Өнөөдөр бид таныг функцийн графикийг судалж, бүтээхийг урьж байна. Энэ өгүүллийг сайтар судалсны дараа та ийм төрлийн ажлыг гүйцэтгэхийн тулд удаан хугацаанд хөлрөх шаардлагагүй болно. Функцийн графикийг судалж, бүтээх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд энэ нь хамгийн их анхаарал, тооцоолол шаарддаг асар том ажил юм. Материалыг ойлгоход хялбар болгохын тулд бид ижил функцийг алхам алхмаар судалж, бүх үйлдэл, тооцоогоо тайлбарлах болно. Математикийн гайхалтай, сэтгэл татам ертөнцөд тавтай морил! Яв!

Домэйн

Функцийг судалж, график зурахын тулд та хэд хэдэн тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй. Функц нь математикийн үндсэн (үндсэн) ойлголтуудын нэг юм. Энэ нь өөрчлөлтийн үед хэд хэдэн хувьсагчийн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хоорондын хамаарлыг тусгадаг. Мөн функц нь олонлогуудын хамаарлыг харуулдаг.

Бидэнд тодорхой хэлбэлзэлтэй хоёр хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэгэхээр хоёр дахь хувьсагчийн утга тус бүр хоёр дахь хувьсагчийн нэг утгатай тохирч байвал у нь х-ийн функц юм. Энэ тохиолдолд y хувьсагч хамааралтай байх ба үүнийг функц гэж нэрлэдэг. Энэ хамаарлыг илүү тодорхой болгохын тулд x ба y хувьсагчид байдаг гэж хэлэх нь заншилтай байдаг. Функцийн график гэж юу вэ? Энэ бол цэгүүдийн багц юм координатын хавтгай, энд x утга бүр нэг у утгатай тохирч байна. График нь өөр байж болно - шулуун шугам, гипербол, парабол, синус долгион гэх мэт.

Судалгаагүйгээр функцийн графикийг зурах боломжгүй. Өнөөдөр бид судалгаа хийж, функцийн графикийг хэрхэн бүтээх талаар сурах болно. Судалгааны явцад тэмдэглэл хөтлөх нь маш чухал юм. Энэ нь даалгаврыг даван туулахад илүү хялбар болгоно. Хамгийн тохиромжтой судалгааны төлөвлөгөө:

Домэйн.
Тасралтгүй байдал.
Тэгш эсвэл сондгой.
Үе үе.
Асимптотууд.
Тэг.
Тогтмол шинж тэмдэг.
Өсч, буурч байна.
Хэт их.
Гүдгэр ба хотгор.

Эхний цэгээс эхэлье. Тодорхойлолтын мужийг олъё, өөрөөр хэлбэл бидний функц ямар интервалд оршиж байгааг олъё: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Манай тохиолдолд функц нь x-ийн дурын утгын хувьд байдаг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын муж нь R-тэй тэнцүү байна. Үүнийг xÎR гэж дараах байдлаар бичиж болно.

Тасралтгүй байдал

Одоо бид тасалдлын функцийг авч үзэх болно. Математикт "тасралтгүй байдал" гэсэн нэр томъёо нь хөдөлгөөний хуулиудыг судалсны үр дүнд бий болсон. Хязгааргүй гэж юу вэ? Орон зай, цаг хугацаа, зарим хамаарал (жишээ нь хөдөлгөөний бодлогод S ба t хувьсагчийн хамаарал), халсан объектын температур (ус, хайруулын таваг, термометр гэх мэт), тасралтгүй шугам (өөрөөр хэлбэл, хуудасны харандаанаас өргөхгүйгээр зурж болно).

График хэзээ нэгэн цагт тасрахгүй бол тасралтгүй гэж тооцогддог. Хамгийн тайлбарлах жишээнүүдИйм график нь синусоид бөгөөд та үүнийг зурган дээрээс харж болно энэ хэсэг. Хэд хэдэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд функц x0 цэг дээр тасралтгүй байна.

өгөгдсөн цэг дээр функц тодорхойлогдсон;
цэг дээрх баруун ба зүүн хязгаарууд тэнцүү байна;
хязгаар утгатай тэнцүү байна x0 цэг дээрх функцууд.

Хэрэв ядаж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол функц амжилтгүй болно гэж хэлнэ. Мөн функцийн эвдэрсэн цэгүүдийг ихэвчлэн таслах цэг гэж нэрлэдэг. Графикаар харуулах үед “эвдрэх” функцийн жишээ нь: y=(x+4)/(x-3). Тэгээд ч x = 3 цэгт y байхгүй (учир нь тэгээр хуваах боломжгүй).

Бидний судалж буй функцэд (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) график тасралтгүй байх тул бүх зүйл энгийн болсон.

Бүр, хачин

Одоо функцийг паритын хувьд шалгана уу. Нэгдүгээрт, бага зэрэг онол. x хувьсагчийн дурын утгын (утгын мужаас) f(-x)=f(x) нөхцөлийг хангасан функцийг тэгш функц гэнэ. Жишээ нь:

модуль x (график нь үүр шиг харагдаж байна, графикийн эхний болон хоёрдугаар улирлын биссектрис);
x квадрат (парабол);
косинус x (косинус).

Эдгээр бүх графикуудыг у тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу.

Тэгвэл сондгой функцийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр нь x хувьсагчийн дурын утгын хувьд f(-x)=-f(x) гэсэн нөхцөлийг хангасан функцууд юм. Жишээ нь:

гипербола;
куб парабол;
синусоид;
шүргэгч гэх мэт.

Эдгээр функцууд нь цэг (0:0), өөрөөр хэлбэл гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу. Өгүүллийн энэ хэсэгт хэлсэн зүйл дээр үндэслэн тэгш, сондгой функц нь шинж чанартай байх ёстой: x нь тодорхойлолтын олонлогт хамаарах ба -x мөн.

Функцийг паритетийн хувьд авч үзье. Тэр ямар ч тайлбарт тохирохгүй байгааг бид харж байна. Тиймээс бидний функц тэгш, сондгой ч биш.

Асимптотууд

Тодорхойлолтоор эхэлье. Асимптот гэдэг нь графикт аль болох ойртсон муруй, өөрөөр хэлбэл тодорхой цэгээс зай нь тэг рүү чиглэдэг. Нийтдээ гурван төрлийн асимптот байдаг:

босоо, өөрөөр хэлбэл y тэнхлэгтэй параллель;
хэвтээ, өөрөөр хэлбэл x тэнхлэгтэй параллель;
налуу.

Эхний төрлийн хувьд эдгээр мөрүүдийг зарим цэгээс хайх хэрэгтэй.

цоорхой;
тодорхойлолтын хүрээний төгсгөлүүд.

Манай тохиолдолд функц тасралтгүй бөгөөд тодорхойлолтын муж нь R-тэй тэнцүү байна. Иймд босоо асимптотуудаль нь ч биш.

Функцийн график нь дараах шаардлагыг хангасан хэвтээ асимптоттой байна: хэрэв x нь хязгааргүй эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол хязгаар нь тодорхой тоотой тэнцүү (жишээлбэл, a). IN энэ тохиолдолд y=a - энэ нь хэвтээ асимптот юм. Бидний судалж буй функцэд хэвтээ асимптот байхгүй.

Ташуу асимптот нь зөвхөн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л бий болно.

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Дараа нь y=kx+b томъёог ашиглан олж болно. Дахин хэлэхэд, манай тохиолдолд ташуу асимптот байхгүй.

Функцийн тэг

Дараагийн алхам бол функцийн графикийг тэгээр шалгах явдал юм. Функцийн тэгийг олохтой холбоотой ажил нь зөвхөн функцийн графикийг судалж, байгуулах үед тохиолддог гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. бие даасан даалгавар, мөн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга зам болгон. График дээрх функцийн тэгийг олох эсвэл математик тэмдэглэгээг ашиглах шаардлагатай байж болно.

Эдгээр утгыг олох нь функцийн графикийг илүү нарийвчлалтай гаргахад тусална. Хэрэв бид ярилцвал энгийн хэлээр, тэгвэл функцийн тэг нь y = 0 байх х хувьсагчийн утга юм. Хэрэв та график дээрх функцийн тэгийг хайж байгаа бол график нь х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Функцийн тэгийг олохын тулд та шийдэх хэрэгтэй дараах тэгшитгэл: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Шаардлагатай тооцоог хийсний дараа бид дараах хариултыг авна.

Тогтмол шинж тэмдэг

Функцийг (график) судлах, бүтээх дараагийн үе шат бол тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олох явдал юм. Энэ нь функц ямар интервалд орохыг тодорхойлох ёстой гэсэн үг юм эерэг утга, зарим нь - сөрөг. Сүүлийн хэсэгт олсон тэг функцууд үүнийг хийхэд тусална. Тиймээс, бид шулуун шугамыг (графикаас тусад нь) барьж, түүний дагуу функцийн тэгүүдийг хамгийн баганаас том хүртэл зөв дарааллаар хуваарилах хэрэгтэй. Одоо та үүссэн интервалуудын аль нь "+" тэмдэгтэй, аль нь "-" тэмдэгтэй байгааг тодорхойлох хэрэгтэй.

Манай тохиолдолд функц нь интервал дээр эерэг утгыг авдаг:

1-ээс 4 хүртэл;
9-ээс хязгааргүй хүртэл.

Сөрөг утга:

хасах хязгаараас 1 хүртэл;
4-өөс 9 хүртэл.

Үүнийг тодорхойлоход тун хялбар. Функцийн интервалаас дурын тоог орлуулж, хариулт нь ямар тэмдэгтэй болохыг хараарай (хасах эсвэл нэмэх).

Өсөх, багасгах функцууд

Функцийг судалж, бүтээхийн тулд бид график хаана өсөх (Ой тэнхлэгийн дагуу дээшлэх), хаана унах (у тэнхлэгийн дагуу доош мөлхөх) болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Зөвхөн x хувьсагчийн том утга тохирч байвал функц нэмэгдэнэ илүү өндөр үнэ цэнэу. Өөрөөр хэлбэл, x2 нь x1-ээс их, f(x2) нь f(x1)-ээс их байна. Мөн туйлын эсрэг үзэгдэлБид буурах функцийг ажиглаж байна (х илүү их байх тусам у бага). Өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд та дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.

тодорхойлолтын домэйн (бидэнд аль хэдийн байгаа);
дериватив (бидний тохиолдолд: 1/3(3x^2-28x+49);
1/3(3x^2-28x+49)=0 тэгшитгэлийг шийд.

Тооцооллын дараа бид дараах үр дүнг авна.

Бид дараахийг авна: функц нь хасах хязгаараас 7/3 хүртэл, 7-оос хязгааргүй хүртэлх интервал дээр нэмэгдэж, 7/3-аас 7 хүртэлх интервал дээр буурдаг.

Хэт их

Судалгаанд хамрагдаж буй y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) функц нь тасралтгүй бөгөөд x хувьсагчийн дурын утгад оршино. Экстремум цэг нь өгөгдсөн функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг харуулдаг. Манай тохиолдолд эдгээр нь байдаггүй бөгөөд энэ нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Үгүй бол тэдгээрийг дериватив функцийг ашиглан олж болно. Олсны дараа тэдгээрийг график дээр тэмдэглэхээ бүү мартаарай.

Гүдгэр ба хотгор

Бид y(x) функцийг үргэлжлүүлэн судлах болно. Одоо бид гүдгэр, гүдгэр эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Эдгээр ойлголтуудын тодорхойлолтыг ойлгоход хэцүү байдаг; жишээн дээр бүх зүйлийг шинжлэх нь дээр. Туршилтын хувьд: Хэрэв функц нь буурахгүй бол гүдгэр байна. Зөвшөөрч байна, энэ нь ойлгомжгүй юм!

Хоёрдахь эрэмбийн функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. Бид авна: y=1/3(6x-28). Одоо тэнцүүлж үзье баруун талтэг болгож тэгшитгэлийг шийднэ. Хариулт: x=14/3. Бид гулзайлтын цэгийг, өөрөөр хэлбэл график нь гүдгэрээс хотгор руу эсвэл эсрэгээр өөрчлөгдөх газрыг олсон. Хасах хязгаараас 14/3 хүртэлх зайд функц нь гүдгэр, 14/3-аас нэмэх хязгаар хүртэл хонхор байна. График дээрх гулзайлтын цэг нь гөлгөр, зөөлөн байх ёстой гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм, үгүй хурц булангуудбайх ёсгүй.

Нэмэлт цэгүүдийг тодорхойлох

Бидний даалгавар бол функцийн графикийг судалж, байгуулах явдал юм. Бид судалгаагаа дуусгасан бөгөөд функцийн графикийг бүтээх нь тийм ч хэцүү биш юм. Координатын хавтгай дээрх муруй эсвэл шулуун шугамыг илүү нарийвчлалтай, нарийвчилсан хуулбарлахын тулд та хэд хэдэн туслах цэгүүдийг олох боломжтой. Тэдгээрийг тооцоолоход маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, бид x=3-ыг авч, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, y=4-ийг олно. Эсвэл x=5, мөн у=-5 гэх мэт. Та барилгын ажилд шаардлагатай олон оноо авах боломжтой. Хамгийн багадаа 3-5 нь олддог.

График зурах

Бид (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y функцийг судлах шаардлагатай болсон. Тооцооллын явцад шаардлагатай бүх тэмдэглэгээг координатын хавтгайд хийсэн. График байгуулах, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүдийг холбох л үлдлээ. Цэгүүдийг холбох нь гөлгөр, үнэн зөв байх ёстой, энэ бол ур чадварын асуудал юм - бага зэрэг дасгал хийвэл таны хуваарь төгс болно.

$y= \frac(x^3)(1-x) $ функцийг судалж графикийг нь байгуулъя.

1. Тодорхойлолтын хамрах хүрээ.
Тодорхойлолтын домэйн оновчтой функц(бутархай) байх болно: хуваагч биш тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. Домэйн $$D_f= (-\infty; 1) \аяга (1;+\infty)$$

2. Функцийн тасрах цэг ба тэдгээрийн ангилал.
Функц нь нэг таслах цэгтэй байна x = 1
x= 1 цэгийг шалгая. Тасралтгүй цэгийн баруун ба зүүн талд байрлах функцийн хязгаарыг $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) гэж олъё. -x)) = -\infty $$ ба цэгийн зүүн талд $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Энэ учир нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг юм нэг талын хязгаар нь $\infty$-тэй тэнцүү байна.

Шулуун шугам $x = 1$ нь босоо асимптот юм.

3. Функцийн паритет.
Функц тэгш ч биш сондгой ч биш $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ тэнцүү эсэхийг шалгана.

4. Функцийн тэг (Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд). Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Функцийн тэг ( Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэг): бид $y=0$ тэнцүүлж, $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $ авна. Муруй нь координаттай $(0;0)$ Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна.

Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Үзэж буй интервалууд дээр $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ муруй нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй тул бид гурван интервалаар тодорхойлолтын мужийг авч үзэх болно.

Тодорхойлолтын домайн интервал дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
интервал $(-\infty; 0) $ дурын цэг дэх функцийн утгыг олох $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
интервал $(0; 1) $ аль ч цэг дэх функцийн утгыг олно $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, энэ интервал дээр функц нь байна. эерэг $f(x) > 0 $, i.e. Үхрийн тэнхлэгээс дээш байрладаг.
интервал $(1;+\infty) $ дурын цэг дэх функцийн утгыг ол $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: бид $x=0$ тэнцүүлж, $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$ авна. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат $(0; 0)$

6. Нэг хэвийн байдлын интервалууд. Функцийн экстремум.
Критик (хөдөлгөөнгүй) цэгүүдийг олцгооё, үүний тулд бид эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ нь 0-тэй тэнцүү $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Энэ цэг дэх функцийн утгыг олъё $ f(0) = 0$ ба $f(\frac(3)(2)) = -6.75$. Бид $(0;0)$ ба $(1.5;-6.75)$ координаттай хоёр чухал цэгийг авсан.

Нэг хэвийн байдлын интервалууд.
Функц нь хоёр чухал цэгтэй (боломжтой экстремум цэгүүд) тул бид дөрвөн интервалаар монотон байдлыг авч үзэх болно.
интервал $(-\infty; 0) $ интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг олох $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
интервал \((0;1)$ бид $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ интервалын аль ч цэгээс эхний деривативын утгыг олно. 2) > 0$ , функц энэ интервалд нэмэгдэнэ.
интервал $(1;1.5)$ бид $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ интервалын аль ч цэгээс эхний деривативын утгыг олно. 2) > 0$ , функц энэ интервалд нэмэгдэнэ.
интервал $(1.5; +\infty)$ $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг ол. ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

Функцийн экстремум.

Функцийг судлахдаа бид тодорхойлолтын домэйны интервал дээр хоёр чухал (хөдөлгөөнгүй) цэгийг олж авсан. Тэд туйлширсан эсэхийг тодорхойлъё. Чухал цэгүүдээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг авч үзье.

цэг $x = 0$ дериватив тэмдэг нь $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ -ээр өөрчлөгддөг - цэг нь экстремум биш юм.
цэг $x = 1.5$ дериватив тэмдэг нь $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ -ээр өөрчлөгддөг - цэг нь хамгийн их цэг юм.

7. Гүдгэр ба хотгорын завсар. Гулзайлтын цэгүүд.

Гүдгэр ба хотгорын интервалыг олохын тулд функцийн хоёр дахь деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Тэгтэй тэнцүү $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функц нь координаттай хоёр дахь төрлийн нэг чухал цэгтэй байна $(0;0)$ .
Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгийг (боломжтой гулзайлтын цэг) харгалзан тодорхойлолтын хүрээний интервал дээр гүдгэрийг тодорхойлъё.

интервал $(-\infty; 0)$ аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг олох $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-) x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(0; 1)$ бид хоёр дахь деривативын утгыг дурын цэгээс олно $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, энэ интервал дээр функцийн хоёр дахь дериватив эерэг байна $f""(x) > 0 $ функц нь доошоо гүдгэр (гүдгэр).
интервал $(1; \infty)$ аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг олох $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Гулзайлтын цэгүүд.

Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг авч үзье.
$x =0$ цэг дээр хоёр дахь дериватив нь $\quad - \quad 0 \quad + \quad$ тэмдэгтэй өөрчлөгдөнө, функцийн график нь гүдгэр байдлыг өөрчилнө, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь координаттай гулзайлтын цэг юм $(0;0)$.

8. Асимптотууд.

Босоо асимптот. Функцийн график нь нэг босоо асимптоттой $x =1$ (2-р догол мөрийг үзнэ үү).
Ташуу асимптот.
$x \to \infty$ дахь $y= \frac(x^3)(1-x) $ функцийн график нь налуу асимптоттой байхын тулд $y = kx+b$ , энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$бид $$ \lim_(x) гэсэн хоёр хязгаарлалттай байх болно. \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ба хоёр дахь хязгаар $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, учир нь $k = \infty$ - ташуу асимптот байхгүй.

Хэвтээ асимптот:Хэвтээ асимптот байхын тулд $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ гэсэн хязгаар байх шаардлагатай $$ \lim_(x \to +\infty) олъё. )(\frac(x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Хэвтээ асимптот байхгүй.

9. Функцийн график.

Хэсэг хугацааны турш SSL-д зориулсан сертификатын мэдээллийн сан TheBat дээр зөв ажиллахаа больсон (ямар шалтгааны улмаас тодорхойгүй байна).

Нийтлэлийг шалгах үед алдаа гарч ирнэ:

Үл мэдэгдэх CA гэрчилгээ
Сервер нь хуралдаанд эх гэрчилгээ үзүүлээгүй бөгөөд хаягийн дэвтэрт харгалзах эх сертификат олдсонгүй.
Энэ холболт нууц байж болохгүй. Гуйя
серверийн админтайгаа холбогдоно уу.

Мөн танд хариултын сонголтыг санал болгож байна - ТИЙМ / ҮГҮЙ. Тиймээс та имэйлийг устгах бүртээ.

Шийдэл

Энэ тохиолдолд та TheBat тохиргоонд S/MIME болон TLS хэрэгжүүлэх стандартыг Microsoft CryptoAPI-ээр солих хэрэгтэй!

Би бүх файлыг нэгтгэх шаардлагатай байсан тул эхлээд бүгдийг хөрвүүлсэн doc файлуудсингл болгон pdf файл(Acrobat програмыг ашиглан), дараа нь онлайн хөрвүүлэгчээр дамжуулан fb2 руу шилжүүлсэн. Та мөн файлуудыг тусад нь хөрвүүлэх боломжтой. Форматууд нь ямар ч байж болно (эх сурвалж) - doc, jpg, тэр ч байтугай zip архив!

Сайтын нэр нь мөн чанарт нийцэж байна :) Онлайн Photoshop.

2015 оны тавдугаар сарын шинэчлэл

Би өөр нэг гайхалтай сайт олсон! Бүрэн өөрчлөн эвлүүлэг хийхэд илүү тохиромжтой, ажиллагаатай! Энэ бол http://www.fotor.com/ru/collage/ сайт юм. Эрүүл мэндийнхээ төлөө үүнийг сайхан өнгөрүүлээрэй. Тэгээд би өөрөө ашиглах болно.

Би амьдралдаа цахилгаан зуух засах асуудалтай тулгарсан. Би аль хэдийн маш их зүйл хийсэн, маш их зүйл сурсан, гэхдээ ямар нэг байдлаар хавтанцартай огт холбоогүй байсан. Зохицуулагч ба шатаагч дээрх контактуудыг солих шаардлагатай байв. Асуулт гарч ирэв - цахилгаан зуух дээрх шатаагч диаметрийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хариулт нь энгийн байсан. Та юу ч хэмжих шаардлагагүй, та ямар хэмжээтэй хэрэгтэйг нүдээрээ хялбархан тодорхойлж чадна.

Хамгийн бага шатаагч- энэ нь 145 миллиметр (14.5 сантиметр)

Дунд шатаагч- энэ нь 180 миллиметр (18 сантиметр) юм.

Эцэст нь, хамгийн их том шатаагч- энэ нь 225 миллиметр (22.5 сантиметр) юм.

Хэмжээг нүдээр тодорхойлж, ямар диаметртэй шатаагч хэрэгтэйг ойлгоход хангалттай. Би үүнийг мэдэхгүй байхдаа эдгээр хэмжээсүүдийн талаар санаа зовж, хэрхэн хэмжих, аль ирмэгийг чиглүүлэх гэх мэтийг мэдэхгүй байв. Одоо би ухаантай болсон :) Би ч бас чамд тусалсан гэж найдаж байна!

Би амьдралдаа ийм асуудалтай тулгарсан. Би ганцаараа биш гэж бодож байна.

Функцийг хэрхэн судалж графикийг нь барих вэ?

Дэлхийн пролетариатын удирдагч, 55 боть түүвэр зохиолын зохиолчийн оюун санааны ухааралтай царайг би ойлгож эхэлж байх шиг байна... Урт удаан аялал эхэллээ Үндсэн мэдээлэлО функц ба графикууд, тэгээд одоо хөдөлмөр их шаарддаг сэдэв дээр ажиллах нь логик үр дүн - нийтлэлээр төгсдөг функцийг бүрэн судлах тухай. Удаан хүлээгдэж буй даалгаврыг дараах байдлаар томъёоллоо.

Арга ашиглан функцийг судлах дифференциал тооцоосудалгааны үр дүнд үндэслэн график байгуулна

Эсвэл товчхондоо: функцийг шалгаж, график байгуул.

Яагаад судлах вэ? IN энгийн тохиолдлуудүүнийг шийдвэрлэх нь бидэнд хэцүү биш байх болно үндсэн функцууд, ашиглан олж авсан графикийг зур энгийн геометрийн хувиргалтуудгэх мэт. Гэсэн хэдий ч, шинж чанар ба график зургуудилүү нарийн төвөгтэй функцуудтодорхой биш байгаа тул бүхэл бүтэн судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Шийдлийн үндсэн үе шатуудыг тоймлон харуулав лавлах материал Функцийг судлах схем, энэ бол таны хэсгийн гарын авлага юм. Дамми нь сэдвийн талаар алхам алхмаар тайлбар хийх шаардлагатай байдаг, зарим уншигч хаанаас эхлэх, судалгаагаа хэрхэн зохион байгуулахаа мэдэхгүй, ахисан түвшний оюутнууд хэдхэн зүйлийг сонирхож магадгүй юм. Харин та хэн ч байсан, эрхэм зочин, заагчтай санал болгож буй хураангуй янз бүрийн хичээлүүдВ хамгийн богино хугацаатаныг сонирхож буй чиглэлд чиглүүлж, чиглүүлэх болно. Роботууд нулимс дуслуулсан =) Гарын авлага нь pdf файл хэлбэрээр тавигдаж, хуудсан дээр зохих байр сууриа эзэллээ. Математикийн томъёо, хүснэгт.

Би функцийн судалгааг 5-6 оноо болгон задлахад дассан:

6) Судалгааны үр дүнд үндэслэн нэмэлт цэг, график.

Эцсийн үйл ажиллагааны тухайд бүх зүйл бүгдэд ойлгомжтой байгаа гэж би бодож байна - хэрэв хэдхэн секундын дотор үүнийг хасч, даалгавраа хянан үзэхээр буцааж өгвөл маш их урам хугарах болно. ЗӨВ, ЗӨВ ЗУРАГ нь шийдлийн гол үр дүн юм! Тэр хамт байна өндөр магадлалтайаналитик алдааг "далдлах" бөгөөд буруу ба/эсвэл хайхрамжгүй хуваарь нь төгс хийгдсэн судалгаанд ч асуудал үүсгэх болно.

Бусад эх сурвалжид судалгааны цэгүүдийн тоо, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх дараалал, дизайны хэв маяг нь миний санал болгож буй схемээс эрс ялгаатай байж болох ч ихэнх тохиолдолд энэ нь хангалттай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бодлогын хамгийн энгийн хувилбар нь ердөө 2-3 үе шатаас бүрдэх бөгөөд "үүсмэлийг ашиглан функцийг судалж, график байгуулах" эсвэл "1, 2-р дериватив ашиглан функцийг судлах, график байгуулах" гэх мэт томъёолсон болно.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв таны гарын авлагад өөр алгоритмыг нарийвчлан тайлбарласан эсвэл багш тань лекцээ дагаж мөрдөхийг хатуу шаардаж байгаа бол та шийдэлд зарим тохируулга хийх хэрэгтэй болно. Гинжний сэрээг халбагаар солихоос илүү хэцүү зүйл байхгүй.

Функцийг тэгш/сондгой эсэхийг шалгая:

Үүний дараа загварын хариулт гарч ирнэ:
, гэсэн үг, энэ функцтэгш эсвэл сондгой биш.

Функц нь дээр үргэлжилдэг тул босоо асимптот байхгүй.

Мөн ташуу асимптот байхгүй.

Анхаарна уу : Өндөр байх тусмаа гэдгийг би танд сануулж байна өсөлтийн дараалал, -ээс, тиймээс эцсийн хязгаар нь яг " нэмэххязгааргүй."

Хязгааргүй үед функц хэрхэн ажилладагийг олж мэдье:

Өөрөөр хэлбэл, баруун тийшээ явбал график хязгааргүй дээшээ, зүүн тийшээ явбал хязгааргүй хол доошоо явдаг. Тийм ээ, энд бас хоёр хязгаарлалт бий нэг оруулга. Хэрэв та тэмдгүүдийг тайлахад хэцүү байвал энэ тухай хичээлд зочилно уу хязгааргүй жижиг функцууд.

Тиймээс функц дээрээс хязгаарлагдахгүйТэгээд доороос хязгаарлагдахгүй. Бидэнд ямар ч таслах цэг байхгүй гэж үзвэл энэ нь тодорхой болно функцийн хүрээ: – мөн дурын бодит тоо.

АШИГТАЙ ТЕХНИКИЙН ТЕХНИК

Даалгаврын үе шат бүрийг авчирдаг шинэ мэдээлэлфункцийн графикийн тухайТиймээс, шийдлийн явцад нэг төрлийн LAYOUT ашиглах нь тохиромжтой. Ноорог дээр декартын координатын системийг зуръя. Аль хэдийн тодорхой болсон зүйл юу вэ? Нэгдүгээрт, график нь асимптотгүй тул шулуун шугам зурах шаардлагагүй. Хоёрдугаарт, функц хязгааргүй үед хэрхэн ажилладагийг бид мэднэ. Шинжилгээний дагуу бид эхний ойролцоо дүгнэлтийг гаргаж байна.

улмаас гэдгийг анхаарна уу тасралтгүй байдалфункцууд болон график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа хөндлөн гарах ёстой. Эсвэл огтлолцох хэд хэдэн цэг байдаг болов уу?

3) Функцийн тэг ба тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Эхлээд графын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Энэ бол энгийн. Функцийн утгыг дараахь үед тооцоолох шаардлагатай.

Далайн түвшнээс дээш нэг хагас.

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (функцийн тэг) олохын тулд бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энд биднийг хүлээж байна. таагүй гэнэтийн бэлэг:

Төгсгөлд нь нуусан чөлөөт гишүүн, энэ нь даалгаврыг ихээхэн хүндрүүлдэг.

Ийм тэгшитгэл нь дор хаяж нэг бодит язгууртай бөгөөд ихэнхдээ энэ үндэс нь иррациональ байдаг. Хамгийн муу үлгэрт гурван бяцхан гахай биднийг хүлээж байна. Тэгшитгэлийг гэгдэх зүйлийг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой Кардано томъёо, гэхдээ цаасны гэмтэл нь бараг бүх судалгаатай харьцуулж болно. Үүнтэй холбогдуулан амаар эсвэл ноорог хэлбэрээр ядаж нэгийг сонгохыг хичээх нь илүү ухаалаг хэрэг юм. бүхэлд ньүндэс. Эдгээр тоонууд байгаа эсэхийг шалгацгаая:
- тохиромжгүй;
- Байгаа!

Энд азтай байна. Хэрэв бүтэлгүйтсэн тохиолдолд та мөн туршилт хийж болно, хэрэв эдгээр тоонууд тохирохгүй бол тэгшитгэлийг ашигтайгаар шийдэх боломж маш бага байна гэж би айж байна. Дараа нь судалгааны цэгийг бүрмөсөн алгасах нь дээр - магадгүй нэмэлт цэгүүдийг задлах эцсийн шатанд ямар нэг зүйл тодорхой болох болно. Хэрэв үндэс(үүд) нь тодорхой "муу" байвал тэмдгүүдийн тогтмол байдлын интервалын талаар даруухан чимээгүй байж, илүү болгоомжтой зурах нь дээр.

Гэсэн хэдий ч бид сайхан үндэстэй тул олон гишүүнтийг хуваана үлдэгдэлгүй:

Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваах алгоритмыг хичээлийн эхний жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Цогцолбор хязгаар.

Эцэст нь зүүн тал анхны тэгшитгэл бүтээгдэхүүн болж задардаг:

Тэгээд одоо бага зэрэг эрүүламьдрал. Би үүнийг мэдээж ойлгож байна квадрат тэгшитгэлӨдөр бүр шийдэх хэрэгтэй, гэхдээ өнөөдөр бид үл хамаарах зүйл хийх болно: тэгшитгэл хоёр жинхэнэ үндэстэй.

Олдсон утгуудыг тоон мөрөнд зурцгаая Тэгээд интервалын аргаФункцийн тэмдгүүдийг тодорхойлъё:

Тиймээс интервалаар хуваарь байрладаг
х тэнхлэгийн доор, мөн интервалаар - энэ тэнхлэгээс дээш.

Олдворууд нь бидний зохион байгуулалтыг сайжруулах боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд графикийн хоёр дахь ойролцоолсон байдал дараах байдалтай байна.

Функц нь интервал дээр дор хаяж нэг максимум, интервал дээр дор хаяж нэг минимум байх ёстойг анхаарна уу. Гэхдээ хуваарь хэдэн удаа, хаана, хэзээ давтагдахыг бид хараахан мэдэхгүй байна. Дашрамд хэлэхэд функц нь хязгааргүй олонтой байж болно туйлшрал.

4) Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Энэ тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй. Тэдгээрийг тооны шулуун дээр тавиад деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё.

Тиймээс функц нь -ээр нэмэгддэг -аар буурдаг.
Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ: .
Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ: .

Тогтсон баримтууд нь бидний загварыг нэлээд хатуу тогтолцоонд оруулдаг:

Дифференциал тооцоо бол хүчирхэг зүйл гэдгийг хэлэх шаардлагагүй. Эцэст нь графикийн хэлбэрийг ойлгоцгооё:

5) Гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэгүүд.

Хоёрдахь деривативын эгзэгтэй цэгүүдийг олцгооё.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё:

Функцийн график дээр гүдгэр, дээр нь хотгор байна. Гулзайлтын цэгийн ординатыг тооцоод үзье: .

Бараг бүх зүйл тодорхой болсон.

6) Графикийг илүү нарийвчлалтай байгуулах, өөрийгөө шалгахад туслах нэмэлт цэгүүдийг олоход л үлдлээ. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг, гэхдээ бид тэдгээрийг үл тоомсорлохгүй.

Зураг зурцгаая:

НогоонГулзайлтын цэгийг тэмдэглэж, нэмэлт цэгүүдийг загалмайгаар тэмдэглэв. Хуваарь куб функцнь гулзайлтын цэгийнхээ хувьд тэгш хэмтэй бөгөөд энэ нь үргэлж хамгийн их ба хамгийн бага хооронд яг дунд байрладаг.

Би даалгавраа гүйцэтгэж байх үед би гурван таамаглалтай завсрын зургийг өгсөн. Практикт координатын системийг зурж, олсон цэгүүдийг тэмдэглэж, судалгааны цэг бүрийн дараа функцийн график ямар байж болохыг сэтгэн бодоход хангалттай. Бэлтгэл сайтай оюутнуудад ноорог оруулахгүйгээр зөвхөн толгойдоо ийм дүн шинжилгээ хийх нь тийм ч хэцүү биш байх болно.

Учир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Функцийг судалж, график байгуул.

Энд бүх зүйл илүү хурдан бөгөөд илүү хөгжилтэй байдаг. ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд дуусгах.

Судалгаа нь олон нууцыг илчилдэг бутархай рационал функцууд:

Жишээ 3

Функцийг судлахын тулд дифференциал тооцооллын аргыг ашиглан судалгааны үр дүнд үндэслэн түүний графикийг байгуулна.

Шийдэл: Судалгааны эхний үе шат нь тодорхойлогдсон талбайн цоорхойг эс тооцвол ямар ч гайхалтай зүйлээр ялгагдахгүй.

1) Функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг. домэйн: .

, энэ функц нь тэгш эсвэл сондгой биш гэсэн үг юм.

Функц нь үе үе биш байх нь ойлгомжтой.

Функцийн график нь зүүн ба баруун хагас хавтгайд байрлах хоёр тасралтгүй салбараас бүрддэг - энэ нь магадгүй хамгийн их нь юм. чухал дүгнэлт 1-р цэг.

2) Асимптотууд, хязгааргүй дэх функцийн зан төлөв.

a) Нэг талын хязгаарыг ашиглан бид босоо асимптот байх ёстой сэжигтэй цэгийн ойролцоо функцийн үйл ажиллагааг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ, функцууд нь тэсвэрлэдэг төгсгөлгүй цоорхойцэг дээр
ба шулуун шугам (тэнхлэг) байна босоо асимптотграфик урлаг.

б) Ташуу асимптотууд байгаа эсэхийг шалгацгаая:

Тийм ээ, энэ нь шулуун байна ташуу асимптотграфик , хэрэв .

Функц нь ташуу асимптотыг хамарч байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон тул хязгаарлалтыг шинжлэх нь утгагүй юм. дээрээс хязгаарлагдахгүйТэгээд доороос хязгаарлагдахгүй.

Судалгааны хоёр дахь цэг нь маш их зүйлийг авчирсан чухал мэдээлэлфункцийн талаар. Бүдүүн ноорог зурцгаая:

Дүгнэлт No1 нь тогтмол тэмдгийн интервалд хамаарна. "Хасах хязгааргүй" үед функцийн график нь х тэнхлэгийн доор тодорхой байрласан бөгөөд "нэмэх хязгааргүй" үед энэ тэнхлэгээс дээш байрлана. Нэмж дурдахад, нэг талын хязгаарлалтууд нь тухайн цэгийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь функц байгааг бидэнд хэлсэн Тэгээс дээш. Зүүн талын хагас хавтгайд график нь х тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа гатлах ёстойг анхаарна уу. Баруун талын хагас хавтгайд функцийн ямар ч тэг байхгүй байж болно.

Дүгнэлт No2 нь функц нь цэг дээр болон зүүн талд ("доороос дээш" явдаг) нэмэгддэг. Энэ цэгийн баруун талд функц буурдаг ("дээрээс доош" явдаг). Графикийн баруун салбар нь мэдээж дор хаяж нэг доод талтай байх ёстой. Зүүн талд, хэт туйлшрал нь баталгаатай биш юм.

Дүгнэлт No3 нь тухайн цэгийн ойролцоох графын хонхор байдлын талаар найдвартай мэдээлэл өгдөг. Хязгааргүй дэх гүдгэр/гүдгэр байдлын талаар бид хараахан юу ч хэлж чадахгүй, учир нь шугамыг дээрээс болон доороос өөрийн асимптот руу чиглүүлж болно. Ерөнхийдөө бол байдаг аналитик аргаҮүнийг яг одоо олж мэдээрэй, гэхдээ графикийн хэлбэр нь хожим тодорхой болно.

Яагаад ийм олон үг вэ? Дараагийн судалгааны цэгүүдийг хянаж, алдаа гаргахаас зайлсхийхийн тулд! Цаашдын тооцоо нь гаргасан дүгнэлттэй зөрчилдөх ёсгүй.

3) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Функцийн график нь тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй.

Интервалын аргыг ашиглан бид дараах шинж тэмдгүүдийг тодорхойлно.

, Хэрэв ;
, Хэрэв .

Энэ цэгийн үр дүн нь 1-р дүгнэлттэй бүрэн нийцэж байна. Үе шат бүрийн дараа ноорог харж, судалгааг оюун ухаанаараа шалгаж, функцийн графикийг бөглөнө үү.

Харж буй жишээн дээр тоологчийг нэр томъёогоор хуваадаг бөгөөд энэ нь ялгахад нэн тустай:

Үнэндээ энэ нь асимптотуудыг олоход аль хэдийн хийгдсэн байдаг.

- чухал цэг.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё:

-ээр нэмэгддэг ба -аар буурдаг

Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ: .

Мөн 2-р дүгнэлттэй зөрчилдсөн зүйл гараагүй бөгөөд бид зөв замаар явж байгаа байх.

Энэ нь функцийн график нь тодорхойлолтын бүх мужийг хамарсан байна гэсэн үг юм.

Гайхалтай - та юу ч зурах шаардлагагүй.

Гулзайлтын цэг байхгүй.

Хонхор байдал нь 3-р дүгнэлттэй нийцэж байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүйд (тэнд тэнд аль алинд нь) функцийн график байрлаж байгааг харуулж байна. илүү өндөртүүний ташуу асимптот.

6) Бид даалгавраа нэмэлт оноогоор ухамсартайгаар тогтооно. Судалгаанаас хоёрхон зүйлийг мэдэж байгаа тул энд бид шаргуу ажиллах хэрэгтэй болно.

Мөн олон хүмүүсийн удаан хугацааны өмнө төсөөлж байсан зураг:

Даалгаврыг гүйцэтгэх явцад та судалгааны үе шатуудын хооронд зөрчилдөөн гарахгүй байхыг анхааралтай ажиглах хэрэгтэй, гэхдээ заримдаа нөхцөл байдал яаралтай эсвэл бүр мухардалд ордог. Аналитик нь "нэмдэггүй" - энэ бол бүх зүйл. Энэ тохиолдолд би яаралтай тусламжийн аргыг санал болгож байна: бид графикт хамаарах аль болох олон цэгийг олж (бидний тэвчээртэй байх болно), тэдгээрийг координатын хавтгайд тэмдэглэ. График шинжилгээолсон үнэ цэнэ нь ихэнх тохиолдолд үнэн хаана, худал нь хаана байгааг хэлэх болно. Нэмж дурдахад, графикийг зарим програм, жишээлбэл, Excel програм ашиглан урьдчилан барьж болно (мэдээжийн хэрэг, энэ нь ур чадвар шаарддаг).

Жишээ 4

Функцийг судлах, графикийг байгуулахдаа дифференциал тооцооллын аргыг ашиглах.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үүн дээр өөрийгөө хянах чадвар нь функцийн паритетаар нэмэгддэг - график нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд хэрэв таны судалгаанд ямар нэг зүйл зөрчилдвөл энэ баримт, алдааг хай.

Бүр эсвэл сондгой функц-д л судалж, дараа нь графикийн тэгш хэмийг ашиглана. Энэ шийдэл нь оновчтой боловч миний бодлоор энэ нь маш ер бусын харагдаж байна. Би хувьдаа бүх зүйлийг авч үздэг тооны тэнхлэг, гэхдээ би зөвхөн баруун талд нэмэлт оноо олсон хэвээр байна:

Жишээ 5

Явц бүрэн судалгаафункц болон түүний графикийг байгуулна.

Шийдэл: бүх зүйл хэцүү болсон:

1) Функц нь бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна: .

Энэ нь энэ функц нь сондгой, график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

Функц нь үе үе биш байх нь ойлгомжтой.

2) Асимптотууд, хязгааргүй дэх функцийн зан төлөв.

Функц нь дээр үргэлжилдэг тул босоо асимптот байхгүй

Экспонент агуулсан функцийн хувьд энэ нь ердийн зүйл юм тусдаа"нэмэх" ба "хязгааргүй байдлын хасах" -ын судалгаа нь графикийн тэгш хэмийн ачаар бидний амьдралыг хөнгөвчилдөг - баруун болон зүүн талд асимптот байдаг, эсвэл байхгүй. Тиймээс хоёулаа хязгааргүй хязгаарнэг бичилтээр гаргаж болно. Уусмалын явцад бид ашигладаг L'Hopital-ийн дүрэм:

Шулуун шугам (тэнхлэг) нь графын хэвтээ асимптот юм.

Би ташуу асимптотыг олох бүрэн алгоритмаас хэрхэн зальтай зайлсхийж байсныг анхаарна уу: хязгаар нь бүрэн хууль ёсны бөгөөд хязгааргүй дэх функцийн үйл ажиллагааг тодорхой болгодог бөгөөд хэвтээ асимптотыг "нэг зэрэг" илрүүлсэн.

Тасралтгүй байдал ба оршихуйгаас хэвтээ асимптотфункцийг баримталж байна дээр хязгаарлагдсанТэгээд доор хязгаарлагдсан.

3) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Энд бид мөн шийдлийг богиносгож байна:
График эх үүсвэрээр дамждаг.

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох өөр цэг байхгүй. Түүгээр ч зогсохгүй тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд нь тодорхой бөгөөд тэнхлэгийг зурах шаардлагагүй: , энэ нь функцын тэмдэг нь зөвхөн "x" -ээс хамаарна гэсэн үг юм:
, Хэрэв ;
, Хэрэв .

4) Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум.

- чухал цэгүүд.

Цэгүүд нь тэгтэй адил тэгш хэмтэй байна.

Деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлъё.

Функц нь интервалаар нэмэгдэж, интервалаар буурдаг

Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ: .

Эд хөрөнгийн улмаас (функцийн сондгой байдал) хамгийн бага хэмжээг тооцоолох шаардлагагүй:

Функц нь интервалаар буурдаг тул график нь "хасах хязгааргүй" байрлалд байгаа нь ойлгомжтой. доортүүний асимптот. Интервалын туршид функц нь бас буурдаг боловч энд эсрэгээр нь үнэн юм - хамгийн их цэгийг дайран өнгөрсний дараа шугам нь дээрээс тэнхлэгт ойртдог.

Дээрхээс харахад функцийн график нь "хасах хязгааргүй" үед гүдгэр, "нэмэх хязгааргүй" үед хотгор байна.

Энэхүү судалгааны цэгийн дараа функцын утгын хүрээг зурсан болно.

Хэрэв танд ямар нэгэн буруу ойлголт байгаа бол тэмдэглэлийн дэвтэртээ бичиж үлдээхийг дахин уриалж байна координатын тэнхлэгүүдгартаа харандаа барин даалгаврын дүгнэлт бүрд дахин дүн шинжилгээ хийнэ.

5) Графикийн гүдгэр, хотгор, гулзайлт.

- чухал цэгүүд.