгаврын нөхцөлийг хангасан тоо, үг, объектоос бүрдсэн.
Боловсролын:
Үүнд хувь нэмэр оруулах:
үүсэх танин мэдэхүйн сонирхолсэдэв рүү;
үүсэх ухамсартай хандлагаажиллах.
Боловсролын:
Үүнд хувь нэмэр оруулах:
хөгжил математик сэтгэлгээТэгээд логик яриаоюутнууд;
шийдлийн аргыг бие даан сонгох, сонголтыг зөвтгөх чадварыг хөгжүүлэх.
Математик хаа сайгүй байдаг -
Зүгээр л хар
Мөн би тэр даруй олон жишээтэй байх болно
Та эргэн тойрондоо олох болно ...
Бидний хичээлийн эпиграф нь өнөөдрийн хичээлийн зорилгыг тодорхойлсон яруу найргийн мөрүүд байх болно - (математикийн мэдлэг нь хүний аливаа үйл ажиллагаанд зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг батлах, батлах)
Өнөөдөр бид судалгаа хийж, математик бидний эргэн тойронд байдаг гэдгийг батлах болно.
11-р сарын 4 бол амралтын өдөр. Энэ баярыг юу гэж нэрлэдэгийг та нарын хэд нь хэлж чадах вэ? (Өдөр үндэсний эв нэгдэл)
№1 слайдыг үзүүл (Бараг 4 зууны тэртээ арваннэгдүгээр сарын эхээр цагдаахудалдаачин Минин, захирагч Пожарский нараар удирдуулсан Польшийн интервенцүүдийг Москвагаас хөөж, Минин ба Пожарскийн цэрэгжсэн цэргүүд Оросын түүхэн дэх цорын ганц жишээ гэдгээрээ онцлог юм Улс, төрийн хувь заяаг эрх баригчдын оролцоогүйгээр ард түмэн өөрсдөө шийддэг байсан. Ард түмэн зэвсэглэлд сүүлчийн зоосоо хандивлаж, газар нутгаа чөлөөлж, нийслэлд эмх журам тогтоохоор явсан. Манай элэнц өвөг дээдэс газар шорооныхоо төлөө олон удаа очиж, ялалт байгуулсан.Дараа нь бүх анги, бүх үндэстэн, тосгон, хот, метрополис нэгдэв. Энэ өдрийг Үндэсний эв нэгдлийн өдөр гэж зүй ёсоор нэрлэдэг. Оросын түүхэнд ийм өдөр байгаагүй).
Тэмдгүүдийн нэг Оросын төртуг юм.
(тугны тухай мэдээллийг уншина уу)
!!!(Хүүхдэд өгөх, хосоороо ажиллах)
Туг - тусгай тулгуур (тугны шон) дээр өргөгдсөн, ихэвчлэн тэгш өнцөгт хэлбэртэй самбар.
1991 оны наймдугаар сарын 22-ны ээлжит бус чуулган Дээд зөвлөлРСФСР нь "................, ………….., ……………. судалтай даавууг" Оросын албан ёсны төрийн далбаа гэж үзэхээр шийджээ.
(хүүхдүүд бөглөсний дараа юу болсныг асууж, хариултыг сонс)
Слайд №1
!!! Өнгө бүр ямар утгатай болохыг та нарын хэд нь мэддэг вэ?
- улаан өнгө - эрч хүч, хүч чадал, Эх орныхоо төлөө урссан цусыг бэлэгддэг.
- цэнхэр- итгэлийн өнгө (Орос хамгаалалтад байдаг Бурханы эхийн өнгө);
- цагаан– эрх чөлөө, тусгаар тогтнол гэсэн үг;
Дэлхий дээр цагаан, улаан, цэнхэр өнгийн 3 хэвтээ судлуудаас бүрдсэн хэдэн туг байдгийг олж мэдье.
Даалгавар: 1. Асуудлыг уншина уу.
- Энэ нь ямар сэдэвт хамаарах вэ? энэ даалгавар? (сам. арын)
Аман санал асуулга.
Ямар бодлогыг комбинатори гэж нэрлэдэг вэ?
Комбинаторик гэж юу вэ?
Комбинаторик бодит амьдрал дээр тусалж чадах уу?
Бид ямар тоглоомуудад комбинаторик ашигладаг вэ?
Комбинаторын асуудлыг шийдэх ямар аргуудыг та мэдэх вэ? (сонголтуудын тоо, сонголтын мод,)
Жишээ 2.
Арга - тоолох (тэдгээрийг зурах - тэгш өнцөгт бэлтгэх)
2. арга: Сонголтуудын мод.
Одоо бид комбинаторын асуудлыг шийдэх өөр хоёр аргыг авч үзэх болно: a) үржүүлэх дүрэм;
б) хүснэгт ашиглах.
3. зам - Үржүүлэх дүрэм
Туузан бүрийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?
1 эгнээ - 3 зам
2 эгнээ - 2 зам
3 эгнээ - 1 зам
Ажлын үндсэн дүрэм:
Хэрэв хослолын эхний элементийг сонгож болно А арга замууд, үүний дараа хоёр дахь элемент - б арга замууд, дараа нь нийт хослолын тоо тэнцүү байх болно a x b .
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Хариулт: 6 арга
TO
ХАМТ
Б
TO
KS
KB
ХАМТ
SK
С.Б
Б
МЭӨ
BS
Арга: Сонголтуудын хүснэгтТуг дээрх зураасуудын нэрийг бичье: KSB; BKS; KBS; SBC; BSK SKB.
Эдгээр тугуудын дунд ОХУ-ын Төрийн далбаа байдаг уу?
Бусад мужууд өөрсдийнхөө төлөө юу ашигладаг төрийн далбааийм бэлгэдэл?
Эндээс харахад туг нь ижил өнгөтэй, ижил зохион байгуулалттай муж улсууд байдаг.
(
Хариулт: Словак, Словени, Хорват, Серби)
Оюутны үзүүлбэр:
Словак, Словени, Хорват, Серби Славян мужууд, цагаан, улаан, цэнхэр өнгө нь бэлгэддэг ерөнхий эхлэлСлавууд
Өнгө нь байдаг Европын орнуудын тугнууд: цагаан, цэнхэр, улаан - эдгээр нь Нидерланд, Франц юм.
Словак улсын туг
Словен улсын туг
Хорватын туг
Сербийн туг
Багш: Залуус аа, бидний хичээл дуусч байна.
Бид өнөөдрийн хичээлийн зорилгодоо хүрсэн гэж та бодож байна уу, яагаад?
Хичээл дээр юу хэцүү байсан, яагаад?
Нэмж дурдахад оюутнуудаас 3 хурдан асуултанд хариулахыг хүсдэг.
Өнөөдрийн хичээл дээр би... (хялбар, ихэвчлэн, хэцүү)
Шинэ материалБи... (Би сурсан, хэрэглэх боломжтой, сурсан, хэрэглэхэд хэцүү, сураагүй)
Хичээлийн хувьд миний өөрийгөө үнэлэх үнэлэмж...
Хичээлийн хураангуй- Синквэй.
Комбинаторик
Сонирхолтой, үл мэдэгдэх.
Судлах, ойлгох, эрэмбэлэх.
Бүх салбарт байна.
Хувьсах байдал.
5) Гэрийн даалгавар:
Даалгаврууд
Нэг нэлээн алдартай мушкетер 3 дэгжин малгай, 4 гайхалтай нөмрөг, 2 хос нөмрөгтэй. гайхалтай гутал. Тэр хэдэн хувцасны сонголт хийж чадах вэ?
Хөлбөмбөгийн багт 11 хүн байдаг. Ахмад, түүний орлогчийг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Тоонууд давтагдвал 1, 4, 7 тоонуудыг ашиглан хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ?
Хичнээн өөр гурван оронтой тоо 1, 2, 3, 4, 5 тоонуудаас давтагдахгүй тохиолдолд хийж болох уу?
0, 1, 2, 3 тоонуудаас хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ: а) давтагдах боломжтой; б) давтаж болохгүй юу?
Аюулгүй код нь таван өөр тооноос бүрдэнэ. Шифр үүсгэх хэдэн өөр сонголт байдаг вэ?
1) а) 1, 3, 5, 7, 9 тооноос хоёр оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?
б) 1, 3, 5, 7, 9 тоонуудаас хоёр оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ, хэрэв энэ тоо давтагдахгүй байх ёстой.
2) Ангийнхаа талаар асуудал үүсгэ.
3) Хэд хэдэн улс төрийн далбаандаа өөр өөр өргөнтэй 3 хэвтээ судлууд хэлбэрээр тэмдэглэгээг ашиглахаар шийдсэн. өөр өөр өнгө- цагаан, цэнхэр, улаан. Улс бүр өөр өөрийн далбаатай бол ийм бэлгэдлийг хэр олон улс хэрэглэж болох вэ?
6 хутгатай ширээнд 6 хүнийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
Тавдугаар ангид 8 хичээл судалдаг. Хэрэв энэ өдөр 5 хичээл байх ёстой бөгөөд бүх хичээлүүд өөр байвал даваа гаригт хэдэн өөр цагийн хуваарийн хувилбар үүсгэж болох вэ?
Хэрэв та 0 ба 9-ээс эхэлсэн тоог хасвал долоон оронтой хэдэн утасны дугаар үүсгэж болох вэ?
Хэрэглээ:
Даалгавар 1:
Туг - тусгай тулгуур (тугны шон) дээр өргөгдсөн, ихэвчлэн тэгш өнцөгт хэлбэртэй самбар.
Төрийн далбаа нь төрийн нэг юм ……………..
1991 оны 8-р сарын 22-нд РСФСР-ын Дээд Зөвлөлийн ээлжит бус чуулганаар "................, ……………. …………. судал нь ОХУ-ын албан ёсны төрийн далбаа юм.
Даалгавар 2
1. Асуудлыг уншина уу.
Асуудал: (Тэмдэглэлийн дэвтэр дээрх шийдэл)
Цагаан, улаан, цэнхэр гэсэн ижил өргөн, өөр өөр өнгийн гурван хэвтээ судлуудаас бүтсэн хэдэн туг байдаг вэ?
1.Хуваах үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрийг давт;
Бүрэлдэхүүн хэсэг бүр хаана байрладаг.
2. Өгөгдсөн жагсаалтаас дурын гурван даалгаврыг шийдвэрлэхийн тулд дурын аргыг ашиглан гүйцэтгээрэй.
Тусгал:
1.Өнөөдөр хичээл дээр би …………. (хялбар, ихэвчлэн, хэцүү)
2. Би... (шинэ материалыг сурсан, хэрэглэж чаддаг, сурсан, хэрэглэхэд хэцүү, сураагүй)
3.Хичээлдээ өөрийгөө үнэлэх үнэлэмж...
